RESULTAT AV DIAGNOS

I syfte att undersöka elevernas förståelse för grundläggande begrepp inom taluppfattning, uttryck och ekvationer, har jag genomfört en diagnos med eleverna i årskurs nio. Diagnosen innehåller tretton uppgifter. Uppgifterna behandlar moment som tas upp i grundskolans matematik. De mäter både begreppsförståelse och räkneteknisk förmåga. De flesta av uppgifterna ställer stora krav på textförståelse samt att välja rätt information för att lösa dem. För att kunna lösa uppgifterna måste eleverna utöver räknetekniska färdigheter ha både faktakunskaper och begreppsförståelse. De ska tillämpa sina kunskaper på uppgifter som både kan vara av rutinmässig och icke- rutinmässig karaktär. På

många uppgifter måste de arbeta i flera steg. Vidare måste de förstå uppgiften samt ha en lösningsmetod.

Jag har valt att presentera resultat av diagnosen genom att dela upp elevernas svar i två kategorier. I den första kategorin redovisar jag svaren på de uppgifter där lösningsfrekvensen är över 50 procent. I den andra kategorin kommer jag att redovisa svaren på de uppgifter där lösningsfrekvensen är under 50 procent.

5.2.1 KATEGORI 1

Tabellen nedan visar resultat på de uppgifter där lösningsfrekvensen är över 50 procent. Siffrorna anger hur stor andel av eleverna som svarat rätt eller fel på respektive uppgift.

Tabell 5.1 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127) Rätt Fel Uppgift Skola A Skola B Skola A Skola B

Exempel på fel svar

1a) Skriv i decimalform:

fem hundradelar 81 42 19 58 5/100; 0,005; 0,500; 5 1b) Skriv i decimalform:

fjorton hundradelar 60 30 40 70 0,014; 0,0014; 14/100; 14% 3 Ange ett tal som är större än 50 men

mindre än 50,1

86 79 14 21 50,99; 50,00; 50,25; 50,50; 500

5 Hassan tjänade 18.000 kr per månad. Vid ett tillfälle höjdes hans lön med 4,5 %. Hur stor blev hans lön?

55 52 45 48 26.100 kr; 81.000 kr; 22.000 kr; 4000 kr

6a) Hur skriver man ett uttryck som är tre gånger så stort som x?

82 55 18 45 x^3 ; x3; 3 > x

6b) Hur skriver man ett uttryck som

är 10 mindre än x? 65 21 35 79 10 – x; x/10; x < 10; x^10 9a) Lös ekvationen: x + 5 = 17 79 45 21 55 17x = 5, x = 3,4; 5x = 17; x = 12 + 15 = 17; x = 10 9b) Lös ekvationen: 4x = 32 82 55 18 45 4x + 32; x = 48 9c) Lös ekvationen: x/3 + 8 = 16 62 24 28 76 x = 2; x = 40; x = 2,7; x = 32; x = 9 9d) Lös ekvationen: 0,35x + 0,65x = 2 60 21 40 79 x = 1; x = 0; x = 0,5

Tabell 5.1 visar hur stor andel av eleverna som svarat rätt eller fel på respektive uppgift. Av tabellen framgår det att lösningsfrekvensen för dessa uppgifter för eleverna på skola A varierar mellan 55 % och 86 %, medan det för eleverna på skola B är betydligt lägre, nämligen mellan 20 % och 79 %.

De fem lättaste uppgifterna för eleverna på skolan A, där ungefär 4 av 5 elever svarat rätt är uppgifterna: 1a, 3, 6a, 9a och 9b. Den lättaste uppgiften för eleverna på skolan B är uppgift 3, där ungefär 4 av 5 elever svarat rätt. Vidare har mer än hälften av eleverna på skola B svarat rätt på uppgifterna 5, 6a och 9b. Det är bara på uppgift 5 som båda elevgrupperna har ungefär samma lösningsfrekvens, 55 % respektive 52 %.

Om man studerar uppgift 1 kan man göra den intressanta iakttagelsen, att lösningsfrekvensen för uppgift 1a (elever på skola A) är 81 %, medan den för uppgift 1b är mer än 20 procentenheter lägre. För elever på skola B är lösningsfrekvensen på samma uppgift 42 % respektive 30 %. Uppgiften mäter elevernas taluppfattning. Det absolut vanligaste felet på uppgift 1b är 0,014, som fler än fler än två tredje delar av de felsvarande eleverna angivit. Ett annat felaktigt svar är 14/100. De felaktiga svaren visar att eleverna har svårigheter med begreppet decimalform.

Nästan hälften av eleverna i båda grupperna har svarat fel på uppgift 5. Det vanligaste felaktiga svaret är 26100 kr, som ungefär var fjärde felsvarande elev angett. De har fått 4,5 % av 18 000 kr till 8100 kr (istället för 810 kr) och sedan adderat med 18000 kr. Eleverna har troligtvis inte gjort ett överslag på hur mycket resultatet ungefär bör vara. Ett annat felaktigt svar som förekommer är 22000 kr. Ungefär var femte elev har inte försökt lösa uppgiften. De felaktiga svaren tyder på att eleverna har svårigheter med procentbegreppet och att de inte har klart för sig hur man beräknar delen av det hela.

