Syfte & Frågeställning - Vad ligger bakom en lärares metod

Målet med uppsatsen är att få kunskap om hur lärare ser på introduktionen av matematiskt innehåll för elever och hur det kan göras. Vilka föreställningar är det som ligger bakom varför en viss metod används framför en annan och hur motiveras valet av metod.

1.3 Frågeställningarna

Frågeställningen blir således som följande.

• Hur väljer lärare att introducera ett innehåll?

• Hur motiveras metoden/tillvägagångssättet för introduktionen?

• Vilka föreställningar om inlärning, matematikämnet, undervisning och metod finns hos läraren?

2 Tidigare forskning

Schoenfeld, 1998, har i ett antal artiklar lanserat sin idé om att det är lärarens kunskaper, mål och föreställningar som ligger till grund för de beslut som fattas av läraren i olika situationer, både planerade och oplanerade, som uppkommer under en lektion (Schoenfeld, 1998). Samtidigt verkar det vara så att lärarens uttryckta föreställningar och mål inte alltid är det som eleverna för möta under en lektion. Det kan vara så att läraren i handlingar under en lektion ger uttryck för andra föreställningar än de som läraren själv uttrycker att den har, när detta sker är det naturligtvis så att det är lärarens handlingar som bestämmer eleven reaktion, och inte lärarens uttryckta

föreställningar.

2.1 Kunskap hos läraren

En lärare besitter än mängd olika kunskaper, varav en del av dessa kunskaper kallas praktisk kunskap. Detta är kunskap som läraren tagit del av genom att utöva sitt yrke och kommer primärt från egen erfarenhet av elever i skolan och deras skiftande intresse, styrkor och svårigheter samt metoder för inlärning (Fenstermacher, 1994). Shulman, 1986, beskriver dessa praktiska kunskaper som kunskaper läraren har erfarit men som saknar vetenskaplig teoretisk grund, samt dessutom ofta svåra eller omöjliga att bevisa på vetenskaplig väg (ibid.). Trots detta är minnet av tidigare

undervisningssituationer och andra erfarenheter från skolmiljön en viktig källa till inspiration och vägledning för vilka idéer som brukar fungera i ett klassrum samt för att stimulera nytt tänkande. Vi kan formulera det som att Läraren blir vis av både egen erfarenhet och andra lärares tidigare

erfarenheter och är lika viktigt för undervisningen i klassrummet som den teoretisk kunskap läraren erhållit (Shulman, 1986). Denna typ av praktisk kunskap är alltid närvarande i ett klassrum hos både lärare och elever. Ett exempel kan vara en matematisk uppgift som inleds med texten 'En flotte flyter längs en flod...'.

Redan här har både elever och lärare en god aning om vilken typ av problem det handlar om och vilka olika lösningsmetoder som är användbara till just detta problem. Beroende på vilken årskurs inom skolan det rör, så kan frågan handla om allt från någon enklare beräkning av sträckan flotten färdats i högstadiet till en uppgift om att beräkna en en hastighet efter en viss tid. Läraren associerar texten till tidigare erfarenheter, vilka metoder som användes den gången och hur själva frågan som helhet kan tänkas se ut. Schoenfeld menar att denna typ av associationer inte är begränsade till matematiska problem utan är det sätt som människor förstår och tolkas in omvärld (Schoenfeld 1998).

Inom pedagogiska sfärer brukar även följande tre olika benämningar på kunskaper användas om kunskaper som lärare besitter, allmänpedagogiska kunskaper (general pedagogical knowledge), ämneskunskaper (subject matter knowledge) och pedagogiska ämneskunskaper (pedagogical content knowledge). I en lärares allmänpedagogiska kunskaper ingår det som har att göra med inlärning i allmänhet. Det vill säga, dels hur ett gott klassrumsklimat skapas samt hur en lektion genomförs, hur instruktioner till elever ges och uppmärksamhet från elever erhålls men även

studieteknik och inlärning i allmänhet. Även kunskaper om undervisningsmetodik och hur en sådan metodik kan implementeras i en lektion eller ett arbetsområde är en del av en lärares

allmänpedagogiska kunskaper (Schoenfeld, 1998).

