En jämförelse av matematikundervisningen mellan den kommunala skolan och Montessoripedagogiken

Malmö högskola

Lärarutbildningen

NMS

Examensarbete

En jämförelse av

matematikundervisningen mellan den

kommunala grundskolan och

Montessoripedagogiken

A comparison of mathematics education between the public school

and Montessori pedagogy.

Jessica Nilsson

Lärarexamen 140 poäng Handledare: Ange handledar Matematik och lärande Vårterminen 2007

Examinator: Tine Wedege Handledare: Annica Andersson

Abstract

Med mitt examensarbete vill jag göra en jämförande litteraturstudie mellan den kommunala skolans grundsyn och Montessoripedagogikens grundsyn inom ämnet matematik. Hur lär man ut matematik inom de två skolformerna? Vilka likheter och vilka skillnader finns? Min

litteraturstudie omfattar bl.a. Lpo 94, styrdokument, svensk matematikdidaktisk forskning, samt åtskilliga böcker om Maria Montessori och hennes pedagogik. Undersökningen gäller matematiken i skolans år 1-3. Matematikområden som jag kommer att redogöra för är positionssystemet, tabellinlärning, taluppfattning, vardagskunskaper, problemlösning och algoritmer. Maria Montessori har utvecklat en hel del didaktiska material. Jag har valt ut ett fåtal som bygger på ovanstående matematikområden.

Gemensamma begrepp och tankar som jag fann inom de båda skolformerna var följande: • lärandet måste vara meningsfullt

• korrekta begrepp och språk tränas tidigt, symbolspråket förs in senare • laborerande med strukturella material är nödvändigt för taluppfattningen

• barnet måste få arbeta i egen takt och efter egna behov, omväxlat med att få arbeta i grupp

• målet med arbetet bör vara tydligt för barnet

Nyckelord: Maria Montessori, Montessoripedagogik, matematik, Lpo 94, positionssystemet, tabellinlärning, taluppfattning, vardagskunskaper, problemlösning och algoritmer.

Innehållsförteckning

1.

Inledning

s. 4

2.

Syfte och frågeställning

s. 6

3.

Metod

s. 7

3.1.

Val av metod

s. 7

3.2.

Val av litteratur

s. 7

3.3.

Tillvägagångssätt

s. 8

4. Matematikdidaktiken inom den svenska grundskolan

och inom Montessoripedagogiken

s. 11

4.1

Den svenska skolan – en historisk tillbakablick

s. 11

4.2

Lpo 94

s. 13

4.3

Vad säger Lpo 94 om ämnet matematik?

s. 14

4.4

Svensk matematikdidaktisk forskning

s. 15

Positionssystemet

s. 16

Tabellinlärning

s. 17

Taluppfattning

s. 18

Vardagskunskaper

s. 18

Problemlösning

s. 19

Algoritmer

s. 20

Montessoripedagogiken

s. 21

Maria Montessori

s. 21

5.2

Casa dei Bambini

s. 22

5.3

Montessoripedagogiken

s. 23

5.4

Montessoris didaktiska material (matematiken)

s. 24

Pärlkabinettet

s. 26

Guldmaterialet/ Decimalsystemmaterialet

s. 27

Frimärksspelet

s. 29

Resultat

s. 30

Positionssystemet

s. 30

Tabellinlärning

s. 31

Taluppfattning

s. 32

Vardagskunskaper

s. 32

Problemlösning

s. 33

Algoritmer

s. 34

En jämförande slutsats

s. 34

Diskussion

s. 37

Källförteckning

s. 40

1.

Inledning

Den svenska grundskolan har sedan ett antal år tillbaka en ny läroplan, läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, Lpo 94. Med en förändrad och mer komplex kunskapssyn, samt en helhetssyn på barnet och dess inhämtade kunskaper, visar man i läroplanen att skolan idag har en betydligt viktigare uppgift än tidigare. Ansvaret för genomförandet av läroplanens mål och riktlinjer vilar idag på skola och lärare, som tillsammans med hemmen ska främja barnets harmoniska utveckling. Genom en bra dialog mellan hemmet och skolan skapas en bättre lärandesituation för barnet. Som lärare bör man sätta sig in i grunddragen i läroplanen som helhet. Man måste gå djupare och tolka dess mål och riktlinjer, så att man kan uppfylla de krav som vilar på läraren. Dagens skola förutsätter därmed en helt annan lärarroll än den traditionellt kunskapsförmedlande. Detta kräver att varje lärare måste reflektera, både enskilt och tillsammans med sina kollegor, över hur verksamheten ska utvecklas. Utifrån dessa tolkningar av läroplanen skapas teorier om hur arbetet kan utformas. Det får inte stanna vid teorier, utan måste utvecklas och omsättas till praktisk vardaglig verklighet i ord, handling och förhållningssätt i arbetet med barnen. Man bör därmed som lärare vara beredd på och ha en vilja att utveckla sin pedagogiska kompetens. Eftersom människor lär sig på olika sätt, somliga teoretiskt genom att läsa in fakta, andra genom att arbeta praktiskt, bör momenten presenteras mycket varierat för att eleverna ska förstå. Ska man då som lärare ha en hel arsenal av olika undervisnings metoder för att nå alla elever eller finns det en metod som överglänser en annan? Eftersom dagens elever till stor del styrs av om de har lust till att göra si eller så vore det optimala om man som lärare kunde pricka rätt med sin undervisning. Vad som ska läras ut återfinns i stora drag i olika läroplaner.

I min strävan att utveckla mitt pedagogiska arbete, har jag läst 40 poäng

Montessoripedagogik. Jag har även arbetat på två olika Montessoriförskolor, samt gjort min sista del av den verksamhetsförlagda tiden på en Montessoriskola. Den första delen av den verksamhetsförlagda tiden, var jag på en kommunal grundskola. Jag kunde inte låta bli att jämföra de tankar som ligger till grund för matematiken inom Montessoripedagogiken och de tankar som ligger till grund för matematiken inom den kommunala skolan. Genom detta arbete hoppas jag kunna utvärdera dessa tankar och göra en kvalitativ jämförelse, som jag sedan kan använda mig av ute i verksamheten.

Jag känner mig väl förtrogen med Montessoripedagogiken och dess arbetssätt. I början av min lärarutbildning, snart fyra år sedan, var jag nog inte riktigt medveten om hur väl Maria

Montessoris filosofiska och pedagogiska tankar stämde överens i så många avseenden med Lpo 94. När jag nu under de senaste åren försökt sätta mig in i den värdegrund och de mål och riktlinjer som finns i Lpo 94, samt kursplanen för matematik, är jag mycket tacksam över min Montessoripedagogiska utbildning.

Att många anser att Maria Montessoris tankar överensstämmer med Lpo 94, är bakgrunden till mitt val av ämne för min studie. Jag vill försöka få en liten vidare bild av hur man som lärare med Lpo 94 som grund, kan omsätta sina pedagogiska teorier till praktik med fokus på matematiken, inom den kommunala skolan, men även inom Montessoripedagogiken. Som lärare måste man hela tiden utvecklas och ta till sig nya forsknings rön, oavsett vilken pedagogisk inriktning man har.

Det finns alltid en risk att en pedagogisk ”lära” stelnar i dogmatism och kanske fundamentalism. Därför är det viktigt, att varje pedagogiskt system underkastas kontinuerlig kritik (i betydelsen granskning) och analys (Gerhard Arfwedson i Roth, 1995, s. 5).

2.

Syfte och frågeställningar

Den här uppsatsens främsta mål är att göra en jämförelse mellan den kommunala skolans grundsyn för ämnet matematik och ställa det i relation till Montessoripedagogikens grundsyn för matematik. Jag vill hitta likheter och skillnader mellan de två skolformerna och deras syn på ämnet matematik. Med grundsyn/grundtankar menar jag de fundamentala idéer och tankar som skolan är uppbyggd på, såsom kunskapssyn, människosyn och skolans roll, men även hur man arbetar med matematiken i skolan. Efter att kort ha redogjort för de läroplaner, som ligger till grund för Lpo 94, så kommer jag fram till den nuvarande läroplanen, som jag ska försöka analysera i förhållande till Montessoripedagogiken. Jag kommer att inrikta mig på ett par områden inom matematiken för att tydligare kunna göra en jämförelse över det

matematiska arbete som förekommer på en kommunal grundskola respektive på en Montessoriskola.

• Vilka likheter finns det mellan den kommunala skolans grundsyn och Montessoripedagogikens grundsyn inom ämnet matematik?

• Vilka olikheter finns det mellan den kommunala skolans grundsyn och Montessoripedagogikens grundsyn inom ämnet matematik?

