Resultat och analys kopplat till hur eleverna rör sig i modelleringscykeln

Avsnitt 4.2 är uppdelat i delar. Den första delen analyserar hur eleverna rör sig mellan modelleringscykelns olika steg samlade som en grupp. Den andra delen undersöker när enskilda elever lämnar gruppen för att arbeta på egna modelleringssteg.

4.2.1 Rörelser mellan modelleringsstegen

Utifrån de kodade transkriptionerna har samtliga interaktioner som eleverna gjort under gruppuppgiften summerats och sammanställts till en tabell (se Tabell 2 nedan). Genom interaktionerna går det att utläsa hur många gånger en elev interagerat på ett modelleringssteg och hur stor del av elevens och gruppens fokus som därmed lagts vid de olika modelleringsstegen under grupparbetet.

Tabellen är uppdelad i fyra olika delar, där de tre översta delarna beskriver hur många gånger de nio eleverna i de tre grupperna interagerat på modelleringscykelns sju steg samt hur stor andel av interaktionerna som var och en av eleverna står för i förhållande till de övriga eleverna i gruppen.

Gemensamt för de tre grupperna är att det är en elev i varje grupp som står för hälften av interagerandet i respektive grupp. I grupp 2 står till exempel C2 för 53% av allt interagerande på de olika stegen, medan de båda andra eleverna ligger på 21 respektive 26 procent. Liknande siffror ser vi i både grupp 1 och grupp 3.

Om vi istället flyttar blicken till vilka modelleringssteg som eleverna interagerar på går det att utläsa att tre av eleverna interagerar på samtliga sju steg i modelleringscykeln. Två av dessa tre elever är även de som interagerar mest i sin grupp (C2 och H3) tillsammans med C3, vilket är den elev som interagerar näst mest i grupp 3.

Tre av stegen saknar interaktioner av en eller flera elever. Dessa steg är steg 7, vilken saknar interaktioner från fyra elever, steg 3, vilket saknar interaktioner från tre elever, samt steg 6 som saknar interaktioner av en elev. Att steg 6, vilken generellt har en hög interaktionsgrad, saknar interaktioner från en elev kan ses som en naturlig avvikelse. Att steg 7 på liknande sätt saknar flera interaktioner är i sig inte speciellt förvånande, då steg 7 handlar om att summerera sitt arbete. Däremot är den låga interaktionsgraden på steg 3 matematisering mer förvånande, då detta är steget som binder samman verklighetskontexten med matematikkontexten. Av de sex eleverna har enbart två elever fler än två interaktioner på detta steg, vilket är betydligt lägre än den genomsnittliga interaktionsgraden för samtliga steg, vilken ligger på knappt 9 interaktioner per steg.

Nederst i Tabell 2 jämförs interaktionerna gruppvis, vilket tydliggör hur antalet interaktioner skiljer sig åt mellan de olika stegen och därmed går det att få en bild av hur andelen interaktioner skiljer sig åt mellan olika modelleringssteg, ett mått som ger oss en bild av vilket steg eleverna interagerar mest på och detta ger oss en fingervisning kring vilka delar av det transkriberade materialet som bör undersökas närmare.

Elev Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Totalt antal Total andel

Elev Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Totalt antal Total andel

V₂ 4 19% 13 20% 0 0% 7 21% 3 11% 7 19% 16 32% 50 21%

C₂ 11 52% 36 55% 2 67% 19 58% 15 54% 19 51% 25 50% 127 53%

H₂ 6 29% 17 26% 1 33% 7 21% 10 36% 11 30% 9 18% 61 26%

Antal 21 66 3 33 28 37 50 238

Andel 9% 28% 1% 14% 12% 16% 21% 100%

Elev Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Antal Andel Totalt antal Total andel

V₃ 1 5% 13 18% 2 11% 7 17% 5 14% 9 25% 0 0% 37 17%

Tabell 2. Antalet interaktioner som respektive elev i de tre grupperna gjorde under uppgiften samt en sammanställning av de tre grupperna.

