Ekvationslösning och dess svårigheter

Mälardalens högskola är en av Sveriges största högskolor. Nära Besöksadress: Drottninggatan 12 Besöksadress: Högskoleplan 1 Webb: www.mdh.se samarbete med omvärlden gör våra utbildningar attraktiva för Postadress: Box 325, 631 05 Eskilstuna Postadress: Box 883, 721 23 Västerås E-post: info@mdh.se studenter – och våra studenter attraktiva på arbetsmarknaden. Tfn: 016-15 36 00 Fax: 016-15 36 30 Tel: 021-10 13 00 Fax: 021-10 13 20 Org.nr: 2021002916

kommunikation

Ekvationslösning och dess svårigheter

Solving equations and its difficulties

Triet Huynh

Examensarbete för lärarexamen Handledare: Katalin Földesi i kunskapsområdet matematik Examinator: Andreas Ryve VT 2009

Sammanfattning

Syftet med examensarbetet är att hitta elevers svårigheter med ekvationslösning i kursen Matematik B på gymnasieskolan samt att granska elevers lösningsmetod i syfte att se om eleverna använder den effektiva lösningsmetoden vid ekvationslöningen. För att belysa problem omkring ekvationslösning och elevernas lösningsmetod utförs ett test med uppgifter av gymnasieelever. Undersökningen har genomförts i fyra gymnasieskolor. Resultatet av testundersökning visar att elever har ett betydligt antal svårigheter vid ekvationslösningen, bland annat tillämpning av räkneregler och räknelagar. Svårigheterna beror på att elevers uppfattning och tolkning av algebraiska uttryck är begränsad eller bristande. Nästan alla deltagande elever har inte någon tanke eller några strategier att lösa ekvationer på ett effektivt sätt. I högre grad väljer elever att lösa ekvationer med en formell lösningsmetod (Den icke effektiva lösningsmetoden).

Nyckelord: ekvationslösning, den effektiva lösningsmetoden, ekvationer, algebraiska uttryck

Innehållsförteckning

Sammanfattning ... 2

1. Inledning ... 5

1.1 Syfte och frågeställningar ... 5

1.2 Arbetets disposition ... 6

2. Litteraturgenomgång och teori ... 6

3. Metodologi ... 11

3.1 Urval av deltagare ... 11

3.2 Datasamlingsmetod ... 11

3.3 Tillvägagångssätt – Datainsamling i gymnasieskolor ...12

3.4 Testuppgifter ...12

3.5 Etiska ställningstaganden ... 15

4. Resultat ...16

4.1 Presentation av resultat ...16

4.2 Det allmänna resultatet ... 17

4.3 Svårigheter vid ekvationslösningen ... 18

4.3.1 Svårigheter med uppgift 1 ... 18

4.3.2 Svårigheter med uppgift 2 ... 20

4.3.3 Svårigheter med uppgift 3 ...21

4.3.4 Svårigheter med uppgift 4 ... 23

4.3.5 Svårigheter med uppgift 5 ... 24

4.3.6 Svårigheter med uppgift 6 ... 26

4.4 Den effektiva lösningsmetoden ... 28

4.4.1 Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 1 ... 30

4.4.2 Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 2 ... 31

4.4.3 Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 3 ... 32

4.4.4 Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 4 ... 34

4.4.5 Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 5... 35

5. Slutsats ... 36

6. Diskussion ... 39

6.1 Vidare forskningsansats ... 40

Litteraturförteckning ...41

1.

Inledning

I dagens skolor upplever elever matematik som ett svårt ämne. Ekvationer tillhör ett av de svåra begreppen i matematik. Och speciellt anses ekvationer vara svåra när det gäller att kunna hitta lösningar till ekvationerna. Det som anses vara svårighet med ekvationer är ekvationslösning eftersom ”en förutsättning för att lösa ekvationer är att man förstår likhetstecknets innebörd.”(Löwing, 2008, s. 287). Under lösningsprocessen kräver det att elever behärskar räkning som förankras i aritmetik och dessutom kan elever hantera algebraiska uttryck och relationellt tänkande (Boesen m. fl. 2006). Ekvationer kan innehålla flera variabler men i Matematik B (Ma B) på gymnasieskolan har ekvationen en obekant variabel. Under min tidigare VFU-undervisningspraktik i gymnasieskolan har jag upplevt att när det kommer till ekvationer har elever ett antal svårigheter med ekvationslösningen. Dels beror dessa på att elevers förmåga att använda olika räknelagar och räkneregler är begränsad, exempelvis tillämpning av prioriteringsregler, kvadreringsregeln och konjugatregeln, dels kan de inte hantera algebraiska uttryck vid förenkling av algebraiska uttryck. Förutom de beskrivna svårigheterna som elever haft har de dessutom svårt att tolka algebraiska uttryck och undersöka resultat, dvs. att elever prövar lösningen.

Under min undervisningspraktik har jag upplevt elevers svårigheter vid ekvationslösningen. Denna upplevelse har gjort intryck på mig. Tanken att kunna undersöka problemet kring ekvationslösning samt elevers lösningsmetod, dvs. att jag vill se om elever löser ekvationer med den effektiva lösningsmetoden, blir äntligen en verklighet när man kan göra en sådan undersökning i examensarbetet. På det viset kan man gå till botten med de svårigheterna som elever har med ekvationslösningen samt belysa elevers lösningsmetod genom att studera elevers lösningar.

1.1

Syfte och frågeställningar

För att undersöka elevers svårigheter med ekvationslösning är ett test med uppgifter det första alternativet. Testet kommer att utföras bland gymnasieelever och det är mycket spännande att se hur hela undersökningen går till och hur elevers lösningar ser ut. Är ekvationer verkligen för svåra för elever att lösa? Vilka svårigheter finns det vid ekvationslösningen? Använder elever den effektiva lösningsmetoden vid ekvationslösningen?

Mitt syfte med den här undersökningen är att kunna hitta elevers svårigheter vid ekvationslösningen i Ma B på gymnasieskolan samt att granska elevernas lösningsmetod i syfte att belysa den effektiva lösningsmetoden. Med den effektiva lösningsmetoden menar Ivey (2006) att elever kan vid ekvationslösningen använda olika räknelagar och räkneregler samt behandlar parentesterm som en enda term (en helhet), är bra på att faktorisera, arbeta med annulleringslagar (Löwing & Kilborn, 2002), försöker att se produkten av två tal exempelvis 9 ∙ 4 som en lösningsstrategi vid arbete med förenkling av algebraiska uttryck samt löser uppgifter med få steg (Ivey, 2003). För att belysa den effektiva lösningsmetoden ska elevers lösningar studeras och jämföras för att se om elever använder den effektiva lösningsmetoden vid ekvationslöningen.

För att kunna svara på problemet kring ekvationslösningen samt belysa elevernas lösningsmetod koncentreras undersökningen på följande två forskningsfrågor:

1. _{Vilka svårigheter har elever vid ekvationslösning?}

2. Hur ser elevernas lösningsmetod ut och vilken slutsats kan man dra av denna?

1.2

Arbetets disposition

Examensarbetet fördelas i sex avsnittsdelar varav avsnittet, Resultat, utgör en stor del av hela examensarbetet. I första avsnittet, Inledning, beskrivs grundtanken till problemundersökning omkring ekvationslösning och dess svårigheter. Syftet och frågeställningar till problem formuleras i samma avsnitt för att ge en mer tydlig bild i problemundersökningen. I andra avsnittet, Litteraturgenomgång och teori, fokuseras det på tidigare forskningsarbete som i högre grad handlar om den vetenskapliga beskrivningen av algebra och aritmetik i allmänhet men samtidigt relateras detta också till ekvationsbegrepp som är huvudsyfte med denna undersökning.

Avsnittet Metod beskriver hur datasamling gjordes i syfte att kartlägga elevers svårigheter vid ekvationslösning samt belysa elevers lösningsmetod.

I avsnittet, Resultat, redovisas elevers svårigheter med ekvationslösning samt belysa elevers lösningsmetod. Resultat upptar en stor del av hela uppsatsen.

Slutet av rapporten tar upp Slutsats och Diskussion en annan tanke kring elevlösning och dess svårigheter samt den effektiva lösningsmetoden.

2.

