Att utöva matematikdidaktik

Malmö högskola

Lärarutbildningen

Barn Unga Samhälle

Examensarbete

15 högskolepoäng

Att utöva matematikdidaktik

To exercise mathematics education

Patricia Möller

Lärarexamen 210hp Handledare: Ange handledare

Barndoms- och ungdomsvetenskap 2011-03-04

Examinator: Eva Nyberg Handledare: Annika Månsson

3

Abstract

Titel:

Författare:

På senare tid har det genomförts diverse nationella och internationella studier kring matematikdidaktik. Slutsatsen är entydig; medvetenhet om matematikdidaktik i skolan gagnar elevers matematikkunnande. Det räcker inte att matematiklärarna har kunskap i matematik utan de måste också kunna förmedla den kunskapen till eleverna så att lusten och intresset för matematik väcks och vidmakthålls. Syftet med föreliggande studie är att undersöka två fjärdeklasslärares tillämpande av matematikdidaktik vid introduktion och genomförande av nya matematikuppgifter. Uppsatsens teoretiska del utgår från en litteraturstudie kring relevanta undervisningsmetoder och speciellt fokus är lagt på begreppet matematikdidaktik. Här förklaras även skillnaden mellan matematik som vetenskap och den matematik som vi lär oss i skolan, så kallad skolmatematik.

I den empiriska studien har två lärare i matematik från två olika skolor deltagit. Undersökningens insamlade material består av observationer och informella samtal med berörda lärare, deras synpunkter kring matematikdidaktik, undervisningsmetoder och användningen av laborativt material som en del i utövandet av matematikdidaktik. Frågeställningar som ligger till grund för detta arbete är följande: Vilka val görs i introduktionen och genomförandet av nya matematikuppgifter? Vilka iakttagelser går det att göra gällande två olika lärares matematikundervisning i två skolor med olika upptagningsområden? Vilken typ av undervisningsmaterial används? Utifrån studien har jag dragit slutsatsen att lärarnas undervisningsmetoder saknar ett brett utövande av matematikdidaktik. Det avspeglar sig i läroboksstyrd matematikundervisning och elevernas svårigheter att tillämpa olika beräkningsprocedurer i andra sammanhang, det vill säga att de ska förstå vad uppgiften handlar om och hur de ska angripa problemet. I stor utsträckning återgick eleverna till böckerna för att hitta svar på det de inte hade förstått efter genomgången. En del av eleverna frågade läraren medan andra blev frustrerade. Visserligen fanns en grupp av elever som hade lättare att förstå och visste vad de skulle göra, men de utgjorde inte majoriteten i klassen.

5

Förord

Det har varit intressant och lärorikt att fördjupa sig i begreppet matematikdidaktik, en kunskap som jag kommer att ta med mig i mitt framtida yrke.

Jag vill rikta ett stort tack till alla deltagande elever i klasserna där jag har genomfört mina undersökningar samt deras matematiklärare som har utgjort underlaget för mitt arbete. Jag vill även tacka min handledare, Annika Månsson, som under arbetets gång har gett mig värdefulla råd och handlett mig igenom arbetsprocessen.

Jag vill även framföra ett varmt tack till min kära mamma, som har varit ett enormt stöd i tid och otid. Vill även tacka min bror och syster för att ni har funnits där när jag behövde er. Slutligen vill jag tillägna detta arbete mina barn, Martin och Patrik. Ni har varit min inspirationskälla och styrka under hela min utbildningsresa. Tack för att ni stått ut!

Malmö, 2011-02-10 Patricia Möller

6

Innehållsförteckning

1. INLEDNING ... 8

1.1 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR ... 10

2. FORSKNINGSÖVERSIKT OCH TEORETISK FÖRANKRING ... 11

2.1 UNDERVISNINGSTEORIER ... 11

2.1.1 Behavioristisk teori ... 12

2.1.2 Piaget och den konstruktivistiska teoribildningen ... 13

2.1.3 Vygotskijs sociokulturella inriktning ... 14

2.2 MATEMATIKDIDAKTIK ... 15 3. METOD ... 19 3.1 METODVAL ... 19 3.2 FORSKNINGSETISKA ÖVERVÄGANDEN ... 21 3.3 URVAL ... 21 3.3.1 Beskrivning av skolorna ... 22 3.3.2 Beskrivning av lärarna ... 23 3.4 GENOMFÖRANDE ... 23

4. RESULTAT OCH ANALYS ... 25

4.1 VAL SOM GÖRS AV INTRODUKTION OCH GENOMFÖRANDE AV NYA MATEMATIKUPPGIFTER ... 25

4.1.1 Björkskolan ... 25

4.1.2 Aspskolan ... 29

4.2 IAKTTAGELSER KRING VARIATIONEN MELLAN TVÅ OLIKA SKOLOR MED OLIKA UPPTAGNINGSOMRÅDE ... 32

4.2.1 Björkskolan ... 32

4.2.2 Aspskolan ... 32

4.3 UNDERVISNINGSMATERIAL SOM LÄRAREN ANVÄNDER SIG AV UNDER LEKTIONEN ... 33

4.3.1 Björkskolan ... 33

4.3.2 Aspskolan ... 34

4.4 SAMMANFATTANDE ANALYS OCH SLUTSATSER ... 35

5. DISKUSSION OCH KRITISK REFLEKTION ... 38

6. REFERENSLISTA ... 40

6.1 LITTERÄRA KÄLLOR ... 40

7

8

1. Inledning

Matematik är både glädje och tröst, lek och allvar. För olika individer kan matematik betyda en mängd olika saker, men bortsett från vad vi tycker om matematiken kan vi inte undgå att använda den i vår dagliga tillvaro. Det kan handla om en pojke som räknar hur många spelkulor han har i påsen, en flicka som räknar hur mycket pengar hon har i plånboken eller en familj som funderar på att köpa en ny bil. Matematik finns i allt och det är mer än siffror. Matematik är ett verktyg som hjälper oss att analysera och fatta beslut; matematik är ett språk. Det åligger lärarna ett stort ansvar att introducera matematiken som ett ämne eleverna kan använda sig av i sitt vardagliga liv. Hur lärarna lyckas introducera vårt första möte med matematikens värld kan vara avgörande för vår framtida hållning till ämnet. I en rapport som på uppdrag av Skolverket (2008) har genomförts genom intervjuer med lågstadieelever visas att under de första skolåren har de flesta lågstadieelever, till skillnad från högstadieelever, en positiv hållning till matematiken. Denna positiva hållning är något som lärarna bör ta tillvara och utveckla vidare. Dessvärre utvecklar en del elever frustration och tvivel på sin egen förmåga, då de inte känner sig matematiskt kunniga. Matematikpedagogen Malmer (2002:89– 91) hävdar att matematiksvårigheter hos vissa elever i vissa fall kan ha sin grund i lärarens förhållningssätt, arbetsformer och arbetssätt. Eftersom matematiken kräver både koncentrationsförmåga och abstraktionsförmåga av eleverna är det viktigt att lärarna tillämpar matematiken i olika sammanhang så att den blir begriplig och attraktiv för eleverna. På det sättet upphör ämnet att vara en uppsättning av abstrakta verktyg. Återigen, det är sättet och stilen som matematiken undervisas på som bidrar till elevernas attityd till ämnet. Det handlar om att utveckla och vidmakthålla elevernas lust och glädje för matematiken.

De senaste åren har det genomförts olika internationella och nationella undersökningar för att få kunskap om elevers matematikkunnande. IEA1_{som ansvarar för TIMSS}2 _{visar i sin}

1 _{IEA: International association for the evaluation of educational achievement} 2 _{TIMSS: Trends in international mathematics and science study}

9

internationella mätning som genomfördes 2007, att svenska elevers kunskaper i matematik återigen har sjunkit och i dagsläget ligger de under EU/OECD3_{-genomsnittet (Skolverket,}

2008:16–17). På grund av att trenden pekade nedåt gav Skolverket en grupp forskare i uppdrag att djupanalysera orsakerna till elevernas sjunkande resultat (Skolverket, 2008). I denna analys redovisade Per-Olof Bentley, universitetslektor i matematik och ansvarig för forskargruppen, följande:

 I jämförelse med EU/OECD-länderna har de svenska eleverna i snitt mer lektionstid till självständigt arbete utan lärares handledning.

