1
Examensarbete
15 högskolepoäng
”Problemlösning? Åh nej!”
Hur tänker elever i årskurs 4 om problemlösning?
About pupils in grade 4,
thoughts about their problem solving
Carina Olsson
Grundskollärarutbildningen åk 1-7 140 hp Matematik
2014-11-04
Examinator: Johan Nelson Handledare: Eva Riesbeck
Malmö högskola
Fakulteten för lärande och
samhälle
2
3
Sammanfattning
Syftet med det här arbetet är att få en inblick i hur elever i årskurs 4 tänker runt problemlösning. Med hjälp av kvalitativa intervjuer intervjuades ett antal elever utifrån följande frågeställningar: Hur känner elever inför problemlösning? Hur hanterar de problemet? Stöter de på problemlösning utanför skoltid? Flera av eleverna har mindre positiva tankar när ska arbeta med problemlösning. Beror det på avsaknad av strategier eller brist på motivation? Klart är att eleverna hade valt uppgifter med förankring i deras egen vardag. Det är svårt för de flesta att se den praktiska användningen av problemlösning utanför skolans väggar. Undersökningen bekräftade många av de tankar som finns runt vikten av lärarens roll vid problemlösning. Valet av problem är av stor vikt för hur eleven uppfattar problemlösning. Det bör vara ett problemlösningsområde med stor igenkänningsfaktor för eleven samt att det är ett problem i rätt svårighetsgrad.
4
Innehållsförteckning
INNEHÅLLSFÖRTECKNING ... 4 1. INLEDNING ... 5 1.1 SYFTE ... 5 1.2 FRÅGESTÄLLNING ... 5 2.1 VAD ÄR DEFINITIONEN AV ETT PROBLEM ... 6 2.2 UNDERVISNING I PROBLEMLÖSNING ... 10 2.3 VARFÖR PROBLEMLÖSNING? ... 13 2.4 TIDIGARE STUDIER ... 15 3. METOD OCH GENOMFÖRANDE ... 16 3.2 URVAL ... 17 3.3 ETISKA ASPEKTER ... 17 3.4 GENOMFÖRANDE ... 18 3.5 DATABEARBETNING ... 19 4. RESULTAT ... 19 4.1 HUR TÄNKER ELEVER I ÅRKURS 4 KRING PROBLEMLÖSNING? ... 19 4.2 HUR SER ELEVENS FÖRSTA TANKE UT VID PROBLEMLÖSNING? ... 19 4.3 VILKA STRATEGIER ANVÄNDS VID PROBLEMLÖSNING? ... 21 4.4 VILKEN TYP AV UPPGIFT SKULLE ELEVERNA SJÄLVA KONSTRUERA OCH NÄR UPPLEVER ELEVER ATT DE STÖTER PÅ PROBLEMLÖSNING UTANFÖR SKOLTID? ... 22 5. ANALYS OCH DISKUSSION ... 24 5.1 HUR SER ELEVENS FÖRSTA TANKE UT VID PROBLEMLÖSNING? ... 25 5.2 VILKA STRATEGIER ANVÄNDS VID PROBLEMLÖSNING? ... 25 5.3 VILKEN TYP AV UPPGIFT SKULLE ELEVERNA SJÄLVA KONSTRUERA OCH NÄR UPPLEVER ELEVER ATT DE STÖTER PÅ PROBLEMLÖSNING UTANFÖR SKOLTID? ... 27 6. SLUTSATS ... 28 REFERENSER ... 29 BILAGA 1 ... 32 BILAGA 2 ... 33
5
1. Inledning
Då jag redan har varit verksam i skolan i några år har jag tagit med mig redan förvärvade pedagogiska erfarenheter i mina frågeställningar. Jag vet att många elever ifrågasätter nyttan med vissa matematiska uppgifter i skolan. Reflektioner som; ”Det här kommer vi aldrig att använda” och ”jag fattar inte varför vi ska göra detta” finns i många klassrum. Oavsett om pedagogen verkligen lägger sig vinn om att förankra den matematiska problemlösningen i vardagliga situationer eller inte, kommer de här tankarna. Att elever som tycker att matematik är svårt suckar har kanske många förklaringar. Det är dock så att även elever med högre måluppfyllelse ifrågasätter vilka typer av problem som ska lösas, vilket i sig är bra då det betyder att de reflekterar över sitt arbete i skolan. När pedagogen presenterar ett matematiskt problem sker det ju under skoltid vilket i sin tur bordar för att problemet är skilt från ”vardagen”. Kanske är det orden problem eller problemlösning som ställer till det? I vardagen ställs vi ofta inför problemlösning utan att vi för den skull benämner det som ett problem. Vi löser problemen utan att reflektera över att det faktiskt är ett ”problem”.
1.1 Syfte
Syftet med det här arbetet är att få en inblick i hur elever i årkurs 4 tänker runt problemlösning. Vad tycker de att problemlösning är? Vilken känsla och vilka förväntningar har de inför problemlösning. Diskussionerna handlar ofta om att problemlösning gör matematiken i skolan mer verklighetsförankrad och därmed mer förståelig. Nyttan med det är bland annat att elever ska förstå varför vi studerar matematik och att kunskaperna fördjupas.
1.2 Frågeställning
Utifrån syftet bestämde jag mig för följande frågeställningar.
• Hur går tankarna hos eleven när ett matematiskt problem presenteras i skolan? • Hur väljer eleven en strategi?
6
2. Litteraturgenomgång
När vi pedagoger idag diskuterar matematiken i grundskolan är ordet problemlösning något som ofta kommer upp. Varför nu detta? Anledningarna är säkert många, mer eller mindre vetenskapligt förankrade. En stor anledning är våra styrdokument, Lgr 11 (Skolverket, 2011) där det finns ett ökat fokus vad det gäller problemlösning i kursplanen för matematik. I det centrala innehållet för årkurs 9 står det bl.a. ”Strategier för problemlösning i vardagliga
situationer…”samt”..frågeställningar utifrån vardagliga situationer…”.
En annan anledning till fokus på problemlösning är resultatet från den senaste PISA-rapporten som presenterades i början på april (Skolverket, 2014). PISA står för Programme for International Student Assessment och är ett OECD-projekt. PISA är en internationell studie som undersöker hur väl rustade femtonåriga elever är att möta framtiden. Elevers förmågor undersöks inom tre kunskapsområden: matematik, naturvetenskap och läsförståelse. Den genomförs vart tredje år i OECD-länder och icke OECD-länder. Svenska 15-åringar presterar under OECD-genomsnittet i ett kompletterande PISA-prov som testar elevers förmåga att lösa problem.
