laborativt arbete; Ett arbetssätt att utveckla elevers förståelse för matematik (bråk)

Malmö högskola

Lärande och samhälle

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

15 högskolepoäng, avancerad nivå

Laborativt arbete

Ett arbetssätt att utveckla elevers förståelse för

matematik (bråk)

Laboratory work; A method to develop pupils’ understanding of

mathematics (fractions)

Khaldieh Elawad

Lärarexamen 210 hp

Matematik och lärande 2016-01-14

Examinator: Per Hillbur Handledare: Adam Droppe

Förord

Kan laborativt arbetssätt vara ett bra arbetssätt för att nå förståelse för matematik? Kan det vara ett effektivt sätt för att förbättra matematikundervisning och för att få elever förstå vad de lär sig? Hur resonerar elever om matematiken under laborativt arbete? Jag beger jag mig nu ut i verkligheten för att undersöka detta. Men innan det sker vill jag tacka många personer för deras stöd. Först vill jag tacka min handledare Adam Droppe för sitt stöd, god vägledning och för sin feedback under arbetet. Jag vill också tacka min chef på Drakens förskola och alla mina kollegor för uppmuntrandet. Stort tack till min syster Nimra som ger mig alltid feedback på mitt arbete.

Jag tackar min familj (Min mamma, Mohammed, Adam och Ahmed) för deras förståelse och stöd. Sist men inte minst tackar jag lärarna i skolan och alla elever och vårdnadshavarna som var väldigt hjälpsamma och välkomnande. De gjorde att denna undersökning blev smidig och möjlig.

Abstract

Syftet med detta arbete är att undersöka hur elever resonerar i matematiska frågor och vilka synsätt de har på matematiken under laborativt arbete. Jag har i min undersökning valt att lyfta fram det laborativa arbetets roll i att förstå matematik.

Undersökningen bygger på intervjuer med 15 elever som går i mellanstadiet. Jag använder mig av kvalitativ forskning. Jag lägger vikten på den språkliga innebörden och utgår från elevers resonemang i matematik för att sedan tolka deras handlingar, attityder och förståelse för matematik.

Mina resultat visar att det laborativa arbetssättet kan vara en bra och användbar metod för att utveckla förståelse för matematik, om det används på ett sätt, där man utgår från elevers redan existerande kunskaper.

Nyckelord: Bråk och tal i bråkform, laborativ matematik, laborativa material, laborativ undervisning, matematik, matematikundervisning, resonemang.

Innehållsförteckning

1. Inledning och bakgrund 5

1.1 Inledning 5

1.2 Bakgrund 5

2. Syfte och frågeställningar 7

2.1 Syfte 7

2.2 Frågeställningar 7

3. Litteraturgenomgång 8

3.1 Vad är laborativ undervisning? 8

3.2 Matematik och matematikundervisning 8

3.3 Vad är laborativ matematik och laborativa material? 9

3.4 Bråk 9

3.5 Samtals betydelse för barns lärande 10

3.6 Tidigare forskning 11 4. Metod 13 4.1 Gruppintervju 14 4.2 Halvstrukturerade intervjuer 14 4.3 Deltagande observationer 15 4.4 Urval 16

4.5 Samtyckes- och informationskravet 16

4.6 Pilotundersökning 16

4.7 Tillvägagångssätt 17

5. Resultat 19

5.1 Hur resonerar eleverna matematiskt 19

5.2 Attityder till användningen av konkreta material 27

6. Analys av resultat och teoretisk tolkning 29

6.1 Elevernas resonemang och synsätt på matematik 29 6.1.1 Matematik som ett abstrakt skolämne 29 6.1.2 Matematiken är användbart i vardagen 31 6.1.3 Konkret laborativt materials användningseffekt 31 6.2 Elevernas uppfattningar om tal i bråkform under laborativt arbete 32 6.2.1 Bråk som ett tal och som en del av en hel 32

6.2.2 Bråk som division 33

6.3 Elevers användning av det laborativa materialet som verktyg för

att förstå begreppet bråk 34 7. Diskussion 36 7.1 Tillförlitlighet 36 7.2 Slutsats 37 7.3 Vidare forskning 38 8. Referenser 40 9. Bilagor 43

1.

Inledning och bakgrund

1.1 Inledning

Under tiden jag gick i skolan i Libanon funderade jag över mina matematiklärares sätt att undervisa i ämnet matematik. Jag ansåg att undervisningen var formell och tråkig. Matematikläraren satt där på sin plats och läste högt ur sin lärobok både syften och regler, sedan gav han olika exempel genom att använda svarta tavlan för att tydliggöra eller pröva en formel som vi skulle använda oss av. Jag tror inte att läraren brydde sig om vi tänkte matematiskt eller behandlade olika matematikproblem matematiskt. Jag upplevde matematik som ett tråkigt skolämne som man inte har nytta av utanför skolan. Om man inte klarade uppgifter och fick ”fel svar” var det elevens fel eller ”dumhet” och inte lärarens. Men ett sätt hjälpte mig att förstå några nya begrepp i matematik samt många matematikproblem. Det var att pröva olika lösningar laborativt genom att använda mig av de tillgängliga och vardagliga konkreta materialen som bland annat stenar, pasta och bönor, papper, remsor och ritningar. På det här sättet kunde jag förstå och pröva olika matematiska uppgifter.

1.2 Bakgrund

Enligt internationella studien TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 2011, presterar svenska elever allt sämre i matematikkunskaper jämfört med andra elever i EU/OECD-länder.

De svenska eleverna i årskurs 4 visar lägre resultat i matematik jämfört med genomsnittet för elever i EU/OECD-länder. Resultaten för elever i årskurs 4 är i stort sett samma 2011 som de var vid mätningen 2007. Resultaten för elever i årskurs 8 har försämrats ytterligare vid denna mätning jämfört med tidigare mätningar. Sverige är ett av de fåtal länder som visar en kontinuerlig resultatförsämring under hela 2000-talet.(skolverket, publikationer)

Som blivande matematiklärare är jag orolig över detta resultat. Även under min VFT (verksamhetsförlagda tid) upplevde jag denna sämre prestation hos en del elever, som upplever matematiken som ett tråkigt skolämne. Det är viktigt för mig som blivande matematiklärare att väcka intresse för matematik i undervisningen. För att göra det behövs det variation i arbetssätt på grund av att elevernas intresse, erfarenheter och

behov är olika. Moyer (2001) menar att för att stödja elevernas förståelse behövs det olika sätt att framföra ett koncept, eller att använda flera arbetssätt. Hon skriver vidare att elever måste förstå vad de lär sig för att lärande ska vara permanent.

Kan laborativt arbete vara en bra och användbar metod för att förbättra matematikundervisning och för att få elever förstå vad de lär sig? Där elever inte bara använder sig av de konkreta och visuella materialen utan även diskuterar, resonerar och argumenterar för deras hypotes, prövar resultat och drar slutsatser.

Undersökningsområdet ”Laborativ matematik” är ett välstuderat område. Det är många forskare som har undersökt användningen och effektiviteten av konkreta material i matematikundervisning. Forskarna fokuserar på effekten av att använda laborativa material och på lärarens roll. Med denna studie fokuserar jag på elever och undersöker elevers resonemang, alltså hur elever resonerar matematiskt under laborativt arbete.

2.

Syfte och frågeställning

2.1 Syfte

Syftet med detta arbete är att ta reda på hur elever resonerar i matematiken och vilka synsätt de har på matematiken under laborativt arbete. Undersökningen utgår från barnens reflektion där syftet även är att ta reda på hur man didaktiskt kan bedriva undervisning för att öka elevers förståelse för matematik. Jag skulle även vilja utveckla min egen förståelse och syn på matematikundervisningen för att öka intresset för matematik hos mina framtida elever som ett skolämne med stor nytta i vardagliga situationer och i omvärlden. Genom att förstå hur barn resonerar då de använder praktiskt material, kan läraren också utveckla sitt arbete med matematikundervisning överhuvudtaget.

2.2 Frågeställningar

- Hur resonerar elever i mellanstadiet (årskurser fem och sex) matematiskt under laborativt arbete?

- Vilka synsätt har elever i mellanstadiet på matematik under laborativt arbete? - Hur uppfattar elever i mellanstadiet begreppet bråk under laborativt arbete? - Vilka attityder har elever i årskurserna fem och sex till laborativt arbete?

3.

