Sammanfattning—Denna rapport behandlar en unders¨okning
om huruvida elektriska str¨ommar i magnetosvansen kan ber¨aknas med hj¨alp av tv˚a olika metoder. Den f¨orsta bygger p˚a en f¨orenklad geometri och kr¨aver endast data fr˚an en satellit, medan den andra anv¨ander data fr˚an fyra satelliter samtidigt f¨or att f˚a en tredimensionell beskrivning av str¨ommen. Det har ¨aven unders¨okts om ett samband finns mellan solvindens karakteristiska egenskaper och str¨ommens storlek. De data som anv¨andes i unders¨okningen samlades in av European Space Agencys (ESA) Clustersatelliter under perioden 2004-07-01 till och med 2004-10-31.
I metoden med en satellit har str¨ommen ber¨aknats utifr˚an magnetf¨altsdata f¨ore och efter satelliterna passerade ekvatorsplanet i magnetosvansen. F¨or de fyra satelliterna anv¨andes curlometermetoden som ber¨aknar str¨omt¨atheten utifr˚an magnetf¨altet och satelliternas positioner i GSE- koordinater. Str¨ommen kunde d˚a ber¨aknas genom att summera str¨omt¨atheten multiplicerat med satelliternas f¨ardstr¨acka. Tv˚a olika str¨omt¨atheter antogs, ett idealfall med en str¨omt¨athet enbart i y-led, jy, och ett fall d¨ar str¨omskiktet ¨ar roterat
vilket ger en str¨omt¨athet i b˚ade y- och z-led. Resultaten har sedan j¨amf¨orts och det kunde konstateras att ensatellits- och flersatellitsmetoden ger resultat i samma storleksordning varf¨or slutsatsen drogs att b˚ada metoderna kan anv¨andas. Unders¨okningen visar ¨aven att str¨omskiktet ¨ar roterat varf¨or jz
ska tas med i flersatellitsmetoden f¨or att f˚a ett s˚a bra resultat som m¨ojligt.
N¨ar solvindens magnetf¨alt, fl¨odeshastighet och energidensitet studerades hittades f˚a bra m¨atv¨arden vilket gjorde det sv˚art att genomf¨ora unders¨okningen. De j¨amf¨orelser som gjordes visade inga samband mellan str¨ommens storlek och solvindsegenskaperna.
I. INTRODUKTION
I
DAG ¨ar elektrisk str¨om vitalt f¨or att v˚art samh¨alle ska fungera, men str¨ommar uppst˚ar ¨aven naturligt i rymden vilket kan p˚averka v˚ar teknik p˚a jorden och i rymden eller visa sig i form av exempelvis polarsken. Eftersom detta ¨ar ett fenomen som alltid har uppst˚att vid jordens poler har det l¨ange funnits ett intresse f¨or rymdfenomen. P˚a 1700-talet kom ett genombrott inom omr˚adet, d˚a bland annat Anders Celsius forskade kring hur magneten i en kompass p˚averkas av polarsken [1]. Hans uppt¨ackt blev n˚agot av ett startskott f¨or svensk forskning inom rymdfysik och idag p˚ag˚ar det forskning i bland annat Kiruna, Ume˚a universitet och p˚a KTH i Stockholm.Idag har forskningen kommit s˚a l˚angt att det ¨ar k¨ant att polarsken uppst˚ar p˚a grund av str¨ommar i rymden [2]. Str¨ommarna uppst˚ar i samband med att stora m¨angder plasma slungas ut fr˚an solen mot jorden, vilket kallas solvind. Solvinden g¨or att jordens magnetdipolf¨alt dras ut och bildar en karakteristisk svans [2] som kallas magnetosvansen enligt figur 1. I magnetosvansen flyter det str¨ommar
ortogonalt mot jordens magnetf¨altslinjer enligt Amper´es lag. Str¨ommarna ¨ar intressanta att studera d˚a de ger en indikation av hur rymdv¨adret kring jorden ¨ar. Med ¨okad kunskap om rymdv¨adret skulle tekniska problem som uppst˚ar vid solstormar eventuellt kunna undvikas.
