Hur kommunicerar några elever i skolår 4 vid problemlösning i grupp?

Examensarbete

15 högskolepoäng, grundnivå

Hur kommunicerar några elever i skolår 4

vid problemlösning i grupp?

How do some pupils in year 4 communicate

when solving mathematical problems in

group?

Anna Iveberg

Anna Takkkula

Lärarexamen 210hp Handledare: Ange handledare Matematik och lärande

2012-11-20

Examinator: Troels Lange Handledare: Eva Riesbeck Lärande och samhälle

3

Förord

Detta är en studie av och med två studenter från Malmö Högskola och den har utformats i ett nära samarbete under september och oktober höstterminen 2012. Litteratur har vi delvis letat och granskat enskilt för att sedan diskuterat och gemensamt beslutat huruvida den skulle ingå i studien. Observationerna och intervjuerna gjordes tillsammans eftersom bägge var intresserade av att vara med och vi ansåg det som en fördel att vara två när materialet senare skulle transkriberas och analyseras. Om någon del gjordes enskilt skulle den granskas av den andre för att denne skulle kunna förstå och ha en överblick i hela studien. Att dela upp arbetet var aldrig aktuellt då vi ansåg att intresset för undersökningen var gemensam och det skulle bli bättre och mer givande diskussioner då vi båda deltog aktivt i hela studien. Det har inneburit att vi har kunnat stötta och motivera varandra på ett positivt sätt under hela studiens gång.

Vi vill rikta ett tack till vår handledare Eva Riesbeck som hjälpt oss under arbetets gång. Stort tack även till de lärare och elever som varit vänliga och hjälpt oss att genomföra vår undersökning.

5

Sammanfattning

Syftet med studien är att undersöka hur elever i skolår 4 kommunicerar med hjälp av ett matematiskt problem i mindre grupp. Vid undersökningen riktas uppmärksamheten mot vilka matematiska ord och begrepp eleverna använder sig av och vilka strategier eleverna uppvisar i sin kommunikation. Eleverna nivågrupperas med hjälp av matematikläraren för att kunna göra en jämförelse mellan gruppernas begreppsanvändning. Utifrån detta är studiens syfte även att undersöka om nivågruppering bidrar till skilda strategier och sätt att kommunicera inom matematik. För att få svar på våra frågeställningar använde vi oss av en kvalitativ empirisk undersökning innehållande både observationer och intervjuer. Vi använde oss av videoinspelning för att dokumentera data. Med tanke på studiens ringa omfattning gick det inte att dra några generella slutsatser av resultaten. Men däremot frambringade den resultat som talar både för och emot nivågruppering av mindre grupper.

7

Innehåll

1. Inledning ... 9 2. Syfte ... 10 2.1 Problemformulering ... 10 3. Litteraturgenomgång ... 11 3.1 Sociokulturellt perspektiv ... 11 3.1.1 Kommunikation ... 11 3.1.2 Artefakter ... 12

3.1.3 Begreppsbildning - vardagliga och matematiska begrepp ... 12

3.1.4 Kontext ... 13

3.2 Problemlösning ... 14

3.2.1 Rika problem ... 16

3.3 Nivågruppering av mindre grupper ... 16

4. Metod ... 18

4.1 Val av uppgift ... 18

4.2 Validitet och reliabilitet ... 19

4.3 Etiska regler ... 19 4.4 Urval av observationsgrupp ... 20 4.5 Urval av nivågruppering ... 21 4.6 Datainsamling ... 21 4.7 Observation ... 22 4.8 Intervju ... 22

4.9 Analys och databearbetning ... 23

8

5.1 Tillvägagångssätt ... 24

5.1.2 Hur vet du att svaret är rätt? ... 26

5.2 Vilka matematiska ord och begrepp använder de? ... 27

5.3 Vilka språkliga strategier utvecklar eleverna när de löser uppgiften? ... 28

5.3.1 Grupp A (M). ... 28 5.3.2 Grupp B (H). ... 29 5.3.3 Grupp C (L). ... 31 5.3.4 Grupp D (M) ... 32 5.3.5 Grupp E (H)... 33 5.3.6 Grupp F (M) ... 33

5.3.7 Jämförelse mellan nivågrupperna ... 34

6. Analysdiskussion ... 36

6.1 Slutsats ... 39

6.2 Vidare forskning ... 41

9

1. Inledning

Under vår utbildning har vi blivit medvetna om hur viktigt det är att låta eleverna få möjlighet att diskutera och kommunicera i ämnet matematik. Vikten av att ge eleverna tillfälle att prata matematik under matematiklektionerna för att nå en ökad förståelse betonas både i litteratur av olika forskare och i kursplanen Lgr 11 (Skolverket, 2011). Vid användandet av problemlösning i matematikundervisningen bör eleverna ges tillfälle och möjlighet att prata matematik och därmed utveckla sina kunskaper. Tyvärr blir ofta problemlösningen en aktivitet som kommer efter att eleverna har arbetat med matematikboken och lärt sig olika färdigheter och begrepp. Det kan även innebära att pedagogerna använder problemlösning som extra uppgifter enbart till de elever som är färdiga med givna uppgifter och till de som behöver extra utmaning. Lester och Lambdin (2006) betonar att problemlösning istället borde ses som ett hjälpmedel för alla elever att utveckla nya kunskaper i matematik.

Vi är intresserade av hur elever kommunicerar vid problemlösning i grupp och har därför valt att fokusera på vilka matematiska ord och begrepp som framkommer i samtalen men även vilka språkliga strategier eleverna utvecklar och använder sig av. Med språkliga strategier menar vi på vilket sätt eleverna använder sig av språket för att lösa uppgiften och för att utveckla förståelse i gruppen. Vygotskij (1934) hade tankar om den proximala utvecklingszonen, det vill säga att elever lär och utvecklas i samspråk med varandra genom uppgifter som utmanar dem. I Lgr 11 (Skolverket, 2011) framkommer det att ”Undervisningen ska anpassas till varje elevs förutsättningar och behov…”. Med detta i åtanke valde vi att göra vår undersökning i homogena grupper efter kunskapsnivå för att sedan jämföra resultaten i de olika grupperna. Enligt våra erfarenheter från skolan är det vanligt att läraren grupperar eleverna spontant och utan vidare eftertanke under lektionerna. Lärarna vet att det är en fördel att arbeta i grupp men har få kunskaper kring konsekvenserna av de olika sätten att gruppera. Detta resulterar i att eleverna får samarbeta med t ex dem som de sitter bredvid och variationen blir inte särskilt stor. Vi menar att det är viktigt att läraren tänker efter innan eleverna delas in i grupper för att kunna möta och ta hänsyn till deras olika förutsättningar men även för att ta tillvara på de möjligheter som det eventuella samarbetet erbjuder. Om läraren utgår från målen med sin planering när eleverna grupperas, menar vi, att samarbetet och lärandet blir optimalt.

10

2. Syfte

Syftet med studien är att undersöka hur elever i skolår 4 kommunicerar med hjälp av ett matematiskt problem i mindre grupp. Vid undersökningen riktas uppmärksamheten mot vilka matematiska ord och begrepp eleverna använder sig av och vilka strategier eleverna uppvisar i sin kommunikation. Eleverna nivågrupperas med hjälp av matematikläraren för att kunna göra en jämförelse mellan gruppernas begreppsanvändning. Utifrån detta är studiens syfte även att undersöka om nivågruppering bidrar till skilda strategier och sätt att kommunicera inom matematik.

2.1 Problemformulering

Vårt arbete har sin utgångspunkt i en huvudfråga som utvecklas med hjälp av fyra delfrågor. De är tänkta att belysa sambanden mellan begreppsanvändningen och kunskapsnivån.

Hur kommunicerar några elever i skolår 4 vid problemlösning i grupp?

 Vilka tillvägagångssätt använder eleverna när de löser uppgiften?

 Vilka matematiska och vardagliga ord och begrepp framkommer i samtalet?

 Vilka språkliga strategier utvecklar eleverna när de löser uppgiften?