Ytterligare en anledning till att problemlösningen lyfts i diskussioner är matematiklyftet. Såväl nationella som internationella utvärderingar vittnar om att svenska elevers resultat succesivt har försämrats sedan 1990-talet. En av de viktigaste förklaringarna till den allmänna resultatförsämringen är, enligt bl.a. IFAU:s forskningsöversikt om utbildningspolitik (IFAU Rapport 2010:13), troligtvis ändrade undervisningsformer. Regeringen har gett i uppdrag åt Skolverket att svara för genomförandet av fortbildning av matematiklärare i matematikdidaktik. (Regeringsbeslut U2012/2103/GV). Projektet kallas matematiklyftet och genomförs lokalt ute i hela landet på skolorna genom kollegialt lärande. Fortbildningen är tätt knuten till lärarnas ordinarie arbete då allt de diskuterar, läser och planerar under utbildningen prövas i den egna undervisningen. Syftet med projektet är att öka svenska elevers måluppfyllelser i matematik.
2.1 Vad är definitionen av ett problem
Problem kommer från grekiskans problema och betyder uppgift eller det förelagda. Ofta används ordet i betydelsen svårighet eller utmaning. En svårighet som det krävs ansträngning
7
för att komma till rätta med; uppgift som kräver tankearbete och analytisk förmåga. Vad är ett problem inom ämnet matematik? Vid undersökningar om hur pedagoger definierar ordet problem visar det sig att de inte har en gemensam begreppsbild som de har inom andra delar av matematiken. Benämner vi något vid en cirkel är vi överens om hur den kan se ut. ”Problem” kan för pedagogen betyda olika saker.
Sett filosofiskt, kan en lösning bara finnas om det finns ett problem, men att det finns ett problem behöver i omvänd ordning inte betyda att det finns en lösning. (Polya, 1945)
Enligt Lester definition (1983) ska följande villkor vara uppfyllda för att en uppgift ska uppfattas som ett matematiskt problem:
• Individen eller gruppen som möter uppgiften vill eller behöver finna en lösning • Det finns inte någon tillgänglig procedur som garanterar eller innebär en komplett
lösning.
• Individen eller gruppen måste göra en ansträngning för att finna lösningen.
”Rutinuppgift” och ”standarduppgift” är uppgifter som inte bereder lösaren några svårigheter och de kan då inte betecknas som ett problem. ”Textuppgifter”, ”benämnda uppgifter” eller ”vardagsuppgifter” betyder att det även finns ett språk utöver de matematiska symbolerna i uppgiften. Texten är till för att visa en tillämpning av matematik eller ge grund för matematisk modell. Svårigheterna i de här problemen kan bestå i att eleverna inte förstår språket eller sammanhanget. Om de uppfyller Lesters tre villkor och om eleverna har förstått uppgifterna kan de vara matematiska problem.
Uppgift Problem Textuppgift Benämnd uppgift Vardagsuppgift Läsuppgift Rutinuppgift Standarduppgift Rika problem Övriga problem
8
För att knyta an till Lesters andra villkor är det relevant att fråga sig; Hur många läromedel har uppgifter där det inte finns en komplett lösning? Det kräver en stor tillit till sina förmågor för att komma fram till att det saknas information för att lösa en uppgift. Det första och tredje villkoret är här av stor betydelse. Den här typen av uppgifter ställer höga krav på att pedagogen innan har tänkt igenom olika scenarier för att kunna stötta eleven. Pedagogen måste under hela processen hålla fokus på hur eleven tänker runt problemet. Det är viktigt att fokusera på problemet och att det inte är i eleven svårigheterna finns. (Körling, 2012) Det finns en risk att eleven upplever ett misslyckande om den ensam ställs inför ett problem av den här sorten. Begreppet ”rika problem” (rich problems) kan föras tillbaka till internationella forskare på 80-talet (Cooney m.fl. 1985). Det började användas i norden ca 10 år senare. Begreppet är inte definierat helt entydigt, enligt Ole Björkqvist (2001) sorterar flera typer av uppgifter under begreppet rika problem:
• Det kan handla om uppgifter som är motiverande för många elever
• Uppgifter som är värdefulla genom att de stödjer utvecklingen av viktiga matematiska begrepp.
• Det kan handla om uppgifter som kopplar samman viktiga matematiska och icke-matematiska kontexter med varandra.
• Uppgifter kan vara rika genom att de kopplar samman olika matematiska teman med olika lösningsmetoder till varandra.
Taflin (2005) menar i sin avhandling att rika problem uppfyller sju kriterier där Lesters villkor ingår.
1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier.
2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. 4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och
representationer.
5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevers skilda lösningar, en diskussion som visar på många olika strategier, representationer och matematiska idéer.
9
6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden. 7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta
problem.
En sammanfattande tolkning av rika problem är att de inbjuder till givande diskussioner kring olika matematiska begrepp, procedurer, strategier och uttrycksformer.
Andra forskare använder andra beskrivningar av begreppet ”rika problem”.
Skolverket beskriver sin syn på vad ett matematiskt problem är och hur det skiljer sig från rutinuppgifter.
Matematiska problem är till skillnad från rena rutinuppgifter, situationer eller uppgifter där eleverna inte direkt känner till hur problemet ska lösas. I arbetet med matematiska problem måste eleverna i stället undersöka och pröva sig fram för att finna en lösning. Problem kan ha kopplingar till olika matematiska kunskapsområden och kan ta sin utgångspunkt i egna intressen, fantasier eller verkliga situationer. Ibland förekommer ett problem i en specifik situation som gör att eleverna behöver tolka och göra en matematisk formulering av situationen. Problemen kan också vara rent matematiska och sakna direkt samband med vardagen. (Skolverket, 2011)
Vidare framgår det i texten att vad som är ett problem är individuellt:
Ett matematiskt problem kan betraktas som en relation mellan eleven och problemsituationen.
Det är en relation som kan se olika ut, beroende på hur långt eleven har kommit i sin kunskapsutveckling. En elev som har kommit långt i sin kunskapsutveckling kan uppleva en uppgift som en rutinuppgift om hon eller han känner till en problemlösningsmetod. En annan elev kan i mötet med samma uppgift däremot behöva undersöka och prova sig fram till en lösning. (Skolverket, 2011)
Vad som är definitionen av problem inom problemlösningen i matematiken är pedagogens uppgift att tolka utifrån de rådande omständigheterna, såsom elevgrupp och syfte
10
2.2 Undervisning i problemlösning
Problemlösning är den tankeprocess som en intelligent varelse använder för att lösa problem. Problemlösning är ett väsentligt innehåll i skolans matematik. I Lgr 11 finns problemlösning nämnd både som en förmåga att utveckla och som ett centralt innehåll i matematiken. Problemlösning ska även leda till affektiva, känslomässiga mål genom att låta eleven uppleva matematikens skönhet och känna tillfredsställelse med sin egen förmåga att lösa problem. Ett argument för att elever ska arbeta med problemlösning är att det står i styrdokumenten. Andra hållbara argument är att många elever upplever att det är den väg som är mest kreativ och inspirerande och att det är vad matematik handlar om.
