uttrycket:
(0/0/2)
Fokusgrupp 1
Moment 1 Moment 2 Moment 3
Deltagare 3 läser uppgiften högt.
1. ”Två höga poäng. Jaha. Begrepp!”
Paus… 1 startar resonemanget genom att yttra ”jaaaa”
Deltagare 2 och 3 tittar på uppgiften och börjar analysera vad som görs i uppgiften.
2 lutar sig fram och pekar på uppgiften och blickarna från de andra riktas mot pappret.
2. ”Jag tror inte jag har sett procedur förmåga på A-nivå någon gång. Men det borde det ju finnas egentligen .Om man bara vet vad man ska göra så är det ju inga problem.”
Deltagarna börjar fnissa sinsemellan.
3. Resonerar och får blickarna riktade mot sig ”Har dom gjort en sådan
uppgift innan så har dom ju proceduren sedan tidigare. Jaha, vad blir det då?”
Deltagarna tittar på varandra och utesluter olika förmågor.
1.” En procedur och ett begrepp eller?”
Deltagarna 2 och 3 nickar och säger ja.
Procedur och Begrepp
Deltagarna lutar sig framåt och går igenom definitionerna som finns på pappret framför sig.
2. Pekar på uppgiften med pennan
”Det är ju inte namngett något
matematiskt begrepp här.
Uttryckligen, om det vore så. Sen är det ju potenser att hantera. Faktorisering och förkortning. Men man behöver ju inte använda själva
orden och så.”
3.Kliar sig i håret Problemlösning
kan det egentligen vara för man kan ju välja strategi och metod för att lösa en sådan här uppgift.
2. Kliar sig ”Mummh”
3. ”Men dom behöver ju inte
värdera någonting. Så då är det nog inte det då!”
2. ”Ja, begrepp hade vi med där…Hantera procedurer…Ja, men inte att lösa standard uppgifter. Det
är det ju inte riktigt.
Problemlösning, nja. Modellering inte. Då är det väl…”.
1. ”Stå fast med dom då.”
2. ”Jag har inte funderat så mycket på dom om dom har högsta nivå på procedur också. Ja, det kan nog
vara så. Vi står vid.”
1 Vill avsluta resonemanget och väljer lappar…Tillslut får 1 sitt medgivande genom nickningar.
Begrepp och procedur
Deltagarna sträckte lite på sig och så mycket nöjda ut när ”forskaren” läste upp skolverkets
bedömningar,
(begrepp och
procedur) och ville snabbt veta vad nästa bedömning var.
Fokusgrupp 2
Moment 1 Moment 2 Moment 3
Deltagarna funderar en stund innan A säger att det är procedur ”så det skriker
om det”, och B håller med om än med lite fundering kring de begrepp som eleverna måste ha klara för sig. A menar att det kanske är problemlösning också:
C: ”öh, ö, ö,..”(slår med fingrarna i bordet)
De tar bort lappar som de är överens om att det inte är, modellering och relevans.
A: problemlösnings….
C: ja är det inte lite problemlösning (kliar sig i huvudet) det är luriga
uppgifter…(pratar i munnen på varandra, C slår med fingret på uppgiftspapperet)
B: det beror på hur man
definierar..vad är problemlösning? A: Ja
C: det är lite så här tänka..
A: ja men det måste ju komma fram
en…det är ju en procedur?
B: men det är ju regler? A: ja?
C: ..det är ju olika..
B: Då är det begrepp, man måste ju ha
reglerna!
C: ja fast inte begrepp, det är ju ord (med högre röst och eftertryck på ”ord”)
B: är begrepp ord?
C: ja, det är ju….för mig är det det (tittar ned)
B: jaha! (tittar på C)…som trianglar
och rektanglar och…?
C: ja ord liksom…matemat.. (avbryts av B)
B: potens, är det ett ord? C: ja, men det står inte potens! B: potensregler?
C: det är procedur…det är mer..alltså
jag tänker mer problemlösning här.
