Rörelsemönster för "hopp"
4.3 Resultat kopplat till de enskilda elevernas matematiska idéer och konkreta bidrag i modelleringsprocessen
I detta avsnitt presenteras och analyseras resultaten kopplat till de enskilda elevernas matematiska idéer och konkreta bidrag till modelleringsprocessen. Detta göras först genom att visualisera elevernas arbete genom tre cykelindelade VBG:er (på ett liknande sätt som Albarracín, Ärlebäck, Civil och Gorgoriós (2019) visualiserar delproblem i verksamhetsdiagram, men istället för färgade rektangulära områden har jag nöjt mig med vertikala streck). Därefter analyseras elevernas matematik och diskussioner.
Som visualiseras i de tre VBG:erna i Figur 19 genomför samtliga grupper uppgiften med multipla modelleringscykler. De båda första grupperna genomför uppgiften genom tre8 cykler, medan den tredje gruppen använder sig av sju cykler.
1 2 3 4 5 6 7
0 0 :0 0:00 0 0 :0 2:53 0 0 :0 5:46 0 0 :0 8:38 0 0 :1 1:31 0 0 :1 4:24
GRUPP 1: CYKELINDELAT
Elev V₁ Elev C₁ Elev H₁ Cykel 1 Cykel 2 Cykel 3
1 2 3 4 5 6 7
00:00:00 00:03:53 00:07:46 00:11:39 00:15:32 00:19:25 00:23:18 00:27:11
GRUPP 2: CYKELINDELAT
Elev V₂ Elev C₂ Elev H₂ Cykel 1 Cykel 2 Cykel 3
1 2 3 4 5 6 7
00:00:00 00:03:41 00:07:21 00:11:02 00:14:42 00:18:23
GRUPP 3: CYKELINDELAT
Elev V₃ Elev C₃ Elev H₃ Cykel 1 Cykel 2 Cykel 3 Cykel 4 Cykel 5 Cykel 6 Cykel 7
Figur 19. De tre gruppernas cykelindelade VBG:er
8 Grupp 2:s första cykelindelning går att dela in på två olika sätt, dels som jag har gjort som en stor cykel, dels som åtta separata cykler. I denna del av arbetet diskuterar eleverna faktorn veckodagar, vilken slutförs vid 00:06:19. Arbetet med denna faktor går att dela in i separata cykler, vilket illustrerats i Figur 13 på sidan 22. Valet att i Figur 19 inte räkna med dessa som separata cyklar grundar sig i att de dels behandlar samma faktor veckodagar (vilka eleverna i gruppen behandlar om en faktor), dels att tisdag, torsdag och fredag består av få interaktioner och steg vilket gör det mer logiskt att se dem som en hel cykel snarare än åtta separata.
Utifrån de identifierade cyklerna har en analys gjorts kring vad och av vem som initierar en ny cykel, samt vem som sedan tar initiativet för att driva processen framåt i den nya cykeln, vilken presenteras i Tabell 7.
Genom sammanställningen går det att utläsa att en övervägande majoritet av nya cykler, elva av tretton, initieras genom identifieringen av en ny faktor (eller variabel). I de två resterande fallen initieras cykeln genom behoven av att skriva ner eller kontrollera rimligheten i modellen som eleverna kommit fram till. Med andra ord så är den vanligaste orsaken till att en ny modelleringscykel påbörjas identifiering av en ny faktor.
Vad initierade
Cykel 2 Behovet att skriva ner uträkningarna på papper
C₁ V₁* Rimlighetskontroll H₂ C₂* Ny faktor H₃* H₃*
Cykel 3 Ny faktor V₁* V₁* Två nya faktor C₂* C₂* Ny faktor H₃* H₃*
Cykel 4 Ny faktor C₃ H₃* och C₃
Cykel 5 Ny faktor C₃ H₃* och C₃
Cykel 6 Ny faktor H₃* H₃*
Cykel 7 Ny faktor H₃* H₃*
Grupp 1 Grupp 2 Grupp 3
Tabell 7. Initiering av nya cykler. De elever som har flest interaktioner i gruppen är markerade med ”*”
Vem av eleverna som initierar en ny cykel varierade mellan eleverna i gruppen. Dock syns en klar övervikt av initiering hos de tre elever som generellt interagerar mest i grupperna, detta med en andel av totalt drygt 60%. Likaså är det dessa elever som i samtliga fall tar initiativet för att driva den nya cykeln framåt. Två undantag syns i grupp 3 där cyklerna drivs framåt lika mycket av två elever som interagerar ungefär lika mycket och där interagerandet bidrar till att driva cykeln framåt.