11

3. Litteraturgenomgång

3.1 Sociokulturellt perspektiv

Lev Vygotskij utvecklade och formulerade det sociokulturella perspektivet i början av 1900-talet och det benämndes då kulturhistorisk teori (Lindqvist, 1999). Enligt författaren innebar denna teori att utgångspunkten för lärande och utveckling är social samverkan. Vidare skriver Lindgvist att Vygotskij lade fram argument för att miljön skulle anpassas efter individen och inte det omvända, förändras miljön så förändras individen.

3.1.1 Kommunikation

Vygotskij (1934) betonar vikten av tänkande och språk som två centrala funktioner för barnets intellektuella utveckling. Vidare menar författaren att språkets primära funktion är att kommunicera. Redan i tidig ålder utvecklas barnets kommunikationsmedel genom dess sociala kontakter med omgivningen. I början utvecklas språk och tanke som två avskilda funktioner för att senare utvecklas parallellt. Då barnet självt har behov av ett ord strävar det aktivt efter att lära sig behärska det så att det så småningom kan använda det i sin kommunikation med andra. I ordets betydelse återfinns det som kallas språkligt tänkande. Säljö (2000) betonar att kommunikationen är ett sätt att forma oss själva och andra. Vygotskij (1934) diskuterar det egocentriska språket som ett medel att tänka och bedöma, komma över svårigheter och hinder. Han menar att det egocentriska språket utgör länken mellan det inre och det yttre språket. Det inre språket kan endast förstås av ägaren eftersom det är underförstått och till stor del består av förkortningar. Det inre språket är en process där språket blir till tanke och det yttre språket kan ses som en tanke som blir till ord. Vygotskij skriver om det yttre språket som ett språk för andra, som ett medel för kommunikation.

Enligt Säljö (2000) är det inte säkert att pedagogen kan få tag på elevernas tankar genom att de berättar hur de har löst en uppgift. Eleven styrs av kommunikativa regler för hur termer ska användas och genom sin strävan att framstå som begriplig och sammanhängande. Det är en struktur som tänkandet i vanliga fall inte följer och därför är det vanligt att eleverna beskriver istället för att analysera sina handlingar (Säljö,

12

2000). Vygotskij (1934) menar att det handlar om det faktum att ordens betydelse i det inre språket inte går att översätta till det yttre språkets tungomål.

3.1.2 Artefakter

Enligt Nationalencyklopedins ordbok betyder artefakt tillverkat föremål, konstprodukt. Termen används som beteckning för bland annat redskap, verktyg, vapen och smycken (Artefakt).

Enligt Vygotskij (1934) är artefakter ett annat ord för redskap som människor använder för att tänka, kommunicera och uttrycka sig med. Artefakter kan med andra ord vara både materiella (föremål) och icke materiella (språk). Säljö (2000) menar att vi skapar dessa redskap och verktyg för att underlätta vår förmåga att hantera vår omvärld. Vid sociokulturell utgångspunkt ses redskapen och verktygen som delar av vår kultur och omgivning. Med kultur menar författaren just de resurser som förvärvas genom interaktion med omvärlden. Både de materiella och icke materiella artefakterna är tecken på människans förmåga att samla erfarenheter och använda dem för sina syften. När människor samspelar kan de dra nytta av en stor mängd olika redskap och verktyg då de sociokulturella resurserna skapas och förs vidare genom kommunikation med andra (Säljö, 2000).

3.1.3 Begreppsbildning - vardagliga och matematiska begrepp

Begrepp är ett hjälpmedel för att se skillnader och likheter mellan objekt. Människan lär sig hur de ska förhålla sig till dem i olika sammanhang och de används för att organisera våra upplevelser, med andra ord blir de en förutsättning för att kunna ta till sig kunskap samt bevara den (Säljö, 2000). Vygotskij (1934) menar att barn tillägnar sig ord och dess betydelse som en process där betydelsen är föränderlig och utvecklas under lång tid genom allt högre grad av generaliseringar. Dock menar författaren att processen att fullborda ett begrepp även kräver att t ex. den medvetna uppmärksamheten, det logiska minnet, abstraktionen, jämförelsen och särskiljandet utvecklas. Begrepp är med de orden den högsta formen av generaliseringar som människan gör och kan betecknas på ett oändligt sätt med hjälp av andra begrepp. Vygotskij (1934) hänvisar till Piaget som menar att ett begrepp inte till fullo kan utvecklas före tolv års ålder.

En del ord är knutna till matematiken, terminologiord, och förekommer sällan i vardagliga sammanhang. Det är av vikt att eleverna får höra dessa ord ofta så att de till

13

slut ska kunna tillämpa dem som en del av sitt aktiva ordförråd (Malmer, 2002). Begreppsutveckling i matematik, enligt Malmer (2002), innebär att elever tillägnar sig de begrepp och ord som ingår i den matematiska terminologin. För att en god begreppsutveckling ska ske behöver eleverna vara språkmedvetna och det måste erbjudas frekventa tillfällen då de får möjlighet att tala matematik genom diskussion, samtal och argumentation. Det är då av stor vikt att lärarna själva använder sig av de begrepp som är adekvata. För att kunna bilda begrepp är det nödvändigt att kunna benämna företeelser och ting i omvärlden.

Enligt Riesbeck (2000) utvecklas elevers begreppsbildning då det äger rum ett möte mellan kategorier av två olika språk, diskurser, i klassrummet. Den ena kategorin är den vardagliga diskursen och den andra den vetenskapliga. Eleverna möter det vetenskapliga språket i matematikundervisningen som matematiska begrepp. De behöver bygga upp en begreppsförståelse för att kunna utveckla sitt matematiska tänkande. Då krävs det att elever diskuterar med lärare och andra elever om innehållet i de matematiska begreppen och hur de skiljer sig från de begrepp som används i den vardagliga diskursen (Riesbeck, 2000; Jaworski, 1998; Häggblom, 2000). När eleverna når en språklig delaktighet uppstår en förståelse för begreppet och ger dem kunskap som de kan använda sig av i andra situationer (Riesbeck, 2008). Utan en djup begreppslig förståelse kommer eleven endast klara enkla rutinuppgifter (Lester & Lambdin, 2006). Det räcker inte med elevernas spontana kommunikation utan de behöver hjälp av en lärare att tydliggöra sina tankar (Wistedt, 1996). Författaren menar vidare att det är av stor vikt att elevernas yttranden ses av läraren som formuleringar för tankar i utveckling. Vygotskij (1934) skriver om den närmaste utvecklingszonen och med den menar han att barnet kan göra något tillsammans med någon annan idag för att imorgon göra det själv. Barnet imiterar vuxna och andra barn för att utvecklas och för att senare kunna lösa liknande uppgifter på egen hand. Dock kan barnet endast imitera det som ligger inom området för dess intellektuella möjligheter (Vygotskij, 1934).

3.1.4 Kontext

Enligt nationalencyklopedins uppslagsverk betyder kontext ”det språkliga sammanhang som ett ord eller ett yttrande ingår i” (Kontext).

Säljö (2000) skriver om kontext och menar då att vi tolkar och reagerar olika i liknande situationer och inför liknande typer av utmaningar. Handlingar och förståelse

14

är delar av kontexten genom att de ingår i, skapar och återskapar kontexter. Ett uttalande får mening genom kontexten och det gäller för all kommunikation. Författaren diskuterar hur synen på kunskap och inlärning har förändrats med tiden och hur den synen påverkar lärarens undervisning i skolan. Ett vanligt antagande är att kunskap förs över från läraren till eleven. Kunskapen lagras hos eleven och kan plockas fram närhelst den behövs. Istället menar författaren att kunskap ska ses som knutpunkten mellan argumentation och handling i sociala kontexter. Den kan med andra ord beskrivas som ett resultat av aktiva försök att se, förstå och hantera sin omvärld. Kunskap skulle också kunna förklaras som föreställningar som byggs in i olika aktiviteter i skolan, i olika kontexter. Boaler (1993) diskuterar relationen mellan skolans matematik och den vardagliga och menar att den är komplex. Vidare hävdar författaren att den kunskap som eleverna tillägnar sig i skolan ingår i en kontext och det är inte självklart att den kunskapen kan användas i situationer utanför skolsituationen, men däremot kan den bidra till att förstå länken mellan skolans och vardagens matematik. Boalers studier visar att kontexten kan underlätta förståelsen för abstraktionen i matematiken. Genom att eleverna får arbeta med kontextrelaterade uppgifter kan deras motivation och intresse för matematiken öka. Vygotskij (1934) betonar att kontexten är viktig för att eleverna ska bli medvetna om vilka kunskaper de har och hur de kan använda de kunskaperna i meningsfulla sammanhang.