Sammanställningen visar att interaktionsgraden varierat mycket mellan de olika modelleringsstegen, där två av stegen utmärker sig speciellt mycket. Detta är steg 2, med 161 interaktioner och en andel på 29%, samt steg 3 med 22 av interaktionerna och med en andel av 4%. De övriga fem stegen ligger i närheten av 14%, vilket är ett genomsnittligt värde på interaktionsgraden på de sju stegen om de vore jämnt fördelade mellan de olika stegen. Med andra ord finns det en klar överrepresentation av steg 2 och en klar underrepresentation av steg 3, där det senare redan uppmärksammats på individnivå, men nu även på gruppnivå.

Enligt det ramverket som beskrivits av Blum och Leiß (2007) går modelleraren i modelleringsprocessen först från steg 2 till steg 3 och därefter vidare till steg 4. Men enligt Tabell 2 verkar inte detta vara fallet. Då eleverna enbart har sammanlagt 22 interaktioner på steg 3 kan detta tyda på att eleverna går från steg 2 till något annat steg.

Om så är fallet, vart går eleverna efter att de varit på steg 2?

I sammanställningen nedan (Tabell 3) har koderna från transkriptionerna sammanställts utifrån varje grupp. Varje gång gruppen lämnar steg 2 till ett annat steg har detta noterats i den kolumn som beskriver det nya steget. På detta sätt ges en kvantitativ bild över vart eleverna tar vägen då de lämnar steg 2.

Från 2 till 1 Från 2 till 3 Från 2 till 4 Från 2 till 5 Från 2 till 6 Från 2 till 7 Totalt

Tabell 3. Antalet gånger som gruppen gått från steg 2 till ett annat steg i modelleringscykeln.

I Tabell 3 ser vi att samtliga steg i modelleringscykeln är måltavla för eleverna när de lämnar steg 2. Däremot finns en klar överrepresentation för eleverna att gå från steg 2 till steg 4, som genomförs totalt 19 gånger, vilket motsvarar en andel av 59%. Att gå ifrån steg 2 till steg 3, vilket modelleringscykeln föreskriver inträffar bara vi ett enda tillfälle, vilket motsvarar en andel av 3%. Likaså kan vi utläsa att grupperna lämnar steg 2 vid 32 tillfället, av sammanlagt 161 interaktioner (Tabell 2), vilket innebär att eleverna i genomsnitt interagerar fem gånger vid varje tillfälle på steg 2 innan de går vidare. Ett typiskt exempel när en elevgrupp går från steg 2 till steg 4 illustreras utdraget i nedan från grupp 1:

Elev Vad eleven sa Tid

Modellerings-steg

V Men jag tror inte att det är så vanligt.

Jag tror att vissa äter mer pizza

00:01:55 2

H Och vissa äter pizza varje dag 00:01:58 2 V Jag tror vissa äter mer pizza och vissa

äter väldigt mycket mindre pizza.

00:02:01 2 V Jag uppskattar till en eller två….en

pizza varannan vecka äter vi i Sverige.

Två pizzor i månaden av varje person i Sverige.

00:02:03 4

H Ja 00:02:13 4

V Det är väldigt mycket 00:02:14 5

Tabell 4. Utdrag från grupp 1 för att illustrera avsaknad av steg 3

Med andra ord, eleverna diskuterar faktorer (steg 2) för att därefter initiera olika värden på dessa faktorer (steg 4). Detta görs inte utifrån hur modelleringscykeln föreskriver, nämligen att eleverna först skall identifiera vilka faktorer som är väsentliga för att lösa problemet (steg 2), för att därefter beskriva hur dessa faktorer relaterar till varandra med hjälp av matematiska operationer/variabler/konstanter/osv (steg 3) för att därefter sätta in värden och genomföra beräkningar (steg 4). I stället applicerar eleverna ett värde (steg 4) direkt på faktorerna som de identifierat (steg 2) utan att bestämma hur de olika faktorerna relaterar till varandra (steg 3).

