Den tidiga multiplikationsinlärningen

Malmö högskola

Lärarutbildningen

SÄL

Examensarbete

10 poäng

Den tidiga multiplikationsinlärningen

Svårigheter som kan bli möjligheter

The Early Training in Multiplication

Turning Difficulties into Opportunities

Anders Ljunggren

Camilla Ramstorp

Lärarexamen mot grundskolans tidigare år Handledare: Lisbeth Ringdahl Naturvetenskap/Teknik/Matematik

Sammanfattning

Vårt syfte med denna uppsats är att undersöka var i den tidiga multiplikationsinlärningen hos elever som problem kan uppstå och hur några pedagoger undervisar om multiplikation. I litteraturbakgrunden ger vien samlad bild av teorier om hur barn lär sig matematik, lärarens roll för inlärning och vad som är känt som problem. I kapitlet om olika räknemetoder visar vi dig som läsare variationer på hur du kan lära ut multiplikation. Som metod för att göra vår undersökning valde vi att göra intervjuer med elever och pedagoger. I resultatet av våra elevintervjuer kunde vi se att uppgiftens utseende, stora tal och elevernas strategier kan vålla problem. Det som framkom var att pedagogerna använder sig av ett laborativt arbetssätt i den tidiga inlärningen, men vi anser att med hjälp av bilder skulle multiplikationen kunna göras tydligare för eleverna.

Innehållsförteckning

1Inledning ... 7

2Syfte och frågeställningar...8

3Litteraturbakgrund...9

3.1Styrdokumenten för matematikundervisningen ... 9

3.2Olika teorier om hur barn lär sig matematik... 10

3.3Lärarens nyckelroll...12

3.4Vad är känt som problem... 13

4Olika räknemetoder ...16

4.1Uppräkning...16

4.2Rutnät... 16

4.3Mönster i tabeller... 16

4.4Winnetkakort...17

4.5Multiplikation med fingrarna... 17

4.6Utantill-inlärning...17

4.7Ett steg längre...18

4.8Egenskaper hos de 28 kombinationerna i multiplikationstabellen...18

4.9Faktorisering av olika tal...18

5Metod... 19 5.1Metod... 19 5.2Urval...19 5.3Beskrivning av skolan... 19 5.3.1Beskrivning av lärarna... 20 5.4Genomförandet...21 5.5Datainsamlingsmetoder...21 6Resultat...23 6.1 Elevintervjuer ...23

6.2Hur undervisar några pedagoger om multiplikation?...25

7Diskussion...28

7.1Analys av resultat...28

7.1.1Olika typer av svårigheter som elever i undersökningen upplevde. ...28

Uppgiftens utseende ...28

7.1.2Analys av pedagogernas svar utifrån vår fråga. Hur undervisar några pedagoger om multiplikation? ... 29

7.2Metoddiskussion... 30

7.3Slutdiskussion... 31

7.4Förslag till ny forskning... 33

8Avslutning...34

9Referenser... 35 Bilaga 1-5

1

Inledning

Vi (en fritidspedagog och en förskollärare) studerar till lärare inom SÄL-projektet i ämnena Ma/No/Teknik för de tidigare skolåren. Vi hade arbetat i ungefär 20 år inom förskole-, fritidshems- och skolverksamheten när vi kände att vi ville ha en formell lärarexamen.

Vi har under de år vi arbetat i skolan upplevt att det finns barn som har svårt att förstå multiplikationen. Det är både de som har läs- och skrivsvårigheter men också de barn som inte har det. En fråga som vi upplever att barn ofta ställer är,

– ska jag ”plussa” eller ska jag ”gånga”.

Att det är en upprepad addition som blir en multiplikation har dessa barn inte upplevt. Vi tror att det beror på att läraren går för snabbt fram så att barnen inte hinner med att ta till sig kunskapen och förståelsen. Det fokuseras för snabbt på att rabbla tabeller som då sker under en intensiv period med återkommande förhör på tid. Det som barnen gör är då att träna in tabellerna så de klarar tidsgränsen, men när de sen ska använda sin kunskap förstår de inte hur de ska använda den. Även om många av dessa barn aldrig kommer att kunna alla tabeller utantill måste de veta varför och hur man gör denna räkneoperation. För om de kan det och känner sig trygga i det, kan de alltid använda sig av miniräknaren. Att kunna alla multiplikationstabeller leder i sig inte till färdighet enligt Löwing & Kilborn (2003).

Dessa elever kan även möta svårigheter när divisionen introduceras eftersom den hör ihop med multiplikationen. Vi tror att om barnen hade fått uppleva fler laborativa lektioner och att inlärningen hade skett under en längre period med mindre fokus på tabellinlärningen hade färre barn upplevt ett matematiskt misslyckande.

Detta är något vi tror på och som vi skulle vilja undersöka om det stämmer. Därför vill vi fördjupa oss i detta ämne och vi hoppas då på att vårt arbete kommer att ge oss verktyg till att förbereda eleverna för den första multiplikationsinlärningen på bästa sätt.

2

Syfte och frågeställningar

Som blivande Ma/No/Tk lärare vill vi kunna ge inre bilder av vad multiplikation är och därmed bättre verktyg för multiplikationsinlärningen. Med inre bilder menar vi man ska kunna förställa sig en bild av multiplikationen, exempelvis 4*4 att kunna se fyra högar med fyra saker i varje hög.

Vi vill undersöka var i den grundläggande inlärningssituationen som problem kan uppstå. Vi vill även undersöka hur pedagogerna varierar sitt arbetssätt vid multiplikationsundervisningen, och om det finns några skillnader i deras undervisning utifrån deras utbildning.

De frågor vi ställer oss är:

· Vad upplever några elever som svårigheter i den tidiga multiplikationsinlärningen? · Hur undervisar några pedagoger om multiplikation?

3

Litteraturbakgrund

3.1 Styrdokumenten för matematikundervisningen

I Skolverkets kursplan år 2000 för matematik (Skolverket 2000) står det att grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematiken som behövs för att fatta välgrundande beslut i vardagslivets många valsituationer, för att kunna tolka och använda det ökande flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället. Skolan ska utveckla elevens intresse för matematik och göra det möjligt för eleven att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Eleven ska ges möjligheten att upptäcka estetiska värden i matematiska mönster, former och samband samt att uppleva glädje och tillfredställelse som ligger i att kunna förstå och lösa problem.

Under rubriken ämnets karaktär och uppbyggnad står det bland annat följande. ”För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemslösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. Detta gäller alla elever, såväl de som är i behov av särskilt stöd som elever i behov av särskilda utmaningar” (Skolverket 2000, s 28).

Mål att sträva mot för eleven vad det gäller matematik (Skolverket 2000, s 26):

· Utveckla intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer. · Inser att matematiken har spelat och spelar en viktig roll i olika kulturer och

verksamheter och få kännedom om historiska sammanhang där viktiga begrepp och metoder inom matematiken utvecklats och använts.

· Inser värdet av att använda matematikens uttrycksformer.

· Utveckla sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.

· Utveckla sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningar i förhållande till den ursprungliga problemsituationen.

· Utveckla sin förmåga att använda enkla matematiska modeller samt kritiskt granska modellernas förutsättningar, begränsningar och användning.

· Utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda grundläggande talbegrepp och räkning med reella tal, närmevärden, proportionalitet och procent.

3.2 Olika teorier om hur barn lär sig matematik.

Enligt associationsteorin som grundades av Edward Thorndike år 1922 (i Ahlberg 1995) är förmågan att kunna lösa matematiska problem enbart ett resultat av träning. Kreativitet, förmåga till nya insikter och nyskapande har ingen betydelse för hur människor lär. Denna teori finns fortfarande kvar i dag när våra elever i undervisningen huvudsakligen tränar sin förmåga att ställa upp tal och räkna ut svaret och rabbla multiplikationstabellerna.

Ahlberg (1995) skriver att i behaviorism och undervisningsteknologi är den underliggande idén att inlärning ska ske i mycket små steg så att rätt stimulus-respons kan utvecklas och befästas. I undervisningen ställs ett stort antal lätta frågor. Eleverna svarar och får förstärkning genom att omedelbart få reda på om de svarat rätt eller fel. Denna syn på undervisning och lärande finns kvar idag i arbetsböcker och arbetsblad som används i skolan. Det har framförts farhågor att en ökad datoranvändning kan medföra att behaviorismen återigen får ökad spridning. Orsaken är att en del av den mjukvara som produceras för skolbruk kännetecknas av Skinners syn på inlärning som ett stimulus–responssystem, där eleverna mekaniskt tränar olika färdigheter.