3 Metod

3.1 Val av metod

Jag har valt att göra en jämförande litteraturstudie. Denna metod anser jag vara lämplig för att ta reda på vilka idéer som ligger till grund för de två skolformerna och deras tankar om ämnet matematik. Som metod har jag valt en komparativ analys. Den komparativa analysens syfte är att jämföra olika texter för att undersöka likheter och skillnader mellan dem (Hellspong, 2001). En fördel med att göra en litteraturundersökning är att jag kan studera det som är förutsättningen för de två skolformerna som jag vill undersöka. Ytterligare en fördel med en litteraturstudie är att jag kan välja ut de delar som jag är intresserad av, i detta fall

människosyn, kunskapssyn, skolans roll och hur man arbetar med matematik inom skolan. En nackdel är att jag inte kommer att studera specifika skolor med dess speciella strukturer, och få ta del av hur skolformerna i praktiken fungerar. Men då mitt syfte är att undersöka likheter och skillnader mellan de båda skolformernas grundsyn/grundtankar om matematikämnet anser jag att en litteraturstudie är rätt metod. En annan nackdel med att göra en litteraturstudie är att det kan vara svårt att begränsa litteraturvalet, då det oftast finns stora mängder litteratur att tillgå.

3.2 Val av litteratur

Jag har studerat de tankar som presenteras i de styrande dokumenten för den svenska grundskolan, Maria Montessoris egna verk, samt även litteratur av framförallt svenska forskare inom det matematikdidaktiska området. Att avgränsa vilken forskningslitteratur jag skulle ha med var inte helt enkelt. Johansson och Svedner (2001) beskriver hur man får en större möjlighet till jämförelse om man väljer ett flertal texter. ”Resultatet blir en komparativ undersökning. Då blir uppgiften inte endast att beskriva och förklara innehållet i texterna utan också att försöka förklara skillnaderna” (Johansson, Svedner, 2001). Jag bestämde mig ganska snabbt för att använda i synnerhet svenska matematikdidaktiska texter, eftersom mitt arbete handlar om matematikdidaktiken inom den svenska grundskolan, samt inom

Montessoripedagogiken. En del av den litteratur som jag har använt mig av är äldre än Lpo 94, men den tar ändå upp väsentliga tankar som känns betydelsefulla för mitt arbete. Därför har jag den med. Den litteratur som jag har valt att använda, har jag fått hjälp med att hitta av personalen på Malmö Högskolas bibliotek och Malmö Stadsbibliotek, samt deras databaser. Sökningar på Internet gav mig en ännu vidare bild av vilka forskare och vilken

Neuman (1989), Wyndhamn (1990, 1994, 1997) och Unenge, Sandahl, Wyndhamn (1994) har alla i sin forskningslitteratur tagit upp viktiga delar inom matematiken som har känts

väsentliga för mitt arbete.

Eftersom jag tidigare läst Montessoripedagogik, visste jag på ett ungefär vilken litteratur jag kunde använda till min uppsats. Däremot insåg jag inte att det fanns så pass mycket skrivet av Maria Montessori och om hennes liv och hennes pedagogik. Paula Polk Lillards bok

Montessoripedagogiken i vår tid (1995) och Elisabeth G Hainstocks bok

Montessoripedagogiken från grunden (1999) har varit till stor hjälp rent faktamässigt. Mina

egna handledningar från bl.a. Montessoripedagogik 21-40 p på Malmö Högskola, var betydelsefulla när jag redogjorde för de matematiskdidaktiska materialen. Jag tyckte det var svårt att hitta någon litteratur om Montessoripedagogiken som var objektiv. Mycket av den litteratur som jag fann var skriven av människor som brinner för denna pedagogik och som därför har stor insyn och kännedom om skolans förfarande, men saknar det kritiskt tänkande som utomstående kan ha.

För att lättare kunna stätta mig in i vilken litteratur som är lämplig för mitt arbete har jag använt mig av ett par frågor. Dessa frågor har jag inte redovisat i arbetet, utan använt som ett hjälpmedel för mig själv vid val av litteratur.

• Varför har denna skrift eller bok skrivits? • Vilket problemområde belyser litteraturen?

• Vilka slutsatser kommer författaren/författarna fram till? • På vilket sätt kan denna litteratur användas i min uppsats?

3.3 Tillvägagångssätt

Den litterära redogörelsen för de båda skolformerna skulle kunna bli mycket detaljerad, så för att det ska bli så överskådligt som möjligt har jag valt att koncentrera mig på några

infallsvinklar. Jag kommer att inleda med en kortfattad historik om skolornas bakgrund, för att ge förförståelse till dagens läroplan och kursplan inom respektive skolform.

Ämnesområdet som jag har valt att fokusera min undersökning till är matematiken i skolans år 1-3. Efter att ha talat med två Montessorilärare och två lärare från en kommunal skola, kom jag fram till vilka områden inom matematiken som jag ville ta upp. Jag valde därför att

fokusera på följande; positionssystemet, tabellinlärning, taluppfattning, vardagskunskaper, problemlösning och algoritmer. Nedan följer en definition för följande begrepp. De är mycket grundläggande delar inom matematiken, som används i matematikundervisningen under hela barnets grundskoleutbildning.

Positionssystemet innebär platsen eller positionen en siffra står på. En och samma siffra får

olika värden beroende var i talet den är placerad. Man övar begrepp som tiotal, hundratal och tusental.

Tabellinlärning innebär träning av multiplikationstabellerna, framförallt tabellerna 0-9. Taluppfattning innebär att man förstår och kan hanterar tal i olika situationer och

sammanhang.

Vardagskunskper innebär i det här fallet att barnet kan relatera situationer som uppstår i

dess vardag till matematiken. Dessa kunskaper skiljer sig mycket åt för varje individ, då vardagen inte är densamma.

Problemlösning innebär att man löser olika matematiska problem.

Algoritmer innebär en begränsade mängd instruktioner som ges vid för att lösa en uppgift. När jag har läst litteraturen har jag fokuserat läsandet på nedanstående frågor. Den fakta och information som jag har funnit, har jag presenterat i teoridelen. I förra avsnittet redovisade jag för ett antal frågor som jag använde mig av vid val av litteratur. När jag sammanfattade det som jag hade läst, använde jag mig av andra frågor. Dessa frågor, som redovisas nedan, hade jag nytta av när jag skrev min teori, som baseras på olika forskningslitteratur. Jag har inte redovisat några av frågorna i arbetet, utan endast använt dem som ett hjälpmedel vid litteraturgenomgången.

• Hur arbetar man med matematik på kommunala skolor med Lpo 94 och andra styrdokument som grund?

• Vilken uppfattning har svenska matematikforskare?

• Vilka brister finns det inom de två skolformerna? • Vilka likheter finns det?

• Vilket inlärningssätt gynnar barnen eller eleverna?

• Är ett inlärningssätt tillräckligt? Genom att kombinera olika inlärningssätt kan man nå ut till fler barn och även fånga upp de barn som har svårigheter med matematiken.

När denna uppsats är färdig och de viktigaste slutsatser formulerade, hoppas jag att dessa ska vara oberoende av den metod och det material som valts (Ekengren, Hinnfors, 2006).

Den metod jag valde var rätt för den undersökningen jag ville genomföra. Genom att ställa de två skolformernas idéer och tankar i relation till varandra kunde jag se likheter och skillnader på ett tydligt sätt. Jag kunde även lätt urskilja det jag ser som kvaliteter. Det hade dock varit intressant att få observera och delta i de olika skolformernas matematikundervisning, men då hade kanske inte resultatet varit detsamma. Det hade blivit en annan sorts kvalitativ

4 Matematikdidaktiken inom den svenska grundskolan och

Montessoripedagogiken

Jag kommer att inleda med en redogörelse för den svenska grundskolan, för att sedan gå vidare till Montessoripedagogiken. I texter om den kommunala skolan används först och främst begreppen elev och lärare, men i texter om Montessoripedagogiken används orden barn och pedagog. Vissa forskare använder ordet barn, medan andra använder elev, därför uppstår en viss blandning, men jag har försökt använda den korrekta formen för respektive skolform och forskare så långt det går.

Båda dessa skolformer lyder under Lpo 94, som är den kommunala skolans

huvudstyrdokument, vilket gör att jag kommer att studera läroplanskommitténs utlåtande SOU 1992:94 Skola för bildning, som ligger till grund för läroplanen, för att beskriva den kommunala skolans grundtankar. Jag kommer att redogöra för det synsätt och de idéer som ligger till grund för Montessoripedagogiken, samt de teorier och kursplaner, som ligger till grund för Lpo 94, med fokus på ämnet matematik. Avsnittet om den svenska grundskolan behandlas ur fyra aspekter.

