VTI notat 2-2012 Utgivningsår 2012
www.vti.se/publikationer
Fyrhjulsmodeller för bestämning av vägojämnhet
Dokumentation av verksamhet på VTI 2002–2011
Förord
Detta notat samlar resultaten från arbetet som genomförts i de FullCar-projekt som bedrivits på VTI sedan 2002, den senare delen inom projektet ”Nya Mått — Effektiv vägtillståndsbeskrivning”. Beställare har varit Trafikverket.
År 2002 påbörjades projektet ”FullCar och längsprofil”. Syftet med detta projekt var att ta fram en matematisk modell av en personbil samt att undersöka möjligheterna att skapa nya jämnhets- och komfortmått. Framtagandet av helbilsmodellen var i viss mån motiverat av att dåvarande Vägverket från och med 2001 samlade in längsprofilerna för höger och vänster personbilsspår.
”FullCar och längsprofil” fortsatte under 2003. En större litteraturgenomgång genom-fördes, och projektet avrapporterades med en teknisk rapport utanför VTI:s ordinarie publiceringssystem.
År 2006 fick VTI i uppdrag att vidareutveckla FullCar-modellen. Fordonsdata för en lastbil lades till (den tredje längsprofilen ”höger/tung” samlades nu in), koden modulari-serades och modernimodulari-serades. Möjligheterna att använda ett mer generellt stelkropps-program, typ Open Dynamics Engine (ODE), för fordonsdynamiken undersöktes, och litteraturgenomgången uppdaterades.
Linköping, januari 2012 Peter Andrén
VTI notat 2-2012
Kvalitetsgranskning
Intern peer review har genomförts av Leif Sjögren, 2011-12-18. Peter Andrén har genom-fört justeringar av slutligt rapportmanus 2011-12-20. Författarens närmaste chef Anita Ihs har därefter granskat och godkänt publikationen för publicering 2012-01-09.
Quality review
Internal peer review was performed on 18 December 2011 by Leif Sjögren. Peter Andrén has made alterations to the final manuscript of the report. The research director of the writer, Anita Ihs, VTI, examined and approved the report for publication on 9 January 2012.
Innehållsförteckning
Sammanfattning . . . 5 Summary . . . 7 1 Bakgrund . . . 9 2 Litteraturgenomgång . . . 10 3 FullCar-modellen . . . 11 3.1 Matlab . . . 11 3.2 Härledning av ekvationer . . . 12 3.3 Resultat från Matlab-modellen . . . 163.4 Open Dynamics Engine . . . 18
3.5 Andra modeller . . . 19 4 Animationer . . . 22 5 Vägdatamaterial . . . 23 6 Validering . . . 24 7 Fortsatt arbete . . . 25 VTI notat 2-2012
Fyrhjulsmodeller för bestämning av vägojämnhet av Peter Andrén
VTI
581 95 Linköping
Sammanfattning
Normalt beräknas längsgående ojämnheter på svenska vägar med måttet International Roughness Index (IRI), vilket är utförligt beskrivet i Sayers [14], Sayers et al. [15] och Sayers et al. [16]. Detta mått beräknas från en längsprofil, och beskriver den ackumu-lerade rörelsen mellan hjul och chassi (fjäderrörelse) på en kvartsbilmodell. Resultatet redovisas som fjäderrörelse per färdad längd, vanligtvis millimeter per meter. IRI-mo-dellen beskriver endast rörelsen i vertikalled, dessutom med en ganska orealistisk for-donsmodell som alltid går i 80 km/h.
Denna rapport redovisar arbetet med att ta fram en så kallad FullCar-modell (möjligtvis helbilsmodell på svenska, men jag fortsätter att använda ”FullCar” som en generellt beteckning i denna rapport) som kan användas för en mer realistisk modellering av ett fordons rörelser under normal färd.
Fördelen med en, ur fordonssynpunkt, mer realistisk modell är att man kan konstruera mått som stämmer bättre överens med det som förare och passagerare upplever när de färdas på vägen. Det bör nämnas att det tidigare har visats att det finns en relativt hög korrelation mellan IRI och hur förare och passagerare upplever vägens tillstånd, se Ihs et al. [11] och Magnusson et al. [13]. En FullCar-modell borde dock kunna ge mer detaljerad information om vägytans effekt på fordonet. Till exempel skulle en lastbils-modell kunna detektera avsnitt med farliga tvärfall.
En realistiskt fordonsmodell skulle även kunna användas till nedbrytningsstudier av vägar, där vägytan dels slits av överfarter, dels deformeras av kontaktkrafter. Med en enkel modell skulle hundratusentals överfarter kunna simuleras på några minuter.
Identification of Road Roughness Using a FullCar Model by Peter Andrén
VTI (Swedish National Road and Transport Research Institute) SE-581 95 Linköping Sweden
Summary
In Sweden, longitudinal roughness has been more or less synonymous with the International Roughness Index (IRI), thoroughly described in Sayers [14], Sayers et al. [15] and Sayers et al. [16]. IRI is calculated from a longitudinal profile, and describes the accumulated movement between the wheel and chassis on a quarter-car model. The result is given as this movement divided with the traveled length. In Sweden, the unit millimeters per mere is normally used. The IRI-model is only affected by movements in the vertical direction, and the speed is fixed to 80 km/h.
This report presents the work to make a full-car model, with the aim to produce a more realistic view of the movements of a vehicle traveling on a normal road.
The benefits with a more realistic vehicle model is that indices with a higher correlation to drivers’ and passengers’ experiences can be made. It should be mentioned that a relatively high correlation between IRI and drivers’ estimates road condition has been shown, see Ihs et al. [11] and Magnusson et al. [13]. A FullCar model should, however, give more detailed information about the effect of the road surface on the vehicle. A truck model could, for example, be used to find sections with a dangerous cross fall.
A realistic vehicle model could also be used in studies concerning the deterioration of roads, as the road is partly worn by wheel abrasions and partly deformed by contact forces. A simple model could simulate hundreds of thousands of vehicle passages in only a few minutes.