C går tillbaka till att det handlar om problemlösningsförmåga
A: jag håller nog på problemlösning,
fast det är med begrepp där också, aaaaaa (lutar sig tillbaka mot stolsryggen)
De enas om att det är
procedurförmåga och nog
problemlösningsförmåga.
De läser definitionen för procedurförmågan:
A: procedur…förmåga att hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär, det är det väl inte?
B: jo, det är standardkaraktär (pekar med hela handen) beroende på vilken kurs det
är (lutar sig fram och sätter armarna i kors mot bordet)
A: standardkaraktär för ett A kan det väl
va?
B: javisst kan det det!
A: ..eller standard (tittar på C)…är det
standard? (tittar på B och sen ner på uppgiften)
De börjar diskutera vad standard betyder och B menar att det är väl det som ingår i kursen.
A: ja, då är det ju procedur?
C: men det är två svåra poäng, och det gör
att procedur inte är med så mycket.
De läser definitionen för problemlösningsförmågan och stannar upp på ´värdera valda strategier´ och ´formulera´.
A: Nja, det är kanske inte den då.
B tycker inte att man formulerar någonting:
B: formulera, (hörs inte riktigt vad som sägs, gör rörelser med händerna uppe i luften, bakåtlutad i stolen) ..med 17% per
år, DÅ ska vi formulera och ställa upp nånting!
C: ja, men det är ju inte kommunikationen (pekar på uppgiften) utan problemlösning. C menar vidare att om man inte vet hur man ska göra, så behöver man tänka utanför boxen. C uttrycker att det kanske t.o.m. är två problemlösning eftersom procedur är mer standard.
A säger att det beror på vad man menar med standard, alltså standard för ett A. B menar att A-nivå iså fall inte kan vara standard, varefter C drar slutsatsen att det inte kan vara på A-nivå i så fall och därmed inte procedurförmågan på denna uppgift.
´Forskaren´ frågar om inte förmågorna kan utvecklas på olika nivåer?, varefter de ändå menar att det måste man ju kunna, och beslutar sig ändå för att hålla fast vid
procedur- och problemlösningsförmåga.
När de får veta att skolverkets bedömning är begrepps- och
procedurförmåga, frågar sig B om inte regler kan vara begreppsförmåga. C menar att det är procedurförmåga. C vill ändå hävda att det är problemlösningsförmåga i uppgiften:
B: ..men det tycker jag är om
jag ställs inför ett problem, tex vilket golv jag ska köpa och så ska jag räkna ut det, då är det ett problem för mig, praktiskt liksom, men jag kan ha fel..
C: jag tänker..man ser ett
problem och tänker hur ska jag lösa problemet och vilken metod ska jag använda.
B: ja
C: och här är det ju givna, om
man inte kan det så börjar man ju skriva tio gånger tio tio gånger, och då tänker man att nåt är fel, det tar jättelång tid att lösa på det här sättet och därför är det enligt mig en problemlösning. Det finns ett snabbare sätt, men man måste komma på det och tänka lite utanför boxen
B: ja men det här är ju inte
utanför boxen (pekar på uppgiften), för man ska hålla
sig till det, punkt slut.
B försöker se C:s förslag som möjligt, men kan inte riktigt hålla med:
B: Man kan inte lösa den
genom att ta på nåt annat sätt, nää, jag vet inte, man kan ju
sätta en etta..?
De ger sig i diskussionen och konstaterar att skolverket bedömt det som procedurförmåga
6.4 Uppgift 4.
I en triangel är vinklarna angivna.
a) Skriv y som en funktion av x. (0/1/0) b) Ange funktionens värdemängd. (0/0/2)
Fokusgrupp 1
Moment 1 Moment 2 Moment 3
Här var det tyst en längre tid, så jag var tvungen att sätta igång deltagarna. 1. Satt med bägge händer vid ansiktet, 2. Hade en knuten näve under hakan och 3 hade händerna vid sidan och huvudet på sned.