Litteraturgenomgång

3.1 Vad är laborativ undervisning?

Nationalencyklopedins definition av laborativ undervisning:

”Laborativ undervisning är metoder för undervisning och inlärning med stöd av experiment och försök. Termen har också använts om undervisning som kombinerar teoretiska och praktiska uppgifter enligt John Deweys princip

learning by doing.” (NE, laborativ undervisning, 2015)

3.2 Matematik och matematikundervisning

”Matematiken är abstrakt: och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling. Den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen, vilket är en förutsättning för att den skall kunna vara generell, dvs. tillämpbar i en mångfald situationer.” (NE, matematik, 2015)

Madeleine Löwing (2008) däremot anser att Nationalencyklopedins definition om matematik inte passar bra inom grundskola. Kiselman (2008) förklarar att definitionen inte kan bestämma vad matematik är. Han anser att matematiken är en del av den mänskliga kulturen och historien. Matematiken kan användas för att förstå och styra verkligheten.

Löwing (2008) menar att målet för matematikundervisning i skolan är att eleverna skall lära sig förstå och använda ett antal matematiska begrepp och modeller. Detta sker genom att man utgår från det enkla och konkreta vardagsproblem till det komplicerade och abstrakta matematiska problem. Löwing och Kilborn (2002) säger också att just konkretisering spelar en viktig roll inom grundskolans matematikundervisning. Med konkretisering menar de att med hjälp av ett material eller en erfarenhet underlätta en abstraktion.

Styrdokumentet betonar vikten av matematikens användning i vardagssituationer. Syftet med matematikundervisning enligt kursplanen är bland annat att:

Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar kunskaper om matematik och matematikens användning i vardagen och inom olika ämnesområden. Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar intresse för matematik och tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika

sammanhang. Den ska också ge eleverna möjlighet att uppleva estetiska värden i möten med matematiska mönster, former och samband. (Skolverket 2011)

3.3 Laborativ matematik och laborativa material

Moyer (2001) beskriver laborativ matematik som ett sätt eller en metod som pedagogen kan använda sig av i matematikundervisning. Hon skriver vidare att laborativa material är föremål som är planerade för att representera matematiska abstrakta idéer på ett explicit och konkret sätt. Det är både visuellt och taktilt tilltalande och kan hanteras av elever genom praktiska erfarenheter. Kronqvist och Malmer (1993) menar att konkreta material betraktas som ”redskap för barnens egna upptäcker och för deras möjligheter att synliggöra sina tankestrukturer” (s. 15).

3.4 Bråk

Bråk är ”ett tal skrivet i formen där a och b är hela tal. Ex: och .” (Löwing, 2008 s. 244). Löwing menar att bråk spelar en stor roll när det gäller att beskriva andelar samt är en nödvändig förkunskap för att lära sig algebra och konkretisera en rad algebraiska operationer. Löwing och Kilborn (2002) förklarar att bråket kan förekomma i en rad olika situationer i vardagen och i läromedel under lektioner, som ett tal, en del av en hel, en del av ett antal, division som metafor, en andel, en proportion, ett förhållande eller som en skala. Dessutom menar Löwing och Kilborn att bråkräkning tonats ned i grundskolan eftersom bråk inte längre förekommer i vardagen som tidigare. De menar att bråkräkning bör byggas upp på konkreta eller vardagsförankrade tankeformer.

Löwing (2008) menar att divisionen kan utnyttjas som en bra metafor för ett bråk vid lösning av olika problem, dessutom menar hon att man i svensk skola inte skiljer längre mellan ett bråkstreck och tecknet för division. Löwing förklarar att man kan uppfatta division som delningsdivision och som innehållsdivision. Delningsdivision är en uppfattning av division som handlar om att fördela ett antal föremål lika mellan ett annat antal. Delningsdivision är det första räknesätt barn brukar lära sig eftersom den betraktas som det enklaste av alla räknesätten. Elwes (2014) förklarar begreppet

innehållsdivision och menar att det är en uppfattning av division där man ser hur många

gånger ett visst antal ingår i ett annat, med andra ord hur många mindre tal finns i ett större tal. Han menar vidare att efter laborering med talen i bråkform skall man kunna få

information direkt från talen utan manipulering. Han menar också att somliga tal inte är lika lätta att manipulera.

3.5 Samtals betydelse för barns lärande

Lärande är att utföra en handling, mental eller extern i en situation som individen inte utförde i en tidigare situation (Lärandets grunder, 2011).

Dewey (2004) menar att barn utvecklas genom ett samspel med sin omvärld. Detta sker genom att de aktivt experimenterar med och observerar sin omgivning. Dewey betonar lärarens och skolans roll; som en form av samhällsliv, att vägleda, styra och organisera detta samspel mellan barn och deras omgivning, där de ges möjligheter att aktivt pröva och experimentera (att lära genom att göra) i ett målinriktat arbete, med barnens intresse och aktivitet som utgångspunkt.

Vygotskij (2001) betonar språkets betydelse för lärande i sin sociokulturella teori. Han menar att det finns samband mellan språk och tänkande som formats under barns utveckling. Språket skapar nya betydelser för tanken. Vygotskij klarlägger att utan social kommunikation sker ingen utveckling gällande språk och tänkande. Han menar att genom kommunikation med andra leds man fram till ny kunskap, genom andra lär man känna sig själv. Lärandet sker genom samtalet som är en naturlig social handling. Även Ahlberg (2001) menar att barn utvecklar sitt matematiska tänkande redan vid tidig ålder, då de möter olika former av matematiska begrepp genom fysiska och språkliga aktiviteter i samspel och samtal med andra människor. Dessutom menar Vygotskij (2001) att direkt inlärning av begrepp leder till ett tomt inlärande av ord. Det vill säga att barnet tillägnar sig inte begrepp utan ord, det använder sig mer av minnet än av tänkandet. Han menar vidare att barnet visar osäkerhet inför varje försök att använda sig av sin kunskap på ett medvetet sätt.

Bengt Bratt och Jan Wyndhamn behandlar i Matematik - ett kommunikationsämne (1996) resonemangets och språkets roll för tänkande och menar att samtal och resonemang om matematik hjälper eleverna att lyfta fram och utveckla sitt matematiska tänkande. Eleverna kan därmed synliggöra sina tankar för sig själva och för andra genom att berätta hur de tänker och gör. Genom samtalet med elever kan läraren locka fram elevernas uppfattningar kring olika begrepp. Dessutom menar Löwing and Kilborn (2002) att läraren skall inte bara låta eleverna manipulera sig fram till ett svar genom att

använda sig av olika material utan verkligen konkretisera. Med konkretisering menar författarna att stödja uppbyggandet av hållbara tankeformer språkligt.

3.6 Tidigare forskning

Vilken roll spelar laborativ matematik i elevernas förståelse för matematik?

Moyer (2001) har gjort en studie om lärarnas användning av laborativ matematik. Hennes syfte var att undersöka och förklara hur och varför lärarna använder sig av laborativ undervisning i matematik på det sättet de gör. Hon menar att den redan existerande kunskapen och förståelsen hos elever som agerar matematiskt ger värde för det matematiska didaktiska materialet.

Gellert (2004) har reflekterat i sin studie över användning av didaktiskt material i matematikundervisning. Han anser att det didaktiska materialet spelar en viktig roll för att eleverna skall kunna engagera sig i matematiska aktiviteter.

Burns och Hamm (2011) har gjort ett klassrumsexperiment för att undersöka effektiviteten av konkreta material jämfört med det virtuella materialet (interaktiv datorbaserade visuell representation av dynamiska objekt) för elevernas matematiska förståelse av bråk och symmetri. Burns och Hamm skriver att laborativ matematik kan beskrivas som ett värdefullt matematiskt verktyg som ger upplevelsebaserat lärande genom konkreta föremål.

Ball (1992) menar att laborativt material inte är magi. Han menar att det inte finns någon matematisk struktur inneboende som gör att elever arbetar matematiskt när de använder dem. Moyer (2001) däremot menar att genom användning av laborationer som verktyg, får elever erfarenhet av materialet och hur det används.

