Nu kommer svaret! –elevers uppfattning av likhetstecknet och lärobokens möjliga inverkan

Lärarexamen 210hp Matematik och lärande

Datum för inlämning 2013-10-28

Examinator: Agneta Rehn Handledare: Per Schubert

Examensarbete

15 högskolepoäng, avancerad nivå

Nu kommer svaret!

–elevers uppfattning av likhetstecknet och

lärobokens möjliga inverkan

The answer comes next! –students understanding of the equal sign

and the influence of the text books

Maria Fallenius Redin

3

Sammanfattning

Denna studie undersöker hur elever i årskurs 4 uppfattar likhetstecknet. Syftet är att undersöka om elevernas uppfattningar av likhetstecknet kan förklaras av dess framställning i läroböckerna. Tre svenska läromedelsserier för årskurs 1 till 3 studeras där uppgifter med likhetstecknets kategoriseras och klassificeras. Studien visar att likhetstecknet i nio fall av tio presenteras på traditionellt vis, det vill säga där räkneoperation är lika med svar (t.ex. 2+5=7). Mest sällan presenteras likhetstecknet i operation är lika med operation (t.ex. 2+5=3+4). Förklaringar till likhetstecknets betydelse eftersöktes även i de studerade läroböckerna, vilket visar att en förklaring av likhetstecknets betydelse kortfattat ges i första boken men följs sällan eller aldrig upp. Vidare genomfördes en undersökning med elever i årskurs 4 där knappt hälften av eleverna ger svar som indikerar på en relationell förståelse för likhetstecknet. Det går inte att dra några generella slutsatser men studiens resultat indikerar att en förändring av läroböckerna skulle kunna öka elevernas förståelse för likhetstecknet.

Nyckelord: Likhetstecknet, likhetstecken, ekvivalens, relationell, matematikläromedel, årskurs 4, enkätstudie, variationsteori

5

Innehållsförteckning

1. Inledning ... 7

1.1 Syfte och frågeställning ... 8

2. Litteraturgenomgång ... 9

2.1 Teoretisk referensram ... 9

2.2 Likhetstecknets betydelse ... 11

2.3 Introduktion av likhetstecknet – vad bör göras? ... 13

2.4 Likhetstecknet och kursplanen i matematik ... 14

2.5 Tidigare studier om likhetstecknet i läromedlen ... 15

2.6 Variationsteorin och likhetstecknets betydelse ... 17

3. Metod ... 19

3.1 Datainsamling och analysverktyg ... 19

3.2 Urval ... 21

3.3 Procedur ... 24

3.4 Reliabilitet, validitet och trovärdighet ... 25

3.4 Forskningsetik ... 26

4. Resultat och diskussion ... 27

4. 1 Resultat och diskussion av elevundersökning ... 27

4.2 Kvantitativ textanalys ... 31

4.3 Kvalitativ textanalys ... 35

4.4 Avslutande diskussion ... 37

5. Slutsatser och förslag till fortsatt forskning ... 40

5.1 Slutsatser ... 40

5.2 Förslag till fortsatt forskning ... 41

7

1. Inledning

”Likhetstecknet är troligen den mest missbrukade matematiska symbolen inom matematiken”, detta hävdar Gudrun Malmer (2002, s. 34) hedersdoktor vid Göteborgs universitet och författare till boken Bra matematik för alla (Malmer, 2002). Hade jag hört någon säga detta innan jag påbörjade mina studier i Matematik och lärande vid Malmö högskola hade jag tyckt att det minst sagt lät lite överdrivet. Likhetstecknet, det är väl inte så svårt? Men symbolen vars betydelse jag själv tagit för självklar visade sig inte alls vara så entydigt tolkad som jag först trott och konsekvenserna är långt större än jag kunnat tänka mig. Istället för att förstå likhetstecknet som relationellt, som ett tecken för ekvivalens, tenderar elever förstå likhetstecknet operationellt, som en uppmaning att utföra en beräkning (Kieran, 1981; Knuth. McNeil & Alibali, 2006; McNeil & Alibali, 2005; Stephens, Knuth, Blanton, Isler, Gardiner & Marum, 2013). Följden av den operationella förståelsen för likhetstecknet blir att eleverna får svårigheter att tolka och lösa algebraiska ekvationer (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997). Konsekvenserna av att inte klara av algebra menar forskare är förödande. Svårigheter att klara av algebra som en av de största anledningarna till att amerikanska elever hoppar av high school och college (Hacker, 2012). Moses och Cobb (2001) menar att algebra inte bara är nyckeln till högre utbildning utan sträcker sig så långt som att jämföra avsaknaden av algebrakunskap med de som inte kunde läsa och skriva i industriåldern.