Alan Schoenfeld och Frank Lester (i Ahlberg 1995) säger i sina teoretiska forskningsinriktningar i human information processing år 1985, att om en elev ska kunna utveckla sitt matematiska tänkande behövs det mer än goda ämneskunskaper. Flexibilitet i tänkandet och förmåga att utnyttja den befintliga kunskapen effektivt betyder mycket. Även elevernas syn på sig själva, uppgiften, situationen och matematiken är avgörande för hur de går tillväga när de löser matematiska problem. Det väsentliga i matematikundervisningen är att eleverna lär sig att utnyttja olika lösningsstrategier och utveckla metakognitiva färdigheter (förståelse för det egna tänkandet).

Teorin om det situationsbundna tänkandet förespråkades av Lauren Resnick 1987 (i Ahlberg 1995). Det finns skillnader på elevers tänkande utanför skolan och deras sätt att tänka i en skolsituation. I skolan arbetar eleverna på egen hand. I vardagslivet är det ovanligt att vi löser problem på egen hand och utan att utnyttja särskilda hjälpmedel som behövs för att lösa situationen. Målet för undervisningen i matematik är att eleverna ska lära sig behärska

matematikens formella språk, även i vardagliga situationer. Den formella matematiken presenteras ofta för eleverna genom att läraren förevisar procedurer och matematiska operationer. Vilket istället borde vara att läraren presenterade det formella matematiska språket på ett sådant sätt att skolmatematiken inledningsvis bekräftas av elevernas vardagstänkande. Dagmar Neuman år 1987 (i Ahlberg 1995) har i sin forskning om fenomenografi kartlagt hur barn utvecklar talbegrepp och lär sig räkna. Hennes forskning visar att barn som har utvecklingsbara talbegrepp har tillägnat sig dem genom att uppfatta tal i del-och helhetsrelationer del-och inte genom att räkna på talraden. För barnens fortsatta matematikinlärning är det mycket viktigt att de har en säker kunskap om de grundläggande talbegreppen. Enligt Vygotskys (i Ahlberg 1995) tankar om utveckling är det lärarens uppgift att anpassa inlärningen efter elevernas kognitiva utveckling. Först när eleven gått från det konkreta till de formella operationernas stadium kan de förstå logiska resonemang. Om kunskaperna kommer på en för hög nivå så spelar det ingen roll vad läraren gör, eftersom eleven inte är mogen för att ta till sig dessa kunskaper.

Det gäller att inlärningssituationen blir en lagom utmaning. Eleven ska kunna utnyttja sin egen förståelse och erfarenhet och samtidigt ta del av den mer avancerade kunskap som pedagogen introducerar (Säljö i Forsell 2005). Han betonar den avgörande betydelse språket har för allt lärande. Säljö (i Forsell 2005) menar att allt tänkande har sitt ursprung och utvecklas i relationen med andra människor. Det sociala samspelet mellan människor ligger till grund för begreppsutvecklingen och skapandet av tankestrukturer. Howard Gardner menar att vi människor inte besitter en intelligens utan flera olika vilka han beskriver i sin bok De sju intelligenserna (i Forsell 2005). Dessa sju har kompletterats med ytterligare en så nu är de åtta.

1. språklig intelligens

2. logisk-matematisk intelligens 3. visuell- rumslig intelligens 4. kroppslig- kinestetisk intelligens 5. musikalisk intelligens

6. social intelligens

7. intrapersonell intelligens 8. naturalistisk intelligens Forsell (2005 s 225)

Metakognition är en nivå över kognitionen, dvs. tänkande om tänkande. I grunden gäller det att få användning för tankeprocessen i olika situationer. Intelligens och minne är inblandade i denna utveckling

Stevenson (i Pramling 1991) påpekar att så länge barn inte har insett kontinuiteten i form av identifikation så är det också svårt för dem att upptäcka en relation i inlärningen där saker man lärt sig i en situation kan tillämpas i en annan. Att upptäcka kontinuitet är inte bara av stor betydelse för vad barnet uppfattar som inlärning, men också för dess förståelse för hur man lär sig. Pramling (1991) skriver att det finns yt- och djupinriktning vid inlärning. Yt-inriktningen kan ses som inlärning i form av att kopiera eller imitera. Djup-Yt-inriktningen kan ses som inlärning mot att tillägna sig kunskap om världen, dvs. att veta eller att förstå något. Skillnaden tycks vara av strukturell karaktär. Om ett specifikt undervisningsinnehåll introduceras till barn som saknar förutsättningarna för att förstå syftet med innehållet, så kan de bara hantera innehållet på ett konstgjort och skolinriktat sätt. Barnet försöker göra det bästa av situationen genom att göra det som läraren förväntar sig att han ska göra, vilket betyder att han försöker att komma ihåg för att kunna svara läraren. Följen av detta förfaringssätt blir en inriktning mot yt-inlärning i form av att memorera och lära sig utantill.

Matematik kräver mycket av både abstraktionsförmåga och koncentration enligt Malmer (1999). Somliga barn har under sin tidigare uppväxt gynnats i sin utveckling, andra har haft motsatta förhållande. Ängslan och brist på självförtroende som hänger intimt samman med misslyckande i läs och skrivprocessen, får ofta konsekvenser i matematiken. Undervisningens uppläggning spelar här en viktig roll så att alla elever får möjlighet att nå så långt som deras förutsättningar medger. Språklig kompetens utgör grunden för all inlärning anser Malmer (1999). De barn som har ett utvecklat språk har de bästa förutsättningarna för en effektiv inlärning, medan de med ett bristfälligt ordförråd ofta får stora svårigheter med den grundläggande begreppsbildningen. Dessa barn har inte heller förutsättningar att själva söka kunskap och strukturera sitt arbete. De är beroende av lärarens medverkan och handledning.

3.3 Lärarens nyckelroll

I Myndigheten för skolutvecklings skrift Baskunnande i matematik (Myndigheten för skolutveckling 2003) kan man bland annat läsa att läraren alltid har haft en nyckelroll för utformandet av matematikundervisningen i skolan. ”Det är kanske så att traditionen sätter

gränser som gör att nuvarande mål är omöjliga att nå för många elever med den undervisning vi har.” (s 9)

Traditionell syn på matematik har styrts av formell behandling av skriftliga beräkningar efter bestämda regler och formler. Hedrén (2005) skriver följande i sin artikel. Det är nog så att vi framöver ska fundera på vilka kunskaper i aritmetik som eleverna behöver i framtiden. Enligt Hedrén (2005) är det förmodligen så att kunskaper i huvud- och överslagsberäkning kommer att bli viktigare framöver. Ett för stort och ensidigt läromedelsberoende och en kvantitativ bedömning är och har också en bromsande effekt i matematikundervisningen. Läraren bör få varje elev att aktivt bygga på sina kunskaper utifrån sin egen kunskap och sina egna erfarenheter. Erfarenheten byggs enligt Hedrén (2005) på med hjälp av att arbeta med matematiska symboler, arbeta laborativt, och genom diskussion med sin lärare och sina klasskamrater och givetvis via läromedel. Vad som idag oftast saknas är matematikdidaktik. Att matematik är ett kommunikationsämne verkar främmande för många. Matematik behövs för att kunna fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer. För att nå dit måste vi enligt Hedrén (2005) mer aktivt arbeta med elevers talförståelse och taluppfattning, deras förståelse för, talens betydelse, storlek, relativa storlek, talens delbarhet och hur man använder räknelagarna.

3.4 Vad är känt som problem

Ett problem enligt Ahlberg (1995) är att när läraren lotsar eleven fram till rätt svar genom korta frågor som ger korta svar ges inte eleven tillfälle till reflektion och analys av innehållet. Tilliten till sin egen kompetens avtar genom denna metod.

En annan orsak till att elever slutar tro på sin förmåga är att undervisningen är inriktad på att eleverna ska ge rätt svar på en uppgift på kortast möjliga tid. Detta innebär att de elever som ofta svarar fel eller behöver längre tid för att lösa uppgiften förlorar tilltron till sin egen förmåga anser Ahlberg (1995).

I boken Huvudräkning skriver Löwing och Kilborn (2003) att bland de grundläggande räkneoperationerna för multiplikation är multiplikationstabellerna. Behärskar man inte dessa tabeller blir det svårt att göra alla deloperationer i huvudet när man ska räkna huvudräkning eller räkna med papper och penna. Multiplikation är ett mer komplicerat räknesätt än addition och subtraktion. Eleverna kan inte enkelt ta hjälp av fingrar och föremål för att underlätta

uträkningen. Multiplikation är en upprepad addition 3*5 betyder 5+5+5. De barn som förstår detta får inte problem med prioriteringsregeln. Operationen 4+3*5 betyder 4+(5+5+5). Yngre barn använder sina fingrar för att hålla ordning på antalet steg, vilket är helt naturligt i början. Det blir stora problem senare om de håller fast vid denna strategi. Det som då händer är att de blockerar delar av det arbetsminne som krävs för att utföra viktiga räkneoperationer. Därför är det viktigt att de behärskar multiplikationstabellerna lika bra som additions och subtraktionstabellerna (se bilaga 1a).

