Vilket stöd erbjuder
lärarhandledningar?
En studie om lärarhandledningar med fokus på matematiska samtal och
resonemang
What kind of support do teacher guides offer?
A study about teacher guides with focus on mathematical discussions and
reasoning
Lovisa Andersson
Fakulteten för hälsa, natur- och teknikvetenskap Grundlärarprogrammet
Avancerad nivå, 30 hp
Handledare: Jorryt van Bommel Examinator: Yvonne Liljekvist 2020-06-07
Abstract
When the new curriculum was introduced in Sweden, 2011, the ability to communicate and reason in mathematics through discussions was put forward. The students’ ability to orally reason and communicate in mathematics is to be assessed in grade 6, which means that teachers need to give students opportunities to practice these skills. The purpose of the study is to analyze what kind of support teacher guides offer the teacher to help them develop the students’ ability to discuss with and about mathematics as well as to apply mathematical reasoning. A content analysis of teacher guides showed that there is support for teachers to develop the students’ ability to discuss with and about mathematics and to apply mathematical reasoning, but that the support varies to a great extend amongst teacher guides. The content analysis is based on Shulman’s knowledge base framework describing what a teacher needs to know in order to teach, the MKT-framework from Ball and colleagues that connects Shulman’s framework to mathematics and Niss och Højgaard-Jensen’s framework about which knowledge a mathematics teacher needs for teaching. The analysis shows that all analyzed teacher guides offer support in pedagogical content knowledge consisting of activities that can be used to develop the students’ orally ability. However, the amount of support varies concerning both pedagogical content knowledge and content knowledge.
Keywords
Mathematical reasoning, Mathematical discussions, Teacher guides, Teacher support, Content analysis
Sammanfattning
Sedan Lgr11 infördes i skolan har förmågan att kommunicera och resonera i matematik genom samtal och diskussioner fått en ny plats i undervisningen. I kunskapskraven står det att ska elevernas förmåga att muntligt resonera och kommunicera i matematik ska bedömas i årskurs 6 vilket innebär att lärarna behöver ge eleverna möjlighet att träna dessa förmågor. Syftet med denna studie är att analysera vilket stöd lärarna erbjuds genom lärarhandledningar för att kunna utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang. En innehållsanalys av lärarhandledningar visar att det finns stöd för lärarna att utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang, men att stödet varierar i stor utsträckning mellan de olika lärarhandledningarna. Innehållsanalysen är baserad på Shulmans ramverk om vilka kunskaper en lärare behöver ha för att undervisa, MKT-ramverket från Ball et al. som kopplar Shulmans ramverk till matematik samt Niss och Højgaard-Jensens ramverk om vilka kunskaper en matematiklärare behöver ha. Analysen visar att samtliga lärarhandledningar erbjuder stöd till lärare i sina ämnesdidaktiska kunskaper i form av aktiviteter som kan användas för att utveckla elevernas muntliga förmåga. Däremot varierar antalet förekomster av stöd för lärarna till sina ämnesdidaktiska- samt ämneskunskaper.
Nyckelord
Matematiska samtal, Matematiska resonemang, Lärarhandledningar, Lärares stöd, Innehållsanalys
Innehåll
1 Inledning ... 1
1.1 Matematiskt kunnande ... 1
1.2 Matematikkunnandet och undervisningen i skolan ... 2
1.3 Syfte ... 4
1.4 Frågeställning ... 4
2 Bakgrund ... 5
2.1 Betydelse av lärarhandledningar ... 5
2.2 Lärarhandledningar i Sverige och internationellt ... 6
3 Tidigare forskning ... 7
3.1 Kommunikation och resonemang ... 7
3.1.1 Att kommunicera i matematik ... 7
3.1.2 Att föra matematiska resonemang ... 8
3.2 Några exempel på tidigare forskning om lärarhandledningar ... 9
4 Teori ... 10
4.1 Shulmans beskrivning av lärarens kunskaper ... 10
4.2 MKT-ramverket ... 11
4.3 Det danska ramverket ... 12
4.4 Lärarhandledning som fortbildning... 13
4.5 Davis och Krajciks fem riktlinjer med koppling till andra ramverk ... 14
5 Metod ... 16 5.1 Innehållsanalys ... 16 5.2 Val av lärarhandledningar ... 18 5.2.1 Koll på matematik ... 18 5.2.2 Matte Eldorado ... 19 5.2.3 Favorit matematik ... 19 5.2.4 Matematikboken Beta ... 19 5.3 Analysverktyg ... 20 5.3.1 Ursprungligt analysverktyg ... 20 5.3.2 Utvecklat analysverktyg ... 20
5.3.3 Analysverktyget med koppling till forskningsfrågan... 22
5.4 Validitet, reliabilitet och forskningsetik ... 23
5.4.1 Validitet ... 23
5.4.2 Reliabilitet ... 23
5.4.3 Forskningsetik ... 24
6 Resultat ... 25
6.1 Utformning av undervisningen (kategori 5) ... 25
6.2.2 Resultat för Bedömning, Planering och Samtal som individualisering eller tips till samtal ... 29
6.2.3 Summering av Utformning av undervisningen ... 31
6.3 Ämneskunskaper (kategori 2) ... 32
6.3.1 Resultat för Fakta i text och Uträkningar ... 32
6.3.2 Summering av ämneskunskaper ... 33
6.4 Ämnesdidaktiska kunskaper (kategori 1, 3 och 4) ... 34
6.4.1 Resultat för ämnesdidaktiska kunskaper, kategori 1 ... 34
6.4.2 Resultat för ämnesdidaktiska kunskaper, kategori 3 ... 36
6.4.3 Resultat för ämnesdidaktiska kunskaper, kategori 4 ... 37
6.4.4 Summering av ämnesdidaktiska kunskaper ... 38
6.5 Sammanfattning av resultaten ... 39
6.6 Summering av alla resultat i analysen ... 40
7 Diskussion ... 42
7.1 Resultatdiskussion ... 42
7.1.1 Utformning av undervisningen (kategori 5) ... 42
7.1.2 Ämneskunskaper (kategori 2) ... 44
7.1.3 Ämnesdidaktiska kunskaper (kategori 1, 3 och 4) ... 44
7.1.4 Betydelsen av antal sidor i lärarhandledningen ... 45
7.2 Metoddiskussion ... 45
7.3 Slutsats... 46
7.4 Vidare forskning ... 47
Referenser ... 48
Referenser lärarhandledningar ... 53
Figurförteckning
Figur 1 Matematikkunnandet som fem trådar (Kilpatrick et al., 2001) ... 1
Figur 2 Matematikkunnandet som åtta kronblad (Niss och Højgaard-Jensen, 2002) ... 1
Figur 3 MKT-ramverket (Ball et al., 2008) ... 11
Figur 4 Kodningsschema, kategori 1 – 4 ... 21
Figur 5 Kodningsschema, kategori 5 ... 22
Figur 6 Diagram. Aktiviteter ... 25
Figur 7 Diagram. Aktiviteter i elevboken och lärarhandledningen respektive endast i lärarhandledningen ... 26
Figur 8 Diagram. Förmågor som tränas ... 27
Figur 9 Diagram. Bedömning, Planering och Samtal som individualisering eller tips till samtal ... 29
Figur 10 Diagram. Summering av Utformning av undervisningen ... 31
Figur 11 Diagram. Ämneskunskaper ... 32
Figur 12 Diagram. Summering av ämneskunskaper ... 33
Figur 13 Diagram. Elevers tankar och tips på representationer av innehållet ... 34
Figur 14 Diagram. Progression och matematiska kopplingar ... 36
Figur 15 Diagram. Koppling mellan teori och praktik ... 37
Figur 16 Diagram. Summering av ämnesdidaktiska kunskaper ... 38
Figur 17 Diagram. Sammanfattning av resultaten ... 39
1
Figur 1: Kilpatrick et al. (2001, s. 117) illustrerar matematikkunnandet som fem sammanflätade trådar, som tillsammans utgör ett rep.
1 Inledning
1.1 Matematiskt kunnande
Matematik är ett av de ämnen eleverna måste vara godkända i för att antas till ett yrkesprogram eller högskoleförberedande program på gymnasiet (SFS 2010:800, kap. 16 §30–31). Likaså behöver eleverna förvärva matematiska kunskaper för att kunna leva och delta i samhället. Under hela grundskoletiden behöver eleverna därför utveckla ett matematiskt kunnande. Det finns olika synsätt på vad detmatematiska kunnandet är. I USA talas det om kompetenser och Kilpatrick, Swafford och Findell, (2001) illustrerar det matematiska kunnandet med ett rep bestående av fem tätt sammanflätade kompetenser eller trådar. De fem trådarna är Conceptual Understanding, Procedural Fluency, Strategic Competence, Adaptive Reasoning och Productive Disposition (se Figur 1). Trådarna tillsammans utvecklar det matematiska kunnandet, vilket innebär att om bara en eller två trådar fokuseras i undervisningen kan inte det matematiska kunnandet utvecklas (Kilpatrick et al., 2001).