1
Bakgrund
Idag används främst IRI (International Roughness Index) för att mäta längsgående ojämn-heter på vägar. Men IRI speglar endast den vertikala påverkan från ojämnojämn-heter på fordonet. Det är troligt att också rollvektorn är av en betydande faktor både vad gäller åkkvalitet som för stabilitet på framförallt tunga fordon.
Det bör nämnas att det tidigare har visats att det finns en relativt hög korrelation mellan IRI och hur förare och passagerare upplever vägens tillstånd, se Ihs et al. [11] och Magnusson et al. [13]. En FullCar-modell borde dock kunna ge mer detaljerad information om vägytans effekt på fordonet.
Kanske fyrhjulsmodellen ”endast” ska användas för att validera och sortera fram ett
index utifrån de vägytedata som redan mäts? Ett exempel på detta är HATI (Heavy Articulated Truck Index) som är ett mått utvecklat i Australien där båda längsprofilerna (vänster och höger hjulspår) utnyttjas för att skapa ett index utformat för ojämnheters påverkan på tunga fordon.
En realistiskt fordonsmodell skulle även kunna användas till nedbrytningsstudier av vägar, där vägytan dels slits av överfarter, dels deformeras av kontaktkrafter. Med en enkel modell skulle hundratusentals överfarter kunna simuleras på några minuter.
2
Litteraturgenomgång
Ingen ”ordentlig” litteraturgenomgång har gjorts inom ramen för FullCar-projekten. Viss litteratur av intresse har dock påträffats genom andra projekt med liknande innehåll, samt genom en allmän omvärldsbevakning. Nedan presenteras främst den litteratur som konsulterats under arbetets gång.
En snabb sökning på internet och i VTI:s databaser utfördes i det föreliggande samlings-projektet, men det gav inga nya referenser som är direkt tillämpbara på projektet. Litte-raturen inom ”aktiv fjädring” utökas ständigt, de flesta programpaketen för fordons-modellering har uppgraderats, medan något (Open Dynamics Engine) verkar ha saktat ner på utvecklingstakten. På det stora hela har ”omvärlden” för FullCar-modellen inte förändrats de senaste åren.
Ekvationerna i kapitel 3 kommer huvudsakligen från Ikenaga et al. [12]. ASTM stan-darden ”Standard practices for simulating vehicular response to longitudinal profiles of traveled surfaces” innehåller i stort sett samma slutresultat som hos Ikenaga et al. Andra intressanta artiklar i sammanhanget är Abdel Hady och Crolla [1] samt Barak och Hrovat [2].
Wambold et al. [17] presenterar modeller (och vad som verkar vara fullständig kod i FORTRAN IV) för en generell kvartsbilsmodell, en halvbilsmodell och två varianter av helbilsmodeller (med och utan fast bakaxel). Dessa modeller verkar ligga bakom de som presenteras i ASTM:s standard, men är mycket mer utförligt presenterade.
En annan utförlig presentation av en helbilsmodell ges av Chalasani [5] (med bakgrunds-material i en annan artikel, Chalasani [4]). I likhet med många andra artiklar som kan komma till användning vid ett större FullCar-projekt handlar denna artikel främst om så kallad aktiv fjädring. Detta gör modellerna något mer komplicerade än de som behövs för en ”vanlig” helbilsmodell, vilket dock inte borde vara något problem. Liknande, om är något mindre utförliga, presentationer ges i en rad artiklar, till exempel: ElBeheiry et al. [8], Esmailzadeh och Fahimi [9], Frühauf et al. [10].
Ett annorlunda grepp presenteras i artikeln ”A Full-Car Roughness Index as a Summary Roughness Statistic” av Capuruço et al. [3]. Som titeln säger används helbilsmodellen som en slags avancerad IRI, i artikeln kallat FRI för Full-Car Roughness Index. Doktoravhandlingen ”Integrated Control of Road Vehicle Dynamics” av R. J. Dorling Dorling [6] innehåller en i sammanhanget mängd intressant information.
3
FullCar-modellen
I detta kapitel beskrivs olika möjligheter att formulera en FullCar-modell. De modeller som jag har jobbat med är Matlab- och ODE-modellen. De andra presenteras dels för att ge en slags ”state-of-the-art” och dels för att de åtminstone kan användas i validerings-syften.
3.1
Matlab
Det mesta arbetet med denna typ av modellering har utförts av forskare och ingenjörer som arbetat med aktiv fjädring av fordon. Den härledning som jag tagit fram är en ut-veckling av den som presenteras i artikeln ”Active suspensions control of ground vehicle based on a full-vehicle model” av Ikenaga et al. [12]. Denna modell beskrivs av sex-ton parametrar: bilkroppens massa, hjulmassan (som antas vara densamma för alla fyra hjul), tröghetsmomenten runt den längsgående och den tvärgående axeln, fjäderkonstant-er för de fyra däcken, samt fjädfjäderkonstant-er- och dämparkonstantfjäderkonstant-er för varje hjuls upphängning. De senare kan sättas individuellt för varje hjul.
Själva lösningen till modellen tas fram med kraftjämvikt för varje kropp. Modellen som visas nedan har sju frihetsgrader: bilkroppens höjdläge och rotation kring axlarna, samt de fyra hjulmassornas höjdlägen. Härledningen av modellen finns beskriven nedan. I princip leder härledningen till ett linjärt ekvationssystem i så kallad state space form ˙x = Ax + Bu som kan lösas med någon lämplig metod. I figuren nedan visas en illustration av modellen.
FR FL
RR RL
Figur 3.1 Illustration av den så kallade FullCar-modellen.
Begränsningar i denna modell är att den alltid går rakt fram, och således tas ingen hän-syn till de krafter som uppträder i kurvor. Hastigheten är konstant men antagligen inte lika intressant att kunna variera.
3.2
Härledning av ekvationer
Ekvationerna nedan presenteras ganska ”pang på”, utan någon utförlig förklaring. Jag inbillar mig att den intresserade läsaren kan förstå dem utan stöd.