2. Tycker att det är modellering. Man gör en matematisk modell av denna.
Deltagare 1 lutar sig framåt och säger ”mhum” och väljer snabbt lappen medan deltagare 3 sittandes mot stolsryggen med händerna vid sidan säger ”ja”
1.” Då har vi två poäng kvar.”
Var på deltagare 2 säger högt ”TVÅ POÄNG
KVAR!”
Deltagarna börjar prata lite i mun på varandra samtidigt som de pratar om värdemängd i samband med begrepp och sedan beslutar att det måste vara begrepp. Sedan blir de tysta igen och rör på sig i stolen medan de funderar på den sista förmågan
3. ”Jag skulle vilja säga att det är resonemang.” 1. ”För att?”
3. ”Bra fråga.”
Var på 1 skrattar
3.” Jag vet faktiskt inte!”
Deltagare 2 och 3 för resonemang om de olika förmågorna om vad det är för slutsatser, problemlösning och resonemang som eleverna bör kunna på uppgiften.
2. ”Sicken bra övning det här är.”
1. ”Ja, det här är ju intressant.”
1 påskyndar uppgiften genom att först trumma med fingrarna på bordet för att få uppmärksamhet. 2 och 3 nickar, var på 3 ger sitt medgivande till valen av förmågor.
”Forskaren” frågar om deltagarna är nöjda med förmågorna som de har placerat ut var på deltagare 2 utbrister: ”Vad menar ”forskaren”…är det inte
rätt!!! ”
Deltagarna skrattar högljutt
3. ”Jag känner mig nöjd för att dom måste veta
begreppet värdemängd för annars vet dom inte vad det är och inte kunna gå vidare. Dom måste kunna resonera för att vara säkra på inom vilka marginaler som den här värdemängden hamnar inom.”
Deltagarna 1 och 2 nickar instämmande
4a Modellering 4b Begrepp och resonemang
I del a pratade och gestikulerade deltagare 2 med händerna om situationen i uppgiften är en realistisk situation och jämförde med den första uppgiften och den femte uppgiften som han menar är mer realistiska uppgifter i ett elevperspektiv. Deltagare 2 och 3 påpekade att det är en matematisk konstruktion var på deltagare 1 påpekade på orden i uppgiften
”y som en funktion av x” vilket gjorde att de bytte från modelleringsförmåga till begreppsförmåga.
Begrepp byte
b) Deltagare 3 vill att de ska stå fast vid begrepp, men deltagare 2 sätter igång och börjar lösa uppgiften samtidigt som han pratar för sig själv (private speech). 1 och 3 är inte så intresserade när 2 resonerar högt för sig själv.
Slutligen kommer deltagaren 2 fram till att det inte spelar någon roll vad som är värdemängd respektive definitionsmängd.
2. Genom att visa hur vinklar skapas med händerna för deltagarna får 2 blickarna till sig igen: ”Om man bara tänker sig
en triangel, så kan den bara var
större än noll och minder än
180, men så får man
begränsningar här av 35.
Därför ett matematiskt
resonemang som man gör.” 3. ”Då är det väl begrepp och resonemang.”
2. ”Ja.”
Begrepp och resonemang
Deltagarna grimaserade och var lite besvikna över skolverkets svar. (Begrepp,
Begrepp och
kommunikation)
2. ”Vi hade resonemang istället för kommunikation.” Varpå deltagare 2 utbrister igen
KOMMUNIKATION!!! 2. ”Jahaja, att man ska använda tecknen”.
3. ”Ja, då är det en matematisk kommunikation.” Deltagare 2 förklarade och visade med händerna varför det är matematisk kommunikation genom att använda definitionen.
2. ”Nu när du säger det känns det rimligt, men som det står
här att kommunicera
matematiska tankegångar. Muntligt och skriftligt! Det är
ju inte riktigt någon
tankegång…dom producerar där. Dom producerar ju ett…” 1. ”Hur man skriver det på pappret på ”mattespråket” eller hur tänker du? Hur man
skriver det på ett matematiskt sätt. Att man inte kan skriva: vinkeln kan vara mellan…utan att man måste skriva.”
