Självständigt arbete i matematikdidaktik med
inriktning mot specialpedagogik, 15 hp
Nationella prov som vägledare
i lärares kompetensutveckling
-
ett förebyggande arbete för särskilt stöd i
matematik
Författare: Kristina Klang Fredrik Svensson
Handledare: Andreas Ebbelind
Abstract
The aim of this study is to investigate and to monitor teachers of mathematics when they reason on the abilities as expressed in the curriculum, through problematisation of Swedish national test questions.
Teaching mathematics in Sweden has shown itself to be limited when it comes to setting objectives when based on awareness and knowledge of the abilities. One condition for the teaching to be manageable is that the teachers are aware of the abilities. The intention of this study is to find a way for the teachers through a perspective of development, where the abilities are given meaning. The national tests define many of the abilities and therefore the tests could be a guide in the teachers’ development of the reasoning of the abilities.
The investigation is based on two videotaped focus discussions by high school teachers of mathematics. These discussions are based on national test questions, where the teachers are gradually introduced to the national educational agency’s (henceforth Skolverket) definitions of the abilities and assessments that are given by Skolverket. The theoretical framework of the study is based on collegial teaching perspective and a multimodal- and social semiotic perspective, which is also being used in the qualitative video analysis.
The study shows that the teachers’ reasoning changes during the discussions without Skolverket’s definitions, and the teachers reach a consensus on how the abilities should be interpreted. Skolverket’s definitions had only marginal effects on the teachers’ reasoning regarding the intentions of the abilities. However, the teachers’ interpretations were challenged by the assessments which resulted in an increase in the teachers’ reasoning and interpretations. But the outcome of the study has not given any convincing evidence that an actual increase in knowledge nor awareness of the abilities has occurred. According to research into collegial learning, experts in this field would have been able to support more developed reasoning in line with the intentions.
Keywords
Abilities, competencies, curricula, focusgroup, mathematics teaching, multimodality, national tests, preventive work, professional learning, social semiotic, special support Specialist teacher of mathematics.
Abstrakt
Syftet med studien är att undersöka och följa matematiklärares resonemang kring ämnesplanens förmågor, genom problematisering av nationella provuppgifter.
Undersökningen baseras på två filmade fokusgruppsdiskussioner i vilka gymnasielärare i matematik deltar. Diskussionerna utgår från nationella provuppgifter i matematik, med stegvis introducering av skolverkets definitioner av förmågorna och senare också av skolverkets bedömning av desamma. Studiens teoretiska ramverk utgörs av ett kollegialt lärandeperspektiv och ett multimodalt och socialsemiotiskt perspektiv, som också används i den kvalitativa videoanalysen.
Studien visar att lärarnas resonemang förändras under diskussionen utan Skolverkets definitioner, så till vida att en slags överenskommelse görs, av på vilket sätt förmågorna kan tolkas. Skolverkets definitioner visade sig ha marginell inverkan på resonemangets utveckling i riktning mot Skolverkets intentioner. Skolverkets bedömning tillsammans med definitionerna fungerade däremot som utmanare till lärarnas egen tolkning och skapade genom det ett ökat resonemang. Resonemanget visade dock inte på ökad kunskap och medvetenhet kring förmågornas innebörd, som är förenligt med Skolverkets intentioner. Med stöd av forskning kring kollegialt lärande, skulle ledning av expertis på området kunnat möjliggöra ett resonemang i riktning mot intentionerna.
Nyckelord
Fokusgrupp, förebyggande, förmågor, kollegialt lärande, kompetenser, matematikundervisning, multimodalitet, nationella prov, socialsemiotik, speciallärare, särskilt stöd, ämnesplan.
Tack
Innehåll
1 Inledning ____________________________________________________________ 5
1.1 Bakgrund till studien ______________________________________________ 6
1.1.1 Begreppet inkludering __________________________________________ 7 1.1.2 Särskilt stöd i matematik ur ett förebyggande perspektiv _______________ 8 2 Syfte och frågeställningar ______________________________________________ 9 3 Bakgrund __________________________________________________________ 10
3.1 Matematisk kompetens och dess betydelse ____________________________ 10
3.1.1 Matematisk kompetens _________________________________________ 11
3.2 Ämnesplanens matematiska kompetenser i svensk kontext ________________ 12 3.3 Nationella provuppgifter i relation till ämnesplanens förmågor ____________ 13
3.3.1 Begreppsförmåga ____________________________________________ 14 3.3.2 Procedurförmåga ____________________________________________ 14 3.3.3 Problemlösningsförmåga ______________________________________ 15 3.3.4 Modelleringsförmåga _________________________________________ 15 3.3.5 Resonemangsförmåga _________________________________________ 16 3.3.6 Kommunikationsförmåga ______________________________________ 17 4 Teoretiska utgångspunkter ____________________________________________ 18
4.1 Kollegialt lärande – en form av lärares professionella lärande _____________ 18
4.1.1 Framgångsrikt kollegialt lärande ________________________________ 19
4.2 Multimodalitet och socialsemiotiska resurser __________________________ 21
4.2.1 Multimodalitet som analysverktyg ________________________________ 22 5 Metod _____________________________________________________________ 24
5.1 Urval __________________________________________________________ 24 5.2 Pilotundersökningens inverkan på valda ställningstaganden _______________ 25
5.2.1 Tidsåtgång och frågor till deltagarna _____________________________ 25 5.2.2 Videoinspelning ______________________________________________ 25
5.3 Tillvägagångssätt ________________________________________________ 26
5.3.1 Tillvägagångsätt i fokusgruppsdiskussionen ________________________ 26
5.4 Forskningsetiska ställningstaganden _________________________________ 26 5.5 Tillförlitlighet och giltighet ________________________________________ 27 5.6 Bearbetning av insamlat material och analys ___________________________ 27
5.6.1 Bearbetning av insamlat material ________________________________ 27 5.6.2 Resultatets disposition _________________________________________ 28
5.7 Analysens metodologiska ansats ____________________________________ 29
5.7.1 Videoanalys av samtal _________________________________________ 29 6 Resultat ____________________________________________________________ 30
6.5 Uppgift 5. ______________________________________________________ 38 6.6 Uppgift 6. ______________________________________________________ 40
7 Analys _____________________________________________________________ 42
7.1 Resonemangets utveckling utan teori och utomstående expertis ____________ 42 7.2 Kan vissa förmågor endast visas på hög nivå? __________________________ 44 7.3 Nyckelord som styrmedel när Skolverkets definitioner finns till hands ______ 45 7.4 Betydelsen av skolverkets bedömning av vilka förmågor uppgifterna visar ___ 47
8 Metoddiskussion ____________________________________________________ 48 9 Avslutande diskussion _______________________________________________ 49
9.1 Fortsatt forskning ________________________________________________ 51
Referenser ___________________________________________________________ 52 Bilagor _______________________________________________________________ I
1
Inledning
Specialpedagogiken som kunskapsområde är till hjälp att uppnå delaktighet och gemenskap i en inkluderande skola, då den vanliga pedagogiken inte räcker till (Ahlberg, 2007). Specialpedagogikens viktigaste uppdrag är enligt SOU (1999) att bidra till att lärare ska kunna möta den naturliga variationen av elevers olikheter. Frågan är när den vanliga pedagogiken inte räcker till? Hur ser denna otillräckliga pedagogik ut? Vad anses ge upphov till behovet av specialpedagogiska insatser, hur ser sådana insatser ut och för vem anses sådana insatser lämpliga? Svaren på dessa frågor kommer se olika ut beroende på om de upplevda svårigheterna för eleven anses vara knutna till eleven själv, eller till den lärandemiljö i vilken eleven befinner sig. Som speciallärare i matematik kan det därför finnas anledning att titta närmare på hur den vanliga pedagogiken i matematikundervisning ser ut, men framför allt hur den skulle kunna utvecklas. Räcker den vanliga pedagogiken i matematikundervisningen till?
Ämnesplanen för matematik på gymnasiet (Gy2011) är den som utgör grunden för det vi kallar matematikutbildning på gymnasiet. Syftet med matematiken som ämne är enligt ämnesplanen att eleverna ska utveckla förmåga att arbeta matematiskt, vilket kortfattat kan sägas innebära att eleverna ska ges möjlighet att tillsammans med kursens centrala innehåll utveckla de sju förmågorna begrepps-, procedur-, problemlösnings-, modellerings-, resonemangs-, kommunikations- och relevansförmåga.