Hiebert m.fl. (1997) menar att det är fem viktiga dimensioner som bör vara genomtänkta vid undervisning genom problemlösning. Karaktären hos problemet, lärarens roll, den sociokulturella miljön i klassrummet, matematiska verktyg som hjälpmedel för lärande samt jämlikhet och tillgänglighet.
Olika representationsformer är något som ofta förknippas med problemlösning. Olika representationsformer används för att lösa problem och för olika sätt att redovisa dem.
En form av representationsmatris är tanketavlan med fyra fält. Den kan ges till elever redan i tidiga år och kan varieras hela tiden med nya symboler. Genom att eleverna växlar mellan olika representationsformer (McIntosh, 2008) stärks förmågan att tänka flexibelt på problemet.
11
Ett känt sätt att uppfatta stegen vid lösning av problem är Polyas (1945) beskrivning av de fyra faserna: att förstå problemet, att planera en lösning, att genomföra planen och att utvärdera och reflektera över lösningen.
I fas två, att göra upp en plan, tar Polya upp det som Lester (1996) och Schoenfeld (1985) kallar för problemlösningens strategier. De vanligaste metoderna, strategierna, tillskrivs ofta Polya men det finns många andra som har skrivit om dem.
• Att förenkla givna värden eller se på enheterna • Att använda en tabell eller ett diagram
• Att rita en figur eller visualisera problemet • Att upptäcka ett mönster
• Att giss och pröva om det stämmer
• Att göra en systematisk utredning eller en organiserad lista. • Att formulera om problemet eller tänka baklänges
• Att börja med att lösa ett enklare specialfall eller en del av problemet • Att resonera logiskt och dra korrekt slutsatser
• Att använda en modell för att lösa problemet.
Matematikdidaktikern Frank Lester summerar de fyra viktigaste principerna för undervisningen i problemlösning (Björkqvist 2001):
• Elever måste lösa många problem för att förbättra sin problemlösningsförmåga • Problemlösningsförmågan utvecklas långsamt och under en lång period
• Elever måste tro på att deras lärare tycker att problemlösning är betydelsefull för att de ska ta till sig undervisning.
• De flesta elever tjänar på systematisk undervisning i problemlösning. BILD Här kan elever göra en teckning eller diagram FÖREMÅL Här använder elever sig av konkret material ORD Här kan elever skriva en berättelse eller tala om för varandra vad man har gjort SYMBOL Här skrivs t.ex.28+45 på en papperslapp
12
Matematiklyftets litteratur betonar vikten av pedagogens förmåga att välja rätt problem genom att bl a referera till det japanska matematikdidaktiska begreppet Kika-Shido (Shimizu, 1999) vilket kan översättas med att läraren scannar av elevers individuella tankeprocesser. De avgör hur undervisningen ska läggas upp. Problemet kan behöva anpassas efter elevgruppen och enskilda elever. Pedagogen ska ha satt sig in i problemet och själv ha löst problemet på flera olika sätt samt ha tänkt igenom vilka matematiska samtal som kommer att ske för att kunna bemöta elevernas lösningar och se till att de utvecklar sina matematiska kunskaper. Matematiklektionerna kräver i dessa fall minutiösa förberedelse och möjligheter till kollegiala samtal och reflektioner.
Lärarens roll är alltså central när det gäller elevernas förhållningssätt till problemlösning
När eleverna arbetar med matematik i skolan är det liksom i alla andra ämnen många faktorer som påverkar det de gör. Det är inte bara kunskaper i ämnet som styr, även affektiva faktorer som känslor, motivation och uppfattningar påverkar. Pehkonen (2001) beskriver uppfattningar som en subjektiv kunskap som formas av erfarenheter och kunskaper som en person har upplevt. Enligt Pehkonen avspeglar elevers uppfattningar om matematik de sätt som matematikundervisningen utövas på. Han beskriver det som en cyklisk process. Forskning visar att det finns en nära koppling mellan atmosfären i klassrummet och lärandeframgång. Hur man upplever, känner, tycker och tror påverkar alltså lärandet.
Pehkonen menar att agerandet påverkas av individens syn på matematik, som i sin tur är formad av det sociala sammanhanget. Man måste betrakta helheten för att förstå. När det gäller matematik finns det en hel del kunskap om vad det finns för uppfattningar (Schoenfeld 1985), ”beliefs”. De har ofta direkta konsekvenser för problemlösningen, t. ex.:
Samhälliga myter om matematik En viss elevs syn på matematik En elevs matematiska beteende
13
- Formell matematik har inget med problemlösning att göra. Konsekvens; om ett problem kräver att man ska tänka på ett nytt sätt kommer formell matematik inte att vara inblandad
- Matematiska problemuppgifter löses inom 10 minuter, om de kan lösas överhuvudtaget.
Konsekvens; har en elev inte löst en uppgift inom 10 minuter så ger de upp.
Det finns andra alternativa konsekvenser. Yngre elever visar en kortare uthållighet eftersom de flesta uppgifter i svenska läroböcker har uppgifter som kan lösas på ett par minuter.
Enligt Pehkonen (2001) påverkas både lärare och elever av de samhälleliga myterna om matematik.
Andra ”beliefs” är t. ex.: - Matematik är räkning
- Målet för matematik är att få det rätta svaret.
- Nyckeln till framgångsrik problemlösning är att man vet och kommer ihåg vad som ska göras.
- Man måste få fram sitt svar på det ”rätta” sättet.
- Ett svar på en matematisk fråga utgörs vanligtvis av ett tal. (Pehkonen, 2001)
Som pedagog är det viktigt att ha dessa uppfattningar och normer i åtanke då det kan uppfattas som ett ”hinder” när man bryter dessa.
2.3 Varför problemlösning?
Problemlösning finns med som en del i det centrala innehållet för matematik i Lgr 11. Läser man syftet med ämnet matematik inser man att problemlösning är vägen till att utveckla förmågorna i matematik.