Riesbeck (2008) menar att elever som kommunicerar kring olika begrepp blir delaktiga i samma kontext. Elevernas olika förförståelse möts och interaktionen leder till ett slags samförstående mellan de inblandade parterna. Enligt författaren är det i denna kommunikativa kontext som elevernas likheter och skillnader utvecklas.

Vygotskij (1934) anser att ordets innebörd förändras beroende av vilken kontext det ingår i. När situationen eller kontexten ändras kommer det påverka ordets innebörd, vilket i sin tur kan leda till en svårighet att tillämpa det utvecklade begreppet i nya situationer. Med andra ord ingår alltid språket i en kontext.

3.2 Problemlösning

Problem i samband med matematikundervisning är en specifik typ av uppgift som en person vill eller behöver lösa, personen i fråga har inte en på förhand given procedur för att lösa den och det krävs en ansträngning av eleven att lösa den (Hagland et al., 2005). Den avgörande komponenten vid problemlösning, enligt Säljö (2000), är i regel att få

15

klarhet i vad som är problemet och hur det ska förstås. Vidare krävs det en förkunskap och att uppgiften är anpassad efter elevernas förmågor (Möllehed, 2001). Utifrån tidigare nämnda tre kriterier menar Hagland et al. (2005) att samma uppgift kan vara ett problem för en person men det kan vara en rutinuppgift för en annan. Vidare anser författarna att problemlösning kan utveckla elevernas förmåga att tänka kreativt och logiskt samt öka deras intresse för matematik. Problemlösning kan även vara ett sätt att visa att man har nytta av matematiken i verkliga livet (Taflin, 2007). Författaren anser att genom att låta eleverna prata matematik under problemlösningen utvecklar de sina matematiska kunskaper.

I sin avhandling skriver Taflin (2007) att en uppgift är ett problem först när det kräver att problemlösaren gör en ansträngning att hitta en lösning. Författaren menar att problemlösning handlar om att välja en metod för att lösa ett problem. Eleverna som ska lösa problemet bör ha förmågan att tolka uppgiften, att förstå texten och kunna uppfatta uppgiften som ett problem. För att sen kunna välja en metod måste eleverna även ha kunskaper i de olika matematiska områdena och dess begrepp och procedurer. Möllehed (2001) anser att eleverna ges möjlighet att finna sin strategi genom att använda egna metoder att lösa problemen med. Strategier är olika metoder för att lösa ett problem till exempel välja en eller flera operationer, rita bilder, göra en organiserad lista, söka mönster, teckna en ekvation, arbeta baklänges, göra en tabell, gissa och pröva, lösa ett likande enklare problem, använda laborativa material, dramatisera situationen (Lester, 1988; Hagland, Hedrén & Taflin, 2005; Taflin, 2007).

Problemlösning innebär att eleven ska kunna koppla ihop olika typer av kunnande (Lester & Lambdin, 2006). Författarna menar vidare att huvudmålet för undervisning genom problemlösning är att fördjupa elevernas förståelse för matematiska begrepp och metoder. För att uppnå en sådan förståelse krävs engagemang från eleverna och att eleverna känner sig involverade i de problemuppgifter de arbetar med. Riesbeck (2008) och Taflin (2007) betonar att elevernas matematiska kunskaper utvecklas genom att de får prata matematik under problemlösning. Att det samspel och den typ av kommunikation som behövs för begreppsutveckling återfinns vid situationer där eleverna arbetar med problemlösning i grupp, betonas även av Høines (1997). När elever löser problem tillsammans i grupp är det mer rimligt att se tänkande som en form av kommunikativt arbete och som aktiva handlingar från individers och kollektivets sida, istället för en individuell inre tanke. Tidigare erfarenheter och färdigheter används för att nå ett beslut som passar in i de krav som situationen kräver (Säljö, 2000).

16

Författaren menar att olika lösningsförslag kommer fram i dagen och blir till allmän egendom, vilket innebär att vem som helst kan bygga vidare på dem.

3.2.1 Rika problem

Rika matematiska uppgifter är en typ av uppgifter inom problemlösning. Problem som är rika är motiverande för många elever och stödjer utvecklandet av matematiska begrepp (Björkqvist, 2001). Författaren menar att rika problem kan fungera som en bro mellan olika kontexter, till exempel mellan skolmatematiken och verkligheten. Övergången av det tidigare inlärda skulle då kunna underlättas. För att ett problem ska kunna kallas rikt menar Hagland et al. (2005) att följande kriterier ska uppfyllas. Problemet ska:

 introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier,

 vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det,

 upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid,

 kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer,

 kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer,

 kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden, och

 kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem.

3.3 Nivågruppering av mindre grupper

Wallby, Carlsson och Nyström (2001) beskriver nivågruppering som en grupp av elever som antas ha liknande förutsättningar och vilka kallas homogena grupper. Vidare menar författarna att man vid nivågruppering skapar grupper utifrån prestation och

förkunskaper. Grupperingen kan vara tillfällig under kortare skeden eller fast och bestå under längre perioder.

Det har gjorts mycket forskning kring begreppet problemlösning men utifrån olika aspekter och en av dem är nivågruppering. Oakes, Gamoran och Page (1992) menar att kategoriseringen av eleverna kan leda till att läraren betraktar eleverna olika beroende på vilken grupp de tillhör. Vidare anser författarna att det även kan leda till att eleverna börjar bete sig på ett visst sätt för att de utgår från lärarens förväntningar på dem. Låg- och högpresterande elever har olika förutsättningar för att lösa problem (Lester, 1988).

17

Sjödin (1991) menar att högpresterande elever är vana att lyckas med sina uppgifter och det leder till att de stimulerar varandra i problemlösningssituationen. Författaren anser att tillsammans med elevernas egna positiva förväntningar kan detta leda till en ökad motivation inför lösandet av uppgiften.

Låg- och medelpresterande elever utvecklar en bättre förståelse i de heterogena grupperna än i de homogena. De högpresterandes förståelse påverkas inte signifikant av sammansättningen av de två grupperna (Leonard, 2001). Dessa resultat överensstämmer med tidigare undersökningar där det har framkommit att prestationsskillnaderna mellan låg- och högpresterande elever beror på att de lågpresterande eleverna hade en försämrad prestationsutveckling i homogena grupper och inte att de högpresterande hade en kraftig förbättring (Linchevski & Kutscher, 1998). Karlsson och Lundstedt (2006) har i sin studie kommit fram till att det var svårt att avgöra om det var till fördel eller nackdel med nivågruppering i den undersökta gruppen. Även Wallby et al. (2001) poängterar ovissheten kring huruvida nivågrupperingar är till fördel eller nackdel för elevernas utveckling.

Linchevski och Kutscher (1998) hävdar att kvalitén på diskussionerna vid grupparbete skiljer sig åt för låg- och högpresterande elever. Gooding och Stacey (1993) gör gällande att elever i högpresterande grupper använder sig av fler matematiska uttryck och begrepp, om inte alltid i rätt sammanhang, i sina diskussioner. Författarna kom vidare fram till att de högpresterande grupperna samarbetar mer och är bättre på att förklarar för varandra under arbetets gång. Dock har det visats enligt Webb (1991) att det kan förekomma färre förklarande diskussioner i de högpresterande grupperna. En anledning till detta, enligt författaren, är att eleverna antar att de andra redan vet hur de ska gå tillväga för att lösa uppgiften eller att uppgiften inte har varit tillräckligt utmanande.

Det är viktigt att eleverna får delge sina tankar till andra som lyssnar för att de ska nå förståelse inom ett ämne (Leonard & McElroy, 2009). Eleverna tränas samtidigt i att använda sig av i sammanhanget korrekta ord och begrepp när de utmanas att berätta för varandra (Lester, 1988). Ytterligare en betydelsefull del vid problemlösning i grupp är att lyfta fram gruppernas tillvägagångssätt i en gemensam klassdiskussion (Hagland et al., 2005; Lester 1988; Gunnarsson, 2009). Då kan likheter och skillnader i gruppernas metoder och strategier synliggöras och diskuteras.