Ämneskunskaper handlar om vad läraren behärskar i ämnet, men även kunskaper om de strukturer och koncept som ligger bakom de formler och metoder som används och varför dessa är både

användbara och giltiga (Shulman, 1986, Schoenfeld, 1998). Om vi återgår till den tidigare frågan om flotten, och antar att den ger följande frågeställning.

'En flotte flyter längs en flod och ökningen av hastighet i början kan approximeras till

v (t )=ln(1+t) där v(t) är hastigheten i m/s efter t antal sekunder. Vilken acceleration har flotten efter 8 sekunder?

För att kunna besvara denna typ av frågor, krävs ämneskunskaper som rör derivata, samt kännedom om ett sätt att angripa denna typ av problem, exempelvis som följer

Vi söker efter v ' (8). v (t)=ln(t+1) → v ' (t)= 1

t+1 → v ' (8)=1

9=0,111... m/ s^2.

Denna typ av lösning kräver kännedom om att derivatan av ln(x) = 1/x, om sådan kännedom saknas måste en härledning, som exempelvis den nedan också göras

Vi vet att : d

dxe^x=e^x och att e^ln(x)=x.

Eftersom f (x)=ln( x) → e^{f ( x)}=x , kan en derivering

av båda sidor och användning av kedjeregeln göras med följande resultat

e^{f ( x)}f ' (x )=xf ' ( x)=1 → f ' (x)=1

Både lösningen av den fråga som ställdes, samt härledningen av derivatan till funktionen är en del av de ämneskunskaper en lärare bör ha för att undervisa om denna typ av problem.

Kategorin pedagogiska ämneskunskaper kan delas in i fyra olika delar. En del handlar om lärarens kunskaper om att lära ut ämnesinnehållet. Det kan handla om att välja ut vilka delar av ett

ämnesinnehåll som är viktigt för eleven, men även didaktiska metoder som kan användas. Nästa del handlar om lärarens förmåga att förstå vilken del av ett ämnesinnehåll som elever brukar ha svårt med samt känna vanliga vanföreställningar och missförstånd som ett innehåll kan ge upphov till.

Vidare behövs även kännedom om vilka läromedel och annat material som finns tillgängligt för undervisning. Detta kan vara materiel för simulering, laborationer, filmer eller animationer och andra tekniska eller praktiska hjälpmedel. Samt till sist ingår även kännedom om olika

representationsformer för ett innehåll samt att läraren har en uppsjö av olika sätt att presentera ett innehåll och är bekväm med att byta mellan dessa när så behövs (Shulman, 1986, Schoenfeld, 1998).

Ett sätt att binda ihop teoretisk och praktisk kunskap kan vara att se kunskap som ett bibliotek.

Teoretisk kunskap är då de böcker som finns i biblioteket, medan den praktiska kunskapen är kännedomen om var dessa böcker står och hur dessa kan göras tillgängliga. Det räcker alltså inte med att besitta dessa typer av kunskaper som beskrivits ovan, utan som lärare krävs det även att dessa kan plockas fram efter behov och användas i det praktiska yrket (Schoenberg, 1998). Med kunskap menas i denna uppsats både den teoretiska kunskap som lärare inhämtar såväl som den praktiska kunskap som läraren erhållit.

2.2 Mål hos läraren

Ett mål kan ses som det läraren vill uppnå med en lektion eller del av en lektion. Det kan vara sociala mål om sammanhållning, kunskapsmål eller aktivitetsmål hos eleverna. En del av dessa mål är uttalade av läraren och gäller bland annat vilka kunskaper läraren vill föra fram och hur arbetet

kommer fortlöpa under lektionen. Andra mål är outtalade eller dolda handlar bland annat om förväntingar på beteenden och socialt samspel eller vilka åsikter som är passande med mera, det senare kallar Broady för den dolda läroplanen (Broady, 1988), och dessa två olika typer av mål överensstämmer inte alltid med varandra. Lärare har en uppsättning uttalade mål med till exempel en lektion. Men i handlandet under lektionen agerar läraren på ett sätt som motverkar att dessa mål uppfylls. Anledningar till varför detta händer är olika, och kan vara att mål står i konflikt med varandra eller att det är skillnad på vad en lärare säger sig ha för mål och vilka outtalade mål som finns (Schoenfeld, 1998).