Moyer och Jones (2004) har gjort en studie för att undersöka hur lärare och elever använder sig av laborativa material under matematikundervisning när eleverna har fri tillgång till materialet. De menar att det är samarbete mellan elever och lärare, samt de meningsfulla metoder som bestämmer användbarheten av den laborativ matematik. Även Gellert (2004) menar att det didaktiska materialet förmodligen är mindre viktigt för de matematiska aktiviteterna i klassrummet än avtalet mellan lärare och elever om hur man handskas med att använda det. Vad studenterna faktiskt gör med didaktiskt material beror inte bara på matematiska erfarenheter och de matematiska kunskaper

eleven har, utan även på de sociala normer som reglerar det matematiska samtalet i klassrummet. Elevernas matematiska aktiviteter motsvarar inte alltid den matematiska kapaciteten läraren ser i det didaktiska materialet, vilket kan skapa en spänning mellan idén bakom det didaktiska materialet och sättet det används på i klassrummet (Gellert, 2004).

Vilken effekt kan användning av laborativ matematik ha?

Moyer och Jones (2004) visar att användning av laborativa material på ett effektivt sätt främjar matematisk förståelse och engagerar eleverna i meningsfulla upplevelser som lärare uppfattar som användbara.

Sowell (1989) har gjort en studie för att integrera resultaten från forskning om effekterna på elevers prestationer och attityder när de använder laborativ matematik. Hon fokuserar på effekten av att använda laborativa material, och menar att användning av dem ger större effekt och resultat än att inte använda dem.

Moyer (2001) menar att utvecklingen av elevers egna idéer, som är testad laborativt, är kärnan av vad det innebär att lära sig matematik. Hon menar att kopplingen mellan elevens egna intellektuella insatser och gemensamma verktyg som kan används för att presentera matematiska idéer står som utmaning för matematiklärare. Eftersom många matematiklärare saknar den matematiska kompetensen som behövs för att omvandla matematiska idéer till representation (Ball, 1992). Även Skemp (1987) skriver att elevers tidiga erfarenheter och interaktioner med konkreta objekt legat till grund för senare lärande på abstrakt nivå. Dessutom förklarar Moyer (2001) att konkreta material tillåter eleven att aktivt utveckla ett bildförråd som kan användas i det mentala hanterandet av abstrakta begrepp.

Däremot menar Jensen i Lärandets grunder (2011) att barnens egna aktiviteter inte kan leda till att de upptäcker det abstrakta mönstret i världen. Han menar att kunskapen som hjälper elever att se abstrakta mönster finns i teorier som forskningen har formulerat.

4.

Metod

För att samla in data till undersökningen använde jag mig av kvalitativa data som ofta kallas ”mjuka data” där forskarens kontextuella synsätt och engagemang leder fram till detaljrik information (Bryman, 2011).

Kvalitativ forskning utnyttjar många metoder på ett naturligt sätt, där forskaren möter människor i deras naturliga omgivning. Forskaren som använder kvalitativa metoder tolkar fenomen utifrån meningen som människor ger dem (Bryman, 2011). Det vill säga att i kvalitativ forskning lägger forskaren vikten vid hur individerna uppfattar och tolkar sin sociala verklighet som en föränderlig egenskap som hör till individernas skapande och konstruerande förmåga. Jag lägger i detta arbete tyngdpunkten på hur elever i årskurserna fem och sex resonerar i och uppfattar matematik under laborativt arbete. Jag utgår från elevers resonemang i matematik för att sedan tolka deras handlingar, attityder och förståelse av matematik. Bryman förklarar termen hermeneutik, som något som rör teori och metod i samband med tolkning av människors handlingar och upplevelser av verkligheten, där betoningen läggs på språkliga innebörder.

Kvalitativ forskning bygger på en strategi där vikten ligger på agerande, ord och yttranden under insamlingen och analysen av data (Bryman, 2011), vilket jag betonar i min undersökning. Det vill säga jag kommer lägga vikten på vad barnen säger och gör. Kvalitativa strategier passar bäst om en forskare är intresserad av vilken bild eller syn medlemmarna i en bestämd grupp har på ett ämnesområde (Bryman, 2011). För att fånga individernas uppfattningar och tolkningar av den verkligheten de lever i undersökte jag elevers synsätt på matematik under laborativt arbete i syftet att skaffa mig en helhetsförståelse av elevers egen förståelse om matematik.

Enligt Bryman (2011) finns det flera olika metoder som ingår i kvalitativ forskning som bland annat intervju, observation och analys av text.

4.1 Gruppintervju

Undersökningen i detta arbete bygger på individuella intervjuer med 15 elever i årskurs fem och sex. Eleverna blev intervjuade i par under höstterminen 2015. Alla intervjuer spelades in i ett tomt rum.

Det är kanske lättare att få människor att prata när de ingår i en grupp. När människor pratar i en grupp, kan de komplettera varandra och många kommer på saker när de lyssnar på andra (Larsen, 2009).

Syftet med detta arbete är att skaffa mig en bild på hur elever resonerar och samspelar processmässigt i matematik under laborativt arbete. Därför genomförde jag intervjuerna i par för att barnen skulle kunna diskutera och för att få mer detaljer om elevernas sätt att tänka, göra och resonera.

4.2 Halvstrukturerade intervjuer

Halvstrukturerad intervju handlar om en situation där intervjuaren har en uppsättning frågor som kan beskrivas som ett frågeschema. Man använder sig av semistrukturerade intervjuer för att fånga processen som leder fram till förståelse av intervjuades ståndpunkter. Intervjuaren får kunskap om vad som kan vara relevant och viktigt för intervjupersoner. Eftersom intervjupersonerna har stor frihet att röra sig i olika riktningar och att utforma svaren med sina egna ord. (Bryman, 2011)

Jag genomför halvstrukturerade intervjuer som sker ansikte mot ansikte där en hel del frågor är förbestämda men ändå är öppna för följdfrågor beroende på hur elever reagerar och vad de säger och gör. För att nå högre validitet, d.v.s. giltighet och relevans enligt Larsen (2009), har jag samlat in data som är relevanta till frågeställningarna och använt mig av en flexibel process där jag kan anpassa frågorna efterhand för att få in fler viktiga detaljer som kan medverka till att tydliggöra vissa tankar. Dessutom har jag gjort datareduktion, vilket innebär att jag har tagit bort all data som inte är relevant för mina frågeställningar.

Frågorna som är bestämda i förväg, kommer i en bestämd ordningsföljd och alla barn får svara på samma frågor. Första frågor handlar om matematikuppgifterna (se bilaga 3).

- Hur tänker du?

Sedan byter jag teman och ställer frågor som handlar om elevers åsikter om användningen av praktiska material.

- Hur går det att arbeta med material istället för med papper och penna?

- Vad tycker du om att använda dig av liknande material under matematikarbete? Vad är det som är bra? Vad är det som inte är bra, eller dåligt? Varför tycker du att det är bra/dåligt?

Men för att få helhetsförståelse av barnens tankar kring matematik och för att få kompletterande och fördjupande svar till mina frågeställningar ställer jag några följdfrågor som till exempel ”Vad menar du?” ”Hur tänker du?” ”Varför gjorde du som du gjorde?” ”Förklara, beskriv, berätta …” och så vidare, där barnen kan tala fritt och förklara hur de tänker.

Det är viktigt för mig att eleverna inte upplever intervjusituationen som ett prov där man kan bli värderad. Därför har matematikuppgifterna inkluderats också i form av ett tärningsspel.

4.3 Deltagande observationer

Deltagande observation sammankopplas med kvalitativ forskning och betecknar att forskaren engagerar sig i en viss social miljö under förhållandevis lång tid och försöker ta en bild av individerna i denna miljö (Bryman, 2011).

Larsen (2009) förklarar att Johannesen och Tufte (2003) menar att observation handlar om att vi finns i en situation som är relevant för studien och noterar iakttagelser som utgår från våra uppfattningar.

Mina observationer äger rum när barnen arbetar med matematikuppgifterna med hjälp av laborativt material. Jag observerar elevernas attityder till matematik, hur de använder sig av laborativt material, när och i vilket sammanhang använder de sig av materialet. Jag observerar också hur eleverna resonerar och samspelar under arbetet, därför att samspelet är en viktig del av laborativt arbete. Mina observationer består av beskrivande och tolkande anteckningar; Jag skriver mina anteckningar strax efter intervjuerna. Det kan kallas för mikroobservation enligt Bryman (2011). Då genomför jag

observationerna på kort tid och fokuserar på ett visst perspektiv. Data jag får genom observationerna är kvalitativa.

4.4 Urval

För att samla in information som är relevant för frågeställningarna genomförde jag intervjuer med 15 elever som går i mellanstadiet i en skola i Malmö. Det är många faktorer som spelar in när jag valt en viss skola och en viss klass. Skolan ligger i den stadsdel jag bor i. Mina barn går på samma skola och i samma klasser som deltagarna i undersökningen, vilket underlättade att möta eleverna samt att få medgivande av dem och deras vårdnadshavare, för att sedan intervjua dem.