Figur 1. Jordens magnetf¨alt dras ut och bildar magnetosvansen [3].
Projektet utv¨arderar om det g˚ar att ber¨akna str¨ommen i magnetosvansen med en flersatellitsmetod och en enklare ensatellitsmetod. P˚a grund av begr¨ansningar i satelliternas bana kan endast en str¨om per meter, [A/m], ber¨aknas men detta ben¨amns som str¨om i rapporten. Skillnaden mellan metoderna ¨ar att ensatellitsm¨atningen utg˚ar fr˚an f¨or¨andringar i magnetf¨altet medan flersatellitsm¨atningen utg˚ar fr˚an str¨omt¨atheten och satelliternas f¨ardstr¨acka vid m¨attillf¨allet. F¨ordelen med att anv¨anda flersatellitsmetoden ¨ar att det g˚ar att ber¨akna str¨ommen utan att g¨ora st¨orre approximationer, till skillnad fr˚an ensatellitsmetoden som bygger p˚a en f¨orenklad geometri. Str¨ommen ber¨aknas med hj¨alp av data fr˚an Cluster Active Archive (CAA) [4], Matlabrutiner fr˚an Tomas Karlsson, lektor p˚a institutionen Rymd- och plasmafysik p˚a KTH, och Matlabrutiner fr˚an IRF [5] under perioden 2004-07-01 till och med 2004- 10-31. Str¨ommarna analyseras sedan f¨or att unders¨oka om de ¨ar lika stora, d˚a det skulle visa att b˚ada metoderna fungerar. Rapporten behandlar ¨aven en enklare unders¨okning huruvida det finns ett samband mellan storleken p˚a str¨ommen och solvinden. Unders¨okningen g¨ors genom att j¨amf¨ora de ber¨aknade str¨ommarna mot solvindens magnetf¨alt, partikelhastighet och energidensitet. Om ett s˚adant samband hittas skulle det kunna anv¨andas till att f¨orebygga problem i till exempel elledningar [6]. Solvindsdata h¨amtas fr˚an satelliten ACE som har sin omloppsbana v¨aldigt n¨ara Lagrangepunkten, cirka 1,5 miljoner km fr˚an jorden och 148,5 miljoner km fr˚an solen [7].
II. TEORI
A. Clustersatelliterna
N¨ar kroppar och satelliter r¨or sig i rymden ¨ar det viktigt att v¨alja ett l¨ampligt koordinatsystem f¨or att kunna beskriva banor och avst˚and p˚a ett bra s¨att. F¨or satelliter som f¨ardas kring jorden ¨ar det ortonormerade h¨ogerorienterade koordi- natsystemet GSE (Geocentric Solar Ecliptic) anv¨andbart, d¨ar en positionsvektorr definieras enligt
r = axˆx + ayy + aˆ zˆz (1)
d¨ar ˆx pekar fr˚an jordens mittpunkt mot solens mittpunkt, ˆz pekar fr˚an jordens mittpunkt ut vinkelr¨att mot jordens rotationsplan kring solen och ˆy ¨ar ortogonal mot ˆx och ˆz enligt figur 2.
Figur 2. Koordinatsystemet GSE.
Konstanterna ax, ay, az ¨ar avst˚andet till jordens mittpunkt
och anges ofta i jordradier [RE]. Clustersatelliterna r¨or sig
i en elliptisk bana runt jorden med st¨orst avst˚and, apoge- um, p˚a cirka 30 RE km och minst avst˚and, perigeum, p˚a
cirka 3 RE. De samlar in data om bland annat plasma och
magnetf¨alt i magnetosf¨aren som skickas till CAA med en samplingsfrekvens p˚a 0,25 Hz [8]. Satelliterna flyger i en tetraederformation med ett avst˚and mellan satelliterna p˚a ca 1000 km under den unders¨okta tidsperioden [9].