En typ av mål är den planering som en lärare har med sig in till en lektion. Olika planeringar från olika lärare kan se väldigt olika ut, men det har visat sig att lärare ofta ställs inför likartade problem i undervisningen och därmed också behöver ta ställning till likartade frågor. När detta sker, har det visat sig att lärare planerar olika och ser dessa problem på olika sätt beroende på vilken syn på ämnesinnehåll och läroplan läraren själv har. De föreställningar som finns hos läraren påverkar således, i olika grad, den planering som gjorts och senare också hur de hjälper sina elever i

klassrummet (Superfine, 2009). Ett exempel är mål som handlar om elevengagemang eller att skapa intresse hos eleven. Beroende på hur läraren ser på styrkeförhållandet mellan dessa mål och mål som ämnesinnehåll eller inlärning, påverkas lärarens planering av lektionen, men också hur läraren agerar i klassrummet om eller när en målkonflikt uppstår. Bremholm och Skott menar i sin studie att denna typ av allmänpedagogiska mål ofta, i norden, prioriteras över kunskapsmål. Därutöver menar de att den planering som görs av lärare och de mål de har ofta influeras av de

matematikböcker som finns på skolan, läroplanen (och tolkningen av den), skolkultur och kolleger.

Samt att detta kan ske på bekostnad av lärarens egna erfarenheter och egna idéer om undervisning.

Det vill säga, ibland böjer sig lärare för skolkultur, läroplan och matematikböcker och gör som dessa föreskriver istället för att göra det som läraren själv genom praktisk erfarenhet tror är det bästa för eleven (Bremholm, Skott, 2019. Sullivan,Clarke, Clarke, Farrel, Gerrard, 2013) . Denna typ av mål, eller planering, kallas i uppsatsen för överbryggande mål (Schoenfeld, 1998).

En annan typ av mål kan kallas förutbestämda mål. Dessa mål kan förstås som flödet i en lektion och inbegriper alltså de delmål som finns under en lektion. Det vill säga, vilka mål som finns förutbestämda innan lektionen börjar och som läraren har tänkt att komma igenom under lektionen samt i vilken ordning som de är tänka att uppfyllas. Det kan vara, introduktion, genomgång, räkna själva, avslut eller mer specifika mål rörande en viss del av lektionen, exempelvis en gruppuppgift och vilka mål läraren har med den gruppuppgiften. Därutöver tillkommer mål som uppstår under en lektion till följd av ett avbrott, ett avbrott kan ske när elever ställer oväntade frågor eller ger

oväntade svar eller vid en händelse som gör att situationen kräver att läraren handlar utanför de mål som satts upp före lektionen (Schoenfeld, 1998). Genom att se på avbrottet, vilken typ av avbrott det är samt hur läraren väljer att prioritera och vilka nya mål som uppkommer till följd av avbrottet, kan en bild av lärarens föreställningar erhållas (Törner, et al, 2010). Antag att en elev under en lektion skriver följande felaktiga ekvation i sitt block.

Ekvation(1): (a+b)²=a²+b^2.

Genom att studera hur en lärare förklarar varför detta är fel, kan det ge en bild av vilka

föreställningar läraren har kring matematik som ämne, inlärning och liknande. En lärare som väljer att använda area och geometri för att förklara vad svaret borde har antagligen andra föreställningar jämfört med den läraren som säger att ekvationen ska vara (a+b)²=a²+2ab+b^2. och hänvisar till kvadreringsregeln (Schoenfeld, 2011, Törner, et al, 2010).

2.3 Föreställningar hos läraren

Med föreställningar menas en lärares tankar och idéer kring erfarenhet och förståelse av olika slag.

Detta inkluderar tankar om läraren själv, om deras förmågor inom matematik eller som lärare i allmänhet. Det handlar om hur människor lär sig, om intelligens är något medfött, och som därför är oföränderligt, eller om intelligens kan skapas och läras in av individer. Även syn på matematik som ämne, syn på läroplan, syn på undervisning och lärande, syn på elever och grupper i relation till lärande i allmänhet eller lärande av matematik i synnerhet med mera. Kort sagt, vad en person tror om något. Dessa föreställningar påverkar hur en lärare upplever en situation, vad som är lämpligt och olämpligt i dessa omständigheter och vilka mål som sätts upp för just denna situation samt vilka kunskaper som ska beaktas för just denna situation (Schoenfeld, 1998, Törner, et al, 2010).

Schoenfeld pekar ut följande 4 aspekter (Schoenfeld, 1998).