Vidare använder forskarna Niss och Højgaard-Jensen (2002) i Danmark sig av samma terminologi och ser det matematiska kunnandet som bestående av åtta kompetenser eller kronblad som överlappar varandra i en blomma (se Figur 2). De menar att de olika kompetenserna generellt sett varken kan hållas isär eller utvecklas isolerade från varandra och att ingen kompetens kan reduceras bort till de övriga kompetenserna. De åtta kompetenserna handlar om att kunna tänka matematiskt, lösa problem, konstruera modeller, föra matematiska resonemang, kunna använda sig av olika representationsformer, symboler och hjälpmedel i matematiken samt att kunna kommunicera i matematik (Niss och Højgaard-Jensen, 2002).
Figur 2: Niss och Højgaard-Jensen (2002, s. 45) illustrerar matematikkunnandet som åtta överlappande kronblad som de delar upp i två delar.
2
De två internationella synsätten på vad det matematiska kunnandet är, har gemensamt att flera kompetenser behöver utvecklas parallellt för att uppnå ett matematiskt kunnande. Även i Sverige ses det matematiska kunnandet som en sammansättning av olika förmågor. Skolverket har sammanfattat fem förmågor för grundskolan. Tre av förmågorna handlar om att kunna lösa matematiska problem, förstå och använda begrepp samt att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter (Skolverket, 2019).
Två av förmågorna handlar om att eleverna ska utveckla förmågan att samtala med och om matematik, vilket ofta benämns som förmågan att kunna kommunicera i matematik, och att föra matematiska resonemang. De förmågorna utgör en stor del av kunskapskraven, både som enskilda kunskapskrav men också som inslag i exempelvis problemlösningsförmågan (Skolverket, 2019).
Att kommunicera i matematik handlar enligt Skolverket om att utbyta matematiska idéer med hjälp av olika uttrycksformer, till exempel genom att prata, skriva, med hjälp av material, genom gester eller bilder (Skolverket, 2014). Ett matematiskt resonemang beskriver Skolverket som ”en logisk följd av påståenden som leder till en slutsats” och kan vara både muntligt och skriftligt (Skolverket, 2014, s. 2). Ett matematiskt samtal, är en muntlig kommunikation inom matematik överlag och kan även innefatta matematiska resonemang, beroende på vad samtalet handlar om (Skolverket, 2014). I den här uppsatsen fokuseras den muntliga delen i det matematiska resonemanget och kommunikationen.
1.2 Matematikkunnandet och undervisningen i skolan
Ytterligare en anledning till att det är viktigt att eleverna utvecklar förmågan att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang är att eleverna ofta lär sig matematiken på ”ett djupare plan och mer bestående” när de samtalar, än när de sitter tysta och räknar enskilt (Kilhamn, 2019, s. 21). Eftersom den muntliga delen i matematik är så viktig för eleverna behöver lärarna ge eleverna många tillfällen att träna den förmågan och visa att matematik handlar om mer än att räkna uppgifter i matteboken.
Vidare kan man i de två internationella synsätten se att den muntliga förmågan är framskriven som en del i att kommunicera i matematik eller föra matematiska resonemang (Kilpatrick et al., 2001; Niss & Højgaard-Jensen, 2002). Dessutom menar internationell forskning att de olika matematiska förmågorna inte går att separera från varandra och för att det matematiska kunnandet ska uppnås måste samtliga förmågor vara utvecklade (Kilpatrick et al., 2001; Niss & Højgaard-Jensen, 2002).
3
En studie Skolinspektionen har gjort visar dock att den muntliga förmågan lätt kommer i skymundan i många svenska klassrum (Skolinspektionen, 2009). Den vanligaste arbetsformen i de klassrum som studien omfattar är att eleverna räknar enskilt eller i mindre grupp. Av den tiden läggs ca 60 procent av tiden på uppgifter i matteboken och resten av tiden med uppgifter de har fått av sin lärare. Den förmåga som i 90 procent av fallen tränas när de räknar i matteboken, är förmågan att utföra rutinuppgifter – att ”’räkna i boken efter givna regler’” (Skolinspektionen, 2009, s.17). Även när de får uppgifter från sin lärare är de till större del rutinuppgifter, i 64 procent av fallen (Skolinspektionen, 2009). Det innebär att elevernas möjlighet att träna andra förmågor än den att utföra rutinuppgifter bara är 10 procent (Skolinspektionen, 2009), samtidigt som den djupare och mer bestående kunskapen, som Kilhamn (2019) menar utvecklas i samtalet, också begränsas.
Samma studie visar att lärare i stor utsträckning låter läroboken vägleda dem i undervisningen och att den ses som ett viktigt stöd för lärare (Skolinspektionen, 2009).Även internationellt sett är läroboken central i matematikundervisningen(se t ex Remillard & Reinke, 2012). Om lärare utöver läroboken vill ha stöd i form av inspiration eller kompetensutveckling på något sätt, har den sina kollegor att vända sig till när de har tid. I skolverkets lärportal finns också en del stöd att få.
Till läroboken finns även en lärarhandledning där läraren kan få stöd och tips till sin undervisning. Stödet kan både handla om aktiviteter att använda i undervisningen eller kunskap om hur eleverna tänker, vilka vanliga fel de ofta gör och hur läraren kan bemöta elevernas tankar och idéer (se Ahl, Hoelgaard & Koljonen, 2014).
För att eleverna även ska klara den muntliga delen av kunskapskraven och nå en fördjupad kunskap i matematik behöver läraren jobba medvetet även med den muntliga förmågan i undervisningen.
Eleven kan redogöra för och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då bilder, symboler, tabeller, grafer och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. I redovisningar och samtal kan eleven föra och följa matematiska resonemang genom att ställa frågor och framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som till viss del för resonemangen framåt. (Skolverket, 2019)
Som ovan nämns görs inte detta i någon större utsträckning. Det kan bero på olika saker; till exempel lärares osäkerhet eller att lärares tid till planering är begränsad. Att utveckla
4
undervisningen så att den även tränar elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang, kan därför vara en utmaning för lärare av olika skäl. För att kunna utforma en undervisning som tränar elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang, behöver dock lärare olika kunskaper. Frågan är vilket stöd lärare har för att utveckla dessa kunskaper. Genom att bli medveten om vilket stöd som finns i lärarhandledningar för att utveckla elevernas muntliga förmåga samt vilka kunskaper en lärare kan utveckla genom lärarhandledningar, ökar möjligheten för lärare att ta vara på det stöd som lärarhandledningar erbjuder när de ska planera och genomföra undervisning som utvecklar elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang.
1.3 Syfte
Syftet med studien är att öka kunskapen om stödet som erbjuds i lärarhandledningar, med fokus på matematiska samtal och resonemang.
1.4 Frågeställning
Vilket stöd erbjuder lärarhandledningar läraren för att kunna utforma undervisningen så att elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang utvecklas?
5
2 Bakgrund
I följande kapitel ges en beskrivning av vilken betydelse lärarhandledningar kan ha för lärare samt hur lärarhandledningar i Sverige och internationellt ser ut.
2.1 Betydelse av lärarhandledningar
Läroboken utgör en central roll i matematikundervisningen i både Sverige och internationellt (Johansson, 2003). Som ovan nämnt är läroboken ofta en viktig resurs för läraren i matematikundervisningen och många lärare använder den som utgångspunkt i planeringen (Skolverket, 2009). Läroboken som material kan användas på olika sätt. Brown (2011) liknar användandet av läroboken med en jazzmusiker som framför en jazzlåt. Precis som att varje musiker utgår från samma notblad men gör sin egen tolkning av låten, används också samma lärobok på olika sätt av olika lärare.
Till läroboken finns oftast en lärarhandledning som erbjuder stöd till läraren på olika sätt. Till exempel menar Ball och Cohen (1996) att lärarhandledningen kan stötta läraren i dess kunskaper i ämnet samt stötta lärarna om hur läroboken kan användas i undervisningen, genom att diskutera alternativa sätt att representera en matematisk idé på och vilka kopplingar som finns mellan de olika idéerna.
Ytterligare ett exempel på hur lärarhandledningen kan stötta läraren menar Ball och Cohen (1996) är att den kan förbereda lärare på vilka tankar och idéer eleverna ofta har och ge ledning i hur de kan bemöta eleverna i deras olika tankar och idéer.