Som beskrivet ovan går det enbart att utläsa ett tillfälle då eleverna går från steg 2 till steg 3. Men om eleverna inte kommer från steg 2, varifrån kommer eleverna som trots allt interagerar på steg 3 och vart fortsätter de när de varit på steg 3? För att kunna besvara dessa frågor behöver vi titta närmare på elevernas rörelsemönster till och från steg 3 (se Figur 17).

Figur 17. De båda stapeldiagrammet visar hur steg 3 har använts av de tre grupperna. Stapeldiagrammet till vänster beskriver frekvensen av varifrån eleven kom och vart eleven tar vägen efter att de varit på steg 3. Stapeldiagrammet till höger beskriver varje elevs unika rörelsemönster då de använder steg 3. Sifferkombinationen under staplarna består av tre siffror. Första siffran står för steget som gruppen kommer ifrån och sista siffran står för vart gruppen tar vägen när de varit på steg 3.

Ur de kodade transkriptionerna går det att utläsa att steg 3 används vid åtta unika⁷ tillfällen och att eleverna kommer till steg 3 då de framför allt varit på steg 1 eller från steg 4.

Hoppet från steg 1 till steg 3 gör eleverna dels för att förstå uppgiften, som i exemplet i Tabell 1. Eleverna har i detta skede inte en klar bild av vilka faktorer som är centrala för att lösa problemet utan försöker matematisera problemet utifrån deras kunskaper från matematikundervisningen där variabelbeteckningar såsom 𝑥, 𝑦 och 𝑧 används.

Diskussionen i Tabell 1 tyder på att eleverna har en viss form av förståelse för att uppgiften behöver matematiseras, men att eleverna inte riktigt har förståelse för vad som skall matematiseras, en förståelse som troligtvis skulle klarnat om eleverna förenklat problemet (steg 2) innan de började matematisera.

Vid de två andra tillfällena som matematiseringssteget används görs detta på ett sätt som liknar det föreskrivna i modelleringscykeln. Vid dessa båda tillfällen utvärderar eleverna ett resultat (steg 5 och 6), varefter de kontrollerar att de förstått uppgiften rätt (steg 1), för att därefter förstå vilka operander de skall använda sig av för att därefter kunna genomföra sina beräkningar (steg 4), vilket exemplifieras i nedanstående dialog.

Elev Vad eleven sa Tid

Modellerings-steg

C Vänta lite… [tittar på instruktionen].

Äts i Sverige…inte bakas…utan äts…

00:05:20 1

H …a… 00:05:28 1

H Så då har vi ungefär en vecka. Ska vi lägga ihop de här [pekar på veckan som är uträknad på pappret]

00:05:32 3

C Ja vi lägger ihop de här 00:05:35 3

C 100+120+150+100+500+500+100. Då har vi tre hundra plus tusen plus tvåhundrasjutti. Så då har vi alltså 1570 tusen pizzor

00:05:37 4

Tabell 5. Exempel på när eleverna går från steg 1 till steg 3 för att matematisera.

I de tre fall eleverna kommer till steg 3 från steg 4 har detta föregåtts av rörelsemönstret 2-4-3, d.v.s. eleverna diskuterar en faktor, vilken de sedan kvantifierar varefter de diskuterar hur de kvantifierade faktorerna relaterar till varandra.

7 Se beskrivning för Figur 6 på sidan 16.

Vart eleven kommer ifrån Vart eleven tar vägen ⁰ 1

Intressant att notera är att ingen av eleverna använder sig av rörelsemönstret som beskrivs i modelleringscykeln, vilken föreskriver att eleverna rör sig från steg 2 till steg 3 och därifrån vidare till steg 4 (Blum & Leiß, 2007). Vid det enda tillfälle som eleverna går från steg 2 till steg 3 (vilken även beskrivits i Tabell 3) återgår eleverna till steg 2.