 Matematiklärarna lägger inte tillräcklig tid på att prata matematik med sina elever och därmed upptäcker de inte om eleverna har förstått de nya begreppen på rätt sätt.

 Elever i den svenska skolan har mer läroboksstyrd undervisning, vilket leder till att elever enbart kan behärska själva beräkningen men har svårt att tillämpa beräkningsproceduren i andra sammanhang.

Att jag har valt att skriva mitt examensarbete om matematikdidaktik beror på mitt eget intresse för matematik och nyfikenhet inför att kunna lära mig mer om matematikdidaktik. Enligt Skolverkets lägesbedömning 2007 (2008) börjar eleverna i årskurs fyra tappa intresse och motivation för matematik. En av anledningarna påstås vara fördjupningen i matematikämnets abstrakta del. Utifrån dessa kriterier har jag valt att undersöka fjärdeklasslärares utövande av matematikdidaktik.

I styrdokument, Lpo 94 (Lärarens handbok, 2008) framhålls det att eleven ska behärska grundläggande matematiskt tänkande och kunna tillämpa det i vardagslivet. Även i kursplanen i matematik betonas vilka mål eleverna ska uppnå och sträva mot. Dock som saknas i alla dessa styrdokument är metodiska anvisningar för hur man ska uppnå målet (Wernberg, 2009).

Uppsatsens empiriska arbete genomfördes i två fjärdeklasser på två olika skolor i en större stad i södra Sverige. Björkskolan4 _{är en stor kommunal skola som har elever med blandad}

3 _{EU: Europeiska Unionen}

OECD: Organisation för ekonomiskt samarbete och utveckling

10

etnisk härkomst. Aspskolan är en storleksmässigt mindre friskola, där eleverna har en i stort sett mer homogen härkomst.

Min förhoppning är att denna uppsats skall bidra till en större förståelse kring matematikdidaktik för min egen del samt att uppsatsen kan tillföra matematikundervisningen och lärarna bättre kunskap om elevers matematikinlärande.

1.1 Syfte och frågeställningar

Det övergripande syftet med denna studie är att undersöka två fjärdeklasslärares tillämpande av matematikdidaktik vid introduktion och genomförande av nya uppgifter. Därför har jag valt att observera lärarnas val av undervisningsmaterial. Fokus i föreliggande studie kommer att ligga på matematiklärarna.

För att nå mitt syfte har jag satt upp följande frågeställningar:

 Vilka val görs i introduktionen och genomförandet av nya matematikuppgifter?

 Vilka iakttagelser går det att göra gällande två olika lärares matematikundervisning i två skolor med olika upptagningsområden?

11

2. Forskningsöversikt och teoretisk

förankring

I den här delen av examensarbetet kommer jag att presentera tidigare forskning samt begrepp och teorier som jag finner viktiga för min studie. I den första delen av kapitlet ges en översiktlig beskrivning av relevanta undervisningsteorier. I den andra delen av kaplitet fördjupar jag mig kring termen matematikdidaktik. Här behandlas även begreppet skolmatematik, vilket är den matematik vi lär oss i skolan och som skiljer sig från matematik som vetenskap. Jag kompletterar även min studie med inhämtad utländsk forskning om matematikdidaktik.

2.1 Undervisningsteorier

Säfström (2000:55), som är professor i pedagogik, anser att undervisningen är ett resultat av en process. I en sådan process anser Malmer (2002:25) att undervisningens innehåll ska anpassas efter elevernas förutsättningar. Därför kan inte undervisningen reduceras till planering, innehåll, strukturering av stoff med mera (Säfström, 2000:55). Vidare definierar ämnesdidaktikern Arfwedson undervisningen som en:

”målinriktad aktivitet där lärare ska lära ut och elever lära in fastställda kunskaper och färdigheter. Men lärare ska också lära ut och eleverna lära in själva inlärningens mekanik.” (Arfwedson 1998:15)

12

Arevik & Hartzell (2007:130–131), universitetslektorer inom utbildningsvetenskap, påpekar att varje lärare har sitt sätt att se på hur undervisningen bör och kan bedrivas. Läraren utvecklar egna undervisningstankar som bygger på den egna praktiken.

Claesson (2007:40–41), som är forskare i pedagogik och didaktik, beskriver att teorier om lärande har olika starkt genomslag vid olika tidpunkter och det kan påverka lärarens undervisningsmetoder. Det innebär att yrkesverksamma lärare som utbildade sig under 1960- och 1970-talet har influerats av behaviorismen. De som utbildade sig på 1980-talet har influerats av konstruktivismen och de som utbildade sig under 1990-talet och framåt har influerats av Vygotskijs sociokulturella inriktning. Detta innebär emellertid inte att lärarna använder sig av endast en inlärningsteori i sin undervisning.

Löwing (2006:66), som är filosofie doktor i matematikämnets didaktik, hävdar att avsikten med undervisningen i matematik är att eleverna, utifrån sin individuella förmåga ska kunna uppnå de fastställda målen som anges i kursplanen. I denna undervisningsprocess har läraren det yttersta ansvaret.

2.1.1 Behavioristisk teori

Behaviorismen var under lång tid den dominerande traditionen i skolan och samhället och det var denna lärandeteori som formade grunden för hur lärarna skulle undervisa i klassrummet. Ett av de viktigaste begreppen inom behaviorismen är stimulus och respons, där behaviorismens synsätt om lärande koncentreras. Det innebär att människans beteende främst studeras. Vad som händer inne i människan förbises och de mentala aktiviteter som krävs för att lärande ska ske negligeras (Arevik & Hartzell, 2007:186). Ahlberg (1995:23), som är forskare i pedagogik och specialpedagogik, kallar denna typ av lärande för mekanisk inlärning, eftersom den inte uppmuntrar till att se lärandet som en process utan enbart som en slutgiltig färdighet. Magne (1998:70) hävdar att undervisning som influeras av det behavioristiska synsättet kan leda till att elevernas motivation och vilja inte utvecklas eftersom undervisningen går ut på att belöna eller bestraffa det som eleven har gjort rätt eller fel.

13

I den behavioristiska traditionen har man uppfattningen att barnet är helt ”tomt” när det kommer till världen, utan någon kunskap alls, och samma uppfattning delade lärarna gällande skolbarnen. I korthet innebär detta att det behavioristiska synsättet underskattade barnet/eleven (Arevik & Hartzell, 2007:186). Vidare betonar författarna att detta synsätt inte gjorde någon skillnad på inlärning och utveckling. Man försökte helt enkelt tolka inlärningen enbart utifrån elevens slutgiltiga beteende och trodde att utvecklingen kunde konstateras genom att se på elevens beteendeförändring (a.a.).

En av de viktigaste faktorerna som bidrog till att den behavioristiska inlärningsteorin föll tillbaka var att behaviorismen bortsåg från språkets betydelse och människans inre tänkande (Säljö 2005). Arevik & Hartzell (2007:187) hävdar att den konstruktivistiska utvecklingen kan uppfattas som en reaktion mot behaviorismen.

2.1.2 Piaget och den konstruktivistiska teoribildningen

Claesson (2007:25–26) menar att utvecklingspsykologen Piaget är den som främst förknippas med den konstruktivistiska lärandeteorin. Piaget (1997) betonar att människan själv konstruerar sin egen bild av verkligheten genom att prova sig fram. Vidare förklarar Piaget (a.a) att inlärningen sker genom begreppen assimilation och ackommodation, vilket innebär att han ansåg att människors tänkande kunde delas in i olika stadier, som skulle relateras till barns ålder och inte till en utveckling inom ett specifikt ämneskunnande (a.a.).

I styrdokumentet, Lpo94 kan man se influenser av konstruktivismens tanke när man uppmanar eleverna att själva pröva olika arbetssätt och arbetsformer för att konstruera sin egen förståelse. Undervisning som följer en konstruktivistisk teori anser att eleven ska konstruera sin egen verklighet (Claesson, 2007:28). Det innebär enligt Ekstig (2000:148) att konstruktivismen betonar elevernas egna tankar och föreställningar, medan själva ämnets struktur inte längre framträder som det viktigaste för undervisningens uppläggning.