Den internationella studien Trends in International Mathematics and Science Study

(TIMSS) som avser mäta elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap visar en nedslående trend där svenska elever bland annat är sämre än genomsnittet när det kommer till algebra (Skolverket 2009; Skolverket 2012). En analys av det TIMSS-test som genomfördes 2007 visar att resultatet till stor del kan härröras till att eleverna har en bristande förståelse för likhetstecknet vilket begränsar möjligheterna att lösa ekvationer med x-termer i båda leden (Skolverket, 2008a).

Samtidigt som resultaten visar en nedåtgående trend har en ny läroplan implementerats. År 2011 trädde Lgr11 i kraft och kursinnehåll och kunskapskrav preciserades ytterligare (Skolverket, 2011). Bland de förändringar som gjorts fick likhetstecknet en mer central roll i kursplanen för matematik. Från att flera av de ”Mål att sträva mot” som återfanns i kursplanen i matematik i Lpo94 (Skolverket, 2008b) indirekt

8

berört förståelsen av likhetstecknet är vikten av att förstå likhetstecknets betydelse nu konkretiserad både i centralt innehåll och kunskapskrav (Skolverket, 2011).

Förutom en nedåtgående trend i elevernas resultat visar TIMSS 2011 även att läroboken i större utsträckning används som basmaterial för undervisningen i Sverige än i övriga EU/OECD (Skolverket, 2012). Detta bekräftar Reys, Reys och Chavez (2004) som menar att läroboken oftast bestämmer vad läraren kommer att undervisa, hur de kommer undervisa och hur deras elever kommer att lära sig. Även i en svensk studie visar Johansson (2006) hur läroböckerna guidar lärandet i klassrummen med exempel från läroböckerna, övervägande eget arbete i läroböckerna och allmänna generaliseringar som är liknande eller samma som i läroböckerna. Utifrån detta rekommenderar Johansson (2006) att ytterligare studier av läromedlen bör göras och föreslår att läromedlen studeras på ämnesbasis genom att se hur ett visst matematiskt ämne introduceras, organiseras och följs upp.

Med utgångspunkt i ovanstående har jag intresserat mig för vilken kunskap kring likhetstecknet som läroböckerna möjliggör för eleven att lära sig. Det har gjorts en hel del forskning kring elevers förståelse för likhetstecknet både internationellt och lokalt i Sverige. En överblick av forskningsmaterialet visar dock att det i Sverige gjorts mycket lite forskning kring likhetstecknet ur ett läromedelsperspektiv. Genom att utreda vilken kunskap som lyfts kring likhetstecknet i de svenska läroböckerna hoppas jag att inte bara bidra till min egen professionsutveckling utan även kunna influera verksamma lärare i sitt val av utbildningsmaterial.

1.1 Syfte och frågeställning

Denna studie syftar till att undersöka på vilket sätt elever i årskurs 4 uppfattar likhetstecknet och huruvida dessa uppfattningar kan förklaras av likhetstecknets framställning i matematikläromedlen. För att konkretisera syftet och undersöka ovanstående används följande frågeställningar:

- Har elever i årskurs 4 en relationell eller operationell förståelse för likhetstecknet? - På vilket sätt är likhetstecknet presenterat i läroböckerna för årskurs 1-3?

9

2. Litteraturgenomgång

2.1 Teoretisk referensram

Variationsteorin, vilken utgör den teoretiska referensramen i denna examensuppsats, har sin utgångspunkt i den fenomenografiska forskningen. Fenomenografin är en kvalitativ forskningsansats utvecklad av en grupp forskare vid Göteborgs universitet under 70-talet (Alexandersson, 1994). Den fenomenografiska forskningsansatsens fokus är att beskriva den variation som finns i hur människor erfar ett fenomen (Marton & Booth, 2000). Fenomenografin har ett icke-dualistiskt förhållningssätt, det vill säga att det ofrånkomligen finns en intern relation mellan subjektet (individen) och världen. Man skiljer inte på uppfattning och uppfattningens innehåll. Verkligheten existerar men konstitueras genom betraktaren, en individs uppfattning om ett fenomen är således alltid påverkad av dess tidigare erfarenheter (Wernberg, 2009).

Genom att studera hur en grupp individer uppfattar en specifik sak vid en specifik tidpunkt strävar fenomenografin efter att upptäcka variationer och likheter i hur individer erfar samma fenomen. För att beskriva denna variation används beskrivningskategorier där individernas uttryckta erfarande klassificeras. Den fenomenografiska forskningen utövas i huvudsak i pedagogiska sammanhang och då flertalet av forskarna i den grupp som utvecklat fenomenografin hade lärarbakgrund kom den dominerande inriktningen snart att bli didaktisk (Alexandersson, 1994). Fenomenografin fokuserar på vad som lärs in istället för hur mycket, det vill säga kvalitet istället för kvantitet. Detta kan ses som en reaktion på en då rådande uppfattning inom forskarkåren om att utbildning handlar om undervisning med fokus på inlärning helt utan påverkan av yttre ramar så som läroplan, klasstorlek etc. (Marton & Booth, 2000).