Litteraturgenomgång och teori

Begreppet ekvation kopplats ihop med likhetstecknet och beskrivs som en balansvåg mellan det vänsterledet och det högerledet enligt elevers uppfattning. Tall & Nogueira de Lima (2006) talar om ekvationsbegreppet som en viktig teori och det har en avgörande roll inte bara vid ekvationslösning utan också vid studiet av algebra. Författarna påpekar också att elever tolkar likhetstecknet på följande sätt:

the equals symbol is often seen as a “do something symbol” rather than a sign to represent equivalence between the two sides of an equation: ‘2+3=5’ means ‘add 2 and 3 to get 5’ and an equation such as 4x − 1 = 7 is seen as an operation to find a number which when multiplied by 4 and 1 is subtracted, gives 7 (Tall & Nogueira de Lima, 2006, s. 4-233). Det som gör det svårt för elever att tolka likhetstecknet grundar sig på elevers skilda uppfattning i aritmetik och algebra. Elever har svårt att skilja sig mellan aritmetik och algebra på många olika sätt. Enligt Wahlström & Widstrand (1991) definieras algebra som ”ekvationslösning” i den ursprungliga betydelsen och ” den vanliga algebran består av studiet av operationer med tal och relationer mellan tal och användande av variabler eller bokstavsymboler, t ex a, b, x, y istället för tal som 2, 

 , etc.”(Wahlström & Widstrand, 1991, s. 14).

Å andra sidan handlar aritmetik om räkning med tal, d. v. s. att ” man utnyttjar de fundamentala operationerna addition, subtraktion, multiplikation och division samt potensbildning och rotutdragning.” (Wahlström & Widstrand, 1991, s. 31).

Ekvationer förknippas med likhetstecken som i hög grad ”ses dynamiskt, operationellt ” d. v. s. att likhet kan tolkas som att det finns ett vänsterled som är ekvivalent med ett högerled och att ”likhet kan läsas från vänster till höger och tvärtomt”( Bergsten m fl. 1997, s. 17).

Elever ser ofta likhetstecknet som ”an announcement of the result of an arithmetic operation rather than as a symbol of mathematical equivalence” (Stephens, 2006). Operationellt tänkande gör det svårt för elever att tolka symboluttryck exempelvis  +  eftersom uttrycket saknar likhetstecken och därför inte uppmuntrar till beräkning av en summa (Stephens, 2006).

Boesen m. fl (2006) uppmärksammar elevers uppfattning om likhetstecknet på följande sätt:

Att barn i tidiga årskurser normalt uppfattar likhetstecknet som en uppmaning att utföra en operation med de tal som förgår tecknet, och att detta är en av de stötestenarna när det gäller att ta sig vidare från aritmetik till algebra. (Boesen m fl., 2006, s. 36).

Man kan dessutom förstå att elevers svårigheter med ekvationer utgår från deras känsla för bokstavssymboler X eller Y. Från tidigare år vid i aritmetiklärandet har elever haft för sig att man ska räkna med ett tal och inte räkna med bokstavssymboler vid beräkningen. Senare i ekvationer står bokstavsymboler X eller Y däremot för ett tal. Bokstavssymboler i ekvationer uppfattas vara en obekant variabel som ska hittas vid ekvationslösningen och ”medan det okända representerar ett oföränderligt tal, är variabler något vars värde kan ändras.” ( Boesen m. fl, 2006, s. 36).

Bergsten m fl., (1997) påpekar också vikten av lärarens undervisning i algebra, dvs. att lärare bör lära elever att lära sig översätta och tolka bokstavssymboler som ett tal i stället för” ett objekt eller en förkortning (exempelvis t står för tid) ”. Risken finns då ”man räknar med symboler som saknar mening och med regler man inte förstår varför de fungerar eller varför de överhuvudtaget finns. ”( Bergsten m fl., 1997, s. 17). Många elever som har läst matematik under hela sin skolgång på grundskolan har fortfarande inte någon tydlig uppfattning om vad bokstavssymboler betyder vid förenkling av algebraiska uttryck, i arbetet med funktioner samt vid olika typer av matematiskt lärande. Risken finns då att ”många elever försöker kompensera bristen på förståelse genom att memorera regler och procedurer. ”( Bergsten m fl., 1997, s. 51). Det är därför viktigt att kunna tolka och förstå vad bokstavssymboler står för. På samma sätt betonar Tall & Nogueira de Lima (2006) också elevers problem med att lösa ekvationer. Detta beror på deras misstolkning av algebraiska regler. Svårigheter uppstår när det förekommer okända variabler i båda leden av ekvationen och ” students view algebraic expressions as procedures of evaluation rather than as mental entities that can be manipulated.” (Tall & Nogueira de Lima, 2006, s. 4-233).

Boesen m. fl (2006) benämnar ”ALC”, en förkortning av Acceptance of Lack of Closure, acceptans för att inte ´stänga uttrycket´ genom att utföra beräkningen. Med ALC ges det upphov till algebraiskt tänkande. Med uttrycket ALC menas att lärarens undervisningsmetod bör fokusera på att driva fram elevers logiska och relationella tänkande istället för en mekanisk beräkning. Elever kommer att ´stänga uttrycket´ vid beräkning av exempelvis uttrycket 4 + 2 − 1 = eftersom likhetstecknet symboliserar en operationell uppmaning. Däremot uppmanar uttrycket, 4 + 2 − □ = 5, elever att tänka algebraiskt och relationellt mellan leden. Elever kommer att gissa och pröva lösningen i stället. Undersökningen av uttrycket, 4 + 2 − 1 = 5 för att bestämma om detta är sant eller falskt kan vara en bra undervisningsmetod. Den har för avsikt att leda bort elevers tanke från beräkning och låta elever bara fokusera på undersökning av ”matematiska strukturen i likheten.”( Boesen m. fl, 2006, s. 36). Stephens (2006) beskriver elevers svårigheter med algebra, vilket leder till att elever har många svårigheter med ekvationslösning. Svårigheten med algebra beror på elevers brist på uppfattning av algebraiska begrepp samt ekvivalens och relationellt tänkande. Med rationellt tänkande menas att elever kan känna igen ekvivalens av exempelvis uttrycket 3( + 4) och 3 + 12. Med 67 + 83 = □ + 82 uppmuntras elever att söka relationen på andra sidan likhetstecknet i stället för att utföra beräkningen (Stephens, 2006). Talet som placeras i boxen måste vara 68 eftersom 82 i vänsterledet är mindre än 83 i högerledet. Det exempel som visar ovan demonstrerar elevers relationella tänkande.

En annan aspekt på elevers svårigheter med ekvationslösning bygger på taluppfattning enligt Löwing (2008). Nämnaren Tema (2000) beskriver 6 olika aspekter som anses vara en bra grund till elevers goda taluppfattning. Dessa är:

1. Tals betydelse och storlek

2. _{Ekvivalenta uttryck och representationsformer} 3. Operationsinnebörd och funktion

4. _{Användning av ekvivalenta uttryck}

5. Strategier för beräkning och antalsbestämning

6. _{Referenspunkter vid mätning och rimlighetsbedömning}

Enligt Skolverkets forskning i matematiksvårigheter utpekas god taluppfattning och matematisk förståelse som en avgörande faktor till elevers matematiklärande (Nämnaren Tema, 2000).

Svårigheter med ekvationer beror också på att ”a transition from arithmetic to algebra will therefore be difficult for many learners.”(Attorps, 2006, s. 85). Författaren betonar i hög grad på lärares och elevers bristande kunskap om ekvationsbegreppet. Detta beror på att lärare inte ägnar sig åt arbetet med begreppet utan enbart lägger stor vikt vid beräkningsproceduren och elever fokuserar på att lära sig grundläggande begrepp i aritmetik och algebra utan förståelse. (Attorps, 2006). Förutom ekvationsbegreppet anses algebraiska uttryck och de algebraiska symbolerna också vara mycket viktiga i olika sammanganget. I matematiska uttryck innehåller ett antal bokstavssymboler, eller ”det algebraiska symbolspråket” som

kallas, har en stor betydelse vid arbetet med ekvationer. Elevers svårigheter med ekvationslösning beror på att elever har en annan uppfattning om det algebraiska symbolspråket. Attorps (2006) beskriver att ” In everyday life, things are often described in the same order as they are performed. In a mathematical equation, the signals for ordering are not those of ordinary language. Algebra makes use of priority rules and parenthesis, which can be unclear for students.” (Attorps, 2006, s. 173). Att kunna tolka algebraiska uttryck och förstå de matematiska symbolerna anses vara en nyckel till algebras framgång och förståelse (Bergsten m fl., 1997) . Algebraiska uttryck behöver på många olika sätt skrivas om ”så att uttrycket efter omskrivningen fortfarande behåller sin relation till det som det presenterar.” (Bergsten m fl., 1997, s. 129). Omskrivning (eller manipulation) av algebraiska uttryck har en stor fördel eftersom man kan ” se samband eller resultat som inte gick att se innan.”( Bergsten m fl., 1997, s. 129).