B. Ber¨akning av str¨ommens storlek och riktning
F¨or att ber¨akna str¨ommen i magnetosvansen till¨ampas Amp´eres lag ∇ × B = µ0J + 1 c2 ∂E ∂t (2)
som s¨ager att vid en magnetf¨altsf¨or¨andring uppst˚ar en str¨om. Ekvationen kan skrivas om eftersom Maxwells korrigering,
1
c2∂E∂t, ¨ar mycket mindre ¨an str¨omt¨atheten, J, varf¨or termen f¨orsummas och ekvation 2 skrivs till
∇ × B = µ0J (3)
Det beh¨ovs dock en st¨orre f¨or¨andring i magnetf¨altet f¨or att n˚agon str¨om av betydelse ska kunna ber¨aknas. En s˚adan sker n¨ar Clustersatelliterna sk¨ar magnetosvansen enligt den r¨oda linjen i figur 1 eftersom magnetf¨altet har olika polaritet p˚a vardera sida om x-axeln vilket ses i samma figur. En s˚adan f¨or¨andring kallas magnetf¨alts¨overg˚ang och ser idealt
Figur 3. En ideal magnetf¨alts¨overg˚ang.
ut som figur 3. Om det antas ett o¨andligt l˚angt och rakt str¨omskikt s˚a kommer det endast att finnas ett magnetf¨alt i x-axelns riktning. Eftersom Clustersatelliterna endast r¨or sig i z-axelns riktning vid sk¨arningstillf¨allet kommer en magnetf¨alts¨overg˚ang endast att existera f¨or magnetf¨altets x- komponent, Bx. Med hj¨alp av h¨ogerhandsregeln erh˚alls att
det endast finns en str¨omt¨athet i y-axelns riktning, jy, vid
alla magnetf¨alts¨overg˚angar. D˚a Clustersatelliterna endast r¨or sig i z-axelns riktning vid sk¨arningstillf¨allet medf¨or det att det endast g˚ar att integrera str¨omt¨atheten ¨over den dimensionen varf¨or en str¨om per meter [A/m] erh˚alls.
1) Ensatellitsm¨atning: I metoden anv¨ands data fr˚an en
satellit f¨or ber¨akning av str¨ommens storlek. Det g¨ors genom att approximera omr˚adet i magnetosvansen till en o¨andligt stor yta som sp¨anns i xz-planet. Str¨omt¨atheten jy kan d˚a ber¨aknas
genom att till¨ampa ekvation 3.
jy = 1 µ0 (∇ × B)y= 1 µ0 (∂Bx ∂z − ∂Bz ∂z ) (4)
Eftersom det endast finns ett magnetf¨alt i x-axelns riktning ¨ar
∂Bz
∂x = 0. Str¨ommen kan d˚a ber¨aknas genom att integrera
b˚ada sidorna med avseende p˚a dz. Det medf¨or att str¨ommen endast ¨ar beroende av v¨ardet p˚a Bx i start- och slutpunkten
enligt I L = ˆ z1 z0 ∂Bx ∂z dz = 1 µ0 [Bx(z1)− Bx(z0)] (5)
d¨ar z0 och z1 ¨ar den position satelliten hade vid start- och
sluttiden f¨or m¨attillf¨allet. Om L = 1 f˚as den s¨okta enheten str¨om per meter [A/m].
2) Flersatellitsm¨atning: F¨or att ber¨akna str¨ommen med en flersatellitsm¨atning m˚aste curlometermetoden anv¨andas. F¨or att kunna applicera curlometermetoden m˚aste positionerna mellan de fyra satelliterna uttryckas. Det kan g¨oras genom att inf¨ora positionsvektorer Rij definierade enligt Rij = Rj − Ri d¨ar i och j ¨ar satellitnumren 1, 2,
triangelareorna som sp¨anns upp mellan satelliterna. Arean mellan tre satelliter j, i och k kan skrivas Ajik = |Rji×R2 jk|
med normalvektor ˆnjik = |RRji×Rjk
ji×Rjk| vilket visualiseras i figur 4.
Figur 4. Arean A123som sp¨anns upp mellan tv˚a vektorer, R12och R13.