• En historisk tillbakablick • Lpo 94

• Vad säger Lpo 94 om ämnet matematik? • Svensk matematikdidaktisk forskning

4.1 Den svenska skolan – en historisk tillbakablick

Den svenska grundskolan grundades inte förrän 1962 då den första kursplanen för den allmänna grundskolan kom. Tidigare fanns det även en form av bestämmelse för hur man skulle ansvara för undervisningen (Wyndhamn, 1990). I 1919 års styrdokument för folkskolans undervisningsplan beskrivs ämnet matematik som följande:

Undervisning i räkning och geometri i folkskolan har till uppgift att bibringa barnen en efter deras ålder och utveckling avpassad insikt och färdighet i räkning med särskild hänsyn till vad som erfordras i det dagliga livet även som någon förtrogenhet med geometriska storheters uppritning, beskrivning, mätning och beräkning (Wyndhamn, 1997, s. 58).

Tyngdpunkten på matematikinlärningen låg vid den här tiden på färdighetsträning och räkning. En viss förändring kom med Lgr 69, som betonar något mer de begrepp som

eleverna ska lära sig handskas med. Kursplanen fokuserar fortfarande mycket på räkning och inte så mycket på förståelse (Johansson, 2003).

På grundval av en klar insikt bör eleverna förvärva säkerhet i att genom såväl huvudräkning som ändamålsenliga skriftliga tillvägagångssätt lösa olika slag av matematiska uppgifter, i första hand av praktisk natur (Wyndhamn, 1997, s. 58).

Jämför man ovanstående stycken med vad som står i Lpo 94, ser man hur kunskapssynen i matematik har förändrats, nu ligger tyngdpunkten på elevers lärande inom

begreppsuppfattning och förståelse. I Lpo 94 sätts elevens förståelse och

problemlösningsförmåga i centrum mer än vad det har gjorts i tidigare läroplaner och kursplaner (Johansson, 2003).

Genomförandet av grundskolereformen och 1962 års läroplan för grundskolan medförde att staten tog ett mycket fast grepp om skolan. En föreställning om att centralstyrning var det effektiva sättet att lösa samhällets problem på var starkt dominerande. Lgr 62 var mycket detaljerad till sin karaktär och förutsatte en given organisation av skolan, samt den blev vår första läroplan med en sammanhållen skola, men med valmöjligheter för eleven.

Ämnet matematik förändrades långsamt i takt med nya läroplaner. Matematikens utveckling till vad den är idag kan sammanfattas som om den har gått från räkning till matematik (Wyndhamn, 1997). Ämnet matematik förändrades genom att innehållet i

matematikundervisningen anpassades till en mer utmanande och krävande matematik, där det krävdes att eleven fick tänka mer. Tidigare hade ämnet matematik setts mer som ett ämne man kunde lära sig utantill (Johansson, 2003).

Den mycket starkt reglerande Lgr 62 efterträddes 1969 av en ny läroplan, Lgr 69. Fem begrepp skulle genomsyra all undervisning: Motivation, Aktivering, Konkretisering, Individualisering och Samarbete. MAKIS blev nyckelordet för denna tids bildning. Man förstärkte demokratins principer ytterligare. Grundskolereformen var en mycket lyckad reform, då den relativt väl lyckades med målsättningen att skapa en ”skola för alla”

(Pedagogisk uppslagsbok, 1996). Denna kursplan var mycket detaljerad, och de olika ämnena beskrivs väldigt utförligt om hur de ska vara uppbyggda och vad som ska läras in. Kursplanen

för matematik var på hela 26 sidor, jämfört med kursplanen som beskrivs i Lpo 94, som endast är på tre sidor. Idag har läraren ett större inflytande på undervisningen och får fritt välja olika undervisningsmetoder som passar de olika elevgrupperna. Genom att läsa

kursplanerna i matematik från Lgr 69 till dagens Lpo 94, så ser man hur ämnet matematiken har utvecklats till en problembaserad matematik, jämfört med den tidigare färdighetsinriktade matematiken (Johansson, 2003).

4.2 Lpo

I de första raderna av 1994 års läroplan för det obligatoriska skolväsendet (Lpo 94) sammanfattas hela värdegrunden för den svenska skolan. ”Skolans uppgift är att låta varje enskild elev finna sin unika egenart och därigenom kunna delta i samhällslivet genom att ge sitt bästa i ansvarig frihet” (Lpo 94, s. 3). Läroplanen, det styrdokument som vi kallar Lpo 94, ska ange de nationella målen men inte ge anvisningar om hur målen ska nås. Den lägger sig alltså inte i valet av innehåll, arbetssätt eller arbetsmetoder. Det är lärarnas och skolledarnas ansvar att utforma verksamheten i enlighet med målen. I kursplanerna finns strävansmål och uppnåendemål för varje ämne. När man öppnar Läroplanen för obligatoriska skolväsendet kan man på första sidan läsa om att vi lever i en föränderlig värld. Skolan ska följa med tiden och erbjuda barnen redskap att fungera i denna föränderliga värld. Läroplanen betonar att barnens harmoniska utveckling ska främjas genom en varierad och balanserad sammansättning av ämnen och arbetsformer så att barnens olika anlag får möjlighet att utvecklas allsidigt. Barnen ska få arbeta intellektuellt, praktiskt, fysiskt och konstnärligt. De ska få pröva att utveckla olika uttrycksformer, uppleva känslor och stämningar genom att arbeta både intellektuellt, sinnligt och praktiskt. Skolan ska inte enbart syfta till individens självbildning utan också sörja för kulturens varaktighet (Lpo 94).

Läroplanen poängterar också att varje barn i skolan har rätt att få utvecklas, känna växandets glädje och få uppleva den tillfredsställelse över de framsteg som de gör och över de

svårigheter som de övervinner. Hänsyn ska tas till barnens olika utvecklingstakt. I formandet av en personlighet är det en grundförutsättning att barnet blir sett och respekterat som individ. I skolan ska barnet möta respekt för sin person och sitt arbete. Skolan har i uppgift att bygga vidare på den personliga tryggheten och självkänslan som ska grundläggas i hemmen. Vidare kommer skolan att göra fortlöpande uppföljningar av barnens resultat genom diagnostiska prov i läsning, skrivning och räkning i andra skolåret, samt en nationell avstämning i årskurs fem i svenska, matematik och engelska. Syftet är att bedöma vilka stödinsatser som behövs

för de barn som inte klarar de diagnostiska proven. Till grund för betygsättningen vid slutet av det nionde skolåret knyts särskilda betygskriterier till kursplanerna (Lpo 94).

4.3 Vad säger Lpo 94 om ämnet matematik?

Målet för skolmatematiken har i olika läroplaner varit att ge eleverna ett redskap för att klara sig vidare i samhället och ge en stabil grund för fortsatta studier. Den senaste läroplanen, Lpo 94, betonar hur viktigt det är att eleverna behåller intresset för och nyfikenheten på

matematiken, samt utvecklar sitt eget sätt att lära in kunskaper på, lär sig pröva, reflektera och lösa problem som uppkommer i skolans vardag och till sist även kunna granska och värdera vad man läser. Förändringen för kunskapsmålen i matematik för grundskolan lyfts fram i Lpo 94 i följande formulering:

Grundskolan har till uppgift att ge eleverna sådana kunskaper och färdigheter i matematik som behövs för att kunna fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, för att kunna tolka och använda det ökande flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället. Utbildningen ska utformas så att eleverna förstår värdet av att behärska grundläggande matematik och får tilltro till sin förmåga att lära sig och använda matematik (Lpo 94, s. 33).

Detta innebär alltså att eleverna ska kunna använda sina kunskaper i matematik i olika situationer. Det är viktigt att göra eleverna medvetna om att det finns många olika sätt att resonera och ofta många möjliga sätt att lösa ett problem på. Gruppen är viktig ur en social aspekt för att skapa respekt för varandras tänkande. Det innebär också en förändring av matematiken både när det gäller innehållet och hur kunskapen lärs ut till eleverna (Lpo 94).

Matematiken har nära samband med undervisningen i andra ämnen. Eleverna hämtar erfarenheter från omvärlden, som ger dem underlag för att utvidga sitt matematiska tänkande. Begrepp och metoder hämtade från matematik behövs för att nå mål i andra ämnen. Undervisningen i matematik skall främja elevens allsidiga utveckling och särskild uppmärksamhet skall ges elever som kan behöva särskilt stöd och längre tid för att upptäcka och lära viktiga begrepp, metoder och samband” (Lpo 94, s. 34).

Dagens skoldebatt handlar ofta om skolans skyldighet och lärarnas förmåga att redovisa elevernas kunskapsnivå. Man vill ha elevinriktade utbildare som visar vördnad och respekt för individen. Sådana lärare är medvetna om och uppmärksamma på varje barns behov, särdrag

och förmågor, samt beredda att möta dem. Läroplanen anvisar i sina riktlinjer att läraren ska stimulera, handleda och ge särskilt stöd till barn med svårigheter. Läraren ska också samverka med andra lärare så att utbildningsmålen nås. Genom att organisera och genomföra arbetet ska läraren hjälpa barnet i deras inlärning och till deras harmoniska utveckling. Det ska bland annat ske genom att visa respekt för det enskilda barnet, genom att utgå från ett demokratiskt förhållningssätt och genom att samarbeta med hemmen runt barnets skolsituation och

kunskapsutveckling (Lpo 94).