Pomerantsev & Korosteleva (2003) har nämnt begreppet, strukturen av algebraiska uttryck, och betonar dess betydelse på följande sätt:

… the ability to comprehend the syntactic structure of an algebraic expression is fundamental to competent performance in algebra. (Pomerantsev & Korosteleva, 2003, s. 1).

Pomerantsev & Korosteleva (2003) påstår också att ”the difficulties in recognizing the structure of mathematical expressions are due to the different treatment of expressions in algebra and arithmetic.” (Pomerantsev & Korosteleva, 2003, s. 1). I algebra behandlas matematiska uttryck utifrån strukturell synpunkt (som objekt) medan matematiska uttryck i aritmetik behandlas som ”a command to perform operations” (som process).

En viktig notation som författarna tar upp är ”operational practice” bland elever. Operationell övning spelar en stor roll för elever att förstå strukturen på ett matematiskt uttryck eftersom genom övningar (som ofta skes med hjälp av räknedosa eller minräknare i dagens skola, vilket leder till en enorm brist på förståelse av symbolspråket) får elever en analytisk aspekt av matematiska uttryck (Pomerantsev & Korosteleva, 2003).

Bergsten m.fl. (1997) har skrivit om ”molekylära matematiska former (som algebraiska uttryck).” En ny dimension av lärandet av algebra kan ha byggts på molekylära matematiska former. Enligt Bergsten m.fl. (1997) finns två matematiska former. Dessa är atomära och molekylära. Atomära matematiska former avser ”odelbara, t ex siffror som 5, operations- och relationssymboler som + och =, bokstäver som A och a, rent matematiska symboler som √ och ∫ ” medan molekylära matematiska former är ”kombination av atomära former som: 2 + 3,  ∙ , √3, och ∫  _

! .”(Bergsten m fl., 1997, s. 133). Det som är intressant med atomära matematiska former är att man kan leda elever till en ny uppfattning av algebraiska uttryck genom att peka på skillnaden mellan atomära och molekylära matematiska former. En avgörande faktor med effektiv hantering av molekylära matematiska former är enligt Bergsten m.fl. (1997) att ”kunna uppfatta delar av

uttryck som helheter”, exempelvis uttrycket 3( + 2) + 8 = 26 har två huvudhelheter, helhet i vänsterledet och helhet i högerledet, dvs. att 3( + 2) + 8 utgör som en helhet och 26 som en helhet. Sedan är det effektivaste att se 3( + 2) som en enhet eftersom det måste finns ett tal som ska adderas med 8 så att båda leden är ekvivalenta, dvs. att 3( + 2) = 18. Tills vidare kan man uppfatta uttrycket 3( + 2) som två enheter i sig, 3 och _{( + 2). Talet 3 multipliceras med ett annat tal för att bli 18. I det här fallet} måste ( + 2) vara lika med 6,  + 2 = 6. Termen  ses som en enhet och då  = 4. En annan aspekt av ekvationslösning handlar om lösningsmetoder. Men först ska vi tolka vad kursplanen har att säga. I kursplanen för Matematik B på gymnasieskolan anger målet som elever ska uppnå efter avslutad kurs på följande sätt. Elever skall

kunna tolka, förenkla och omforma uttryck av andra graden samt lösa andragradsekvationer och tillämpa kunskaperna vid problemlösning. (SKOLFS: 2000:5).

”Omforma uttryck” kan handla om att kunna skriva om algebraiska uttryck så att det blir lätt att tillämpa räknelagar. Vid ekvationslösning kan omskrivning av algebraiska uttryck ha en effekt på lösningsmetoden.

Att kunna se delar av uttryck som helhet kan ha många fördelar vid ekvationslösning. Detta kan leda till att elever löser ekvationer med ett effektivt och smidigt sätt. Ivey (2003) beskriver ”procedural understanding”(intelligent kunskap) som gör elever mer flexibela och innovativa med utmärkt förståelse av algebraiska processer. Dessutom utgör ”procedural understanding” en bra förståelse som vägleder elever till mer effektiva metoder vid problemlösning.

Att lösa ekvationer kan man jämföra med problemlösning. Enligt Billstein m.fl. (1998) anses lösningsstrategier som en viktig karaktär vid problemlösning samt vid problemlösningen bör elever tänka strategiskt och följa 4 följande steg:

1. Förstå problemet: a. Vad är frågan?

b. Vilken information är okänd eller känd? c. Vilken information som saknas.

2. Tänka ut en plan/metod:

a. Försök hitta en lösningsstrategi! 3. _{Genomföra planen:}

a. Försök lösa problemet med den tänkta lösningsstrategin.

b. _{Hitta en annan lösningsstrategi om den tänkta lösningsstrategin funkar} inte.

c. _{Upprepa hitta - lösningsstrategi - processen tills problemet är löst.} 4. Tänka tillbaka:

a. _{Kontroll om lösningen är rimlig.} b. Pröva lösningen

Ekvationsbegreppet har en mycket betydelse vid lärandet av ekvationer samt att lösa ekvationer handlar i hög grad om att ha en grundlig förståelse för både algebra och aritmetik. Detta gör att man senare kunde tolka och lägga stor uppmärksamhet på ekvationens struktur och algebraiska uttrycken vid ekvationslösningen. Utan förmåga att hantera algebraiska uttryck, dvs. att man kan tolka algebraiska uttryck och omskrivning av algebraiska uttryck, kan det sluta med att ekvationslösning uppfattas som ett svårt moment. På många olika sätt består ekvationer av två algebraiska uttryck som kopplats ihop med ett likhetstecken. Sammanbundna uttryck med likhetstecknet utgör en algebraisk relation och denna relation behöver tas hänsyn till. Vad som görs i vänsterledet måste också uppmärksammas i högerledet eftersom ekvationens led måste balanseras. Detta handlar om relationellt tänkande vid ekvationslösning.

3.

Metodologi

3.1

Urval av deltagare

Det finns ett stort utbud av program på gymnasieskolor som erbjuder undervisning i Ma B. Jag har bestämt mig för att göra en testundersökning med uppgifter bland elever som har läst Ma B eller Ma C i sitt program. Testet består av 6 uppgifter som täcker i stort sett över hela kapitlet Ekvationer. Testet har avsiktligt konstruerats för elever som studerar Naturvetenskapsprogrammet, Samhällsvetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet, på grund av testets svårighetsgrad. 4 olika gymnasieskolor i kommunen valdes ut för att ingå i undersökningen. Bland de här skolorna finns en fristående gymnasieskola och tre kommunala gymnasieskolor. Det blev totalt 112 elever som gjorde testet.

3.2

Datasamlingsmetod

För att besvara två forskningsfrågor som lägger tyngdpunkt dels på elevers svårigheter med ekvationslösningen och dels på belysning av den effektiva lösningsmetoden, ska ett test med uppgifter utföras av gymnasieelever på fyra gymnasieskolor. Syftet är att belysa elevers svårigheter med ekvationslösningen samt belysa elevers lösningsmetod. Stukat (2005) betonar den kvantitativa typen av empiriskt studie som byggs på ett stort antal fakta. Därför ska testet med uppgifter utföras av gymnasieelever. Elevers lösningar kommer att granskas, vilket ökar trovärdighet i undersökningen. Resultat kan ge tydliga förklaringar och slutsatser om elevers svårigheter med ekvationslösning kan dras säkra.

Enligt Ivey (2003) måste lärare hjälpa studenter att bli ”literate” problemlösare i matematik och författaren tror att den effektiva lösningsmetoden vid ekvationslösningen anses vara en fördel för många elever att vänja sig. Utifrån lärarens perspektiv i undervisningen bör lärare enligt min uppfattning inse att elevers lösningsmetod vid ekvationslösningen är intressant att studeras. Att granska elevers lösningar i syfte att se hur elever löser ekvationer och om elever löser ekvationer med den effektiva lösningsmetoden är givande. Lärare ska lära elever att tänka effektivt vid ekvationslösning. Tanken att kunna visa för elever hur ekvationer ska lösas på ett

effektivt sätt har jag alltid varit intresserad av. Därför hämtar jag inspiration om effektiva lösningsmetoder i ” Effective vs. efficient: Teaching methods of solving linear equations” av Ivey (2003) för att sträva efter den effektiva lösningsmetoden i matematikundervisning. För att belysa den effektiva lösningsmetoden och skaffa mig en bild av elevlösningsmetoder kommer elevers lösningar att studeras och jämföras i syfte att se hur eleverna löser ekvationer och om eleverna använder den effektiva lösningsmetoden.