Men matematikundervisning i praktiken, både i grundskolan och gymnasiet, har visat sig vara begränsad när det gäller målstyrning av undervisningen som bygger på medvetenhet och kunskap om både innehåll och kompetenser, med tonvikt på det senare (Bergqvist, & Bergqvist, Boesen, Helenius, Lithner, Palm, Palmberg, 2010a, 2010b). Kompetenser kan här översättas till förmågorna i gymnasiets ämnesplan. Undervisningen är otillräcklig när det gäller möjligheterna för eleverna att utveckla centrala matematiska förmågor, utöver procedurhantering. Men Bergqvist et al skriver att inte ens procedurhanteringen kan utvecklas tillfredsställande, då avsaknaden av träning i de andra förmågorna leder till att eleverna lär sig procedurerna utantill. Användning av flera kompetenser menar de skulle ha gett möjlighet att bättre utveckla en matematisk förståelse som också skulle gett procedurerna ett sammanhang. Men det existerar också goda exempel. Det har berott just på lärares höga kompetens och medvetenhet om styrdokumentens intentioner, och att de har bedrivit undervisning i vilken eleverna fått möjlighet genom olika arbetssätt träna på flera av kursplanernas kompetenser. Ett av de viktigaste verktygen för att stödja och styra utvecklingen av matematikutbildning och motverka lärandesvårigheter av olika slag är just införandet av kompetensmålen i ämnesplanerna (a.a.). I vår roll som speciallärare är det av vikt att på ett organisatoriskt plan kunna arbeta med särskilt stöd i matematik. Därför menar vi att det ur ett specialpedagogiskt perspektiv är viktigt att hitta former för att medvetandegöra matematiklärare om kompetensmålens innebörd, för att på så sätt kunna förebygga elevers behov av särskilt stöd. Vi tänker att problematisering av nationella prov kan vara en ingång till att kunna utveckla en sådan kompetens och medvetenhet hos lärare.
att proven ger en bild av hur undervisningen har fungerat i relation till styrdokumenten och proven kan på det sättet utgöra grund för vidareutveckling av undervisningen. En av tankarna med att införa nationella prov är just att lärare ska kunna identifiera utvecklingsbehov både vad gäller elevernas kunskaper och deras egen lärarkompetens (Sjöberg, Silfver och Bagger, 2015).
Boaler (2011) visar i sin forskning i USA att eleverna som undervisats utifrån läroboksstyrt arbetssätt inte lyckas lika bra på de nationella proven i matematik, i jämförelse med elever som undervisats genom ett mer kommunikativt eller projektbaserat arbetssätt, i vilka resonemang, diskussion, utforskande, prövande och utvärderande står på agendan. Svenska elevers resultat beskrivs på liknande sätt, vilket förklaras med att många av böckernas uppgifter är träning i procedurhantering, och få uppgifter tränar de andra förmågorna (Skolinspektionen, 2010). Med det är inte sagt att arbete i läroboken i sig är negativt. Men om undervisningen som beskrivet ovan är läroboksstyrd, d.v.s. boken snarare än målen styr undervisningen, får eleverna inte möjlighet att utveckla förmågan att arbeta matematiskt (Boaler, 2011). För att på ett framgångsrikt sätt ha boken som styrmedel, krävs alltså en professionalitet och förmåga hos läraren att utmana eleverna och veta i vilken grad och på vilket sätt läraren lämpligen kan hjälpa eleverna att utveckla förmågor. Enligt Bergqvist et al har många lärare observerat att de nationella proven gör en annorlunda tolkning av kursplanens mål än till exempel den lärobok de använder, och att proven konkretiserar flera av kompetensmålen. Men provens vägledande roll har trots det inte slagit igenom när det gäller just kompetensmålen (a.a.).
Med utgångspunkt i ovanstående vill vi med denna studie fokusera just på nationella provens vägledande roll. Vi vill undersöka nationella provuppgifters möjlighet att för lärarna ge kompetensmålen innebörd.
1.1
Bakgrund till studien
I nedanstående avsnitt redogörs bakgrunden till studiens uppkomst. Vi är båda intresserade att fördjupa vår egen kunskap ytterligare kring specialpedagogik och särskilt stöd i matematik ur ett skolutvecklingsperspektiv. Som vi skrev inledningsvis kan frågor ställas om vad som anses ge upphov till behovet av specialpedagogiska insatser, hur sådana insatser ser ut och för vem sådana insatser anses lämpliga.
inte kunnat undgå att ställa oss frågor som snarare utgår från det Persson (2007) kallar för relationellt perspektiv, ur vilket utbildningsmiljön behöver beaktas om elevens situation ska kunna förstås. Hur kan matematikundervisningen utvecklas för att ge fler elever, och i idealfallet alla elever, möjlighet att utvecklas så långt det är möjligt? Det är också det perspektiv som både har ideologiskt och politiskt stöd och Aspelin (2013) betonar att det är förankrat i nationella policy- och styrdokument som svensk skola har att förhålla sig till. I den här studien ligger därför det relationella perspektivet till grund för vårt val av problemområde. Vi väljer att utgå från att svaren på vad som ger upphov till specialpedagogiska insatser finns att finna i lärandemiljön, och att insatser också bör göras i den. Vi vill med den här studien kunna hitta former för och bidra till att skapa förutsättningar för lärare att utveckla undervisningen och sin lärandemiljö.
1.1.1 Begreppet inkludering
tillsammans med kamrater och skolpersonal, d.v.s. eleven interagerar med andra och ingår i ett fungerande socialt nätverk. Didaktisk inkludering innebär att de didaktiska förutsättningarna är anpassade så att elevens lärande kan utvecklas på ett positivt sätt. De tre delarna av inkluderingsbegreppet kan fungera som ett praktiskt verktyg för att analysera en elevs eller elevgruppers skolsituation. Det innebär också att fokus förskjuts till pedagogiska åtgärder som möjliggör inkludering ur alla de tre aspekterna (a.a.). Som vi beskrev tidigare är vår erfarenhet att elever som anses vara i behov av särskilt stöd, inte alltid får stöd p.g.a. platsbrist i specialundervisningen eller i sämsta fall p.g.a att eleven anses kunna klara av det på egen hand genom den undervisning som eleven redan har. En förutsättning för att det ska kunna vara framgångsrikt eller till hjälp är att undervisningen är inkluderande och tillvaratar elevernas resurser. Elever som de ovan beskrivna tillbringar sin tid i klassrummet, och tar till synes del av undervisningen som alla andra. De kan också ha ett fungerande socialt nätverk i skolan, men de klarar inte sin utbildning i matematik. Här är det lätt att med Asp-Onsjös analysmodell betrakta undervisningen för dessa elever som icke inkluderande ur ett didaktiskt perspektiv. Vi intresserar oss för frågor om hur lärares förutsättningar för att didaktiskt kunna inkludera elever kan förbättras. Bergqvist et al (2010a, 2010b) menar att kunskap och medvetenhet om förmågorna i ämnesplanen är ett av de viktigaste verktygen för att stödja och styra utvecklingen av matematikutbildning och motverka lärandesvårigheter av olika slag. Kanske är det just att öka förståelsen av vad förmågorna egentligen innebär som vi behöver lägga tid och resurser på, för att lärare lättare ska kunna möta den stora variationen av olikheter. Vi intresserar oss för hur, och ser studien som ett sätt att närma oss lärares utveckling av kunskap och förståelse av förmågornas innebörd. Vi ser det också som ett led i att på ett förebyggande sätt arbeta med det vi idag kallar specialpedagogik eller särskilt stöd i matematik.