Alla de faktorerna gjorde att det blev smidigare att ha kontakt med klasslärarna och föräldrarna samt att sedan intervjua och observera just de här eleverna i just den här skolan. Urvalet var enligt självselektion, d.v.s. jag tog kontakt med klasslärarna samt med 33 elever och deras föräldrar och frågade om de ville bli intervjuade och observerade. De som ville vara med i undersökningen svarade att de var intresserade och blev intervjuade.

Jag har valt att ge eleverna fiktiva namn för att de skall kunna vara anonyma i undersökningen. Det vill säga; alla namn som förekommer i undersökningen är påhittade och har ingenting med personerna i undersökningsgrupp att göra. Båda kön är representerade i undersökningen, där det intervjuade paret i många fall är sammansatt av en pojke och en flicka.

4.5 Samtyckes- och informationskravet

Inför undersökningen har de 33 utvalda elever, föräldrar och läraren i skolan fått tydlig och skriftlig information om undersökningens syfte och genomförande i form av ett meddelande (se Bilaga 1). Det var 18 elever som svarade att de ville bli intervjuade.

4.6 Pilotundersökning

För att få en bild av hur metoderna, undersökningsfrågorna och matematikuppgifterna fungerade gjorde jag en begränsad pilotundersökning. Jag intervjuade tre av mina

anhörigas barn som går på årskurs fyra, fem och sex för att klargöra olika problem som rör frågornas utformning.

”Pilotundersökning, är förstudie i metodprövande syfte till en större vetenskaplig undersökning”. (Nationellencyklopedin 2015)

Under pilotstudien upptäckte jag att barnen förlorade intresse när de arbetade med för svåra uppgifter. Jag kunde inte ta reda på hur barnen tänkte, barnen ansåg att några uppgifter var för svåra och att de inte hade arbetat med just sådana uppgifter i skolan. Jag bestämde mig för att hoppa över de svårare uppgifterna med bråkräkning (addition med bråk) och behålla de enklare d v s bråkjämförelser. För att tydliggöra frågorna och anpassa dem till barnen justerade jag frågorna innan jag intervjuade eleverna i skolan. Förutom att jag fick feedback av barnen gällande frågorna fick jag också respons när det gäller min roll som intervjuare. Det vill säga hur de upplevde mig som intervjuare, om jag var tydlig eller om jag skulle ändra något.

4.7 Tillvägagångssätt

För att hålla mig till det jag ska skriva om har jag mina frågeställningar nedskrivna som stöd under arbetet med undersökningen, det vill säga under både observationer och intervjuer.

Som inledning har jag presenterat uppgifterna för elever, spelet, spelreglerna och materialen som undersökningen bygger på. Elever börjar arbeta med det teoretiska sättet, med andra ord de börjar arbeta med att lösa matematikuppgifterna med papper och penna; om de vill. Sedan gör de det laborativa genom att diskutera och använda sig av det konkreta materialet.

Jag använder mig av träklossar, delade cirklar i pizza- eller tårtform, kulor och A4 papper i form av chokladkaka som konkreta och informella material (se bilaga 2). Syftet av materialanvändningen är att pröva lösningar och argumentera kring hypoteser. Eleverna arbetar i par eller i mindre grupper (ett fall) för att lösa matematikuppgifterna och för att spela tärningsspel (se bilaga 3).

Spelet kan se ut som följande: första spelaren skall slå med två sexsidiga tärningar. Bilda ett tal i bråkform av de tal som tärningarna visar. Spelaren ska ange det största

talet som han/hon kan få. Andra spelaren skall göra samma sak. Sedan skall barnen resonera kring vem som fick största tal eller minsta tal.

Eleverna skall resonera sig fram till lösningen på problemet och beskriva hur de tänkte göra för att få det största eller minsta talet, samt förklara varför de gjorde som de gjorde i bägge fall. De skall med hjälp av laborativt material (träklossar, kulor, cirklar eller A4 papper), pröva sina lösningar och argumentera kring matematik. Eleverna blir observerades och intervjuades under spelets gång.

5.

Resultat

I detta avsnitt redovisas och presenteras resultaten av både observationer och intervjuer som beskriver elevers resonemang om matematik under laborativt arbete. För att få en översikt av resultat och tydliggöra jämförelser har jag klassificerat undersökningsdata efter matematikuppgifterna och efter intervjufrågorna. För att kunna analysera data har jag också noterat stödord och idéer utifrån anteckningar och grupperat citat som liknar varandra (se bilaga 4).

Resultaten av mina intervjufrågor och deltagande observationer delas in i två delar. Den första delen beskriver hur eleverna i arbetsgrupper - som jag kallar för (A, B, C, D, E, F och G) - tänker kring lösningar av matematikuppgifterna och hur de resonerar sig fram till en lösning under laborativt arbete. Den andra delen handlar om vad eleverna tycker om att arbeta laborativt, med andra ord att arbeta och diskutera kring lösningar med hjälp av konkret material. Jag vill här påminna om att allt det omnämnda materialet (träblock, kulor i olika storlekar, cirklar eller A4 papper i form av chokladkaka) ligger på samma bord innan barnen kommer in till rummet. Barnen bestämmer själva vilket material de vill använda sig av.

5.1 Hur resonerar eleverna matematiskt under

laborativt arbete?

Uppgift 1: Jämför bråk, elever kan använda sig av <, > eller =

Grupp A: Markus satt och började lösa första uppgiften där han skulle jämföra talet med talet . Markus sade ”tre delat med fyra är mindre än fyra delat med fem”. När jag frågade hur han tänkte förklarade han att ”båda siffrorna är större här” och pekade på täljaren och nämnaren i båda talen. Han menade att 4 är större än 3 och att 5 är större än 4.

Evelina nickade och sade ”jag håller med”. Evelina förklarade ”jag delar… tre delat med fyra sedan fyra delat med fem… jag ser att fyra delat med fem är större”. För att

beskriva hur hon tänkte tog Evelina fram cirklarna som är indelade i fem femtedelar samt fyra fjärdedelar och pekade på bitarna. Hon menade att hon kunde se med ögonen vilket tal som är större, hon sade ”jag ser att fyra delat med fem är större”. Evelina förklarade vidare och gav ett exempel ”Det är tre personer som ska dela fyra delar av en tårta, och där är det fyra personer som ska dela ut fem delar av tårtan.”

Grupp B: Både Sarah och Henrik visade intresse för att arbeta med matematik. De tog fram materialet direkt efter matematikuppgifternas presentation och började själva gå igenom uppgifterna.

Sarah och Henrik skulle jämföra de olika talen och Sarah sade ”jag ritar en sådan cirkel och sedan delar upp och se hur mycket det skall vara”. Henrik prövade med cirklar och menade att fyra sjättedelar är större än tre femtedelar. Henrik pekade på delarna och jämförde skillnaden på storleken av bitarna. Sarah höll med Henrik och sa vidare ”tre femtedelar är ju tre stycken en femtedelar… och fyra sjättedelar är fyra stycken en sjättedelar.”

Grupp C: Ali läste högt första uppgiften och sade ”jag ska jämföra tre femtedelar med fyra sjättedelar” eleverna plockade fram cirklarna som är indelade i fem femtedelar samt sex sjättedelar och tog bort två delar av sex sjättedelar och två delar av femtedelar och menade att båda talen och är lika stora, eftersom det är två delar som är borta från bägge cirklarna (hel). Ali sade ”det är lika med”, han menade att han ska använda lika

med tecken här som ett svar. Matilda menade att hon trodde att två sjättedelar är lite

större ”fast jag tror… den här är lite, lite större… eller så”. För att prova om Matilda hade rätt med sitt påstående satte Ali de borttagna delarna ovanpå varandra och jämförde dem. Han tog två femtedelar och gav Matilda två sjättedelar och sa ”min är större”. Matilda sammanfattade tveksamt att är större än , hon sade ”din är lite större då… eller nej?” och syftade på tre femtedelar. Ali ”nej, din är större… för att min är större delar som är borta” Matilda ”ah ja, okej”. Ali menade ”man ska räkna delar som är kvar.”