Tabell 3.1 Notation för FullCar-modellen. ’*’ kan anta värdena ’fr, fl, rl, rr’ beroende på position på bilen (’fr’ står förfront-right etc.)
Beteckning Betydelse
z Gravitationscentrums position i höjled ms Bilkroppens massa
mu Hjulets massa g Gravitationskonstant
a Längd från gravitationscentrum till framaxeln b Längd från gravitationscentrum till bakaxeln w Bilens bredd K∗s Fjäderkonstant för fjädringen K∗u Fjäderkonstant för däcket Bs∗ Dämparkonstant för fjädringen ϕ Rollvinkeln θ Nickvinkeln zu∗ Position för hjulmassan zr∗ Längsprofilen
Vertikal jämvikt för bilkroppen, där det måste råda jämvikt mellan bilkroppens ”massa gånger acceleration” och de yttre krafterna, som i detta fall kommer från fjäder och dämpare hos de fyra hjulen samt påverkan av gravitationen.
ms¨zs= −msg+ Kfrs(−zs+ aθ +w 2ϕ + z u fr) + Bsfr(−˙zs+ a ˙θ + w 2ϕ + ˙˙ z u fr) + Kfls(−zs+ aθ −w 2ϕ + z u fl) + Bsfl(−˙zs+ a ˙θ − w 2ϕ + ˙˙ z u fl) + Krls(−zs− bθ −w 2ϕ + z u rl) + Bsrl(−˙zs− b˙θ − w 2ϕ + ˙˙ z u rl) + Krrs(−zs− bθ +w 2ϕ + z u rr) + Bsrr(−˙zs− b˙θ + w 2ϕ + ˙˙ z u rr)
Jämviktsekvation för nickrotationen. Iyybeskriver hur ”trögt” det är att vrida bilen runt
en axel tvärs bilen.
Iyy¨θ =Kfrs(azs− a2θ − azfru) + Bsfr(a˙zs− a2˙θ − a˙zufr) +Kfls(azs− a2θ − azufl) + Bsfl(a˙zs− a2˙θ − a˙zufl) +Krls(−bzs− b2θ + bzurl) + Bsrl(−b˙zs− b2˙θ + b˙zurl) +Krrs(−bzs− b2θ + bzurr) + Bsrr(−b˙zs− b2˙θ + b˙zurr) Motsvarande jämviktsekvation för rollrotationen.
Ixxϕ =K¨ frs(w 2z s−w2 4 ϕ − w 2z u fr) + B s fr( w 2˙z s−w2 4 ϕ −˙ w 2˙z u fr) +Kfls(−w 2z s−w2 4 ϕ + w 2z u fl) + Bsfl(− w 2˙z s−w2 4 ϕ +˙ w 2˙z u fl) +Krls(−w 2z s−w2 4 ϕ + w 2z u rl) + Bsrl(− w 2˙z s−w2 4 ϕ +˙ w 2˙z u rl) +Krrs(w 2z s−w2 4 ϕ − w 2z u rr) + Bsrr( w 2˙z s−w2 4 ϕ −˙ w 2˙z u rr) 12 VTI notat 2-2012
Jämvikter för hjulmassorna. Hjulen har en egenvikt som påverkas av accelerationen och gravitationen. Dessutom påverkas de av bilens fjäder och dämpare samt av däckets fjädring. mu¨zufr= −mug+ Kfrs(zs−w 2ϕ − aθ − z u fr) + Bsfr(˙zs− w 2ϕ − a ˙˙ θ − ˙z u fr) + Kfru(−zufr+ zrfr) mu¨zufl= −mug+ Kfls(zs+w 2ϕ − aθ − z u fl) + Bsfl(˙zs+ w 2ϕ − a ˙˙ θ − ˙z u fl) + Kflu(−zufl+ zrfl) mu¨zurl= −mug+ Krls(zs+w 2ϕ + bθ − z u rl) + B s rl(˙z s+w 2ϕ + b ˙˙ θ − ˙z u rl) + K u rl(−z u rl+ z r rl) mu¨zurr = −mug+ Krrs(zs−w 2ϕ + bθ − z u rr) + Bsrr(˙zs− w 2ϕ + b ˙˙ θ − ˙z u rr) + Krru(−zurr+ zrrr)
För att skriva om dessa ekvationer till ett ekvationssystem enligt formen ˙x = Ax + Bu krävs det att så kallade systemvariablerna definieras. För detta system passar följande variabler bra: x1= zs, x2= ˙zs, x3= θ, x4= ˙θ, x5= ϕ, x6= ˙ϕ, x7= zufl, x8= ˙zufl, x9= zufr, x10= ˙zufr, x11 = zrlu, x12 = ˙zurl, x13 = zrru, x14 = ˙zurr. Då följer att ˙x1= ˙zs, ˙x2= ¨zs, ˙x3= ˙θ, ˙ x4= ¨θ, ˙x5= ˙ϕ, ˙x6= ¨ϕ, ˙x7= ˙zufl, ˙x8= ¨zufl, ˙x9= ˙zufr, ˙x10 = ¨zufr, ˙x11= ˙zurl, ˙x12= ¨zurl, ˙x13= ˙zurr, ˙ x14= ¨zurr.