Lärarhandledningen kan också stötta läraren genom att presentera ett upplägg på undervisningen som gynnar både elevernas utveckling i ämnet och elevernas gemenskap i klassen (Ball & Cohen, 1996). Det kan till exempel handla om att ett visst innehåll med tillhörande aktiviteter lämpar sig i början av läsåret, då klassrumsklimatet håller på att byggas upp, och annat innehåll med aktiviteter passar längre fram under läsåret. Innehållet i lärarhandledningen är ofta indelat i olika kapitel och/eller lektionsplaneringar, vilket ger ett stöd till läraren i dess planering. Ball och Cohen (1996) menar dessutom att lärarhandledningarna skulle kunna ge ytterligare stöd om de inte bara instruerade läraren i vad den kan göra utan även diskuterade för- och nackdelar med olika representationer.
Lärarhandledningen kan också ge läraren ledning om hur den kan göra kopplingar mellan de olika områdena under läsåret. Det är dock inte säkert att planeringen och upplägget i lärarhandledningen tar hänsyn till läroplanens innehåll (Ball & Cohen, 1996).
6
2.2 Lärarhandledningar i Sverige och internationellt
Lärarhandledningar kan variera till både innehåll och kvalitet (Ahl, Hoelgaard och Koljonen, 2013). En del lärarhandledningar, åtminstone i svensk kontext, består till större delen av kopieringsmaterial medan andra har ett innehåll med noggrant genomarbetade didaktiska förslag för lärare att använda sig av i undervisningen.
Precis som att lärarna kan välja att använda läroboken på olika sätt i undervisningen, kan de också välja att använda sig av lärarhandledningar på olika sätt. I en studie av Ahl et al. (2014) där de undersökt hur fem lärare använder sig av lärarhandledningen kan vi få en inblick i hur olika de kan användas. Studien visar att nya och erfarna lärare använder lärarhandledningen olika. Nya lärare använder den främst som kompetensutveckling om hur eleverna tänker och lektionsplanering. Mer erfarna lärare använder handledningen mer som en idébank, där de hämtar inspiration till nya aktiviteter på lektionerna (Ahl et al., 2014). Resultaten kan inte generaliseras till alla lärare, men studien innefattar svenska lärare och kan därför utgöra ett exempel om hur lärarhandledningen används i Sverige.
De svenska lärarhandledningarna skulle kunna sägas utgöra en blandning av det handledningsmaterial som finns internationellt; Educative Curriculum Material (ECM) – Läromedelsmaterial för lärares lärande och Teacher Guides (TG) – Lärarhandledningar. Davis och Krajcik (2005) beskriver ECM som ”material som syftar till att stötta lärarens lärande utöver det eleven ska lära sig” (2005, s. 3, min övers.). ’Lärares lärande’ handlar här om att utveckla kunskaper om ämnet, undervisningen och lärandet samt om att kunna använda sig av dessa kunskaper i undervisningen med tillhörande arbetsuppgifter som planering, bedömning och samarbete med kollegor. ECM har därmed ett utbildande syfte: att utveckla lärarens förmåga att utforma undervisningen i ämnet, samt att ge läraren en mer generell kunskap som kan användas i olika situationer (Davis & Krajcik, 2005).
TG skiljer sig från ECM genom att de istället för att syfta till att utbilda lärarna, syftar de till att ge lärarna strategier för hur undervisningen kan utformas för att elevernas lärande ska optimeras. (Davis & Krajcik, 2005). Svenska lärarhandledningar kan precis som tidigare nämnts variera till sitt innehåll och de kan vara både mer och mindre lika TG eller ECM till innehållet.
7
3 Tidigare forskning
I kapitel 3 kommer jag både ta upp tidigare forskning om kunnandet i matematik och lärarhandledningar. Eftersom jag i studien har fokuserat på muntlig matematik, kommer jag att fördjupa mig i två av de kompetenser som har beskrivits i introduktionen: kommunikation och resonemang. Vidare kommer jag i detta kapitel att beskriva exempel på tidigare forskning om vilket stöd lärarhandledningar erbjuder läraren.
3.1 Kommunikation och resonemang
Att kommunicera i matematik och att föra matematiska resonemang kan ses som två olika delar av det matematiska kunnandet och den muntliga förmågan. Niss och Højgaard-Jensen (2002) har gjort en uppdelning av de åtta kronbladen i två grupper: ”at kunne spørge og svare i og med matematik” – att kunna ställa frågor och svara i och med matematik – och ”at kunne håndtere matematikkens sprog og redskaber” – att kunna hantera matematikens språk och redskap, se Figur 2. I den första delen, att kunna ställa frågor och svara i och med matematik, finns den så kallade Ræsonnementskompetence – resonemangskompetensen. I den andra delen, att kunna hantera matematikens språk och redskap, finns Kommunikationskompetence – kommunikationskompetensen, vilken är den första av de två förmågorna som beskrivs nedan.
3.1.1 Att kommunicera i matematik
Kommunikationskompetensen handlar enligt Niss och Højgaard-Jensen (2002, s. 60) om att kunna ”kommunikere i, med og om matematik”. Förmågan att kommunicera i, med och om matematik innebär dels att kunna framföra sina matematiska idéer, mer eller mindre preciserat, genom bland annat samtal, dels att kunna sätta sig in i och tolka andras matematiska idéer (Niss & Højgaard-Jensen, 2002). Kilpatrick et al. (2001) beskriver inte förmågan att kommunicera i matematik på samma explicita sätt som Niss och Højgaard-Jensen (2002) gör. De menar istället att det är ett steg på väg till att lära sig att föra så kallade anpassade resonemang (adaptive reasoning). De skriver att innan en elev kan börja förklara och argumentera om deras matematiska idéer, alltså föra matematiska resonemang, behöver de kunna prata om de olika begreppen och procedurerna. När de kan det, kan de sedan börja föra matematiska resonemang (Kilpatrick, 2001). Det kan jämföras med Niss och Højgaard-Jensens (2002) två delar av det matematiska kunnandet och deras två delar av den muntliga förmågan: att kunna hantera matematikens språk – kommunicera i matematik – och redskap och att kunna ställa frågor och svara i och med matematik – att föra matematiska resonemang.
8 3.1.2 Att föra matematiska resonemang
Att kunna föra matematiska resonemang (adaptive reasoning) menar Kilpatrick et al. (2001) är både en central och viktig del i matematiken. De beskriver matematiska resonemang som något som ”kopplas till förmågan att tänka logiskt om relationer bland begrepp och procedurer” (Kilpatrick et al., 2001 s. 129). Vidare beskriver Niss och Højgaard-Jensen (2002, s. 54) på liknande sätt det matematiska resonemanget som ”en kedja av argument”. Både Kilpatrick et al. (2001) och Niss och Højgaard-Jensen (2002) beskriver resonemangsförmågan i olika delar. En del handlar om att bevisa en persons arbete och en annan del handlar om att ge belägg för en persons arbete. Kilpatrick et al. (2001) beskriver att när någon ger belägg för ett arbete, handlar det om att den argumenterar för varför arbetet är korrekt. När ett arbete däremot bevisas, ges en fullständig redovisning av logiska argument till varför något är riktigt (Kilpatrick et al., 2001). Bevisföring är inget som ingår i grundskolans matematik idag, men båda sätten att resonera på är viktiga i matematik.
Även om Kilpatrick et al. (2001) och Niss och Højgaard-Jensen (2002) beskriver vad ett matematiskt resonemang är på ett liknande sätt, lägger de vikt vid olika aspekter av det matematiska resonemanget och vad den förmågan innebär. I resonemangskompetensen lägger Niss och Højgaard-Jensen (2002) större vikt vid att eleverna kan följa och bedöma resonemang och förstå vad ett bevis är än att själv kunna föra resonemanget. Kilpatrick et al. (2001) lyfter däremot förmågan att kunna föra matematiska resonemang hos eleven själv som en viktig del, då eleven inte nödvändigtvis behöver fråga läraren eller fråga en kompis när den inte håller med om ett svar, utan själv kan se efter om resonemanget håller.
Ofta stannar definitionen av matematiska resonemang vid att ge belägg för eller bevisa en persons arbete, men både Kilpatrick et al. (2001) och Niss och Højgaard-Jensen (2002) sträcker sig längre än så. De menar att även informella förklaringar och belägg samt intuitiva resonemang räknas in i kompetensen och Kilpatrick et al. (2001) menar att de informella inslagen som mönster och andra representationer, blir ’” verktyg att tänka med”’ och fungerar då ofta som källor till bland annat hypoteser, problemlösnings-tekniker och som stöd för lärande (Kilpatrick et al., 2001, s. 129).