En annan uppgift där eleverna på skola B hade stora svårigheter är uppgift 6b som behandlar momentet algebraiska uttryck. Endast 20 % av eleverna svarade rätt, medan elevgruppen på skola A visade betydligt bättre resultat, nämligen hela 65 % av eleverna svarade rätt. Det mest förekommande felaktiga svaret är 10 – x. Var fjärde elev på skola B har angett det svaret, medan var tionde elev på skola A gjorde detsamma. Andra felaktiga svar är -10x, x < 10, x^10. Förmodligen är uttrycket ”mindre än” svårt för elever, särskilt för dem på skola B. Var tredje elev i denna grupp har lämnat uppgiften obesvarad, jämfört med knappt var tionde elev i den andra gruppen.

Uppgift 3 var den lättaste uppgiften för båda elevgrupperna och lösningsfrekvensen är 86 % respektive 79 %. Det vanligaste svaret bland elever som svarat rätt är 50,05 som en tredjedel av eleverna angett. Övriga rätta svar är 50,01; 50,03; 50,07; 50,09.

Uppgift 9 prövar elevernas kunskaper inom området ekvationer. Lösningsfrekvensen för 9a och 9b är 75 % respektive 82 % för elever på skola

A, medan den för elever på skola B är betydligt lägre, nämligen 45 % respektive 55 %. Uppgifterna 9c och 9d vållade stora problem, i synnerhet för elever på skola B. Knappt var fjärde elev respektive drygt var femte elev svarade rätt. Det mest frekventa felaktiga svaret på uppgift 9c är x = 8, vilket tyder på att de har glömt multiplicera båda leden med tre, eller att de har svårigheter med tal i bråkform. Ungefär sju av tio elever på skola B och tre av tio på skola A har lämnat uppgiften obesvarad. När det gäller uppgift 9d förekommer följande felaktiga svar: x = 0; x = 0,5 och x = 1. En större andel elever i de båda elevgrupperna försöker inte lösa uppgifterna (36 % respektive 65 %).

Resultatet av felanalysen på uppgifterna i kategori 1 tyder på att:

• Drygt hälften av eleverna har svårigheter med begreppet decimalform, de vet inte hur hundradelar skrivs.

• 50 % har svårt att lösa ekvationer med tal i decimal- eller bråkform. • Cirka 45 % av eleverna uppvisar således en bristfällig förståelse för

procentbegreppet, de har inte kunnat beräkna lönen efter en procentuell löneförhöjning.

• En större andel av elever (48 %) har språkliga svårigheter med uttrycket ”mindre än”.

5.2.2 KATEGORI 2

Här redovisar jag resultat på de uppgifter där lösningsfrekvensen är under 50 %. Resultaten redovisas uppgift för uppgift. Lösningar med samma tankegång eller likartade fel har förts samman, sedan har jag beskrivit vilken lösningsmetod eleven använder och till sist har jag noterat dess brister.

Uppgift 2a. Beräkna i bråkform: 1/9 + 2/3

Tabell 5.2 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127) Rätt Fel

Exempel på lösning _Skola A Skola B Skola A Skola B Beskrivning av metoder Brister 54 12 46 88 1/9+6/9=7/9 54 12 Korrekta beräkningar 1/9+2/3=3/12 10 33 Adderar täljarna för sig och nämnarna för sig Matematiska begrepp, talförståelse 26/3+2/3=28/3 3 Meningslösa beräkningar Förstår ej bråktal Talförståelse, matematiska begrepp (1·2)/(9·2)+(2·6)/(3·6)=12/18=6/9 4 9 Räknefel Uppmärksamhet

9/4+18/9=27/9=3 3 Förstår ej bråktal Talförståelse, matematiska begrepp 9/9+6/9=15/9 3 6 Felaktiga beräkningar. Förstår ej bråktal Talförståelse, matematiska begrepp 1/1+2/3=1/6 6 Svårtydbara beräkningar Talförståelse, matematiska begrepp 0,1+0,6=0,7 6 Felaktiga beräkningar i decimalform Talförståelse, matemetiska begrepp Inget svar 23 28 Går ej att ange

Tabell 5.2 visar att 54 % av eleverna på skola A och endast 12 % på skola B har svarat rätt. Det vanligaste förekommande felet är att eleverna adderar täljaren för sig och nämnaren för sig. Var tionde elev på skola A och var tredje elev på skola B har inte klart för sig hur man adderar två bråk med olika nämnare.