• Föreställningar om matematikämnet

• Föreställningar om lärande hos eleven

• Föreställningar om undervisning och lärande

• Föreställningar om enskilda elever eller klasser

2.3.1 Föreställningar om matematikämnet

Beroende på läraren föreställningar om matematikämnet, sker ett urval av vilka kunskaper som förordas av läraren i undervisningen. En lärare som vurmar för praktisk tillämpning av den matematik som skolan lär ut förordar en annan typ av kunskap och värdesätter andra delar av matematiken jämfört med den lärare som vurmar för att eleverna ska få inblick i den logiska konstruktionen bakom formlerna och förståelse för hur matematiken hänger ihop (Schoenfeld, 2011). Om vi återgår till ekvation (1), och tänker oss en lärare som framförallt är ute efter praktisk tillämpning. En sådan lärare skulle i detta fall kunna tänkas förorda att eleven lär sig

kvadreringsreglerna utantill, och kvadreringsregeln säger som bekant följande:

(a+b)²=a²+2ab+b^2. .

Läraren som istället värdesätter den logiska konstruktionen och vill ge eleverna förståelse för hur olika delar av matematiken hänger ihop kanske ger en förklaring kopplad till geometri 0likt den nedan.

Ett tredje sett att titta på ekvation (1), som kanske hade använts av en mer teoretiskt intresserad matematiklärare hade varit att ha en mer strikt algebraisk lösning som den nedan

Ekvation 1: Geometrisk lösning

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a∗b+ab+ba+b∗b=a²+2ab+b² . Och härigenom även fått med en härledning till kvadreringsreglen.

2.3.2 Föreställningar om enskilda elever eller klasser

Lärarens föreställningar om enskilda elever eller klasser påverkar hur lektioner läggs upp och vilka mål som finns. Ett exempel där alla detta syns är följande: Läraren ger eleverna instruktioner som följer, 1: Rita upp punkterna A och B i ett koordinatsystem, 2: Rita en linje mellan punkterna A och B, 3... och så vidare. En anledning till att läraren använder denna typ av pedagogik kan vara en föreställning om eleverna att det är detta de klarar av och att en mer avancerad eller abstrakt nivå alternativt frågor som inte har på förhand givna lösningsmetoder skulle förbrylla eleverna och klassen. Lärarens val av pedagogik styrs delvis av lärarens föreställningar om elevernas kunskap (Schoenfeld, 2011). Hos svenska lärare används ofta formuleringar som 'en svag klass/grupp' för att motivera denna typ av förenklade frågor.

2.3.3 Föreställningar om undervisning och lärande

I en studie av en lärare som gjordes av Cohen ingick en lärare som nyligen varit med i

fortbildningkurser för lärare, något som revolutionerad lärarens syn på att lära ut. Denna lärare hade tidigare varit traditionell i sitt sätt att undervisa, vilket innebär att matematikinlärning framförallt handlade om att memorisera fakta och olika metoder för att lösa problem, samt att det fanns ett tydligt rätt och fel. Efter dessa fortbildningskurser ville läraren luckra upp på detta, och istället få eleverna att förstå matematiska idéer och undersöka varför vissa idéer håller och andra inte (Cohen, 1990). Men i Cohens analys av lärarens lektioner såg han inte att några av dessa nya, för läraren, revolutionerande idéer fått ta plats. Det Cohen såg var en undervisning som fortfarande bara hade ett givet rätt och fel svar och en undervisningsmetod i klassrummet som inte främjande utforskande av matematik och elevens förståelse av ämnet (ibid.). I en annan studie av Aguirre och Speer beskrivs en lärare som ser matematik mer som en samling av idéer och kognitiva processer än ett antal fastställda faktum. Studier av matematik blir då framförallt ett utforskande av ämnet och en undervisningen som framförallt behandlar koncept och idéer eleven själv skapar, samt verifiering av detta. Under observation av denna lärares undervisning syntes också att läraren ofta uppmuntrade elever att gissa, skapa begrepp och idéer samt resonera själva. Samtidigt som läraren förklarade varför detta var viktigt, och hur denna process är ett sätt att tillskansa sig matematisk kunskap (Aguirre och Speer, 2000). Det finns alltså ingen given koppling mellan vilka uttalade

föreställningar om lärande och undervisning en lärare har och vad läraren senare gör i

undervisningen i klassrummet. Schoenfeld menar, att det finns en skillnad i en lärares uttalade föreställningar och vad läraren faktiskt gör (och egentliga föreställningar). Det är vad läraren gör som är de sanna föreställningarna om lärande och undervisning i matematik och det är vad läraren gör i klassrummet som påverkar eleverna och elevernas kunskapsinhämtning (Schoenberg, 2011).