Deltagare 3 undrade om man hade fått full poäng om man hade använt sig av skrift istället för matematiska symboler.
”Forskaren” svarade att så var inte fallet.
Fokusgrupp 2
Moment 1 Moment 2 Moment 3
De är direkt rörande överens om att en av b)-uppgiftens förmågor är begreppsförmåga utifrån ´ange funktionens värdemängd´, och verbalt förs inget resonemang kring varför, utan tittar på varandra.
På a)uppgiften blir de också snabbt överens om att det handlar om procedurförmåga, men diskuterar inte varför:
A: är det..? B: Procedur? A,B,C: procedur…. C: ja, det är bra tycker jag
B: det passar jämnt med procedur tycker
jag (C tittar på B som tittar ned på papperet)
A: ja
b)-uppgiftens sista förmåga:
B: vad måste man göra?, man måste ha
någon slags insikt här…
C: 180 grader tillsammans (pekar på triangelns hörn)
B: ja
C: och sen så (kliar sig i huvudet) vad y
kan va
A: blir det inte problemlösning då? Eller? C: ..då är ju y typ 145 (kliar sig i huvudet) B: men du vänta, funktionens värdemängd (sätter händerna mot munnen och tänker) A: ja, resonemaaaaang!
C: kommunikation…?
(de tänker lite högt alla, hörs inte vad de säger)
B: värdemängd..
C: då blir det begrepp och sen har vi… *tystnad*
A: resonemang kanske, man måste ju
resonera runt det
C: ja, kanske
B: ja (tar en förmågelapp) det tycker jag
låter väldigt bra
C: det kör vi på (lutar sig tillbaka mot stolsryggen och snabbt tillbaka igen)..mycke bra, mycke bra.
B: kul! (lägger undan uppgiften) a)-uppgiften: procedur
b)-uppgiften: begrepp, resonemang
De konstaterar att de valt procedur på a)-uppgiften varmed B frågar: B: ..och vinkelsumman i en triangel, det är inget begrepp det eller? C: jag tycker procedur låter jättebra B: mm A: ja C: i b) låter begrepp väldigt bra, begrepp är jättebra A: ja, och resonemang C: resonemang A: jag tycker den är
bra jag
(B säger inget mer) a)-uppgiften:
procedur, b)-uppgiften:
begrepp, resonemang
När deltagarna får veta att det på a)-uppgiften handlar om begreppsförmåga:
A: ..för att det är funktionen också då, är ett
ord där, menar dom? Vi sa procedur, och då…
B: Nä, bara vinkelsumman i en triangel,
triangel
C: det blir ju en procedur av det..
B: Om vi inte vet att vinkelsumman i en
triangel är 180 grader, så är vi ju borta, det är ju så (lutar sig fram på stolen och tillbaka igen och sätter armarna i kors på bordet)..då
kan vi ju inte lösa den.
A: nää
C: men vad är det för begrepp, ja det är ju
vinkelsumman
B: vi resonerar ju lite så här att alla begrepp
ska vara så självklara så att det testar vi inte ens, så sa vi ju, så..
A: ja för egentligen ingår ju inte att
vinkelsumman är 180 grader i matte 1-kursen kanske…
B: det gör det kanske.. C: det måste det väl?
De börjar resonera kring att boken inte tar upp det begreppet, och det är ju jättekonstigt tycker de. De tycker det borde vara två förmågor på a)-uppgiften, begrepp men också procedur för att de också ska ´teckna´. När de får veta att det i b)-uppgiften handlar om begrepp och kommunikation istället för begrepp och resonemang, tycker de att resonemang och kommunikation är snarlika i sin innebörd. A läser noga flera gånger definitionen för båda och efter lite jämförelser undrar de om det kanske är så att det är resonemang när man följer, för och bedömer någon annans resonemang, och kommunikation när man gör sitt eget, redovisar och förklarar hur man gör. A ger ett exemel:
Om man har fyra olika lösningar på en ekvation, vem har rätt och vem ha fel? Och motivera. Då behöver de kunna följa andras resonemang, till skillnad från den här uppgiften som de måste redovisa hur de gör.