3.3

Tillvägagångssätt – Datainsamling i gymnasieskolor

Innan testet ska kunna genomföras av elever, har ett personligt meddelande skickats ut till samtliga matematiklärare som har Ma B och Ma C på gymnasieskolor för förfrågningen. Efter ett tag hörde några av sig som påstod att de inte har Ma B eller Ma C kurs under terminen. Andra lärare har nog missat mitt meddelande. Andra gången försökte jag personligen ta kontakt med lärarna på gymnasieskolorna genom att besöka de här skolorna och träffa matematiklärarna. Tills slut tackade fem lärare ja att vara med i testundersökningen. De låter sina elever göra testet under repetitionslektionen. De flesta eleverna som genomför testet har läst Ma B i förra terminen och börjar läsa Ma C. Det finns bara en klass med elever som har hunnit läsa klart kapitlet Ekvationer i Ma B och de gör testet samtidigt. Elever som gör testet läser olika program. Det finns 5 gymnasieklasser som deltog i den här undersökningen varav en har naturvetenskapsprofil, en har samhällvetenskapsprofil, en har IT-profil samt två har teknikprofil.

Testet har gjorts vid olika tillfälle och tidsperioden när testet utfördes sträckte sig från oktober 2008 fram till april 2009. Vi d utförandet av testet var jag närvarande tre av fem tester för att svara på elevers frågor om uppgifter i testet. Testet är frivilligt för eleverna, lyste därför ett antal elever med sin frånvaro vid utförande av testet. Under testdagen deltog totalt 33 elever inte i testet varav tolv elever tillhör Teknikklassen, tio elever tillhör samhällvetenskapsklassen, sex elever tillhör IT-klassen och fem elever tillhör NaturvetenskapsIT-klassen. Totalt har 112 gymnasieelever som gjorde testet.

3.4

Testuppgifter

Testet innehåller 6 huvuduppgifter. Bland dem finns 9 deluppgifter. Totalt blir det 11 uppgifter att lösa. Testet är inte tidsbegränsat och för de starka eleverna i matematik tar det mindre än 1 timme att lösa. Tiden att lösa ekvationsuppgifterna blir något kortare om man löser ekvationer effektivt. Uppgifterna kan lösas mycket snabbt om de löses med en effektiv lösningsmetod. Med den effektiva lösningsmetoden menas att elever kan faktorisera, se samband, tolka eller uppfatta algebraiska uttryck, tillämpa räknelagar och räkneregler, tolka och förstå begrepp.

Alla uppgifter förutom uppgift 5b och uppgift 6 i testet har konstruerats av mig. Jag anser att uppgift 5b är ett bra exempel för undersökningen eftersom ekvationen är koncis och lätt att lösa om man förstår hela algebraiska uttryck. Uppgift 6 har modifierats. Syftet med uppgift 6 är att undersöka begreppsförståelse och tillämpning

av kvadreringsregeln. Mer analys och studie av uppgiften vill leda till förståelse av begrepp i arean och kvadratkomplettering vid lösning av andragradsekvationen. I deluppgift 1a fattas tal 2 framför parentesen på grund av misstaget. Uppgiften borde vara 2"2 + 2(2 + #)$ + 2 = 6 i stället för "2 + 2(2 + #)$ + 2 = 6. Eftersom testet redan har gjorts av 40 elever innan felet upptäckts, har jag bestämt att uppgiften står oförändrat, precis som den var från början. Avsikt med tal 2 före parentesen är att jag vill undersöka hur elever arbetar med prioriteringsregeln.

I deluppgift 1b skulle jag vilja att elever ska kunna lösa ekvationen med prioriteringsregeln på ett vanligt sätt. Ekvationen kan lösas effektivt om elever har förmåga att känna igen strukturen av ekvationer, d. v. s. att elever känner igen och tolka det algebraiska uttrycket 2"2 + 2(2 + #)$ + 2 i samband med konstansterm 6 i högerledet. Sedan ska elever med hjälp av det ledande exemplet 2(2 + #) + 2 = 6 kunna arbeta vidare för att lösa uppgiften på ett enkelt sätt. Elever ska nog analysera hur uttrycket i vänsterledet tolkas i samband med en enda konstansterm 6 i högerledet.

Min handledare anser att deluppgift 1b inte är matematiskt korrekt eftersom i samma uppgift får man inte ha två olika betydelser för samma bokstav. Lösningen till det inledande exemplet, 2(2 + #) + 2 = 6, är # = 0 medan lösningen till 2"2 + 2(2 + #)$ + 2 = 6, är # = −2. Liksom i samma uppgift 5b får man två olika lösningar vid lösning av ekvationen (& + 1) _{= 25. Jag vill notera att uppgift 5b} hämtas exakt utan någon modifikation från Question 4 i ”Do prospective elementary and middle school teachers understand the structure of algebraic expressions” av Pomerantsev & Korosteleva (2003).

Intention med uppgift 2 är att elever i första hand ska kunna använda den distributiva lagen med två parentestermer men samtidigt uppmuntras eleverna att lösa ekvationen med den effektiva lösningsmetoden eller lösa uppgiften utifrån elevernas räknevana och erfarenhet. Den andra lösningsstrategin kan vara mer effektiv då elever har förmåga att behandla (& − 2) som en enda term och sedan arbeta vidare med faktorisering. Denna lösningsmetod anses vara mycket effektivt vid lösning av denna uppgift.

Uppgift 3 är tilltänkt för elever att kunna tolka uttrycket (1 + 2# + #) och produkten av två parentestermer (# + 1) (1 + #) efter att tal 2 brytas ut från (2# + 2). Elever kan gå vidare med tillämpning av kvadreringsregeln efteråt.

Uppgift 4a och 4b har samma syfte som uppgift 2, d v s att kunna tolka produkten av två parentestermer (2& − 1)(1 + 2&). I uppgift 4a har parentestermen (1 + 2&) dessutom omskrivits för att undersöka hur produkten av två parentestermer (2& − 1)(1 + 2&) tolkas vid tillämpningen av konjugatregeln. En sak som bör noteras är (2&)_{. Hur elever gör tolkningen av (2&)anses vara mycket viktigt för att uppgiften} ska lösas korrekt enligt min synpunkt. I uppgift 4b har man avsikt att undersöka

hur multiplikationen av −(1 + &)& ska utföras vid användningen av den distributiva lagen i samband med minustecknet innanför parentestermen, speciellt när & står efter parentesen. Tillämpningen av _{"√& − &$"√& + &$ kan nog vara lite utmaning för elever} eftersom termer inom parenteser innehåller rottecknet och villkor för √& .

I uppgift 5a ska elever kunna lösa ekvationen som består av bråk i båda leden. Speciellt ska eleverna kunna tolka differensen av två bråk (

)

−

) samt en gemensam nämnare i bråk )( * +

)(

.

Uppgift 6 hämtas från exempel 29 i ”Algebra för alla” med vissa justeringar. Meningen med hela uppgiften 6 är att elever ska kunna koppla matematik till verklighet eftersom ”geometrin är på liknande sätt framväxt ur människans sätt att umgås med verkligheten omkring sig.” (Bergsten m fl., 1997, s. 10). I uppgift 6a och 6b undersökas kvadratbegrepp (areabegrepp). I uppgift 6c undersökas elevers förmåga att lösa andragradsekvationen med kvadratkomplettering eller kvadreringsregeln. Testet med uppgifter anges nedan.

1.

a. _{Lös ekvationen "2 + 2(2 + #)$ + 2 = 6}

b. _{2 + 2(2 + #) = 6 är sann då (2 + #) = 2 .} När är 2"2 + 2(2 + #)$ + 2 = 6 sann?

2. Lös följande ekvation med valfri lösningsmetod (& + 2)(& − 3) + & + 2 = 4 (& − ,2),

3. Lös följande ekvation med hjälp av kvadreringsregeln (2,# + ,2)(1 + #) + 2 (1 + 2# + #_{) = 9 ∙ 4}

4. Lös ekvationer med hjälp av konjugatregeln a. (2& − 1)(1 + 2&) + 2& _{− 5 = 3 ∙ 6}

b. _{& − (1 + &)& − 4 = "√& − &$"√& + &$ − 2&, & ≥ 0} 5. a. Lös följande ekvation

−

+ 1 =

,

b. Använd påståendet ” Om & _{= 25, så gäller & = ±5 ” för att lösa ekvationen} (& + 1) _{= 25}

6. _{En rektangulär fotbollsplan har ena sidan 8 m längre än den andra. Arean är} 33 0_{. Hur lång är den kortare sidan?}

Anta att t är den kortaste sidan av fotbollsplanen. Den längre sidan måste då vara

t + 8. Motsvarande ekvation är &(& + 8) = 33 12213 & _{+ 8& = 33.} a. Markera områdena vars area är & _{resp. 8&.}

b. _{Området 8& delas i två lika delar. Den ena flyttas. Arean är oförändrad,} allstå 33 0_{. Hur stor är den nya arean inklusive det markerade} området S? Se bilden!

c. Vad är den kortaste sidan t, av fotbollsplanen? Lösningen kan ses på bilden utan att man behöver ställa upp en ny ekvation. Visa att Ni har förstått uppgiften!