1.1.2 Särskilt stöd i matematik ur ett förebyggande perspektiv
Det här arbetet handlar således om det förebyggande arbete som är en del av uppdraget som speciallärare. För att förebygga särskilt stöd i matematik, behöver vi arbeta med att utveckla matematikundervisningen som eleverna tar del av. Matematikundervisningen ska utgå från ämnesplanens centrala innehåll och förmågor. Utifrån forskning som ovan beskriven tillsammans med vår egen yrkeserfarenhet, har vi drivits till att fördjupa vår kunskap om hur kompetensutveckling av lärares kunskaper och medvetande om förmågornas innebörd skulle kunna utformas. Nationella proven är något som för lärare är lättillgängligt och är en del av matematiklärares yrkesvardag, och som enligt Bergqvist et al (2010a, 2010b) kan fungera som vägledare i strävan att utveckla förståelsen av förmågornas innebörd. Vi har därför valt att utgå från nationella provuppgifter i matematik och på vilket vis förmågorna i uppgifterna gör sig gällande. Vi ser det som ett sätt att i enlighet med Englund (1992), problematisera matematikundervisningens innehåll, och som ett led i att kunna utveckla matematikundervisningen.
2
Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie är att undersöka och följa hur matematiklärares resonemang kring förmågornas innebörd förändras genom problematisering av nationella provuppgifter.
• Hur förändras matematiklärarnas resonemang kring förmågorna med skolverkets definitioner?
3
Bakgrund
Mot bakgrund av att det enligt forskningen råder brist på kunskap och medvetenhet om framför allt ämnesplanens förmågor, kan det finnas anledning att beskriva vad kunskap och medvetenhet om förmågorna innebär. I avsnittet presenteras vad det enligt forskningen innebär att vara matematiskt kompetent och betydelsen av det i matematikundervisning. Det presenteras också hur innebörden i de sju förmågorna definieras och förklaras ur ett teoretiskt perspektiv. Nationella provuppgifter och bedömningen antas i studien vara välkonstruerade i avseende på att testa ämnesplanens förmågor. Därför presenteras också provkonstruktörernas utgångspunkt vid konstruktionen av nationella provuppgifter i relation till förmågorna och för dessa gjorda argumentationer.
3.1
Matematisk kompetens och dess betydelse
I både USA och Europa har det väckts intresse kring huruvida kunskaperna hos pedagogerna räcker för att kunna genomföra hög kvalitativ undervisning, då resultaten inom matematiken har försämrats avsevärt (Baumert, Kuntar, Brunner, Voss, Jordan, Klusmann, Krauss, Neubrand & Tsai, 2010). I en studie som genomfördes bland tyska gymnasieelever undersöktes vilka kunskaper hos pedagogerna som hade störst inflytande på elevernas resultat i matematik. De pedagogiska ämneskunskaperna visade sig ha större inverkan på elevens framgång än ämneskunskaperna. Med pedagogiska ämneskunskaper avsågs att kunna lära ut matematiken så att eleverna förstår vad det är som undervisas. Med ämneskunskaper menades lärarens kunskaper i ämnet matematik. Men för utveckling hos den stora variationen av elever, visade sig kombinationen av ämneskunskaper och pedagogiska ämneskunskaper hos läraren utgöra den största skillnaden. Otillräckliga kunskaper i ämnet matematik eller i den pedagogiska ämneskunskapen, visade sig begränsa lärarens kapacitet att kunna förklara innehållet så att det blir förståeligt för den stora variationen av elever (a.a.).
Matematikdelegationen (2004) beskriver lärarkompetens på liknande sätt, som en icke enkel eller väldefinierad företeelse. De menar att den snarare innebär ett samspel mellan ämneskompetens, pedagogisk och didaktisk kompetens och kompetens i bedömning av elever. Ingen av dessa faktorer är ensam avgörande för att kunna skapa en meningsfull inlärningsmiljö eller för att elever ska motiveras att lära sig matematik (a.a.). Det betonas också att en kombination av både ämnes-, didaktisk och pedagogisk kompetens hos lärare inte bara lätt kan erövras utan att det krävs träning genom strukturerade program eller lärande miljöer (Baumert, et al, 2010 och Schmidt, 2012).
faktor för elevers matematiklärande, men poängterar att utveckling av både ämneskunskap och pedagogisk kunskap bör ske parallellt. Ämneskunskapen i skolämnet matematik menar hon är en produkt av matematisk kompetens och angelägenhet i undervisning och lärande i matematik. I USA finns det inget system som försäkrar att lärare får tillgång till den kunskap som krävs för att undervisa i matematik. Trots det förväntas lärare veta vad och på vilket vis de ska undervisa. Det behövs menar Ma att lärare får möjlighet att utveckla sin ämneskunskap när det gäller skolmatematik, när de arbetar med att utveckla sin matematikundervisning. Ma betonar betydelsen av tid till att studera vad som egentligen ska undervisas. Hon är övertygad om att utan en klar idé om vad som ska undervisas, kan ingen tanke om hur det ska undervisas heller finnas. Det finns en skillnad mellan lärare som har god respektive icke god matematiska kompetens, när det gäller att ta hand om den information som de får om elevers lärande och kunnande i matematik. Lärares matematiska kompetens har också betydelse för hur informationen för lärare ger bidrag till elevers fortsatta lärande. Det matematiska tänkandet som pågår i ett klassrum menar hon beror till stor del på just lärarens förståelse av matematiken (a.a.).
3.1.1 Matematisk kompetens
Matematisk kompetens kan beskrivas som förmågan att förstå, bedöma, göra och använda matematiken i olika matematiska kontexter och situationer i vilka matematiken har eller skulle kunna ha en betydande roll (Niss, 2002). Han delar in matematiskt kunnande i följande åtta kompetenser; tänka matematiskt, skapa och lösa matematiska problem, analysera och sätta upp modeller, resonera matematiskt, representera olika matematiska begrepp, hantera matematiska symboler, kommunicera matematiskt samt använda matematiska hjälpmedel och verktyg.Alla åtta kompetenser har att göra med mentala eller fysiska processer, aktiviteter och beteenden, dvs. sådant som kan göras. Men de är inte åtskilda, utan är alla beroende av och överlappar varandra. De åtta kompetenserna kan dels hjälpa till att klargöra vad vi önskar att matematikutbildning ska innehålla och hur den ska fungera. De kan också användas för att beskriva och karaktärisera matematikundervisning, vad som sker i klassrum, vad som eftersträvas med tester och examinationer, och vad elever lär sig. De kan också användas i formativt syfte och som metakognitivt stöd för både lärare och elever i att klargöra och kontrollera deras undervisning respektive lärande (a.a.).
Matematikkunnande och inhämtande av matematikkunnande beskrivs enligt NCTM1
med hjälp av processer och innehållsområden. Processerna beskrivs som de fem förmågorna problemlösningsförmåga, argumentationsförmåga, kommunikationsförmåga, förmåga att se samband och representationsförmåga (Matematikdelagationen, 2004). Tanken är att dessa fem kan användas för att utveckla och använda sig av sina matematikkunskaper. Matematikkunskaper i skolmatematiken delas med avseende på innehåll in i fem områden; tal och operationer, algebra, geometri, mätning samt dataanalys och sannolikhet (a.a.).
kompetens, adaptivt resonemang och produktiv inställning till sin förmåga i ämnet. Till skillnad från NCTM (2000) vill KilPatrick et al undvika en indelning i ämnesområden, för att inte kunnande i matematik strikt ska förväxlas eller översättas till att handla om områden. De vill snarare ha tyngdpunkten på vad som kan göras i matematiken.
Boistrup (2010) visar Björklunds, Petterssons och Tambours modell om matematiskt kunnande, i vilken de har listat innehåll och perspektiv på matematiken. Precis som Niss (2002) beskriver de matematiskt kunnande som 8 förmågor, men där de benämns annorlunda. Förmågorna visualiseras i den inre cirkeln (Figur 1), och utanför vilken också matematikens innehåll görs synligt (Boistrup, 2010). Förmågorna har att göra med logiskt resonemang, definierande, modellering, problemlösning, generalisering, samband, multimodal kommunikation och kritisk granskning. Modellen är basen för processen vid matematisk analysstruktur (a.a.).
Figure 1. Overview of content and perspectives of mathematics. Translated and adapted from Björklund
et al. (2002, p. 54). The processes in the grey circle are partly present in the analytical framework of this study.(Boistrup, 2010, s. 24)
3.2
Ämnesplanens matematiska kompetenser i svensk kontext
på gymnasiet ska ge eleverna förutsättningar att utveckla begrepps-, procedur-, problemlösnings-, modellerings-, resonemangs-, kommunikations- och relevansförmåga (Skolverket, 2011). Deras respektive innebörd beskrivs i ämnesplanen enligt följande:
Begreppsförmåga – förmåga att använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen.