Grupp D: Eleverna skulle jämföra talen och . Laila började med att säga ”tre fjärdedelar det är liksom en hel som är delat i fyra och så är det tre sådana” och syftade på tre fjärdedelarna av en indelad cirkel. ”… sedan fyra femtedelar och de är en hel i

fem delar, så kan man försöka bryta upp antagligen… alltså man kan rita en cirkel och dela den i fyra bitar, kanske fylla i tre delar… sedan rita en annan (cirkel) och dela den i fem bitar och fylla i fyra och se man då vilket som är mest av cirkeln.”

Gustav menade att han kunde använda sig av en cirkel och tänkte sig den som en pizza, pizzan skulle delas ut i fyra ”slices”. Gustav menade att var och en av de tre som satt och diskuterade kan få en bit av pizzan. Gustav förklarade att det finns en bit kvar i pizzan ”det finns en slice mer i pizzan så det finns en bit kvar”. Gustav sade vidare ”ju mer gäster du har desto mindre bitar av pizzan kan du dela ut… om du har en kompis som ska sova över och du ska ge honom en pizza det är bäst att dela upp de i större bitar, desto fler människor det finns desto mindre bitar får de.”

Isak som tyckte att uppgiften var svår, gav ett exempel på att dela ut tre äpplen till fyra personer ”tre… tre fjärdedelar alltså tre äpplen och jag delar de till fyra” och menade att dela ut de till alla oss fyra som fanns i rummet. Isak menade också att han kunde dela varje äpple till fyra lika stora delar och att var och en kunde få tre bitar av ett äpple. Isak: ”jag delar den till en halv och sen till en annan halva… alltså till fjärdedelar”. Isak fick 12 bitar (tolv fjärdedelar) som ska delas ut på ett rättvist sätt mellan oss fyra, var och en får tre fjärdedelar av ett äpple. Isak fortsatte och menade att fyra femtedelar är mer än tre fjärdedelar eftersom det var mer äpple som skulle delas ut till ”fem personer istället för fyra”. Isak förklarade att ”om det är fyra äpplen och jag ska dela de till fem bitar då kan jag ge tre bitar till var och en” och visade med cirklarna, han delade äpplen till fyra personer och menade att det blev en bit kvar.

Grupp E: Mona satte igång med att lösa matematikuppgifterna. Hon tyckte att de var komplicerade. Hon började fylla större än, mindre än och likhetstecken på sitt papper (se på bilden). När jag frågade hur hon skulle kunna lösa uppgiften blev hon tyst. Jag frågade om hennes nedskrivna lösningar och hur hon tänkte.

Hon blev förvirrad och trodde att det var ”fel svar” på uppgiften och började stryka över svaren. Mona tänkte att fyra femtedelar är större än tre fjärdedelar, sedan ändrade hon sig och menade att de var lika stora för att skillnaden

mellan 3 och 4, även mellan 4 och 5 är 1, alltså att skillnaden är lika stor.

Gabriel hade en annan strategi för att jämföra bråk. Han menade att han skulle dela och sade ”3 delat på 4… fyra innehåller en trea och det blir 1 över… 4 delat på 5, femman

innehåller en fyra och det blir 1 över”. Han menade att båda tal är lika stora ”det blir en och en över i båda”.

Grupp F: Jämför bråk och ! Magnus och Sebastian satt och diskuterade kring denna matematikuppgift. För att jämföra bråk sade Magnus ”jag hade sagt ungefär att de numrena som är störst är den som är större… det är sju mot sexan och nio mot sjuan”. Sedan sade han ”Jag vet inte vilket svar jag ska ha.”

Sebastian svarade ”Vi ska skriva störst, minst…” Magnus tänkte högt ”… 7 gånger 9 … ”

Sebastian: ”Det är inte gånger det är delat … division.”

Magnus menade att han blev förvirrad och sade ”det finns ett svar här… det svaret är… just nu gånger… jag vet inte helt”. Sebastian svarade ”du ska inte ta sju i sex” och menade att ” är större än för att det är att ta bort mer”. Sebastian subtraherade, 7 - 9 och 6 – 7. Eleverna använde sig av träklossar för att experimentera hur lösningen skulle kunna se ut. De byggde två ”Turning torso” som de kallade dem för, en med 7 träklossar och en annan med 9 träklossar och jämförde längden på det som de byggde. Sebastian menade att 9 inte går en enda gång i 7, han menade vidare att det svaret blir minus 2 eller ett decimaltal. Magnus tyckte att det inte kunde stämma för att man ska subtrahera 9-7 istället menade han.

Magnus: ”Men hur mycket är det kvar?”

Sebastian: ”Det finns inget kvar. Det är minus… det är komma… nej noll komma minus… det är något med minus eller med noll”

Magnus skrattade och sade ”Matte är att minska det största inte minska det minsta”. Sebastian förklarade att de siffrorna heter nämnare och täljare och menade att man kan ”ta det (nämnaren) i det (täljaren)” och frågade ”hur många gånger går det i det?” För att bevisa att han hade rätt med sitt påstående gav Sebastian ett exempel och frågade sin kamrat ”om du har nio kronor och du ska sätta de här nio kronorna i sju platser, får alla nio kronorna plats där?” Sedan menade Sebastian att svaret på både och ( ) blev

”noll och sedan ett komma”. Eleverna menade att båda talen är lika eftersom svaret blev 0.

Grupp G: Jämför och ! Eva menade att det inte går att dela 5 i 4 eller 4 i 3 därför att ”5 är större än 4… och 4 är större än 3, 4 går inte någon gång i 3.” Eva menade vidare att ”svaret blir minus, eller det blir inte ett helt tal, eller blir noll komma ett!!” Niklas sade först att det var jobbigt. Han visste inte hur han skulle tänka. Niklas vägrade använda sig av något konkret material och menade att han aldrig hade använt sig av konkreta material. Han tänkte att man skulle prata om siffrorna (3 och 4 samt 4 och 5) skillnaden mellan siffrorna är lika, 5 – 4 och 4 – 3 är lika med ett, dessutom menade han att har större siffror än .

Uppgift 2: Hur mycket är , , ?

Grupp A: Markus löste de andra matematikuppgifterna med papper och penna. Han skulle räkna hur mycket talen är. Han skrev tecknet ”är lika med” efter , sedan skrev han 2 och streckade över tvåan igen. Efter en liten stund skrev han lika med tecknet efter och siffran 5

som ett ”svar” (se på bilden bredvid). När jag frågade Markus hur han tänkte, svarade han ”jag vet inte… det är bara så”. Evelina avbröt och sade ”sex delat med tre är två”, och gav ett exempel ” tre personer delar sex äpplen, de får två stycken var.”

Obs: Grupp B är inte med i uppgift 2 och 3, på grund av inspelningsfel.

Grupp C: Ali tänkte högt ”Hur mycket är sex tredjedelar? Det är …”. Matilda svarade att det var en halv. Ali höll inte med och tänkte högt ”… sex tredjedelar!”. Matilda ville använda sig av sex sjättedelar indelade cirkel i sin prövning. Hon tog tre stycken sjättedelar och sade ”… tredjedelar”. Ali som avbröt henne menade att man ska räkna sex tredjedelar ”sex stycken tredjedelar och inte tre sjättedelar” och fortsatt ” jag kan ta sex tredjedelar och prova tre tredjedelar”. Ali ville gärna använda sig av cirklarna och menade att det fanns bara en cirkel som indelades i tre delar. Matilda menade att ”man delar de ändå och blir som sjättedelar”. Ali sade ”… men det går inte ju. max tredjedelar som blir en hel det kan inte bli större än hel (syftade på färdigt uppdelade materialen).

Det går inte att dela upp den här cirkeln till en och en halv”. Ali menade sedan att svaret är en och en halv och att han behövde mera material för att bevisa det för Matilda. Ali sade ”sex tredjedelar är en och en halv eller det borde bli… tror jag”

Man märkte att Ali har högre status gällande matematikkunskap. Ali styrde diskussionen och resonemanget och bestämde själv hur gruppen borde tänka och lösa uppgifter. Här är ett annat citat från diskussionen som visar hur den andra parten sökte bekräftelse på sina tankar av Ali.

Matilda: Den är väl sex delat på tre! Ali: Vad?