Många barn använder sig av upprepad addition vid uträkningar av multiplikationen. Därför är det viktigt att reda ut vissa sammanhang som att 4*7 betyder 7+7+7+7 alltså summan av fyra sjuor och inte en summa av sju fyror 4+4+4+4+4+4+4, även om resultatet i båda fallen är 28. Om man inte har detta klart för sig är risken stor att man utgående från 4*7=28 får 5*7 till 4*7+4=32 istället för 4*7+7=35. Felet är vanligt hos elever med ett annat modersmål än svenska enligt Löwing och Kilborn (2003). Den kommutativa lagen (a*b=b*a se bilaga 1b exempel 2*7 = 7*2) för multiplikation är inte självklar för många elever. Den gäller för tal men den skapar svårigheter vid arbeten med storheter. Den första matematikundervisningen är väsentlig. Den lägger grunden till nästan alla viktiga moment i matematikundervisningen som elevens inställning till ämnet och till sin egen kompetens.

Nybörjarinlärningen bör vara tematiskt inriktad i inlärningsblock anser Malmer (1999).

Detta gynnar de elever som har svårigheter med symboltolkning av olika slag. Svårigheterna kan de inte undgå, men de skulle stå starkare och därmed också har mera kraft att möta dem och kompensera dem, genom att undervisningen innehåller dessa moment.

· göra och pröva · tänka och tala

· förstå och formulera

Malmer (1999) menar också att lärarens språk måste variera beroende av till vem eller vilka det riktas. Tyvärr går alltför många elever miste om lärarens framställning med förklaringar och instruktioner, helt enkelt beroende på att de inte förstår vad han/hon säger. Varje lärare bör ta hänsyn till elevernas varierande språkliga nivå. Det är en pedagogisk konst att kunna transportera det matematiska stoffet till lämplig ”tonart”. Det förutsätter framför allt att läraren själv förstår innebörden av de matematiska processerna. Ofta händer det att lärare använder sig av tradering, dvs. förmedlar utprövade och färdiga modeller. Elever som säger

”förklara inte så mycket, tala bara om hur jag ska göra”(s 61). Dessa elever har ofta på ett tidigt stadium inkompetensförklarat sig själva och helt enkelt givit upp. De har tappat tilltron till den egna förmågan och ju längre tid som går, desto svårare blir det att förändra deras inställning. Det finns många olika faktorer som kan orsaka svårigheter. En del elever har matematiksvårigheter men det är alltför många som i samband med undervisning får svårigheter. Lärarens attityd och förhållningssätt, arbetssätt och arbetsformer kan påverka matematiksvårigheter.

Enligt Magne (1973) kan ett sämre långtidsminne försvåra all automatisering, t.ex. tabellkunskap, räknelagar och formler. Att inte ha förståelsen. Att inte multipliceringen uppfattas som mångfaldigande och att då produkten bli något större. Kombinationer med stora faktorer kräver mest övning innan de behärskas. De 25 svåraste kombinationerna är enligt Magne (1973) 6*9 7*8 7*6 8*6 4*8 4*9 7*9 7*7 6*7 4*7 7*5 5*9 8*8 9*7 8*5 9*6 3*9 8*7 4*6 5*6 9*4 5*8 3*8 6*8 7*4

En kombinationstyp som visar sig förorsaka många fel, är nollkombinationer. Detta beror på bristande förståelse för vad nollan representerar.

4

Olika räknemetoder

Vi vill i detta avsnitt visa på olika inlärningsmetoder som kan variera den tidiga multiplikationsinlärningen. Nedan följer olika metoder utifrån vad Löwing och Kilborn (1995) har beskrivit i sin bok Huvudräkning.

4.1 Uppräkning

En metod som kan användas som förberedelse av multiplikationstabellen är uppräkning i 2 steg, 3 steg, 4 steg etc. På detta sätt lär sig barnen känna igen de tal som senare kommer att ge de rätta produkterna. Ex. 4*3 betyder 3+3+3+3, en uppräkning från 0 i fyra tre steg dvs. 3,6, 9,12.

4.2 Rutnät

För att bekanta sig med multiplikationstabellerna kan eleverna använda sig av rutnät där de markerar multipler av olika tal. Rutnätet kan innehålla tal från 1-90. Eleverna kan då upptäcka intressanta mönster och egenskaper hos följder av tal (se bilaga 1b).

4.3 Mönster i tabeller

För att eleven ska kunna lära sig alla de olika kombinationerna upp till 10*10, vilket är en fördel vid många beräkningar, gäller det att söka sådana strukturer i tabellerna som underlättar förståelsen av dess uppbyggnad. Utnyttjar vi dessa strukturer brukar det förenkla inlärningen genom att eleven ser mönster i det de gör (se bilaga 1a-b).

Ex.

· utnyttja kommutativa lagen, vilket gör att tabellen blir symmetrisk kring en diagonal som innehåller kvadrattalen. Se bilaga 1a (kvadrattalen är markerade med fetstil). Symmetrin medför att om eleven kan lära sig de 45 kombinationerna på vänstra sidan om diagonalen, så kan eleven även de 45 kombinationerna till höger om diagonalen. · andra viktiga strukturer ges av enhetselementet 1 och talsystemets bas 10. För alla tal

a gäller att a*1=1*a=a, t.ex. 7*1=1*7=7. För multiplikation av naturliga tal med 10 gäller att produkten får en nolla till höger om talet. Således är 7*10=10*7=70.

· för de elever som behärskar dubblorna i additionstabellen, dvs. multiplikation med 2, är det bara följande 28 kombinationer kvar att lära sig. Kan eleven detta och dubblorna i additionstabellen behärskar eleven hela multiplikationstabellen.

3*3 4*3 4*4 5*3 5*4 5*5 6*3 6*4 6*5 6*6 7*3 7*4 7*5 7*6 7*7 8*3 8*4 8*5 8*6 8*7 8*8 9*3 9*4 9*5 9*6 9*7 9*8 9*9

För att färdighetsträna detta kan eleverna använda sig av en lathund se bilaga 4, över multiplikationstabellen. Observera att lathunden inte är något lämpligt hjälpmedel på sikt eftersom det leder till en omväg i räknandet. Lathunden används endast som ett stöd under en inlärningsfas.

4.4 Winnetkakort

Att använda sig av Winnetkakort är en metod. Med denna metod kan eleven träna med sin kompis. Vid denna färdighetsträning blir båda eleverna stimulerade (se bilaga 1b).

4.5 Multiplikation med fingrarna

Att lära eleverna olika tekniker kan göra inlärningen av multiplikationstabellerna mer intressant.

Ex. multiplikation med 9 kan ske med följande teknik. Du håller dina 10 fingrar framför dig. Om du ska multiplicera talet 9*2 viker du ner andra fingret. Till höger om det fingret har du nu 8 fingrar som är raka, och ett finger till vänster som är rakt. De fingrar du har till vänster om det nedvikta fingret är tiotal, och de fingrar du har till höger om det nedvikta fingret är ental. Vi kan då avläsa svaret 18.

4.6 Utantill-inlärning

Utantill-inlärning är en månghundraårig metod som bygger på att man övar ett fåtal nya uppgifter i taget tills dessa behärskas, varefter man går vidare till nya uppgifter. Denna metod kan uppfattas tråkig om man inte varierar den.

4.7 Ett steg längre

Ska eleverna bli säkra i huvudräkning bör man inte stanna vid själva tabellen utan gå ett steg till och öva den generaliserade multiplikationstabellen som är uppgifter av följande slag. 7*4+1= 4*4+3= 4*8+6=

9*6+7= 3*9+5= 3*3+5=

4.8 Egenskaper hos de 28 kombinationerna i multiplikationstabellen.

· Om minst ett av talen är ett jämnt tal, så är produkten ett jämnt tal. Om båda talen är udda så är produkten ett udda tal.

· Om en av faktorerna är delbar med 3 (alltså är 3,6,9) så är siffrornas summa delbar med 3.

· Ett jämnt tal som multipliceras med 5 ger en produkt som slutar på 0 och ett udda tal som multipliceras med 5 ger en produkt som slutar på 5.