Ersätt de vanliga variablerna i ekvationerna ovan med systemvariablerna. Vertikal jäm-vikt för bilkroppen. msx˙2= −msg+ Kfrs(−x1+ ax3+ w 2x5+ x9) + B s fr(−x2+ ax4+ w 2x6+ x10) + Kfls(−x1+ ax3− w 2x5+ x7) + B s fl(−x2+ ax4− w 2x6+ x8) + Krls(−x1− bx3−w 2x5+ x11) + B s rl(−x2− bx4− w 2x6+ x12) + Krrs(−x1− bx3+ w 2x5+ x13) + B s rr(−x2− bx4+ w 2x6+ x14) Jämviktsekvation för nickrotationen. Iyyx˙4=Kfrs(ax1− a2x3− ax9) + Bsfr(ax2− a2x4− ax10) +Kfls(ax1− a2x3− ax7) + Bsfl(ax2− a2x4− ax8) +Krls(−bx1− b2x3+ bx11) + Bsrl(−bx2− b2x4+ bx12) +Krrs(−bx1− b2x3+ bx13) + Bsrr(−bx2− b2x4+ bx14) Jämviktsekvation för rollrotationen. Ixxx˙6=Kfrs( w 2x1− w2 4 x5− w 2x9) + B s fr( w 2x2− w2 4 x6− w 2x10) +Kfls(−w 2x1− w2 4 x5+ w 2x7) + B s fl(− w 2x2− w2 4 x6+ w 2x8) +Krls(−w 2x1− w2 4 x5+ w 2x11) + B s rl(− w 2x2− w2 4 x6+ w 2x12) +Krrs(w 2x1− w2 4 x5− w 2x13) + B s rr( w 2x2− w2 4 x6− w 2x14) VTI notat 2-2012 13
Jämvikter för hjulmassorna. mux˙8= −mug+ Kfls(x1+ w 2x5− ax3− x7) + B s fl(x2+ w 2x6− ax4− x8) + K u fl(−x7+ z r fl) mux˙10= −mug+ Kfrs(x1− w 2x5− ax3− x9) + B s fr(x2− w 2x6− ax4− x10) + K u fr(−x9+ zrfr) mux˙12= −mug+ Krls(x1+ w 2x5+ bx3− x11) + B s rl(x2+ w 2x6+ bx4− x12) + K u rl(−x11+ zrrl) mux˙14= −mug+ Krrs(x1− w 2x5+ bx3− x13) + B s rr(x2− w 2x6+ bx4− x14) + K u rr(−x13+ zrrr)
Skriv om så vänsterledet blir ”rent”. ˙ x2= −g + Kfrs ms(−x1+ ax3+ w 2x5+ x9) + Bsfr ms(−x2+ ax4+ w 2x6+ x10) +K s fl ms(−x1+ ax3− w 2x5+ x7) + Bsfl ms(−x2+ ax4− w 2x6+ x8) +K s rl ms(−x1− bx3− w 2x5+ x11) + Bsrl ms(−x2− bx4− w 2x6+ x12) +K s rr ms(−x1− bx3+ w 2x5+ x13) + Bsrr ms(−x2− bx4+ w 2x6+ x14) ˙ x4=K s fr Iyy (ax1− a2x3− ax9) + Bsfr Iyy (ax2− a2x4− ax10) +K s fl Iyy(ax1− a 2x 3− ax7) + Bsfl Iyy(ax2− a 2x 4− ax8) +K s rl Iyy(−bx1− b 2x 3+ bx11) + Bsrl Iyy(−bx2− b 2x 4+ bx12) +K s rr Iyy (−bx1− b2x3+ bx13) + Bsrr Iyy (−bx2− b2x4+ bx14) ˙ x6=K s fr Ixx( w 2x1− w2 4 x5− w 2x9) + Bsfr Ixx( w 2x2− w2 4 x6− w 2x10) +K s fl Ixx(− w 2x1− w2 4 x5+ w 2x7) + Bsfl Ixx(− w 2x2− w2 4 x6+ w 2x8) +K s rl Ixx(− w 2x1− w2 4 x5+ w 2x11) + Bsrl Ixx(− w 2x2− w2 4 x6+ w 2x12) +K s rr Ixx( w 2x1− w2 4 x5− w 2x13) + Bsrr Ixx( w 2x2− w2 4 x6− w 2x14) ˙ x8= −g +K s fl mu(x1+ w 2x5− ax3− x7) + Bsfl mu(x2+ w 2x6− ax4− x8) + Kflu mu(−x7+ z r fl) ˙ x10= −g +K s fr mu(x1− w 2x5− ax3− x9) + Bsfr mu(x2− w 2x6− ax4− x10) + Kfru mu(−x9+ z r fr) ˙ x12= −g +K s rl mu(x1+ w 2x5+ bx3− x11) + Bsrl mu(x2+ w 2x6+ bx4− x12) + Krlu mu(−x11+ z r rl) ˙ x14= −g +K s rr mu(x1− w 2x5+ bx3− x13) + Bsrr mu(x2− w 2x6+ bx4− x14) + Krru mu(−x13+ z r rr) 14 VTI notat 2-2012
Samla termer, och skriv om så högerledet blir tydligare ˙ x2= −K s fr ms − Kfls ms− Krls ms − Krrs ms x1+ −B s fr ms − Bsfl ms− Bsrl ms − Bsrr ms x2 + aK s fr ms + a Kfls ms− b Krls ms − b Krrs ms x3+ aB s fr ms + a Bsfl ms− b Bsrl ms − b Bsrr ms x4 + wKs fr 2ms − wKfls 2ms − wKrls 2ms + wKrrs 2ms x5+ wBs fr 2ms − wBsfl 2ms − wBsrl 2ms + wBsrr 2ms x6 + Ks fl ms x7+ Bs fl ms x8+ Ks fr ms x9+ Bs fr ms x10 + K s rl ms x11+ B s rl ms x12+ K s rr ms x13+ B s rr ms x14− g ˙ x4= aK s fr Iyy + aK s fl Iyy − bK s rl Iyy − bK s rr Iyy x1+ aB s fr Iyy + aB s fl Iyy − bB s rl Iyy − bB s rr Iyy x2 + −a2K s fr Iyy − a 2K s fl Iyy− b 2Krls Iyy − b 2Krrs Iyy x3+ −a2B s fr Iyy − a 2B s fl Iyy− b 2Bsrl Iyy − b 2Bsrr Iyy x4 − a Kfls Iyy x7− a Bsfl Iyy x8− a Kfrs Iyy x9− a Bsfr Iyy x10 + bK s rl Iyy x11+ bB s rl Iyy x12+ bK s rr Iyy x13+ bB s rr Iyy x14 ˙ x6= wKs fr 2Ixx −wK s fl 2Ixx −wK s rl 2Ixx +wK s rr 2Ixx x1+ wBs fr 2Ixx −wB s fl 2Ixx −wB s rl 2Ixx +wB s rr 2Ixx x2 + −w 2Ks fr 4Ixx −w 2Ks fl 4Ixx −w 2Ks rl 4Ixx −w 2Ks rr 4Ixx ! x5+ −w 2Bs fr 4Ixx −w 2Bs fl 4Ixx −w 2Bs rl 4Ixx −w 2Bs rr 4Ixx ! x6 + wKs fl 2Ixx x7+ wBs fl 2Ixx x8− wKs fr 2Ixx x9− wBs fr 2Ixx x10 + wK s rl 2Ixx x11+ wBsrl 2Ixx x12− wKs rr 2Ixx x13− wBs rr 2Ixx x14 ˙ x8= ( Kfls mu)x1+( Bsfl mu)x2− (a Kfls mu)x3− (a Bsfl mu)x4+ ( wKfls 2mu)x5+ ( wBsfl 2mu)x6 −(K s fl mu+ Kflu mu)x7− ( Bsfl mu)x8+ Kflu mu(z r fl) − g ˙ x10= ( Kfrs mu)x1+( Bsfr mu)x2− (a Kfrs mu)x3− (a Bsfr mu)x4− ( wKfrs 2mu)x5− ( wBsfr 2mu)x6 −(K s fr mu+ Kfru mu)x9− ( Bsfr mu)x10+ Kfru mu(z r fr) − g VTI notat 2-2012 15
˙ x12= ( Krls mu)x1+( Bsrl mu)x2+ (b Krls mu)x3+ (b Bsrl mu)x4+ ( wKrls 2mu)x5+ ( wBsrl 2mu)x6 −(K s rl mu+ Krlu mu)x11− ( Bsrl mu)x12+ Krlu mu(z r rl) − g ˙ x14= (K s rr mu)x1+( Bsrr mu)x2− (b Krrs mu)x3− (b Bsrr mu)x4− ( wKrrs 2mu)x5− ( wBsrr 2mu)x6 −(K s rr mu + Krru mu)x13− ( Bsrr mu)x14+ Krru mu(z r rr) − g