Läroplanen ger i sina riktlinjer läraren i uppgift att utgå ifrån varje enskilt barns behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande. Barnet ska också stimuleras till att använda och utveckla hela sin förmåga. Om man studerar enskilda kursplaner i t.ex. ämnet matematik, så ges en beskrivning av hur barnet ska utvidga sitt matematiska vetande genom att hämta erfarenheter från omvärlden. Läraren får genom kursplanernas utformning en stor frihet att välja innehåll, arbetssätt, metoder och organisation (Lpo 94). I en diskussion om inlärning jämförs pedagogens uppgift med en sorts katalysator som går in här och där, när de egna frågorna saknas och skapar konflikter i de felaktiga resonemang som barnen har byggt upp. Genom att skapa denna konflikt tvingar pedagogen barnet till att själv tänka, istället för att pedagogen ska tänka för barnet. På så sätt tillför pedagogen den lärande eget tänkande, som kan jämföras med det bränsle som behövs för att upptäckten eller insikten ska förbli barnets egna personliga egendom och som inte faller bort inom ett par dagar (Marton, 1960 ).

4.4 Svensk matematikdidaktisk forskning

Matematikämnet tenderar att gå från att ha varit ett förutbestämt program till ett beaktande av elevföreställningar, från att ha varit ett neutralt ämne till ett ämne med social roll, från att ha varit ett skolämne till att vara situationsmatematik, anser Wyndhamn (1990). Didaktiken spelar en oerhörd roll för läraren i dennes uppgift att stimulera och handleda eleverna till varaktig begreppslig utveckling inom matematiken. Wyndhamn har kommit fram till i en av sina studier (1982 i Wyndhamn 1990) att en viktig läraruppgift är att träna eleverna språkligt på så många olika sätt som möjligt för att förankra matematiska begrepp. Han har även intresserat sig för att definiera matematik. Hans egen sammanfattning är ”Matematik är (kan vara) ett stort äventyr i talens värld…” (Wyndhamn, 1990, s. 44). Några utmärkande drag för ämnet är abstraktion, generalisering och formalisering. Abstraktionen står för tankeakten, generaliseringen står för processen att överföra förståelsen på en nivå till en annan vidare

struktur, och formaliseringen är att anpassa matematikbearbetningen till ett symbolspråk (Wyndhamn, 1990).

Sandahl (1997) tycker att det är utformningen av skolmatematiken och inte undervisningen som är problemet. Den har under årens lopp tenderat till att bli en statisk samling av regler och symboler där eleverna aldrig känner igen sig eller blir berörda av. Miniräknaren och datorernas intåg i matematiken öppnar nya, fräscha möjligheter tillsammans med nya

arbetssätt och nytt innehåll. Sandahl citerar den brasilianske matematikern D’Ambrosio som beskriver begreppet ”ethnomathematics” – folkets matematik, som inte ska ses som en

alternativ metod ”… utan som en visionär inblick i människors matematik” (Sandahl, 1997, s. 14). ”… en matematik som har människornas vardag som utgångspunkt” (Olsson, Åkerlund, 2005, s. 10). Etnomatematikens grundidé i skolmatematiken är att innehållet ska stämma överens med matematiken som förekommer i vardagslivet (Olsson, Åkerlund, 2005). Matematiken är kopplad till praktisk handling och utvecklad i en speciell situation. Den tillämpas i ett sammanhang och är oftast inte generaliserbar. Den är utvecklad i en sociokultur och har både individuellt och gruppstyrt regelföljande som kan bli olika i olika kulturer. I vardagen eller i yrkesverksamheten utförs beräkningar som är utvecklade i tradition (Sandahl, 1997). I Lpo 94 beskrivs uppnåendemålen med en etnomatematisk prägel medan

strävansmålen beskrivs med en akademisk matematisk prägel (Lpo 94). Följande beskrivning av uppnåendemålen finns beskrivet i Lpo 94; ”… har kunskaper om de nationella

minoriteternas kultur, språk, religion och historia… har utvecklat kunskaper om andra kulturer” (Lpo 94, s. 14). Skolmatematiken har samma grund som den akademiska matematiken, vilket innebär t.ex. att eleverna lär sig regler på samma sätt som tidigare generationer. Lärarens uppgift är att överföra terminologin så att eleverna snabbt lär sig det matematiska språket och därmed kan ta del av den nya kultur som de möter vid skolstarten. Skolan har svårigheter att synliggöra matematiken och visa på dess olika

användningsområden (Sandahl, 1997). Innehåll och arbetsformer bör förändras ”… så att eleverna utvecklar kunskaper där olika färdigheter, såväl tekniska som kommunikativa, ingår. Tonvikten bör ligga på tolkningar och hantering av situationer” (Sandahl, 1997, s. 119).

Positionssystemet

Vid algoritmräkning utnyttjar man positionssystemets styrka (Kilborn, 1989). Kilborn anser att barnet på ett laborativt sätt t.ex. med pengar kan finna logiken i systemet. Neuman (1989) arbetar också laborativt med att befästa att tiotals-, hundratals- och tusentalssiffran alltid

åtföljs av en annan siffra. Malmer (1984) tycker att det är lättare att förklara positionssystemet om man arbetar med stora tal, över tio. Det bör ske med hjälp av ”strukturella material”. Barnen ser och upplever talenheternas olikheter. Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994) anser att storheter är en del av barnens vardag och kan därför lätt kopplas till

skolmatematiken. På så sätt undviks att först införa matematiska symboler och tal utan vardagsanknytning.

Tabellinlärning

Neuman (1989) ställer frågorna om abstrakta taluppfattnigar utvecklas om barn lär sig tabellerna och hur det går till när barn lär sig tabellerna. Tabellkunskap uppfattas oftast som något man lärt sig minnas. Hon tar upp hur man löser aritmetiska uppgifter genom att analysera deras struktur, ”att se istället för att räkna”. Då spelar det matematiska

symbolspråket mycket liten roll till många barns glädje, de som tycker att minus är svårt t.ex. Vi skulle inte behöva syssla med tabellträning om vi ägnade mer tid åt att lära barnen att lösa problemen utifrån uppgiftens struktur, att se talet och dess delar.

Att kunna tabellerna är en nödvändig förkunskap för många beräkningar. Wyndhamn (1990) anser att kunskaper och färdigheter vävs samman och utgör språngbrädan till nästa steg i lärandeprocessen. Innan tabellerna har blivit till reflexkunskaper måste eleven haft många tillfällen att bearbeta namn på talen. Kilborn (1989) skriver att eleverna på högstadiet ofta kan subtraktionstabellerna sämre än multiplikationstabellerna. Detta kan bero på att tabellerna tränats in på fel sätt. Kilborn ger inte mycket för sättet att lära sig tabellerna med hjälp av träning på tid med osystematiskt uppställda tabellkombinationer. Det är ingen inlärning som kan ske på detta sätt. Med arbetsminnets hjälp kan stoffet organiseras och lagras i

långtidsminnet. Man bör därför träna några kombinationer i taget och ge eleven en allsidig bild av tabellerna.

Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994) fokuserar tabellträningen till behovet av adekvat inlärning och det meningsfulla lärandet och menar att ”rabbelmetoden” knappast motsvarar sådana krav. Tabellerna kan ”upptäckas” i talanalyser. Arbetet med talanalyser måste ligga till grund för goda räknefärdigheter.

Taluppfattning

En god taluppfattning hjälper eleven att använda sina kunskaper för att lösa problem och stimulerar även till synen på matematik som meningsfull. Taluppfattning är bl.a. att kunna dela upp tal, att representera tal på olika sätt, att se relationer mellan tal och att jämföra storlekar (Nämnaren, 1995).

Neuman (1989) anser att om barn inte kan dela upp talen 2 till 10 i två delar, så får det

svårigheter att arbeta med tal över 10. I undersökningar konstaterar hon att barn använder och relaterar tal till sina händer och fingrar. Vi bör ta vara på det sätt som barn ser tal och bygga vidare. De formar en modell av de objekt de ska räkna när de verkliga objekten inte finns till hands. Undervisningen borde utformas så att alla barn fick möjligheten att utveckla

föreställningen av tal som går att använda vid huvudräkning i högre talområden (över 10). Neuman anser samtidigt att man kanske borde börja med subtraktion istället för addition vid nybörjarundervisning. Men först borde alla barn få hjälp med att bli medvetna om varför vi behöver siffror och räkneord, vad de egentligen betyder och varför vi behöver matematiken.

Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994) säger att det är med hjälp av talanalys där man utgår från barnets egna erfarenheter, genom att samtala omkring tal och talets delar och därefter illustrera de situationer man beskrivit, som barn skaffar sig taluppfattning. Småningom kan man beskriva situationer med hjälp av symboler istället. De säger också att helheten anknyter till barnens spontana tankar, d.v.s. att gå från helheten till delarna. Det kan vara lättare för barn att förstå subtraktion och division i den tidiga matematikundervisningen eftersom det utgår från helheten och man tar bort respektive delar lika. Enligt Unenge, Sandahl och

Wyndhamn är det i många sammanhang i grundskolan en gångbar strategi att gå från det hela.

Vardagskunskaper

Barnen kommer till skolan med kunskaper, erfarenheter och problemställningar. Det är skolans skyldighet att använda dem, anser Høines (1990). Det är mycket viktigt att barnen berättar om sina erfarenheter, på så sätt blir de medvetna om sin förmåga och kan utgå ifrån den. Barnen måste inse behovet av matematiken som ett redskap i vardagen. De matematiska symbolerna är svåra att förstå. Därför bör många övningar göras så förståelsen kommer först och symbolspråket senare. Möjligheter finns även att få skriva ner sina egna symboler som en övergång till det konventionella matematikspråket för att känna sig trygg i sitt lärande

Malmer (1990) skriver om barns uppfattning om att matematik bara finns i skolan och alltså inte är något som man behöver i vardagen. Neuman (1989) har funnit i sin forskning att eleverna har svårigheter att förstå varför matematik behövs. Varje individ har sitt eget sätt att tänka och har sin alldeles egna föreställning om matematikens innebörd. Läraren måste vara medveten om detta och lyssna på eleven när hon beskriver sin tankegång. Läraren kan då avgöra kvaliteten på elevens kunskap (Wyndhamn, 1990).

Problemlösning

Ahlberg (1992) har forskat om problemlösning genom att rita, skriva och räkna. Ett vanligt sätt för lärare att se till att eleven kommer fram till rätt svar är genom lotsning. Läraren ställer frågor, utan förklaringar, med givna svar, i bästa välmening om att det viktigaste är att eleven får ett svar. Detta ger eleven en negativ självuppfattning. Eleven tappar intresset.

Undervisningen ska gå ut på att barnet får förståelse för att matematik är en del av

vardagslivet, att det finns olika metoder att lösa problem, att det tar tid att lösa problem och att det kan finnas flera svar som är rätt. Ett sätt att nå dit är, enligt Ahlberg, att använda sig av problemlösningens fem faser: Problem utan tal – för att visa på flera möjliga lösningar, Problem med tal – många svar är rätt, Nakna uppgifter – räknesagor skrivs utifrån ett

aritmetiskt problem, Estemation – träning på att uppskatta svar med flera tänkbara lösningar och Benämnda tal. Eleverna ska arbeta i små grupper och tala matematik. Varje elev

presenterar en lösning för de andra och tränar sin argumentation. Det är viktigt med samarbete om processen. Eleverna görs medvetna om vad de har löst för uppgift och att var och en är viktig i lösningsprocessen.

I en rapport av Wyndhamn (1994) står det skrivet att benämnda matematiska problem oftast inte löses med hjälp av att analysera den språkliga innebörden, inte heller grundar sig eleverna på realistiska överväganden. Eleven letar efter matematiska symboler och regler i texten och godtar orimliga eller oförnuftiga svar. Problemlösning tolkas och studeras inte längre enbart ur ett kognitivt perspektiv utan även från sociala och kulturella. Vad gör eleverna då de löser uppgiften, är frågan. Eleven bör vidga sin tanke till att omfatta frågor av typ ”Vilken är poängen med uppgiften?” Kanske får man på detta sätt veta vad och varför eleverna gör som de gör.

Malmer (1984) anser att vi, lärare, vet för lite om små barns möjligheter att lösa matematiska problem. Många förskolebarn löser problem med tiotalsövergångar och flera räknesätt ”… i lycklig okunnighet om hur svårt detta är” (Malmer, 1984, s.54). Anledningen till att inte svårare uppgifter förekommer är kraven på en matematisk redovisning med symbolspråket. Malmer anser att man bör pröva mer informella sätt av redovisning och att ”tala” matematik mera.

Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994) tycker att problemhantering är det centrala målet för matematiken. ”Det är ju för att kunna hantera situationer i vardagen och i samhällslivet som kunskaper i matematik är så viktiga” (Unenge, Sandahl och Wyndhamn, 1994, s. 194). De hänvisar till Lpo 94 och visar på att problemlösning ska ses som ett centralt mål för undervisningen.

Algoritmer

Att arbeta med algoritmer är att följa givna regler, menar Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994). Reglerna och tabellkunskaperna måste sitta i ”ryggmärgen”. Många elever har svårt med alla moment som ett algoritmskrivande medför. De skriver att många forskare menar att algoritmiseringen är en fara i matematikundervisningen. Innebörden i uttrycket

algoritmisering är att eleven har fått räkna många likartade uppgifter utan att förutsättningarna varierats tillräckligt. Följden skulle bli att elevens problemlösningsförmåga blir avtrubbad. Man bör istället ge eleven en helhetsuppfattning och träning på att kunna se samband och att kunna hantera en situation hellre än att kunna ge ett enda svar - det kanske finns flera svar. De talar om en matematisk klokskap, där större vikt läggs vid processen än på innehållet, där förmågan att självständigt och kritiskt tänka är viktigast. Det blir då även betydelsefullt att kunna kommunicera och senare kunna använda det matematiska språket på ett korrekt sätt (Unenge, Sandahl och Wyndhamn, 1994).

Kilborn (1989) definierar algoritm på följande sätt: ”… inte uppställningen eller

nedskrivningen av talen i sig, som är algoritmen. Algoritmen är det bestämda schema eller de rutiner man följer för att kunna komma fram till svaret” (Kilborn, 1989, s.53). Han anser att det är viktigt att behärska tabellerna väl vid algoritmräkning. Meningen med algoritmräkning är att kunna utföra räkneoperationer på ett snabbt och minnesbesparande sätt. Huvuddelen av tiden kan då användas till att lösa räkneproblemet. Nackdelen är att eleverna låser sig vid denna metod och prövar aldrig andra, lika bra eller bättre, sätt. Malmer (1984) tycker att man

övergår till algoritmräknande alltför tidigt i skolan. ”Så länge man håller sig till huvudräkning befäster man på ett bättre sätt taluppfattningen” (Malmer, 1984, s. 24). Algoritmräknandet är ett effektivt sätt att arbeta men främjar inte elevens tankeförmåga och kreativitet.

5 Montessoripedagogiken

Det har skrivits många böcker om Maria Montessori och hennes liv. De tar bl.a. upp hennes livs historia, hennes kamp mot fördomar, bristen på jämställdhet, sorgen över att inte kunna ha sitt eget barn hos sig. Jag kommer att försöka begränsa historiken till hennes pedagogiks historia, men utan att ta del av hennes liv, anser jag att man missar bakgrunden till

Montessoripedagogiken. Jag kommer även att redogöra för hur Montessoripedagogiken berör organisationen av skolan, de matematik didaktiska materialen, samt mål och riktlinjer för matematikundervisningen. Nedan presenteras detta avsnitt i fyra rubriker:

• Maria Montessori – vem var hon? • Casa dei Bambini

• Montessoripedagogiken

• Montessoripedagogikens didaktiska matematik material

Begrepp: Montessoripedagogiken är en pedagogik som grundar sig på Maria Montessoris

observationer av barn. Tonvikten för Montessoripedagogiken bygger på övertygelsen att barnet strävar efter att utveckla sig själv, en utveckling som följs av olika sensitiva perioder. Inlärning bör därför följa dessa olika utvecklingsstadier; vilket också anses ske om barnet får arbeta så fritt som möjligt. Pedagogens roll inom Montessori-pedagogiken är handleda och observera barnen (Wikipedia, 2007).