Fenomenografin och variationsteorin skiljer på första och andra ordningens perspektiv (Marton & Booth, 2000). Första ordningens perspektiv är påståenden om den fysiska världen eller om en specifik situation beskrivna av forskaren som det som ämnas studeras (vad jag vill förstå). Andra ordningens perspektiv är påståendet som återspeglar individens sätt att erfara situationen, hur denne förstår problemet (hur fenomenet uppfattas eller förstås). I ett didaktiskt perspektiv är den lärandes fokus vanligen av den

10

första ordningens perspektiv medan läraren bör ha både ett första och andra ordningens perspektiv (Marton, Runesson, & Tsui, 2004)

Variationsteorin har utvecklats ur fenomenografin på det sätt att den klassiska fenomenografin undersöker de variationer som förekommer i vad den lärande uppfattar om ett lärobjekt medan variationsteorin ämnar att förklara vad som görs möjligt för den lärande att urskilja om lärobjektet i en lärsituation. Fokus flyttas således från den klassiska fenomenografins vilja att studera variationer i hur individer erfar ett lärobjekt till att studera hur upplevandet av variation av kritiska aspekter möjliggör urskiljande av dessa och därmed lärandet (Wernberg, 2009). Lärande ses inom denna teoretiska referensram som en förändring i hur ett fenomen erfars och inlärning sker då nya kritiska aspekter kan urskiljas (Häggström, 2008).

För att förstå lärande i termer av variation kan man studera vad som varieras och vad som hålls invariant vid ett lärtillfälle. Marton et al. (2004) identifierar fyra olika mönster av variation som främjar urskiljandet av kritiska aspekter hos ett fenomen:

Kontrast – För att kunna förstå vad något är måste den lärande ges möjlighet att förstå vad det inte är, ha något att jämföra med. Ex. för att veta vad en triangel är så måste vi veta vad den inte är, det är inte en kvadrat, en cirkel eller en hexagon.

Generalisering – Genom att erfara olika skepnader av ett lärobjekt möjliggörs för den lärande att göra en generalisering. En kvadrat kan vara stor, liten, röd eller grön men det är fortfarande en kvadrat.

Separation – För att erfara betydelsen av en viss kritisk aspekt av lärobjektet och kunna urskilja just denna aspekt bör denna få variera medan andra aspekter hålls konstanta. Om flera aspekter varierar samtidigt blir dessa svåra att urskilja. Wernberg (2009) exemplifierar detta genom att visa hur separation kan användas för att möjliggöra elevers förståelse för area- och omkretsbegreppen, där arean hålls konstant medan omkretsen varierar.

Fusion – Om det finns flera kritiska aspekter som den lärande måste ta hänsyn till samtidigt bör dessa upplevas simultant. I vardagliga livet är det sällan en variabel åt gången som varierar utan man måste kunna ta ett mer holistiskt perspektiv på situationen. Detta exemplifieras av Wernberg (2009) med hur omvandlandet av ett tusental, två hundratal, tre tiotal och fyra ental till talet 1234 kräver en simultan förståelse av de separata delarna samtidigt som dessa fusioneras till en helhet.

11

2.2 Likhetstecknets betydelse

Likhetstecknet är en grundläggande symbol inom matematiken och används för att beteckna att två uttryck har samma värde. Förståelsen för likhetstecknet är viktig för den matematiska utvecklingen men forskning har länge visat att en majoritet av eleverna inte har en korrekt förståelse för likhetstecknet (Kieran 1981; Knuth et al., 2006; McNeil & Alibali, 2005; Stephens et al., 2013). Istället för att tolka symbolen relationellt där likhetstecknet visar på ekvivalens mellan två uttryck tolkas likhetstecknet företrädesvis som en operationell symbol, en uppmaning att räkna ut något. När likhetstecknet tolkas relationellt är det en statisk, strukturell symbol där likhetstecknet innebär att likheten kan läsas åt båda håll, både vänsterledet och högerledet finns samtidigt och är ekvivalenta med varandra. Likhetstecknet visar att vänsterledet är lika mycket som högerledet. Vid en operationell tolkning av likhetstecknet finns vänsterledet och högerledet inte samtidigt utan högerledet är det som blir efter att man ”lytt uppmaningen” och räknat ut vänsterledet (Bergsten et al., 1997). En korrekt tolkning av likhetstecknet är viktig för elevers möjligheter att tolka och lösa algebraiska ekvationer och en korrekt förståelse av likhetstecknet anses vara en av de viktigaste faktorerna när det kommer till att utveckla det algebraiska tänkandet (Blanton & Kaput, 2005; Bergsten et al., 1997; Jacobs, Franke, Carpenter, Levi & Battey, 2007; Knuth et al., 2006, Matthews, Rittle-Johnson, McEldoon & Taylor, 2012).