· Om ett tal multipliceras med 9 så blir siffersumman 9

4.9 Faktorisering av olika tal.

Faktorisering av olika tal använde man som metod inom GUMA-projektet (GUllviksskolans MAtematikundervisning Malmö 1981-1984) (Malmer 1999). Man utgår från helheten som består av t ex 12 klossar. Eleverna får pröva att lägga dessa i rektanglar på olika sätt. 4*3, 3*4, 6*2, 2*6. Genom denna övning lär sig eleverna samtidigt att talet 12 är delbart med 1, 2, 3, 4, 6 och 12. Modellen kallas för multiplikation i tre etapper: första till och med 25, andra till och med 50, tredje till och med 100. Beskrivning finns i Räkna och skapa 2 (Malmer 1994). Barnen arbetar med träklossar som i förväg är utlagda i lådor med angivet antal. Arbetssättet visar sig ge mycket goda inlärningsresultat. Det motoriska arbetet i kombination med tillverkning av egna faktakort tar flera perceptioner i anspråk och upplevs stimulerande. Sambandet mellan multiplikation och division blir tydligt, likaså den kommutativa lagen. Även upptäcker barnen geometriska figurer.

5

Metod

5.1 Metod

För att besvara vår första fråga (Vad upplever några elever som svårigheter i den tidiga multiplikationsinlärningen?) har vi valt att låta elever besvara multiplikationsuppgifter (bilaga 2a-b), och utifrån deras svar har vi intervjuat eleverna om deras lösningar och tankegångar (bilaga 3).

För att besvara vår andra fråga (Hur undervisar några pedagoger om multiplikation?) har vi intervjuat pedagoger ( bilaga 4).

5.2 Urval

Undersökningen är gjord vårterminen 2006 som en del i vårt examensarbete på Malmö högskolas lärarutbildning. De lärare (5 stycken) som vi har intervjuat undervisar alla i matematik och har flera års erfarenhet. Vi har valt ut dessa då de har olika inriktning i sin lärarutbildning, Ma/No-lärare, Sv/So-lärare och lågstadie/spec.-lärare. Dessa lärare arbetar alla på samma skola och är valda genom kontakter. Vi fick inget bortfall. Vår avsikt med intervjuerna var att få inblick i hur de arbetar med elever som inte har läs- och skrivsvårigheter, men ändå stöter på problem i den tidiga multiplikationsinlärningen och om det finns några skillnader i deras undervisning utifrån deras utbildning.

Eleverna som vi har intervjuat går samtliga i skolår 4 i samma klass och har före intervjutillfället genomfört och svarat på multiplikationsuppgifter (bilaga 2a-b). De elever som vi valde att intervjua var de som enligt klassläraren inte har läs– och skrivsvårigheter. Vi valde slumpmässigt ut åtta barn och till dessa skickade vi en skriftlig förfrågan (bilaga 5) till föräldrarna om tillåtelse att intervjua deras barn. Av dessa fick vi tillbaka sju svar, varav sex accepterade att barnen fick vara med. En ville inte att barnet deltog och en svarade inte.

5.3 Beskrivning av skolan

Skolan är en F-6 skola med fritidshem och särskola. Det går cirka 300 elever på skolan varav ungefär 95 procent har svensk bakgrund. Miljön runt skolan är blandad bebyggelse (villor, bostadsrätter och hyresrätter), närhet till bad och grönområden.

5.3.1 Beskrivning av lärarna

Lärare1, är Ma/No-lärare för skolår 1-7. Via pedagogiska centralen har lärare 1 genomfört några småkurser inom matematik. Under de åtta år som lärare 1 varit verksam har lärare 1 undervisat på två skolor i olika kommuner i skolår 1-4, undervisar idag i skolår 3. Skillnaden på de olika skolorna har varit stora.

– På förra skolan fanns det många invandrare, klimatet var mycket tuffare och det fanns betydligt fler sociala problem. Men det var fler pedagoger som var engagerade i sitt jobb än på min nuvarande skola.

Lärare 2, är Ma/No-lärare för skolår 1-7. Genomför just nu en 20 poängskurs med inriktning i matematik mot de äldre skolåren. Har arbetat som lärare i fem år inom samma rektorsområde mestadels i särskild undervisningsgrupp, men har sedan höstterminen 2005 en klasslärartjänst i skolår 5.

– Det finns både likheter och skillnader, men oavsett var man är så är det viktigt att barnen har en bred bas att stå på för att kunna utvecklas. Det är inte lönt att gå vidare/hasta iväg innan grunden är på plats”.

Lärare 3, är Sv/So-lärare för skolår 1-7. I matematik är läraren behörig att undervisa i skolår 1-3 men undervisar idag i skolår 5. Läraren har arbetat i 13 år varav sex år i skolår 1-3 och sedan dess i skolår 4-6 i samma kommun men på olika skolor. Vad som skiljer skolorna åt enligt läraren är invandrartäthet, social status, föräldrakontakt och familjernas sammansättning.

– Förhållanden runt omkring påverkar hur eleverna är i skolan. Men lusten att lära och förmågan att lära är samma.

Lärare 4, är Sv/So-lärare för skolår 1-7. I matematik är läraren behörig att undervisa i skolår 1-3 men undervisar idag i skolår 4. Har varit verksam som lärare i tio år på samma rektorsområde, varav fyra år i skolår 4-6 och sex år i skolår 1-3.

– Skillnaden jag lagt märke till mellan år 1-3 och 4-6 är att i de yngre åldrarna samarbetar man mer mellan de olika yrkeskategorierna.

Lärare 5, är utbildad lågstadielärare och har vidareutbildat sig till specialpedagog. Har arbetat i 36 år varav 30 år på samma skola, de sex senaste verksamma åren som specialpedagog på en annan skola inom samma kommun. Läraren har arbetat flest år i skolår 1-3 men även följt

vissa klasser upp i skolår 4-5. Arbetar just nu som specialpedagog i skolår 1-6 men har även varit verksam på högstadiet.

– De elever som jag jobbade med på högstadiet hade en ganska låg kunskapsnivå, så det var bra att ha den bakgrund som jag har även om det gällde högstadieelever.

– Eleverna har mycket högre resultat på denna skola jämfört med den förra jag arbetade på. Den förra var en mångkulturell förortsskola, med all den problematik som kan uppstå där sociala problem m.m.. Problem finns det här också men inte alls i samma utsträckning. De barn som får hjälp här fick inte hjälp där eftersom det var så många som låg lågt. Det blir lite orättvist fördelat, jag känner att fler barn får hjälp här. Jag känner att jag räcker till mer här.

5.4 Genomförandet

Elevundersökningen genomfördes på följande vis. Samtliga elever i en 4: e klass svarade på enkätuppgifterna som finns i bilaga 2a-b. Undersökningen ägde rum i deras klassrum tillsammans med oss. Elevintervjuerna gjordes enskilt i deras grupprum, spelades in på band och tog cirka 20 minuter per elev att genomföra.

Lärarintervjuerna (bilaga 4) genomfördes på följande vis. Lärarna tillfrågades utifrån deras utbildning och vilken åldersgrupp de idag arbetar med. Samtliga tillfrågade accepterade att medverka i vår undersökning. Intervjuerna genomfördes enskilt i ett klassrum på skolan. Intervjuerna tog 30 –40 minuter per pedagog att genomföra, samtliga intervjuer spelades in på band.

En av oss intervjuade barnen och den andre intervjuade pedagogerna. Detta har gjort att frågorna har ställts på samma vis till samtliga barn/vuxna.

5.5 Datainsamlingsmetoder

Som metod för vår undersökning har vi valt att använda intervjuer. Elevintervjuerna (bilaga 3) kommer att bygga på multiplikationsuppgifter (bilaga 2a-b) som de gjort före intervjutillfället. Multiplikationsuppgifterna har vi konstruerat för att de ska likna de uppgifter som de är vana vid utifrån sin matematikbok, Matematikboken 4 (Undvall, m.fl. 2005) Bilduppgifterna blev vi inspirerade av från boken Lär dig multiplicera Clemson(1996). Vi ville undersöka om eleverna upplever någon skillnad på de olika uppgifterna. Elevintervjuerna kommer att vara strukturerade (fasta frågor som ställs till alla deltagare) och kommer därför inte att redovisas

var för sig. Barnens svar för varje fråga kommer att sammanfattas. Lärarintervjuerna (bilaga 4) kommer att vara kvalitativa (friare formulerade frågor som kan varieras). Vi hoppas att den ger oss den information som gör det möjligt att ta del av lärarens syn på undervisning, förhållningssätt, målsättning och planering (Johansson och Svedner 2001). Vi ansåg att denna metod var den bästa för att få svar på våra frågeställningar. Vi hade kunnat använda oss av enkäter och fått ett större svarsunderlag, men kom fram till att kvaliteten var viktigare för vår undersökning, än kvantiteten. Frågorna till lärarna finns i bilaga 4.

Vi har även valt att göra pilotintervjuer (Patel och Davidsson 2003) för att successivt utveckla ett underlag för den egentliga intervjustudien. Vid pilotintervjun som vi gjorde med en pedagog upptäckte vi att på näst sista frågan, förklarar du på olika sätt för olika barn om ja/nej, varför? När vi ställde denna fråga fick vi även svar på sista varförfrågan, vilket gjorde att vi tog bort den. Övriga frågor fungerade bra.