14

Magne (1998:47) förklarar att inom matematikinlärning konstruerar eleven själv sin egen kunskap av det han/hon tänker och förstår. Därför påpekar Claesson (2007:28–29) behovet av att de lärare som arbetar konstruktivistiskt ska sträva efter en förståelse av hur varje elev tänker om ett visst inlärt begrepp. Läraren ska försäkra sig om att eleven har förstått rätt. Om eleven inte har en korrekt uppfattning ska läraren förmås att utveckla sina elevers tänkande. Vidare förklarar Boaler (2000:5) att:

A student may be given the opportunity to”construct” their own understanding in a mathematics class /…/ But if they are not engaging in practices of discussion. /…/. They will not “develop mastery” of practices of procedure discussion or adaption, nor will they develop identities as people who adapt and discuss mathematical procedures.

Konstruktivistisk undervisning innebär att fokus läggs på den enskilda individens tänkande, vilket leder till en individualiserad undervisning. Claesson (2007:28–124) menar att läraren som individualiserar emellertid kan få svårt att räcka till för alla elever i klassen, eftersom det blir svårt att anpassa undervisningen till alla elever i klassen. Även Arevik & Hartzell (2007:187) summerar konstruktivismen på följande sätt: ”individen konstruerar sin egen kunskap”.

2.1.3 Vygotskijs sociokulturella inriktning

Barnslärandet har påverkats starkt av utvecklingspsykologen Vygotskijs sociokulturella kunskapssyn. Han ansåg att den sociala miljön påverkar hur människan lär sig något nytt (Claesson, 2007:31). Forskaren i matematikdidaktik, Kling Sackerud (2009:41) influerad av Vygotskij, menar att den sociala interaktionen mellan läraren och eleven är synnerligen viktig under lärprocesser, eftersom det är där som utvecklingen och lärandet sker. För Vygotskij äger lärandet rum genom att delta i ett sammanhang (Claesson, 2007:31). Utöver det betonar Vygotskij (1986) språkets betydelse som grunden för allt lärande, eftersom språket är ett redskap för ett växelspel mellan tanke och erfarenhet. Språket är ett instrument för att uppnå kunskap. Därför bör lärarna som undervisar i matematik vara medvetna om språkets betydelse och främja kommunikationen mellan lärare och elever och elever sinsemellan. Språket gäller

15

inte bara i de textuppgifter eleverna får utan även i det språk läraren själv använder (Malmer, 2002:45,54).

Vygotskij menar att för att eleven ska utveckla nya egna begrepp som han/hon ännu inte behärskar krävs det en medveten undervisning, (Arevik & Hartzell, 2007:188–189). Vygotskij betonar (enligt Bråten & Thurmann-Moe, 1998:108–109) att en god undervisning är en undervisning som skapar en ny mening och den präglas av dialog mellan lärare och elev. Vidare menar Vygotskij att ”undervisningen är en kommunikativ miljö där barnens spontant utvecklade begrepp möter vetenskapliga begrepp” (Riesbeck, 2008:222). Grunden för begreppsutvecklingen och skapandet av tankestrukturer är det sociala samspelet mellan människor, anser Vygotskij (Ahlberg, 1995:42).

När det gäller undervisningen är Vygotskijs inlärningsteori om den proximala utvecklingszonen en viktig utgångspunkt, eftersom undervisningen ska utgå från de processer som är under utveckling hos varje elev. I dessa processer ser man vad eleven redan kan utföra själv, så kallad aktuell utvecklingszon, och vad det han/hon kan uppnå i samspel med andra, så kallad proximal utvecklingszon (Bråten, 1998:108 och Ahlberg, 1995:42).

Riesbeck (2008:23), som är forskare i matematikdidaktik, anser att Vygotskijs teorier om lärande skulle konkret innebära att ”görandet” genomförs i mindre grupper medan ”talandet” ska ske i helklass eller i grupp.

2.2 Matematikdidaktik

Matematikdidaktik är ett relativt ungt forskningsområde i Sverige. Enligt Björkqvist (2003), som är forskare i matematikdidaktik, har denna disciplin växt fram i Sverige som forskningsfält under de senaste åren. Internationellt har utvecklingen inom matematikdidaktik kommit lite längre. För att förstå begreppet matematikdidaktik är det nödvändigt att fördjupa sig i förståelsen av matematik och didaktik. Beroende på var vi möter matematiken kan den definieras på olika sätt. I skolan definieras matematiken som ett skolämne och i forskningsmiljö definieras matematiken som en vetenskap.

16

Den första gången som ordet matematik påträffades i svenskt text var i slutet av 1600-talet (Englund, Pettersson & Tambour, 2007:6). För många av oss har våra föreställningar om matematik formats i skolan genom åren. Här är det återigen synnerligen viktigt att göra en distinktion mellan å ena sidan vetenskapen matematik och å andra sidan skolmatematik. Kling Sackerud (2009:22) hävdar att undervisningsämnet matematik, så kallad skolmatematik, definieras genom läroplanerna. Det innebär att skolmatematiken är i linje med politiskt formulerade mål och ska uppfattas som en social institution, vilken har till syfte att förmedla kunskaper i matematik. Även Lundin (2008:10–11) som är matematikforskare, skriver i sin avhandling om att matematik och skolmatematik är oupplösligt förenade med varandra. Likaså skriver Anna Wernberg (2009:142) i sin avhandling att för att skolmatematikens syfte ska uppnås är det viktigt att diskutera och problematisera skolmatematikens utmaningar och möjligheter.

I Nationalencyklopedin definieras matematik på följande sätt: ”matematik är en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling” och med vetenskap menas ”ett system av beprövade metoder, som används för att så noggrant som möjligt undersöka, beskriva och förklara” (Englund, Pettersson och Tambour, 2007:6.). Matematik som vetenskap handlar om logiskt tänkta uppgifter, som är antingen sanna eller falska (Magne, 1998:46).

För att få full förståelse av begreppet matematikdidaktik är det nödvändigt att även förklara termen didaktik. Ordet didaktik härstammar från det grekiska ordet ”didaskein”. Det kan översättas som både att undervisa, på ett passivt sätt, och att lära på ett aktivt och medierande sätt. Didaktiké betyder ”konsten att undervisa”. Didaktik betyder både undervisning och inlärning (Jank & Meyer, 1997:19). Det innebär att termen didaktik således inte bara kan uppfattas som en disciplin om skolans inlärning och undervisning utan också som förverkligandet av undervisnings- och inlärningsprocesser. Enligt Riesbeck (2008:37) är didaktik konsten om undervisning och inlärning.

Björkqvist (2003:11), professor i matematik, hävdar att ”tonvikten ligger delvis på bättre matematik via bättre matematikdidaktik”. På liknande sätt anser Magne (1998:45–46) att matematikdidaktik grundar sig på matematik, psykologi och pedagogik. Riesbeck (2008:38) är influerad av matematikdidaktikern Niss, och menar att ämnesdidaktik ska ses som en brygga mellan pedagogik, ämnesdidaktik och metodik. Det innebär att i matematikdidaktiken

17

lägger man vikten på matematik och matematikmetodik och intar positionen skolmatematik (Sandahl, 1994). Utöver det kan synen på matematiken spela en viktig roll när det gäller elevers framtida intellektuella självkänsla och välmående, eftersom den anses vara ett intellektuellt ämne i samhället, den uppfattas som ett begåvningsämne (Stendrup 2001:14, 55).

Vidare belyser Niss (2001:21, 26) att matematikdidaktik är en relativt ny disciplin som har blivit etablerad under de tre senaste decennierna. Han understryker att läraren som utövar matematikdidaktik måste ta i beaktande att det finns två viktiga områden i den matematikdidaktiska verksamheten. Det första rör undervisningen i matematik, där man ser på de försök som genomförs för att förmedla matematiska kunskaper. Det andra området är inlärning av matematik, där man lägger uppmärksamheten på vad som sker med elever som försöker tillägna sig matematiska kunskaper och färdigheter. Med andra ord bör syftet med den matematikdidaktiska verksamheten vara att främja och förbättra elevers inlärning i matematik för att denne successivt ska besitta matematisk kompetens.