3.5

Etiska ställningstaganden

Vetenskapsrådets forskningsetiska princip [VFP] (2001) beskriver fyra olika krav beträffande det grundläggande individskyddskravet. De fyra huvudkraven är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. I min undersökning gäller det att test med uppgifter som ska utföras av antalet elever. Där för inser jag att alla fyra huvudkrav bör tas hänsyn till på grund av syftet med undersökning. Med informationskravet har deltagande elever informerats angående syftet med undersökning. Vid arbetet med testundersökning är jag mycket medveten om att testet är friviligt. Det betyder att alla elever friviligt kan vara med och ge bidrag till undersökningen. Elever har naturligvisst rätt att avbryta sitt medverkande

om de känner sig vara osäkra inför testet. Samtyckeskravet beskrivs som en regel där både parterna ska vara överens om ett samarbete och deltagarens samtycke och beslut över sin medverkande i projektet anses vara viktigt. Deltagare har rätt att bestämma över eller avbryta sin medverkande utan att påverka resultatet. Dessutom har forskare sin respekt för deltagarens beslut att inte delta i undersökning. Deltagare får inte utsättas för något som kan skada hennes/hans personliga integritet. När det handlar om konfidentialitetskravet så gäller det tystnadsplikt, vilket som forskare har man plikt att bevara och skydda deltagarens personliga identitet och alla personuppgifter från utomstående. Det sista, nyttjandekravet menas att forskare inte får utlämna eller utlåna deltagarens personliga uppgift till allmänhet om det inte vore forskningssyftet (VFP, 2001).

Innan undersökning äger rum har jag berättat för matematiklärare om mitt syfte med undersökning med ekvationslösning och visar för dem hur hela testundersökningen med uppgifter går till. Jag fick matematiklärarnas medgivande och detta är absolut ömsesidigt. Man ska absolut respektera elevens val och beslut om de inte vill göra testet. Man bör ta hänsyn till alla partners identitet och värdighet. Testet handlar om integritetskänsliga uppgifter om individer och grupper, därför har jag som forskare plikt att skydda de inblandade, alltså uppgiftslämnares personliga integritet. Jag anser att det är mycket viktig att man som forskare har uppgift att informera deltagare och bevara deltagarens känsliga uppgifter så att de inte hamnar i offentlighet.

4.

Resultat

4.1

Presentation av resultat

Sedan testet har gjorts så börjar resultat sammanställas och bearbetas. Elevers lösningar rättas och analyseras noggrant. Vid behandlingen av lösningar har jag försökt att analysera hur elever tänker genom elevernas lösningar. Resultatet delas i tre kategorier. Den första kategorin kallas det allmänna resultatet. D.v.s. att varje uppgift som löses korrekt (rätt lösning) oavsett hur uppgiften lösas, ger ett R. Testet har 11 uppgifter att lösa. Totalt får eleverna 11 R om de får alla korrekta lösningar från sitt test. Antalet rätt (R) per uppgiften i testet ska räknas och sedan adderas ihop. Det allmänna resultatet kommer att redovisa hur många elever som har lyckats med att få 11 R i sitt test . Det allmänna resultatet av testet kommer att ge en bild av hur elevers kunskap i ekvationer ligger till. Den andra kategorin handlar om elevers svårigheter med ekvationslösningen, således behöver elevers lösningar analyseras. I den här kategorin har elevers lösningar bearbetats noggrant så att framställa svårigheter med ekvationslösning.

Den tredje kategorin handlar om Den effektiva lösningsmetoden. Förutom att hitta elevers svårigheter med ekvationslösning, har även elevernas lösningar studerats och jämförts. Tanken med jämförelse mellan olika lösningar är att kunna se hur elever löser uppgifterna, om de använder den effektiva lösningsmetoden vid ekvationslösning. Vid jämförelse av elevernas lösningar fördelar man resultatet i två

kategorier, Den effektiva lösningsmetoden

Med den effektiva lösningen menas det att elever uppgifterna, d. v. s. att elever

behandlar parentesterm som en enda term faktorisera, arbeta med annulleringslag exempelvis 9 ∙ 4 som en lösningsstrategi uttryck samt löser uppgifter med få lösningsmetoder tillhör d

annulleringslagar menas det att ”man får addera (och subtrahera) med samma tal på båda sidor om likhetstecknet.” (Löwing, 2008, s. 288 ).

annulleringslagar vid ekvationslösning

lösningsmetoderna (Löwing, 2008; Killborn 1997)

4.2

Det allmänna resultatet

Här presenteras Det allmänna resultatet bilden av antalet elever som

papper utan redovisning av

bedömning av Det allmänna resultatet

Figur 1.1 Antal

Figur 1.1 visar den största gruppen där är 21. Detta motsvarar 20 %

gruppen där elever fick 2, 3, 4 hela Det allmänna resultatet Figur 1.1 ser man att det finns i sitt test. 0 5 10 15 20 25 0 1 2 3 4 A n ta l e le v e r Antal rätt (R)

Elever som fick ett antal R i sitt test

effektiva lösningsmetoden resp. Den inte effektiva lö en effektiva lösningen menas det att elever vid ekvationslösningen

att elever kan använda olika räknelagar och räkneregler samt ntesterm som en enda term (en helhet) (Ivey, 2003)

ed annulleringslagar, försöker att se produkten av två tal som en lösningsstrategi vid arbete med förenkling av

uppgifter med få steg (Ivey, 2003). Elever som inte har den icke effektiva lösningsmetodens kategori

annulleringslagar menas det att ”man får addera (och subtrahera) med samma tal på båda sidor om likhetstecknet.” (Löwing, 2008, s. 288 ).

vid ekvationslösning anses på många olika sätt (Löwing, 2008; Killborn 1997)

Det allmänna resultatet

Det allmänna resultatet i Figur 1.1. Stapeldiagrammet

elever som fick antalet R från sitt test. Sex elever har lämnat in papper utan redovisning av någon uppgift. Därför granskas bara 106

Det allmänna resultatet.

Antalet elever som fick ett antal rätt (R) i sitt test gruppen där antalet elever som fick endast %. I nästa grupp fick 19 elever 0 Rätt i sitt test

gruppen där elever fick 2, 3, 4 eller 5 Rätt i sitt test utgör en stor andel i procent et allmänna resultatet. Totalt utgör den tredje gruppen med hela 42

ser man att det finns en elev som fick alla rätt (11 R) och två

5 6 7 8 9 10 11

Antal rätt (R)

Elever som fick ett antal R i sitt test

antal elever som fick ett antal R i sitt test

en inte effektiva lösningsmetoden. vid ekvationslösningen behärskar och räkneregler samt (Ivey, 2003), är bra på att produkten av två tal vid arbete med förenkling av algebraiska Elever som inte har effektiva s kategori. Med annulleringslagar menas det att ”man får addera (och subtrahera) med samma tal på båda sidor om likhetstecknet.” (Löwing, 2008, s. 288 ). Användning av anses på många olika sätt en av de bra

Stapeldiagrammet framställer har lämnat in sina bara 106 fall vid

i sitt test

endast ett R i sitt test Rätt i sitt test. Den tredje andel i procent av r den tredje gruppen med hela 42 %. I ätt (11 R) och två elever med 10 R

Elever som fick ett antal R i sitt test

Figur 1.2 Antalet elever som fick från 0 till 5 R resp. från 6 till 11 R (andel i %) Om man tittar på cirkeldiagrammet (Figur 1.2) ser man att det finns mer än häften, 77 % av 106 elever som fick mindre än eller lika med 5 R i sitt test. Antalet elever som fick mellan 6 R till 11 R utgör 18 %.

4.3

Svårigheter vid ekvationslösningen

11 uppgifter granskas var för sig och elevlösningar analyseras noggrant för att kategorisera elevers svårigheter med ekvationslösningen.

4.3.1 Svårigheter med uppgift 1

Till uppgift 1 visar stapeldiagrammet (Figur 2.1) två svårigheter som elever har med ekvationslösningen. Dessa är räknefärdighet och prioriteringsregeln.