Genom undervisning i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att:
• Formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder
• Använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp
• Välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter
14
• Föra och följa matematiska resonemang
• Använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra
för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (Skolverket, 2011)
Ser man på Lgr 11 genom sociokulturellt perspektiv finner man Vygotskij som förgrundsgestalt. (Lindqvist, 1999). De kommunikativa målen i Lgr 11 är tydliga och de är kärnan i en sociokulturell teori. Sätter man problemlösning i relation till sociokulturella perspektiv, blir det tydligt att Vygotskij har inspirerat den rådande läroplanen i matematik. Det sociokulturella perspektivet beskriver att man kan lära sig läsa eller skriva men det är först när individen kan tillägna sig dessa färdigheter i samspel med sin omvärld som individen kan utvecklas. Här spelar kommunikationen en viktig roll. Vygotskij ansåg att vikten av individens miljö samt samspelet med andra var viktigt för utvecklingen. Elever når nästa nivå först när de använder sitt språk för att beskriva begrepp eller företeelser. Det tysta klassrummet främjar inte lärmiljön. Arbetsro är inte synonymt med tystnad.
Vygotskij intresserade sig särskilt för vad barn kan lära sig på egen hand och vad som kräver en vuxen. Den skillnaden kallas för den proximala utvecklingszonen och beroende på vilken hjälp de får kan barn antingen befinna sig i sin faktiska utvecklingsnivå, där de lär sig av egen kraft, eller i sin potentiella nivå, när de blir stimulerade av lärare. (Bråten1996).
Väljer man att se lärandeprocessen ur Vygotskijs synvinkel framstår problemlösning som rätt väg att gå för att utveckla de matematiska förmågorna.
Kan lära sig på egen hand Kan med hjälp av stöttning Kan inte Proximala utvecklingszonen
15
Frank Lester och Diana Lambdin (2006) har höjt sina röster för problemlösning inom matematiken. De menar att problemlösning och förståelse lever i symbios.
Lester och Lambdin redovisar sex skäl till att det är mer tillfredsställande för elever att lära med förståelse. I korthet lyder de:
• Att förstå är motiverande
• Att förstå stödjer djupare förståelse • Att förstå hjälper en att minnas
• Att förstå underlättar möjligheten att föra över kunskaperna till nya områden. • Att förstå påverkar attityder och uppfattningar.
• Att förstå stödjer utvecklingen av självständiga elever.
Genom problemlösning bör den formella matematiken ges en ökad förståelse.
2.4 Tidigare studier
I det här avsnittet tar jag upp exempel på vad tidigare forskning kommit fram till i ämnet. • Hur går tankarna hos eleven när ett matematiskt problem presenteras i skolan? • Hur väljer eleven en strategi?
• När anser eleverna problemlösning dyker upp i vardagen utanför skolans dörrar? I en undersökning om elevers attityder till matematik kan kopplas till deras prestationer, framgick det att den egna prestationen påverkar attityden. I andra ämnen är det oftast ämnesinnehållet som påverkar attityden (Linnanmäki, 2005).
Forskaren Anita Sandahl (1997) gjorde en undersökning där elever i årskurs 2-9 svarade på två frågor; Vad är matematik? Varför har man matematik i skolan? Sandahl delade in svaren i fyra grupper. Kategorierna var emotionellt förhållningssätt, intern användbarheten självändamål och kontextbundenhet. Några elever årkurs 4-9 såg matematik som problemlösning, t. ex när man handlar. Sandahl delade in dem i kategorin kontextbundenhet.
16
Martha Frank (1988) har undersökt elevers uppfattningar om matematik. Hon kunde urskilja fem kategorier av uppfattningar hos dessa elever. En av dem var ”målet är att få det rätta svaret”. Runborg & Moberg (2006) gjorde en studie om elever i årskurs 3 och deras val av strategier de kom fram till att det var vanligt att kombinera olika strategier. De vanligaste strategierna var huvudräkning, laborativt material, tala, fingerräkning och skriftliga noteringar. Huvudräkning var dock den klart dominerande strategin.
Shkala & Zdrnja (2006) visar i en studie som gjordes på en årskurs 4 att de flesta elever faktiskt kunde se ett samband mellan vardagsliv och problemuppgifter.
3. Metod och genomförande
3.1 Datainsamlingsmetod
Undersökningen är av kvalitativ karaktär. För att välja den metod som på bästa sätt skulle svara på undersökningens syfte, ställdes olika metoder mot varandra. En enkätundersökning ger en bred men ytlig information (Johansson och Svedner, 2010) och valdes bort då det skulle kunna uppstå missförstånd på grund av att eleverna inte hade den läs- eller skrivförståelse som krävdes för denna typ av undersökning. Detta innebär att elevernas tankar och reflektioner kring ämnet kanske inte kommer fram med denna metod. Valet att göra kvalitativa intervjuer grundas i att Larsen (2009) menar att den ger eleverna möjlighet till reflektion då det inte finns några svarsalternativ att tillgå. Starrin och Svensson (1994) menar att kvalitativa intervjuer är ett verktyg för att finna egenskaper, företeelser och innebörder. Fördelar med den kvalitativa intervjun är att det ger möjlighet att samla in en stor mängd information från varje enskild respondent. De är fördelaktiga när intervjuaren önskar att få en analys av till exempel respondentens känslor attityder med mera. En nackdel med kvalitativa intervjuer kan vara då elever ger svar som de tror att intervjuaren vill höra. Detta menar Larsen (2009) kan bero på att eleven inte vill göra intervjuaren besviken. Av den anledningen inleddes varje intervju med att beskriva undersökningens syfte samt att poängtera att deras värderingar var av stort intresse. Ännu en nackdel med djupintervjuer är att de kan vara tidskrävande, av den anledningen sker oftast ett fåtal intervjuer vilket gör det svårt att generalisera resultatet till en hel population. I
17
den här studien då urvalet är begränsat och valt efter vissa kriterier, är något annat än en
analytisk generalisering (Kvale 2009) inte möjlig.
3.2 Urval
Intervjuerna utfördes på en grundskola i södra Sverige där det fanns elever från förskoleklass till årskurs 6. Skolan har elever vars bakgrund i mångt och mycket är väldigt lika, föräldrarna befinner sig till stor del i samhällets övre sociala skikt. Variationerna i elevgrupperna är små vad det gäller den etniska bakgrunden, varför ingen hänsyn har tagits till detta.
De sex elever som kom att medverka i undersökningen gick i årskurs 4. Min tanke från början var att intervjua sex till åtta elever då jag antog att det var den lagom för tiden tid jag avsatt för ändamålet. Valet av årskurs är gjort med tanke på att elever i årskurs 4 har tillförskaffat sig tillräckligt mycket matematiska begrepp för att kunna uttrycka sina tankar vid problemlösning. De har däremot inte arbetat med problemlösning i läromedlet så länge, vilket är en fördel då det är lätt att färgas av de läromedel som används dagligen. Om möjligt är det lättare att få svar som speglar elevens egna tankar.