Matilda: Är den sex delat på tre? Ali: Nej… sex tredjedelar Matilda: Okej… sex tredjedelar

Grupp D: Hur mycket är ? Laila förklarade ”tre tredjedelar är en hel … om du ska ha sex… det är bara att ta en till (menade 2 cirklar som är indelades i tre lika stora delar), du delar då på tre…”. Gustav tog den indelade cirkeln och menade ”sex tredjedelar… jag kan ta ungefär sex sådana här bitar och delar de ut. Det blir tre bitar till en kille och tre till mig”. Gustav förklarade att han kunde ge en tredjedel till en kille och en tredjedel till en annan kille ”jag kan ge en kille en bit pizza och en annan kille en bit pizza, så alla får var sin”. Jag: ”Men det blir några bitar kvar. Hur skulle ni dela ut de då?” Laila visade med cirkeln som var indelad i sexdelar att var och en av killarna får två bitar var. Isak hade helt andra tankar. Han menade att ” är 18”. ”Hur tänker du?” frågade jag. Isak: ”Jag tar en kaka och delar den till 6 delar... en annan hel kaka och delar den till sex delar, då blir det tolv. En kaka till och delar den till sex delar och det blir 18. Vi tre får 6 bitar kakor var”. Jag frågade ” Hur menar du? Hur många kakor har du från början?” Isak menade att det var sex kakor. Gruppen började argumentera och bevisa hur mycket 6 delat på 3 är, som ovan. Isak höll med gruppen att var och en får två bitar. Isak blandade samman tillvägagångssätt multiplikation och ”division”.

Hur mycket är ? Gruppen diskuterade uppgiften på detta vis: Isak menade att det var 20. Isak sade ”2 delat på 10… jag har två chokladkakor. Jag delar den första till 10 bitar och den andra chokladkakan också. Det blir 20”. Medan Laila förklarade ”om man är två personer och då har man en sådan tårta och då kan man få 5 bitar, om man delar de i tio bitar” Gustav sade ”tänk att det är en choklad kaka… jag ska dela upp den till 10… och här är bara två människor som ska få… tänk att det är jag och Laila, det blir fem bitar till mig och fem bitar till henne”.

Grupp E: Hur mycket är ? Gabriel svarade ”det är två för att 3 går två gånger i sex”. Han visade med fingrarna att sex fingrar kan delas in i två grupper om tre. Gabriel sade också ”… och det är inget över”. Gabriel löste alla uppgifter på samma sätt, han menade att ” , tio delat på två är 5 och det blir ingen över”.

Grupp F: Hur mycket är ? Sebastian och Magnus menade att är 2. Sebastian förklarade att 3 går två gånger i 6. Magnus använde sig av divisionsalgoritm och förklarade att han kunde multiplicera 2 vilket är kvoten på 3 som är nämnaren ”två gånger tre och tvärt om, gånga svaret 2 med 3 (nämnaren) så får du 6 (täljaren)… det är det som svaret”.

Grupp G: För att lösa hur mycket är, använde sig Niklas av bråkförlängning och menade att är en halv. Niklas förklarade ”det är typ som ett delat på två är en halv två delat på fyra är en halv”. Niklas tänkte på förlängning men blandade ihop sex delat på 3 och 3 delat på 6, det vill säga han blandade mellan täljaren och nämnaren. Eva menade att var två, därför att ”tre går två gånger i sex … 3 plus 3 är 6”.

Uppgift 3: Tärningsspel

Grupp A: Markus log och puttade sig fram lite närmare till bordet, slog med tärningarna och fick en prick på den ena tärningen och tre på den andra. Jag frågade Markus om hur han skulle kunna lösa uppgiften. Markus sade ”mm… tre delat med ett är tre… det blir större än ett delat med tre”. Jag frågade ”Hur mycket är ett delat med tre?” Markus svarade att han inte vet och att det är bara mindre.

Evelina höll sig tyst, lyssnade på sin klasskamrat och väntade på sin tur att slå med tärningar. Hon slog försiktigt med tärningarna. Evelinas tärningar visade två och fem prickar. Evelina sade ”fem delat med två är större än två delat med fem”. För att pröva sin lösning och göra sig förstådd tog Evelina fram fem femtedelar cirkeln och prövade sin lösning. Hon menade att fem delar ska delas ut till två personer, hon säger ”man får två stycken sådana (pekar på femtedelarna) och lite över… två delat med fem är att dela två äpplen till fem personer”.

Grupp C: Matilda och Ali slog tärningarna samtidigt. Matilda fick 5 prickar på båda tärningarna. Matilda sade ”fem femtedelar”. Jag: ”Hur mycket är fem femtedelar? Matilda svarade ”jag tror… det är en hel, jag fick hela… hela pizzan”.

Ali fick 3 och 6 med sina tärningar. Ali: ”jag tar tre sjättedelar istället för sex tredjedelar, tre sjättedelar är en halv”. Sedan sade han till Matilda ”du fick mer… dubbelt så mycket än mig.”

Eleverna spelade igen, den här gången fick Ali 4 och 3 han sade ”fyra tredjedelar… det går inte med fyra tredjedelar… jag tar tre fjärdedelar”. Jag frågade Ali ”Varför går det inte? Hur tänker du?” Ali tänkte ”fyra tredjedelar det blir … ja, det blir en hel och en tredjedel till… det är en hel och en tredjedel.”

Grupp D: Laila fick siffrorna 6 och 2 med sina tärningar. Hon sade ”6 är större än 2, det är lättare att dela 6 i 2 delar då får man tre, det bli konstigt när man delar 2 på 6 delar”. Gustav fick 6 och 5 med sitt tärningskast och menade att det var klurigt ”6 delat på 5… 6 är större än 5…” och förklarade med A4 papper i chokladform ”jag tar en femma och en sexa. Jag får mer om jag använder femman (som nämnare), man kan få större bitar när man delar till mindre personer. Att dela en hel till fem bitar är större än att dela en hel till sex bitar” och visade på skillnaden i storlek av rektanglarna. Isak fick 1 och 4 med sina tärningar, han menade att är större än och sade ”1 delat med 4 mmm… 4 delat med 1 då kan jag ge en hel kaka som är delat i fyra bitar till 1 person”. Grupp E: Gabriel slog med tärningarna, han fick en prick på den ena och en prick på den andra. Gabriel bildade bråket och sade ”jag fick två … nej jag fick bara en”. Mona fick ett och två prickar på tärningarna. Gabriel föreslog att Mona kunde bestämma sig för talet 2/1 för att kunna ”vinna”. Då får hon talet 2 som är dubbelt så mycket än det

som han själv fick. Eleverna spelade en gång till, den här gången fick Mona en prick på en av tärningarna och fyra på den andra och bestämde sig att ange talet . Hon sade ”en på fyra blir hel… eller Nej?!” Gabriel svarade ”om du vänder om dem då får du fyra”. Gabriels tärningar visade 2 och 4, han menade att han kunde bilda talet och sade ”jag fick två… jag har fyra här… här är en och här är två” och visade med sina fingrar. Gabriel förklarade också att han tänkte att ”fyran är mer än tvåan, då kan jag dela” Gabriel sammanfattade på slutet att är dubbelt så mycket som . Han sade ”jag fick två och hon fick fyra … det är dubbelt så mycket än mig”.

Grupp F: Sebastian och Markus började spela egna bingospel med tärningarna och jämförde talen på olika sätt. Magnus fick 6 prickar på varje tärning, Sebastian fick 5 och 6. De menade att Magnus ”vann” för att han fick tolv, eftersom de hade adderat 6+6 istället för att bilda tal i bråkform. Jag uppmuntrade eleverna att ange tal i bråkform istället för att addera prickarna, och sedan jämföra talen. Magnus menade att 6 delat på 6 är noll i så fall och vände sig till Sebastian som svarade ”nej det är ett” och förklarade att 6 går en gång i 6.

Grupp G: Eva fick en prick på den ena tärning och sex på den andra. Eva sade ” sex delat på ett eller nej… ett delat på sex för att sex är mycket större än ett”. Niklas fick fem prickar på den ena och fyra på den andra. Han menade att det inte går att dela 5 på fyra eller 4 på 5 heller. Han förklarade att det inte blev ett heltal utan det blev rest i bägge fall.