Vi har valt att registrera intervjusvaren med hjälp av ljudinspelning (Patel och Davidsson 2003), detta för att slippa föra anteckningar under intervjuerna.

6

Resultat

Elevsvaren kommer vi att redovisa som en sammanfattning efter varje fråga. Svaren från de pedagoger vi intervjuat redovisas utifrån vår fråga. Hur undervisar några pedagoger om multiplikation?

6.1 Elevintervjuer

1. Är det några av dessa uppgifters utseende som du känner igen från skolans matematikböcker eller matematiklektioner?

På denna fråga svarade eleverna att problemlösningsuppgifterna kände de igen från sin matematikbok. Denna typ av uppgifter finns med i A-delen i ett kapitel. På B-delen förekommer fler och lite svårare uppgifter med problemlösning. Uppgifterna med siffrorna kände alla igen. Dessa uppgifter är eleverna vana vid från lektionstillfällen och matematikboken. Uppgifterna med hjälp av bilder vad det ingen av eleverna som kände igen. De hade aldrig sett denna typ av uppgifter. Finns det bilder med i undervisningen är dessa med som ett komplement till texten.

2. Vilka av dessa uppgifter tycker du bäst om att lösa?

På denna fråga svarade tre elever att uppgifterna med hjälp av bilderna kändes bäst. Två barn tyckte att sifferuppgifterna kändes bäst eftersom då slapp de bokstäverna. För ett barn spelade det ingen roll för han tyckte allt kändes lika bra.

3. Vilka uppgifter kändes lättast att lösa?

På denna fråga svarade fem barn att uppgifterna med bilderna var lättast att lösa. Ett barn tyckte att problemlösningen var lättast.

4. Vilka uppgifter var svårast att lösa?

Här tyckte fyra av eleverna att problemlösningens fråga fem var svårast. Ett barn tyckte det var för lång text till frågan. En annan elev tyckte svårigheten låg i att det fanns två problem i samma fråga. Två av eleverna tyckte att de höga talen med siffror var svåra att lösa.

5. Berätta hur du tänkte när du löste de olika multiplikationsuppgifterna?

Så här berättade eleverna om sina olika strategier för att komma fram till lösningar på de olika uppgifterna (bilaga 2a-b).

Taluppgifterna:

3*9 löstes genom att ta 9+9+9=18+9. 9*4=9*2=18 och sen dubbelt.

9*6 löstes som 9*5+9=45+9. 6*9=3*9=27*2 2*4=4+4 6*7 löste jag 14+14+14 8*3=16+8 3*9=9+9+9 8*6=6*4=24 6*5=30 6*6=36+6+6 3*9=3*10-3 8*3=8*2=16+8

– 5*7 är lätt för då gör jag femskutt och det gör jag utan att ta fingrarna hjälp.

– 4*7 gör jag fyrskutt 4+4+4+4+4+4+4. Jag använder höger hands fingrar till att räkna upp till fyra. När jag har räknat upp till fyra tar jag fram ett finger på vänster hand. Sen räknar jag vidare på höger hand 5 6 7 8 och då tar jag fram ett finger till på vänster hand. Fingrarna på vänster hand håller koll på hur många gånger jag har räknat till fyra.

– 3*9 då fäller jag ner finger tre på vänster handen och ser då att jag har två fingrar till höger om det nedfällda fingret vilket betyder tjugo. Sen har jag sju fingrar kvar till vänster om det nedfällda fingret och tillsammans blir det 27.

Problemuppgifterna:

– När jag löser läsproblem letar jag efter siffrorna i texten och sen löser jag uppgiften.

Uppgift 3 som handlade om legogubbarna löstes 7*7-7. Flera av eleverna säger att 7*7 är ett tal som de anser har varit lätt att lära.

– Hur mycket apelsinerna kostade räknade jag ut genom att ta 1*9=9, 2*9=18, 3*9=27, 4*9=36.

5*7=2*14+7

3*9=2*9+9=18+2+7=27 Bilduppgifter:

– Uppgifterna med bilderna löser jag genom att titta på bilderna och ta hälften + hälften. T ex skorna 4+4 eller tassarna 8+8.

– Uppgiften med skalbaggarnas ben räknar jag 12+12+12+12+12.

– Schackbrädan har 8 rutor till vänster och 8 rutor rakt ner. Då blir det 8*8=64. – Bilderna på skorna tänkte jag att ett par är två och det är fyra högar 2*4=8

– Schackbrädan började jag att räkna varje ruta för sig men jag tappade bort mig. Då tog jag en penna och ritade upp linjer vid varje rad och räknade varje rad för sig och skrev summan vid varje rads slut ifall jag skulle tappa bort mig.

Jag brukar tänka så djupt så att när jag tänker, då liksom tänker jag på flera saker samtidigt så jag kan tappa bort allting. Allting kan bara blanda ihop sig så att det bara blir helt konstigt och då måste jag göra om allting igen och då blir det jobbigt. Jag har bra dagar och dåliga dagar. Jag räknar tio tal på dåliga dagar och tjugo tal på bra dagar.

6.2 Hur undervisar några pedagoger om multiplikation?

· Introduktion

Det är ingen som börjar före skolår 2 men alla pedagogerna tycker att man skulle kunna göra det. Detta eftersom de introducerar multiplikationen som upprepad addition. Eleverna måste ha förståelse för addition innan man startar med multiplikation. Alla pedagogerna börjar med att tala om dubblor (2+2, 3+3 och så vidare), för att sedan gå vidare med tripplar (2+2+2, 3+3+3 och så vidare). ”Det kan man börja med väldigt tidigt, förskolebarn kan ju dubbla.” Man låter också eleverna arbeta laborativt med olika åskådningsmaterial. En av

Ma/No-lärarna har mer vardagsanknytning i sin undervisning, istället för att träna tabellerna med bönor lär man sig lika bra genom att räkna muffins på en bakplåt. Alla är överens om att eleverna lär genom att göra ”lär med kroppen det fastnar i knoppen” Parlenvi och Sohlman (1984).

När de förklarar vad som sker använder de sig oftast av ordet gånger, en av pedagogerna säger stycken, exempel hämta två stycken pennor tre gånger. Att använda orden multiplikation och multiplicera är naturligt för fyra av pedagogerna. Den femte pedagogen upplever att en del av eleverna blir rädda för dessa ord och undviker därför orden.

· Var tycker pedagogerna att eleverna stöter på problem?

Pedagogerna har framfört olika åsikter om vad de upplever ställer till med problem för eleverna. Det är bland annat de stora talen i tabellerna, att de inte är automatiserade. Att tabellerna inte är befästa, eleverna kan dem mekaniskt men saknar förståelse. Multiplikationstecknets betydelse och uppgifter med gånger noll. Eleverna har svårigheter att tillämpa sina kunskaper vid olika räkneoperationer och använda sig av detta vid problemlösning. ”Det är när man ska tillämpa sina kunskaper. De har lätt för att lära sig till exempel tabellerna utantill men stöter på problem när det blir tillämpning.” En pedagog säger att eleverna har svårt att hitta strategier. Det är också viktigt att de får arbeta och utvecklas i sin egen takt så att de inte missar något på vägen. Hoppar man över en del så uppstår det en kunskapslucka.

· Påverkar pedagogens grundutbildning deras sätt att undervisa?

Oavsett grundutbildning anser pedagogerna att man kan introducera multiplikation tidigt, Ma/No-lärarna anser att desto tidigare desto bättre, medan Sv/So-lärarna menar att man bör vänta till additions- och subtraktionsförståelsen är befäst. Alla pedagogerna använder sig av och lägger stor vikt vid att arbeta laborativt i sin undervisning. Introduktionen sker ungefär på samma sätt oavsett grundutbildning. Terminologin är mer betydelsefull för Ma/No-lärarna. Den pedagog som har varit yrkesverksam flest år (36) säger att det är fler elever som har problem med multiplikation nu förtiden. Pedagogen anser att detta beror på att barn har idag svårare att koncentrerar sig. Detta på grund av alla intryck som de får från olika håll. Fyra av fem pedagoger anser att det som är svårast att förklara för eleverna är innebörden av den kommutativa lagen. Den femte pedagogen (Ma/No) tycker att det är svårt att i den tidiga multiplikationsinlärningen få eleverna att förstå vad multiplikationstecknet står för. Fyra

gånger fyra kan lika gärna bli åtta som sexton. Oavsett vilken grundutbildning pedagogerna har säger de att de anpassar sin undervisning utifrån var eleverna befinner sig i sin matematiska utveckling.