Eftersom jag arbetar på skolan känner eleverna i klassen igen mig sedan tidigare. De känner sig trygga men har förhoppningsvis inte den relationen att de känner att de eventuellt måste vara mig till lags. Jag har aldrig undervisat eleverna i något ämne.
De sex eleverna togs ur tre klasser, jämt fördelade på killar och tjejer. De elever som valdes har inga specifika läs- och skrivsvårigheter. De är inte heller i behov av något annat kompensatoriskt stöd under skoltid.
3.3 Etiska aspekter
Det är alltid viktigt att ta hänsyn till de etiska aspekterna i alla undersökningar. I kvalitativa undersökningar lämnar informanterna ofta ut så mycket om sig själva att det känns extra viktigt att ta hänsyn till det. Eftersom informanterna i den här studien är minderåriga, var de tvungna att få ett godkännande av sina vårdnadshavare. Det skickades hem ett
18
säkerställt att de inte går att identifiera i den färdiga studien. De har även noga upplysts om att all inspelad data raderas efter transkriberingen enligt Vetenskapsrådets rapport (2011).
3.4 Genomförande
Inledningsvis kontaktades och tillfrågades lärarna i de aktuella klasserna om studien. Därefter gjordes ett klassrumsbesök där eleverna blev informerade om att det skulle genomföras intervjuer i deras klass. Under detta besök fick eleverna veta undersökningens huvudsakliga syfte och hur den skulle genomföras. De elever som var villiga att delta fick därefter ta med ett brev hem till sina målsmän (bilaga 1) för ett godkännande av elevens deltagande.
Intervjuerna genomfördes i mars månad 2014 under tre förmiddagar, en klass per tillfälle, i ett avskilt arbetsrum.
I arbetsrummet fanns ett runt bord och ett antal stolar. Arbetsrummet ligger avskilt från övrig verksamhet varför det inte uppstod några yttre distraktioner under intervjutillfällena. Eder och Fingerson (2002) pekar på det skeva maktförhållandet som råder mellan barnet och den vuxne och vikten av att intervjuaren inte blir förknippad med läraren och förmedlar uppfattningen att det finns ett rätt svar på frågan. En intervju ska enligt Lantz (1993) och Trost (2005) ske i en ostörd miljö för att personen som intervjuas ska kunna känna sig bekväm i sin roll.
Intervjuerna spelades in via ett program på mobiltelefonen. Intervjuerna varade i ungefär 25 till 30 minuter vardera och inleddes med några allmänna frågor för att göra eleven trygg i samtalet. Eleverna blev informerade om syftet och det poängterades att det varken fanns några rätta eller felaktiga svar samt att alla elever kommer att svara på olika sätt.
Intervjun var av semi-strukturerad karaktär där specifika frågor ställdes till alla elever (se bilaga 2), och däremellan ställdes följdfrågor för att ta reda på elevernas tankar. Av den anledningen ställdes till största del öppna frågor som inte har ett givet svar.
Studien inleddes med en pilotintervju med en av eleverna, där syftet var att kontrollera de planerade intervjufrågorna (bilaga 2) och att ge möjlighet till att ändra dem innan nästa intervju. Enligt Trost (2005) kan en pilotintervju eliminera störande moment vid huvudintervjuerna.
19
Efter att pilotintervjun genomförts och avslutats, fastställdes att upplägget fungerade och att samtliga intervjuer skulle genomföras på ett liknande sätt. Därefter genomfördes resterande sex intervjuer.
3.5 Databearbetning
Då inga större ändringar gjordes efter pilotintervjun diskuterades frågan om pilotintervjun skulle ingå i resultatet. Trost (2005) ifrågasätter varför användbart material ska uteslutas. Eftersom pilotintervjun inte spelades in, blev inte förutsättningarna de samma vilket gjorde att den uteslöts ur resultatet.
Syftet med databearbetningen är enligt Larsson (1986) att hitta skilda kategorier. Genom att jämföra skillnader som upptäckts syns det karaktäristiska för den specifika elevens uppfattning (Larsson, 1986). I transkriberingen återgavs intervjuerna med ett mer formellt skriftspråk, pauser, eventuella suckar och emotionella uttryck angavs vid behov. Efter transkriberingen av intervjuerna, påbörjades kategoriseringar av resultatet genom att färgmarkera under en passande kategori. Kategorierna som användes i denna studie utgick från intervjufrågorna
4. Resultat
4.1 Hur tänker elever i årkurs 4 kring problemlösning?
Den huvudsakliga frågeställningen var ”hur tänker elever i årkurs 4 kring problemlösning? Jag har valt att kategorisera svaren i tre grupper efter frågeställningar enligt nedan. De motsvarar mina forskningsfrågor. Alla svar redovisas inte då jag har valt att visa olika typer av svar.
20
Min första frågeställning är; Hur ser elevens första tanke ut vid problemlösning? För att besvara den valde jag att ställa följande intervjufrågor:
• Vad är det första du tänker på när du ska lösa ett problem? Jag ville försöka fånga elevens spontana reaktion vid presentationen av problemlösning.
• Vad är svårast med problemlösning? Eftersom problemlösning är ett komplext område finns det alltid något som uppfattas som svårt.
Elevernas svar (E) och intervjuarens frågor (I)
Tanken ”Åh nej!”, är det första som en elev tänker. Det kan tyda på ett negativt förhållningssätt gentemot problemlösning. Anledningen kan vara kan vara en eller flera. Det verkar vara valet av strategi som känns jobbigt. Flera elever betonade att tänkte att de måste ”läsa noga”. En elev betonar valet av lösningsstrategi som ett hinder. Den eleven betonar också hur viktigt det är att få känslan av att lyckas. Ett par elever nämnde att de snabbt ville ta reda på om det var ”lätt eller svårt” och att få rätt svar var viktigt.
Dialog 1
I: Vad är det första du tänka på när du ska lösa ett problem? E: Åh nej..!
Sen tänker jag på om det är lätt eller svårt och så tänker jag på om det är multiplikation eller division. Det är jobbigt när man inte kan komma på hur man ska göra.
I: Vad gör du då?
E: Jag vill be om hjälp men jag vet att jag ska läsa igenom det en gång till…. …..
I: Vad är svårast med problemlösning? E: Det är ju att komma fram till svaret… I: Hur menar du?
E: Jo, att veta hur man ska göra.