En str¨om kan sedan erh˚allas genom att skriva ekvation 3 p˚a integralform med hj¨alp av Stokes sats
˛
B· dl =
¨
J dS = I (6) Dessutom kan det approximeras att magnetf¨altet varierar linj¨art l¨angs str¨ackan mellan satelliterna. Det g¨or att medelv¨ardet av magnetf¨alten kan anv¨andas f¨or att f¨orenkla ber¨akningarna av str¨ommen genom en yta till
˛
B· dl = Bji· Rji+ Bik· Rik+ Bkj· Rkj (7)
d¨ar Bij, Bik och Bkj ¨ar medelv¨ardet av magnetf¨altet
l¨angs str¨ackan mellan varje satellit. Om det g¨ors f¨or tre av triangelytorna kan ett nytt koordinatsystem f¨or satelliternas position i f¨orh˚allande till varandra introduceras. D˚a kan en total str¨omt¨athet skrivas som Jcluster =
jijnˆjik+ jiknˆkij+ jkjnˆjki.
Det h¨ar koordinatsystemet ¨ar inte ortonormerat eller n¨odv¨andigtvis h¨ogerorienterat, men det kan projiceras p˚a GSE-koordinatsystemet vilket medf¨or att den totala str¨omt¨atheten kan skrivas som J = (jx, jy, jz) i GSE-
koordinater.
Eftersom Clustersatelliterna samplar magnetf¨altet som en diskret tidsserie ber¨aknas ekvation 6 med hj¨alp av en Riemansumma enligt I L = ˆ z1 z0 jy dz = t 1−1 i=t0 jy(i)(z(i + 1)− z(i)) (8)
d¨ar t0 och t1 ¨ar start- respektive sluttid f¨or mag-
netf¨alts¨overg˚angen. ¨Aven h¨ar s¨atts L = 1 f¨or att f˚a den s¨okta enheten str¨om per meter [A/m].
III. METOD
A. Ber¨akning av str¨ommens storlek och riktning
N¨ar str¨ommen ska ber¨aknas m˚aste alla mag- netf¨alts¨overg˚angar i den unders¨okta perioden hittas. Det g¨ors
genom att anv¨anda f¨ardiga Matlabrutiner som b˚ade ber¨aknar och plottar bland annat magnetf¨altets och str¨omt¨athetens storlek samt satelliternas positioner ¨over en dag. F¨or att kunna till¨ampa ekvation 5 och 8 m˚aste det unders¨okas vilket tidsintervall under en magnetf¨alts¨overg˚ang som ska anv¨andas. Detta g¨ors med tv˚a olika metoder, en som utg˚ar fr˚an magnetf¨alts¨overg˚angen och en som utg˚ar fr˚an str¨omt¨atheten i y-riktningen. N¨ar tidpunkterna ¨ar k¨anda kan sedan str¨ommens storlek ber¨aknas med b˚ade ensatellits- och flersatellitsm¨atning.
1) Tidsmetod 1: Tidpunkterna tas ut genom att best¨amma
den tid d¨ar magnetf¨altskomponenten, Bx, ¨ar ungef¨ar konstant
b˚ade innan och efter magnetf¨alts¨overg˚angen.
Figur 5. En magnetf¨alts¨overg˚ang 2004-09-22.
F¨or exemplet i figur 5 v¨aljs tidsintervallet till 00:30-07:00. Problemet med den h¨ar metoden ¨ar att intervallet ofta blir v¨aldigt l˚angt vilket g¨or att mycket brus riskerar att p˚averka ber¨akningarna. D˚a flersatellitsmetoden beror p˚a str¨omt¨atheten som ber¨aknas utifr˚an magnetf¨altet riskerar ber¨akningen av str¨ommen inneh˚alla m˚anga negativa termer. F¨or att minimera denna felk¨alla v¨aljs det d¨arf¨or att s¨atta alla negativa jytill noll
vid ber¨akning av str¨ommen med flersatellitsmetoden.
2) Tidsmetod 2: Tidpunkterna tas ut genom att studera hur
str¨omt¨atheten jy f¨or¨andras n¨ar en magnetf¨alts¨overg˚ang sker.