Procedurförmåga – förmåga att hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.
Problemlösningsförmåga – förmåga att formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat.
Modelleringsförmåga – förmåga att tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar.
Resonemangsförmåga – förmåga att följa, föra och bedöma matematiska resonemang.
Kommunikationsförmåga – förmåga att kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.
Relevansförmåga – förmåga att relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang.
Intentionerna bakom förmågorna i ämnesplanen kan sägas ha vetenskaplig grund vad gäller att de lärande ska få möjlighet att utveckla det som man i forskningen menar med matematisk kompetens. Men det finns fortfarande frågetecken kring på vilket vis denna kompetens hos lärare tillsammans med den pedagogiska kompetensen utvecklas och genomsyrar matematikundervisningen. Niss (2002) skriver att KOM-projektet har lämnat många aspekter orörda för vidare studier, som t.ex.: Vem kan främja utvecklingen av kompetenserna? Och hur kan lärare utbildas på alla nivåer?
proven kräver kreativt matematiskt resonemang medan lärares egna uppgifter kan lösas endast med imiterande resonemang, dvs. tidigare använda och kända resonemang. Nedan redogörs argumenterade definitioner av förmågorna, för uppgifter gällande innebörder och exempel på nationella provuppgifter utifrån Boesen (2006) och Palm et al (2004), (jmfr ämnesplanens definitioner av förmågorna, s.13). Relevansförmågan som är en av de sju förmågorna beskrivs inte, då den inte testas i de nationella proven. Relevansförmågan lämnas till läraren att bedöma (PRIM-gruppen, 2005).
3.3.1 Begreppsförmåga
Begreppsförmågan definieras som förtrogenhet med ett begrepp som inkluderar definiering och användning av begreppet. För att ta reda på en elevs begreppsförmåga behövs generellt flera uppgifter med olika infallsvinklar på ett problem (Boesen, 2006). Uppgifter som kräver denna typ av förmåga är dels uppgifter i vilka eleverna blir ombedda att förklara eller tolka grundidén med, samband mellan eller delar av begrepp. Det kan också vara uppgifter i vilka eleverna ges information som ska användas för att nå ett visst påstående eller en viss slutsats. Ovanliga uppgifter och öppna uppgifter kan också kräva denna förmåga. Till sist kan det också vara uppgifter som kräver förståelse av olika representationer av samma matematiska begrepp (s.33).
Du ska bygga ett akvarium av glas på ca 160 liter. Föreslå lämpliga mått. Beskriv hur du kom fram till dessa mått och rita en skiss av akvariet med måtten angivna, (NP kurs A, ht-95, uppg.7, ur; Palm et al, 2004).
Boesen (2006) menar att lösningen till denna uppgift ger indikation på elevens förståelse av begreppet volym, till skillnad från en standarduppgift i vilken volymen ska beräknas utifrån givna mått. Nedanstående uppgift är också öppen, i vilken eleverna ska formulera egna problem. En korrekt lösning kan indikera god begreppskompetens (Palm et al, 2004).
I ekvationen 160 000 · 0,95x = 50 000 betecknar x tiden i år. a) Formulera ett problem som kan lösas med hjälp av denna ekvation. b) Lös ekvationen och ge ett svar på det problem du formulerat, (NP Kurs C vt -96, uppg.8, ur; Palm et al, 2004).
3.3.2 Procedurförmåga
Procedurförmåga handlar om förmåga att i lösningen av uppgifter kunna använda sig av procedurer i ett eller flera steg, där hela lösningssekvensen är välkänd för eleven (Boesen, 2006). Varje steg i proceduren kan ofta beskrivas som en sekvens av enklare steg. Uppgifter som kräver denna typ av förmåga är rutinuppgifter, i vilka eleverna kan använda välkända procedurer för uppgiftstypen, tex lösa ekvationer, förenkla uttryck eller hitta max- och minpunkter för kända funktioner (a.a.).
Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
3y′′ + 6 y′ − 24 y = 0, (NP kurs E vt-02, uppgift 10, Palm et al, 2004).
Bestäm med hjälp av derivata eventuella maximi-, minimi- eller terrasspunkter till kurvan 32 y = 2x3 − 3x2, (NP kurs C vt-00, uppg.6, ur;
Palm et al, 2004).
3.3.3 Problemlösningsförmåga
Förmåga att lösa problem visas när elever inte vet direkt hur problemet ska lösas och det inte finns någon känd lösningsprocedur som kan användas (Boesen, 2006). Eleven behöver kunna konstruera någonting nytt och använda sin kunskap i nya situationer och sammanhang. Speciellt för uppgifter som kräver problemlösningsförmåga är att de kan behöva vara olika för olika elever, eftersom lösningsförfaranden kan vara kända för vissa och okända för vissa. För elever för vilka de är kända kan uppgiften inte visa på problemlösningsförmåga. Uppgifter som kan tänkas kräva denna förmåga är ovanliga uppgifter, uppgifter i vilka den givna informationen är olik sådan som eleverna är vana vid, samt komplexa uppgifter (a.a.).
På ishockeymatcher på Globen i Stockholm kan den som vill köpa ett matchprogram för 25 kr. I slutet av matchen lottas priser ut och matchprogrammet fungerar som lott. På en match mellan Djurgården and Brynäs, lottades det ut tre kryssningar till Helsingfors. Beräkna sannolikheten för att du vinner en av dessa kryssningar om du köper ett matchprogram. Du får själv hitta på information som du behöver för att du ska kunna lösa uppgiften, (NP kurs B, ht-98, uppg.10, ur; Boesen, 2006).
I uppgiften ovan får eleven inte information som normalt fås i liknande uppgifter. Eleven behöver kunna göra rimliga antaganden för att ens kunna påbörja lösningsförfarandet (Boesen, 2006). I nedanstående uppgift är frågeställningen omvänd jämfört med hur mer ordinära uppgifter kan se ut, där volymen eftersöks utifrån givna längder på sidorna (Palm et al, 2004). Denna är mer öppen i vilken svaren kan variera beroende på vilka val som görs i uppgiften. Algoritmer är inte direkt tillämpbara (a.a.).
Du ska bygga ett akvarium av glas på ca 160 liter. Föreslå lämpliga mått. Beskriv hur du kom fram till dessa mått och rita en skiss av akvariet med måtten angivna, (NP kurs A, ht-95, uppg.7, ur; Palm et al, 2004). Observera att denna uppgift gavs som exempel även på hur begreppsförmågan kan visas. Uppgiften ger alltså eleverna möjlighet att visa både på begrepps- och problemlösningsförmåga beroende på elevens tidigare kunskaper och vana i problemlösning.
3.3.4 Modelleringsförmåga
År 1960 uppskattades antalet gråsälar till 20 000 i Östersjön. På grund av höga nivåer av giftiga ämnen började antalet minska drastiskt. Minskningen var exponentiell och år 1980 var det endast 2000 gråsälar kvar.
(a) Vilket var den årliga genomsnittliga minskningen i procent mellan åren 1960 och 1980?
(b) Exponentiellt avtagande modeller, som denna, har en begränsning på sikt. Vilken är begränsningen? (NP kurs C, VT-02, uppg.13, ur; Boesen, 2006).
Första deluppgiften är av känt slag och kan lösas på rutin, medan det för den andra deluppgiften krävs att eleven går igenom hela modelleringsprocessen, och beskriver modellens begränsningar (Boesen, 2006).
3.3.5 Resonemangsförmåga
Resonemangsförmågan innebär en logisk argumentation grundad i specifik teori, som också innefattar att dra slutsatser (Boesen, 2006). Påståenden görs utifrån specifika antaganden och regler, för vilka det mest strikta resonemangen innebär matematiska bevis. Generella uttryck kan nås genom observationer av regelbundenhet. Det innebär i sin tur att förmågan kan innebära ett visst mått av undersökning och försök att hitta mönster samt formulerande, förbättrande och förfinande av olika hypoteser. Kritiskt förhållningssätt till bevis och andra matematiska påståenden är också delar av resonemangsförmågan. Det kan innebära för eleven såväl inlärda och välkända rutiner som problem där inget argument tidigare är känt (a.a.).