Figur 2.1 Svårigheter med uppgift 1

77% 18% 5% 0 Rätt till 5 Rätt 6 Rätt till 11 Rätt Blank 0 5 10 15 20 25 30

Räknefärdighet Prioriteringsregeln Blank

E

le

v

e

r

Svårigheter med uppgift 1

Uppgift 1a Uppgift 1b

Med räknefärdighet menas att elever kan utföra enkla beräkningar såväl som komplicerade beräkningar. Förutom räkneförmåga kräver det också att elever måste vara precisa, effektiva och noggranna vid beräkningen (Nämnaren 2, 2006). Prioriteringsregeln syftar på att multiplikation och division ska utföras före addition och subtraktion samt ”menar man något annat måste detta regleras med parenteser” (Kilborn, 1997, s. 86). Resultat av den här uppgiften visar att i uppgift 1 finns det totalt 34 elever som har problem med räknefärdighet och 28 elever med prioriteringsregeln. Antal elever som inte lämnat in redovisning för någon uppgift är 41 stycken. I uppgift 1a och 1b beräknar elever inte noggrant, vilket leder till att elever fick fel i lösning. I uppgift 1b har 17 elever svårighet med prioriteringsregeln. Typiskt med den här uppgiften är att elever utför addition före multiplikation inom parentesen vid lösning av 2"2 + 2(2 + #)$ + 2 = 6. Så här ser exemplet ut vid ekvationslösningen till uppgift 1b (Bild 1.1):

Figur 2.2 Antalet elever som fick rätt i uppgift 1a (andel i %)

Figur 2.3 Antalet elever som fick rätt i uppgift 1b

Två cirkeldiagram i Figur 2.2 resp. Figur 2.3 visar att 20 % resp. 33 % av elever som inte fick rätt i lösningen till uppgift 1a resp. uppgift 1b.

4.3.2 Svårigheter med uppgift 2

I uppgift 2 finns det två svårigheter som påverkar elevers förmåga att lösa ekvationen. Dessa är som vanligt räknefärdighet och den distributiva lagen.

69% 20%

11%

Antalet elever fick R i

uppgift 1a

Antal Rätt Antal Fel Blank

42%

33% 25%

Antalet elever fick R i

uppgift 1b

Figur 3.1 Svårigheter med uppgift 2

Det finns 49 elever som på något sätt inte löste noggrant ekvationen, vissa detaljer utelämnas under lösningsprocessen, vilket leder till att fel förekommer i beräkningen. Till sluts kan de inte gå vidare med uppgiften. 11 elever har svårt med den distributiva lagen vid multiplikationen av två parentestermer (& + 2)(& − 3).

Figur 3.2 Antalet elever som fick R i uppgift 2 (andel i %)

I Figur 3.2 visas antalet elever som fick R i lösning till uppgift 2. Det finns endast 32 % av elever som lyckats med att lösa fullständigt uppgift 2.

4.3.3 Svårigheter med uppgift 3

I uppgift 3 har elever ett antal svårigheter. Den största gruppen som har problem med beräkningen hamnar i räknefärdighets kategori och gruppen består av 53 elever. På många olika sätt har elever inte lyckats med att lösa uppgiften fullständigt eller

0 10 20 30 40 50 60

Räknefärdighet Den distributiva

lagen Blank

Svårigheter med uppgift 2

Uppgift 2

32%

50% 18%

Antalet elever fick R i

uppgift 2

Antal R Antal fel Blank

lämnade uppgiften mitt under lösningsprocess eftersom elever inte vet hur de ska gå vidare med uppgiften.

Figur 4.1 Svårigheter med uppgift 3

Med rotbegreppet menas att fem elever försummar ± när man löser andragradsekvation (# + 1) _{= 9, vilket leder till att elever fick endast en lösning.} Liksom i uppgift 2 finns det 5 elever som inte kan hantera den distributiva lagen vid multiplikation av två parentestermer (2,# + ,2)(1 + #).

Figur 4.2 Antalet elever som fick rätt i uppgift 3 (andel i %)

Endast 22 % av elever som lyckats med att lösa uppgiften och 55 % av elever fick fel i lösning (Figur 4.2). Detta beror på fyra svårigheter som elever har vid ekvationslösningen. 0 10 20 30 40 50 60

Svårigheter med uppgift 3

Uppgift 3

22%

55% 23%

Antalet elever fick R i

uppgift 3

Antal R Antal fel Blank

4.3.4 Svårigheter med uppgift 4

I uppgift 4 finns det ett antal svårigheter som visas i Figur 5.1. Antalet elever som har lämnat in blankt för både uppgifter är 34 resp. 48 elever. Detta är ett stort nummer. Uppgiften som inte kan löses, tyder på svårigheter som elever haft. Om man tittar på vilka svårigheter som finns i uppgift 4 (Figur 5.1) hittar man 8 olika svårighetskategorier. Dessa kategorier visar en blandning av olika svårigheter.

Figur 5.1 Svårigheter med uppgift 4

En av elevernas svårigheter med uppgift 4 är räknefärdighet (Figur 5.1). 28 resp. 14 elever har detta problem i uppgift 4a resp. 4b. Nästa svårighetskategori handlar om rotbegrepp. 19 resp. 3 elever har försummat ± vid lösningen i både uppgift 4a och uppgift 4b. I uppgift 4a har 20 elever tagit för givet uttrycket (2&) _{= 2t. I uppgift 4b} har 22 elever problem med hantering av minustecknet framför parentesterm, d. v. s. att elever inte byter tecken vid multiplikation av −(1 + &)&. I uppgift 4b har bara 9 elever svårt med att inse √&  _{= |&| eller √&  = & endast ifall & ≥ 0 vid tillämpning av} konjugatregeln av _{"√& − &$"√& + &$. Användningen av den distributiva lagen vid} multiplikation av (2& − 1)(1 + 2&) i uppgift 4a klaras inte av 8 elever. Problemet med den distributiva lagen blir något mer för 9 elever i uppgift 4b, eftersom det finns √& i uttrycket. Multiplikation av _{"√& − &$"√& + &$ inte lyckades de därför med att} genomföra. 0 10 20 30 40 50 60

Svårigheter med uppgift 4

För att veta exakt hur många elever som klarat av uppgift 4a och 4b så tittar man på cirkeldiagrammet nedan (Figur 5.2 och Figur 5.3). Andel i procent av elever som inte lyckas med uppgift 4a resp. 4b är 57 % resp. 45 %. Andel av elever som lämnar blanka papper i uppgift 4a resp. 4b utgör 30 % resp. 43 %.

Figur 5.2 Antalet elever som fick R i uppgift 4a (andel i %)

Totalt har endast 13 % av elever som klarat av uppgift 4a enligt Figur 5.2 och 12 % gäller för uppgift 4b enligt Figur 5.3.

Figur 5.3 Antalet elever som fick R i uppgift 4b (andel i %)

4.3.5 Svårigheter med uppgift 5

I uppgift 5 blir elevers svårigheter med ekvationer något färre. Elevers svårigheter med uppgifter 5 handlar om bland annat räknefärdighet, problem med bråk, rotbegrepp och tolkning av algebraiska uttryck. Med en hastig iakttagelse genom hela stapeldiagrammet i Figur 6.1 ser man att antalet elever som har problemet med bråk

13%

57% 30%

Antalet elever fick R i

uppgift 4a

Antalet elever fick R i

uppgift 4b

Antal R Antal fel Blank

är många. Problemet med bråk specificerar på elevers svårigheter med ekvationen som innehåller bråken i uttrycket. I uppgift 5a gör två uttrycken (

)

−

)

+ 1

)( lite svårt för elever att lösa hela ekvationen. Därför lyckas 50 elever inte med att få ut rätta lösningar. Ett vanligt fel i uppgift 5a är att elever försöker hitta en gemensam nämnare till hela ekvationen eller göra till en gemensam nämnare i båda leden. Ekvationsbegrepp blir något otydligt vid elevers arbete med balans i båda leden. I uppgift 5b har 7 elever svårt att inse & + 1 = ± 5 vid lösningen av (& + 1) ₌ 25.

Figur 6.1. Svårigheter med uppgift 5

I uppgift 5a och 5b har 9 resp. 19 elever räknefärdighetsproblem samt 6 resp. 13 elever har samma problem med kvadratrotutdragningen. Antalet elever som inte har någon lösning alls till både uppgift 5a resp. 5b är 40 resp. 52 elever.

Totalt finns endast 9 % som klarar av uppgift 5a och 21 % uppgift 5b. Det kan vara lite svårt att förstå att uppgift 5a är för svårt för elever eftersom uppgiften anses vara lätt och med tanken att en hel del av elever som gjorde testet kommer att läsa vidare på någon högskola.