Start- och sluttid v¨aljs s˚a intervallet innesluter den st¨orsta positiva piken f¨or jy.
Figur 6. Str¨omt¨atheten under 2004-09-22.
F¨or exemplet i figur 6 v¨aljs tidsintervallet till 00:30-04:30.
3) Unders¨okningar: Till att b¨orja med studeras f¨orh˚allandet
mellan Iensatoch If lersat ber¨aknad med b˚ada tidsmetoderna
genom att plotta dem mot varandra. Sedan ber¨aknas kvoten
Iensat
I
d¨ar Iensat¨ar v¨ardena fr˚an den str¨om som ber¨aknats fr˚an satellit
1. Ju n¨armare denna kvot ¨ar 1 desto b¨attre d˚a det indikerar att b˚ade ensatellits- och flersatellitsmetoden ger liknande svar. N¨ar det ¨ar k¨ant vilken tidsmetod som har en kvot n¨armast 1 g¨ors f¨oljande unders¨okningar f¨or att best¨amma om b˚ade ensatellits- och flersatellitsm¨atningar g˚ar att anv¨anda:
• Plotten Iensatmot If lersatg¨ors igen men nu utan den s¨amre
tidsmetoden f¨or att f˚a en b¨attre ¨overblick om hur storleken p˚a str¨ommarna skiljer sig.
• Kvoten
Iensat
If lersat (10)
plottas mot satelliternas f¨ardstr¨acka under m¨attillf¨allet f¨or att se om ett samband kan hittas.
• F¨or att kontrollera om v¨ardet p˚a magnetf¨altet varierar mycket
mellan satelliterna plottas Iensat ber¨aknad f¨or alla satelliter
mot varje m¨attillf¨alle. Om det ¨ar stor skillnad p˚a resultaten kan det indikera p˚a att magnetf¨altet varierar mycket ¨over tid, vilket g¨or att det spelar roll f¨or resultatet vilken satellit som anv¨ands vid j¨amf¨orelse mellan ensatellits- och flersatellitsm¨atning.
• Eftersom str¨ommen endast har ber¨aknats f¨or idealfallet ¨ar
det intressant att se hur mycket resultatet skiljer sig om jz
tas med i ber¨akningen f¨or flersatellitsm¨atningen. D˚a byts jy i
summan fr˚an ekvation 8 ut mot j2
y+ j2z vilket ger I L = t 1−1 i=t0 j2
y(i) + jz2(i)(z(i + 1)− z(i)) (11)
Resultaten fr˚an denna ekvation j¨amf¨ors med resultaten fr˚an ekvation 8 genom att plotta de b˚ada resultaten i samma typ av plottar som i punkt 1 och 2 ovan.
• Om det finns ett bidrag fr˚an jzs˚a inneb¨ar det att str¨omskiktet
har en vinkel mot xy-planet. Denna vinkel kan ber¨aknas med arccos(resultat ekvation 8
resultat ekvation 11). Vinkeln plottas mot varje
m¨attillf¨alle f¨or att se vilken av str¨omt¨atheterna jy och jz som
ger st¨orst bidrag till ber¨akningen av str¨ommen.
B. Solvindsberoende
F¨or att j¨amf¨ora str¨ommen i magnetosvansen mot solvindsda- ta unders¨oks tre storheter som ¨ar karakteristiska f¨or solvinden, magnetf¨altet i z-riktning, Bz, fl¨odeshastigheten, v, och ener-
gidensiteten, E
V. Energidensiteten finns dock inte att h¨amta
direkt utan m˚aste ber¨aknas utifr˚an v och protondensiteten,
ρ. Med E = mv22 som utg˚angspunkt kan energidensiteten
skrivas till E V =
mv2
2V =
ρv2
2 . Eftersom solvinden har en
hastighet p˚a cirka 400 km/s [10] s˚a tar det ungef¨ar en timme innan solvinden n˚ar jorden och magnetosvansen. D¨arf¨or v¨aljs tidsintervallet f¨or solvinden till fyra timmar innan fram till mitten av tidsintervallet som str¨ommen ber¨aknades fr˚an. Under intervallet har medelv¨ardet av Bz, v och EV ber¨aknats.