Uppgifter som kräver resonemangsförmåga kan vara sådana i vilka eleven ombeds formulera och undersöka hypoteser, analysera och nå någon form av slutsats (Boesen, 2006). Det kan också vara uppgifter som kräver styrkande eller bevis av något, såväl som värdering. Uppgifter som kräver generalisering eller då eleven behöver koppla ihop gamla kunskaper med nya, kräver också resonemangsförmåga. Om uppgiften kräver förklaring av någonting, har eleven möjlighet att också visa resonemangsförmåga. För att lösa nedanstående uppgift behöver eleven både tolka lösningarna och argumentera för valet av lösning (a.a.).
Martin och Johanna ska köpa en ny bil. Johanna fastnar för en bil som kostar 194 000 kr. Martin påstår att värdet på denna sorts bil sjunker med ungefär 17 % per år. De funderar på hur mycket den bilen skulle vara värd om 3 år och var och en beräknar på sitt sätt. Nedan kan du se hur de löst problemet. Johanna: 1 - 0,17 = 0,83 0,833 · 194 000 = 110 927 Martin: 17% + 17% + 17% = 51% 100 – 51 = 49% 0,49 · 194 000 = 95 060
3.3.6 Kommunikationsförmåga
Kommunikationsförmågan handlar om att kunna kommunicera matematiska idéer och tankar både i skriven och muntlig form (Boesen, 2006). Det innebär att kunna ta emot och förstå information med ett matematiskt innehåll, samt själv kunna formulera och uttrycka sig med ett matematiskt språk. Uppgifter som kräver en sådan förmåga är sådana som explicit ber om beskrivningar eller förklaringar till koncept, begrepp, regler eller metoder. Det kan också vara uppgifter som har speciella krav vad gäller matematiskt språk. I nedanstående uppgift behöver eleven förklara begreppet derivata och genom det ges möjligheten att visa sin förmåga att kommunicera matematik. I uppgiften sammanfaller också visandet av kommunikationsförmågan med begreppsförmågan, eftersom det handlar om att kunna beskriva innebörden av ett begrepp (a.a.).
4
Teoretiska utgångspunkter
Här presenteras två teorier utifrån vilka studien har sin utgångspunkt. Utforskandet av hur matematiklärares resonemang förändras har sin teoretiska grund i ett kollegialt lärandeperspektiv. Enligt socialkonstruktivistiska antaganden utformas kunskapen i samspel med andra, och interaktionen ses som en lärandeprocess (Ahrne & Svensson, 2011). Ur ett sådant perspektiv skapas begrepp och uppfattningar om olika fenomen i en social och kulturell värld och upplevs olika beroende på den konstellation man befinner sig i (Egidius, 2008). På vilket sätt resonemanget kring förmågorna utvecklas menar vi påverkas inte bara av de enskilda individernas uppfattning och erfarenhet av detsamma utan också av den kultur som råder.
Thurén (2007) betonar förförståelsens betydelse för lärandet, men menar att det är ett växelspel mellan förförståelse och erfarenhet, mellan teori och praktik och mellan del och helhet. Det brukar också kallas hermeneutisk cirkel, i vilken han menar att en större erfarenhet ger bättre förförståelse. Det gör i sin tur, att man uppfattar finare nyanser, och på så sätt kommer närmare och närmare en verklig förståelse (a.a.). I vår studie handlar det om förståelsen för förmågorna och dess betydelse i undervisningen. Vad innebär det att t.ex. ha god kommunikationsförmåga, och hur kan förmågan utvecklas. Studien skulle med ovanstående val kunna sägas härröra ur en hermeneutisk tradition, i vilken våra föreställningar har betydelse för hur vi upplever och tolkar det vi ser och hör. För att förstå ett verbalt yttrande kan nästkommande yttrande i samtalet studeras. Genom det kan bättre förståelse av hur den andre uppfattat yttrandet fås. Men verbala uttryck förmedlar sällan budskap på egen hand. T.ex. tonläge, gester, kroppsställning och blickar stödjer talet, det språkliga eller kommunikationen i ett samtal (Jewitt, 2011). Öppna armar visar t.ex. öppenhet medan korsade armar kan visa mer avvaktande eller t.o.m. avståndstagande. Framåtlutande kroppsställning kan visa engagemang och intresse, flackande ögon kan visa nervositet eller osäkerhet. Sådana tecken benämns ofta som semiotiska resurser och är verktyg som skapar mening i kommunikationen eller samspelet. Utforskandet av hur resonemanget kring förmågorna och utveckling av matematikundervisningen förändras utgår i studien från ett multimodalt perspektiv. Multimodalitet handlar om att kommunikation och lärande alltid sker med olika semiotiska resurser samtidigt.
4.1
Kollegialt lärande – en form av lärares professionella lärande
lärare till att vara en del av funktionella kollegium kan de se möjligheter att förändra sin roll och det ansvar de har som lärare (Spanneut, 2010). Professionellt lärande beskriver Timperly (2011) som starkt engagemang från lärare att lösa problem relaterat till undervisning och att lära sig i samspel med kollegor. Hon menar att kompetensen hos lärarna inte byggs upp genom kurser och konferenser utan genom medarbetares interaktion i vardagen. Hattie (2009) konstaterar också att största förbättringarna sker där lärarna tillsammans beforskar sin egen undervisning. Detta verkar vara den rådande uppfattningen bland internationell forskning. Svensk forskning visar på samma sak, att det är viktigt att lärandet inte stannar vid individuellt lärande hos några få, utan att lärandet involverar alla medarbetare (Skolverket, 2012; Scherp, 2013; Håkansson 2013). Motorn för lärande och utveckling är den obalans som råder i mötet mellan olika perspektiv (Scherp, 2013). Scherp lägger vikt vid gemensam förståelse, vilket han menar förutsätter ett kollegialt lärande i vilket det handlar om att skapa en dialog där förhållningssättet präglas av lyhördhet och vilja att fördjupa sin förståelse av varandras perspektiv. Det behövs både ett uppifrån och ett nedifrånperspektiv, där uppifrånperspektivet utgörs av läroplaner, skolplaner och kursplaner, medan nedifrånperspektivet utgörs av lärares erfarenhetsvärld. Den kritiska kollegiala granskningen av tidigare lärdomar i relation till vetenskapligt baserade lärdomar är avgörande för att fördjupa den professionella lärprocessen och för resultaten när man sedan tillämpar lärdomarna i handling (a.a.). Mötet och samverkan mellan lärare är således en central funktion för lärares kompetensutveckling. Men bara att mötas och samverka, innebär inte automatiskt att ett lärande sker. Forskning visar att även om tid och resurser funnits för lärare att mötas, för att lösa problem eller lära om läroplaner, så har arbetet motarbetats av artighetsnormer och avsaknad av utmaning (Timperly, 2008). Lärare riskerar att gräva ned sig i rådande arbetssätt som snarare förstärks än förändras och utvecklas. När gruppmedlemmarna lär av varandra är det också viktigt att vara medveten om att tidigare strukturer eller system som kan skapa en obalans eller en känsla av att vara oförmögen att få nya saker att passa in. Enligt Scherp finns det då en risk för att redan befintliga tankemodeller förstärks, även om det speglar verkligheten på ett dåligt sätt (Berg & Scherp, 2003).