Litteraturen skiljer på traditionella räkneoperationer så som 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 och icke-traditionella räkneoperationer såsom 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 (uttryck på höger sida om likhetstecknet), 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 (uttryck på båda sidor av likhetstecknet) och 𝑐 = 𝑐 (reflexivt) (McNeil, Grandau, Knuth, Alibali, Stephens, Hattikudur & Krill, 2006; Seo & Ginsburg, 2003). Den operationella synen på likhetstecknet blir ett problem för eleverna då de skall hantera räkneoperationer av icke-traditionell typ, redan vid till synes enkla beräkningar så som 8 + 4 = _ + 5 (Falkner, Levi & Carpenter, 1999). När uppställningen inte följer det traditionella mönstret får eleverna svårt med uträkningen. De är vana att utläsa ett tal från vänster till höger där ett uttryck följs av ett likhetstecken varefter eleven förväntas skriva sitt svar. Utsagor som 8 = 8 avfärdas som felaktiga då eleven saknar något ”att räkna ut” och 7 = 5 + 2 som ”baklänges” (Seo & Ginsburg, 2003; Stephens et al, 2013). De traditionella räkneoperationerna kräver inte att eleven reflekterar kring

12

likhetstecknet som en relationell symbol då den operationella tolkningen räcker för att komplettera likheten (McNeil et al., 2006).

Carpenter, Frank & Levi (2003) identifierar och klassificerar fem vanliga strategier vid beräkning av icke-traditionella räkneoperationer med uttryck på båda sidor om likhetstecknet (så som exempelvis 7 + 5 = _ + 4 ). Samtliga svar tyder på olika uppfattningar om vad likhetstecknet innebär.

1. Sen kommer svaret Eleven ignorerar sista siffran och skriver svaret omedelbart efter likhetstecknet. 7 + 5 = 𝟏𝟐 + 4

2. Använd alla siffror Eleven använder alla siffror och får svaret 16. 7 + 5 = 𝟏𝟔 + 4

3. Utöka problemet Eleven räknar först ut det första uttrycket och fyller i tomrummet efter likhetstecknet, varpå uttrycket efter likhetstecknet följs av ett nytt likhetstecken och en ny uträkning. 7 + 5 = 𝟏𝟐 + 4 = 𝟏𝟔

4. Eleven räknar ut den ena sidan och funderar på vad som skall paras ihop med siffran på högersidan för att få matematisk ekvivalens Sju och fem är tolv, vad skall jag lägga till fyra för

att få tolv?

5. Eleven jämför siffrorna i höger- och vänsterledet för att se vad som ger matematisk ekvivalens Fem är en mer än fyra då måste talet som skall gå med fyra vara en mer än sju

Strategi ett och tre tyder på en operationell förståelse av likhetstecknet, i strategi två prioriteras siffrorna och additionstecknen före en operationell förståelse för likhetstecknet medan strategi fyra och fem tyder på att eleven har en relationell förståelse av likhetstecknet. Stephens et al. (2013) går vidare och kategoriserar den relationella förståelsen i två underkategorier, de skiljer på beräknande och relationell-strukturell förståelse. Vid en relationell-relationell-strukturell förståelse för likhetstecknet ser eleven en relation mellan två uttryck snarare än två beräkningar, den förra förståelsen erbjuder mer flexibilitet då den är enklare att applicera på större tal (Carpenter et al., 2003; Stephens et al., 2013).

Flertalet studier har visat att elevens erfarenheter av likhetstecknet påverkar huruvida likhetstecknet uppfattas relationellt eller operationellt (Li, Ding, Capraro & Capraro, 2008; McNeil et al, 2005; McNeil, Fyfe, Petersen, Dunwiddie & Brletic‐Shipley, 2011; Seo & Ginsburg 2003). Carpenter et al. (2003) menar även att elever som en gång haft en relationell förståelse för likhetstecknet kan återgå till en operationell förståelse av detsamma om eleven i allt för stor utsträckning utsätts för räkneoperationer av enbart traditionell karaktär. Även stressade situationer verkar trigga gamla minnen av likhetstecknet som en operationell symbol (Chesney, McNeil, Brockmole & Kelley,

13

2013). Trots en relationell förståelse för likhetstecknet visar experiment att då räkneoperationer utförs under tidspress tenderar likhetstecknet att tolkas operationellt. Den operationella förståelsen verkar således vara djupt rotad.

I en av de senare studierna som gjorts i ämnet slår McNeil et al. (2011) fast att elever som tränar på räkneoperationer av icke-traditionell form utvecklar en större förmåga att förstå matematiska likheter. Genom att låta barn träna addition på traditionellt sätt (𝑎 + 𝑏 = 𝑐), icke-traditionellt sätt (𝑐 = 𝑎 + 𝑏) samt inte få någon extra träning alls konstaterar McNeil et al. (2011) att elever som är vana att se räkneoperationer uttryckta på ett icke-traditionellt sätt lyckas bättre med att lösa denna typ av räkneoperationer än elever som fått lika mycket övning men som fått lösa räkneoperationer på ett traditionellt sätt.