IV. RESULTAT
A. Antal m¨atpunkter
Totalt hittades 24 passager genom ekvatorsplanet med en tydlig magnetf¨alts¨overg˚ang.
B. J¨amf¨orelse av tidsmetoder
N¨ar de ber¨aknade str¨ommarna fr˚an ensatellits- och flersa- tellitsm¨atningen plottades erh¨olls figur 7.
Figur 7. Str¨ommen f¨or ensatellits- och flersatellitsm¨atning. Kryss motsvarar tidsmetod 1 och cirklar motsvarar tidsmetod 2.
N¨ar kvoten enligt ekvation 9 ber¨aknades erh¨olls tabell I.
Tabell I
KVOTER FOR OLIKA TIDSMETODER¨ Tidsmetod Kvot
1 1,9825 2 1,7797
D˚a tidsmetod 2 har den kvot som ¨ar n¨armast 1 enligt tabell I anv¨andes den i resten av unders¨okningarna.
C. Ensatellitsm¨atning mot flersatellitsm¨atning
N¨ar Iensatplottades mot If lersat erh¨olls figur 8.
Figur 8. Den ber¨aknade str¨ommen Iensatmot If lersat.
N¨ar ekvation 10 plottades mot satelliternas f¨ardstr¨acka under en m¨atperiod erh¨olls figur 9.
Figur 9. Kvoten enligt ekvation 10 mot satellit 1:s f¨ardstr¨acka vid respektive m¨attillf¨alle.
D. Alla fyra ensatellitsm¨atningar
N¨ar de fyra str¨ommarna ber¨aknades fr˚an ensatel- litsm¨atningar fr˚an varje satellit och sedan plottades mot varje m¨attillf¨allen erh¨olls figur 10.
Figur 10. Den ber¨aknade str¨ommen f¨or ensatellitsm¨atning med alla fyra satelliter mot tiden. Svart ¨ar satellit 1, gr¨on ¨ar satellit 2, r¨od ¨ar satellit 3 och bl˚a ¨ar satellit 4.
E. Str¨om med z-komponent
N¨ar jztogs med i ber¨akningen av str¨ommen enligt ekvation
11 erh¨olls tabell II, figur 11 och figur 12.
Tabell II
KVOTERNA FOR OLIKA STR¨ OMT¨ ATHETER¨ Str¨omt¨atheter Kvot
jy 1,7797
jyz 0,9488
F. Str¨omskiktets vinkel
N¨ar str¨omskiktets vinkel plottades mot m¨attillf¨allet erh¨olls figur 13.
Figur 11. Den ber¨aknade str¨ommen f¨or Iensatmot If lersatb˚ade med och utan jz-komponent f¨or alla m¨attillf¨allen. Pentagram ¨ar str¨ommar med b˚ade y- och z-komponent och cirklar med endast y-komponent.
Figur 12. Kvoterna mot satellit 1:s f¨ardstr¨acka vid varje m¨attillf¨alle. Pen- tagram ¨ar med b˚ade y- och z-komponent och cirklar ¨ar med endast y- komponent.
Figur 13. Str¨omskiktets vinkel mot varje m¨attillf¨alle.
G. Solvind mot str¨om
N¨ar Bz, v och EV fr˚an solvinden plottades mot str¨ommen
Figur 14. Solvindens magnetf¨alt, fl¨odeshastighet och energidensitet mot str¨ommen ber¨aknad med flersatellitsm¨atning.