7

Diskussion

7.1 Analys av resultat

Vi inleder med att analysera resultaten utifrån vad de elever och pedagoger som vi intervjuat beskriver som svårigheter i den tidiga multiplikationsinlärningen.

7.1.1 Olika typer av svårigheter som elever i undersökningen upplevde. · Uppgiftens utseende

Eleverna känner inte igen uppgiftens karaktär och hur den presenteras. Det kan bero på textmassan, språket kan vara svårtolkat eller för lång text. Även om dessa elever inte har läs-och skrivsvårigheter upplever de att textmassan är svår att tolka. De säger att de letar efter siffrorna för att lättast komma fram till en räkneoperation. Är det så att när vi ger barnen uppgifter ligger fokus på att tolka texten istället för att lösa den matematiska uppgiften? Exempel: Kalle går med sin mormor och morfar till torget varje fredag klocka 10.00 för att handla frukt och grönsaker. Idag kostar äpplena 3 kronor styck, bananerna 2 kronor styck och clementinerna 4 kronor styck. De köper 9 äpplen men inga bananer och clementiner. Vad kostar frukten de köpt?

Hade de då inte varit bättre att frågan varit ställd på följande vis. Kalle köper 9 äpplen för 3 kronor styck, vad kostar det tillsammans?

Vi tror att fler elever hade lyckats med uppgifter av denna typ utan en massa vilseledande information. Målet i den tidiga multiplikationsinlärningen måste vara att eleverna ska lyckas utföra rätt räkneoperation. Att få lyckas stärker elevernas självförtroende och gör att de vågar anta nya utmaningar.

· Stora tal

Dessa tal var svåra för några av eleverna. Detta kan bero på att de omvandlar multiplikationsuppgiften till addition. Vilket inte är fel men blir en arbetsam metod när de kommer till stora tal (från 6*6 till 9*9). Arbetsminnet och fingrarna räcker inte till och det tar lång tid att lösa uppgiften. För att klara av den stora multiplikationskvadraten (se bilaga 1b) bör eleverna öva, rabbla tills det sitter i minnet.

· Strategier

För att lyckas med multiplikationen måste eleverna känna sig trygga och säkra i sina strategier. Uppgifterna måste vara på rätt nivå men ändå vara en utmaning för eleverna. Exempel på en bra strategi är 5*7= 2*14+7= 28+7=35. Elever som använder sig av denna strategi i multiplikation är väl förtrogna med dubblor och kan använda sig av detta för att lösa uppgiften.

En elev beskriver sin strategi så här, ”4*7 gör jag fyrskutt 4+4+4+4+4+4+4. Jag använder höger hands fingrar till att räkna upp till fyra. När jag har räknat upp till fyra tar jag fram ett finger på vänster hand. Sen räknar jag vidare på höger hand 5 6 7 8 och då tar jag fram ett finger till på vänster hand. Fingrarna på vänster hand håller koll på hur många gånger jag har räknat till fyra”. Den här strategin fungerar i den lägre multiplikationskvadraten. Eleven kommer att stöta på problem om denna inte utvecklar nya strategier för huvudräkning. Det går att med hjälp av papper och penna hålla fast vid strategin genom att sätta markeringar för varje uppräkning, men denna metod är både tidskrävande och tröttande.

7.1.2 Analys av pedagogernas svar utifrån vår fråga. Hur undervisar några pedagoger om multiplikation?

I vår undersökning framkom det att man kan börja med multiplikationsinlärning tidigt. I den tidiga multiplikationen arbetar pedagogerna mer laborativt än vad de gör när eleverna arbetar med de stora talen. Pedagogerna ansåg att man kan börja tidigt eftersom multiplikation är en upprepad addition. Men ingen av dem gör detta utan de startar i skolår 2 eller 3. När de lär ut multiplikation utgår de från addition. För att detta ska fungera måste additionstabellerna vara befästa. Detta anser några av pedagogerna sker i slutet av skolår 2. När pedagogerna introducerar multiplikationen börjar de med ”dubblor”, vilket vi kunde se att de flesta eleverna använde sig av. Dessa barn har arbetat medvetet med matematik sedan förskoleklass och redan där använde de sig av ”dubblor”, vilket gör att de är säkra på den metoden. Pedagogerna använde sig av åskådningsmaterial för att synliggöra vad som sker vid multiplikationen. Därefter får eleverna arbetar laborativt för att kunna förstå vad som sker. Ingen av pedagogerna talar om multiplikation utan använder sig av ord som stycken, gånger och plussa. Två av pedagogerna skriver även upp de matematiska termerna faktor*faktor=produkt eftersom dessa begrepp förekommer i läroböckerna. Att använda sig av orden stycken och gånger gör det tydligt för eleverna hur stor mängd det rör sig om, till

exempel hämta två stycken pennor fyra gånger. Pedagogerna anser att det är viktigt att ge eleverna tid att arbeta med multiplikationen. En svårighet i multiplikationsinlärningen som alla pedagoger tog upp var att få eleverna att förstå den kommutativa lagen. Eleverna har svårigheter att förstå skillnaden på ett gånger tio och tio gånger ett. En av pedagogerna använde sig av följande förklaring. ”Vilket gör du helst, jobbar tio timmar för en krona i timmen eller en timme för tio kronor?” Vi anser att matematiken inte alltid har denna anknytning till vardagen som man enligt kursplanen bör ha. Det är kanske det som gör att några elever har svårt att se kopplingen mellan matematik och vardagen. Pedagogerna upplever att eleverna även har svårt med de större multiplikationskvadraterna (6*6 – 9*9). Även eleverna uttryckte detta i sina svar. Magne (1973) skriver ”kombinationer med stora faktorer kräver mest övning innan de behärskas”. Många pedagoger anser att elever har svårt när de ska tillämpa sina kunskaper i problemlösning. De förstår inte vad de ska göra eftersom de har svårt att tolka texten. Någon elev beskrev detta så här – jag letar efter siffrorna i texten för att sen räkna ut svaret. Faran med en sådan strategi är att man lätt kan misstolka uppgiften. Intressant var det som en pedagog tog upp som en förändring, att förr upplevdes elever mindre splittrade och lärde sig tabellerna snabbare utantill. Pedagogen känner att föräldrarna idag inte har lika mycket tid att hjälpa sina barn vid läxläsning, vilket visar sig i elevernas tabellinlärning. När pedagogerna förklarar för eleverna poängterar de att det är viktigt att möta varje elev på dennes nivå. Först sker en introduktion i större grupp för att sen låta alla elever arbetar vidare från var de befinner sig i sin matematiska utveckling. Några elever behöver mer tid och hjälp vilket pedagogerna anser att varje elev ska få. Frågan är om dessa elever verkligen får den tid och hjälp som de har rätt till och behöver.

7.2 Metoddiskussion

Vi anser att vi genom våra elva intervjuer, sex barnintervjuer och fem pedagogintervjuer, fått svar på de frågor vi ställde. Vad upplever några elever som svårigheter i den tidiga multiplikationsinlärningen? Hur undervisar några pedagoger om multiplikation?

Metoden med att göra kvalitativa intervjuer tycker vi har varit mycket givande. Vi upplevde att barnen och pedagogerna var engagerade och uppriktiga i sina svar. En bidragande del till detta anser vi bero på att vi var kända för de barn och vuxna som intervjuades. Reliabiliteten i de svar vi fått via intervjuerna känner vi har blivit hög. Detta tror vi bero på att intervjuerna spelades in på band vilket lett till att vi med stor exakthet kunnat bearbeta svaren. En fördel har varit att en av oss intervjuade barnen och den andre intervjuade pedagogerna. Detta har gjort att frågorna har ställts på samma vis till samtliga barn/vuxna.

Ytterligare en fördel med intervjuer är att man får ett djup i undersökningen. Det är lättare att ställa följdfrågor och tack vare bandinspelningen kunde vi fokusera på intervjun i stället för att samtidigt anteckna. Dock är bearbetningen av svaren tidskrävande men vi anser att denna metod var rätt val för vår undersökning.