Carpenter et al. (2003) söker tänkbara förklaringar till varför den operationella tolkningen är så utbredd och finner tre möjliga motiveringar. Det första är att eleverna till största del endast ser räkneoperationer av traditionell karaktär, det vill säga med ett uttryck till vänster om likhetstecknet och ett svar till höger om likhetstecknet (𝑎 + 𝑏 = 𝑐). Den andra möjliga förklaringen är att miniräknaren förstärker känslan av att likhetstecknet betyder ”räkna ut” då likhetstecknet på miniräknaren genererar svaret. Slutligen resonerar de kring huruvida det är förutbestämt att se likheter i termer av att räkna ut något då det är enklare för små barn att utföra ett stegvist resonemang än att fundera över relationerna mellan kvantiteterna (Carpenter et al. 2003). Kronqvist och Malmer (1993) menar att den operationella tolkningen av likhetstecknet härstammar från att elever oftast introduceras för likhetstecknet i samband med dynamisk addition. Att eleverna tolkar likhetstecknet som att det blir något menar de alltså inte är så konstigt.

2.3 Introduktion av likhetstecknet – vad bör göras?

Som ett resultat av att ha studerat klassrumskontextens implikationer på förståelsen av likhetstecknet föreslår Seo och Ginsburg (2003) ett antal pedagogiska tillvägagångssätt som skulle kunna främja den relationella förståelsen för likhetstecknet:

- Använda likhetstecknet i olika kontexter och olika sätt att förklara likhetstecknet, till exempel med hjälp av en våg

- Introducera likhetstecknet i aritmetisk kontext och använda mer icke-traditionella räkneoperationer

14

- Använda en annan symbol vid operationella förfaranden och ersätt likhetstecknet med ord som till exempel ”samma som”

- Ta hjälp av intervjuer för att få tillgång till elevernas förståelse och för att främja lärandet, läraren måste vara medveten om elevens faktiska förståelse för likhetstecknet

Hattikudur och Alibali (2010) undersöker effekten av att använda relationssymbolerna större än (>) och mindre än (<) tillsammans med likhetstecknet för att befästa en relationell förståelse för likhetstecknet. I studien slår de fast att då likhetstecknet presenteras tillsammans med relationssymboler främjas den relationella förståelsen jämfört med om likhetstecknet presenteras enskilt. De kan också konstatera att elever som behandlar relationssymbolerna får en ytterligare vinst då de lär sig mer (både relationssymbolerna och likhetstecknet) på samma tid än elever som enbart behandlar likhetstecknet (Hattikudur & Alibali, 2010).

Även Kronqvist och Malmer (1993) förespråkar användandet av fler jämförande symboler än endast likhetstecknet men begränsar undervisningen av de tidigare åldrarna till att stanna vid likhetstecknet tillsammans med symbolen för ”är inte lika med” (≠). De menar att eleverna har ett behov av att jämföra och att de då behöver en symbol för detta (Kronqvist och Malmer, 1993). Malmer (2002) menar att likhetstecknet är en av de mest missbrukade symbolerna inom matematiken och ser ett behov av att tidigt införa laborativa övningar och då av jämförande natur.

2.4 Likhetstecknet och kursplanen i matematik

Hösten 2011 fick grundskolan en ny läroplan i syfte att förtydliga utbildningsmål och kunskapskrav för eleverna (Regeringskansliet, 2012). Bland annat har vikten av förståelse för likhetstecknet förtydligats i den nya läroplanen. Till skillnad från den tidigare läroplanen, Lpo94 (Skolverket, 2008b), där flera av målen indirekt kunde kopplas till vikten av att förstå likhetstecknet är förståelse för likhetstecknet en egen punkt i Lgr11 under rubriken centralt innehåll i årskurs 1-3.

Algebra

15

Även i ”kunskapskraven för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3” återfinns förståelsen för likhetstecknet, där det står att ”Eleven kan hantera enkla matematiska likheter och använder då likhetstecknet på ett fungerande sätt” (Skolverket, 2011, s.67).

Konkretiseringen av förståelsen för likhetstecknet är enligt Skolverket (2011) en följd av den forskning som visar hur viktig pre-algebra är för det framtida mötet med obekanta tal och variabelbegreppet. Pre-algebra beskrivs av Bergsten et al. (1997) som det första av tre steg i den algebraiska lärprocessen och omfattar en mängd olika aktiviteter under de tidiga skolåren varav arbetet med likhetstecknet på ett strukturellt sätt är en av dessa. Pre-algebra följs av inledande algebra där bokstavssymbolerna introduceras. När eleven kan översätta en händelse till ett uttryck med symboler, göra omskrivning av symboluttryck och tolka symboluttryck handlar det om algebra (Bergsten et al., 1997).