5.1 Maria Montessori

Maria Montessori (1870-1952) levde i Italien under 1890-talet. Hennes välutbildade

medelklassföräldrar uppmuntrade henne att studera vid högskola, men hon förkastade tanken på att bli lärare, vilket var den enda högre utbildningen som stod öppen för kvinnor på den tiden. Hon påbörjade istället studier vid en pojkskola med inriktning mot en

ingenjörsutbildning. Efter en tid växte hennes intresse för biologi och efter en hård kamp, som även kostade henne sin faders stöd, blev hon antagen vid den medicinska fakulteten. 1896 utexaminerades hon som Italiens första kvinnliga läkare (Hainstock 1999, Lillard 1995). Maria Montessori fick anställning vid universitetets psykiatriska klinik och under en stor del

av hennes arbetstid arbetade hon med utvecklingsstörda barn. Hon blev fast övertygad om att barnen kunde nå stora framsteg om de fick en speciell undervisning. Maria Montessori besökte London och Paris för att ta del av det arbete som Jean Itard och Edouard Séguin hade gjort. De intryck hon fick av deras arbete, lade grunden för de två kommande årens arbete med de utvecklingsstörda barnen. Hon observerade barnen, gjorde anteckningar och

tillverkade mängder av material som barnen fick arbeta med. Barnen lärde sig läsa, skriva och räkna och gjorde så stora framsteg att Maria Montessori undrade hur friska barn skulle kunna utvecklas med samma material och metod (Hainstock 1999, Lillard 1995). Maria Montessori återvände till Roms Universitet, denna gång för att studera filosofi, psykologi och

antropologi. Hon forskade om nervösa sjukdomar hos barn, undervisade vid lärarhögskolan i Rom, praktiserade på kliniker och sjukhus, samt startade en egen privatklinik. 1904

utnämndes hon till professor i antropologi, samtidigt som hon fortsatte med övriga verksamheter fram till 1907, då hon startade sitt aktiva liv som pedagog och lärare. 1907 startade Maria Montessori Casa dei Bambini i San Lorenzos slum, för att få bort barnen från gatorna. Barnen som gick på Casa dei Bambini var fattiga och deras mödrar förvärvsarbetade. Dessa barn hade tidigare vandaliserat, stulit och hittat på andra förtretligheter. Maria

Montessori förändrade sakta dessa barns villkor och utbildning, genom att göra dem till flitiga elever. Hon såg även detta som en chans att studera hur friska barn skulle uppfatta det

material som hon tillverkat och använt tidigare (Hainstock 1999, Lillard 1995).

5.2 Casa dei Bambini

Vid denna tidpunkt hade Maria Montessori inget speciellt inlärningssystem som hon ville prova. Hennes ambition var att jämföra normala barns reaktioner på materialet med de utvecklingsstördas. Från början var det inte tänkt att Maria Montessori skulle tillverka något läs- och skrivmaterial, då hon ansåg att barnen var för små. Men efter vissa påtryckningar från barnens mödrar som inte var läskunniga, började de 4-5 år gamla barnen att skriva och ett halvår senare kunde de även läsa. Det var intressant ur två synvinklar eftersom barnen dels var små och dels kastade om den traditionella föreställningen om att barn först lär sig läsa och sedan skriva. För att verkligen försäkra sig om att så var fallet och inte en slump på Casa dei Bambini, startades ytterligare tre skolor i Italien, varav en för barn med välbärgade föräldrar. I alla skolorna inträffade samma sak med ett undantag. De fattiga barnen reagerade omedelbart på materialet, men de välbärgade barnen var avvaktande och dröjde med att använda

materialen. Genom barnens upprepande övningar och stora koncentration med materialen skapades en miljö av självdisciplin, självsäkerhet och en tydlig målinriktad sysselsättning.

Maria Montessori antog därför att detta var barnets normala tillstånd eftersom det utvecklades spontant när omgivningen erbjöd de rätta förutsättningarna. Maria Montessori utvecklade nu en ny pedagogisk filosofi som grundade sig på hennes direkta observationer av barn. Hon följde samma spår som Rousseau, Pestalozzi och Fröbel gjort tidigare. Alla tre betonade barnets medfödda möjligheter och förmåga att utvecklas i en miljö som präglas av frihet och kärlek. Maria Montessori gjorde dock fler upptäckter om barndomens tid. Med stöd av sina observationer i klassrummet förstod hon att barndomen inte bara var något som man passerar eller hastar igenom på väg mot det vuxna livet, utan ”den andra polen till mänskligheten” som hon kallade det. Barndomen är en lika viktig del för mänskligheten, som det vuxna livet. (Hainstock 1999, Lillard 1995). När en amerikansk romanförfattare och mor vid namn Dorothy Canfield Fisher reste till Europa för att studera Maria Montessoris arbete gick det uppför henne hur hon påskyndat sina egna barn, att hon ”… helt besinningslöst släpat dem med sig på en upptäcktsresa genom livet” (Fisher i Lillard, 1995, s. 127).

5.3 Montessoripedagogiken

Maria Montessoris tankar om barnets utveckling från födseln till vuxen ålder finns mycket väl beskrivna i ett antal böcker skrivna av henne själv och andra. Hon hade mycket klara och detaljerade filosofiska och pedagogiska idéer om människans utveckling och livet i stort. Maria Montessoris sonson, Mario Montessori Jr., beskriver hur viktigt Maria Montessori ansåg att utbildning är för människans utveckling.

Utbildning är en väsentlig aspekt av den mänskliga utvecklingen och utan den blir vi inte fullvuxna. Den nivå som den enskilda personligheten kan nå beror på utbildning (Montessori, Jr., 1992, s. 153).

Maria Montessori grundlade begreppet kosmisk utbildning, som kan förklaras som en helhetssyn på kunskap. Mario Montessori Jr. beskriver det som ”… förmåga att knyta samman ögonblickets liv med det avlägset förflutna” (Montessori, Jr., 1992, s. 146). Denna helhetssyn kan inte bara appliceras på kunskap, utan är något som löper som en röd tråd genom alla delar av hennes arbete. Mario Montessori Jr. skriver att Maria Montessori menade att inlärningen var alltför fokuserad på den intellektuella aspekten och ansåg istället att man skulle se den som en process där hela personligheten måste vara engagerad. Barnet måste lära sig genom sin aktivitet (Montessori, Jr., 1992). Att sammanhanget och inte den enskilda faktakunskapen är det viktigaste, har Maria Montessori beskrivit så här: ”Here is an essential

principle of education; to teach details is to bring confusion; to establish the relationship between things is to bring knowledge” (Montessori, 1994, s. 58). Lillard (1995) beskriver Maria Montessoris tankar om hur barnet tillägnar sig kunskaper och färdigheter. Hur viktigt det är att börja med sinnestränande och konkreta material för att till sist nå fram till allt mer teoretiska inlärningsformer. Maria Montessori trodde på barnets inneboende längtan efter trygghet och delaktighet och att det hade en naturlig strävan mot självständighet och en medfödd lust att arbeta och lära. Hon betonade också vikten av självständighet likväl social träning. Båda aspekterna i personlighetsutvecklingen förekommer naturligt inom

Montessoripedagogiken. I det fria valet av aktivitet tränas barnet till självständighet och ansvar, medan det fria arbetssättet, den förberedda miljön och de åldersblandade grupperna bidrar till den sociala träningen. Barnets utveckling kan inte ske utan hjälp av vuxna. Lärarens roll är därför viktig inom Montessoripedagogiken. Maria Montessori använde ordet ledarinna för att markera lärarens mer indirekta arbetssätt. Hon tyckte också att varje Montessorilärare måste skriva sina egna handböcker för att på så sätt aktivt reflektera över sin verksamhet.

It is true that the teacher or lecturer has an even more important role to play as culture reaches higher levels, but this role consists rather in stimulating interest than in actual teaching. When children are interested in a subject they tend to spend a long time studying it, or in other words, trying to find their own experience (Montessori, 1989, s. 40-41).

5.4 Montessoripedagogikens didaktiska material (matematik)

De Montessorimaterial som är utformade för att lära barnet talbegrepp, följer samma princip som ligger till grund för alla Montessorimaterial. Materialen bygger på olika svårighetsgrader, vilket gör att barn i olika åldrar arbetar med samma material. Barnet bygger på den kunskap han redan har och gör systematiska framsteg från det konkreta till det abstrakta. Detta är särskilt viktigt för att effektivt tillägna sig förståelse för matematiska begrepp. Traditionella pedagogiska metoder brukar ofta bara lära ut hur man hanterar siffror och formler för att få fram det rätta abstrakta svaret, utan att barnet internaliserar de begrepp och mönster som styr hur siffrorna agerar. Detta kan medföra att vuxna tar avstånd för arbete med siffror och blir förbryllade när de träffar på problem där de inte kan minnas svaret som de en gång lärt sig utantill. Deras kapacitet att tänka fritt på ett matematiskt sätt har blivit starkt begränsat genom de bristfälligheter som deras matematiska utbildning präglats av. Genom att låta barnet

upptäcka mönster och regler på egen hand och genom att hantera materialen och gradvis fortsätta från att hantera konkreta föremål till den symboliska framställningen av siffror på

papper lägger Montessorimetoden grunden för en mer omfattande och insiktsfull medvetenhet om den roll som siffror har i vår omgivning. Detta leder till en verklig uppskattning av

matematik (Hainstock 1999, Lillard 1995, Montessori, 1998 b).