Uppgift 2b. Beräkna i bråkform: 2/3-1/2

Tabell 5.3 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127) Rätt Fel

Exempel på lösning Skola A Skola B Skola A Skola B Beskrivning av metoder Brister 55 6 45 94 4/6 – 3/6 = 1/6 55 6 Korrekta beräkningar 2/3 – ½ = 1

11 24 Subtraherar tälj. för sig och nämn. för sig Talförståelse mat. begrepp 2/3 – ½ = 66 – 50 = 10 6 Förstår ej innebörden av bråktal och decimaltal Talförståelse mat. begrepp 0,6 – 0,5 = 0,1 6 Beräknar uppg. i decimalform Matematiska begrepp

0,66 – 0,5 = 0,16 6 Beräknar uppg. i Decimalform Matematiska begrepp

(2·2)/(3·2) – (1·3)/(3·2) = 7/6

4 Svårtydbara beräkningar Talförståelse mat. begrepp

2/3 – ½ = 5/2 – ½ = 4/2 2 Svårtydbara beräkningar Talförståelse mat. begrepp

4/6 – 1/6 = 3/6 2 Räknefel Uppmärksamhet

Bara fel svar 9 Svårt att ange

Inget svar 26 33 Går ej att ange

Lösningsfrekvensen för uppgift 2b är 55 % respektive 6 %. Här upprepas samma mönster av fel, nämligen var fjärde elev på skola B och var tionde elev på skola A subtraherar nämnarna för sig och täljarna för sig. Några andra felaktiga svarsalternativ uppkom när talen i bråkform skrevs i decimalform och eleverna fick orimliga svar t ex 66 – 50 = 10. De felaktiga svaren visar at eleverna har brister i talförståelse och matematiska begrepp.

Uppgift 2c. Beräkna: 3·2/7

Tabell 5.4 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127) Rätt Fel Exempel på lösning Skola A Skola B Skola A Skola B Beskrivning av metoder Brister 40 6 60 94 3 · 2/7 = 6/7 40 6 Korrekta beräkningar

3 · 2/7 = 6/21 9 27 Multiplicerar både tälj. och nämn. med 3 Matematiska begrepp 3 · 28 = 84 15 Svårtydbara beräkningar Talförståelse Matematiska begrepp 3 · 2/7 = 21 + 2 = 23 9 Multiplicerar nämn. med 3 Talförståelse Matematiska begrepp 3 · 0,3 = 0,9 6 Förvandlar bråktalet till decimaltal, sedan multiplicerar Talförståelse Matematiska begrepp

3/1 + 2/7 = 21/7 + 2/7= 23/7 3 Adderar för att i stället multiplicera

Talförståelse Matematiska begrepp 3 · 7/2 = 21/2 3 Inverterar bråktalet, sedan

multiplicerar Talförståelse Matematiska begrepp 2 · 7/7 · 2/7 = 14 2 Svårtydbara beräkningar Talförståelse Matematiska begrepp Bara fel svar 8 Svårt att ange

Inget svar 35 37 Går ej att ange

Uppgift 2c mäter elevernas kunskaper i multiplikation av ett bråktal med ett heltal. Lösningsfrekvensen är ganska låg för båda elevgrupperna, nämligen 40 % respektive 6 %. Det mest frekventa felaktiga svaret är 6/21, vilket eleverna fick genom att multiplicera både täljaren och nämnaren med 3. En del elever anger orimliga svar som 84, 23, 14, 21/2. Fler än var tredje elev i båda grupperna har inte försökt lösa uppgiften.

Uppgift 2d. Beräkna i bråkform: (6/5)/3

Tabell 5.5 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127) Rätt Fel Exempel på lösning Skola A Skola B Skola A Skola B Beskrivning av metoder Brister 14 0 86 100 (6/5)/3 = 2/5 6 6/5 · 1/3 = 6/15 = 2/5 8 Inverterar nämnaren och sedan multiplicerar

(6/5)/3 = 1,2/3 = 0,4 12 15

Förvandlar bråktal till decimaltal, och sedan dividerar. Svarar i

decimalform. Textförståelse, matematiska begrepp (6/5)/3 = 2,5 3 Svårtydbara

beräkningar Talförståelse, matematiska begrepp (6/5)3 = 10 6 Svårtydbara

beräkningar Talförståelse, matematiska begrepp

5/6 · 3/1 = 15/6 _{4 6} Inverterar 6/5 i stället _{för 3 och sedan}

multiplicerar Matematiska begrepp (6/5)/3 =2/3 4 9 Svårtydbara

beräkningar Talförståelse, matematiska begrepp (6/5)/3 = 0,333 2 3

Utför felaktiga beräkningar i

decimalform Talförståelse, matematiska begrepp Bara fel svar 3 6

Svårt att ange Inget svar 58 55

Går ej att ange

Uppgift 2d vållade stora problem bland elever i båda grupperna. Endast 14 % av eleverna på skola A och ingen av eleverna på skola B har svarat rätt. De elever som svarade rätt använder två strategier. Den ena strategin är att skriva om nämnaren till 3/1 och sedan invertera nämnaren och utföra multiplikation. Den andra strategin är att direkt dividera bråket 6/5 med 3. Den största andelen felsvarande elever förvandlar bråk till decimalform och sedan utför division. En annan feltyp är att utföra multiplikation utan att invertera nämnaren. En mindre andel av eleverna utför beräkningar som är svåra att tolka. Mer än hälften av eleverna i båda grupperna lämnar uppgiften obesvarad.

Uppgift 4. Ett skogsbolag ökade på ett år sin vinst från 0,4 miljarder