7.3 Slutdiskussion

I detta avsnitt kommer vi att diskutera våra frågeställningar. Vad upplever några elever som svårigheter i den tidiga multiplikationsinlärningen? Hur undervisar några pedagoger om multiplikation? Vårt mål var att undersöka var i den tidiga multiplikationsinlärningen som eleverna kan stöta på problem och hur pedagogerna lär ut multiplikation. Vårt resultat gäller för den grupp som vi har undersökt. Av de olika uppgifter som eleverna löste innan intervjun framkom det att de kände igen uppgifterna med problemlösning och aritmetiska uppgifter. Denna typ av uppgifter förekommer i deras skolundervisning. Uppgifterna med bilderna kände ingen av eleverna igen men det förekommer bilder som stöd i uppgifterna. Flertalet (5/6) av eleverna tyckte att det var lättast att lösa denna typ av uppgift. De fick en bild av vad multiplikation är och de slapp textmassan. Textmassan gör att vissa elever får det svårt med att tolka uppgiften. Pedagogerna och Pramling (1991) lyfter fram betydelsen av den djupinriktade inlärningen. Lägger vi för lite tid för att ge eleverna en djupare förståelse får de svårigheter med att praktiskt tillämpa sina kunskaper. Enligt Malmer (1999) är språklig kompetens grunden för all inlärning. Har eleven brister i språket kan det påverka matematikförståelsen. Vi anser att i den tidiga multiplikationsinlärningen gör bilderna att barnen kan se att multiplikation är upprepad addition. Detta visas tydligt i boken Lär dig multiplicera (Clemson 1996). Detta är den enda läromedel som vi hittat som med hjälp av bilder synliggör upprepad addition. Svårast tyckte eleverna att problemlösningsfrågorna var. Det berodde enligt eleverna på textinnehållet. Två av eleverna tyckte att de höga talen med siffror var svåra att lösa. Vissa av eleverna har inte automatiserat multiplikationstabellerna. Det kan bero på att de har begränsad minneskapacitet. Dessa svårigheter påtalar Olof Magne (1973) i sin bok om matematiksvårigheter. Enligt Piaget kan barn först vid 11 års ålder reflektera över sig själva och sin kunskap (i Pramling 1991). Detta upplevde vi då eleverna skulle förklara sina strategier om hur de nådde fram till sina lösningar. Att barn kan tänka brukar definieras som kognitiv funktion. Att barn kan tänka och reflektera över sitt tänkande brukar definieras som en metakognitiv funktion. Den vanligaste strategin för dessa elever var att dela upp uppgiften och använda sig av ”dubblor” för att nå svaret. Några elever hade

kommit längre genom att automatisera tabellerna och kände en säkerhet i detta. En av eleverna använde sig av fingerräkning vilket kommer leda till svårigheter när eleven kommer till de stora talen i tabellerna. Eleven kommer genom denna strategi bara att nå till fem gånger fem eftersom fingrarna inte räcker längre. Fingerstrategin kan vara en bra strategi i den tidiga inlärningen men det gäller att lämna den i tid. Vi anser att bilder och annat laborativt material är ett bättre hjälpmedel vid den tidiga multiplikationsinlärningen. Eleverna måste även få tid att befästa sina kunskaper, detta beskriver några av pedagogerna i intervjuerna. Ahlberg (1995) säger att elever som inte får tillräckligt med tid på sig för att lösa uppgiften förlorar tilltron till sin egen förmåga.

Att känna till och förstå grundläggande matematiska begrepp utgör en rättighet för grundskolans elever. Alla ”normalbegåvade” barn borde kunna tillgodogöra sig grundskolans matematik på ett tillfredställande sätt vilket ännu inte är fallet. Många olika faktorer och det komplexa samspel som finns mellan dessa påverkar deras resultat (Sahlin 1995).

Eleverna stöter på olika svårigheter i multiplikationsinlärningen. För att kunna ge eleverna verktyg för att lösa dessa svårigheter måste vi som pedagoger lära ut olika räknemetoder. I boken Huvudräkning (Löwing & Kilborn 2003) beskrivs flera metoder för multiplikationsinlärning. Dessa olika räknemetoder avser att ge eleverna kunskaper så att de på olika sätt kan förbereda sig på olika lösningsmetoder. I dagens undervisning används flertalet av dessa metoder vid multiplikationsinlärningen. Dagmar Neuman (i Ahlberg 1995) och de pedagoger vi intervjuat säger att för barnens fortsatta matematikinlärning är det mycket viktigt att de har en säker kunskap om de grundläggande talbegreppen. Vi anser att bilder borde få ett större utrymme i den tidiga inlärningen. I vår undersökning säger också eleverna att bilderna gör det lättare att förstå multiplikation.

Vi anser att vår undersökning kommer att hjälpa oss när vi ska introducera multiplikation för våra kommande elever. Att introducera laborativt med hjälp av åskådningsmaterial som pedagogerna sagt i intervjuerna är bra, men genom att använda sig av bilder anser vi att man kan förstärka intrycken av vad som sker i multiplikation. Problemet som vi ser det är att i dagens läromedel finns det väldigt lite bilder som visar multiplikation. Därför kommer det att krävas att vi själva tillverkar material som eleverna kan använda sig av. Att även tänka på vardagsmatematiken anser vi är viktigt. Lauren Resnick 1987 (i Ahlberg 1995) anser att det finns skillnader hur elever tänker i skolan och i vardagslivet. Därför räcker det med att plocka

fram bönor och annat plockmaterial utan uppgifterna som vi ger eleverna måste ha en vardagsanknytning. En iakttagelse vi gjort i våra intervjuer med pedagogerna är att fastän alla arbetar på samma skola börjar de inte introducera multiplikation i samma skolår. Ingen av pedagogerna motiverade sin undervisning utifrån styrdokumenten eller från de nationella proven. Kan detta bero på vilken grundutbildning pedagogen har? Är det läromedlet som styr? Gör man som man alltid har gjort? Eller är det en ledningsfråga? Vi kan inte se någon väsentlig skillnad på pedagogernas grundutbildning och deras sätt att motivera sin undervisning. Vi tror att läromedlet i stor utsträckning styr undervisningen. Även Hedrén (2005) säger att ett för stort och ensidigt läromedelsberoende och en kvantitativ bedömning är och har en bromsande effekt i matematikundervisningen. Både Vygotsky och Gardner (i Forsell 2005) poängtera vikten av att anpassa undervisningen utifrån varje elev.

Språket är en viktig del i matematikinlärningen. Att ha en god språklig kompetens är också grunden till matematikförståelse. Malmer (1999) säger att varje pedagog bör ta hänsyn till eleverna varierande språkliga nivå. Hedrén (2005) anser att matematikundervisningen i dagens skola innehåller för lite matematikdidaktik. Vår erfarenhet är att man under de senaste åren satsat mycket på elevernas läsutveckling och vidareutbildat samtliga pedagoger på den skola där vi gjort vår undersökning i LUS (läsutvecklingsschema). Varje termin följer man upp elevernas läsutveckling vid två tillfällen. I matematik finns det för närvarande ingen sådan motsvarighet på den skola där vi gjort vår undersökning. Vi anser att fler elever skulle nå målen för skolår 5 om det fördes en motsvarande pedagogisk diskussion i matematik som det görs för läsutvecklingen. Eftersom det klart och tydligt står i kursplanen (Skolverket, 2000) vad eleverna ska uppnå, borde denna kunna ligga till grund för en aktiv pedagogisk diskussion på skolan.

7.4 Förslag till ny forskning

· Vi anser att det vore intressant att forska om hur föräldrarnas hjälp vid matematikinlärning påverkar elevernas studieresultat.

· En djupstudie om man med hjälp av bilder kan få eleverna att lättare förstå den tidiga multiplikationsinlärningen.

· Får barnen som börjar med multiplikation i skolår 1 en bättre förståelse än de som startar senare?

8

Avslutning

Vi vill tacka eleverna och deras föräldrar som gav oss möjlighet att intervjua deras barn. Vi vill även tacka våra kollegor för att vi fick intervjua dem, samt för alla de pedagogiska diskussioner som förts spontant under arbetets gång. Vår handledare Lisbeth Ringdahl har under arbetets gång lotsat oss framåt och gett oss nya infallsvinklar i vårt arbete, tack för alla goda råd.