Inte vad lärare säger sig (vilja) göra i en enkätundersökning eller vid olika intervjuer.

2.3.4 Föreställningar om lärande hos eleven

I norden finns en stark föreställning hos lärare att aktivitet hos eleverna är viktigt för elevernas lärande. Vilket gör att lektioner ofta planeras med detta som utgångspunkt och på olika sätt jobbar med att aktivera eleverna och att detta ökar elevernas lärande (Bremholm, Skott, 2019). Även andra typer av föreställningar om lärande hos elever påverkar en lektions utformande och hur läraren beter sig i klassrummet. Schoenfeld beskriver en lärare som har en föreställning om lärande som

handlar om att kunskapsbyggande hos elever måste utgå från elevens egen kunskap. Läraren ska alltså inte föra in ny kunskap, utan istället med hjälp av elevens egna kunskaper, leda eleven till nya kunskaper (Schoenfeld, 1998).

2.4 Några undervisningsetoder

Under en lektion kan det förekomma situationer när det finns en konflikt mellan det innehåll som läraren vill hinna med och den pedagogiska idé läraren vill använda. Det kan bero på att den pedagogiska idén som läraren föredrar tar mer tid än en traditionell och föreläsande metod. En lärare uttryckte sig, fritt översatt: 'När huset brinner, varför bry sig om pedagogik? Då lutar man sig mot den trygghet som finns i det systematiska innehållet'. Alltså, när läraren är tvungen att välja mellan en viss pedagogisk idé och det innehåll som läraren vill hinna med, så är det oftast innehållet som får företräde (Törner et al, 2010).

Samtidigt finns det situationer när läraren har en utforskande attityd till matematik som ämne och har föreställningar om undervisning och lärande som bygger på utforskande och meningsskapande.

Men samtidigt kan det finnas en oro att detta sätt att bedriva undervisning och hur en sådan undervisning säkerställer att eleverna erhåller den kunskap de ska ha enligt läroplaner. Det kan finnas en konflikt mellan den pedagogik en lärare vill genomföra under lektioner, det innehåll som läroplaner kräver samt om hur ett gott klassrumsklimat ska bibehållas (Wilson och Cooney, 2002).

2.4.2 Fråga-svar-utvärdering

En metod som finns bland lärare kan benämnas fråga-svar-utvärdering. Enligt den här metoden ställer läraren en fråga till klassen, en av eleverna ger ett svar på frågan, och läraren utvärderar svaret och ger en förklaring runt det svar som eleven gav. De frågor som ställs vid denna typ av metod karaktäriseras av att eleverna redan känner till svaret och svaret mer agerar som språngbräda för vad läraren vill förklara för klassen än en fråga som är till för att se vad eleverna har för

kunskaper eller få inblick i elevernas förståelse. När alla tre steg gjorts har en sekvens av denna metod genomförts och en ny sekvens kan inledas med en annan fråga som utgångspunkt. På det här sättet kan läraren hålla eleverna engagerade samtidigt som läraren har en tydlig struktur över lektionen (Mehan, 2003, Schoenfeld 1998).

Ett problem som kan uppkomma med denna metod är vad som händer om en elev inte svarar 'rätt' på en fråga från läraren, i en studie av inspelade lektioner visade det sig att amerikanska lärare framförallt har två olika sätt att besvara felaktiga svar, där den ena metoden är att helt enkelt ignorera det felaktiga svaret, medan den andra går ut på att läraren tolkar eller omtolkar det felaktiva svaret så att det passar det av läraren förväntade svaret och lektionen sedermera kan fortsätta (Stigler, Fernandez, &Yoshida, 1996).

2.4.3 En Meningsskapande metod

En annan metod som finns kan kallas för en meningsskapande metod, vilket innebär att lektionens syfte är att utveckla elevers egna möjligheter till att skapa mening av det innehåll som en lektion

In document Vad ligger bakom en lärares metod (Page 6-0)