I sin doktorsavhandling påvisar forskaren Kling Sackerud (2009) att med utgångspunkt i den matematikdidaktiska kontexten realiseras matematikundervisningen genom till exempel val av och sätt att använda texter. Läraren ska behärska olika arbetsmetoder och arbetssätt samt besitta goda ämneskunskaper för att kunna forma en undervisning där varje elev ges möjlighet att lära sig matematik (Löwing, 2008:17). Till exempel innebär en matematikundervisning som präglas av ett laborativt arbetssätt att läraren använder sig av laborativt material för att dels hjälpa barnen att förstå matematikens abstrakta natur och dels för att göra eleverna till mer effektiva problemlösare. Dock är det viktigt, för att eleven ska förstå de nya begreppen, att det laborativa materialet utnyttjas i ändamålsenliga och meningsfulla sammanhang. Läraren ska när det laborativa materialet används ha en god uppfattning om elevens förkunskaper, så att materialet anpassas i den kommande matematikundervisningen (Rystedt & Trygg, 2010:21–23,62). Ansvaret för matematikundervisningen ligger emellertid hos läraren, som ska se till att undervisningen inte överlämnas till läromedlet. Läraren bör ackumulera ett brett register av matematikdidaktiska kompetenser för att kunna uppfylla sin lärarroll (Kling Sackerud, 2009). Rystedt och Trygg (2010:63) menar att varje lärare i sin undervisning ska kunna besvara på de tre didaktiska

18

frågorna: ”Vad ska läras? Varför ska det läras? Hur ska eleverna få möjlighet att lära?” Dessa frågor bör utgöra lärarens grund för arbetssätt och innehåll i undervisningen.

6

3. Metod

I följande kapitel presenterar jag de metoder som har använts och hur jag har genomfört min undersökning. Jag motiverar och beskriver även de val gällande metod som jag har gjort för att nå syftet och jag tar även upp de etiska överväganden som har gjorts i denna studie.

3.1 Metodval

Det finns olika tekniker för att samla datainformation, till exempel observationer, intervjuer och enkäter. Det som avgör vilken teknik man väljer beror på vad som verkar ge bäst svar på ens frågeställningar i förhållande till de medel och den tid som står till förfogande (Patel och Davidson, 2003:63). Eftersom uppsatsens intention är att undersöka lärarnas tillämpande av matematikdidaktik vid introduktion och genomgång av matematikuppgifter har jag valt att använda mig av observationsmetod. Jag har även i viss mån haft möjligheten att genomföra informella samtal med lärarna kring enstaka undervisningstillfällen. Patel & Davidson (2003:87) anser att observationsmetoden är användbar när man ska samla information inom områden som berör beteenden och skeenden i naturliga situationer. Med ordet beteende menar författarna inte bara fysiska handlingar utan även relationer mellan individer, känslouttryck och fysiska handlingar. Även Stukát (2005) förklarar att observationsmetodens främsta syfte är att ta reda på vad människor faktiskt gör, inte bara vad de påstår att de gör. Det finns olika typer av observationer: strukturerade och ostrukturerade. Den förstnämnda typen följer ett observationsschema medan den andra typen inte har något schema men kräver en god teoretisk och empirisk kunskap om problemområdet (Stukat, 2005; Patel & Davidson, 2003:94). Av de tidigare nämnda skälen valde jag att genomföra en ostrukturerad observation eftersom jag inte använde mig av ett planerat observationsschema (a.a.).

20

Vidare poängterar Patel & Davidson (2003:96) att beroende på observationssituationen kan observatören förhålla sig på två olika sätt: antingen vara en deltagande eller icke deltagande observatör. En deltagande observation innebär att observatören går in som medlem i den aktuella gruppen. Jag har i denna studie använt mig av en icke deltagande ostrukturerad observationsmetod och för att undvika att någon viktig information gick förlorad förde jag kontinuerliga fältanteckningar med papper och penna samt använde en bandspelare. På grund av etiska skäl var det endast den ena lärarens lektioner som spelades in.

Förutom klassrumsobservationer bestod undersökningen av utvalda informella samtal med lärarna, där syftet var att få svar på frågor som uppstod under mina observationer. Lantz (1993) betonar att samtalet innebär att intervjuaren vanligtvis undersöker hur de intervjuade ser på en viss situation. Här får intervjupersonen förklara på sitt eget sätt samt fördjupa och utveckla sina svar. I föreliggande studie spelades samtalen jag hade med båda lärarna in. Enligt Kvale (1997:147) är inspelningen det vanligaste sättet att registrera intervjuer eller samtal, eftersom den låter intervjuaren fokusera på samtalets dynamik. Dessutom hävdar Trots (2001) att intervjuaren kan lära sig av sina egna misstag, då denne själv kan lyssna till intervjun och höra sin egen röst och sitt tonfall. Nackdelen med inspelningen är att den intervjuade kan känna sig besvärad över att bli inspelad (Kvale, 1997). Ytterligare en nackdel med inspelningen är transkriberingen eftersom det kan bli tidskrävande om man väljer att skriva ut hela samtalet (Patel & Davidsson, 2003:83). De samtal som genomfördes med mina informanter skedde efter enstaka undervisningstillfällen, både i och utanför klassrummen, då intentionen var att få en större förståelse av det som sades under lektionerna. Även när frågorna fördjupades om specifika händelser visade mina informanter en stor samarbetsvillighet.

Det övervägdes andra metodval såsom enkätundersökning, men jag kom fram att den metoden inte passar studiens syfte bäst. Enkätstudie samlar in kvantitativa data och det insamlade data kan snabbt administreras än en vanlig intervjustudie. Men enkätundersökning ger inte möjlighet till följdfrågor utanför den ram som enkäten är konstruerad inom. Det innebär att de svar man får är ytliga inte är djupgående (Trost, 2001).

21

3.2 Forskningsetiska överväganden

Kvale (1997) poängterar vikten av att skydda informanternas identitet. Därför har jag i allt det insamlade empiriska materialet inte skrivit informanternas namn eller arbetsplats utan konsekvent använt mig av fingerade namn, allt för att inte koppla dem till deras identiteter.

Som en del i att genomföra min undersökning informerade jag även mina informanter om Vetenskapsrådets forskningsetiska principer som jag avsåg att följa:

a. Forskaren skall informera de av forskningen berörda om den aktuella forskningsuppgiftens syfte. /…/

b. Deltagare i en undersökning har rätt att själva bestämma över sin medverkan. /…/

c. Uppgifter om alla i en undersökning ingående personer skall ges största möjliga konfidentialitet och personuppgifterna skall försvaras på ett sådant sätt att obehöriga inte kan ta del av dem. /…/

d. Uppgifter insamlade om enskilda personer får endast användas för forskningsändamål”. (Vetenskapsrådet, 2010:7,9,11,14).

Under hela undersökningsprocessen har respondenterna deltagit på frivillig basis och respondenterna kunde dra sig ur undersökningen när som helst. Det gav dem en trygghet och frihet att delta i studien. Respondenterna visade även en positiv hållning och nyfikenhet för hur arbetet fortgick.

Utifrån studiens syfte kommer jag i nästa avsnitt att redogöra för relevant information om undersökningsgruppen och skolorna.

3.3 Urval

Den här delen av arbetet kommer att beskriva skolorna och klasslärarna utan att gå in på deras enskilda säregenheter. Undersökningsgruppen består av två matematiklärare från två olika skolor i en stad i södra Sverige. Skolorna valdes ut utifrån sina olikheter beträffande storlek, studieresultat och föräldrarnas engagemang och delaktighet. Även i massmedia har skolornas

22

divergenser inom dessa områden uppmärksammats. Utifrån dessa kriterier har det varit intressant för mig att undersöka matematikdidaktiskt utövande i dessa skolor. Klasslärarna valdes ut för att de arbetade på dessa skolor och för att de undervisade i matematik i årskurs fyra. Det har inte på något sätt varit min ambition att jämföra skolornas kvalitet eller lärarnas kunskapsförmåga.