Jämfört med uppgift 5a lyckas 21 % av elever bättre med att lösa hela ekvationen och fick rätt lösning i uppgift 5b. Antalet elever som inte klarar av uppgift 5b, är 33 % och blir därför 22 % mindre jämfört med uppgift 5 (Figur 6.2 och Figur 6.3).

0 10 20 30 40 50 60

Svårigheter med uppgift 5

Uppgift 5a Uppgift 5b

Figur 6.2 Antalet elever som fick R i uppgift 5a (andel i %)

Figur 6.3 Antalet elever som fick R i uppgift 5b (andel i %)

Antalet elever som lämnar blanka papper är 36 % i uppgift 5a resp. 46 % i uppgift 5b enligt Figur 6.2 resp. Figur 6.3

4.3.6 Svårigheter med uppgift 6

I uppgift 6 undersökas elevers förmåga att förstå kvadratbegrepp (areabegrepp) samt kunna tillämpa räkneregler.

I uppgift 6a och 6b vill jag undersöka elevers förståelse i areabegrepp. 25 elever kan inte ange & _{som arean av en kvadrat på bilden i uppgift 6a.}

9%

55% 36%

Antalet elever fick R i

uppgift 5a

Antalet elever fick R i

uppgift 5b

Antal R Antal fel Blank

Figur 7.1 Svårigheter med uppgift 6

Det finns väldigt många elever som lämnade in blankt i hela uppgiften 6 varav 53 elever i uppgift 6a, 68 elever i uppgift 6b och sist men inte minst 80 elever i uppgift 6c.

Figur 7.2 Antalet elever som fick R i uppgift 6a (andel i %)

Sammanlagt har 32 % av elever lyckats med att tolka geometriskt av & _{och redovisat} &_{som kvadratens area enligt Figur 7.2. 22 % fick rätt i lösning i uppgift 6b med} varierade lösningsmetoder (Figur 7.3). I hög grad valde elever att lösa uppgift 6b med

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Areabegrepp Blank

Svårigheter med uppgift 6

Uppgift 6a Uppgift 6b Uppgift 6c 32% 21% 47%

Antalet elever fick R i

uppgift 6a

Antal R Antal F Blank

tillämpning av konjugatregeln. I uppgift 6c ställde många elever upp en ny ekvation och löste andragradsekvationen utan att analysera bilden.

Figur 7.3 Antalet elever som fick R i uppgift 6b (andel i %)

Figur 7.4 Antalet elever som fick R i uppgift 6c (andel i %)

Totalt klarade 21 % av uppgift 6c och 71 % lämnade in blankt enligt Figur 7.4.

4.4

Den effektiva lösningsmetoden

Den effektiva lösningsmetoden granskas utifrån elevers sätt att lösa uppgifterna. För att kallas effektivt måste den effektiva lösningsmetoden uppfylla de tidigare

22%

17% 61%

Antalet elever fick R i

uppgift 6b

Antalet elever fick R i

uppgift 6c

Antal R Antal F Blank

beskrivningarna ovan, d.v.s. att elever kan använda olika räknelagar och räkneregler och behandla parentesterm som en enda term (en helhet), är bra på att faktorisera och arbeta med annulleringslagar, samt försöker se faktorer exempelvis 9 ∙ 4 som en lösningsstrategi vid arbete med förenkling av algebraiska uttryck samt löser uppgifter med få steg.

Elevers lösningsmetod bedöms inte om elevers lösningar till uppgifterna saknas eller lämnas in blankt. Den effektiva lösningsmetoden ska undersökas utifrån elevers effektiva tankegång vid lösning till uppgifterna även om uppgifterna inte har lösts fullständigt eller inte lösts korrekt eller elever får det fel i lösningar. Elevernas formella lösningsmetod kan inte anses vara effektiv. På många olika sätt är den formella lösningsmetoden synonym med den icke effektiva lösningsmetoden eftersom lösningsprocedur tar många steg samt lösningsprocess tar mer tid att utföra beräkning. Ju färre steg elever har i sin ekvationslösning, desto effektivare anses elevernas lösning. Med den formella lösningsmetoden menas att elever saknas lösningsstrategi och uppgifterna löses med en vanlig metod, dvs. att lösningsprocedur genomföras efter den rangordningen som elever har lärt sig att lösa ekvationer från sina egna skolor, exempelvis i stället för att tolka och skriva om algebraiska uttryck i ekvationen, (2,# + ,2)(1 + #) + 2 (1 + 2# + #_{) = 9 ∙ 4, utför elever multiplikation av} parentestermer Uppgifterna som lämnas in blankt behandlas inte. Den effektiva lösningsmetoden granskas endast från uppgift 1 till uppgift 5. Uppgift 6 utesluts ur den här undersökningen eftersom den anses vara mindre olämplig på grund av korta svar i elevlösning, vilket kan vara svårt att bedöma om lösningsmetoden är effektiv. Dessutom var det väldigt många elever som lämnat in blank i uppgiften 6, vilket är en annan anledning till att undersökningen inte blir aktuell.

0 20 40 60 80 100 120 Uppgift

1a Uppgift 1b Uppgift 2 Uppgift 3 Uppgift 4a Uppgift 4b Uppgift 5a Uppgift 5b

E le v e r Uppgifter

Den effektiva lösningsmetoden

Icke E E Blankt

Figur

4.4.1 Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 1

I uppgift 1a har 99 elever valt att lösa eller den icke effektiva lösningsmetoden, med parentesterm (2 + #). Det sk

använder annulleringslagar analys av algebraiska uttryck i effektiva svaret blir då (2 + elever samma lösningsproc blir det rätta svaret mycket kort,

uppgiften genom att analysera algebraiska uttryck från båda håll Illustration nedan (Bild 1. 2)

anses vara konsist och logiskt tänkande lösningen av uppgiften.

Bild 1.2 Elevens effektiva lösnin

Elevers lösningsmetod bedöms som effektivt resp. icke effektivt oberoende på det slutgiltiga resultat som elever fick

löser uppgiften. Med den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva lösningsmetoden får elever både rätt och fel i lösning

att se i vilken kategori elevers

Figur 8.1 Den effektiva lösningsmetoden Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 1

ever valt att lösa uppgiften med den formella

eller den icke effektiva lösningsmetoden, d. v. s. att eleverna multiplicera

). Det skull bli mycket effektivare och snabbare om elever nulleringslagar, d. v. s. att lösningen löses enkelt och snabbt genom algebraiska uttryck i vänsterledet i samband med 6 i

( + #) = 1 från det första steget. I uppgift

lösningsprocedur som de gjorde i uppgift 1a. Löses uppgiften effektivt det rätta svaret mycket kort, 2 + 2(2 + #) = 2. Tre elever har lycka

att analysera algebraiska uttryck från båda håll och angav

(Bild 1. 2) redovisar elevens effektiva lösning till uppgift 1b som och logiskt tänkande. Det är lätt att förstå hur eleven tänker vid

Elevens effektiva lösningsmetod till uppgift 1b

bedöms som effektivt resp. icke effektivt oberoende på det a resultat som elever fick. Därmed blir det mer intressant att se hur elever löser uppgiften. Med den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva lösningsmetoden får elever både rätt och fel i lösningar. Det är nog mycket intressant

tt se i vilken kategori elevers lösningar hamnar mest.

uppgiften med den formella lösningsmetoden multiplicerar in tal 2 bli mycket effektivare och snabbare om elever enkelt och snabbt genom nsterledet i samband med 6 i högerledet. Det pgift 1b använder 81 . Löses uppgiften effektivt lyckats med att lösa och angav rätt svar. effektiva lösning till uppgift 1b som

hur eleven tänker vid

till uppgift 1b

bedöms som effektivt resp. icke effektivt oberoende på det mer intressant att se hur elever löser uppgiften. Med den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva är nog mycket intressant

Tabell 1.1 Antalet R resp. F i den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva lösningsmetoden till uppgift 1b

Effektiv Icke Effektiv Blank

Antalet R(ätt) _{3 % 40 %}

25 %

Antalet F(el) _{0 % 32 %}

I Tabell 1.1 redovisar antalet elever som fick R(ätt) resp. F(el) i lösning till uppgift 1b med användning av den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva lösningsmetoden. I den icke effektiva lösningsmetodens kategori finns 40 % av elever som fick R i lösningen. Endast 3 % använder den effektiva lösningsmetoden.