För att eleverna ska kunna utveckla förmågan att föra matematiska resonemang behöver då läraren skapa ett tillåtande klassrumsklimat där eleverna kan pröva sina idéer utan att någon fördömer dem. Likaså behöver läraren skapa många tillfällen för eleverna att träna på att både samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang.
9
3.2 Några exempel på tidigare forskning om lärarhandledningar
Läromedel som helhet och även lärarhandledningar specifikt har undersökts både nationellt och internationellt. I en studie där Hemmi, Koljonen, Hoelgaard, Ahl och Ryve (2103) har studerat skillnaden mellan två svenska lärarhandledningar och två finska lärarhandledningar, framgår att stödet lärarhandledningarna erbjuder varierar i stor utsträckning när det kommer till en del av det innehåll i lärarhandledningen som Ball och Cohen (1996) beskriver som stöd för läraren. Till exempel fanns inget stöd utöver själva utformandet av undervisningen i en av lärarhandledningarna, medan det som kontrast regelbundet förekom information om hur eleverna tänker och hur läraren kan bemöta i en annan.
En isländsk studie där fyra lärarhandledningar är analyserade av Gunnarsdóttir och Pálsdóttir (2014) presenteras liknande resultat. I två av lärarhandledningarna förekommer regelbundet beskrivningar av elevers tankar och hur läraren kan bemöta, medan samma stöd finns i mindre utsträckning i två av lärarhandledningarna. I en svensk studie av lärarhandledningar konstaterar även Hoelgaard (2015) att lärarhandledningar ser mycket olika ut i de olika läromedelsserierna och erbjuder läraren olika slags stöd. Hon menar ändå att lärarhandledningar har potential att utgöra en resurs för läraren i utformandet av undervisningen, men att potentialen varierar i både utsträckning och form.
Resultaten från studier visar att lärarhandledningar varierar i vilket stöd de erbjuder lärare. Det innebär att lärarhandledningar inte nödvändigtvis stöttar läraren i de kunskaper läraren behöver för att undervisa i matematik. De ovan nämnda studierna har riktat in sig på lärarhandledningarnas stöd till lärarna för att stötta dem att utveckla elevernas matematikkunnande i sin helhet, utan att fokusera på någon särskild förmåga. Denna studie bidrar med kunskap om vilket stöd lärarhandledningarna erbjuder lärarna för att de ska kunna utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang.
10
4 Teori
Den kunskap en lärare behöver i sitt klassrum är mångfacetterad. Att leda ett lärande i klassrummet kräver såväl pedagogiska kunskaper som ämneskunskaper (Shulman, 1987). Det för att kunna bemöta den stora variation elever som finns i skolan och utforma undervisningen därefter. I utformandet av undervisningen behöver läraren ha kunskap om hur elever lär sig och om vanliga misstag och missförstånd som uppstår vid lärandet (se exempelvis Ball, Thames & Phelps, 2008). Genom att vara förberedd som lärare kan missförstånd tidigt elimineras och misstag vändas till en lärdom.
Läraren måste vidare veta vilket innehåll som ska läras ut och vad syftet med undervisningen är i skolan. Det står beskrivet i läroplanen (se Skolverket, 2019) och är något läraren måste sätta sig in i. Läroplanen grundar sig på skollagen (se SFS 2010:800), som beskriver vilka lagar och regler läraren har att förhålla sig till i sitt arbete – något som också räknas till de kunskaper en lärare måste ha (se Niss & Højgaard Jensen, 2002). Vilka kunskaper eller kompetenser en lärare och vidare en matematiklärare behöver besitta, har beskrivits på olika sätt. Nedan beskrivs tre ramverk över vilka kunskaper en lärare behöver ha samt på vilket sätt lärarhandledningar kan fungera som fortbildning för lärarna.
4.1 Shulmans beskrivning av lärarens kunskaper
Redan på 80-talet sammanfattade Shulman (1987) de nödvändiga kunskaper en lärare behöver ha. Han ställde frågan: Vilka kategorier av kunskap han skulle finna i en handbok över lärarens kunskaper, hur skulle de se ut? Han kom fram till att de åtminstone skulle inkludera följande:
- kunskap om innehållet (content knowledge/subject matter knowledge) - generella pedagogiska kunskaper om hur man organiserar undervisningen i
klassrummet
- kunskap om läroplanen (curriculum knowledge)
- ämnesdidaktisk kunskap (pedagogical content knowledge, PCK), den ämneskunskap som är speciell för lärare och för att kunna undervisa elever - kunskap om elevernas lärande
- kunskap om utbildningens sammanhang, utbildningskedjan i samhället, hur skolan finansieras, skolans styrning och så vidare
- kunskap om utbildningens syfte, värden och ändamål, men också utbildningens historiska och filosofiska grunder (Shulman, 1987 s. 8)
11
Av dessa sju kategorier ser han en kategori som är av speciellt intresse i läraryrket: ämnesdidaktisk kunskap (Shulman, 1987). Shulman menar att den ämnesdidaktiska kunskapen är en sammangjutning av ämneskunskaper och pedagogik och att den är lärarens unika och speciella kunskap för yrket (Shulman, 1987). Den handlar bland annat om att veta hur innehållet på bästa sätt kan representeras, vilka bilder, jämförelser och exempel som får eleverna att förstå innehållet. Ämnesdidaktik handlar om att ha en bred uppsättning av representationer, eftersom det inte finns en bästa metod, utan flera framgångsrika metoder. Dessa metoder eller representationer är inte bara framtagna ur forskning, utan till dem räknas också representationer som framarbetats genom erfarenhet och skicklighet i undervisningen (Shulman, 1986).
4.2 MKT-ramverket
Ball et al. (2008) har utifrån Shulmans (1986) tre ursprungliga kategorier ämneskunskaper, ämnesdidaktiska kunskaper och kunskaper om läroplanen, utformat ett ramverk för matematik, det så kallade MKT-ramverket – Mathematical Knowledge for Teaching – matematiska kunskaper för undervisning. Ramverket illustreras ofta som ett ägg och beskriver lärarens kunskaper i matematik utifrån ämnet i dess sammanhang(se Figur 3).
Figur 3: Ball et al. (2008, s. 403) illustrerar det så kallade MKT- ramverket som ett ägg, utifrån Shulmans (1986) ursprungliga ramverk.
Ämneskunskaperna och de ämnesdidaktiska kunskaperna har delats upp i underkategorier där Shulmans (1986) tredje kategori, läroplanskunskapen, är en av dem. Ball et al. (2008) har delat in ämneskunskaperna i allmän matematisk kunskap (CCK), speciell matematisk kunskap som behövs i undervisningssammanhang (SCK) och kunskap om hur ämnets progression ser ut på
12
sikt (Horizon content knowledge). De ämnesdidaktiska kunskaperna är indelade i ämneskunskaper kopplade till kunskap om elever (KCS), ämneskunskaper kopplade till undervisning (KCT) och Shulmans (1986) tredje kategori, läroplanskunskapen.
4.3 Det danska ramverket
Niss och Højgaard Jensen (2002) har valt ett annat perspektiv på lärarens kunskaper för undervisning i matematik. De har delat upp lärarens kunskaper i olika kompetenser, vilka de har kategoriserat i tre delar. Den första delen handlar om mer generella kompetenser som skulle kunna överföras till andra ämnen, likt kunskap om läroplanen (se Ball et al., 2008; Shulman, 1987) och ’generella pedagogiska kunskaper om hur undervisningen organiseras i klassrummet’ (Shulman, 1987). Andra exempel på kompetenser i den första delen är samarbetsförmåga och bedömning av elevers lärande.
Den andra delen handlar om lärarens matematiska kompetenser kopplat till undervisning, med utgångspunkt i de åtta matematiska kompetenserna (se kapitel 1). Denna del har stora likheter med ’kunskap om innehållet’ och ’ämnesdidaktisk kunskap’ (Shulman, 1987) samt delar av MKT-ramverket (Ball et al., 2008) som allmän matematisk kunskap, speciell matematisk kunskap som behövs i undervisningssammanhang och ämneskunskaper kopplade till undervisning. Niss och Højgaard Jensen (2002) menar att alla matematiklärare, oavsett nivå, måste ha en överkunskap i matematik i förhållande till innehållet de undervisar om, alltså goda kunskaper om innehållet, samt en didaktisk och pedagogisk kompetens för varje matematisk kompetens – ämnesdidaktisk kompetens.