Materialet är utformat efter noggranna observationer av barn. Det finns utarbetat

matematikmaterial i aritmetik, algebra och geometri. Materialet är konstruerat med tanke på självinlärning och självkontroll. Maria Montessori ansåg att all matematikundervisning borde omformas och ”… bygga på sinnesförberedelser av hjärnan” (Montessori, 1998 b, s. 267). Detta sker med hjälp av konkret kunskap. Det är en aktiv metod, där händernas arbete och sinnenas användning går på högvarv. Övningar för yngre barn, 3-6 år, sker oftast i grupp. Lärare gör och talar om övningarna tillsammans med barnen. När barnet har upprepat många gånger förs det mer ”tekniska språket” in (Montessori, 1998 b). Det finns material som visar addition och subtraktion inom talområdet 0-18. När barnet är litet bygger det tal med olika material. Senare övas det korrekta språket in och till slut lär sig barnet talbegrepp och tecken som används. ”At last, if he can write, we teach the signs, plus and equals and times”

(Montessori, 1964, s. 333). Materialet återkommer under förskole- och skoltiden i olika sammanhang. Barnen känner oftast igen materialet och vet att det kan användas på flera olika sätt. Materialet är utformat för att passa barnhanden i form och storlek. Barnet får arbeta så länge det vill med ett arbete och så länge det har behov av materialet. Materialet är utvecklat för att möta barnets stimulans och aktivitet. Handen och hjärnan hör ihop, samt rörelse och inlärning likaså (Lillard, 1995). Presentationer av nya moment görs individuellt eftersom två barn omöjligt kan befinna sig på samma utvecklingsstadium samtidigt. Läraren visar nya moment med hjälp av materialet. Maria Montessoris tankar med pärlkabinettet, t.ex. var inte att läraren skulle undervisa, utan hon ansåg att barnet skulle lämnas ifred för att fundera över sina egna observationer då det experimenterade med detta material.

With this material we should not try to teach a great deal, but should leave the child free to ponder over his own observations – observing, experimenting, and meditating upon the easily handled and attractive material (Montessori, 1974, s. 253).

Det är inte lärarens uppgift att lägga sig i genom att påpeka felaktigheter. ”Denna dialog med materialet gör barnet till herre över inlärningsprocessen” (Lillard, 1995, s. 89).

På nästa sida redovisar jag för en del av de matematikdidaktiska materialen som är typiska för Montessoripedagogiken. Att materialen bygger på varandra i en abstraktionskedja är väldigt

viktigt och betydelsefullt för lärandet inom Montessoripedagogiken. Nedan visas ett exempel på detta i arbetet med multiplikation:

a) Räknesättet presenteras med hjälp av guldmaterialet.

b) Tabellerna tränas med memorisationsmaterialet och pärlkabinettet. c) Algoritmen presenteras med hjälp av frimärksspelet eller kulramen. d) Algoritmen tränas med hjälp av kulramen eller schackbrädan.

Bilden föreställer kulramen, som används som ett hjälpmedel för att förstå inlärningen av huvudräkning med höga tal.

Maria Montessori ansåg att materialet skulle vara en hjälp för barnet i arbetet med att bygga upp sin personlighet. Läraren får aldrig bli så bunden till materialet att det kommer i första hand. Montessori citeras på följande sätt i af Malmborgs bok: ”Det är bättre att bränna upp materialet än att man sätter den i första rummet och barnet i andra” (af Malmborg, 1977, s. 9). På 40-talet gjorde Maria Montessori praktiska försök med sjuåriga barn. De utförde

avancerade övningar i matematik och geometri som vanligtvis inte används förrän på högstadiet. Med hjälp av material som konkret kunde illustrera matematiska abstraktioner löste eleverna uppgifterna (Montessori, 1998, c).

Pärlkabinettet

Bilden visar pärltrappan. Bilden visar det kompletta pärlkabinettet, kub, kvadrat och pärlstavar.

Maria Montessori beskriver sitt material på följande vis i The Advanced Montessori Method II (1991): Materialet består av pärlstavar i olika färger, rött för talet 1, grönt för talet 2, rosa för talet 3, o.s.v. till talet 10 som är guldfärgat. Det finns kvadrater på talet av hopsatta pärlstavar i det antal som den enskilda staven representerar. Det finns även kuber sammansatta i samma proportioner.

Moment som tränas med materialet:

• Bygga enkla additioner med lösa stavar. • Bygga tal/talanalys.

• Bygga multiplikationstabeller med lösa stavar. • ”Hopp”- räkna multiplikationstabellerna på kedjorna. • Se att talet gånger sig självt blir en kvadrat.

• Se att talet gånger sig självt tre gånger blir en kub.

Målsättningen med arbetet med detta material är att göra talanalyser, träna additioner och träna och memorera multiplikationstabellerna. Barnet får också en insikt i begreppen yta och volym, vilket förbereder förståelsen för geometri. Materialet förbereder även för olika tals potenser och kvadratrötter och att kunna beräkna olika figurers omkrets, ytor och volym (Montessori, 1991, samt egna handledningar).

Guldmaterialet/Decimalsystemmaterialet

Bilden visar guldmaterialet som beskrivs nedan.

Maria Montessori beskriver detta material på följande sätt: Materialet består av guldpärlor: • 1 pärla för ental

• 10 pärlor uppträdda på en tråd till en stav representerar ett tiotal. • Stavar hopsatta efter varandra bildar en 100-kedja.

• 10 hundrakedjor hopsatta efter varandra bildar en 1000-kedja. • 10 stycken 10-stavar hopsatta bildar en 100-kvadrat

• 10 stycken 100- kvadrater hopsatta intill varandra bildar en 1000-kub.

Nummerkort används tillsammans med kvantiteterna från 1-9, 10-90, 100-900, 1000-9000. olika färger används för talen, ental – grön, tiotal – blå, hundratal – röd, tusental – grön.

Övning 1: 1-tal, 10-stav, 100-kedja och 1000-kedja läggs ut på golvet. Skillnaden i längd blir mycket påtaglig. Man kan nu vika kedjan vid varje 100-kedja och ser på så sätt att 1000-kedjan bildare en bred rektangel. 100-talen som 1000-1000-kedjan består av syns tydligt.

Moment som tränas:

• Räkna 100-kedjan, i nummerföljd och i 10-steg. • Räkna 1000-kedjan, i nummerföljd och i 10-steg.

• Visa att 100-kedjan kan bli en kvadrat och 1000-kedjan kan bli en kub.

Övning 2: 1-tal, 10-tal, 100-tal och 1000-tal visas för barnet tillsammans med nummerkort. Kvantiteter byggs med pärlor och nummerkort läggs till kvantiteten.

Moments som tränas:

• Bygga kvantiteter med pärlor och kort, samt läsa ut talen.

• Öva växling av 10 ental till ett tiotal, tio 10-tal till ett 100-tal, o.s.v. • Visa algoritmerna i de fyra räknesätten.

• I geometri begreppen: punkt, linje, yta, kropp.

Maria Montessori tyckte att det konkreta materialet gör det lika lätt för barnet att räkna med stora tal som tal mellan 1-10. Att 2 + 2 = 4 är inte svårare att förstå än 2000 + 2000 = 4000.

Målsättningen med materialet är att göra decimalsystemets uppbyggnad tydlig för barnet genom att det får förståelse för de numeriska begreppen ental, tiotal, hundratal och tusental, samt ser siffrans platsvärde med hjälp av nummerkorten. Materialet kan laborativt visa skeendet i all algoritmräkning (Montessori, 1991, samt egna handledningar).

Frimärksspelet

Bilden visar frimärksspelet, som beskrivs nedan.

Materialet har fått sitt namn av att Maria Montessori använde frimärken då det

introducerades. Det är mer abstrakt än guldmaterialet genom att enheternas storlek inte framgår, utan endast de hierarkiska färgerna och siffran på frimärket visar enhetens storlek. Materialet består av: låda med fack innehållande ”frimärken” i de hierarkiska färgerna som barnen har mött tidigare, små toppar och polletter i samma färger.

Moment som åskådliggörs med hjälp av frimärksspelet:

• För att förstå ”frimärkets” värde visas varje ”frimärke” tillsammans med guldmaterialet som ett led i abstraktionskedjan.

• Additioner och subtraktioner i algoritm med flersiffriga tal, utan och med växling. • Multiplikation med ensiffrig faktor.

• Division med flersiffrig divisor och divisor som innehåller 0.

Målsättningen med materialet är att konkretisera positionssystemet som förberedelse för algoritmräkning och att visa vad som sker vid algoritmräkning (Egna handledningar)

6 Resultat

Då man läser läroplaner (1998) och kursplaner (1994) för ämnet matematik ser man många likheter med montessoripedagogiken. Kursplanen definierar matematik som: ”… en kreativ undersökande aktivitet som omfattar skapande, utforskande verksamhet och intuition” (Kursplanen, 1994, s. 34). Undervisningen ska ge sammanhang och överblick, även det historiska sammanhanget ska lyftas fram för att visa på den viktiga roll matematiken har haft i olika kulturer och tider. Barn ska få tilltro till sin egen förmåga och sitt eget tänkande och ord som Montessori lägger i barnets mun är ”help me do it alone!” (Montessori, 1996).