Johansson och Svedner (2006:29) påpekar att det av etiska skäl är synnerligen viktigt att respektera dem som deltar i studien. Därför har jag för att undanhålla mina informanters identitet följt Vetenskapsrådets huvudkrav (se avsnitt 3.2) när det gäller presentationen av skolorna och lärarna. I nästa avsnitt beskrivs skolorna och klasslärarna utan att gå in på deras enskilda ordval.

3.3.1 Beskrivning av skolorna

Björkskolan är en kommunal F-6-skola som ligger i en stad i södra Sverige. Den är belägen i innerstaden med ett relativt brett upptagningsområde. Den betecknas som en mångkulturell skola, där över hälften av alla elever har en förälder som är född utomlands. Skolan har två klasser för varje årskurs och en klass i särskolan. Föräldraengagemang och delaktighet är lågt trots att det har blivit bättre de senaste åren. Allmänt är det svårt att få föräldrarna att komma på föräldramöte och ännu svårare att få dem att delta i andra aktiviteter som skolan anordnar. Skolan har svårt att få ett fungerande föräldraråd. Den sociala bakgrunden är väldigt varierad och få föräldrar har högskoleutbildning. Enligt skolans kvalitetsredovisning för läsåret 2009/2010 har skolans studieresultat på de nationella proven förbättrats.

Aspskolan är en F-9-skola som ligger i stadens ytterområde i ett välbärgat område. Aspskolan har tidigare varit en privatskola och numera är den en friskola. Trots att skolan har vuxit under de senaste åren är ändå Aspskolan storleksmässigt liten i jämförelse med andra kommunala skolor. Skolan har enbart en klass för varje årskurs. Trots mina försök att få mer information om skolan har jag inte lyckats, eftersom skolledningen har hänvisat till att skolan inte har några skyldigheter att bistå med sådan information då det är en friskola. Mina noteringar om skolan och elevernas och föräldrarnas sociala och ekonomiska bakgrund är

23

grundade på det som jag har fått veta av läraren och på mina egna iakttagelser. Föräldrarna är till stor del välutbildade och endast en liten minoritet av eleverna har en icke-svensk etnisk härkomst. De flesta av klassens elever bor i stadens välbärgade stadsdelar. Föräldraengagemang och delaktighet är stort. I stort sett deltar alla föräldrar på alla möten som skolan sammankallar till. Skolan har ett väl fungerande föräldraråd. Aspskolan är en eftertraktad skola på grund av sitt goda rykte gällande elevers goda resultat. Även i massmedia har skolan benämnts som en av de bästa i Skåne gällande betyg. Upptagningsområdet är mycket brett och det innebär att vem som helst kan söka sig dit, men för att motverka ett stort elevantal i varje klass har skolan ett kösystem.

3.3.2 Beskrivning av lärarna

Hanna är mellanstadielärare och klasslärare för en 4:a i Björkskolan. Hon har matematik som sitt huvudämne. Hanna har varit yrkesverksam i mer än femton år och har under dessa år undervisat i matematik.

Johan är också mellanstadielärare och mentor för årskurs fyra i Aspskolan. Han har varit yrkesverksam i mer än tio år. Hans huvudämnen är de samhällsorienterade ämnena men han har under de senaste åren undervisat även i andra ämnen. I denna studie kommer inte lärarnas kön att tas i beaktande. Av etiska skäl benämns mina informanter med fiktiva namn.

3.4 Genomförande

Mitt syfte med arbetet är som sagt att undersöka fjärdeklasslärarnas utövande av matematikdidaktik. Jag vill betona att min studie har för avsikt att enbart ge en bild av hur två lärare utövar matematikdidaktik under matematiklektionerna och ingenting annat. För bästa resultat har jag redan från början strävat efter att bearbeta all min empiriinsamling på ett grundligt sätt.

24

Eftersom jag hade en initial tanke om att mitt examensarbete skulle handla om matematikdidaktik, kontaktade jag personligen mina informanter angående deras medverkan i min studie. Mina informanter träffade jag året innan under min verksamhetsförlagd tid (VFT). Det kunde ha varit en nackdel att redan innan känna informanterna men i detta specifika fall har det varit en fördel. Lärarna har under hela processen varit positiva och mycket samarbetsvilliga. Då fokus på empiriarbetet var att observera och samtala med lärarna var föräldrarnas samtycke inget som behövdes. Däremot blev eleverna informerade om allt som berörde deras deltagande i förhållande till mitt arbete.

De empiriska studierna har omfattat klassrumsobservationer. Det blev sammanlagd tolv observationer och varje lärare observerades under sex lektionstillfällen i ämnet matematik. Under observationstillfällena valde jag att sitta på olika platser i klassrummet för att kunna få en bra överblick över hur eleverna verkade uppfatta det som lärarna yttrade under lektionerna. Klassrumsinteraktionen och framför allt kommunikationen har varit av stort intresse i observationsdelen. För att underlätta min analys av mina fältobservationer valde jag att under observationerna preliminärt kategorisera lärarnas inlägg. Patel & Davidson (2003:109) förklarar att när man har samlat in information i ett forskningsarbete ska man systematisera, komprimera och bearbeta materialet för att kunna besvara de frågor man har ställt sig. I mina fältanteckningar noterades även lärandemiljön, aktiviteternas varaktighet, lärarnas engagemang och lektionernas innehåll. Allt empirimaterial har transkriberats men efter att ha bearbetat materialet har jag av etiska skäl raderat all transkribering för att försäkra mig om att mina informanter inte blir igenkända. En noggrant renskriven text av allt mina informanter har sagt har varit underlag för analys, diskussion och kritisk reflektion.

Förutom observation fick jag möjlighet att genomföra informella samtal med lärarna. Samtalen genomfördes direkt efter lektionerna och dokumenterades med hjälp av en diktafon. Utöver det fick jag Hannas medgivande att använda mig av ljudupptagning under hennes lektioner så länge jag inte spelade in elevernas röster. Dessvärre ansåg Johan att ljudupptagning var omöjlig att genomföra i Aspskolan.

25

4. Resultat och analys

I analyskapitlet använder jag mitt syfte och mina frågeställningar som utgångspunkt då jag lägger fram mina slutsatser. Jag har medvetet gjort ett urval av mina observationer och valt att synliggöra de observationstillfällen som på bästa sätt svarar på mina frågeställningar. Detta kapitel kommer därför att vara utformat med följande underrubriker:

 Val som görs vid introduktion och genomförande av nya matematikuppgifter.

 Iakttagelser kring variationen gällande två skolor med olika upptagningsområden.

 Undervisningsmaterial som läraren använder sig av under lektionen. Sammanfattande analys och slutsatser kommer att finnas i slutet av detta kapitel.

4.1 Val som görs av introduktion och genomförande av

nya matematikuppgifter

I kursplanen för matematik står det att undervisningen i matematik ska sträva efter att elever ska utveckla intresse för matematik samt tilltro till den egna förmågan att lära sig matematiken.

4.1.1

Björkskolan

Klassrummet på Björkskolan är stort och det finns gott om utrymme. Det finns fyra stora bord och vid varje bord sitter en grupp av fyra till fem elever. Eleverna är könsblandat placerade

26

och på varje bord finns det en låda med pennor, linjaler och suddgummi, som alla elever som sitter vid bordet kan använda sig av vid behov. Klassrummets inredning synliggör tydligt och ger eleverna god tillgänglighet till de laborativa material som finns i klassrummet. I den ena bokhyllan finns det våg, vikter, måttband, andra matematikböcker med mera, som eleverna kan använda sig av. Alla dessa laborativa material finns lättillgängliga för eleverna. Eleverna har tillgång till ett mindre grupprum, som ligger i anslutning till klassrummet. Eleverna har ingen tillgång till dator i klassrummet.