18

4. Metod

Syftet med studien var att undersöka hur elever i skolår 4 kommunicerar kring ett matematiskt problem i mindre grupp. För att få svar på våra frågeställningar använde vi oss av en kvalitativ empirisk undersökning innehållande både observationer och intervjuer. För dokumentering av data använde vi oss av videoinspelning då Trost (2005) påpekar att det går att återkomma till observations- eller intervjutillfället upprepade gånger. Vi behövde inte lägga så mycket tid på noterande under arbetets gång och informanterna behövde inte känna sig stressade över vad vi skrev (Trost, 2005). Larsen (2009) menar att det är viktigt med flyt vid intervjun och att det bibehålls genom att projektledaren inte gör onödiga uppehåll för att t ex anteckna något.

Inom kvalitativ forskning är det vanligt att flera metoder kombineras, som observation och intervju (Patel & Davidson, 2003). Det är en fördel att använda sig av både observationer och intervjuer då den ena metoden kan förstärka den andre. Intervjun kan till exempel vara ett komplement till observationen och klargöra delar från observationstillfället. Enligt Larsen (2009) och Backman (2008) finns det nackdelar med kvalitativa undersökningar som forskaren måste ta hänsyn till. Den här typen av undersökningar ger en helhetsförståelse av ett fenomen och därför finns ingen möjlighet att generalisera resultaten. Med det menas att resultaten inte kan antas gälla för t ex alla elever i skolår 4. Ytterligare en nackdel är att det kan ta lång tid att klassificera den insamlade datan (Larsen, 2009; Backman, 2008).

4.1 Val av uppgift

Uppgiften som eleverna skulle lösa i den empiriska studien behövde vara konstruerad för en mindre grupp och innehålla olika lösningar. Ytterligare ett krav var att elevernas kommunikation kring uppgiften skulle omfatta så många begrepp som möjligt. Ovan nämnda kriterier formulerade vi utefter våra forskningsfrågor. Vi hittade en lämplig uppgift på Strävorna som innehöll våra kriterier. Dock ansåg vi att vi behövde ändra den lite för att den även skulle uppfylla kriterierna för rika problem enligt Hagland et al. (2005) (se bilaga 1). Eleverna fick ingen arbetsbeskrivning utan vi gav dem instruktionerna för uppgiften muntligt. På så sätt fick de möjlighet att fråga om det var något som var oklart för dem innan de började. Vi berättade att vi endast skulle sitta med som observatörer och att de därför inte kunde fråga oss under arbetets gång.

19

Samtliga grupper fick reda på att de först skulle uppskatta hur mycket de fem olika glasburkarna rymde och därefter storleksordna dem. De skulle därefter ta reda på om deras uppskattning stämde och till sin hjälp hade de en hink med vatten, linjal, måttband, några mindre ograderade plastburkar i olika storlekar, en tvåliters glassburk och tre halvliters glassburkar. Efter mätningen skulle de storleksordna dem igen för att se om det var någon skillnad. De fick information om att vi ville prata med var och en efter försöket men de visste inte vad samtalet skulle handla om.

4.2 Validitet och reliabilitet

Något som är viktigt vid en undersökning är att validiteten och reliabiliteten är hög, det vill säga att undersökningen är giltig och tillförlitlig. Genom att fler projektledare är involverade i undersökningen nås högre validitet (Larsen, 2009) och därför valde vi att vara två närvarande projektledare vid hela undersökningen. Patel och Davidsson (2003) menar att den kvalitativa undersökningen handlar om att upptäcka rätt sak och att kunna tolka och förstå de personer som ingått i studien. Det är inte nödvändigt att undersökningen ska kunna göras om och ge samma resultat som i en kvantitativ undersökning. Görs den här rapportens kvalitativa undersökning om kommer förmodligen inte resultatet att bli detsamma eftersom elevernas synsätt på uppgifterna förmodligen har ändrats. Dock innebär det inte att undersökningen har en låg reliabilitet. Även Larsen (2009) betonar att det är svårt att uppnå hög reliabilitet vid kvalitativa undersökningar då olika forskare uppmärksammar olika saker och tolkar dessa olika vid t ex observationer. Vidare påpekar dock författaren att kvalitativa undersökningar kan bidra till att det är lättare att försäkra sig om hög validitet eftersom metoden är flexibel och forskaren kan dessutom ändra frågorna under arbetets gång.

4.3 Etiska regler

I undersökningen är etiska överväganden gjorda med utgångspunkt från de forskningsetiska principerna utformade av Vetenskapsrådet (2011). Principerna är utformade som vägvisare och bör användas som ett komplement till projektledarnas egna bedömningar och ansvar. Publikationen (Vetenskapsrådet, 2011) framhäver fyra krav på god forskningsetik: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet.

20

Informationskravet innebär att projektledaren informerar och beskriver undersökningens syfte för de som berörs av undersökningen. Vidare ska det tydligt framgå att deltagandet i undersökningen är frivillig och att deltagarna har rätt att avbryta sin medverkan under undersökningens gång, vilket kallas för samtyckeskravet. Är deltagarna under 15 år måste dessutom vårdnadshavare ge sitt medgivande (Vetenskapsrådet, 2011). Konfidentialitetskravet innebär att deltagarna ska förbli anonyma samt att uppgifter och information som samlas in ska förvaras så att ingen obehörig kan ta del av dem (Vetenskapsrådet, 2011). Detta förklarades både för vårdnadshavare och elever i brevutskick och vid presentationstillfället. Fjärde kravet, nyttjandekravet, innebär att de insamlade uppgifterna endast får användas för forskningsändmål (Vetenskapsrådet, 2011). Eleverna fick den informationen muntligt av oss när vi berättade om vår undersökning för dem.

4.4 Urval av observationsgrupp

Vi valde att observera när 20 elever i skolår 4, i mindre grupper, arbetade tillsammans med ett rikt problem (se bilaga 1).

Larsen (2009) diskuterar icke-sannolikhetsurval i de fall där det inte är viktigt att kunna generalisera resultaten. Vi menar att en undersökning som denna inte kan leda till en generalisering, då storleken är relativt liten, sett till andra undersökningar. Däremot kan den ge oss kunskap och förståelse om hur det skulle kunna vara vid interaktion med snarlika drag. Skolan som vi valde för att få svar på våra frågor har elever från förskoleklass upp till skolår 5 och är belägen i ett mindre samhälle i södra Sverige. Klassen valdes efter kännedom om att de har arbetat mycket med problemlösning i mindre grupper tidigare. Med andra ord så gjorde vi ett godtyckligt urval, där eleverna valdes ut efter kriterier som passade vår undersökning och som vi trodde var bäst lämpade att belysa vår frågeställning (Larsen, 2009). Ytterligare en anledning till att vi valde att arbeta med elever i skolår 4 var att vi antog att elever i denna ålder har förvärvat och utvecklat sådana kunskaper i matematik, som behövs för att kunna använda sig av ett matematiskt språk vid arbete med problemlösning. Backman (2008) poängterar vikten av att arbetssättet, i detta fall problemlösning i mindre grupp, styr det slutliga urvalet.

Vi var intresserade av en variationstyp som kunde ge oss en kvalitativ bild av vår frågeställning och hjälpa oss att uppnå en djupare förståelse för de studerande eleverna

21

(Larsen, 2009). Variablerna i vår undersökning var de tre olika nivågrupperingarna, låg- medel- och högpresterande, som var viktiga för att vi skulle kunna göra jämförelser av resultaten (Larsen, 2009).

4.5 Urval av nivågruppering

Med hjälp av matematikläraren delades eleverna in i tre olika nivågrupper, låg-, medel- och högpresterande. Därefter gjordes ytterligare en indelning så att det blev kunskapsmässigt homogena grupper om tre eller fyra. Läraren fick endast reda på att det skulle handla om en problemlösningsuppgift och vilka andra kriterier läraren utgick från är inget vi tagit del av. Anledningen till detta är att vi ville vara neutrala inför observationerna då Larsen (2009) menar att våra uppfattningar påverkar det vi väljer att se. Eftersom vi inte är intresserade av variationer mellan könen bestämdes att grupperna skulle vara heterogena efter kön. Indelningarna resulterade i fyra grupper med tre i varje och två grupper med fyra i varje. Av dessa fanns en låg,- tre medel- och två högpresterande grupper.