5.2 Attityder till användningen av konkreta material

Elevernas tankar kring att arbeta laborativt varierar men samtliga elever hade positiva upplevelser av att arbeta med konkret laborativt material. Några tyckte att det är bra att arbeta laborativt eftersom det är roligt, enkelt, lätt och gör att man förstår vad man lär sig. Här är några citat från intervjuerna:

”Det är mycket enklare och bättre och mycket, mycket roligare.” Ali

”Det är roligare med färger och det är kanske lättare för att man kan se bättre.” Evelina ”Att bygga med stickor och vika är roligt.” Laila

”Det är roligare att bygga med klossar och arbeta med låtsaspengar än att sitta stilla och räkna.” Sebastian

”Man behöver inte komma ihåg många stora siffror.” Sebastian ”Jag tycker att det är bra, för att man kan se resultat.” Matilda ”Det kan vara bra... Man kan förstå vad man lär sig.” Mona ”Man slipper skriva ner uppräkningen.” Gustav

”Det kan vara lite jobbigt att skriva.” Isak

En del elever menade att man kan se med ögonen hur resultatet blir ”det är mycket bättre för att man kan se med ögonen hur det är” och att man kan röra på sig, det vill säga att man slipper sitta still och räkna med papper och penna. Vissa menade att det kan vara stressande att sitta och räkna många uppgifter i läroboken. Citat av Gustav som menade ”jag känner mig avslappnad när jag använder mig av material”. Även Ali menade ”det är också bra för att du inte behöver sitta stilla när du tänker”.

En del elever menade att det är enkelt men tar längre tid som man inte alltid har. Enligt de eleverna är några matematikuppgifter lättare att räknas med papper och penna. Ali sade: ”Material är bra men det tar tid, man har inte så mycket tid”. Henrik menade att ”några uppgifter lösas lättare med papper och penna genom att sitta och räkna”.

Gabriel menade att det är lättare att använda fingrarna som material om man ska räkna mindre tal ”det är snabbare att använda fingrarna”. Han menade att ”fingrarna är som material”.

Användning av konkreta materialen inspirerade eleverna att diskutera effektivt och koppla matematiken till vardagliga situationer, att se matematiken som ett meningsfullt ämne som finns i deras vardag. Eleverna gav många exempel från deras verklighet och försökte lösa exemplen laborativt.

6.

Analys av resultat och teoretisk

tolkning

Larsen (2009) menar att kvalitativa dataanalyser handlar om att hitta mönster och exempel samt att se tendenser.

Jag har valt att dela upp undersökningsmaterialet i olika aspekter efter mina frågeställningar, jag hanterar frågorna en i taget i samma följd som de kommer i under arbetet.

• Elevernas synsätt på och resonemang i matematik under laborativt arbete. • Elevernas uppfattning av tal i bråkform under laborativt arbete.

• Elevernas användning av laborativa materialet som verktyg för att förstå begreppet bråk.

6.1 Elevernas resonemang och synsätt på matematik

under laborativt arbete.

Elevernas resonemang visar vilka synsätt de har på matematik under laborativt arbete. Matematiken upplevs olika av olika elever. Vissa elever ser matematiken som en del av deras vardag medan andra elever upplever matematiken som ett abstrakt skolämne.

6.1.1 Matematik som ett abstrakt skolämne

Somliga elever upplever matematiken som ett abstrakt skolämne, där svaret är ett syfte i sig. Svaret på matematikuppgifterna behandlades av eleverna som ett tecken och bevis på deras matematikkunskaper och som ett resultat för deras lösningar. Vissa fick ”rätt svar” men kunde inte förklara hur de tänkte, de menade att ”det är bara så”. De eleverna saknade däremot förmågan att verbalt beskriva hur de tänkte. Vägen till svaret är viktig och inte själva svaret som är givet (Berggren och Lindroth, 1998).

Eleverna försökte använda modeller som de tidigare använt sig av, och som kunde underlätta lösningen på matematikproblemet. Kronqvist och Malmer (1993) menar att skolbarn skapar ett slags beroendeförhållande; de menar att elever blir beroende av vad de har lärt sig i skolan och att de slutar tänka på en lösning på egen hand.

Det har visat sig att somliga elever har använt sig av en eller flera metoder och modeller, ”algoritmer”, som de har lärt sig tidigare under matematiklektionerna. Clarke i Lära och undervisa matematik (2006) menar i sitt projekt om algoritmundervisning i tidiga skolår att algoritmen kan användas för att lösa matematiska problem, vilket sammanfattar flera beräkningssteg. Algoritmen är självgående, det vill säga att man kan använda den utan behov av förståelse för hur den fungerar.

Eleverna memorerar olika modeller för att lösa bråket som division. De har använt sig av termerna ”subtraktion och rest”; som divisionsalgoritmen bygger på, utan förståelse för hur de fungerar. De fick i de flesta fall ”fel svar”, eller med andra ord ologiska svar, som gjorde att det blev svårt för dem att förklara deras tankeprocess. Stendrup (2001) menar att begreppslig kunskap inte får bli minneskunskaper om syftet är att skapa förståelse om ett begrepp eller bygga upp förmågan att tänka kring och tala om ett begrepp. Han förklarar att memorering kan förhindra elevernas kognitiva och matematiska språkliga utveckling.

Hur kan man skapa förståelse av matematiska begrepp? Varför använder lärarna och eleverna sig då av algoritmer under matematikuppgifter och problemlösning?

Målet för matematikundervisning i skolan enligt Löwing (2008) är att eleverna skall lära sig förstå och använda ett antal matematiska begrepp och modeller. Däremot menar Lester och Lambdin i Lära och undervisa matematik (2006) att inriktat lärande mot förståelse ofta är svårare att uppnå. De menar att det tar längre tid än att endast memorera. Detta är också vad eleverna som inte ville använda sig av konkret material menade, d.v.s. att det tar längre tid än att sitta och räkna med papper och penna. Vidare menar Lester och Lambdin att algoritmer uppmuntrar barn att ge upp sitt självständiga tänkande, vilket i sin tur leder till sämre internalisering av idéer. Barnen kan sluta lita på sina egna strategier för att hitta lösning till matematikproblemen. Det är inte konstigt att elever upplever matematiken som ett abstrakt skolämne, när de möter de olika begreppen och metoderna i matematik utan förklaring, prövning och anknytning till vardagen (Löwing, 2008).

6.1.2 Matematiken som en användbar metod i vardagen

De elever som aktivt har använt sig av konkretisering under matematikarbetet, har också sett till verkligheten och till vardagssituationer när de löste matematikuppgifterna. De gav olika exempel från sina erfarenheter och sin vardag. Det vill säga att flitigt användande av laborativa material väckte matematikens anknytning till verkligheten hos eleverna. Det var spännande att se hur resonemanget utvecklades kreativt när eleverna sökte lösningar laborativt. Eleverna som använde sig av vardagssituationer kunde förklara hur de tänkte både med egna ord och med matematiska begrepp som bland annat; dela med, större än, mindre än, en hel, en halv, tresjättedelar och så vidare. Berggren och Lindroth (1998) menar att eleven kan upptäcka det matematiska språket genom matematikens plats i verkligheten. Det håller även Burns och Hamm (2011) med om och menar dessutom att laborativ matematik är ett värdefullt matematiskt verktyg som ger upplevelsebaserat lärande genom konkreta föremål.

6.1.3 Konkret laborativt materials användningseffekt

Användning av konkret material kan göra att eleverna begränsar sitt tänkande ifall materialet används på ett begränsat sätt. Det vill säga att användning av konkret material kan ha både för- och nackdelar beroende på hur man använder det. Elevernas matematiska aktiviteter motsvarar inte alltid den matematiska kapaciteten läraren ser i det didaktiska materialet. Detta kan skapa en spänning mellan idén bakom det didaktiska materialet och sättet det används på (Gellert, 2004). Jag menar att laborativt material inte är en magi i enlighet med Ball (1992). Elever behöver arbeta längre med laborationer för att kunna skapa förståelse av matematik och av det som de lär sig, att frambringa erfarenheter av material och hur det används. Moyer (2001) menar att den redan existerande kunskapen och förståelsen hos elever som agerar matematiskt ger värde åt det didaktiska materialet.

Hur kan man som lärare göra för att aktivera och använda dessa redan existerande kunskaper hos elever?

Jag anser att det är viktigt att utgå från elevers intresse och erfarenheter. Det är viktigt att uppgifterna och det konkreta materialet är utformat på rätt nivå för eleverna och som knyter an till elevens existerande erfarenheter och kunskaper, precis som pilotstudien

har visat. Även Dewey (2004) menar att barnens intresse och aktivitet skall vara en utgångspunkt i ett arbete.

De elever i undersökningen som aktivt använde sig av konkret laborativt material under deras resonemang hade lättare att förklara hur de tänkte. Materialet stod som stöd och som ett hjälpmedel för elever, för att pröva deras tankar.

Förståelse av matematiska principer leder till att elever ser positivt på matematikämnet, eftersom förståelse gör matematiken sammanhängande och meningsfull (Lester och Lambdin, Lära och undervisa matematik, 2006).