Alla dessa ekvationer kan formuleras med en matrisekvation, enligt ekvationen nedan, där ◦ står för ett nollelement, × för ett nollskilt element, och ⊗ för ett element som är nollskilt endast om bilen inte är symmetrisk i längsled (till exempel vid för lågt lufttryck i ett däck, eller liknande).
˙ x1 ˙ x2 ˙ x3 ˙ x4 ˙ x5 ˙ x6 ˙ x7 ˙ x8 ˙ x9 ˙ x10 ˙ x11 ˙ x12 ˙ x13 ˙ x14 = ◦ × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ × × × × ⊗ ⊗ × × × × × × × × ◦ ◦ ◦ × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ × × × × ◦ ◦ × × × × × × × × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ⊗ ⊗ ◦ ◦ × × × × × × × × × × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ × × × × × × × × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ × ◦ ◦ ◦ ◦ × × × × × × ◦ ◦ × × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ × ◦ ◦ × × × × × × ◦ ◦ ◦ ◦ × × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ × × × × × × × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ × × x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 + ◦ × ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ × ◦ × ◦ × ◦ ×
3.3
Resultat från Matlab-modellen
Från FullCar-modellen kan en mängd nya mått beräknas. Förslagvis kan den ackumu-lerade fjäderrörelse (á la IRI) beräknas för de fyra hjulen, men intressantare är antag-ligen att ta ut rotationen och rotationshastigheterna kring axlarna (nick- och rollrörel-serna, med andra ord).
Nedan visas en figur (3.2) med resultat från FullCar-modellen. De två övre delfigurerna visar höger och vänster längsprofil (röd för vänster och blå för höger), kontinuerligt IRI (med samma färgkod) för jämförelse. I den tredje delfiguren visas den vertikala rörelsen för gravitationscentrum för bilkroppen (chassit). Inte förvånande korrelerar den mycket starkt med längsprofilernas utseende (bilen måste ju följa med profilerna). Däremot ser man att den vertikala rörelsen inte korrelerar med IRI. I den fjärde delfiguren redovisas nickrörelsen. Även detta mått korrelerar ganska väl med längsprofilerna, och dessutom med IRI. Rollrörelsen i den sista delfiguren korrelerar i sin tur med differensen av längs-profilerna, precis som man kan förvänta sig.
Resultaten som redovisas här är bara ett exempel på vad som kan göras. De profiler som använts i exemplen kommer från ett slumpvis valt avsnitt av Svärdsjövägen. För just detta avsnitt korrelerar bilens vertikala rörelse, nick- och rollrörelsen väl med IRI.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −100 −50 0 50 100 Höjd [mm]
Längsprofiler högpassfiltrerade på 100 meter.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0 5 10 15 20
Kontinuerligt IRI beräknat från profilerna ovan.
IRI [mm/m] 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −150 −100 −50 0 50 100 150
Vertikal rörelse för gravitationscentrum på bilkroppen.
Rörelse [mm] 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −1 −0.5 0 0.5 1
Rotation runt tväraxeln på bilkroppen (nickrörelse).
Rotation [grader] 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −2 −1 0 1 2
Rotation runt längsaxeln på bilkroppen (rollrörelse).
Rotation [grader]
Figur 3.2 Längsprofiler, kontinuerligt IRI, och bilens vertikala rörelse, nickrörelse, och rollrörelse.
3.4
Open Dynamics Engine
Open Dynamics Engine beskrivs lämpligen några ord från projektets hemsida: The Open Dynamics Engine (ODE) is a free, industrial quality library for simulating articulated rigid body dynamics. For example, it is good for simulating ground vehicles, legged creatures, and moving objects in VR environments. It is fast, flexible and robust, and it has built-in collision detection. ODE is being developed by Russell Smith. ODE is best for simu-lating articulated rigid body structures. An articulated structure is created when rigid bodies of various shapes are connected together with joints of various kinds. Examples are ground vehicles (where the wheels are connec-ted to the chassis) or legged creatures (where the legs are connecconnec-ted to the body). ODE is designed to be used in interactive or real-time simulation. It is particularly good for simulating moving objects in changeable virtual reality environments. This is because it is fast, robust and stable, and the user has complete freedom to change the structure of the system even while the simulation is running.