Larsen (2009) menar att projektledarna måste ta ställning till de etiska dilemman som uppkommer vid forskning. Ett av de etiska dilemman som vi behövde ta ställning till var huruvida vi skulle informera eleverna om nivågrupperingen. Vi bedömde att eleverna inte skulle informeras om hur indelningen gick till eftersom vi ansåg att det kunde komma att ta deras uppmärksamhet från uppgiften. Oakes et al. (1992) betonar att elever som är medvetna om att de har blivit nivågrupperade kan börja bete sig på ett visst sätt för att de utgår från lärarens förväntningar på dem.

4.6 Datainsamling

För insamling av data använde vi oss av videoinspelning som sedan transkriberades och analyserades utifrån våra frågeställningar. Vi började med att formulera ett brev till föräldrarna med information kring vår undersökning som de skulle skriva under och återlämna till skolan (se bilaga 2). Delar av innehållet är hämtat från Vetenskapsrådet (2011). Ansvarig lärare hjälpte oss att skicka ut brevet till föräldrarna i god tid innan det var tänkt att undersökningen skulle börja. I samband med utskicket besökte vi den aktuella klassen för att presentera oss för eleverna och för att informera dem om vår undersökning. Eftersom det var eleverna som skulle delta kändes det viktigt att de visste

22

vad undersökningen gällde och vad vi förväntade oss av dem. Trost (2005) betonar att barn har rätt till egen vilja och till integritet även om föräldrarna har det yttersta ansvaret.

4.7 Observation

Det som var aktuellt för vår undersökning var icke-deltagande observation som enligt Larsen (2009) innebär att projektledaren inte interagerar med informanterna. Dessutom var det elever som var vana vid problemlösningssituationen sedan tidigare och vår bedömning var då att de inte skulle behöva vårt stöd.

Klassläraren såg till att det fanns ett ledigt rum till vårt förfogande och det var där videoinspelningarna ägde rum. Rummet är ett konferensrum innehållande ett stort ovalt bord med åtta stolar. Videoinspelningarna utfördes med en iPad som en av projektledarna höll i. Vid observationerna av deras integration i gruppen studerade båda projektledarna tillsammans en grupp i taget. Videoinspelning gjordes för att dokumentera och för att kunna analysera resultaten. Fördelarna med videoinspelning, enligt Larsen (2009) är att projektledaren kan samla mycket information som sedan kan studeras för att få en helhetsbild. Nackdelen är att informanterna kanske inte uppträder naturligt och att det i sin tur kan påverka de data som projektledaren får (Larsen, 2009). I vår undersökning menade vi att eleverna inte skulle komma att påverkas nämnvärt av att de blev videofilmade eftersom de skulle rikta sin uppmärksamhet mot den gemensamma uppgiften. Det visade sig att det var några få elever som uppmärksammade vår närvaro genom att titta åt vårt håll men vi menar att det inte hade med videoinspelningen att göra utan av det faktum att vi var där som observatörer. Det kan också ha varit ett tecken på osäkerhet hos eleverna och att de då försökte få bekräftelse från oss. Bland övriga elever var uppmärksamheten fullt riktad på uppgiften och samarbetet i gruppen. Vidare menar Larsen (2009) att våra egna uppfattningar innan vi börjar observationerna kan påverka det vi väljer att se. Vi anser att vår medvetenhet angående detta och vikten av objektivitet minskar risken av vår påverkan.

4.8 Intervju

I anslutning till observationerna gjordes även intervjuer med enskilda elever. Syftet med intervjuerna var att ge eleverna möjlighet att förklara tillvägagångssättet med uppgiften,

23

för att utreda eventuella missförstånd och för att öka vår förståelse (Larsen, 2009). Frågan som användes var Hur vet du att gruppens svar är rätt? För att undvika felkällor vid frågeformuleringen har vi valt att använda en öppen fråga som inte innehåller delar som kan påverka svaret i en viss riktning (Larsen, 2009). Även här användes videoinspelning för dokumentering av data. Larsen (2009) menar att kvalitativa intervjuer kan innehålla olika grader av strukturering. Den ostrukturerade intervjun däremot innehåller inga färdiga frågor men projektledaren kan ha hjälp av stödord för att styra innehållet i intervjun mot den aktuella frågeställningen. En viss struktur kan underlätta jämförelsen av svaren men kan också leda till att information faller bort (Larsen, 2009). Vår intervju kan med de här orden beskrivas som delvis strukturerad då vi visste vad vi ville fråga om samtidigt som vi var lyhörda för elevernas svar och anpassade våra följdfrågor efter svaren vi fick. Eleverna gavs tid till eftertanke eftersom Trost (2005) betonar att det är viktigt för att de ska kunna fortsätta sin tankekedja.

4.9 Analys och databearbetning

Efteråt transkriberades all data och analyserades utifrån våra frågeställningar. Vald metod var innehållsanalys som, enligt Larsen (2009), används för att identifiera mönster, samband och gemensamma drag eller skillnader. För att få en snabbare överblick av informationen använde vi oss av en matris där vi förde in data från transkriberingarna. All information som låg utanför frågeställningen sorterades bort. Utifrån matriserna kategoriserades data för att vi lättare skulle kunna upptäcka likheter och samband. Tillsist drogs slutsatser mot tidigare forskning och teorier.

Det vi väljer att uppfatta under observationerna påverkas av vår bakgrund, t ex kön, ålder, utbildning och yrke (Larsen, 2009). Vi håller med om detta men anser samtidigt att det är svårt att veta i vilken utsträckning det kan ha påverkat vår undersökning eftersom det oftast är omedvetna handlingar. Dock hävdar vi att kunskapen om att vår bakgrund kan ha påverkat vår tolkning av resultaten, har hjälpt oss att analysera dem på ett objektivt sätt.

24

5. Resultat

5.1 Tillvägagångssätt

De observerade grupperna benämns nedan för A-F. Grupperna var homogena efter kunskapsnivå och de olika nivåerna kommer benämnas enligt följande, (L)-lågpresterande, (M)-medelpresterande och (H)-högpresterande.

Samtliga grupper sade sig ha förstått instruktionerna och utförde uppgiften tills gruppen nådde en gemensam tillfredsställelse. Tillvägagångssättet skiljde sig dock åt mellan grupperna.

Grupp A (M) pratade om tjocklek och längd på glasburkarna för att uppskatta vilken som rymde mest. Grupp B (H) diskuterade enbart tjockleken på glasburkarna för att uppskatta dem. Båda dessa grupper (A och B) började med att kontrollera, med hjälp av måttband och linjal, om deras uppskattning stämde. Den ena gruppen (A) övergav denna metod efter några glasburkar och gick över till att mäta med hjälp av vatten och en ograderad plastburk istället. Videoinspelningen visar hur en av deltagarna vid två tillfällen reser sig upp och tittar mot hinken med vatten. Därefter kommer denne med förslaget att de ska fylla glasburkarna med vatten. Vi tolkar det som att denne deltagare insåg att de inte hade någon användning av informationen som de fick med hjälp av måttbandet och linjalen. En av de andra deltagarna kom då med förslaget att de skulle kunna använda sig av en ograderad plastburk som mätinstrument. Vi menar att detta visar hur gruppens gemensamma resurser används för att komma fram till en annan lösningsmetod.

Grupp B mätte samtliga glasburkar med linjal och måttband. De antecknade sina resultat för burkarnas höjd och omkrets på ett papper. När de skulle mäta de två minsta glasburkarna började de diskutera tjocklek och längd. Vi menar att först då blev de medvetna om svårigheten att rangordna glasburkarna med hjälp av måtten, vilket framgår av nedan utdrag.

Elev 3: Ja, men den där var ju sist bland dem, ändån, på det sättet. Men inte på längden. På längden ska den vara där.

Elev 2: På längden är den längst, sen är det den, och den.

Elev 3: Och den. Nej den sen den.

25

sen den, den sen den.