4.2.2 Elevers individuella rörelser i modelleringscykeln

För att kunna undersöka om eleverna arbetar enskilt på olika modelleringssteg eller om gruppen arbetar tillsammans och följer varandra under arbetets gång har antalet ”hopp”

sammanställts från de kodade transkriptionerna. Med hopp menas i detta fall att en elev flyttat sig från ett modelleringssteg till ett annat utan att andra elever följer efter. Utifrån det kodade materialet har Tabell 6 sammanställts.

Elev Antal hopp som eleven gör Hur stor andel av elevens interaktioner som är hopp Hur stor andel av gruppens hopp som eleven står för Andelen hopp som eleven gör utslaget på totala antalet interaktioner som gruppen gör Antal hopp som eleven gör Hur stor andel av elevens interaktioner som är hopp Hur stor andel av gruppens hopp som eleven står för Andelen hopp som eleven gör utslaget på totala antalet interaktioner som gruppen gör Antal hopp som eleven gör Hur stor andel av elevens interaktioner som är hopp Hur stor andel av gruppens hopp som eleven står för Andelen hopp som eleven gör utslaget på totala antalet interaktioner som gruppen gör Totalt antal hopp Andelen totala antal hopp utslaget på totalt antal interaktioner för samtliga grupper

V 9 20% 90% 10% 2 4% 11% 1% 0 0% 0% 0%

C 0 0% 0% 0% 15 12% 79% 6% 3 4% 18% 1%

H 1 6% 10% 1% 2 3% 11% 1% 14 13% 82% 6%

Totalt 10 11% 19 8% 17 8% 46 8%

Grupp 3

Grupp 1 Grupp 2

Elevers "individuella" hopp mellan modelleringssteg

Totalt

Tabell 6. Sammanställning övar antalet "hopp" som en elev gör mellan två steg utan att någon annan elev följer efter.

I tabellen analyseras varje elev utifrån fyra olika parametrar: (a) antal hopp som eleven gör; (b) hur stor andel som hoppen utgör av elevens totala antal interaktioner; (c) hur stor andel av gruppens hopp som den enskilde elevens hopp står för; samt (d) hur stor andel som elevens hopp utgör av gruppens totala interaktioner.

Ur tabellen går det att utläsa att andelen hopp, är förhållandevis låg i förhållande till totalt antal interaktioner. Sammanlagt ligger andelen hopp på 8%. Den elev som gjorde flest hopp var C2, vilken genomförde 15 hopp, vilket motsvarar en andel av 12% av elevens totala interaktioner.

Tre av eleverna i tabellen utmärker sig genom att de står för merparten av hoppen. Detta är V1, C2 och H3, vilka tillsammans står för 38 av elevernas totalt 46 hopp. De tre eleverna är även de elever som har flest antal interaktioner totalt under uppgiften, vilket går att utläsa ur Tabell 2. Däremot är andelen hopp betydligt högre än deras interaktionsgrad. De tre elevernas interaktioner står för enskilt för mellan 79% och 90% av sina gruppers hopp och tillsammans utgör deras hopp drygt 90% av det totala antalet hopp som alla eleverna genomförde.

Så varifrån hoppar eleverna och vart fortsätter gruppen sitt arbete efter hoppet? Ur de kodade transkriptionerna går det att göra en sammanställning över hur eleverna har rört sig, vilka presenterats i Figur 18.

0 1 2 3 4

1-2-1 1-3-4 1-5-6 1-6-7 2-1-2 2-3-2 2-4-1 2-4-2 2-4-5 2-4-6 2-6-5 2-7-1 3-1-3 3-2-6 3-4-1 3-4-5 4-1-2 4-1-4 4-3-4 4-5-2 4-5-4 4-5-6 4-6-5 5-3-6 5-4-1 5-4-5 5-4-6 5-6-2 5-6-5 6-2-4 6-4-5 6-5-6 7-1-2 7-1-6