Hanna är för det mesta glad och har en behaglig och mjuk framtoning. Dagen brukar inledas med att hon tar i hand och hälsar på alla elever innan de går in i klassrummet. Väl därinne ber hon eleverna att ta fram sina matteböcker, pennor och anteckningsblock medan hon skriver upp dagens lektionsgenomgång på tavlan. Därefter genomför hon genomgången muntligt och frågar eleverna om det är något som är oklart. När inga frågor ställs brukar Hanna slumpmässigt, som jag uppfattar det, fråga två till tre elever vad de ska göra, bara för att försäkra sig om att budskapet har gått fram. Hon brukar då ställa följande frågor: ”Vad ska ni göra nu? Är det någon av er som inte vet vad ni ska göra nu? Observationerna tyder på att Hanna är väldigt mån om att eleverna ska ha klara instruktioner om vad de ska göra. Under alla mina observationstillfällen på Björkskolan har jag aldrig sett Hanna behöva höja rösten mot eleverna för att de ska göra som hon säger. Jag upplever att det råder ett respektfullt klimat i klassrummet. Då och då behöver hon emellertid påminna eleverna om att sänka rösten och jobba med matematikboken.

Matematikpasset varar femtio minuter, varav ca femton minuter är lektionsgenomgång. Vanligtvis inleds lektionen med en kort repetition av det de har gjort dagen innan. Därefter fortsätter de med att räkna nya uppgifter. Det är mer regel än undantag att de ”nya” matteuppgifterna som förklaras på tavlan är direkt tagna ur matematikboken. Eleverna verkar inte alls reflektera över att det är så. Det verkar som att eleverna är införstådda med att genomgången ska ske på det sättet. Matematikboken heter Matte Direkt Borgen för årskurs fyra.

Endast vid få tillfällen har jag sett Hanna använda sig av laborativt material vid introduktion av nya uppgifter. För det mesta är det hennes röst och tavlan som används. Under den tid som jag genomförde mina observationer arbetar klassen med bokens första kapitel, vilket är en repetition av det de har gjort i trean. Det märktes tydligt att för några få elever är det lätt att

27

komma igång, eftersom de räknar flytande och är mycket längre fram än alla andra. För de flesta verkar genomgången fräscha upp deras minne och det tyder jag som ett tecken på att eleverna inte känner sig så säkra på hur de skulle lösa uppgifterna. För enstaka elever i klassen verkar genomgången svårt att förstå. Mitt intryck är att Hanna vet vilka elever som hade det svårast, eftersom jag vid olika tillfällen ser henne gå fram till dem.

Under ett av mina observationstillfällen förklarar Hanna för klassen kopplingen mellan addition och subtraktion. Hon skriver följande uppgift på tavlan och ställer följande frågor:

𝑋 + 5 = 12

- Vad tror ni att X ska stå för?

- Hur skulle du kunna lösa den här uppgiften? - Vad kan man göra?

- Kan man använda andra räknesätt för att få fram svaret?

Hanna väntar en stund för att ge alla möjlighet att reflektera över uppgiften. När Hanna ställer de så kallade öppna frågorna kan jag se spår av konstruktivism som Claesson (2002:28) förklarar det, eftersom hon vill låta eleverna reflektera och samtidigt får veta hur eleverna förstår just det som de går igenom. När Hanna senare ber eleverna att svara på hennes frågor är det endast sju elever som räcker upp handen. Dessa elever verkar enligt mig väldigt säkra på hur man ska lösa uppgiften och en av dem får till sist förklara hur man ska göra. Eleven förklarar väldigt detaljerat och jag kan se på de andra eleverna att de verkar förstå. Han gör om uppgiften till:

𝑋 + 5 = 12  12 − 5 = 𝑋

Efter genomgången sätter sig Hanna vid sin kateder och rättar elevernas läxor. Då kan det vara mellan fyra till fem barn som väntar innan de kan börja räkna uppgifterna i boken. Om Hanna märker att det tar lång tid, det vill säga mer än tio minuter, ber hon eleverna att hjälpa varandra, till exempel om eleverna inte får samma resultat på en uppgift. Hannas sätt att hantera problemet tolkar jag som spår av Vygotskijs sociokulturella inriktning, som Ahlberg

28

(1995:43) poängterar. Här får till exempel olika elever berätta hur de tror att uppgiften ska lösas och det gynnar deras kognitiva utveckling.

I regel brukar det vara under lektionens sista tio minuter som Hanna går runt och kontrollerar hur det har gått för eleverna. Det är nu som Hanna kan se vilka elever som har förstått vad de ska göra för att lösa uppgifterna. I Hannas handling kan jag se ett spår av konstruktivistiskt synsätt (Ahlberg, 1995:26–27), när hon vill ta reda på hur eleverna har konstruerat sin egen uppfattning av hur de ska lösa uppgifterna i boken.

För övrigt sitter eleverna och jobbar individuellt med sina matteböcker. Hannas syn på matematikboken kan jag tyda när hon vid upprepade tillfällen säger: ”vi ligger lite back, vi måste hinna göra klar boken till jul”, ”nu (efter genomgången) får ni räkna på en gång, missa inte någon tid” och ”du kan inte vänta, du måste jobba”. Sättet att fokusera på läromedlet innebär att läraren låter läromedlet styra undervisningen och därmed lägger läraren ansvaret för matematikundervisningen på läromedlet (Kling Sackerud, 2009).

Vid det här observationstillfället använder sig Hanna av laborativt material för att hjälpa en elev att förstå och lösa en uppgift i boken. I den här uppgiften använde sig Hanna av pennorna som fanns på bordet i lådan. Uppgiften var:

23 + 5 = 𝑋

Eftersom Hanna märkte att eleven inte kunde lösa denna uppgift valde hon att hjälpa eleven att beräkna entalen först, det vill säga tre och fem. I mina iakttagelser verkade eleven ändå väldigt osäker på hur hon skulle räkna. Av den anledningen tror jag att Hanna valde att lösa uppgiften laborativt. Hanna lade tre pennor på ena sidan och fem pennor på den andra och bad eleven att räkna en i taget.

3 + 5 = 𝑋

Sättet som Hanna brukar de laborativa materialen är i samklang med det som Rystedt & Trygg (2010:21–23,62) betonar om de laborativa materialens användning, de ska vara anpassade till elevens förkunskaper. Jag tror att eleven hade lättare att visualisera och lösa

29

uppgiften laborativt. Malmer (1998:87) påpekar betydelsen av att lyckas räkna och lösa en matematisk uppgift på rätt sätt, det ökar elevens motivation och självförtroendet höjs.

4.1.2

Aspskolan

Klassrummet på Aspskolan är mindre än på Björkskolan. Klassen har ingen tillgång till något grupprum. Dessutom verkar klassrummet inte ha någon välfungerande ventilation, eftersom luften i klassrummet känns tung efter bara halva arbetspassen. Elevernas bänkar är placerade i fem grupper med fem bänkar i varje rad. Läraren har tillgång till en dator som är kopplad till en projektor. Klassrummet upplevs som trångt och inredningen försvårar elevernas åtkomlighet till de laborativa material som finns i rummet. De synliggörs inte för eleverna. Med små skillnader är de laborativa material som man använder på Aspskolan ungefär desamma som på Björkskolan.

Johan är klasslärare för årskurs fyra och precis som Hanna undervisar han i matematik. Johan har en väldigt lågmäld framtoning. Han har haft långa vikariat på denna skola, så han är välbekant med skolans arbetssätt och arbetsmetoder. Eftersom Johan har arbetat på andra skolor kan han märka skillnaden på att vara lärare på denna skola jämfört med andra skolor. Här kan man kräva mer av eleverna, anser Johan. Han uttrycker det på det här viset: ”föräldrarna hjälper sina barn med läxorna, de ser till att läxorna blir gjorda” och ”här vet man att föräldrarna kommer att kolla att barnen gör läxorna”. Johan tror att det beror på följande: ”på denna skola finns det många barn som har högutbildade föräldrar. De vill helt enkelt att deras barn ska kunna mer. Men det betyder att de ställer högre krav på oss” (läraren).

Lektionen varar i femtio minuter, varav ca tjugofem minuter är lektionsgenomgången. Vid introduktion av en ny uppgift ber Johan eleverna att ta fram sina matteböcker, så att de ”kan följa genomgången”. Jag upplever att genomgången saknar inlevelse och är för lång för att behålla elevernas koncentration. Eleverna blir dåsiga och har svårt att sitta still; de blir lätt okoncentrerade. Klassen arbetar med bokens första kapitel och precis som på Björkskolan är

30

det första kapitlet en repetition av det som de har gjort i trean. Boken de använder heter Alma A för årskurs fyra.