V. DISKUSSION
A. Ensatellits- mot flersatellitsm¨atning
Genom att studera figur 8 och tabell I inses att str¨ommen ¨overlag blir st¨orre f¨or ensatellits- ¨an flersatellitsm¨atningen. D˚a ensatellitsm¨atningen endast anv¨ander skillnaden mellan magnetf¨altets v¨arde i start- och sluttiden f¨or tidsintervallet s˚a p˚averkar inte bruset resultatet till skillnad fr˚an flersatellitsm¨atningen som beror p˚a str¨omt¨atheten ¨over hela tidsintervallet. Om figur 6 studeras inses att mycket brus tas med i ber¨akningen f¨or flersatellitsm¨atningen vilket kan f¨orklara varf¨or dess resultat ¨ar mindre ¨overlag. Brusets ursprung beror bland annat p˚a att magnetosvansen st¨andigt r¨or sig i f¨orh˚allande mot x-axeln vilket g¨or att Clustersatelliterna kan passera magnetosvansen flera g˚anger. Det i sin tur medf¨or att det uppm¨atta magnetf¨altet skiftar polaritet flera g˚anger under samma m¨attillf¨alle. Eftersom str¨omt¨atheten ¨ar rotationen av magnetf¨altet s˚a kommer magnetf¨altets teckenskifte ¨aven p˚averka str¨omt¨atheten.
Skillnaden mellan resultaten anses vara obetydande d˚a de ligger i samma storleksordning och den totala kvoten enligt ekvation 9 ¨ar mindre ¨an 2 oavsett tidsmetod. D˚a kan slutsatsen dras att b˚ada metoderna g˚ar att anv¨anda f¨or att ber¨akna str¨ommens storlek.
B. Roterat str¨omskikt
N¨ar resultaten i figur 11 och tabell II studeras s˚a kan det konstateras att det blir ett mycket b¨attre resultat n¨ar jz tas
med i ber¨akningen av str¨ommen med flersatellitsmetoden. De tv˚a punkter i figur 11 som ligger h¨ogst ovanf¨or linjen kan verka vara stora avvikelser. Vid n¨armare unders¨okning visade det sig dock att deras kvot enligt ekvation 10 h˚aller sig inom samma intervall som kvoterna ber¨aknade fr˚an str¨ommen med enbart jy-komponent, vilket g¨or att punkterna anses vara
rimliga.
Att jz ger ett stort bidrag syns ¨aven i figur 13 d˚a alla
utom fyra vinklar ¨ar st¨orre ¨an 45 grader vilket inneb¨ar att jz
¨ar den str¨omt¨athet som bidrar mest till str¨ommen. Eftersom kvoten f¨or jyz p˚a 0,9488 ¨ar mycket n¨armare 1 ¨an kvoten
f¨or jy p˚a 1,7797 s˚a blir resultatet b¨attre om jz tas med vid
ber¨akningen av str¨ommen med flersatellitsmetoden.
C. Kvoten mot satelliternas f¨ardstr¨acka
Vid f¨orsta anblicken p˚a alla kvoter enligt ekvation 10 tycktes det finnas ett samband mellan satelliternas f¨ardstr¨acka och kvotens storlek. N¨ar figur 9 unders¨oktes kunde inget samband hittas ¨aven fast den st¨orsta kvoten var vid den ¨overl¨agset kortaste f¨ardstr¨ackan. Detta eftersom det fr˚an figuren i ¨ovrigt inte fanns n˚agot samband utan kvoterna tycktes slumpm¨assiga utifr˚an f¨ardstr¨ackan. Det hade beh¨ovts en st¨orre variation i f¨ardstr¨ackan f¨or varje m¨attillf¨alle f¨or att kunna se om kvoten n¨armar sig 1 vid en l¨angre f¨ardstr¨acka.
D. Tidsmetoder
Fr˚an figur 7 g˚ar det inte att se vilken av tidsmetoderna som ¨ar b¨ast d˚a de ger liknande resultat. D¨arf¨or valdes det att enbart utg˚a fr˚an tabell I f¨or att best¨amma vilken tidsmetod som ska anv¨andas vid ¨ovriga unders¨okningar. D¨arf¨or valdes tidsmetod 2 eftersom dess kvot var n¨armare 1.
Efter att all data hade ber¨aknats studerades ett antal datum d¨ar det ins˚ags att intervallen f¨or tidsmetod 2 borde ha valts kortare f¨or att f˚a ett mer idealt fall. Som exempel