4.1.1 Framgångsrikt kollegialt lärande
utvecklas. Scherp (2013) menar att lärares förändring i sitt agerande förutsätter reflektion och kritisk granskning av egna förgivettaganden. Det menar han kan bidra till att lärare drar nya lärdomar, som i praktiken ökar kvalitéten i elevernas lärprocesser. Väsentligt är därför att skapa grupprocesser där individer tillsammans på ett systematiskt sätt tydliggör, sätter ord på och lyfter sina erfarenheter och lärdomar. Den andra viktiga faktorn är att hela tiden reflektera över vad som görs och kontinuerligt utveckla undervisningen. Centralt i det kollegiala lärandet är att de som deltar tränar på att reflektera tillsammans och på ett systematiskt sätt ge varandra återkoppling (Dafour, 2004; Timperly, 2008). De menar vidare att lärandet behöver bygga på ett formativt arbete som innebär en ständigt pågående dialog mellan de som ingår i utvecklingsarbetet. Avgörande för att nå resultat, är att den cykliska processen hela tiden upprepas. När kontinuitet sökts genom att skriva standardprogram istället för genom interaktion och mellan lärare kan det ha sin grund i det som Hargreaves & Fullan (2013) kallar för balkaniserad samarbetskultur, i vilken åtskilda grupper har olika syn på lärande, undervisningsstrategier, disciplin och läroplan. Sådan kultur menar de, leder till dålig kommunikation och likgiltighet eller till att grupper går åt skilda håll. Detta är vanligt i gymnasieskolors kulturer, vilket ofta är anledning till att de är så svårförändrade menar Hargreaves & Fullan. Gemensamt ansvar för vad eleverna lär sig i skolan är av stor betydelse för att undvika balkaniseringens inverkan. Kollegialitet behöver arrangeras för att samarbetskulturer ska kunna etableras. Men det riskerar samtidigt att det pga. tidsbrist förvandlas till snabbt genomförda förändringar eller hastigt hopkallade grupper med avsaknad av fördjupade dialoger och eftertanke (a.a.). Det kallar Hargreaves & Fullan krystad kollegialitet, som de menar tvingar fram kollegialitet och partnerskap rent administrativt. Det innebär att flexibiliteten naggas i kanten och att lärares betydelsefulla självständiga omdömesförmåga kränks. Professionella gemenskaper som istället kännetecknas av kontinuitet, kollektivt ansvar för gemensamma syften med undervisningen, och respekt för varandra har gjort framsteg i sitt dialogutbyte och utveckling av undervisningen (Hargreaves & Fullan, 2013; Dufour, 2004).
Den tredje faktorn är att teori och praktik integreras. Utan en förståelse av teorin och utan att utveckla den, kan förändring i praktiken inte göra någon förändring i elevernas resultat (Scherp, 2013; Timperly, 2011; Håkansson 2013, Hargreaves & Fullan, 2013). Det finns en tendens att relationen mellan teori och praktik ibland blir ytlig och konstlad om inte en djup förståelse av teorin finns. Lärare kan lätt förkasta eller avvisa nya idéer som inte stämmer överens med deras egna och nuvarande idéer, Därför är det viktigt att diskussioner förs på vilket vis de nya idéerna skiljer sig från de gamla och hur det kan påverka elevernas lärande. Detta menar Timperly (2008) är speciellt viktigt för lärarnas tro på och förväntningar på elever som traditionellt underpresterar. Vetenskapligt baserade lärdomar fördjupar den professionella lärprocessen genom att på ett sätt vara en ifrågasättande part till erfarenheter baserade på praktiken (Scherp, 2013, Hargreaves & Fullan).
ämnesplanen och vad som gör skillnad för elever i undervisning. De behöver ha en förmåga att skapa ny kunskap och nya färdigheter som är meningsfulla för lärarna och kunna förena teori och praktik på ett sätt som lärarna upplever vara till hjälp. Målet är att hjälpa lärarna med teoretisk förståelse och verktyg så att de intar ett självreglerande och undersökande förhållningssätt till den egna praktiken (a.a.).
En femte och övergripande faktor är lärarnas eget engagemang i lärandeprocessen så att inlärningen blir djup. Forskningen är rörande överens om att kompetensutvecklingsbehov i skolan inledningsvis behöver letas hos lärarna själva (Scherp, 2013; Timperly, 2011; Håkansson 2013, Hargreaves & Fullan, 2013). Scherp menar att upplevelsen av att något inte är som man önskar, skapar behov av förändring och motiverar försök att hitta lösningar på problem, till skillnad från uppifrån påtvingat innehåll på fortbildningsdagar och konferenser.
4.2
Multimodalitet och socialsemiotiska resurser
Multimodaliteten som teori ger möjlighet att öka förståelsen av dagens meningsskapande (Magnusson, 2014). Med meningsskapande ur ett multimodalt perspektiv menar hon en förmodan om att mening eller betydelse skapas i olika världar av tecken. Det som är centralt i alla teckenvärldar är att det finns möjligheter till meningserbjudanden i flera nivåer, men att betydelsen kan skapas utan konstellation med andra teckenvärldar. Teckenvärldarna kan visualiseras av bilden i figur 2.
Figur 2. Multimodalhjulet, efter NLG 2000:26, vidareutvecklat i Kalantzis & Cope 2012. (Magnusson,
2014, s. 40).
Det ska enligt henne ses som en övergång av resurser istället för att använda fasta system. Enligt Magnusson så är den multimodala teoribildningen teorin om kommunikationen och villkoren som sker i kommunikationen. Men den multimodala teoribildningen och forskningen kring den är fortfarande under utveckling och det råder olika diskussioner om de teoretiska ramverken, begrepp, hinder och forskningsmöjligheter. En viktig grund för multimodal teoribildning är synen på mening från sociosemiotiken, där mening finns och skapas ständigt överallt (a.a.). Boistrup (2010) refererar till Van Leeuwen när hon skriver att semiotik kan kortfattat beskrivas som läran om eller studiet av tecken och hur betydelser av tecken uppfattas och bildas. Inom all kommunikation sker meningsskapande genom semiotikens tillgångar. Han menar att vi skapar egna kombinationer av tecken när vi bearbetar och uttrycker vår förståelse av företeelser eller ting i en sorts transformativ process. Kress (2009) beskriver multimodaliteten och den sociala semiotikens teori som
”[Multimodality and social semiotic theory] together enable an account of communication, of meaning, of learning and, with that, of assessment, in theory and in practice” (Kress, 2009, s. 21).
Kress (2009) menar att dessa två teorier tillsammans möjliggör en utvärdering av kommunikationen i meningsskapandet och lärandet, både i teori och praktik. All kommunikation kännetecknas av semiotiska tillgångar, såsom t.ex. gester och bilder, men Kress betonar att även tystnad är att se som ett semiotiskt tecken. För att förstå nutida komplicerat meningsskapande, så behövs det multimodala perspektivet, menar Magnusson (2014). Sociosemiotiken tillför det multimodala andra dimensioner för förståelsen av meningsskapandet, och accepterar tecken som är kulturellt och socialt situerat. Så, en sociosemiotisk multimodal teori studerar deltagarnas meningsskapande i olika teckenvärldar samtidigt i ett socialt samspel.
4.2.1 Multimodalitet som analysverktyg
Alla uppfattar och ser olika på företeelser och ting. Trots att vi tittar på samma fenomen, tolkar vi det ändå olika. Genom multimodal analys av det visuella menar Jewitt (2011) att vi kan fånga in betydelser och mening av det vi ser. Multimodaliteten ger också ökade möjligheter att erbjuda förutsägelser inom de resurser som finns i semiotiken för kommunikation och konkreta situationer. Vid analys av videoinspelat material är det en fördel, menar Jewitt, att använda multimodalitet. Det ger möjlighet till en mångt större bredd på det visuella. Kommunikationen mellan människor kan studeras genom att titta på vilka tillgångar utöver det verbala språket som sker, tex gester, tonläge i samtalet och hur de interagerar med blicken. Dessa tecken är inom social semiotiken i stort sett, direkt länkade till kommunikationen eller relationen mellan människor och hur det praktiseras socialt. Inom semiotiken handlar det om hur interaktionen mellan aktiviteterna är sammankopplade i det sociala (a.a.). Enligt både Boistrup (2010) och Magnusson (2014), så handlar det om att förstå meningen eller meningsskapandet av olika semiotiska tillgångar i olika situationer under kommunikationen. Exempel på en semiotisk resurs i analysen av videoinspelningen, är hur deltagarna använder eller kommunicerar sin röst för att få feedback på antingen samtycke eller ogillande av något som har resonerats (Boistrup, 2010). Ett annat exempel på en semiotisk resurs kan vara hur deltagare kroppsligen visar hur hon eller han tycker, genom att röra armarna. Även accepterandet av videoinspelning ser Boistrup som en semiotiskt resurs.
5
Metod
Med ovanstående teoridiskussion tillsammans med studiens fokus har vi valt fokusgruppdiskussion som kvalitativ metod för att utforska vad som sker när lärarna resonerar kring förmågorna. Fokusgruppdiskussionen kan enligt Bryman (2011) och Ahrne & Svensson (2011) definieras som gruppdiskussion där en mindre grupp människor möts under en begränsad tid, för att diskutera olika aspekter av ett givet tema. I vår studie handlar det om att samtala om förmågorna i relation till nationella provuppgifter och utveckling av matematikundervisning. Bryman (2011) menar vidare att fokusgrupper kan skapa medvetenhet hos gruppmedlemmarna. Gruppdeltagarna behöver därför väljas så att förutsättningarna för interaktion mellan gruppdeltagarna maximeras, vilket innebär att deltagarna har anledning att förhålla sig till det givna ämnet (Fangen & Sellberg, 2011).