Dock går Niss och Højdaal Jensens (2002) beskrivning längre i sin beskrivning av den ämnesdidaktiska kompetensen. Utifrån de åtta matematiska kompetenserna är lärarens förmåga att föra matematiska resonemang och att lära elever att föra matematiska resonemang samt kommunicera med eleverna i matematik viktiga kompetenser.
I resonemangskompetensen behöver läraren kunna se bortom sina egna argument för att kunna följa, karaktärisera, kommentera, bedöma och utveckla elevernas resonemang. Då elevernas resonemang ofta är fragmentariska behöver läraren kunna ta vara på elevernas argument i resonemangen och kunna använda deras bidrag konstruktivt. Det innebär att lärarens behöver kunna stötta eleverna genom att omforma resonemanget och göra det skarpare (Niss & Højgaard Jensen, 2002).
I kommunikationskompetensen handlar det till största del om att kunna kommunicera med elever. Kompetensen att kommunicera med eleverna i undervisningen innefattar dels förståelse
13
om vad eleverna menar i deras kommunikation, skriftlig såväl som muntlig, dels lärarens förmåga att uttrycka sig till eleverna. Vidare innebär kompetensen att kunna uttrycka sig med ett korrekt ämnesspråk och att vara precis i sin kommunikation, oavsett om det handlar om skrift, bild eller tal (Niss & Højgaard Jensen, 2002).
Slutligen handlar den tredje delen om lärarens kompetens om ämnet som helhet, till exempel kunskap om matematikens användningsområden och historiska aspekter. Denna kompetens liknar ’kunskap om utbildningens syfte, värden och ändamål, men också utbildningens historiska och filosofiska grunder’ i Shulmans (1987) ramverk. I MKT-ramverket finns inte samma explicita kategorier om matematikens användningsområden och historiska aspekter, men kunskap om matematikens användningsområden kan ändå till viss del liknas med allmän matematisk kunskap (CCK). De historiska aspekterna ses däremot inte som en betydande del i MKT-ramverket över vilka nödvändiga kunskaper läraren behöver för att undervisa i matematik (se Ball et al., 2008).
4.4 Lärarhandledning som fortbildning
Davis och Krajcik (2005) har forskat om på vilket sätt lärarhandledningar (ECM) bör utformas för att de ska erbjuda lärarna fortbildning, alltså erbjuda lärare möjlighet att utveckla ’lärares lärande’, som tidigare nämnt. I deras studie har de utvecklat fem riktlinjer till lärarhandledningar i naturvetenskap, vilka är viktiga för kvaliteten i lärarhandledningen. De fem kategorierna baseras på tidigare forskning (Ball & Cohen, 1996; Collopy, 2003; Heaton, 2000; Remillard, 2000; Schneider & Krajcik, 2002; Wang & Paire 2003; Petish, 2004; Shkedi, 1998; Brown & Edelson, 2003; Ben-Peretz, 1990; Clandinin & Connelly, 1991; Bridgeham, 1971; Brown & Campione, 1996; Hubisz, 2003; Kesido & Roseman, 2002; Barab & Luehmann, 2003).
Den första riktlinjen handlar om att det bör finnas beskrivningar om hur elever tänker eller vad elever vanligtvis gör när de tar sig an en uppgift. Vidare behöver det beskrivas varför missuppfattningar sker och hur läraren kan hantera dessa. Ytterligare en del av den första riktlinjen handlar om ett pedagogiskt stöd till läraren i undervisningen och kunskap om hur den kan representera undervisningen på olika sätt, genom exempelvis jämförelser och diagram (Davis & Krajcik, 2005).
Den andra riktlinjen handlar om att det behöver finnas stöd i form av ämneskunskaper, så som begrepp och fakta, men också metoder i ämnet (Davis & Krajcik, 2005).
14
Den tredje riktlinjen handlar om progressionen i ämnet, i vilken ordning olika ämnesområden kan vara lämpliga att ta upp och kopplingar mellan dem (Davis & Krajcik, 2005).
Den fjärde riktlinjen handlar om att göra läromedlets pedagogiska syfte synligt för lärarna för att de ska kunna använda materialet på ett flexibelt sätt. Kombinationen av aktiviteter och deras pedagogiska syfte ger lärarhandledningen en fortbildande roll där lärarna utvecklar sin pedagogiska förmåga i ämnet – en koppling mellan teori och praktik. I en lärarhandledning där endast beskrivning av aktiviteter förekommer utan syfte och bakomliggande idéer, utökas i första hand lärares repertoar av aktiviteter och inte lärares förmåga att använda aktiviteter på ett framgångsrikt sätt (Davis & Krajcik, 2005).
Den femte riktlinjen handlar om design av klassrumspraktik, att stötta läraren i utformandet av undervisningen för att nå undervisningens mål. Riktlinjen innefattar även möjligheter att anpassa uppgifter eller aktiviteter efter de elever som finns i klassen (Davis & Krajcik, 2005).
4.5 Davis och Krajciks fem riktlinjer med koppling till andra ramverk
Hemmi et al. (2013) har funnit att de fem riktlinjerna är användbara för att analysera lärarhandledningar i svensk och finsk kontext (se studien ovan), och de har utifrån Davis och Krajciks (2005) riktlinjer utarbetat ett analysverktyg inför en studie av svenska och finska lärarhandledningar i matematik. De fem riktlinjerna från Davis och Krajcik (2005) har stora likheter med de ramverksexempel jag har tagit upp tidigare.
Hemmi et al. (2013) har i sin analys av lärarhandledningar använt sig av specifika kategorier utifrån riktlinjerna, vilka också har stora liknelser med de tre ovan nämnda ramverkexemplen. Allmän kunskap om eleves tankar och strategier kan jämföras med kunskap om elevers lärande som både Shulman (1987) och Ball et al. (2008) har som kategori.
Begrepp och fakta kan jämföras med ämneskunskaper, vilka finns i alla de tre ovan nämnda ramverken. Niss & Højgaard Jensen (2002) betonar särskilt att läraren måste ha en överkunskap av ämneskunskaper för att kunna undervisa i matematik.
I kategorin Kunskap om ämnets progression och matematiska kopplingar finns likheter med kategorin Kunskap om hur ämnets progression ser ut på sikt, i ramverket av Ball et al. (2008). Vidare kan kategorin Koppling mellan teori och praktik, som handlar om att främja lärarens autonomi bortom läromedlet på olika sätt, jämföras med Ämneskunskaper kopplade till undervisningen från MKT-ramverket av Ball et al. (2008) och Shulmans (1987) kategori om ämnesdidaktiska kunskaper. Koppling mellan teori och praktik kan även jämföras med samtliga tre ramverk gällande kunskaper om läroplanen.
15
Utformning av undervisningen kan jämföras med Shulmans (1987) ämnesdidaktiska kunskaper, ämneskunskaper kopplade till undervisningen från MKT-ramverket av Ball et al. (2008) och även till viss del med Niss & Højgaard Jensens (2002) generella kompetens, som handlar om att kunna utforma undervisningen.
16
5 Metod
För att ta reda på vilket stöd lärarhandledningar erbjuder lärarna för att utöka sin kunskap om att utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang kan man använda olika metoder. Matematiklärare på mellanstadiet skulle kunna svara på en enkät, vilket skulle ge en inblick i hur en större grupp lärare upplever lärarhandledningar och vilket stöd de erbjuder. Intervjuer kan ge en mer nyanserad bild av lärarnas erfarenhet, och genom ett strategiskt urval kan specifika lärarhandledningar belysas. Dessa metoder har en fokus på lärarnas upplevelser.
I min studie vill jag däremot ta reda på vad som erbjuds, inte vad som upplevs av lärare. Jag har därför valt att genomföra en innehållsanalys av lärarhandledningar i några av de läromedelsserier som används i svensk skola för att ta reda på vilket stöd lärarhandledningar erbjuder lärare för att utöka sin kunskap om att utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang. Jag får därmed inte svar på frågan hur detta stöd upplevs, men får en inblick i hur stödet ser ut. I kapitlet beskrivs hur innehållsanalysen har gått till, analysverktyget jag har använt samt studiens validitet och reliabilitet.
5.1 Innehållsanalys
Innehållsanalys är en forskningsteknik där – precis som namnet beskriver – ett innehåll analyseras och det utifrån två kvaliteter; objektivitet och systematik (Bryman, 2016). Objektiviteten handlar om att analysen av ett material görs med hjälp av ett kodningsschema där en kodningsmanual tydligt specificerar kategorierna i förväg. Genom att kategorierna är tydligt specificerade och forskaren skapar tydliga instruktioner om hur analysen ska gå till, minimeras utrymmet för egna tolkningar hos forskaren och studien blir därmed objektiv (Bryman, 2016).