De kom fram till att de även behövde använda sig av vattnet för att ta reda på vilken av glasburkarna som rymde mest. Ganska snart bestämdes att de skulle mäta med en halvliters plastburk med motiveringen att de visste hur mycket den rymmer. Mätningen av den, enligt deras uppskattning, största glasburken ledde till att eleverna, enligt oss, utförde komplicerade uträkningar för att få fram hur många liter glasburken rymmer. Vi menar att denna diskussion ledde till att de utvecklade en annan mätmetod som innebar att de hällde vatten från den större glasburken till den mindre. Därefter hällde de vattnet från den glasburken till den som de hade uppskattat vara näst störst och så vidare. Båda grupperna skrev ner sina resultat på papper.

Grupp C (L) gjorde sin uppskattning genom att jämföra tjockleken på glasburkarna, enligt mottot ”tjockare brukar rymma mer”. Grupp F (M) diskuterade tjockleken och

höjden på glasburkarna vid uppskattningen. Båda grupperna (C och F) började fylla

glasburkarna med vatten för att sedan mäta med linjal och måttband. Den ena gruppen (C) fyllde glasburkarna med hjälp av olika plastburkar till varje glasburk och vi menar att de därför inte fick fram någon användbar information. När alla glasburkar var fyllda började de mäta burkarna med linjal och måttband. Grupp F använde sig av en ograderad plastmugg för att mäta hur mycket glasburkarna rymmer. De bestämde att plastmuggen skulle fyllas till en centimeter från kanten. När alla glasburkar var fyllda och gruppen hade rangordnat dem förslog en av eleverna att de skulle hälla vattnet i en tvåliters plastburk och mäta vattennivån med en linjal. Det skulle kunna bero på att denne inte förstår att det räckte med den första metoden eftersom de inte hade en formell enhet, utan en informell i form av plastmuggen. När de mätte med linjalen använde de sig däremot av enheten centimeter. Ingen av dessa två grupper gjorde några noteringar från sina mätningar.

Grupp D (M) började uppskatta glasburkarna och motiverade aldrig anledningen till den slutgiltiga ordningen. Grupp E (H) uppskattade glasburkarna med hjälp av ögonmåttet och förde en kort diskussion kring deras tjocklek. Dessa grupper (D och E) använde sig endast av vatten när de skulle ta reda på hur mycket glasburkarna rymde. Grupp D använde sig av en mindre ograderad plastburk och vatten för att ta reda på hur mycket glasburkarna rymde. Grupp E fyllde den, enligt deras uppskattning, största glasburken genom att doppa den i hinken med vatten. Vattnet i glasburken hälldes därefter över till nästa glasburk i deras uppskattade ordning. Grupp D antecknade sina

26

resultat medan grupp E inte gjorde några noteringar från sina mätningar. För att kunna dra några slutsatser har ovan resultat sammanfattats i en tabell, se tabell 1.

Tabell 1. Sammanfattning av gruppernas tillvägagångssätt

Vi har rangordnat lösningsmetoderna så att det tillvägagångssätt som står först i tabellen var det minst tidskrävande. Utifrån denna tabell menar vi att den lågpresterande gruppen och en av de medelpresterande använde sig av ett mer invecklat tillvägagångssätt än de högpresterande och de flesta av de medelpresterande. Anledningen till detta skulle kunna bero på att dessa två grupper inte har någon djupare förståelse inom matematiken. Vi menar att dessa elever inte förstod att deras metod inte var effektiv och att den inte kunde ge dem den information som de behövde för att lösa uppgiften. De högpresterande och resten av de medelpresterande däremot reflekterade kring sin metod och gjorde korrigeringar, i den mån det behövdes, under arbetes gång.

5.1.2 Hur vet du att svaret är rätt?

När grupperna ansågs sig vara färdiga med uppgiften fick de enskilt svara på frågan Hur

vet du att svaret är rätt? Alla grupper utom den lågpresterande gruppen menar att svaret

är rätt för att de har mätt glasburkarna och beskriver därefter hur de gjorde när de mätte. En av deltagarna i den lågpresterande gruppen svarar ”för vi mätade”. De andra två deltagarna i samma grupp svarar däremot med en viss osäkerhet på frågan, ”eh, jag gissade på” och ”jag tror det var så att det var eh längst eller längst upp, och sen så hur bred den var, och tjock”.

I de grupper som använt sig av fler än ett tillvägagångssätt för att lösa uppgiften berättar alla grupper utom en om den sist använda metoden när de svarar på vår fråga. Tillvägagångssätt Gruppnivå

 Vatten Medel- (grupp D) och högpresterande (grupp (E)

 Linjal och måttband

 Vatten

Medel- (grupp A) och högpresterande (grupp B)

 Vatten

 Linjal och måttband

Låg- (grupp C) och

27

Anledningen till det skulle kunna vara att det tillvägagångssätt som de använt sist är det som de kommer bäst ihåg. Som nämnts ovan ändrade en del av grupperna tillvägagångssätt efter ett tag och vi menar att det kan bero på att de förstod att deras metod inte var effektiv och därför inte kunde ge dem ett svar på uppgiften. I dessa fall skulle orsaken till att de berättade om den sist använda metoden kunna vara att de valde att delge oss den som de ansåg vara den bästa. I en av grupperna anger deltagarna tre olika svar. Vi menar att det kan bero på samma orsaker som ovan nämnda och att det i den här gruppen fanns större skillnader mellan deltagarnas kunskapsnivå.

5.2 Vilka matematiska ord och begrepp använder de?

Det matematiska begrepp som var centralt i problemuppgiften var rymmer och dess olika böjningar. Resultaten visar att det var detta ord som de flesta grupper mest frekvent använde vardagliga uttryck för. Några exempel på sådana uttryck är ”finns i”, ”får plats”, ”där är mer vatten i”, ”hur mycket en sån här är” och ”gå i dem”. Samtliga grupper använde dock den rätta terminologin vid något tillfälle under arbetets gång. Vår tolkning är att det beror på att eleverna inte har full förståelse för begreppets innebörd och därför inte använder det i alla situationer.

Med hjälp av transkriberingen plockade vi ut de matematiska ord och begrepp som förekom i grupperna för att se om det fanns något samband mellan slutsatserna ovan (se tabell 1) och antalet ord. Sambanden framgår av tabell 2.

Tabell 2. Sammanfattning av gruppernas tillvägagångssätt och antal ord

Tillvägagångssätt Gruppnivå Antal matematiska ord och begrepp

 Vatten Medel- (grupp D) och högpresterande (grupp E)

Få

 Linjal och måttband

 Vatten

Medel- (grupp A) och högpresterande (grupp B)

Fler än ovan och färre än nedan

 Vatten

 Linjal och måttband

Låg- (grupp C) och

medelpresterande (grupp F)

28

Vi tolkar resultaten ovan som att deltagarna i de grupperna med få matematiska ord och begrepp hade en individuell och en gemensam förståelse för uppgiften. De behövde inte motivera och argumentera för sina lösningsförslag då de lade fram dem till de andra deltagarna i gruppen och vi menar att det skulle kunna vara orsaken till att få ord förekom.

I de grupperna där många ord användes fördes ideligen resonemang kring varför den ena burken rymde mer än någon annan, t ex. ”dom är tjocka, och dom rymmer mer och den här är smal, så den kanske inte rymmer lika mycket eftersom den är smal”. Det skulle kunna bero på att de var i större behov av att formulera sina tankar i ord för att klargöra sina tankegångar både för sig själva men även för de andra i gruppen. Ytterligare en anledning till att de använde sig av fler matematiska ord och begrepp än deltagarna i grupperna med få ord skulle kunna bero på att de i större utsträckning behövde bekräftelse från gruppen. En av grupperna uppskattar, hur mycket de tror ryms i glasburkarna, under hela arbetet, t ex. ”fyra och halv, fem nåntingsånt”. De korrigerar sina uppskattningar när de märker att de inte håller och dessa diskussioner, menar vi, är orsaken till att antalet matematiska ord och begrepp, som denna grupp använder, är relativt många. I två grupper användes fler ord än gruppen med få matematiska ord och begrepp men färre än gruppen med många matematiska ord och begrepp. Om vi utgår från tolkningarna ovan skulle det betyda att dessa grupper i viss mån hade förståelse för uppgiften men att de ändå var i behov av att diskutera med resten av gruppen för att klargöra sina tankar. Vi menar att det också kan ha att göra med att de använder sig av två metoder för att mäta rymden på burkarna.

