DEN KULTURELLA KONTEXTEN

Enligt Bauersfeld (1998) har både elever och lärare vissa förväntningar och uppfattningar om vad man gör och vad som händer under en matematiklektion. Dessa uppfattningar utgör en del av den kulturella kontext som matematikundervisningen sker i.

En del av den kulturella kontexten handlar om hur eleverna kommunicerar om matematik. När blandgruppen arbetar med triangeluppgiften finns flera förslag om hur de kan gå tillväga när de skall bestämma cosinusvärdet för den trubbiga vinkeln. Exempelvis föreslår Jenny vid upprepade tillfällen att de skall prova om cosinussatsen kan användas. Ett annat förslag är att de skall lösa uppgiften med hjälp av ett resonemang utifrån supplementvinkeln. Dessa förslag uppmärksammas dock inte i någon större utsträckning och det tar lång tid för Jenny att övertyga Anna och Björn att cosinussatsen faktiskt är värd att prövas. Att undersöka idéer och diskutera olika strategier är en viktig del av att lösa matematiska problem. Eleverna är dock inte vana vid att arbeta med matematik på det sättet. Enligt Schoenfeld (1992) beror det på att uppgifter i matematik främst går ut på att applicera en given regel, vilket i sin tur medför att de flesta problem i matematik går relativt snabbt att lösa. Från skolans matematikundervisning är eleverna vana vid att bokens uppgifter föregås av ett exempel som får utgöra mall för hur uppgifterna skall lösas. När uppgifterna i undersökningen saknar en sådan mall blir elevernas

7. Analys

uppgift att snabbt hitta den lösningsstrategi som de tror att jag hade i åtanke när uppgiften konstruerades.

Att fråga blandgruppen om de kan komma på något annat sätt att lösa triangeluppgiften genererar genast en misstanke hos Björn om att gruppen har gjort fel. Jag tolkar det som ytterligare ett exempel på en ovana vid att diskutera och resonera om matematik. Eleverna är vana vid att varje uppgift har ett korrekt svar. Om läraren fortsätter att ställa ytterligare frågor om samma uppgift tolkas det inte som ett försök att hitta flera infallsvinklar och möjliga lösningar av samma uppgift, utan snarare som en försiktig indikation om att klassen ännu inte hittat det rätta svaret.

Eleverna ger också flera prov på att läroboken och dess uppgifter i stor utsträckning bidrar till att forma deras uppfattning och bild av vad matematik är. Den trubbiga vinkelns cosinusvärde kan mycket väl anges som cos143°. I läroböckerna har dock eleverna sysslat med uppgifter där cos143° utgjort en del i en beräkning. Ur det perspektivet kan svaret både kännas ofärdigt och ofullständigt för eleverna.

När blandgruppen skall ta reda på längderna av trianglarnas sidor väljer de att mäta kateterna och med hjälp av dessa mått beräknar de hypotenusan. Varför mäter de inte hypotenusan? En förklaring kan vara att de uppfattar kateterna som exakt givna. Därför söker de också ett exakt värde på hypotenusan. En annan förklaring kan vara att de är vana vid att lösa den typen av uppgifter. I läroböcker förekommer flitigt uppgifter på Pythagoras sats där två sidor är givna och den tredje skall beräknas. När blandgruppen ser att kateternas längder är heltal blir det naturligt att då beräkna hypotenusan.

7.8 Sammanfattning

Trots att det finns stora variationer mellan såväl gruppernas som individernas matematiska förståelse och begreppsuppfattning drar jag ändå slutsatsen att eleverna i min undersökning främst visar prov på vad Sfard (1991) kallar en operationell konception när det gäller

trigonometri och enhetscirkeln. Eleverna kan visserligen arbeta med trigonometri i rätvinkliga trianglar. Pythagoras sats behärskas av alla eleverna och de kan även beräkna cosinusvärdet för en vinkel i en rätvinklig triangel. De flesta av eleverna har en uppfattning om vad enhetscirkeln kan användas till. Däremot tycks eleverna ha svårt för att se helheter och samband, samt att kunna använda sin befintliga kunskap i ett nytt sammanhang. Eleverna är fokuserade på det som Fischbein (1994) kallar den algoritmiska aspekten, vilken utgörs av de tekniker och standardiserade strategier som kan användas när man löser en viss typ av uppgifter i matematik. Eleverna ser enhetscirkeln och trigonometri som något man ”gör” snarare än något som ”är”.

Den formella aspekten på matematik utgörs enligt Fischbein (a.a.) av definitioner, satser och bevis. Att vara väl förtrogen med olika definitioners innebörd är väsentligt för en god begreppsuppfattning, vilken också kan bidra till att minska betydelsen av den algoritmiska aspekten. Om eleverna exakt har klart för sig vad begreppet ”cosinusvärde” innebär ökar deras förmåga att dra egna slutsater om hur begreppet kan användas och behovet av utantillkunskaper minskar. Min slutsats är dock att eleverna saknar väsentliga delar av den formella aspekten när det gäller enhetscirkeln och trigonometri. Fischbein (a.a.) konstaterar också att problem uppstår när den algoritmiska och den intuitiva aspekten ger motstridiga budskap, vilket jag också ser prov på i min undersökning. När eleverna glömmer bort eller har

en vag uppfattning om algoritmen ges den intuitiva aspekten större spelrum, vilket kan ge upphov till felaktiga lösningar och förfaringssätt.

En förklaring till elevernas algoritmiska tänkande är att det uppmuntras i de läroböcker eleverna har i matematik. Enligt Pesek och Kirshner (2000) tenderar matematikundervisning under tidspress främst att bli av instrumentell karaktär. Eleverna får lära sig hur de skall lösa olika uppgifter, men inte varför en viss lösningsmetod fungerar. Det kan också vara en bidragande orsak till att eleverna, när de löser uppgifterna i undersökningen, ger uttryck för uppfattningar som i stor utsträckning överensstämmer med Schoenfelds (1992) beskrivning av elevers kulturella kontext när det gäller matematik och matematikundervisning. Han menar att elever anser att matematik främst innebär att öva på olika algoritmer, att det skall gå snabbt att lösa en uppgift om man bara tillämpar rätt algoritm samt att det endast finns ett korrekt svar, vilket jag också ser tecken på hos eleverna i min undersökning.

När det gäller trigonometri tycks miniräknaren utgöra en del av elevernas begrepps-uppfattning. Om miniräknaren finns med i en undervisningssituation som främst är av instrumentell karaktär kommer räknaren att utgöra en del av en algoritm. Eleverna lär vilka begrepp och formler som kan användas för att lösa en viss typ av uppgifter, men även hur det hela skall hanteras på miniräknaren. När eleverna inte tillåts använda miniräknaren kommer de alltså att berövas väsentliga delar av sin algoritmiska förståelse.