6.2 Elevernas uppfattningar om tal i bråkform under

laborativt arbete.

Matematikuppgifterna ger möjlighet att reflektera över vilken matematik eleverna använder sig av när de löser dem. Eleverna diskuterade bråk som ett tal, del av en hel och som division under det laborativa arbetet.

Kronqvist och Malmer (1993) menar att uppdelning och delning tillhör naturliga vardagshändelser. Därför kan man redan på förskolan arbeta med uppdelning och likadelning laborativt.”Detta skall inte formaliseras för barn utan barnen får uppleva operationer laborativt och bygga upp ett språk för vad de gör.” (Löwing, 2008, s. 264) Samtliga elever diskuterade hur de tänkte lösa matematikuppgifterna, en stor del använde sig av konkret material för att beskriva hur de tänkte. De resonerade om hur de gjorde lösningen och visade sin uppfattning av tal i bråkform som ett tal, del av en hel och som en division. Eleverna har använt sig av olika räknesätt under det laborativa arbetet som bland annat innehållsdivision, delningsdivision och uppdelning. Eleverna har också använt sig av divisionsalgoritmen som de tidigare memorerat.

6.2.1 Bråk som ett tal och som en del av en hel

Bråket uppfattas av en elev (Ali) bara som en del av en hel och använde sig utav delningsdivision för att ta reda på hur mycket det är. Ali tänkte på att fördela 6 delar i 3, han menade att det kallas för sextredjedelar och inte sex delat på tre. Eleven blev inte nöjd med resultaten han fick efter användningen av konkret material. Eftersom han inte kunde hitta två cirklar som uppdelades i tre tredjedelar. Eleven lyssnade inte på sin kamrat (Matilda) som ville använda sig utav delningsdivision och menade att det är sex

delat i tre. Det visade sig att en del elever saknar nödvändiga erfarenheter för att arbeta laborativt och att använda konkreta material.

Löwing (2008) menar att det är svårt för elever att se sambanden mellan olika bråksituationer. Det vill säga att det inte är lätt för elever att utgående från samma matematiska modell, kunna arbeta med av en helhet och som division som metafor. Vissa elever menade att det inte går att dela talet och de kunde inte använda sig av antingen innehållsdivision eller delningsdivision som räknesätt. Det vill säga hur många var och en får om 3 personer ska dela 6 äpplen eller hur många gånger man kan ta talet 3 från talet 6. Uppgiften blev helt plötsligt omöjlig enligt dem.

6.2.2 Bråk som division

Eleverna skiljer inte mellan begreppet bråk och division. Det kan bero på att man i svensk skola inte skiljer längre mellan ett bråkstreck och tecknet för division. Jag kommer inte att diskutera detta i mitt arbete. Jag diskuterar här de olika sätt eleverna använde sig av för att lösa bråket.

Innehållsdivision: De elever som använde sig av algoritmen i diskussionen av tal i bråkform använde sig också av innehållsdivision. Det är en uppfattning av division, där man se hur många gånger ett visst antal ingår i ett annat. Här är några likartade citat av elever som förklarar hur de löste bråket ”fyran innehåller en trea”,”4 går inte någon gång i 3” och ”3 går två gånger i sex”.

Delningsdivision: De elever som mest använde sig av det konkreta materialet aktivt, löste tal i bråkform genom delningsdivision, som betraktas som det enklaste av alla räknesätten. Delningsdivision är att fördela ett antal föremål lika mellan ett annat antal. Eleverna gav många exempel från deras vardagssituationer.

Begreppen nämnare och täljare: En del elever kunde inte skilja mellan täljaren (antalet som skall divideras, beskriver hur många delar som avses) och nämnaren (enhet som anger i hur många delar är täljaren uppdelad) så som också Löwing (2008) visar. Bråket uppfattas som division och somliga elever löser det som 3 delat i 6 istället för 6 delat i 3.

Divisionsalgoritmen: En del elever använde sig av olika metoder för att lösa division utan förståelse av metoderna. De elever använde sig av olika matematiska begrepp som divisionsalgoritmen bygger på. Detta citat visar en av elevernas lösning eller svar, ”det finns inget kvar det är minus… det är komma… nej noll komma minus… det är något med minus eller med noll”. Algoritm är enligt Löwing (2008) ett handlingsmönster eller en metod som leder till en lösning genom stegvis användning av en bestämd rutin som sammanfattar flera beräkningssteg. Berggren och Lindroth (1998) skriver att det inte är roligt för elever att bara på ett mekaniskt sätt sitta stilla och flytta runt siffrorna i algoritmen utan att behöva tänka, enligt författarna är det som att slita kunskap utan att skapa förståelse, genom att använda algoritmen mekanistiskt. Även vissa elever visar att det är roligare att kunna röra på sig och diskutera under matematikarbete. De känner sig stressade under matematiklektionerna när de bara sitter och räknar enskilda uppgifter i läroboken.

6.3 Elevers användning av det laborativa materialet

som verktyg för att förstå begreppet bråk.

Elevernas användning av konkreta material var för att bevisa deras lösning, tydliggöra deras tankar, pröva deras hypoteser och dra olika slutsatser. Vissa elever vägrade att använda sig av något material, dessa elever menade att det går snabbare att räkna med papper och penna. Eleverna som aktivt använde sig av konkreta material klarade sig bättre än de elever som inte aktivt gjorde det, gällande begreppsförståelse, lösning på matematikuppgifter och göra sig förstådd.

”De vetenskapliga begreppen står i ett annat förhållande till barnets personliga erfarenhet än de spontana” (Vygotskij, 2001 s.270). Vygotskij förklarar att under inlärningsprocessen i skolan ställs barnets tänkande inför andra problem än att det får tänka på egen hand. Jag anser att konkreta material underlättar anknytning till elevers verklighet, materialen närmar sig barnens verklighet mer än de abstrakta uppgifterna gör. Vygotskij menar att inlärningen sker genom barnets relation till objektens värld som förmedlas genom tidigare utarbetade begrepp. Det vill säga att ett sådant begrepp genomsyras av barnets personliga erfarenheter.

Arbetet med laborativt konkret material inspirerar eleverna att diskutera. Samtliga elever valde själva hur de trodde att de kunde lösa matematikuppgifterna, då de erbjöds

konkret material. De flesta elever var villiga att använda materialet. De kunde kontrollera sina hypoteser och drog slutsatser. Löwing and Kilborn (2002) betonar vikten av att eleverna tillägnat sig en tankeform med hjälp av ett laborativt material för att sedan lämna det konkretiserande materialet och övergå till att använda den nya tankeform som de har utvecklat.

7.

Diskussion

7.1 Tillförlitlighet

Det är många faktorer som spelar in när felkällor uppstår under användningen av kvalitativa metoder (Larsen, 2009). Några av de felkällor som uppstod under min undersökning är intervjueffekt. Larsen menar att det finns en risk att intervjuaren reagerar på ett sätt som gör att den intervjuade påverkas och ändrar sig. Till exempel, Mona sökte bekräftelse på sitt svar. Hon uppfattade min fråga (Hur tänker du?) som att hennes svar var fel, hon ändrade svaret istället för att förklara hur hon tänkte. Det uppstod också tekniskt fel under en av mina intervjuer. Det blev fel under en av mina inspelningar (grupp B), det är bara en liten del av intervjun som blev inspelad.

Utav de 18 elever som svarade att de ville bli intervjuade var tre frånvarande. Intervjuerna skedde under tre lektionstillfällen. Tiden vi fick räckte inte till för att alla elever skulle kunna laborera och förklara sina tankar detaljerat. Några barn tyckte att det tar för lång tid att laborera. De använder hellre papper och penna i vanliga fall. Det i sin tur gjorde att min bild av elevernas förståelse av tal i bråkform och användning av algoritmen under laborativt arbete inte är fullständig. Hade jag haft längre tid hade jag kunnat få ett mer detaljerat resultat.

Angående validitet, giltighet och relevans som Larsen (2009) skriver om, anser jag att jag har fått svar på mina frågeställningar. Eleverna diskuterade och resonerade effektivt om matematiken, vilket i sin tur visade deras uppfattningar om och synsätt på matematik.

7.2 Slutsats

Vad kan resultaten användas till?

Jag försöker i min undersökning att hitta mönstret i helheten. De intervjuade barnen representerar naturligtvis inte alla barn som går i klass 5 och 6 i hela Sverige eller ens i Malmö. Mitt mål med undersökningen är att nå förståelse, inte att generalisera. Såsom