5.3 Vilka språkliga strategier utvecklar eleverna när de

löser uppgiften?

5.3.1 Grupp A (M).

Elev 2: Finns det vatten i den (pekar på hinken)? Då kan vi fylla burken med en sån (pekar på en plastburk).

Elev 1: Och så kan vi kolla vikten.

Elev 2 & 3: Ja.

29 Elev 3: Den (största) väger mer än den.

Vi tolkar det som att elev 2 har en viss förståelse för volymbegreppet eftersom denne föreslog att de skulle kunna använda sig av en ograderad plastburk när de skulle fylla glasburkarna. Vi menar att denne elev såg plastburken som deras måttenhet. Elev 1 däremot pratade om glasburkarnas vikt och elev 3 stöttade förslaget och konstaterade att den större glasburken vägde mer än den mindre glasburken. Efter denna sekvens nämndes inte vikten vid fler tillfällen. Det skulle kunna bero på att de har förstått att uppgiften inte hade med vikten att göra.

Elev 2 förelog att de skulle fylla glasburkarna med vatten och därefter hälla över det i en stor plastburk och jämföra vattennivån, för att se vilken av glasburkarna som rymde mest.

Elev 3: Men annars kan vi räkna hur många såna små (plastburkar) som finns i som rymmer i. För den som får mest såna här är ju störst.

Elev 1: Ja, men tänk om det är udda?

Elev 3: Ja, men då får vi ta en halv.

Elev 3 menade att de skulle använda en mindre ograderad plastburk och fylla alla glasburkar med vatten för att se vilken som rymde mest. Den ena eleven ifrågasatte vad som skulle hända om ”det är udda”. Vi tänkte på udda i bemärkelsen av udda och jämna tal och förstod inte riktigt vad eleven åsyftade. Utifrån transkriberingen tolkar vi det som att elev 3 uppfattade att frågan handlade om hur de skulle gå tillväga om det inte fick plats ett helt mått. Eftersom elev 1 inte kommenterar förklaringen menar vi att elev 3’s uppfattning stämde. Vidare menar vi att utdraget visar en situation där eleverna hjälps åt att närma sig den rätta terminologin.

5.3.2 Grupp B (H).

Till en början fokuserade deltagarna på att de skulle använda sig av en enhet och det visar sig i följande utdrag:

Elev 2: Ska vi fylla vatten i dem (glasburkarna) eller?

Elev 3: Ja.

Elev 1: (tar plastburkarna.)

Elev 3: Vi måste veta hur mycket dessa (plastburkarna) rymmer, annars går det inte.

30 Elev 3: (tar en halvliters-plastburk.) Elev 3: Noll komma fem.

Elev 2: Ja, just det.

Elev 1: En halv.

Elev 3: Ja.

Med hjälp av den valda plastburken började de fylla den, enligt deras uppskattning, största glasburken. När de hade hällt i en plastburk med vatten följde nedan diskussion: Elev 3: Ni behöver inte ta hela den, för den kommer ändå inte få plats (behöver

inte hälla allt vatten från plastburken till glasbruken). Eller? Elev 2: Hur mycket är det kvar?

Elev 1: Mer än, lite mindre än hälften.

Elev 3: Lite mindre hälften. Ska vi ta noll komma?

Elev 1: Typ en fjärdedel från.

Elev 2 & 3: Mm.

Elev 2: En fjärdedel .

Elev 2 & 3: (skrattar.)

Elev 2: Ja just de, vänta.

Elev 3: Noll komma, noll komma.

Elev 2: En fjärdedel.

Elev 1: Sju komma någonting.

Elev 3: Ska vi ta noll komma sju?

Elev 2: Nej, det kan ju inte bli noll komma sju om det är noll komma fem. Det

kan inte bli mer.

Elev 3: Jo, eftersom vi har haft i mer än en halv i.

Elev 2: Jaha!

Vi uppfattar situationen som att elev 2 utgick från plastburken i sina kommentarer och de andra två deltagarna utgick från glasburken och menar därför att detta skulle kunna vara förklaringen till ifrågasättandet från elev 2.

Med gemensamma resurser kommer de fram till ett rimligt svar. När de antecknat på pappret kommer elev 2 på att de kan hälla direkt från den stora glasburken till den mindre för att se om den rymmer mindre.

Elev 2: Nu ska vi ta det vattnet och hälla i den (pekar på nästa burk i ledet).

31

Elev 2: Ja, det kan vi ju göra för om inte allt får plats i den så är den (den nya

burken) mindre. Och så kan vi göra det med alla. Elev 3: Ja.

Eftersom detta tillvägagångssätt inte diskuterats tidigare tolkar vi det som att elev 2 kan ha kommit till insikten att informationen om enheten var irrelevant i sammanhanget. Eftersom elev 3 svarar ja tolkade vi det till en början som att även denne elev förstod att enhet inte behövdes. När de hade hällt över vattnet från den första glasburken till den mindre utspelar sig nedan konversation:

Elev 2: Den var mindre.

Elev 3: Ska vi ta typ eh, vad blir den då?

Elev 2: Mindre ju.

Elev 3: Den var mindre och då är den, noll komma.

Elev 2: Det behöver vi ju inte veta, hur mycket den. Egentligen behöver vi inte veta hur mycket den.

Vi menar att denna konversation ytterligare styrker vår tolkning ovan, att elev 2 förstod att de inte behövde använda sig av enhet. Samtidigt framgår det i utdraget att elev 3 däremot inte förstod att enheten var oväsentlig i sammanhanget. Vi menar att elev 3, när denne sa ja, istället syftade på tillvägagångssättet.

5.3.3 Grupp C (L).

Elev 2: Dom är tjocka, och dom rymmer mer.

Denna elev agerade utifrån ovan resonemang under hela arbetets gång. Eleven tog ingen hänsyn till att den ena burken var nästan dubbelt så hög som den andra och sorterar därför dem så att den som de upplevde som tjockast stod först i ledet och sedan kom den som var betydligt högre men nästan lika tjock. Denna elev ledde gruppens arbete med hjälp av detta resonemang och de andra deltagarna ifrågasatte det inte till en början. Vi menar att det skulle kunna tyda på att de inte var helt införstådda med uppgiften och att de därför inte kom med ett eget förslag på tillvägagångssätt.

När de hade mätt de två första glasburkarna kommenterade elev 2 att ”de är ungefär lika stora runt om”. Elev 1 tittar på glasburkarna och säger ”fast den rymmer mer på höjden”. Vi menar att den kommentaren tyder på att denne elev har en förståelse för att hänsyn även måste tas till glasburkens höjd. Efter detta uttalande började elev 2

32

argumentera mot men ändrade sig efter en stund och flyttade då glasburkarna så att den högsta stod främst:

Elev 2: Ja, men den är ju rund och det är inte den (pekar på den högsta burken). Nej det kan det inte. Men det måste, den rymmer mest (pekar på den

högsta).

Vid detta tillfälle ändrade eleven sitt resonemang och vi tolkar det som att denne hade fått en insikt att höjden har betydelse. Efteråt vid intervjun framkom både elevens första och sista resonemang. Vi menar att det visar att eleven har börjat utveckla en förståelse för att hänsyn måste tas till både höjd och omkrets för att avgöra vilken som rymmer mest.

Deltagarna i denna grupp lyckades inte storleksordna glasburkarna på ett korrekt sätt. Anledningen till det, menar vi, var att de jämförde måttet på den ena glasburkens omkrets med måttet på en annan glasburks höjd. De hade ingen förståelse för att dessa två mått inte kan jämföras med varandra och därför inte kan ge dem någon användbar information. Om de hade haft förståelse för detta så hade de kanske gått tillväga på ett annat sätt när de använde sig av vattnet och plastburkarna.

5.3.4 Grupp D (M)

Innan de började mäta sa en elev ”det kanske står här hur mycket en sån här är” (och tittar på två av plastburkarna). Det skulle kunna tyda på att eleven gärna ville använda sig av en enhet vid deras mätning, vilket genomsyrade hela arbetet.

När de började kontrollera sin uppskattning utspelade sig följande konversation: Elev 3: Stor burk, störst burk väger nio komma fem.

Elev 1: Nio?

Elev 3: Eller nio komma fem.