9

Referenser

Ahlberg, Ann (1995) Barn och matematik, Lund: Studentlitteratur

Clemson Wendy och David (1996 ) Lär dig multiplicera! , Malmö: Richters förlag AB Forsell Anna (red) (2005) Boken om pedagogerna, Stockholm: Liber

Johansson B. & Svedner P-O. (2001) Examensarbetet i lärarutbildningen, Uppsala: Kunskapsföretaget

Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2003) Huvudräkning, Lund: Studentlitteratur Magne, Olof (1973) Matematiksvårigheter, Trelleborg:Tryckeri AB Allehanda Malmer, Gudrun (1999) Bra matematik för alla, Lund: Studentlitteratur

Malmer, Gudrun (1994) Räkna och skapa 2, Solna: Ekelunds förlag AB

Myndigheten för skolutveckling (2003) Mowitz, L., Emanuelsson G. m.fl. Baskunnande i matematik, Solna: Dreamforce infomedia AB

Parlenvi, Paul & Sohlman Birgitta (1984) Lär med kroppen det fastnar i huvudet, Stockholm: Sveriges utbildningsradio AB

Patel Runa & Davidsson Bo (2003) Forskningsmetodikens grunder, Lund: Studentlitteratur Pramling, Ingrid (1991) Barn och inlärning, Lund: Studentlitteratur

Sahlin, Birgitta (1997) Matematiksvårigheter och svårigheter när det gäller koncentration i grundskolan, Stockholm: Liber

Undvall Lennart, Forsberg Svante och Melin Christina (2005) Matematikboken 4, Örebro: Liber AB

Artiklar

Hedrén Rolf, (2005) Skriftliga räknemetoder- kan de vara elevernas egna metoder? högskolan i Dalarna, artikel, (hämtat på www.mai.lui.se/)

Bilaga 1a

De grundläggande additionerna: 1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6 1+7 1+8 1+9 1+10 1+11 1+12 1+13 1+14 1+15 1+16 1+17 1+18 1+19 2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6 2+7 2+8 2+9 2+10 2+11 2+12 2+13 2+14 2+15 2+16 2+17 2+18 3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6 3+7 3+8 3+9 3+10 3+11 3+12 3+13 3+14 3+15 3+16 3+17 4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 4+6 4+7 4+8 4+9 4 +10 4+11 4+12 4+13 4+14 4+15 4+16 5+1 5+2 5+3 5+4 5+5 5+6 5+7 5+8 5+9 5+10 5+11 5+12 5+13 5+14 5+15 6+1 6+2 6+3 6+4 6+5 6+6 6+7 6+8 6+9 6+10 6+11 6+12 6+13 6+14 7+1 7+2 7+3 7+4 7+5 7+6 7+7 7+8 7+9 7+10 7+11 7+12 7+13 8+1 8+2 8+3 8+4 8+5 8+6 8+7 8+8 8+9 8+10 8+11 8+12 9+1 9+2 9+3 9+4 9+5 9+6 9+7 9+8 9+9 9+10 9+11 10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10 11+1 11+2 11+3 11+4 11+5 11+6 11+7 11+8 11+9 12+1 12+2 12+3 12+4 12+5 12+6 12+7 12+8 13+1 13+2 13+3 13+4 13+5 13+6 13+7 14+1 14+2 14+3 14+4 14+5 14+6 15+1 15+2 15+3 15+4 15+5 16+1 16+2 16+3 16+4 17+1 17+2 17+3 18+1 18+2 19+1 De grundläggande subtraktionerna: 20-1 20-2 20-3 20-4 20-5 20-6 20-7 20-8 20-9 20-10 20-11 20-12 20-13 20-14 20-15 20-16 20-17 20-18 20-19 19-1 19-2 19-3 19-4 19-5 19-6 19-7 19-8 19-9 19-10 19-11 19-12 19-13 19-14 19-15 19-16 19-17 19-18 18-1 18-2 18-3 18-4 18-5 18-6 18-7 18-8 18-9 18-10 18-11 18-12 18-13 18-14 18-15 18-16 18-17 17-1 17-2 17-3 17-4 17-5 17-6 17-7 17-8 17-9 17-10 17-11 17-12 17-13 17-14 17-15 17-16 16-1 16-2 16-3 16-4 16-5 16-6 16-7 16-8 16-9 16-10 16-11 16-12 16-13 16-14 16-15 15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6 15-7 15-8 15-9 15-10 15-11 15-12 15-13 15-14 14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6 14-7 14-8 14-9 14-10 14-11 14-12 14-13 13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6 13-7 13-8 13-9 13-10 13-11 13-12 12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 12-9 12-10 12-11 11-1 11-2 11-3 11-4 11-5 11-6 11-7 11-8 11-9 11-10 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7 9-8 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 5-1 5-2 5-3 5-4 4-1 4-2 4-3 3-1 3-2 2-1 Grundläggande multiplikationerna: 1*1 1*2 1*3 1*4 1*5 1*6 1*7 1*8 1*9 1*10 2*1 2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 2*7 2*8 2*9 2*10 3*1 3*2 3*3 3*4 3*5 3*6 3*7 3*8 3*9 3*10 4*1 4*2 4*3 4*4 4*5 4*6 4*7 4*8 4*9 4*10 5*1 5*2 5*3 5*4 5*5 5*6 5*7 5*8 5*9 5*10 6*1 6*2 6*3 6*4 6*5 6*6 6*7 6*8 6*9 6*10 7*1 7*2 7*3 7*4 7*5 7*6 7*7 7*8 7*9 7*10 8*1 8*2 8*3 8*4 8*5 8*6 8*7 8*8 8*9 8*10 9*1 9*2 9*3 9*4 9*5 9*6 9*7 9*8 9*9 9*10 10*1 10*2 10*3 10*4 10*5 10*6 10*7 10*8 10*9 10*10

Bilaga 1b

Kommutativa lagen: a*b=b*a Ex. 2*7 = 7*2

Vid storheter betyder det inte att två karameller kostar sju kronor är lika mycket som sju karameller för två kronor. För då är det inte samma sorts karameller vi köper.

Winnetkakort

På framsidan av koret står det ex. 6*2 och på baksidan står svaret 12.

Lathund

De fetmarkerade talen ingår i den ”stora multiplikationskvadraten”.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

6*2

12

Bilaga 2a

Multiplikationsuppgifter



 9

3

5

 7



4

 7





9

6

3

 4



8

3





 9

5

2

 4



6

 7



(Skriv på mattespråk med svar, under uppgiften)

1, En apelsin kostar 4 kronor. Vad kostar 9 apelsiner?

2, Karl bjuder fyra kompisar på glass. Varje glass kostar sju

kronor, han köper en glass till sig själv också, hur mycket kostar

glassarna?

3, Anton ställer sina legogubbar i sju rader med sex i varje rad.

Hur många legogubbar har han?

4, Ett hårspänne kostar 6 kronor, hur mycket kostar en påse med

5 hårspännen?

5, Camillas cykelväg till skolan är 2km. Hur många km cyklar hon

till och från skolan på en skolvecka?

Bilaga 2b

Skriv på mattespråk

Exempel:

20

5

4





Hur många skor?

ref. www.qedata.se

Hur många tassar?

ref. www.hem.passagen.se

Hur många saker?

ref. www.svenskidrott.se ref. www.tennistotal.de

ref. www.laurtiz.dk

Hur många ben?

ref. www.natur.pedc.se

Hur många rutor?

Bilaga 3

Elevintervjuer

Är det några av dessa uppgifters utseende som du känner igen från skolans matematikböcker eller matematiklektioner?

Vilka av dessa uppgifter tycker du bäst om att lösa?

Vilka uppgifter kändes lättast att lösa?

Vilka uppgifter var svårast att lösa?

Bilaga 4

Frågeområden till lärarna inför intervjun.

· Vilken inriktning har du i din grundutbildning? · Har du någon vidareutbildning i matematik? · Hur många år har du i yrket?

· Vilka åldersgrupper har du jobbat med?

· Har du arbetat på olika skolor/områden/kommuner?

· Vilka skillnader/likheter har du lagt märke till på dina olika arbetsplatser? · När tycker du det är lämpligt att introducera/börja med multiplikation? · Varför?

· Kan man börja tidigare/senare? · När brukar du börja?

· Berätta hur du brukar börja med den tidiga multiplikationsinlärningen. · Hur introducerar du den?

(följdfrågor) Laborativt? Tabeller?

Klossar o liknande?

· Vilka ord använder du när du förklarar vad multiplikation är, och vad det är som händer?

· Kan du ge exempel på ord som du använder.

· Tycker du att det är viktigt att använda korrekt terminologi, t ex multiplicera eller ”gånga”

· Finns det ord som du tycker det är bättre att använda sig av?

· I vilka moment upplever du att eleverna som inte har läs och skrivsvårigheter upplever du stöter på problem?

· Hur stor del av eleverna rör det sig om?

· Vad upplever du som svårast att förklara för eleverna i den tidiga multiplikationsinlärningen?

Bilaga 5

Hej! Malmö 2006-02-05

Nu är vi snart färdiga matte/no lärare. Vi har vårt examensarbete kvar som handlar om varför många barn har svårt att förstå den första multiplikationsinlärningen.

Därför är vi intresserade av vad just ditt barn upplever/upplevde i sin första inlärning av multiplikationen. Vi skulle därför vilja be om ditt/ert tillstånd att intervjua ditt/ert barn om detta. Vi kommer att använda oss av bandspelare men detta endast för eget syfte. Vi kommer givetvis inte lämna ut barnets identitet i vår dokumentation.

Vi vill ha in lappen senast 17/2.

Har ni några frågor så går det bra att mejla oss

anders.ljunggren@pub.malmo.se camilla.ramstorp@pub.malmo.se

Med vänliga hälsningar

Camilla Ramstorp och Anders Ljunggren

Barnets namn:

Jag tillåter att mitt barn blir intervjuat

Jag tillåter inte att mitt barn blir intervjuat

Målsmans underskrift