Under mina observationer på Aspskolan är Johans lektioner, förutom ”Logik-lektioner”, helt läroboksstyrda. Även de uppgifter som Johan går igenom i genomgången är tagna och förklaras på samma sätt som i boken. Eftersom Johan enbart förklarar på samma sätt som det står i matematikboken kan jag tolka det som ett spår av förmedlingspedagogiken. Brown och Campione (enligt Bråten, 1998:112) förklarar förmedlingspedagogiken på följande sätt:

the teacher lectures and the students listen (…) Teachers do not expend much effort in making on-line diagnoses of individual students’ capabilities (…). Teachers appear to follow a ‘curriculum script’ (…) [with] (…) students expected to proceed at the same rate.

En annan faktor som kan vara orsak till läromedelsburna lärare, som jag upplever vara fallet i den här klassen, är lärarens egen kunskap om det som ska undervisas om (Löwing, 2006:19). Vid en gemensam genomgång om addition i flera steg ställer Johan följande frågor:

- Är det någon som vet vad addition i flera steg är för något? - Varför tror ni att man använder addition i flera steg?

Eleverna sitter och tänker en liten stund innan några elever vill svara på frågorna. Jag tolkar Johans frågor delvis som ett sätt att främja kommunikation mellan honom och eleverna och som ett sätt för Johan att få vetskap om elevernas kunnande om denna fråga. I Johans handling kan jag se ett spår av sociokulturellt synsätt. Malmer (2002) poängterar betydelsen av Vygotskijs tes om kommunikationens betydelse. Efter att frågorna besvarades förklarar Johan addition i flera steg genom att ta ett exempel ur matteboken.

421 + 669 = 𝑋 - Hur ska det se ut på båda sidor av likhetstecken? - Hur ska man räkna ut uppgiften på det enklaste sättet?

31

Sammanlagt blir det fyra elever som räcker upp handen och vill svara på Johans frågor. I mina återkommande observationer märker jag att samma elever är väldigt aktiva på lektionerna och arbetar mycket flitigt. Jag märker även att Johan tenderar att låta dessa elever svara på frågorna. Under denna specifika genomgång får en av dessa elever gå fram till tavlan och förklara. Eleven sa att ”man först ska addera hundratalen, tiotalen och sedan entalen, och då kommer uppgiften stegvis se ut så här”:

400 + 600 = 1000 20 + 60 = 80

1 + 9 = 10 Och till sist skulle man addera alla talen

1000 + 80 + 10 = 1090

Ännu vid detta observationstillfälle får jag intrycket att det finns två tydliga grupper i klassen, en grupp av elever som har en god matematiskförståelse och en annan grupp som verkar vara medvetna om att de inte riktigt förstår vad de räknar. Mitt intryck är att de elever som kan lösa sådana liknande uppgifter har lättare att förstå vad eleven förklarar då. Samtidigt märker jag att det finns ett fåtal elever som har ett stort behov av en ännu djupare genomgång, men det uteblir. Trots att dessa elever påpekar vid olika tillfällen att de inte förstår hur pojken kommer fram till lösningen, väljer Johan även vid detta tillfälle att inte gå igenom uppgiften igen. Senare under lektionspasset är de sistnämnda eleverna som ägnar sin uppmärksamhet mer åt att prata med varandra än att försöka lösa uppgifterna. Ett par gånger ser jag att Johan försöker hinna hjälpa de elever som har svårt att lösa uppgifterna på egen hand, men Johan hinner inte hjälpa dem innan lektionen var slut. I Johans arbetssätt kan jag se spår av konstruktivism då eleverna själva får konstruera sin egen uppfattning utifrån läroboken. Lektionerna präglas mycket av individuellt arbete, vilket innebär att eleverna får arbeta med boken själva. Det finns inte heller utrymme för elevsamarbete eftersom Johan uppmanar eleverna att jobba individuellt, eleverna ska titta på exemplen i matteboken om de har svårt att förstå. Logiklektioner är enligt Johan, laborativa lektioner. Johan förklarar att fördelen med logiklektioner är att de görs i halvgrupp och att därför har pedagogen större möjlighet att hinna med hjälpa alla elever. Dessvärre verkar en del elever känna att de misslyckas med att förstå sig på matematiken. Stendrup (2001:55) lyfter fram sambandet mellan matematikämnet och självförtroendet, och hur detta eventuellt kan påverka elevernas framtida hållning till ämnet.

32

4.2 Iakttagelser kring variationen mellan två olika skolor

med olika upptagningsområde

I denna del av studiet belyser jag mina iakttagelser kring variationen mellan skolorna.

4.2.1

Björkskolan

I klass fyra på Björkskolan har en stor del av eleverna någon förälder som talar ett annat språk än svenska. Enbart tre elever i klassen har svenska som modersmål. Trots att jag inte upplever att eleverna har svårt att uttrycka sig i klassrummet tror jag att detta ändå påverkar Hannas sätt att undervisa. Under mina observationer kan jag se hur Hanna anstränger sig för att förklara de nya orden hon introducerar under lektionen. Hon ställer enkla frågor om ordets betydelse eller begreppsförståelse: ”Vad betyder addition?”, ”Vad gör man när man adderar?”, ”Kan man använda ett annat ord för addition?”. I mina observationer kan jag också se att Hanna främjar klassrumsinteraktion på olika sätt, hon ger eleverna uppgifter som ska lösas i små grupper, uppmanar eleverna att hjälpa varandra om de har fastnat. Hanna nämner vid ett av våra samtal att även klassrummets bordsplacering är viktigt för att underlätta kommunikationen mellan eleverna trots att det kan innebära att det blir mycket prat mellan eleverna. Vid de tillfällen hon är upptagen med att hjälpa andra elever uppmuntrar hon eleverna som sitter vid samma bord att prata med varandra och hjälpas åt, så länge det rörde sig om matematik. Problemet som uppstår är att efter en stund övergår dessa ”matematiska samtal” till att handla om allt annat som inte har med matematik att göra. Det är vid de tillfällen då Hanna ger eleverna vid varje bord en konkret gruppuppgift som de tvingas att prata matematik för att kunna lösa uppgiften. I avhandlingen På tal om matematik (Riesbeck, 2008:41) betonas vikten av språket som grunden till ett matematiskt resonemang. Trots att klassrumsinteraktionen inte alltid fungerar såsom hon har önskat sig, tror jag att Hanna inser språkets betydelse i matematikundervisningen.

4.2.2

Aspskolan

I klass fyra på Aspskolan finns det också tvåspråkiga elever, men de utgör en väldigt liten andel elever i klassen. Det är bara två elever med annat modersmål än svenska. Det är den

33

första variationen mellan klasserna. Mitt intryck är att inga av dessa elever har svårt att förstå eller prata svenska. I överlag får jag uppfattningen att eleverna har en god språkförståelse. De frågorna som eleverna ställer under lektionerna handlar mest om att förstå hur de ska tänka för att lösa en viss matteuppgift. Pedagogikprofessorn Olga Dysthe (1996) menar att lärarna bland annat bör se språket som grundvillkor för lärande. Mitt intryck är att Johans ordval och undervisningens utformning delvis bygger på hans egen uppfattning om elevernas språkkunskap. Vid mina observationstillfällen har Johan hållit korta och koncisa genomgångar. Klassrumsinteraktion, är den andra variationen mellan klasserna. Den sker i stort sett bara mellan läraren och eleven. Jag får intrycket av att undervisningen följer följande utformning; läraren håller en kort genomgång och besvarar elevernas frågor, sedan får eleverna arbeta individuellt med matteboken. Johan nämnde vid ett av våra samtal att eleverna själva vill att det ska vara tyst i klassrummet för att de ska bättre kunna koncentrera sig på det de gör. Han anser att eleverna kan fråga honom om de behöver hjälp med något. Jag har ett starkt intryck av att Johan anstränger sig för att hinna med det men det går inte. De elever som inte får hjälp tenderar så småningom att prata om andra saker som inte rör uppgifterna. Efter en stund blir dessa samtal högljudda, vilket leder till att Johan vid otaliga tillfällen säger till eleverna att ”det måste vara tyst i klassrummet, ni ska räkna och inte prata”. Mitt intryck är att eleverna inte är vana vid att kommunicera och/eller samarbeta för att lösa olika matteuppgifter. När Johan förklarar för den enskilda eleven hur han/hon ska kunna gå tillväga för att lösa uppgiften, är det hastigt. Jag tolkar att Johans agerande har en stor koppling till viljan av att hinna med de andra eleverna.