Dialog 2
I: Vad är det först du tänker på när du ska lösa ett problem?
E: Jag försöker se om det är lätt eller svårt, jag tänker på hur jag ska göra, sen löser jag det. När jag är klar tänker jag; Äntligen!
21
I: Hur är den känslan, när uppgiften är klar? E: Bra!
I: Vad är det som är svårast med problem lösning? E: Att komma på hur man ska lösa uppgiften.
4.3 Vilka strategier används vid problemlösning?
Nästa forskningsfråga är; Vilka strategier används vid problemlösning? Den valde jag att besvara genom att ställa följande intervjufråga:
• Hur vet du vilket sätt du ska använda när du löser ett problem? Det är en svår fråga men lämnar utrymme för många alternativa svar.
En elev är fast i mönstret att koda av uppgiften genom att scanna ord som eleven likställer med ett visst räknesätt. Att eleven ger exempel på ord som likställs med ett visst räknesätt är viktigt att vara observant på för att undvika lösningar av uppgifter där djupare förståelse saknas. Även om eleven tycker att uppgiften ”bestämmer” strategin så är det resonemanget inte möjligt om det saknas strategier. Det hade inte funnits något att bestämma om. Lika tal löser man på likande sätt svarar en elev. En elev ville rita en bild direkt, för att komma igång. Ett svar är helt enkelt ”det lättaste sättet”. Svaret på frågan om hur man kan veta om svaret är rätt får olika svar t ex ”kolla om det är rimligt”, facit, fråga en kompis eller ”räkna en gång till om det är samma svar är det säkert rätt”. En elev svarade att man kunde fråga läraren.
Dialog 1
I: Hur vet du vilket sätt du ska använda när du löser ett problem? E: Om det handlar om att dela in något ska det t ex vara division I: Så om ordet dela finns med ska du alltid vara division
E: Hmm…jag tror det.
I: Hur vet du om svaret är rätt?
E: Jag provar om det stämmer. Eller har någon kompis samma svar brukar det vara rätt.
Dialog 2
22
E: Jag vet inte, jag tror att det är en vanesak, typ man använder det man brukar. I: Så du menar att du löser alla problem på samma sätt?
E: Nä, inte så. Man måste ju läsa problemet först och tänka. Men lika problem löser man på lika sätt…
Är svaret rätt? Så här resonerar samma elev.
E: Man kan ju fråga en vuxen.
I: Om du är själv och inte har tillgång till något facit då?
E: Då får jag kolla om det stämmer. En chokladkaka kan ju inte kosta 500 kr. I: Du menar att kollar om svaret är rimligt?
E: Ja just det, så heter det.
4.4 Vilken typ av uppgift skulle eleverna själva konstruera och
när upplever elever att de stöter på problemlösning utanför
skoltid?
Sista forskningsfrågan är Vilken typ av uppgift skulle eleverna själva konstruera och när upplever elever att de stöter på problemlösning utanför skolan?
För att få svar på den, valde jag att ställa följande två intervjufrågor:
• Om du skulle göra ett problemlösningstal till dina kompisar, hur skull det se ut? Med den frågan ville jag komma åt vad eleverna tycker att problemlösning är och därmed lägga en grund för nästa fråga, som var den huvudsakliga frågeställningen.
• När stöter du på problemlösning utanför skoltid?
Uppgifterna till kompisarna skulle helt klart variera och anpassas efter vem som skulle ha dem. De ska vara kluriga. Flera elever talade om att det skulle vara olika räknesätt i flera steg. Det skulle vara kluriga uppgifter med bråk och ”sån’t som är svårt”. Minecraft är problemlösning för en elev. Några elever tyckte att problemlösning uppenbarade sig i affären. Att kunna dela upp godis och dricka fanns också som förslag. En tyckte att sporttabeller bjöd på problemlösning. En elev insåg helt klart nyttan av multiplikationstabellen och att kunna räkna
23
ut arean. Samma elev gav ett talande konkret exempel på hur man kunde använda sig av det vid målning hemma.
Dialog 1
I: Om du skulle göra problemlösningstal till dina kompisar, hur skulle de se ut? E: Det skulle vara multiplikation i det, för det gillar jag.
I: Hur ska du göra ett problem med multiplikation?
E: Jag vet inte riktigt men det skulle vara flera räknesätt och vara lite klurigt, så att man måste fokusera. Man kanske behöver rita upp det. Area funkar ju så.
I: Kan du komma på något exempel?
E: Mitt rum har sidorna 5 meter och 6 meter, min lillasysters rum är 4 meter och 5 meter. Hur mycket större är mitt rum?
Med lite lotsning kom den här eleven även på ett exempel på problemlösning utanför skolan med nästan samma tema.
I: När stöter du på problemlösning utanför skoltid? E: Det gör jag aldrig.
I: Aldrig?
E:…nä typ, jo kanske när vi ska måla om hemma. I: Hur då?
E: Ja, så att man vet hur mycket färg som ska användas och hur mycket den kostar. Kan man räkna ut hur lång tid tar?
I: Vad tror du? E: Jo det måste gå..
I: Vad behöver du för att räkna ut det? E: Vet inte
I: Om du ska måla 5 kvm vad behöver du för att kunna räkna ut tiden? E: …hur lång tid det tar att måla en kvm?
(Linus och Moa är två fingerade namn)
Dialog 2
I: Vad skulle ett problem till dina kompisar handla om? E: Menar du till vem som helst?
24
I: Har det någon betydelse till vem du ska göra problemet? E: Jag hade inte gjort samma tal till Linus som Moa. I: Varför inte det?
E: Linus kanske inte tycker om sammas saker som Moa, det är ju roligare om det är något som man är intresserad av.
I: Vad hade du gjort till Linus?
E: Det skulle handla om fotboll typ om hur många mål någon har gjort eller så…eller hur många minuter det var mellan varje mål.
I: Om du ska göra en uppgift till Moa vad gör du då?
E: Det kanske handlar om att gå och shoppa i en galleria eller nå’t, typ Emporia eller så. Kanske hur mycket någon handlar för i olika affärer och så.
I: Hur skulle du kunna göra en sådan uppgift svårare? E: Man kanske handlar för mycket och pengarna räcker inte.
En annan elev svarade:
Dialog 3
E: Jag brukar inte stöta på problem utanför skolan.
I: Har du ingen användning för det du kan utanför skolan? E:..i affärer..
I: Hur då i affärer?
E: Så att man vet vad man ska betala och så.
I: Kommer du på något annat? Du har tidigare nämnt att det brukar vara diagram och tabeller i problemlösningen.