Jag har funnit fler likheter än skillnader mellan den kommunala skolan och

Montessoripedagogikens matematiska grundsyn. En del skillnader uppstår p.g.a. att Maria Montessori inte redogör för vissa begrepp inom matematiken, som t.ex. vardagskunskaper och problemlösning. Det beror framförallt på att dessa begrepp inte fanns på hennes tid. Jag har ändå försökt hitta något material som har med vardagskunskaper och problemlösning att göra. Jag har valt att ha med alla de områden som jag tidigare redogjort för, eftersom de är

väsentliga delar inom ämnet matematik. Nedanstående citat skulle kunna vara hämtade från samma skrift; ”Skolan ska sträva efter att varje elev utvecklar nyfikenhet och lust att lära” (Lpo 1998, s. 9). ”Detta är den nya väg som undervisningen har att gå: den måste främja barnasinnets utveckling och stärka barnets skapande krafter” (Montessori, 1992, s. 36).

Nedan presenterar jag de olika områdena inom matematiken som jag har valt att belysa. Jag presenterar först vad de forskare, vars litteratur jag använt mig av, kommit fram till, sedan presentera jag en sammanfattning av Montessoripedagogikens syn. Därefter ställer jag de två presentationerna i kontrast till varandra.

6.1 Positionssystemet

De forskare och deras arbete som jag tidigare refererade till (Kilborn (1989); Neuman (1989); Malmer (1984); Unenge, Sandahl, Wyndhamn (1994)) är överens om att positionssystemet bör presenteras och bearbetas laborativt med strukturella material, t.ex. pengar. Barn behöver se och uppleva talenheternas olikheter. Då det gäller enheter och stora tal bör en diskussion föras om mätetalen i förhållande till enheter. Malmer (1984) tycker att det är lättare att förklara positionssystemet om man arbetar med stora tal.

Montessoris guldmaterial tillsammans med nummerkort och frimärksspelet är utarbetat för att kunna laborera med och visa talens positioner. Man använder alltid stora tal för att illustrera positionssystemet (talområde 1-9000).

Många forskare verkar vara rörande överens om att man inom den kommunala skolan bör ta till sig andra inlärningssätt, som t.ex. att arbeta laborativt och våga låta läroboken ligga för att istället använda sig av olika praktiska material, som visar på en laborativ och strukturell användning, vilket gör det lättare för barnet att se istället för att räkna matematik.

Montessorimaterialen är ett bra exempel på laborativa material. Här får barnen möjlighet att se och känna på matematiken, genom att uppleva olika kvantiteter vilket guldmaterialet erbjuder, ett litet tal består av färre antal pärlor, medan ett större tal, består av fler pärlor. På så sätt kan barnet både se, känna och uppleva hur stort talet är.

6.2 Tabellinlärning

Samstämmighet råder mellan rapporterna (Kilborn (1989); Neuman (1989); Wyndhamn (1990); Unenge, Sandahl, Wyndhamn(1994)). Tabellinlärning ska inte tränas genom att belasta arbetsminnet, utan genom att barnen får se istället för att räkna, att se talet som en helhet och uppdelat i sina två delar – talens ”namn”/ talanalys. Vidare ska listiga tankeformer uppmärksammas, barnen ska få faktakunskaper om tal och träna med hjälp av ramsor.

Färdighetsträning ska inte vara en inlärningsstrategi. Först när insikt och förståelse råder bör färdigheten tränas.

Montessori vill med sitt material (pärlkabinettet och memorisationsmaterialet) visa på strukturer och mönster samt analysera tal. Hon vill ge barnet möjlighet till experimenterande för att finna egna strukturer.

Likheten mellan de inlärningssätt som redovisas ovan mellan Montessoripedagogiken och den kommunala skolans grundsyn är ganska stor om man ser till vad forskarna anser. Att ta hjälp av ramsor vid tabellinlärning är roligt och givande för barnen. En annan likhet är att man ska träna nya begrepp först när insikt och förståelse råder. Det är väsentligt att ta reda på vad barnen kan och vet och bygga vidare på den kunskapsplattformen.

6.3 Taluppfattning

Neuman (1989) anser att en god taluppfattning underlättar tänkandet och är till hjälp vid problemlösning. Barn måste få många tillfällen att arbeta med talområdet 0-9 och dela upp dessa tal innan de arbetar vidare med tal över 10. Därefter arbetar man med talen 10-20. Detta sker med konkreta material. Neuman föreslår att man borde börja med subtraktion före

addition. Barn relaterar till sina fingrar och händer. Vi bör ta vara på det sätt som barn ser tal och bygga vidare på. Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994) säger, att gå från helheten till delar anknyter till barns spontana tankar. Barnet skaffar sig taluppfattning genom talanalys.

Att utgå från helheter för att skapa förståelse och överblick är grundläggande i

montessoripedagogiken. Med hjälp av guldmaterialet och pärlkabinettet tränas taluppfattning. Dessförinnan har barnet även arbetet med andra material för att bygga och analysera tal i talområdet 0-10. Med andra material analyseras tal i talområdena 11-19 och 11-99. Addition presenteras samtidigt med subtraktion och bearbetas jämsides med stora tal. Likaså visas sambandet multiplikation och division vid introduktionen.

Maria Montessori var tidig med att låta barnen arbeta praktiskt med händerna, men här ser man även hur många svenska forskare anser det vara betydelsefullt. En annan likhet är att man vill gå från helheten till delarna, för att på så sätt låta barnet få helheten först, och sen kunna ta till sig de olika delarna. Maria Montessori ansåg precis som Neuman att subtraktion och addition hänger tätt samman, och att man mycket väl kan börja med att introducera begreppet subtraktion före addition.

6.4 Vardagskunskaper

Høines (1990) säger att det är skolans skyldighet att använda barnens erfarenheter och problemställningar då de kommer till skolan. De matematiska övningarna ska göras så att förståelsen kommer först och symbolspråket senare. Barnen får tänka högt, rita och skriva ner tankar och sina lösningar. Språket ska få vara ett tankeredskap. Wyndhamn (1990) förstärker detta ytterligare och skriver att läraren måste aktivt lyssna på elevens tankegångar för att avgöra kvaliteten på elevens kunskap. Malmer (1990) och Neuman (1989) har funnit i sina forskningar att eleverna har svårt att förstå varför matematik behövs och att för vissa elever tycks matematik bara finnas i skolan och inte i vardagen.

Montessori beskriver inte vardagen vid matematikinlärning, däremot anser hon att de

praktiska inslagen är viktiga i montessoripedagogiken. Ordet vardagskunskap finns inte med i hennes texter, i den mening som ovan nämnda författare avser. Det sinnestränande materialet och det praktiska arbetet i förskolan är utformat som ett slags grundläggande matematik. Hon talar om att barnet ska göra erfarenheter i omgivningen och på så sätt få begrepp. Allmänt i hennes pedagogik är världen och livet fundamentalt, liksom kunskap om att utgå från det stora hela och förklara sammanhang och ge överblick till barnet. Maria Montessori ansåg att hennes pedagogik och idéer inte skulle konserveras utan utvecklas med tiden.

”Kunskaper är något som den mänskliga individen tillägnar sig spontant, inte genom att lyssna på ord utan genom att göra erfarenheter i omgivningen” (Montessori, 1963, s. 3).

6.5 Problemlösning

Ahlberg (1992) och Malmer (1984) är eniga om vikten att tala matematik. Barnen måste få pröva flera informella lösningsmetoder, som rita, skriva och räkna. Wyndhamn (1994) visar på att det krävs mer av analys av den språkliga innebörden av matematikproblemet än bara tränande av problemlösning för att förbättra elevens resultat. Unenge, Sandahl och

Wyndhamn (1994) menar att problemhantering är det centrala målet för matematiken. Matematik ska vara ett redskap.

I Montessoris skrifter har inte funnits något material eller någon metod som nämner

problemlösning, i den mening som ovan nämnda litteratur beskriver. Däremot skriver Lillard (1995) att reflekterande, upptäckande och kreativa möjligheter är inbyggt i materialet.

Montessori ansåg att inte bara matematiken är ett redskap, utan den förberedda miljön i skolan och materialet är nödvändiga för barnets personlighetsutveckling. De ska därför ses som verktyg för barns utveckling. Montessorimaterialen i sig är en form av problemlösning. En del Montessoriskolor som jag har varit på definierar problemlösning som läsuppgifter, t.ex. de diagnostiska Måns och Mia uppgifterna från Skolverket. Här ställs eleverna inför ett problem som kan lösas på olika sätt. Det gäller att förstå vad texten säger och kunna omsätta den till matematiska begrepp.

Genom att tala matematik tränar barnet sin argumentationsförmåga och får viss