Open Dynamics Engine är skriven helt i programmeringspråket C och finns tillgängligt i källkod på nätet. Koden är licensierad under antingen ”GNU Lesser General Public License” eller ”The BSD License”. Detta är alltså så kallad open source.
Under våren 2006 ägnade jag en del tid åt att modellera en allmän helbilsmodell med hjälp av ODE. Tyvärr visade det sig vara något svårare än beräknat, vilket till en viss del beror på att ODE är aningen dåligt dokumenterat. Detta beror, i sin tur, på att ODE underhålls och uppdateras helt på frivilligbasis av en samling entusiaster som uppenbar-ligen inte prioriterar dokumentationen.
Jag är dock fortfarande övertygad om att ODE är en lämplig miljö att modellera en hel-bilsmodell. Det är med största säkerhet en väldigt stor fördel att ta en aktiv del i utveck-lingen av programmet, och få hjälp direkt från andra utvecklare.
3.4.1
Helbilsmodell
Försöken att modellera en komplett bil från start fick snart avbrytas på grund av svårig-heter att utvärdera effekterna hos de enskilda komponenterna. Bilden nedan visar en så kallad skärmdump från det animeringsprogram som är en del av ODE.
3.4.2
System med fjäder och dämpare
Helbils- och IRI-modellen består helt och hållet av massor, fjädrar och dämpare. För enklare felsökning i de mer komplicerade modellerna modellerades ett enkelt dämpat system med endast en massa, en fjäder och en dämpare. En enkel analytisk lösning finns för detta system.
För denna modell stämmer resultaten mellan ODE och den analytiska lösningen perfekt överens. Detta är en väldigt stark indikation att felen i de mer komplicerade systemen ovan beror på något misstag i modellerandet snarare än i ODE-programmet.
0 10 20 30 40 50 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Analytisk lösning Open Dynamics Engine
3.4.3
Kvartsbilsmodell
Det första försöket att validera komponenterna på helbilsmodellen var att återskapa IRI-modellen i ODE. Här blev det tydligt att det var något i formuleringen av systemet med massa/fjäder/dämpare som inte stämde med de förväntade resultaten. De tjocka linjerna kommer från IRI-modellen implementerad i Matlab, medan de tunnare linjerna kommer från ODE. Rött står för bilkroppens läge, och grönt för hjulets läge.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 −3 −2 −1 0 1 2 3 Sprung mass Unsprung mass Road
Med denna kunskap kan man successivt öka komplexiteten och skapa korrekta imple-mentationer av både kvartsbils- som helbilsmodellen — något som dock inte hunnits med inom ramen för dessa projekt.
3.5
Andra modeller
Det finns andra modeller (som jag hittat, men det finns säkert fler) som har gemensamt att de är kommersiella. Gemensamt för dessa modeller är att jag inte har provat dem, och följaktligen inte kan bedöma dem.
3.5.1
Milliken Research Associates
Milliken Research Associates, Inc. har utvecklat en modell som kallas ”Vehicle Dynam-ics for use with MATLAB/Simulink, VDMS”. Den beskrivs som följer på deras hemsida (www.millikenresearch.com/programs.html).
Vehicle Dynamics for use with MATLAB/Simulink, VDMS: Similar to VDS, this time-based vehicle simulation is programmed in Simulink and run through MATLAB. Much of the program code is open to the user for additions (e.g. to develop control systems). Over 200 engineering vehicle parameters are output variables. MATLAB GUI plotter. VDMS has been included by The MathWorks, Inc. in its MATLAB Connections Program.
3.5.2
Mechanical Simulation Corporation
CarSim produceras av Mechanical Simulation Corporation. Precis som VDMS ovan är det främsta användningsområdet fordonsdynamik, och det finns anledning att tro att dessa modeller är väl avancerade för utvärdering av åkkomfort. CarSim beskrivs så här på hemsidan (www.trucksim.com/carsim/packages.html).
CarSim is a software package for simulating and analyzing the behavior of four-wheeled vehicles in response to steering, braking, and acceleration inputs. CarSim runs faster than real-time using ordinary PC’s. It includes the Simulation Graphical User Interface (SGUI) and database, engineering plotter, animator, and vehicle models. The vehicle models are provided as dynamically linked libraries (DLL’s) both for CarSim alone, and also for use with MATLAB/Simulink. In Simulink, you can extend components (tires, ABS, driveline, steering, differential, suspension, etc.) with your own Simulink models. The models are also provided as C libraries, so you can also extend them using C.
3.5.3
ADAMS/Car och LS-DYNA
ADAMS/Car och LS-DYNA är två mycket avancerade program där man i detalj kan modellera en bil (www.adams.com, resp.www.lsdyna.com). Dessa system är helt klart riktade till fordonsingenjörer, och får nog lov att anses som olämpliga för vår tillämpning, annat än, möjligtvis, för validering av modeller
3.5.4
Annat användbart
VTI:s körsimulatorgrupp har mycket erfarenhet om fordonsmodeller, och jag har fört inledande samtal om möjligheten att dra nytta av varandras arbete.
Racer är ett program som jag inte hunnit titta på ännu. Det beskvis så här på hemsidan (www.racer.nl).
Racer is a free car simulation project, using real car physics to get a realistic feeling. Cars, tracks, scenes and such can be created with relative simplicity in mind (compared to other driving simulations). The 3D and other file formats are, or should be, documented. Editors and support programs are also available to get a very flexible and expandable simulator. It uses OpenGL for rendering. It attempts to do well at the physics section, trying to create life-like cars to emphasize car control and doesn’t cut back on realism in the interest of fun.
Om inte annat verkar det finnas ett stort bibliotek med fysisk data för olika bilmodeller. Det bör påpekas att detta program helt och hållet är inriktat på bilspel, men det betyder ju inte att det är fysikaliskt korrekt. Detta program är gratis, men inte öppet.