Enligt Johansson (2006) kan läroboken fungera som ett viktigt verktyg vid implementeringen av en ny reform så som exempelvis en ny läroplan. I syfte att undersöka korrespondensen mellan utvecklingen av ett visst matematikläromedel och utvecklingen av kursplanen i matematik finner hon att endast vissa delar av kursplanen är med i de studerade matematikböckerna (Johansson, 2003). Johansson konkluderar att det inte finns någon tillfredsställande återspegling av kursplanen i de studerade läroböckerna men poängterar att det inte är läroböckernas ansvar att målen uppnås utan skolans.

2.5 Tidigare studier om likhetstecknet i läromedlen

Seo och Ginsburg (2003) noterar att forskning sedan länge visat att likhetstecknet måste läras ut på ett meningsfullt sätt för att eleverna skall kunna utveckla en korrekt förståelse för likhetstecknet. I ljuset av detta menar de dock att det finns frågor som forskningen ännu inte besvarat och efterfrågar studier i hur likhetstecknet behandlas i en klassrumskontext, både vad gäller undervisning men även kring läroböckernas roll. För att svara på till vilken grad läroböckerna bidrar till elevers förståelse för likhetstecknet undersöker Seo och Ginsburg (2003) om läroböckerna stödjer den relationella förståelsen för likhetstecknet. De tittar på hur två böcker som används i en årskurs 2 förklarar likhetstecknet och till vilken grad icke-traditionella räkneoperationer är representerade. Båda böckerna presenterar likhetstecknet i samband med att eleven ombeds att räkna ut något och ingen av böckerna beskriver likhetstecknet i termer av ekvivalens, samtidigt finner Seo och Ginsburg (2003) att de flesta räkneoperationer är av traditionell karaktär.

16

Seo och Ginsburg (2003) konstaterar att de undersökta läroböckerna inte bidrar till en relationell förståelse av likhetstecknet utan snarare cementerar elevernas uppfattning om likhetstecknet som en operationell symbol.

Genom att studera hur likhetstecknet presenteras i fyra matematikläromedel för middle school (åldern 11 till 14 år) kan McNeil et al. (2006) konstatera att likhetstecknet oftast representeras där räkneoperation är lika med svar och mycket sällan i mer icke-traditionella sammanhang som där räkneoperation är lika med räkneoperation. Studien visar att proportionen av de traditionella räkneoperationerna minskar med årskurs och detta förklarar författarna med ett ökat fokus på hanteringen av algebraiska ekvationer. Läromedelsobservationerna följs upp med två experiment som visar att en icke-traditionell framställning av likhetstecknet och i synnerhet räkneoperationer med uttryck på båda sidor av likhetstecknet är främjande för elevers tolkning av symbolen som relationell istället för operationell. McNeil et al. (2006) slår fast att läromedlens utformning inte gynnar en relationell förståelse för likhetstecknet. Författarna argumenterar för att lärarna bör inkludera fler sätt på vilka likhetstecknet representeras, dock kommenteras aldrig läromedlens roll eller förslag till utveckling av desamma.

Powell (2012) däremot efterlyser en förändring av läromedel och menar att icke-traditionella och icke-traditionella räkneoperationer måste förekomma med samma frekvens. Powells (2012) rekommendationer baseras på en undersökning av matematikläromedel för elementary school (åldern 5 till 10 år) där hon studerar dels representationen av likhetstecknet i elevböcker men även definitionen och förekomsten av likhetstecknet i de korresponderande lärarhandledningarna. Även Powell (2012) konstaterar i sin undersökning att elever generellt sett inte exponeras för räkneoperationer av icke-traditionell typ och pekar vidare på att instruktionerna i lärarhandledningarna förvisso mestadels är relationell men att förekomst och diskussion av likhetstecknet tyvärr är infrekvent. Likhetstecknet nämns maximalt åtta gånger i en lärarhandledning och i flera lärarhandledningar nämns det inte alls. Powell (2012) menar att lärarhandledningarna måste öka frekvensen av samt ha en konsekvens i framställningen av likhetstecknet, om detta inte efterlevs av läromedelsförlagen måste lärarna frångå handledningarna och själva erbjuda eleverna detta.

I en jämförande studie undersöker Li et al. (2008) amerikanska och kinesiska elevers förståelse för likhetstecknet. Med hjälp av ett diagnostiskt test finner de att cirka 28 % av de amerikanska eleverna ger en korrekt lösning på räkneoperationerna medan cirka 98 % av de kinesiska eleverna löser uppgifterna korrekt. De söker förklaring till skillnaderna i

17

lärarförberedande texter och lärarhandledningar i USA och Kina samt ser till hur kinesiska läroböcker introducerar likhetstecknet. Amerikanska lärarförberedande böcker har ingen eller mycket lite förklaring till likhetstecknet och sällan i termer av ekvivalens medan samtliga undersökta kinesiska lärarhandledningar erbjuder omfattande hjälp till introduktion av likhetstecknet, alla i relationell form med stor vikt vid balans, likhet och ekvivalens. Vidare framställs likhetstecknet med en högre grad av variation i kinesiska läroböckerna än i amerikanska läroböcker vilket gynnar elevernas potential att få en mer djupgående förståelse för likhetstecknet.