E: Kanske i någon sport? När du läser i tabeller hur många mål någon har gjort och så, t ex i Spanien. Vem som leder ligan och så.
25
5.1 Hur ser elevens första tanke ut vid problemlösning?
I frågeställningen om hur eleven reagerar när de presenteras inför ett problem kan ett svar uppfattas som mindre positivt. En elev sa spontant ”Åh nej…!” En önskan är att alla elever tar sig an uppgifterna med en trygg känsla, förväntan och motivation att vilja hitta en lösning till problemet. Tanken ”Åh nej!” vittnar om en mindre positiv attityd. Linnanmäki (2005) påvisade att den egna prestationen påverkar attityden. En elev påpekar att känslan av att hitta en lösning är tillfredställande. Hur uppnår eleven den känslan oftare? Det är i årskurs 4-5 som elevers attityder till matematik börjar förändras, från att till att har varit mest positiva märks här en dalande kurva (Knutsson, 2011)
Pehkonens resonemang och tankar som innebär att samhällets, lärarens och elevens attityder till matematik speglar matematikundervisning är viktiga att ta hänsyn till. Förutsättningarna är därmed väldigt olika i olika grupper. Begreppet Kikan-Shido (Shimizu 1999) betonar vikten av pedagogens förmåga att scanna av elevers individuella tankeprocesser. Det avgör hur undervisningen ska läggas upp. Problemet behöver anpassas efter elevgruppen och enskilda elever. Valet av rika problem där det finns en progression inom samma uppgift kan vara ett bra alternativ för att kunna hantera problemlösning i en grupp där det helt naturligt finns olika behov av individualisering.
Att anpassa problemet till elevgruppen och inom den och att kunna individualisera kräver tid. Du ska som pedagog även försöka förutse olika lösningsstrategier för att på bästa sätt kunna stötta eleverna i problemlösningen. Stöttningen under det matematiska samtalet och ansvaret för att eleverna befinner sig i den proximala utvecklingszonen är en avgörande faktor för hur eleverna upplever problemlösning. Är problemen för enkla blir de tråkiga, är de för svåra blir det ”för jobbigt” Finns problemlösningsområdet inte i elevens vardag är risken stor att motivationen uteblir. Det är flera som betonar detta, bl a. Illeris (2001) som menar t ex att barns motivation utvecklas i samspelet mellan individens liv och samhället de lever i.
5.2 Vilka strategier används vid problemlösning?
I ett svar syns tydligt faran med att fastna i ett mönster där elever ”kodar” av vissa ord, t.ex. om ordet dela finns i uppgiften ska division per automatik användas. Här avslöjar svaren också att eleverna använder strategier som de övat på. Till exempel ”rita en bild” och ”lika problem löser
26
man på liknande sätt…” Polyas (1945) sätt att tydliggöra olika strategier för problemlösning är användbar som modell, även Taflin (2007) använder sig av att tydliggöra strategier. Frank Lester (1996) summerar de fyra viktigaste principerna för undervisningen i problemlösning
• Elever måste lösa många problem för att förbättra sin problemlösningsförmåga • Problemlösningsförmågan utvecklas långsamt och under en lång period
• Elever måste tro på att deras lärare tycker att problemlösning är betydelsefull för att de ska ta till sig undervisning.
• De flesta elever tjänar på systematisk undervisning i problemlösning.
Det är i de matematiska samtalen vid redovisningen av olika lösningsstrategier som eleven utvecklar sitt matematiska tänkande och kunnande. Det är ett ansvar vi har, att ge elever användbara strategier vid problemlösning. (Skolverket, 2011). Eleverna i studien nämnde flera gånger att rita för att göra problemlösningen mer konkret. Den strategin är användbar och kan med fördel användas som utgångspunkt vid det matematiska samtalet. En elev nämnde att vissa ord förutspådde ett visst räknesätt, det är en osäker strategi som inte alltid kräver någon djupare förståelse.
För att återknyta till Vygotskij (1999) som ger språket en central roll. Är det så att om eleverna får konstruera liknande problem, som dem de presenterats för, befäster de och utvecklar nya begrepp genom att använda språket? Jag tror att språket spelar en viktig roll i den formativa bedömningen, det är ett tydligt sätt att se varje elev. Det matematiska samtalet ger tillfällen till formativ bedömning på ett naturligt sätt. Det viktiga är att eleverna under arbetet med problemlösning ges möjlighet att diskutera olika lösningsstrategier, dels för att befästa och dels för att utveckla begreppen. Har eleverna strategierna är det en bra början. Det ger dem matematiska verktyg.
Valet av ett ”rikt problem” (Taflin 2005) skapar förutsättningar för matematisk kommunikation och givande diskussioner kring olika matematiska begrepp, procedurer, strategier och uttrycksformer. Användande av språket, som enligt Vygotskij är nödvändig för en matematisk utveckling. Den sociokulturella miljön i klassrummet är avgörande för hur givande och utvecklande diskussionerna blir. Vygotskij beskriver: ”förutsättningar för ett pedagogiskt möte är ett samspel mellan en elev och lärare, till vilket bägge parter tillför både aktivitet och
27
kreativitet.”(Bråten, 1996) I likhet med Runborg & Moberg (2006) visade svaren i min studie att det är vanligt att kombinera olika strategier.
5.3 Vilken typ av uppgift skulle eleverna själva konstruera och
när upplever elever att de stöter på problemlösning utanför
skoltid?
Förförståelsen av kontexten och motivation inför problemlösningen är en betydande faktor. Elevnära problem bör ge en högre aktivitet. Att valet av uppgift har betydelse för motivationen visar eleverna tydligt när de berättar att de skulle individualiserat problemlösning genom att utgå från intresse. Minecraft som en elev hade som intresse var ett självklart val för den eleven. De elever som upplever en negativ känsla vid introduktionen av ett problem, beror det på osäkerhet? Kan de kanske känna sig trygga med ett för dem bekant ämne?
För att öka motivationen hos eleverna vid problemlösning är det nödvändigt att vilken användningen man kan ha av den. Det är fortfarande så att skolans värld på många sätt är skild ifrån omvärlden. Detta faktum försvårar förståelsen för att problemlösning finns utanför skoltid. Jag vet att många läromedel verkligen lägger sig vinn om att försöka konstruera verklighetstrogna problemlösningsuppgifter. Det är dock så att matematiken inte är det enda som känns skilt ifrån ”den vanliga världen” det gäller de flesta ämnen i grundskolan. Skolan har inte förändrats i samma takt som omvärlden,
När stöter på problemlösning utanför skoltid? Det spontana svaret hos flera elever var att de aldrig gjorde det. Efter en del funderingar var det ändå några som uppgav affären som ett ställe där de stöter på problemlösning. Att dela lika är också något de känner igen, matlagning är ett annat. En elev menar att problemlösning används endast i Minecraft.