6.5 Uppgift 5.
Ett tomt akvarium i form av ett rätblock har följande innermått: 1,0 m långt och 4,0 dm brett.
a) Hur högt upp når vattnet om man häller i 10 liter? (1/1/0) b) Ett annat tomt akvarium är hälften så långt och hälften så brett. (1/1/1)
Om man häller i 10 liter vatten även i detta akvarium påstår Peter att vattnet kommer att nå dubbelt så högt upp. Är det sant? Motivera ditt svar.
Fokusgrupp 1
Moment 1 Moment 2 Moment 3
Uppgift 5 var den uppgiften som deltagare 1 var mest involverad i och deltagaren tog taktpinnen direkt och var framme och pekade och visade på uppgiften. 3 ler glatt, när 1sätter igång resonemanget.
1. ”Man måste kunna räkna ut …detta! Öhm Begrepp. Det är olika här.” (pekar på uppgiften och måtten som anges) Sedan följdes en diskussion om enheter och enhetsomvandlingar varpå deltagare 2 och 3 var inne på problemlösning.
Deltagarna läser uppgiften en ytterligare gång för sig själva och börjar konstruera egna bilder utefter informationen i uppgiften.
1.” Oj. Är det här en resonemangsfråga?”
2. ”Man skulle ju kunna lösa den likadant som förra egentligen. Bara att göra…”(läser uppgiften högt och repeterar måtten) *konfunderad blick med veckad panna*
”Nej just det!”
2. Om det inte hade funnits några mått här från början, så kan man göra likadant på uppgift a som på b.
Så därför behöver man inte kanske förändra så mycket…Här bryter deltagare 3 in och säger ”Men man måste ju
motivera!”
2. ”Jo, men det kan man göra genom att bara räkna ut det.” Deltagare 1 och 3 tittar förvånade på varandra.
2. ”Om det nu är så man gör…Måste tänka.” Deltagarna skrattar, stönar och stånkar samtidigt.
2. ”Vad jag menar…om det inte varit några mått alls med
(paus i samtalet) Så kanske det hade varit mer av
resonemang. För stegen i uppgifterna är dom samma. Samma uppgift en gång till.”
Deltagare 1 och 3 fyller i varandras meningar om att det då måste vara resonemang i uppgiften.
1. ”Tar vi likadant då?”
2. ”Ja, men det är väl onödigt att ge dom samma sorts poäng…två gånger samtidigt! Då har dom nog tänkt något annat.”
Efter en stunds överläggande bestämmer de sig efter att 1 ytterligare ännu en gång påskyndar processen genom att lägga ut lappar.
5a Begrepp och problemlösning 5b Begrepp, Problem och Resonemang
Deltagare 2 var undrande om modelleringsförmågan kunde passa in, var på deltagare 1 började läsa högt om definitionen om modellering ”realistiskt tolkande”. Efter en stund av resonemang kring uppgiften valde samtliga deltagare i konsensus att inte ändra på sitt tidigare beslut. Lärarna var helt eniga. 3 lutar sig tillbaka mot stolsryggen och grimaserar nöjd ut. Deltagare 3 sa ”vi är
jätte nöjda”.
De andra två var eniga om att det inte behövde ändras något.
5a begrepp och problem 5b begrepp, resonemang och problem När deltagarna fick skolverkets bedömning (a.begrepp, procedur och b. procedur, problem, problem) blev de lite nedslagna. Det märktes på blickarna och olika grimaser. På a) uppgiften:
2. ”jo, det kanske är
en uppgift av
standard karaktär att räkna på volym och så.”
På b) uppgiften:
3. ”Vi har snöat in på begrepp där.” 1. ”Ja, där var det ”hel” fel.”
Deltagare 2 var inte helt säker på hur skolverket hade gjort sin bedömning och visade på mycket oförstående blick.