Systematiken handlar om att forskaren tillämpar reglerna på ett konsekvent sätt för att så långt som möjligt undvika skevheter i bedömningen (Bryman, 2016).
Oavsett vad som ska undersökas följer innehållsanalysen ”en logisk och relativt enkel procedur” som Denscombe (2012, s. 307) beskriver det. Det första steget handlar om att göra ett urval av de texter eller annat material som ska analyseras utifrån tydliga kriterier. I mitt fall utgör kriteriet att det ska vara lärarhandledningar i årskurs 5 till läromedel som har skrivits efter att Lgr11 började gälla. Lärarhandledningar från fyra läromedelsserier har valts till analysen.
17
Det andra steget handlar om att ”[bryta] ner texten i mindre enheter” (Denscombe 2012, s. 307). Jag har valt att varje stycke/text under rubrik/faktaruta ska utgöra de mindre enheterna. Med text under rubrik menas att flera fakta kan vara uppräknade under en rubrik och då i två eller flera stycken. Texten under en rubrik blir då likt en faktaruta, som analyseras som en fakta, och därför analyseras även motsvarande text på samma sätt. Ett exempel på text under rubrik i Favorit matematik är:
Kunskapsbank
Geometri kan delas in i plangeometri och rymdgeometri. Plangeometri undersöker plana figurer som har längd och bredd, men ingen höjd som sträcker sig upp från ytan. Rymdgeometri undersöker geometriska kroppar deras egenskaper.
Linjer, strålar och sträckor kan namnges på två olika sätt…
… En polygon är ett enhetligt streck som består av flera efterföljande linjer. En polygon kan vara öppen eller sluten.
(Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2015, s. 121)
Exemplet visar text under rubrik där fakta om plan- och rymdgeometri, linjer strålar och sträckor samt om polygon tas upp i tre stycken, men som i analysen kategoriseras som en fakta. Vidare benämner jag stycke/text under rubrik/faktaruta som stycke.
Det tredje steget handlar om att skapa kategorier för analysen av data. När kategorierna skapas är det viktigt att forskaren har en tydlig bild över vilka typer av kategorier som behövs för undersökningen (Denscombe, 2012). I mitt fall har jag utgått från ett befintligt analysverktyg och utvecklat det något (se nedan).
Nästa steg är att göra första delen av analysen, där enheterna placeras in i de olika kategorierna (Denscombe, 2012). Jag har studerat i vilken utsträckning de olika kategorierna förekommer i de olika lärarhandledningarna och har därför satt ett streck i kodningsschemat (se nedan) för varje gång en enhet finns inom respektive kategori. Till ett par av kategorierna har ytterligare riktlinjer eller regler behövts konstrueras för att minimera tolkningsutrymmet, vilket Bryman (2011) menar gör studien mer objektiv.
Vidare räknas antalet förekomster i de olika kategorierna. Slutligen görs den andra delen i analysen, analys av de olika resultaten. (Denscombe, 2012). I mitt fall handlar de om, som ovan
18
nämnt, att analysera och se vilket stöd lärarna erbjuds genom lärarhandledningarna för att utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang.
5.2 Val av lärarhandledningar
De lärarhandledningar jag är intresserad av att studera är de som hör till de läromedel som används i stor utsträckning i svenska skola. Då det inte finns någon lista över detta har jag valt att utgå från tidigare forskning om lärarhandledningar i Sverige.
Två studier, Hemmi et al. (2013) och Hoelgaard (2015), ligger till grund för valet av två av fyra lärarhandledningar. Deras studier utfördes på de vanligaste lärarhandledningarna i årskurs 1 – 3. Det finns ingen garanti för att samma läromedel är vanligast i årskurs 4 – 6. Dock finns oftast läromedlet även för årskurs 4 – 6 vilket innebär att det kan vara så att läromedlet används i liknande utsträckning på mellanstadiet.
I båda studierna har Matte Eldorado och det finska läromedlet Favorit matematik studerats och de blir då det två första lärarhandledningarna till studien.
Det tredje läromedlet är valt utifrån att det användes under två av de tre VFU:er jag var på i olika kommuner. Det läromedlet heter Koll på matematik.
Det fjärde läromedlet är valt utifrån att det också är gjort efter Lgr11 och att det fanns tillgängligt på Karlstads universitet. Det läromedlet är från Liber och böckerna för mellanstadiet heter Matematikboken Alfa/Beta/Gamma.
I tre av fyra läromedelsserier finns två elevböcker och två lärarhandledningar till varje läsår. I den fjärde läromedelsserien, från Liber, finns däremot endast en elevbok och en lärarhandledning till varje läsår. Då jag har valt att analysera lärarhandledningar för en termin i årskurs 5, innebär det att tre hela lärarhandledningar; Koll på matematik 5A, Matte Eldorado 5A och Favorit matematik 5A, har analyserats, samt kapitel 1–3 av sex kapitel i Matematikboken Beta, som är för årskurs 5. Nedan ges en kort beskrivning av respektive lärarhandledning.
5.2.1 Koll på matematik
Koll på matematik (KPM) är ett svenskt läromedel från 2015 och finns för årskurs 1 – 6. Lärarhandledningen KPM 5A består av ett inledande kapitel på 6 sidor, fem kapitel till elevboken, extramaterial, kopieringsunderlag, matriser för självbedömning, kapiteltest med matris och övergripande planering för varje kapitel. Totalt består lärarhandledningen av 192
19
sidor, varav 122 sidor har analyserats. De sidor som ej har analyserats är kapiteltesten med matriser samt extramaterialet till grundkursen.
5.2.2 Matte Eldorado
Matte Eldorado (ME) är en läromedelsserie som sträcker sig från förskoleklass till årskurs 6 och har funnits sedan 2012. Lärarhandledningen ME 5A består av ett inledande kapitel på 27 sidor, prov och material för elevuppföljning, fyra kapitel till elevboken, extrauppgifter, kopieringsunderlag samt facit till kopieringsunderlaget. I studien har jag analyserat 156 av de 238 sidorna. De sidor som ej har analyseras är prov, material för elevuppföljning, extrauppgifter, kopieringsunderlag samt facit till kopieringsunderlaget.
5.2.3 Favorit matematik
Favorit matematik (FM) är ett finskt läromedel där lärarhandledningen för årskurs 5 i svensk version är från 2016. Hela serien sträcker sig från årskurs 1–9. Lärarhandledningens upplägg skiljer sig från både KPM och ME genom att bokens fyra kapitel är uppdelade i lektionsplaneringar med aktiviteter, instruktioner och fakta till läraren. Till varje kapitel finns också extra uppgifter, dessa finns dock endast som förhandsvisning i lärarhandledningen, men finns tillgängligt i digital form.
Bokens inledande kapitel är endast 2 sidor. Utöver lektionsplaneringar innehåller lärarhandledningen även prov, facit och bedömningsunderlag. I studien har jag analyserat 190 av lärarhandledningens 264 antal sidor. De sidor som ej har analyserats är extrauppgifter, prov, facit och bedömningsunderlag.
5.2.4 Matematikboken Beta
Matematikboken Beta (MB) tillhör en läromedelsserie som sträcker sig från förskoleklass till årskurs 9. Lärarhandledningen består av 192 sidor, där det inledande kapitlet utgör 8 av dem. I kapitel 2 finns 32 sidor med kommentarer till kapitel 1–6 i elevboken. Ytterligare 3 sidor finns inför de arbetsblad som antingen fungerar som komplement till elevboken eller som förslag till kommentarerna i kapitel 2. Övriga sidor består av arbetsblad, läxor, prov, diagnoser, bedömningsunderlag samt facit och utgör 157 av sidorna i lärarhandledningen.
Totalt har 35 av lärarhandledningens 192 sidor analyserats i MB. De sidor som ej har analyserats är kopieringsunderlag, arbetsblad, läxor, prov, diagnoser, bedömningsunderlag, facit och sidorna till kapitel 4–6.
20 5.3 Analysverktyg
I kapitel 5.3 presenteras det analysverktyg jag har använt och hur det har använts i analysen.
5.3.1 Ursprungligt analysverktyg
Det ursprungliga analysverktyget har fem kategorier. Första kategorin handlar om elevers tankar och strategier och är uppdelad i 1a och 1b. I 1a beskrivs elevers tankar och strategier och varför elever kan ha vissa idéer om matematiska begrepp och i 1b handlar det om hur läraren kan bemöta dessa och förhindra att de uppstår framöver (Hemmi et al., 2013).
Kategori 2 handlar om begrepp och fakta inom matematik, vilket innefattar både historiska aspekter, användningsområden och metoder samt härledning, bevis och korrekt terminologi (Hemmi et al., 2013).