I ett anförande på en konferens beskriver McNeil (2013) resultatet av en ännu inte publicerad studie där McNeil testar implikationerna av en icke-traditionell lärobok. Utifrån tidigare forskning identifieras tre faktorer som visat sig underlätta elevers förståelse för likhetstecknet och matematiska likheter vilka används för att konstruera en icke-traditionell lärobok. Det första är att låta räkneoperationer vara av icke-traditionell karaktär (så som 8 = 5 + _), det andra är att organisera uppgifter i grupper baserat på lika värde (så som 2 + 6 = _, 3 + 5 = _, 4 + 4 = _, 7 + 1 = _) och det tredje är att använda sig av relationella ord så som ”är lika med” och ”samma summa som” istället för att använda sig av likhetstecknet. Experimentet visar att elever som får använda en icke-traditionell lärobok utvecklar en bättre förståelse för likhetstecknet och matematiska likheter.

2.6 Variationsteorin och likhetstecknets betydelse

Variationsteorin menar, som tidigare nämnts, att inlärning sker då nya kritiska aspekter av ett fenomen kan urskiljas (Häggström, 2008). Nedan följer ett försök att tolka förståelsen för likhetstecknet i ett variationsteoretiskt perspektiv, hur den ovan beskrivna litteraturen föreslår att fenomenet likhetstecknet skall varieras för att eleverna skall kunna urskilja den kritiska aspekt som krävs för en relationell förståelse av likhetstecknet. Lärandeobjektet är således likhetstecknet som en relationell symbol och den kritiska aspekten är ekvivalens, att det skall vara lika mycket i båda leden. Det som eleven skall ges möjlighet att urskilja är alltså varför man kan ha ett likhetstecken mellan 8 + 4 och 7 + 5.

De fyra mönster av variation (Marton et al., 2004) som främjar urskiljandet av kritiska aspekter som presenterades ovan var kontrast, generalisering, separation och fusion. I

18

litteraturen som berör hur elever bäst skall kunna förstå likhetstecknet som relationell symbol urskiljs tre av fyra mönster av variation. Det första mönstret är kontrast. Flera forskare (bland andra Hattikudur & Alibali, 2010; Kronqvist & Malmer, 1993) förespråkar användandet av relationssymboler (>, < och ≠) då likhetstecknet presenteras. Således skapas en kontrast där eleverna ges möjlighet att förstå likhetstecknet genom att de får urskilja vad det inte är. Seo och Ginsburg (2003) framhåller vidare vikten av att använda likhetstecknet i flera kontexter än den aritmetiska, genom att låta eleverna erfara att likhetstecknet på olika sätt kan eleverna skapa en generalisering. Litteraturen visar även på en brist i generaliseringen av likhetstecknet då elever inte exponeras för icke-traditionella räkneoperationer i tillräckligt stor utsträckning (McNeil et al., 2006; Seo & Ginsburg, 2003; Powell, 2012), eleverna ges inte möjlighet att generalisera likhetstecknet i olika typer av räkneoperationer. Denna brist på generalisering är en förklarande faktor till elevers misstolkningar av likhetstecknet. I försöket med en icke-traditionell lärobok använder McNeil (2013) även separation som ett mönster av variation i syfte att underbygga elevernas förståelse för likhetstecknet. Genom att organisera uppgifter baserat på värde håller de summan invariant men varierar sätten att representera denna summa. Generellt pekar litteraturen på att det är bristen på variation som leder till elevernas svårigheter att förstå likhetstecknet.

19

3. Metod

3.1 Datainsamling och analysverktyg

I syfte att besvara uppsatsens frågeställning genomfördes dels en elevundersökning i form av en enkät men även en textanalys av matematikläromedel i årskurs 1-3.

3.1.1 Elevundersökning

För att ta reda vilken förståelse elever i årskurs 4 har för likhetstecknet utformades en enkät i form av ett diagnostiskt test bestående av fem räkneuppgifter (se bilaga 1). Inspiration till räkneuppgifterna hämtades från tidigare internationell forskning. Uppgift ett till fyra återfinns i materialet hos Li et al. (2008) och uppgift fem är samma uppgift som använts av Falkner et al. (1999), Carpenter et al. (2003) samt Freiman och Lee (2004). På detta vis kan resultaten av undersökningen i denna studie jämföras med de tidigare undersökningarna. Uppgifterna överensstämmer även med de uppgiftstyper som Freiman och Lee (2004) identifierar som mest användbara för att ta reda på elevers algebraiska tänkande kring likhetstecknet.

I samband med det diagnostiska testet fick eleverna även en uppgift av förklarande karaktär. Utformningen av den förklarande uppgiften är inspirerad av McNeil et al. (2006) där eleverna får se likhetstecknet i olika sammanhang och skriftligen förklara vad symbolen heter och vad den betyder (se bilaga 2). För att kontrollera huruvida kontexten är betydande för elevens svar får eleverna på slumpmässig basis se likhetstecknet i en av tre kontexter: i en traditionell räkneoperation, i en icke-traditionell räkneoperation med uttryck på var sida av likhetstecknet samt i en reflexiv kontext. En pil pekar på likhetstecknet och följande två frågor ställs:

1) Pilen ovan pekar på en symbol. Vad heter den? 2) Vad betyder symbolen?