Elev 1: Rymmer nio komma fem väl?

Elev 2: Ok.

Här uppstod först ett missförstånd angående väger och rymmer som eleverna klargjorde själva. Denna felsägning kunde observeras längre fram i deras arbete men då korrigerar eleven sig själv. Vi menar att det tyder på att en utveckling av volymbegreppet hos eleven har börjat, vilket även framkom vid intervjun:

Elev 3: Vi mätte storleksordning och så och sen hur breda de är. Så att den var hög och bred, då rymmer den ganska mycket och den var låg och bred så

33

då rymmer den fortfarande ganska mycket. Och den var eh, hög och smal och då rymmer den ju lite grann. Och dom rymde lika mycket.

Elev 3: Man kan liksom inte skriva en halv för vi vet inte hur mycket det är i en sån (plastburk) här.

Elev 2: (skrattar.)

Elev 2: Ja men eh, nio komma fem sånna där saker. Nio komma fem.

Elev 3: Rita en sån burk då. Rita en sån lite burk (plastburken som de hällt med).

Vi menar att i ovan utdrag får vi ytterligare belägg för att elev 3 ville använda sig av en formell måttenhet. Eleven fick hjälp att förstå att plastburken utgör deras informella måttenhet. Att denne insåg plastburkens betydelse som måttenhet framkom efteråt i intervjun:

Elev 3: Vi fyllde dem med vatten och räknade med en liten, liten skål. En sån är kanske ett mått eller nått sånt, fantaserar vi.

5.3.5 Grupp E (H)

Elev 2: Annars så kan vi ju.

Elev 1: (säger något ohörbart.)

Elev 2: Eller så kunde man typ, typ eller om man fyller hela den (pekar på den

högsta burken), nej det blir. Elev 3: Jo säg.

Elev 2: Ja sen häller man i det där (pekar på nästa burk) alltså inte allt då, och sen det där och sen det där.

Elev 3: (nickar instämmande.) Elev 3: Ja (tar upp första burken).

Ovan utdrag är ifrån när gruppen skulle kontrollera sin uppskattning och det visar en konversation om vilket tillvägagångssätt de skulle använda sig av. Elev 2 hade ett förslag men vi tolkar situationen som att denne hade svårt att förklara för de andra. Vi menar att under tiden som eleven berättade uppmuntrades denne av de andra deltagarna och fick då lättare att sätta ord på sina tankar.

5.3.6 Grupp F (M)

34

Elev 3: Nä, den där vägde, den där rymmer mer än den.

Elev 2: Nä, de var ju två styckna i varje (två plastburkar i varje glasburk).

Elev 3: Ja, men där är ju bara dit och den går bara upp dit (pratar om vattennivån i glasburkarna).

Elev 1: Ja.

Elev 2: Men inte om man ser här inuti. Nä den är större, den rymmer mer för man ser de på denna.

Eleverna pratade om två burkar som de hade uppskattat som lika stora volymmässigt. Elev 3 blev osäker och menade att den ena glasburken rymde mer på grund av att vattennivån var högre i den. Eleven tog ingen hänsyn till att de inte hade hällt ända upp till kanten och därför inte kan göra denna typ av jämförelser. De tog heller ingen hänsyn till att burkarnas omkrets, som är av betydande faktor, skiljde sig åt.

5.3.7 Jämförelse mellan nivågrupperna

Vi har tittat på huruvida deltagarna i grupperna ställer frågor till varandra, om de då förtydligar oklarheter och om de samarbetar för att lösa uppgiften. I de medelpresterande grupperna förekom relativt många förklarande situationer där deltagarna tillsammans utvecklade en förståelse för uppgiften eller dess olika delar. Deltagarna i dessa grupper pratade med varandra under hela arbetets gång och arbetade tillsammans för att lösa uppgiften. De byggde vidare på varandras förslag och utvecklade på så sätt nya idéer om tillvägagångssätt. Vi menar att det är en av anledningarna till att dessa grupper hade förmågan att ändra strategi när den förstvalda inte höll. Deltagarna i den lågpresterande gruppen däremot frågade inte varandra för att klargöra något under hela tiden som de arbetade med uppgiften. Det var inte ett samarbete utan snarare en av deltagarna som ledde gruppens arbete, utan att bli ifrågasatt av övriga deltagare. Vi menar att bristen på resonemang och diskussioner är orsaken till att de inte kom fram till ett effektivt tillvägagångssätt och därmed inte löste uppgiften på ett korrekt sätt. Den ena högpresterande gruppen hade väldigt få diskussioner och inga förklarande situationer. Enligt oss beror det på att en deltagare tidigt kom med ett tillvägagångssätt som övriga deltagare accepterade. De behövde aldrig diskutera fram ett mer effektivt tillvägagångssätt eftersom det förstvalda höll. Deltagarna i den andra högpresterande gruppen utvecklade varandras förslag och diskuterade under arbetets gång. Detta leder, enligt oss, till att de kunde revidera

35

tillvägagångssättet när de märkte att det inte höll. I denna studie, som dock är av ringa storlek, kan vi se att nivågrupperingen hade betydelse när det gällde förmågan att kritiskt granska sina valda strategier för att revidera dem när de inte höll.

Vi har också valt att rikta vår uppmärksamhet mot situationer där elevernas kommentarer och erfarenheter avviker från de matematiska begreppens korrekta syfte. I vår studie finner vi sådana avvikelser hos de låg- och medelpresterande grupperna men inte i de högpresterande. Den vanligaste avvikelsen är att de pratar om vikten när de jämför glasburkarna, istället för dess rymd. Vi tolkar det som att de låg- och medelpresterande grupperna inte har utvecklat lika stor förståelse för volymbegreppet som de högpresterande.

36

6. Analysdiskussion

Utifrån våra resultat ovan har vi valt ut några delar som vi vill diskutera ytterligare. Delarna är valda för att vi anser att de ger svar på våra frågor, som genomsyrar hela studien.

Den grupp som hade minst diskussioner och resonemang behövde inte kommunicera för att klargöra saker för varandra. I grupperna med få diskussioner kan orsaken varit att eleverna antog att de andra redan visste hur de ska gå tillväga för att lösa uppgiften (Webb, 1991). De använde sig av sina tidigare erfarenheter och färdigheter för att komma fram till en metod som de skulle använda (Säljö, 2000). Vi menar att detta kan ha varit anledningen till att den lågpresterande gruppen inte hade förmågan att nå fram till ett effektivt tillvägagångssätt. Sjödin (2000) menar att elever som löser problem tillsammans i grupp använder sig av tänkande som en form av kommunikativt arbete. De olika lösningsförslag som eleverna kommer med blir allmän egendom och vem som helst kan bygga vidare på dem. I den lågpresterande gruppen uppkom endast ett förslag och de andra deltagarna byggde inte vidare på det. Eftersom klassen är van att arbeta med problemlösning, antar vi att anledningen till detta inte beror på att de saknar färdigheterna som krävs för att lösa problem, utan snarare att de kanske har få erfarenheter av problemlösning beträffande volymområdet. Taflin (2007) menar att problemlösning handlar om att kunna välja en metod och för att kunna göra det krävs att eleverna har kunskaper i de olika matematiska områdena och dess begrepp och procedurer. Lester och Lambdin (2006) är endast två författare av många som betonar att det krävs en djup begreppslig förståelse för att kunna klara andra uppgifter än enkla rutinuppgifter. Den lågpresterande gruppen är klassificerad utefter matematiklärarens kriterier och de är inget vi har fått ta del av. Vi kan därför inte veta vad matematikläraren grundar sina val på men utifrån teorin och tidigare forskning menar vi att den lågpresterande gruppen saknade tillräckliga erfarenheter av volymbegreppet för att kunna lösa uppgiften.

En av eleverna i en av de högpresterande grupperna hade svårt att formulera sina tankar för de andra i gruppen, vilket framgår i resultaten ovan. Eleven började berätta men avbröt sig själv vid ett antal tillfällen. Med Vygotskijs (1934) ord använde eleven sig av det egocentriska språket som ett medel för att tänka. Samtidigt som eleven pratade utvecklades tanken och blev klar för denne som ett inre språk. Svårigheten med att förklara för de andra deltagarna består, enligt vår tolkning, i översättningen av det