Den tredje kategorin handlar om den matematiska progressionen över läsåret/årskurser och matematiska kopplingar mellan olika matematiska områden (Hemmi et al., 2013).
Kategori 4 handlar om att stötta lärarens autonomi genom att beskriva syftet med läromedlet. Det kan handla om att koppla läromedlet till centrala tankar och mål i styrdokument eller till forskning (Hemmi et al., 2013).
Den femte kategorin handlar om att stötta lärarens förmåga att utforma och planera undervisningen genom förslag på aktiviteter, formativ bedömning, individualisering och läxor (Hemmi et al., 2013).
5.3.2 Utvecklat analysverktyg
Analysverktyget ovan har jag utvecklat något och tagit med ytterligare en aspekt från Davis och Krajciks (2005) första riktlinje – tips på representationer läraren kan använda i undervisningen – eftersom det är en viktig kunskap läraren behöver besitta (Shulman, 1987).
Vidare har jag delat in tre av kategorierna, kategori 2, 4 och 5, i underkategorier för att få en större inblick i hur stödet ser ut. Kategori 2, Begrepp och fakta, har delats in i underkategorierna Uträkningar och Fakta i text.
Kategori 4, Koppling mellan teori och praktik, har delats in i underkategorierna Koppling mellan innehåll och praktik, Koppling mellan innehåll och styrdokument samt Koppling mellan innehåll och forskning (se Figur 4). Underkategori Koppling mellan innehåll och praktik har jag valt att tolka utifrån Davis och Krajciks (2005) fjärde riktlinje som är kopplad till kategori 4. Där beskriver de att lärarhandledningen ska ’”tala till”’ läraren om syftet med uppgifterna, snarare än att bara säga hur lärarna ska göra (Davis och Krajcik, 2005, s. 5). Jag har därför haft
21
det som utgångspunkt i min analys – att det handlar om beskrivningar av syftet till de aktiviteter som läraren instrueras till, även aktiviteter som inte är kopplade till samtal och resonemang.
Kodningsschema, kategori 1 – 4
Kategori Kategorier för dataanalysen Frekvens av
förekomster
1a) Allmän kunskap om elevers tankar och strategier
Beskriver varför elever kan ha vissa idéer om matematiska begrepp och exemplifierar gemensamma strategier bland elever (övers. Hoelgaard, 2015).
a) 1b) Förslag på hur man kan
möta elevers tankar och strategier
Ger förslag på hur man hanterar och stöttar elevers olika idéer och strategier samt hur man kan förbättra deras lärande och förhindra framtida problem och missuppfattningar (övers. Hoelgaard, 2015).
b) 1c) Tips på representationer
av innehållet
Ger förslag på hur läraren kan representera undervisningen med hjälp av jämförelser, modeller eller diagram (Davis & Krajcik, 2005). c)
2) Begrepp och fakta a) Uträkningar
b) Fakta i text/uträkning med förklaring
Beskriver begrepp och fakta inom matematik såsom historiska aspekter, användningsområden, härledning, metoder, bevis, korrekt terminologi (övers. Hoelgaard, 2015).
a) b) 3) Progression och
matematiska kopplingar
Beskriver den matematiska progressionen över läsåret/årskurser samt samband mellan matematiska områden t.ex. genom att förklara framtida utveckling av metoder eller begrepp (övers. Hoelgaard, 2015).
4) Koppling mellan teori och praktik
a) Innehåll och praktik b) Innehåll och styrdokument c) Innehåll och forskning
Motiverar bakomliggande teori för att främja lärarens autonomi bortom läromedlet t.ex. genom att exponera centrala tankar och mål
presenterade i de nationella styrdokumenten samt forskningsresultat (övers. Hoelgaard, 2015).
a) b) c)
Figur 4: Fyra av fem kategorier i analysverktyget från Hemmi et al. (2013) med extra underkategorier.
Kategori 5, Utformning av undervisningen, har delats upp i underkategorierna Aktiviteter, Bedömning, Planering och Samtal som individualisering eller tips till samtal. Som aktivitet räknas här spel eller andra aktiviteter som är tänkta att göra tillsammans i par/mindre grupp och där matematiska samtal bedömts förekomma. Samtal i helklass räknas också som en aktivitet. Vidare har jag dokumenterat aktiviteter som förklaras/instrueras i lärarhandledningen men som finns i elevboken för sig och aktiviteter som endast finns i lärarhandledningen för sig. Inom båda dessa kategorier har jag även analyserat om aktiviteten till största del tränar elevernas samtalsförmåga eller resonemangsförmåga i matematik.
Kodningsschema, kategori 5
Ett motsvarande kodningsschema har även använts för aktiviteter som enbart finns i lärarhandledningen.
22
Kategori Beskrivning av kategori Frekvens av förekomster
5) Utformning av
undervisning Aktiviteter som finns i elevboken och som förklaras/instrueras i handledningen
FÖRMÅGOR SOM TRÄNAS
Samtala med och om matematik
Föra matematiska resonemang
a) Aktiviteter Förslag på aktiviteter som kan användas för att utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt föra matematiska resonemang
b) Bedömning Stöd för formativ bedömning av elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt föra matematiska resonemang
c) Planering Stöd för planering av aktiviteter som syftar till att utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt föra matematiska resonemang
d) Samtal som individualisering eller tips till samtal
Tips om att samtala med eleverna för elever som har svårt att förstå innehållet samt tips om hur läraren kan utforma samtalen med eleverna
Figur 5: Kategori fem från analysverktyget av Hemmi et al. (2013) utifrån vilka förmågor som tränas och med extra underkategorier.
5.3.3 Analysverktyget med koppling till forskningsfrågan
Genom kategori 1 (a – c), 3 och 4 (a – c) framgår i vilken utsträckning lärarhandledningarna erbjuder stöd i form av ämnesdidaktiska kunskaper som kunskap om elevers tankar, hur de bemöts, hur lärare kan representera undervisningen generellt, i vilken utsträckning syftet med aktiviteterna beskrivs, samt koppling till styrdokument och forskning.
De ämnesdidaktiska kunskaperna behöver lärare ha för att dels kunna undervisa i ämnet generellt (Shulman, 1987) och dels för att kunna möta eleven i samtal och diskussioner samt kunna använda aktiviteterna på ett framgångsrikt och ändamålsenligt sätt (se Ball et al., 2008). Lärare behöver också ha kunskap om läroplanen och se till att eleverna får den undervisning de ska, för att de ska utveckla förmågan att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang.
Genom kategori 2 (a – b) framgår i vilken utsträckning lärarhandledningarna erbjuder stöd i form av ämneskunskaper. Att lärare behöver ämneskunskaper, vilka i det här fallet är matematiska kunskaper, är något som både Shulman (1987), Niss & Højgaard Jensen (2002)
23
och Ball et al. tar upp i sina ramverk. Eftersom det är det matematiska innehållet som matematiska samtal och resonemang handlar om, behöver lärare även ha goda ämneskunskaper för att kunna leda och träna eleverna i matematiska samtal och resonemang.
Slutligen framgår i kategori 5 (a – d) vilket ämnesdidaktiskt stöd lärarna erbjuds i form av utformning av undervisningen genom aktiviteter där eleverna tränar förmågan att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang, stöd i planeringen av dessa aktiviteter, tips om hur elevernas muntliga förmåga kan bedömas samt samtal som ett sätt att individualisera undervisningen.
5.4 Validitet, reliabilitet och forskningsetik 5.4.1 Validitet
För att säkerställa validiteten i studien menar Kihlström (2007) att en vetenskapligt skolad person kan granska undersökningsinstrumentet samt testa undersökningsinstrumentet i en pilotstudie. Jag har både låtit en vetenskapligt skolad person granska undersöknings-instrumentet, som jag har benämnt analysverktyg, och testat verktyget i en pilotstudie. Efter granskningen och pilotstudien togs några kategorier bort som inte var nödvändiga för studien. Sedan gjorde jag en testomgång med de olika lärarhandledningarnas inledande kapitel och ett halvt till ett kapitel till elevboken. Detta gjordes både för att testa ändringarna men också för att lärarhandledningarna såg mycket olika ut. Under testomgången utformades riktlinjer som behövdes för att kunna genomföra analysen på ett objektivt sätt. En sådan riktlinje var till exempel att en aktivitet som är beskriven i det inledande kapitlet där det framgår att aktiviteten kan/uppmanas till att träna elevernas muntliga förmåga, men inte beskrivs vidare när aktiviteten förekommer i de olika kapitlen, räknas som en aktivitet som tränar elevernas muntliga förmåga. Efter testomgången lades en kategori till: pedagogiska tips till samtal eller samtal som stöd och därefter genomfördes analysen av hela lärarhandledningarna. Under analysen skapades ytterligare några riktlinjer när enheter uppkom som inte kunde placeras med hjälp av tidigare riktlinjer. Ett exempel på en sådan riktlinje är att göra räknehändelser vilket kategoriseras som att samtala med och om matematik. Likaså att diskutera matte i vardagen. Riktlinjerna skapades för att stärka validiteten i den fortsatta analysen. Samtliga riktlinjer finns i Bilaga A.