4.3 Undervisningsmaterial som läraren använder sig av

under lektionen

I denna del redovisar jag mina observationer kring lärarnas användning av undervisningsmaterial.

4.3.1

Björkskolan

34

matematikboken. Endast vid två observationer har eleverna använts sig av laborativt material förutom läromedlet. När eleverna glömmer ta med sig matematikboken får de låna lärarens mattebok. Mitt intryck är att läromedlet har övergått till att vara undervisningens nödvändiga verktyg för lärandet. Hanna är väldigt noggrann med att kontrollera hur långt eleverna har kommit i boken och om det är någon uppgift som eleverna anser vara extra svår att räkna ut. Om det är fler än två elever som har fastnat i samma matteuppgift brukar Hanna lösa uppgiften på tavlan. Uppgifterna som använts under genomgångarna är direkt tagna från boken. Hannas förhållningssätt till läromedlet är tydligt i mina observationer. Hon nämner under våra samtal att hon inte anser matteboken som inspirationskälla eller komplement till undervisningen utan som ett väsentligt underlag för undervisningen.

Ett annat undervisningsmaterial som används under lektionen är laborativt material. Detta har skett enbart vid två tillfällen. I det ena fallet använde Hanna pennor (förklaras i avsnittet 4.1.1) och i det andra fallet använde hon låtsaspengar som laborativt material. Mitt intryck är att laborativt material hjälper både eleverna och Hanna. Eleverna har lättare att konkretisera och synliggöra det abstrakta och Hanna har lättare att möta eleverna på deras nivå. De laborativa materialen bidrar till samtal och diskussion om olika lösningsstrategier. Men trots dessa fördelar får jag inte intrycket att Hanna generellt främjar användningen av laborativt material, utan att det händer när en elev ”har fastnat eller inte förstått en uppgift”. Rystedt och Trygg (2010:37) hävdar att lärarens roll är avgörande för i vilken utsträckning laborativt material används. Elevernas användning av laborativt material påverkas av lärarens egen uppfattning.

4.3.2

Aspskolan

Det främsta och enda undervisningsmaterialet som används under Johans matematiklektion är läroboken. Johans matematikundervisning präglas starkt av traditionellt läroboksstyrt arbetssätt. Främjandet och användningen av laborativt material förekommer inte under mina observationer trots att laborativt material är relativt lättillgängligt i klassrummet.

35

logiklektionen. Johan berättar under ett av våra samtal att logiklektionen hålls i halvklass, och att fokus är problemlösning, elevsamarbete. Eleverna får stenciler men inga läroböcker används. Eleverna får hem en matteuppgift som de får lösa till nästa lektionstillfälle. De får lösa uppgiften såsom de önskar och de kan använda vilket material som helst för att synliggöra sina lösningsstrategier. Johan går igenom uppgiften på tavlan och om det finns andra elever som har använt andra lösningsstrategier kan han/hon också visa det på tavlan. Mitt intryck är att de flesta i klassen tycker om problemlösningsuppgifter medan andra upplever uppgifterna för svåra och nästa omöjliga att lösa. Jag upplever inte att uppgifterna är anpassade till elevernas olika kunskapsnivå. Vygotskij (Bråten, 1998:108 och Ahlberg, 1995:42) poängterar i sin teori om den proximala utvecklingszonen hur betydelsefullt det är att läraren ser vad eleven kan klara på egen hand och det som eleven kan klara med hjälp av läraren eller av en klasskamrat. Läraren behöver utgå från det som eleven har möjlighet att förstå för att kunna lösa kluriga matteuppgifter.

Efter genomgången fick eleverna arbeta med ytterligare några matteuppgifter och även vid detta tillfälle får eleverna arbeta individuellt. Enligt mina observationer är utformningen av logiklektionen väldigt lik matematiklektionens utformning. Skillnaden är att fokus ligger på tavlan och inte matematikboken.

4.4 Sammanfattande analys och slutsatser

Syftet med min studie var att undersöka två fjärdeklasslärares tillämpande av matematikdidaktik vid introduktion och genomförande av nya matteuppgifter. I den här delen av arbetet återkopplar jag min analys till de informella samtalen jag hade med samtliga lärare. Resultatet kan sammanfattas i två konstateranden som är av väsentlig betydelse för mina slutsatser: Tillämpandet av matematikdidaktik beskrevs av lärarna i de undersökta klasserna som ett relativt nytt undervisningssätt att lära ut matematik. Likaså ansåg lärarna att deras kunskaper om matematikdidaktik var begränsade men att de hade viljan av att lära mer om den.

36

Min undersökning gav mig även en bild av lärarnas förhållningssätt till läroboken och dess betydelse. Genom observationerna och samtalen med lärarna upplevdes det som att samtliga lärare ansåg att det var innehållet i boken som styrde undervisningen. Läromedlet var i princip den enda utgångspunkten i undervisningen. Likaledes upplevdes under observationerna att eleverna med matematiksvårighet verkade tycka att lärobokbaserad matematikundervisning blir alltför abstrakt och svårmottaglig för dem.

I efterhand anser jag det var givande att samtalen med lärarna skedde efter lektionspasset. Det gav mig större möjlighet att fördjupa mig i lärarnas bakomliggande tankar under specifika undervisningssituationer. Det var utifrån mina observationer och samtal med lärarna i studien jag drog slutsatsen att läroboken hade en dominerande roll i undervisningen. Eleverna fick efter de gemensamma genomgångarna arbeta själva med matteboken. Magne (1998:47) menar att denna typ av matematikinlärning frambringar att eleven själv konstruerar sin egen kunskap av det hon tänker och förstår.

I Hannas genomgångar kunde jag främst tyda spår av Vygotskijs sociokulturella inriktning, hon främjade interaktionen mellan lärare och elever samt mellan elever (Kling Sackerud, 2009). I Johans genomgångar kunde jag se spår av förmedlingspedagogik, det var envägskommunikation där Johan förmedlade matematikkunskaper till elever. Gemensamma genomgångar och därefter tyst räkning var den vanligaste undervisningsformen, även under logiklektioner. Kommunikationen främjades inte mellan eleverna vilket ledde till att eleverna inte pratade matematik, de blev passiva.

När det gäller iakttagelser kring variationen mellan skolor med olika upptagningsområden var språkanvändning och klassrumsinteraktionen den största skillnaden som jag kunde uttyda. Klasserna hade en markant skillnad i andel elever med invandrarbakgrund. I lärarnas språkanvändning i undervisningen kunde jag tyda Vygotskijs (1986) teorier om språkets betydelse för lärande. Matematikundervisningen verkade ha blivit influerade av lärarnas åsikter om elevernas språkkunnande. Hanna kunde uttrycka sig extra tydligt för att försäkra sig att eleverna hade förstått de nya matematiska begreppen eller orden.

Mina iakttagelser kring klassrummets undervisningsmaterial var att eleverna hade gott om tillgång till laborativa material, men verkade inte ingå i undervisningens upplägg. Rystedt och Trygg (2010:68) förespråkar att lärarna som har en adekvat utbildning i matematik och matematikdidaktik har de förutsättningar för att kunna arbeta med laborativa material.

37

Huruvida lärarnas kunskapsbrist i matematikdidaktik är anledning till att eleverna inte arbetar med laborativt material i klassrummet kunde jag inte tyda i mina observationer. Dock uttryckte lärarna att de hade önskat lära sig mer om matematikdidaktik.

Min undersökning ledde mig fram till följande slutsatser:

- Lärarens matematikdidaktiska kunskaper har en stor betydelse för vad elever lär i klassrummet. Läraren ska kunna tillgodose alla elevers olikheter i fråga om att ta till sig ny kunskap.

- Lärarens förhållningssätt till matematikundervisning och läromedlet påverkar deras tillämpande av matematikdidaktik.