Utifrån syftet har därför matematiklärare på gymnasiet valts att delta, vilka alla har i sitt uppdrag att genomföra nationella prov i matematik med elever. Två lärargrupper från två olika gymnasieskolor valdes ut, som båda var för sig genomgår en fokusgruppsdiskussion. Genom fokusgrupper kan de lära av varandra och omvärdera sin egen förståelse, vilket också ger metoden dess heuristiska art. Vi som genomfört studien har valt att delta passivt i grupperna. Enligt Billingers (2005) konstaterande blir fokusgruppens resonerande kring ett visst fenomen endast fungerande om gruppen i fråga har en viss homogenitet och att intervjuaren intar en passiv roll. För att kunna lyssna på och delta, om än passivt, i diskussionen har vi valt att filma fokusgruppsdiskussionerna. Jewitt (2010) refererar till Kress och Van Leeuwen som menar att det är lättare att analysera data vid en gruppdiskussion om man använder digital teknologi som en videokamera. Fördelen med den videoanalys som följer efter inspelningen av diskussionerna är att den synliggör olika observationer, och att det insamlade materialet kan lära kännas ytterligare, genom repeterad uppspelning och transkribering. Inspelning är på så sätt tänkt att hjälpa oss i analysen med avseende på multimodalitetens påverkan på huruvida resonemanget kring förmågorna utvecklas. Videoanalysen möjliggör också identifiering av personernas intonation, pauser i talet, volym, gester och andra yttranden som kan vara svårfångade i samtal i realtid (Jewitt, 2010).
5.1
Urval
5.2
Pilotundersökningens inverkan på valda ställningstaganden
Vi valde att göra en pilotundersökning för att säkerställa att frågorna till lärarna är relevanta och fungerar väl i relation till studiens syfte. Men Bryman (2011) och Vetenskapsrådet (2002) betonar båda att inte bara frågornas användbarhet, utan undersökningen som helhet också testas och flera olika fallgropar kan undvikas. En pilotundersökning är också av betydelse för om resultatet av studien sedan ska kunna användas och vidareutvecklas (Vetenskapsrådet, 2002). Pilotundersökningen ligger till grund för flera av våra val av frågor för studien, samt metodval.
5.2.1 Tidsåtgång och frågor till deltagarna
Utifrån pilotundersökningen kunde vi konstatera att det tillvägagångssätt och frågor till deltagarna som vi först planerade inte gav oss den information som vi eftersökte. Tillvägagångsättet behövde vara mer styrande för att deltagarna skulle komma att resonera om förmågorna. En alltför icke styrd uppgiftsinstruktion ledde i pilotundersökningen till att lärarna resonerade i större utsträckning om antal och typ av poäng som uppgifterna kunde ge. Ett utvecklat resonemang kring förmågorna uteblev, och resulterade snarare i att nästan alla förmågor kunde relateras till uppgifterna. Tillvägagångsättet för deltagarna har vi därför valt att styra, så till vida att de får ut skolverkets poängutdelning för varje uppgift. Deltagarna får information om att varje poäng motsvarar en förmåga. Tillsammans har de till uppgift att lägga lappar med de olika förmågorna till respektive uppgift, genom vilket vi bedömer ger större möjlighet till resonemang kring förmågorna bland deltagarna.
Ahrne & Svensson (2011) skriver att det är först genom en pilotstudie som man kan se om forskningsfrågor, tänkta materialval och tänkta analystekniker hänger ihop. Genom pilotstudien kunde vi konstatera att de forskningsfrågor vi först ställt inte kunde besvaras på ett tillfredsställande sätt genom det tillvägagångssätt och metodval vi från början hade. Elevlösningar kan enligt skolverket (2014) utgöra en god grund för resonemang kring förmågor och utveckling av undervisningen. Pilotundersökningen visade dock att elevlösningarna på uppgifterna inte gav något ytterligare resonemang, och tog mycket av tiden i anspråk. Utifrån en effektivitetsaspekt och den information vi eftersöker har vi därför valt att i våra forskningsfrågor utesluta elevlösningar. Vi har istället valt att lägga större fokus på att relationen mellan lärarnas val av förmågor i relation till skolverkets bedömning ska utgöra diskussionsunderlaget.
5.2.2 Videoinspelning
5.3
Tillvägagångssätt
Deltagarna i undersökningen, gymnasielärarna i matematik, delges ett missivbrev2 3
veckor innan genomförandet. Missivbrevet innehåller i enlighet med Vetenskapsrådets etiska riktlinjer (Vetenskapsrådet, 2011), information om syftet med undersökningen, övergripande tillvägagångsätt, samt information om att de genom att delta också samtycker till undersökningen. De båda fokusgrupperna följer samma upplägg, med undantag för eventuella frågor och diskussionsämnen som kan komma att bli aktuella i de två olika grupperna. Vi intresserar oss för hur resonemanget kring förmågorna förändras, vilket kan komma att vara olika för de två grupperna. För att inte inspelningen ska påverka deltagarnas spontana diskussion i alltför stor utsträckning deltar vi som som genomför studien i filmen, och kameran ställs på ett avstånd så att alla gruppdeltagare inklusive oss själva finns med i bild under diskussionen.
5.3.1 Tillvägagångsätt i fokusgruppsdiskussionen
Gruppdeltagarna får ut sex olika uppgifter från nationella prov i matematik 1 på gymnasiet3. De valda uppgifterna saknar sekretess och dess karaktär är blandade i fråga
om innehåll, kunskapsnivå och förmågor. För att undvika att resonemangen ska resultera i att deltagarna väljer flera eller alla förmågor till uppgifterna, visas poängen som uppgiften ger enligt skolverkets föreskrifter. Varje poäng motsvarar en förmåga, vilket tydliggörs för gruppdeltagarna. Poängen visas med E, C respektive A-poäng, som tex (1/1/0). Det innebär att uppgiften kan ge en E-poäng, en C-poäng men inga A-poäng. Innan undersökningen börjar får deltagarna ett stort antal lappar med skolverkets sju förmågor. Antalet lappar med respektive förmåga är så stort att de inte ska kunna ge någon ledtråd till vilka förmågor uppgifterna kan tänkas visa. Deras första uppgift är att tillsammans placera ut förmågorna som de anser tillhör respektive uppgift.
Gruppdeltagarnas andra uppgift är att resonera kring om de vill ändra sina val då de av oss får Skolverkets definitioner för varje förmåga4. De ändrar i enlighet med vad de
tillsammans kommer fram till.
Inför gruppdeltagarnas tredje uppgift får de skolverkets bedömning av vilka förmågor som krävs i varje uppgift. Deltagarna får möjlighet att resonera kring Skolverkets bedömning i förhållande till sin egen.
5.4
Forskningsetiska ställningstaganden
Deltagarna i fokusgrupperna har informerats om studiens syfte, tillvägagångssätt och deltagandets frivillighet i enlighet med vetenskapsrådets etiska riktlinjer5
(Vetenskapsrådet, 2011). Innan underökningen försäkrade vi oss om deras samtycke till videoinspelningen. Deltagarna ska garanteras att videomaterialet endast studeras av oss i studiesyfte och att studiens resultat används konfidentiellt i enlighet med Vetenskapsrådets konfidentialitets – och nyttjandekrav.