5.4.2 Reliabilitet
För att stärka reliabiliteten, eller tillförlitligheten, i innehållsanalysen kan den göras två gånger, antingen av samma forskare eller ännu bättre, en andra gång utav en utomstående forskare. Det
24
kan minimera att en svårplacerad enhet slumpmässigt hamnar i en viss kategori. Ju större likheter det finns mellan de båda kategoriseringarna, desto mer tillförlitlig är analysen (Jacobsen, 2017). Då detta är en mindre studie i form av examensarbete har analysen av hela lärarhandledningarna gjorts en gång.
För att stärka reliabiliteten har jag istället tagit hjälp av en vetenskapligt skolad person då en enhet varit svårplacerad. Till exempel uppkom oklarheter om hur samtalsbilderna skulle kategoriseras, då de såg mycket olika ut, samt huruvida enheter skulle placeras in i kategori 4 eller ej, likaså huruvida enheter skulle placeras in i kategori 2 eller ej. Efter samråd med en vetenskapligt skolad person kategoriserades de samtalsbilder om som vi kommit fram till var felkategoriserade. Kategori 2 och 4 studerades mer ingående och kategorierna definierades tydligare. Sedan analyserade jag om kategori 2 och 4 i samtliga lärarhandledningar.
5.4.3 Forskningsetik
När forskning bedrivs finns det vissa forskningsetiska principer som ska följas. De handlar om att när personuppgifter på något sätt behandlas måste informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet uppfyllas. Då inga personuppgifter behandlas i denna studie, behöver inte dessa krav uppfyllas.
25
6 Resultat
För att besvara min frågeställning om vilket stöd lärarhandledningarna erbjuder lärarna för att de ska kunna utveckla elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt att föra matematiska resonemang, presenteras i kapitel 6.1, 6.2 och 6.3 resultaten i följande teman: Utformning av undervisningen (kategori 5), Ämneskunskaper (kategori 2) och Ämnesdidaktiska kunskaper (kategori 1, 3 och 4).
6.1 Utformning av undervisningen (kategori 5)
Inledningsvis presenteras resultaten för underkategori Aktiviteter (6.1.1) med jämförelse av hur många av aktiviteterna som finns i elevboken respektive enbart i lärarhandledningen och vilka förmågor som tränas i aktiviteterna. Sedan följer resultaten för övriga underkategorier, Bedömning, Planering och Pedagogiska tips (6.1.2), och avslutningsvis ges en summering av resultaten i Summering av Utformning av undervisningen (6.1.3).
6.1.1 Resultat för Aktiviteter
Figur 6: Antalet föreslagna aktiviteter per läromedel.
Som det framgår i Figur 6 har FM flest förekomster; 214 – nästan dubbelt så många som lärarhandledningen med näst flest aktiviteter, ME med 116 förekomster. KPM har 103 förekomster och MB minst antal förekomster; 79.
Ett exempel på en sådan aktivitet från FM går ut på att eleverna ska finna månghörningar i deras omgivning: 103 116 214 79 0 50 100 150 200 250 KPM ME FM MB
Aktiviteter
26
Vilka månghörningar kan vi se i vår omgivning och var kan vi se dem? Kom ihåg skillnaden mellan planfigurer och geometriska kroppar. En dörr har formen av en fyrhörning, men är ett rätblock och alltså en geometrisk kropp. ”Äkta” planfigurer finns bland annat på tyger, boksidor, elevernas teckningar osv. (Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2015, s. 151)
Här får eleverna tillsammans leta efter månghörningar och diskutera vad de heter och om de verkligen är en månghörning eller en geometrisk kropp. Den här aktiviteten finns endast i lärarhandledningen. Dock handlar en stor del av beskrivningarna i lärarhandledningen om aktiviteter i elevboken, se Figur 7.
Antal aktiviteter i elevboken och lärarhandledningen respektive endast i lärarhandledningen
Figur 7: Fördelning av aktiviteter i lärarhandledning och elevbok samt i endast lärarhandledning.
I Figur 7 framgår det att de flesta aktiviteterna som beskrivs eller informeras om i lärarhandledningen finns i elevboken, med undantag av FM som har ungefär lika många aktiviteter i lärarhandledningen som i elevboken. Flest antal förekomster, 111, finns i FM, som har nästan dubbelt så många förekomster som MB med 59. Däremellan ligger ME med 92 förekomster och KPM med 85. Ett exempel på en aktivitet från elevboken som beskrivs i lärarhandledningen ser ut så här: 85 92 111 59 18 24 103 20 0 20 40 60 80 100 120 KPM ME FM MB
Aktiviteter i elevboken och lärarhandledningen
respektive endast i lärarhandledningen
Aktiviteter i elevboken och lärarhandledningen Aktivteter i endast lärarhandledningen
27 Från KPM, aktivitet i elevboken:
Vilket tal har 4 tiotal och 76 hundradelar?
Jämför och resonera. (Björklund & Dalsmyr, 2015, s. 18)
Information i lärarhandledningen:
Här kan eleverna först pröva själva och sedan jämföra med andra för att till sist resonera i helklass.
Talet är 40,76. (Björklund & Dalsmyr, 2015, s. 18)
Aktiviteten går ut på att se om eleven har förstått det nya matematiska innehållet och det görs genom att eleven själv får tänka efter först för att sedan resonera med andra. Eleven tränar då på att samtala och resonera om det nya matematiska innehållet.
Antalet aktiviteter i endast lärarhandledningen är i tre av fyra lärarhandledningar betydligt lägre än antalet aktiviteter som finns beskrivna i lärarhandledningen till elevboken. I ME och KPM finns 1
5 av aktiviteterna enbart i lärarhandledningen och i MB 14 av aktiviteterna, medan nästan hälften av FM:s aktiviteter enbart finns i lärarhandledningen.
Vidare tränar olika aktiviteter olika delar av den muntliga förmågan. I figur 8 visas hur många aktiviteter som till största del tränar förmågan att samtala med och om matematik respektive förmågan att föra matematiska resonemang.
Vilka förmågor som tränas i aktiviteterna
Figur 8: Antal aktiviteter som till största del tränar elevernas förmåga att samtala med och om matematik samt förmåga att föra matematiska resonemang.
44 79 92 58 59 37 122 21 0 20 40 60 80 100 120 140 KPM ME FM MB
Förmågor som tränas
28
Figur 8 visar att två av lärarhandledningarna har flest förekomster av aktiviteter som till största del tränar elevernas förmåga att samtala med och om matematik; ME med 79 förekomster av samtal jämfört med knappt hälften så många förekomster av resonemang och MB med 58 förekomster av samtal och med drygt en tredjedel så många förekomster av resonemang. Så här ser en aktivitet ut med information till läraren i ME där eleverna tränar förmågan att samtala med och om matematik:
Längd
Samtala om linjalen i inforutan och jämför med en tallinje. Mätetalen 1, 2, 3 osv på linjalen visar antalet centimeter och varje tiondels centimeter är en millimeter. Längden på pinnen kan uttryckas i cm och mm tre olika sätt:
35 mm 3 cm och 5 mm 3,5 cm (Forsbäck & Olsson, 2012, s. 79)
I den här aktiviteten får eleverna träna på att samtala om längd och hur de kan uttrycka samma längd på olika sätt. De tränar enhetsomvandling och förmågan att använda enheterna i samtal på ett korrekt sätt.
Vidare visar Figur 8 att KPM och FM har flest förekomster där förmågan att föra matematiska resonemang tränas; KPM med 59 och FM med 122 förekomster. Antalet aktiviteter som tränar elevernas förmåga att samtala med och om matematik är i båda fallen ungefär 3
4 av antalet aktiviteter som tränar elevernas resonemangsförmåga. Ett exempel på en aktivitet som tränar elevernas förmåga att föra matematiska resonemang är en problemlösningsuppgift från FM:
Tims paket väger lika mycket som två tiondelar av en kilogramsvikt och nio tiondelar av ett lika tungt paket. Hur mycket väger Tims paket? (2 kg)
(Asikainen, Nyrhinen, Rokka & Vehmas, 2015, s. 108)
Här får eleverna träna på att föra matematiska resonemang inom området bråk genom att problemlösningsuppgiften innehåller bråk.