4
Animationer
Ett intressant sätt att illustrera FullCar-modellen är med hjälp av animationer. Tyvärr finns det inget smidigt och portabelt sätt att infoga animationer i en PDF-fil, så jag har istället lagt dem påwww.youtube.com. Om du läser detta dokument i Adobe Acrobat kan du klicka på de blåa länkarna nedan. Skärmdumpen nedan visar hur det ser ut när en av animationerna körs.
Animation nummer 1FullCar-modellen på längsprofiler med slumpmässiga gupp samt en väldigt kraftig textur. Fordonet framförs i 80 km/h.
Animation nummer 2Längsprofiler med kraftiga gupp i stil med farthinder. Fordonet framförs i 80 km/h.
Animation nummer 3Gupp på omväxlande höger och vänster sida. Fordonet framförs i 80 km/h.
Animation nummer 4Fordonet framförs i extremt låg hastighet, vilket sätter dynamiken till noll. Detta exempel är endast en validering av den matematiska modellen.
Animation nummer 5Här visas FullCar-modellen på en del av Svärdsjövägen med längsprofilerna korrigerade enligt metoden i nästa kapitel. Som den engelska texten till videon säger spelas denna film upp ”fast motion”, jämfört med de övriga animationerna. Dessutom har amplituden på längsprofilerna förstärkts med en faktor fem. Allt detta för att förstärka fordonets rörelser, som annars är väldigt svåra att se.
Animation nummer 6Lastbil som framförs i 80 km/h. Tyvärr har jag inte tillgång till korrekt fordonsdata för en ”normal” lastbil, så detta exempel är mest en illustration över möjlighetenatt modellera ett alternativt fordon.
5
Vägdatamaterial
En förutsättning för ett användande av FullCar-modellen är att vägytedata är korrekt. För IRI-modellen är det faktiskt inte särskilt viktigt hur längsprofilen är filtrerad för långa våglängder, eftersom IRI påverkas mycket litet för våglängder över 40 meter. För en FullCar-modell är kraven större. Det naturliga är att högpassfiltrera höger och vänster längsprofil på 100 meter (på det sätt som gjordes för exemplen på sida 12). En effekt av detta är att all information om längsprofilerna lägen relativt varandra går förlorad, vilket kan påverka en del resultat. Detta kan dock återskapas genom att använda tvärfallet, som, om spårbottenstvärfall används, anger just lutningen mellan längsprofilerna. I den över grafen i figuren nedan visas spårbottenstvärfallet — här interpolerat till 0.1 m sampelavstånd. Den undre grafen visar höger och vänster längsprofil justerade med tvärfallet. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −10 −5 0 5 10
Tvärfallet lågpassfiltrerat på 100 meter.
% 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −150 −100 −50 0 50 100 150 mm
Längsprofilerna justerade med tvärfall.
Höger Vänster
I figuren nedan visas nick- och rollrotationen för FullCar-modellen ”körd” över längs-profilerna ovan. Som synes korrelerar rollrotationen starkt med vägens tvärfall, vilket förefaller naturligt. Nickrotationen har relativt små utslag, vilket beror på att all hetsinformation filtrerats bort. Det är naturligtvis ingenting som hindrar att backig-hetsinformation läggs till profilerna, men denna information bidrar säkerligen mycket mindre än tvärfall vad gäller eventuella FullCar-mått.
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −10 −5 0 5 10 % Nickrotation Rollrotation VTI notat 2-2012 23
6
Validering
Ingen validering av FullCar-modellen har ännu genomförts. En viktig fråga är till vilken grad man vill eller behöver efterlikna verkligheten. Moderna bilar är naturligtvis långt mycket mer komplicerade än en modell med sju frihetsgrader. Krängningshämmare och aktiv fjädring är ett par exempel på förbättringar som skulle kunna modelleras, men det skulle med all säkerhet vara svårt att modellera den sanna komplexiteten i ett modern fordon.
En rimlig målsättning är väl att FullCar-modellens beteende stämmer överens med ett riktigt fordon. Även detta borde dock valideras. Ett första steg skulle kunna vara att jämföra nick- och rollrotationerna hos ett fordon med de som beräknas med FullCar-modellen. Det treaxliga gyrot i en modern mobiltelefon borde räcka som sensor.
En mer ambitiös validering skulle vara att jämföra resultaten från FullCar-modellen med motsvarande data från någon kommersiell produkt. CarSim är antagligen mest lämpad för detta.
7
Fortsatt arbete
För en tredimensionell modell bör naturligtvis rörelse i alla tre dimensioner betraktas. I den modell som använt i detta arbete går alla vägar rakt fram! Eftersom krängningar, företrädesvis roll, beror mycket på kurvor bör de krafter som ger dessa rörelser finnas med i modellen. (Modellen som baseras på ”Open Dynamics Engine” har med detta, men är inte lika smidig att använda som en specialgjord egenkodad modell.)
Validera metoden med riktiga mätningar. Detta kan, till exempel, ske genom att acce-lerometrar och kraftgivare monteras på en vanlig personbil. För detta behövs också data för en aktuella bilmodellen. Detta verkar inte vara helt enkelt att få tag på (sewww. motorvehicledata.comochwww.racer.nlför möjligheter).
Litteraturgenomgången bör utvidgas. ElBeheiry redovisar i sin artikel ”Advanced ground vehicle suspension systems — A classified bibliography” ElBeheiry et al. [7] inte mindre än 128 referenser om fordonsmodellering, 71 referenser om passiv fjädring, 140 om aktiv fjädring, och en hel massa referenser om närliggande områden. Naturligtvis är inte alla dessa referenser intressanta för en FullCar-tillämpning, men det finns med all tydlighet mycket gjort på detta område redan.
Referenser
[1] M. B. A. Abdel Hady och D. A. Crolla. Active suspension control algorithms for a four-wheel vehicle model. International Journal of Vehicle Design, 13(2):144–158, 1992.