4.4.2 Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 2

I uppgift 2 uppmuntras elever att behandla parentesterm (& + 2) som en enda term (en helhet) så att man kan faktorisera parentestermen. Sedan arbetar man med annulleringslagar eller fortsätter att faktorisera (& − 2) på nytt. Det finns 91 elever som valt att utföra multiplikation av två parentestermer (& + 2) och (& − 3) med hjälp av den distributiva lagen. Ett fall som är mycket intressant att nämna här är att det finns en enda elev som har behandlat (& + 2) som en enda term.

I illustrationen nedan (Bild 1. 3) anser jag att elevens lösning är ett bra exempel till den som kallas Den effektiva lösningsmetoden. I Bild 1.3 har eleven förutom behandlat _{(& + 2) som en enda term, även löst uppgiften med den andra} lösningsmetoden, dvs. att eleven behandlat återigen parentesterm (& − 2) som en enda term och sedan tillämpar annulleringslagar (Kolla vid pilen!). Men åt andra sidan rekommenderas inte den typen av lösningsmetod. Den anses vara inte korrekt vid tillämpning av annulleringslagar på det viset eftersom (& + 2) = 4 endast om & ≠ 2.

Bild 1.3 Elevens effektiva lösning Vid borttagning av termen,

att parentesterm (& − 2) inte är lika

Tabell 1.2 Antalet R resp. F i den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva lösningsmetoden till uppgift 2

Antalet R(ätt)

Antalet F(el)

I Tabell 1.2 ser vi att det finns endast 1 % som har den effektiva lösningsmetoden o samtidigt fick ett R i lösning

den icke effektiva lösningsmetodens kategori. Antal effektiva lösningsmetoden och

med hela 50 %.

4.4.3 Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 3

Avsikten med uppgift 3 är att elever ska kunna tillämpning av kvadreringsregeln

lösningsmetod anses var effektiv samt komprimerar 2(1 + 2 eleverna kan se 2(1 + #) _som termen samt inte multiplicera ser ut så här 4(1 + #) _{= 9 ∙}

91 elever har använt den icke effektiva lösningsmetoden, d. v. s. att uppgiften med att utföra multiplikation av två parentestermer

Elevens effektiva lösningsmetod till uppgift 2 Vid borttagning av termen, (& − 2), måste man ta hänsyn till uppfyl

inte är lika med noll.

F i den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva lösningsmetoden till uppgift 2

Effektiv Icke Effektiv

1 % 31 %

0 % 50 %

ser vi att det finns endast 1 % som har den effektiva lösningsmetoden o fick ett R i lösningen medan 31 % av elever fick R i lösningen men

den icke effektiva lösningsmetodens kategori. Antalet elever som inte har den effektiva lösningsmetoden och samtidigt fick det fel i lösningen utgör

Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 3

Avsikten med uppgift 3 är att elever ska kunna lösa ekvationen med faktorisering kvadreringsregeln genom tolkning av algebraiska

effektivt om elever kan bryta ut tal 2 från uttrycket

2# + #_{) till 2(1 + #). Nästa steg blir det mer smidigt att} ) som en enda term och adderar ihop sedan med en liknande

cerar ihop faktorer 9·4, vilket man får en ny ekvation som ∙ 4. Ekvationen löses med annulleringslagar.

elever har använt den icke effektiva lösningsmetoden, d. v. s. att uppgiften med att utföra multiplikation av två parentestermer (2#

till uppgift 2

måste man ta hänsyn till uppfyllt villkor & ≠ 2 så

F i den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva

Blank

18 %

ser vi att det finns endast 1 % som har den effektiva lösningsmetoden och av elever fick R i lösningen men tillhör elever som inte har den utgör en stor grupp

med faktorisering och algebraiska uttryck. Elevers uttrycket (2# + 2) . Nästa steg blir det mer smidigt att sedan med en liknande år en ny ekvation som nnulleringslagar.

elever har använt den icke effektiva lösningsmetoden, d. v. s. att 91 elever löser ( # + 2)(1 + #) resp.

en parentes 2(1 + 2# + #₎

medför att räkningen blir mer komplicerad och

många fel i lösningar. Många elever inte kunde gå vidare med uppgiften. De flesta avstannade och lämnade uppgiften mitt under lösningsprocess

har försvårats betydligt.

I Bild 1.4 visar ett exempel i den effektiva lösningsmetoden. Eleven har visat sin förmåga att se molekylära matematiska former som en helhet och behandlade den helheten i förhållande till andra algebraiska uttryck i s

inte vill rekommendera hos el

lösningsmetod är att eleverna är vana vid att utföra

faktorer 9 ∙ 4. De ser knappast faktorer som en möjlighet beräkningen, snarare som ett

Bild 1.4 Elevens effektiva lösning Återigen ser man att den

Antalet elever som fick R resp. F i

resp. 53 %. Samma procentenhet (2 %) gäller för antalet elever som fick R resp. F med den effektiva lösningsmetoden.

) samt multiplicera ihop 9 ∙ 4 från det första steget räkningen blir mer komplicerad och resultat blir det

många fel i lösningar. Många elever inte kunde gå vidare med uppgiften. De flesta avstannade och lämnade uppgiften mitt under lösningsprocess eftersom

I Bild 1.4 visar ett exempel i den effektiva lösningsmetoden. Eleven har visat sin förmåga att se molekylära matematiska former som en helhet och behandlade den helheten i förhållande till andra algebraiska uttryck i samma ekvation. En sak som jag hos elevens lösningsmetod och även många andra elevers lösningsmetod är att eleverna är vana vid att utföra avsiktligt multiplikation av

. De ser knappast faktorer som en möjlighet till ett vanligt räknesätt utan någon strategi.

Elevens effektiva lösningsmetod till uppgift 3 icke effektiva lösningsmetoden dominerar

resp. F i uppgift 3 med den icke lösningsmetoden är 20 % . Samma procentenhet (2 %) gäller för antalet elever som fick R resp. F med den effektiva lösningsmetoden.

från det första steget, vilket resultat blir det att eleverna fick många fel i lösningar. Många elever inte kunde gå vidare med uppgiften. De flesta eftersom uppgiften I Bild 1.4 visar ett exempel i den effektiva lösningsmetoden. Eleven har visat sin förmåga att se molekylära matematiska former som en helhet och behandlade den amma ekvation. En sak som jag ånga andra elevers multiplikation av till förenkling av

till uppgift 3

dominerar i Tabell 1.3. med den icke lösningsmetoden är 20 % . Samma procentenhet (2 %) gäller för antalet elever som fick R resp. F

Tabell 1.3. Antalet R och F i den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva lösningsmetoden till uppgift 3

Antalet R(ätt)

Antalet F(el)

4.4.4 Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 4

Den effektiva behandlingen av uppgift 3, d. v. s. att elever

blir lätt för dem att tillämpa annulleringslagar. I Figur 8.1

lösningsmetoden vid lösning av uppgift 4a, exempel i den effektiva lösni

Bild 1.5 Elevens effektiva lösning

Man ser att den formella lösningsmetoden är fortfarande populär denna uppgift, dvs. att elever multiplicera

och faktorer 3∙ 6. 63 elever har lösts uppgiften annan lösningsmetod som är mer effektiv

Den effektiva behandlingen av elev

på elevers tillämpning av konjugatregeln.

Antalet R och F i den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva till uppgift 3

Effektiv Icke Effektiv

2 % 20 %

2 % 53 %

Den effektiva lösningsmetoden på uppgift 4

Den effektiva behandlingen av lösning till uppgift 4a har samma eleverna kan omskriva och tolka algebraiska

tillämpa konjugatregeln, faktorisera och arbeta m annulleringslagar. I Figur 8.1 visar det att 15 elever har den effektiva

vid lösning av uppgift 4a, varav 5 elever fick det rätt i lösningen. Ett exempel i den effektiva lösningsmetoden demonstreras i Bild 1.5.

Elevens effektiva lösningsmetod till uppgift 4a en formella lösningsmetoden är fortfarande populär att elever multiplicerat ihop två parentestermer

. 63 elever har lösts uppgiften på det viset, endast 15 elever väljer annan lösningsmetod som är mer effektivare.

fektiva behandlingen av elevlösning till uppgiften 4b lägger tyngdpunkt endast av konjugatregeln. 26 elever har löst uppgiften enligt Figur 8.1 Antalet R och F i den effektiva lösningsmetoden resp. den icke effektiva

Blank

23 %

har samma kriterier som i algebraiska uttryck så att det konjugatregeln, faktorisera och arbeta med att 15 elever har den effektiva rätt i lösningen. Ett

till uppgift 4a

en formella lösningsmetoden är fortfarande populär vid lösning av ihop två parentestermer (2& − 1)(1 + 2&) på det viset, endast 15 elever väljer tyngdpunkt endast har löst uppgiften enligt Figur 8.1.