2.” Om vi gör det i morgon igen och inte minns det. Så, det är lite glidande, vilket som är vilket…”
Fokusgrupp 2
Moment 1 Moment 2 Moment 3
På a)-uppgiften är det direkt överens om att det handlar om begreppsförmåga och procedurförmåga, som B bekräftar genom att dels säga : B: det är ju ett rätblock (begrepp) och B: ja, man måste ju veta vad det
är man ska räkna ut (lägger ut en begrepps-och en procedurförmågelapp på uppgiftsbladet)
De är lika snabba att komma överens om att det är resonemang, kommunikation och problemlösning i b)-uppgiften, även om B är inne på att det möjligen skulle kunna vara procedur:
B: ja och här måste man ju ha
en,…asså, det är ju pro..(lägger fram en lapp med problemlösning)
A: problemlösning C: ja det låter bra
B: det är ju procedur också, fast
man …ja, men alltså det är ju
A: ja, javisst
B: det måste vara en process (höjer rösten på ”process” och visar med armarna i en vid gest) C: vilken uppgift är det i såna
fall? De ändrar inte problemlösningsförmågan till procedur. När de diskuterar kommunikationsförmåga är B och C överens, och delar på yttrandet varför: B..att man redovisar något.. C:..och hur väl man förklarar
sin lösning…
B: ..så man begriper sig på.. C: ja mycke bra! A är tyst. a)-uppgiften: begrepp, procedur b)-uppgiften: kommunikation, resonemang, problemlösning De är direkt överens om att behålla begrepp och procedur. Och även resonemangs- och kommunikationsförm ågan: A: resonemang tycker jag absolut! C: ja (slår i bordet med raka händer) C: kommunikation tycker jag också (slår med händerna i bordet igen) A: mm B: mm När de kommer till problemlösningsförm ågan sker följande: C: problemlösning A: ja..(lutar sig mot stolsryggen).
B: inte modellering
då? (tittar på C) C: nej
B: nej (lutar sig tillbaka mot stolsryggen, och C lägger undan uppgiften och tar fram nästa) a)-uppgiften: begrepp, procedur b)-uppgiften: kommunikation, resonemang, problemlösning
Skolverkets bedömning på a)-uppgiften är procedur – och begreppsförmåga som de köper direkt utan vidare diskussion om varför. De går vidare och är mer nyfikna på vad skolverket säger om b)-uppgiften, som är procedur, problemlösning, problemlösning. C tycker att det är konstigt att varken resonemang eller kommunikation är med, medans A och B resonerar hur skolverket tänker: A: procedur, det kan ju vara för att man tecknar
uttrycket
B: det är därför inte är problemlösning alltså? A: ja standardkaraktär..,
C: okej, kör på det
A: problemlösning, problemlösning?
C: resonemang och kommunikation kan det ju också
vara
B: procedur..
A: aa, resonemang..måste följa andras uträkningar och
så, om det var det som var det, så går den ju bort…(tittar på C och säger..)..följa, föra och bedöma
matematiska resonemang, det är ju inget resonemang då
Men C håller inte med:
C: Peter påstår att vattnet når dubbelt så högt, då kan
man ju..
B: nä, resonemang är det ju inte (tar bort den lappen) C: men han resonerar ju!
B: nä
C: jo, men han bedömer ju att det är dubbelt så högt.. (tittar på B), det är ju et sorts resonemang som han för
där
B: ja
C: och nu ska du ta ställning till hans resonemang B: ja………men men det är ju ett problem man ställs
inför, och då ska man välja metod liksom och då är det absolut problemlösning…jag kan förstå att det är två
problemlösning på den här.
´Forskaren´frågar varför det inte är problemlösning i a)-uppgiften då som jämförelse. Då tvivlar de igen och tycker att det också skulle kunna vara problemlösning utifrån B:s tidigare resonemang. De läser definitionen för problemlösningsförmågan igen och tycker absolut att det kan vara samma på a)-uppgiften, trots att de vet