[2] P. Barak och D. Hrovat. Application of the LQG approach to design of an automotive suspension for three-dimensional vehicle models. I Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers — Advanced Suspensions, volym IMechE Conference 1988-9, sidor 11–26, Birdcage Walk, London, England, October 24–25 1988.
[3] Renato A. C. Capuruço, Tarek Hegazy, Susan L. Tighe, och Sameh Zaghloul. A Full-Car Roughness Index as a Summary Roughness Statistic, sidor 148– 156. Transportation Research Record 1905. Transportation Research Board, Washington, D.C., USA, 2005.
[4] R. M. Chalasani. Ride performance potential of active suspension systems — Part-I: simplified analysis based on a quarter-car model. I ASME Symposium on Simulation and Control of Ground Vehicles and Transportation Systems, volym AMD-Vol. 80, DSC-Vol. 2, sidor 187–204, December 1986.
[5] R. M. Chalasani. Ride performance potential of active suspension systems — Part-II: comprehensive analysis based on a full-car model. I Symposium on Simulation and Control of Ground Vehicles and Transportation Systems, volym AMD-Vol. 80, DSC-Vol. 2, sidor 205–234, December 1986.
[6] Richard J. Dorling. Integrated Control of Road Vehicle Dynamics. PhD thesis, Cambridge University Engineering Department, The University of Cambridge, Cambridge, England, April 1996.
[7] Elsayed M. ElBeheiry, Dean C. Karnopp, Mohamed E. ElAraby, och Ahmed M. Abdel Raaouf. Advanced ground vehicle suspension systems — A classified bibliography. Vehicle System Dynamics, 24(3):231–258, April 1995.
[8] Elsayed M. ElBeheiry, Dean C. Karnopp, Mohamed E. ElAraby, och Ahmed M. Abdel Raaouf. Suboptimal control design of active and passive suspensions based on a full car model. Vehicle System Dynamics, 26(3):197–222, September 1996. [9] E. Esmailzadeh och F. Fahimi. Optimal adaptive active suspensions for a full car
model. Vehicle System Dynamics, 27(2):89–107, February 1997.
[10] F. Frühauf, R. Kasper, och J. Lückel. Design of an active suspension for a passenger vehicle model using input process with time delays. I Olle Nordström, editor, Proceedings 9th IAVSD-Symposium on The Dynamics of Vehicles on Roads and on Tracks, sidor 126–136, Linköping, Sweden, June 24–28 1985.
[11] Anita Ihs, Stefan Grudemo, och Mats Wiklund. Vägytans inverkan på
körkomforten — Bilisters monetära värdering av komfort. VTI Meddelande 957, Statens väg- och transportforskningsinstitut, Linköping, 2004.
[12] S. Ikenaga, F. L. Lewis, J. Campos, och L. Davis. Active suspension control of ground vehicle based on a full-vehicle model. I Proceedings of the American Control Conference, sidor 4019–4024, Chicago, IL, USA, June 28–30 2000.
[13] Georg Magnusson, Sven Dahlstedt, och Leif Sjögren. Mätning av vägytans long-itudinella jämnhet — metoder och nödvändig noggrannhet. VTI Rapport 475, Statens väg- och transportforskningsinstitut, Linköping, 2002.
[14] Michael W. Sayers. On the calculation of international roughness index from longitudinal road profile, sidor 1–12. Transportation Research Record 1501. Transportation Research Board, Washington, D.C., USA, 1995. Pavement-Vehicle Interaction and Traffic Monitoring.
[15] Michael W. Sayers, Thomas D. Gillespie, och William D. O. Paterson. Guidelines for conducting and calibrating road roughness measurements. World bank technical paper, Number 46, 1986.
[16] Michael W. Sayers, Thomas D. Gillespie, och Cesar A. V. Queiroz. The
international road roughness experiment. World bank technical paper, Number 45, 1986.
[17] J. C. Wambold, J. J. Henry, och E. C. Yeh. Methodology for analyzing pavement condition data (mapcon). volume i–iii. Technical Report PTI 8214, The Pennsylvania Transportation Institute, The Pennsylvania State University, University Park, PA, USA, January 1984.
www.vti.se vti@vti.se
VTI är ett oberoende och internationellt framstående forskningsinstitut som arbetar med forskning och utveckling inom transportsektorn. Vi arbetar med samtliga trafikslag och kärnkompetensen finns inom områdena säkerhet, ekonomi, miljö, trafik- och transportanalys, beteende och samspel mellan människa-fordon-transportsystem samt inom vägkonstruktion, drift och underhåll. VTI är världsledande inom ett flertal områden, till exempel simulatorteknik. VTI har tjänster som sträcker sig från förstudier, oberoende kvalificerade utredningar och expertutlåtanden till projektledning samt forskning och utveckling. Vår tekniska utrustning består bland annat av körsimulatorer för väg- och järnvägstrafik, väglaboratorium, däckprovnings-anläggning, krockbanor och mycket mer. Vi kan även erbjuda ett brett utbud av kurser och seminarier inom transportområdet.
VTI is an independent, internationally outstanding research institute which is engaged on research and development in the transport sector. Our work covers all modes, and our core competence is in the fields of safety, economy, environment, traffic and transport analysis, behaviour and the man-vehicle-transport system interaction, and in road design, operation and maintenance. VTI is a world leader in several areas, for instance in simulator technology. VTI provides services ranging from preliminary studies, highlevel independent investigations and expert statements to project management, research and development. Our technical equipment includes driving simulators for road and rail traffic, a road laboratory, a tyre testing facility, crash tracks and a lot more. We can also offer a broad selection of courses and seminars in the field of transport.
HUVUDKONTOR/HEADOFFICE
LINKÖPING BORLÄNGE STOCKHOLM GÖTEBORG
POST/MAIL SE-581 95 LINKÖPING POST/MAIL BOX 920 POST/MAIL BOX 55685 POST/MAIL BOX 8072
TEL +46(0)13 20 40 00 SE-781 29 BORLÄNGE SE-102 15 STOCKHOLM SE-402 78 GÖTEBORG