Vygotskijs perspektiv då samverkan mellan elev, lärare och miljö krävs för djupare förståelse har vi en bit kvar. Det krävs en aktiv elev, en aktiv lärare och en aktiv miljö. (Lindqvist, 1999). För en aktiv elev krävs motivation och vilja.
28
Det dök upp förslag på bl. a. fotboll, shopping och Minecraft. Igenkänningsfaktorn ska vara stor för att eleverna ska uppfatta uppgifterna som verklighetstrogna. Även här kan Illeris resonemang om att motivation utvecklas i samspelet mellan individens liv och samhället de lever i tillämpas. Shkala & Zdrnja (2006) studie visade att de eleverna såg klara samband mellan vardagsliv och problemuppgifter. Eleverna i min studie var inte helt på det klara med vardagens anknytning i matematiken. Eftersom underlaget inte här så stort i min studie är det svårt att dra några generella slutsatser.
6. Slutsats
Studien ger kanske inga djupa kunskaper om elevers syn på problemlösning. Jag känner dock att jag har stärkt min uppfattning om att valet av uppgift vid problemlösning är viktig ur många perspektiv. Den ska vara motiverande och igenkänningsfaktorns roll är stor.
Strategin att elever konstruerar egna ”problemlösningsuppgifter” kan kanske medföra att det kommer in mer verkliga problemlösningssituationer i skolan.
29
Referenser
Björklund, Anders & Fredriksson, Peter & Gustafsson, Jan-Eric, Öckert, Björn (2010). Den
svenska utbildningspolitiken arbetsmarknadseffekter: vad säger forskningen? Uppsala: IFAU
Björkqvist, Ole. (2001). Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur
Bryman, Alan. (2008). Social research methods. Oxford: Oxford University press
Bråten, Ivar (1996). Vygotskij och pedagogiken. Lund: Studentlitteratur AB
Eder, Donna. & Fingerson, Laura. (2002) Handbook of Interview Research. Thousand Oaks: Sage
Frank, Marta L (1990). What myths about mathematics are held and conveyed by teachers? National Council of Teachers of Mathematics
Grevholm, Barbro (2012). Lära och undervisa matematik
från förskoleklass till åk 6. Stockholm: Norstedts
Hedrén, Rolf & Taflin, Eva & Hagland, Kerstin (2005). Vad menar vi med rika problem och
vad är de bra till? Nämnaren, NCM
Illeris, Knud. (2002) Lärande i mötet mellan Piaget, Freud och Marx. Lund: Studentlitteratur
Johansson, Bo. & Svedner, Per Olov. (2010). Examensarbetet i Lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget AB
Kvale, Steinar & Brinkman, Svend (2009). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur AB
30
Lantz, Annika. (1993). Intervjumetodik: den professionellt genomförda intervjun. Lund: Studentlitteratur
Larsen, Ann Kristin. (2009) Metod helt enkelt. Gleerups
Larsson, Maria (2012). 32 Rika problem i matematik. Stockholm: Liber AB
Lester, Frank. & Lambdin, Diana. (2006) Lära och undervisa matematik – internationella
perspektiv. Göteborg: NCM
Lester, Frank. K. (1996). Matematik – ett kommunikationsämne (Nämnaren TEMA). NCM, Göteborgs universitet.
Lester, Frank. K. Jr. (1983). Trends and Issues in Mathematical Problem-Solving Research. In R. Lesh & M. Landau (Eds.). Acquisition of Mathematics Concepts and Processes. New York
Lindqvist, Gunilla (1996). Vygotskij och skolan. Lund: Studentlitteratur
Linnanmäki, Karin. (2005). Matematikprestationer och självuppfattning. Finland: Åbo akademi.
McIntosh, Alastair. (2008) Förstå och använda tal: en handbok. Göteborg: NCM
Nationalencyklopedin (2014)
Pehkonen, Erkki. (2001). Lärares och elevers uppfattningar som en dold faktor i
matematikundervisningen. In Grevholm, Barbro. (red.) Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur.
Polya, George (1945). How To Solve It. A New Aspect of Mathematical Method. New Jersey:Princeton University Press
Regeringen, Utbildningsdepartementet (2012). Regeringsbeslut U2012/2103/GV. Stockholm
Runborg Johansson, Carina. & Moberg, Ulrika. (2006) Problemlösning, En studie om elevers
lösningsstrategier vid matematisk problemlösning Växjö: Växjö Universitet
Schoenfeld, Alan. H. (1985). Mathematical Problem Solving. Orlando: Academic Press. Shimizu, Yasutaka. (1999) Aspects of mathematics teacher education in Japan: Focusing on teach- ers‘ roles. Journal of Mathematics Teacher Education
31
Shkala, Rehana. & Zdrnja, Borislav. Om strategier vid problemlösning i matematik Malmö: Malmö högskola
Skolverket (2003) rapport Lusten att lära – med fokus på matematik från 2003
Skolverket (2011). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik. Stockholm: Fritzes
Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen
och fritidshememt 2011 – Lgr 11. Stockholm: Fritzes
Skolverket (2014). PISA 2012, Rapport 406 2014. Stockholm: Fritzes
Starrin, Bengt & Svesson, Per-Gunnar. (1994). Kvalitativ Metod Och Vetenskapsteori. Lund: Studentlitteratur
Taflin, Eva (2007). Matematikproblem i skolan - för att skapa tillfällen till lärande. Umeå: Umeå University, Faculty of Science and Technology, Mathematics and Mathematical Statistics
32
Bilaga 1
Till föräldrar/vårdnadshavare
Hej! Mitt namn är Carina Olsson och jag gör ett examensarbete på lärarutbildningen vid Malmö högskola. Jag ska göra ett examensarbete inom matematik och jag har valt att inrikta mig mot problemlösning. I min undersökning ingår observationer och intervjuer av ett fåtal elever i årskurs 4. För att jag ska kunna analysera intervjuerna på bästa sätt kommer jag även att spela in dem. Jag skulle därför vilja ha ert tillstånd att eventuellt få observera och intervjua ert barn. De barn som är med i undersökningen kommer att vara anonyma och det är endast jag som kommer att lyssna på intervjun. Ert medgivande skulle vara en stor hjälp till min i undersökning. Tack på förhand! Carina Olsson __________________________________________________________________________________ Mitt barn får medverka. Mitt Barn får inte medverka Elevens namn: Målsmans underskrift:33