Utifrån Figur 19 och Tabell 7 går det att se att identifieringen av en ny faktor inte bara är ett tecken på hur eleverna angriper och utvecklar sin förståelse för problemet. Det går även att se det som ett sätt på hur nya idéer och bidrag leder modelleringsprocessen framåt, vilket syns i exemplet nedan där grupp 2 vid 00:09:04 går från cykel 2 till cykel 3 genom att identifiera en ny faktor som påverkar problemet.
Elev Vad eleven sa Tid
Modellerings-steg
C
Det finns ju de som äter ganska mycket pizza faktiskt. Tänk på det som i fredags
t.ex…. 00:08:52 6
[kastar pennan och tar huvudet i händerna]…åhhhh. Men om vi skall tänka på… för nu tänker vi [tar pennan och pekar på måndag] här äter 100 tusen människor pizza på måndagar. Hur
många av dem delar pizza? 00:09:04 2 Tabell 8. Exempel på en cykelövergång
Elevernas matematiska idéer och bidrag till modelleringsprocessen går att se även på steget matematisering. Som beskrivits i avsnitt 4.2 ligger elevernas interaktioner på steg 3 betydligt lägre än elevernas interaktioner på övriga steg, vilket även blir synligt vid en närmare analys av det matematiska innehållet i elevernas dialoger som är kopplade till olika matematiska operationer eller algebraiska bearbetningar. Detta innehåll är till stor del helt frånvarande i elevernas samtal (dock med undantag för den tredje gruppens
inledande matematisering av uppgiften). I elevernas lösningar är det svårt att hitta indikationer på att eleverna använder sig av moment som ingår i det centrala innehållet i matematikkursen, moment som skulle kunna användas för att lösa uppgiften, såsom användning av potenser, formulering av uttryck eller ekvationer. De konkreta samtal som går att koppla till matematisering handlar till största del om när och hur eleverna skall använda sig av de fyra räknesätten för sina faktorer, till exempel
” ...för då blir det plus några som äter jättejätteofta och så blir det minus bäbisar och kalopsälskande” (Bilaga E, 00:05:18)
och
”Då får vi bara multiplicera det här med 52, vilket inte är så svårt” (Bilaga D, 00:06:29).
Även om det matematiska innehållet i många fall är tunt i elevernas diskussioner, visar de rika diskussionerna på en vilja till att diskutera och resonera kring matematik. Även om uppgiften skulle kunna lösas på några sekunder genom att eleverna höftat fram ett tänkbart svar, håller eleverna i gång diskussionerna genom att fortlöpande elda på diskussionen och precisionen på lösningen genom att identifiera och resonera kring nya faktorer.
Då eleverna diskuterar matematik synliggörs även olika former av begreppsmässiga missförstånd som eleverna har. Ett tydligt exempel på detta uppenbarar sig i samtliga tre grupper då eleverna räknar på hur många pizzor som äts per år (dock reflekterar inte grupp 1 över denna skillnad, men fastnar i diskussionen kring hur många veckor det går på en månad). När eleverna räknar på antalet pizzor per månad och multiplicerar detta med tolv får de ett annat svar än om de räknar antalet pizzor per vecka och multiplicerar detta med femtiotvå, vilket exemplifieras nedan. I exemplet har grupp 3 räknat ut att om varje person äter fyra pizzor per månad så blir det fyrtioåtta pizzor per år.
Elev Vad eleven sa Tid
fyra pizzor per månad…nej 00:06:30
[V ,C, H skrattar] 00:06:38
V Vad snackar du om? 00:06:39
H
För om man äter en pizza i veckan då blir det 52 pizzor i veckan för det finns
52 veckor om året. 00:06:43
C
…Sant för då äter man ju en varje
vecka 00:06:50
H
Men om man äter fyra per månad så
blir det ju fyrtio åtta. 00:06:53 Tabell 9. Exempel på begreppsmässiga missförstånd som synliggörs genom Fermiproblemet
5 Diskussion
Diskussionsavsnittet inleds med med två delar, ett för respektive frågeställning. I dessa båda delar görs en diskussion kring hur resultaten harmoniserar med tidigare forskning på området. Avsnittet avslutas sedan med en tredje del, vilken knyter samman slutsatserna från de båda tidigare diskussionsdelarna i en klassrumskontext.