2 Bilaga 1; Missivbrev
3 Bilaga 2; Undersökningens nationella provuppgifter. 4 Skolverkets definitioner av förmågorna; s.13
5 De fyra etiska riktlinjerna enligt vetenskapsrådet: Informations-, samtyckes-, konfidentialitets-, och
5.5
Tillförlitlighet och giltighet
Tillförlitligheten och giltigheten i studien kan diskuteras utifrån de fyra kriterierna; trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet och möjlighet att styrka och konfirmera enligt Bryman (2011). För att komma så nära verkligheten som möjligt när vi tolkar det som deltagarna säger, tänker vi oss att videoinspelningen är till hjälp genom att vi kan lyssna och titta på inspelningen om och om igen. Valet att göra undersökningen i två fokusgrupper från två olika skolor, innebär att det på något sätt blir två olika sociala kontexter utifrån vilka diskussioner om överförbarhet kan föras. För att studien ska vara pålitlig ges en fullständig och tillgänglig redogörelse av vår problemformulering, valet av skolor, valet av de personer som ska ingå i de två fokusgrupperna, valet av matematikuppgifter, val av på det sätt vilket deltagarna förväntas genomföra uppgiften, valet av frågor som vi väljer att ställa, och de beslut vi tar när det gäller analysen av materialet. Ahrne & Svensson (2011) beskriver det som transparens, och menar att studien på så sätt också blir möjlig att diskutera och kritisera. Det är vid analysen av insamlat material viktigt att de teorier som vi valt ska ligga till grund för studien inte påverkar resultatet i någon riktning utan bara fungerar som stöd i analysen. På samma sätt behöver vi försöka säkerställa att egna värderingar inte påverkar undersökningens resultat.
Vi intresserar oss i studien för huruvida deltagarna kan öka sin förståelse genom diskussionen. Vad vi kan se genom undersökningen är om och hur de under arbetets gång kompletterar eller förändrar sina resonemang under diskussionen kring uppgifterna. Med det som utgångspunkt kan det finnas anledning att också titta på Cuba och Lincolns kriterier på äkthet som Bryman (2011) beskriver. Dessa behandlar om undersökningen ger en rättvis bild av de olika åsikter som finns bland deltagarna i gruppen (Bryman, 2011). Vidare skriver han att det handlar om huruvida undersökningen hjälper deltagarna att komma fram till en bättre förståelse för sin sociala verklighet och en bättre förståelse för varandras syn och upplevelse av saker. I vår studie handlar det om synen på förmågorna och dess innebörd i undervisningen. Leder undersökningen till att deltagarna kan förändra sin situation, och fått bättre möjligheter att vidta åtgärder? Denna typ av kriterier har kritiserats för att kunna vara partisk i sin inriktning (Bryman, 2011), men förespråkas också av andra p.g.a. motivet att engagera människor i lösningar till problem. Vi undersöker i studien om analysen av matematikuppgifterna i relation till förmågorna kan engagera deltagarna till att utveckla sin undervisning för ökad måluppfyllelse, och menar att dessa kriterier kan hjälpa till att säkra studiens trovärdighet.
5.6
Bearbetning av insamlat material och analys
I den här delen beskrivs hur det insamlade materialet bearbetas med avseende på transkribering och presentation av resultat och analys.
5.6.1 Bearbetning av insamlat material
Figur 3. Del av transkribering av videomaterialet från en av studiens fokusgruppsdiskussioner.
Vi båda som genomför studien analyserar videomaterialet från de båda fokusgruppsdiskussionerna. Videomaterialet studeras upprepade gånger, för att få syn på de semiotiska resurser som deltagarna använt sig av. När transkriberingen är gjord studeras vissa intressanta sekvenser i videomaterialet ytterligare.
5.6.2 Resultatets disposition
För var och en av de sex nationella provuppgifterna presenteras de två fokusgruppernas resultat var för sig. Resultaten för de bägge grupperna presenteras i tabellform med avseende på tre moment (figur 3). Det första momentet visar resultatet för deltagarnas resonemang om förmågorna utan Skolverkets definitioner. Det andra momentet visar resultatet för deltagarnas resonemang om förmågorna med skolverkets definitioner. Det tredje momentet visar deltagarnas resonemang om förmågorna med skolverkets bedömning av vilka förmågor som uppgifterna kan visa.
5.7
Analysens metodologiska ansats
Vi har för studien valt en hermeneutisk ansats i vilken förståelse, tydliggörande och tolkning av det som undersöks är centralt (Kvale & Brinkmann, 2013; Bryman, 2009). Avgörande för resultat och slutsatser är på vilket sätt vi som genomför studien tolkar det som uttrycks och sker i interaktionen.
5.7.1 Videoanalys av samtal
6
Resultat
6.1
Uppgift 1.
Adam köpte en begagnad moped. Den kostade 10 000 kr. Efter x år är (2/0/0) mopeden värd 10000 ∙ 0,8. Hur stor värdeminskning i procent per år?
Fokusgrupp 1
Moment 1 Moment 2 Moment 3
a) 2 Kliar sig på örat, pekat på uppgiften och säger Begrepp.
1 (kliar sig vid munnen) 3 (lite bakåt lutande) bägge säger JA och tittar på varandra. Begrepp
b) 3. Kliar sig i håret, blickar på uppgiften och säger: Kanske problemlösning?
De andra deltagarna tittar på lapparna 2. Jaaa
3. ler och ser nöjd ut medan de andra funderar.
1. Pekar på uppgiften ”Jag vet inte…Upprepar frågan. Ett begrepp till kanske?” Inväntar blickar från de andra två. 2. ”Det skulle det också kunna vara…eller
problemlösning… eller…hur mycket ska man lösa?” *tystnad*
Sedan följs ett resonemang bland deltagarna om de andra förmågorna, och blickarna går från den ena till den andra för att få respons till sitt resonemang.
2.” Vilket som, mellan problem och begrepp.
Vad tycker ni?”
Deltagare 3. Frågar ”forskaren” om det kan vara två likadana? Ja svara ”forskaren”. 1. Säger:” Har man väl slagit in det på
miniräknaren så får man ju ut det på något sätt. Är det då ett begrepp till då?”
Deltagare 2. och 3. Uhmmm Skruvar lite på sig.
1. ”Jag tror inte att skolverket tror att det är
problemlösning…”
3. ”Två begrepp, för vet man det ena så vet
man det andra…”
2. ”Kommer på att det kan också vara
procedur.”
3. ”Hur tänker du då?”
2. Pekar på uppgiften ”För att de vet att det
är förändringsfaktorn…och då är det snarare…Nej det är det inte.”
1.”Vi kör på begrepp.” tar lappen och lägger den.
Begrepp, Begrepp
2. Visar på en förmåga från pappret. ”Det vi tänkte på innan
att procedur inte brukar vara på så hög nivå. För att det är
uppgifter av standard
karaktär.” Tittar på 3 för uppmärksamhet.
3. ”Så då är det inte det.”
Rynkar på pannan.
2. ”Att använda matematiska som vi satt där.”
3. ”Innebörden att använda eller beskriva matematiska begrepp samt samband. Då borde det inte vara en begrepps fråga.”
Deltagare 3 lutar sig fram: 3. ”Tycker att det är en
procedurs fråga i så fall…”
2. ”Ja för det är av standard
karaktär. Svårt att lösa utan och verktyg…”
Diskussionen fortsätter mellan 2 och 3 om det kan vara procedur dessutom, medan blickarna och handrörelserna går emellan de och pappret. 1 följer deltagarna 2 och 3 med blicken.
2. ”Jag tänker att standard karaktär när det gäller sådan här uppgifterna, då är det snarare..”
3. ”Att få svaret?”
2. ”Nja, man får 10000 och
minskningen i %. Ställ upp och räkna ut. Att det är mera standard karaktären. Lite baklänges och därför en…”
3. ”Jag ger mig. Två begrepp,” Lutar sig tillbaka i stolen.
Begrepp, Begrepp
Deltagarna läser: *Begrepp och procedur*
Diskussionen fortsätter mellan deltagarna 2 och 3 och de pekar och nickar mot varandra.
2. ”Vi var väl lite inne på det
eller.. Var det, det vi bytte?”
3. ”Nä”
2. ”Ja, för jag sa ju att det
inte var av standard karaktär. För att den var baklänges.”
3. ”Jag tänker att, fast jag
tänker ändå procedur där. Det var inte så förvånande.” ”Vad är det som är
procedur då?”
2. ”Att lösa uppgiften och
man har formeln och så ska man beräkna. Det är en procedur uppgift.”
1 Lutar sig fram. ”Men vi
tyckte inte att det såg ut så!”
2. ”Nej, för man gör ju ingen
procedur egentligen. För svaret är ju…proceduren är ju att gå från förändringsfaktor till procent.” 3. ”Vad sa du nu?”
2. Pekar på uppgiften. ”Att
proceduren är ju då att omvandla