Tanken med att låta eleverna se likhetstecknet i olika kontexter är att kunna se om kontexten påverkar elevernas uppfattning av tecknet. Om elevernas uppfattning av likhetstecknet visar sig vara kontextberoende kan detta jämföras med den kontext i vilken läroböckerna presenterar likhetstecknet.

20

Det diagnostiska testet och undersökningen med den förklarande frågan genomfördes vid samma tillfälle. För att undersökningen inte skulle påverkas av det diagnostiska testet fick eleverna avsluta det diagnostiska testet innan de tilldelades frågan kring likhetstecknets betydelse.

Innan undersökningen genomfördes övervägdes alternativet att ställa frågan om likhetstecknet i en intervju. Att frågan ställdes i form av en enkät beror till stor del på den administrativa aspekten och tidsaspekten, enkätsvar är enklare att administrera och det gavs således möjlighet att inkludera fler svar än om undersökningen hade genomförts med hjälp av intervju (Bryman, 2011). Ytterligare en fördel med enkäter istället för intervjuer är att man undviker att resultatet påverkas av en eventuell intervjuareffekt, det vill säga risken för att svaren påverkas av vem som ställer frågorna. De största nackdelarna med enkätförfarandet vid denna undersökning torde vara risken att missa viktig information då det inte går att ställa följdfrågor samt att respondenter med läs och skrivsvårigheter eller andra språksvårigheter kan ha problem då de skall besvara en skriftlig enkät och information därmed kan förloras. Avvägandet gjordes dock att ett större antal respondenter vägde tyngre för undersökningens slutliga resultat och trovärdighet.

I enlighet med Brymans (2011) riktlinjer för kodning av en öppen fråga lästes samtliga svar igenom varpå en kodningsmall utformades (se bilaga 3), en så kallad kodning i efterhand. Med hjälp av kodningsmallen kunde svaren sedan klassificeras och materialet kunde därefter bearbetas på ett kvantitativt sätt.

3.1.2 Innehållsanalys

Med intentionen att granska hur likhetstecknet framställs i matematikläroböckerna för årskurs 1-3 analyserades valda läromedel både kvantitativ såväl som kvalitativt.

Inom ramen för den kvantitativa textanalysen, en så kallad innehållsanalys, undersöktes samtliga uppgifter i läroböckerna (Bergström & Boréus, 2005). Uppgifter där likhetstecknet förekom klassificerades enligt ett i förväg konstruerat kodningsschema (Bryman, 2011) där uppgifterna föll inom en av sex kategorier:

1. Traditionella räkneoperationer (𝑎 + 𝑏 = 𝑐)

2. Icke-traditionella räkneoperationer av operationell karaktär där syftet är att lära ut en räknestrategi (𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 = 𝑒)

21

3. Icke-traditionella räkneoperationer med svar följt av likhetstecken följt av räkneoperation (𝑐 = 𝑎 + 𝑏)

4. Icke-traditionella räkeoperationer med operationer på båda sidor av likhetstecknet (𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑)

5. Likhetstecknet i en reflexiv kontext utan operation på någon sida av likhetstecknet (𝑎 = 𝑎)

6. Likhetstecknet i en jämförande kontext där uppgiften skall kompletteras med >, < eller =

Kategorierna är inspirerade av tidigare forskning (Li et al., 2008; McNeil et al., 2006; Powell, 2012) och anpassade till det studerade materialet i enlighet med Bergström och Boréus (2005) rekommendationer. Kategori 1 samt 3-6 återfinns hos bland andra McNeil (2006). Kategori 2 är anpassad efter materialet då flera uppgifter i de studerade läroböckerna syftar till att lära ut räknestrategier genom att lära eleverna att räkna i flera steg. Dessa uppgifter visar förvisso att räkneoperation är lika med räkneoperation men syftet är att komma fram till ett givet svar och de anses därför vara av operationell karaktär (se bilaga 4 för exempel på detta). Samtliga uppgifter är även klassificerade med avseende på operationstecken, detta för att se om det går att urskilja något mönster i förhållande till operationstecken och klassificering. Materialet analyserades och klassificerades manuellt vilket ökar möjligheten till mer komplicerade bedömningar och tolkningar (Bergström & Boréus, 2005).

I syfte att uppnå fullständighet (Bryman, 2011) kompletterades den kvantitativa textanalysen av läroboken med en kvalitativ textanalys av läroboken (Esaiasson, Gilljam, Oscarsson & Wängnerud, 2012). För att kunna göra en beskrivande analys av hur likhetstecknet framställs i läroboken genomsöktes samtliga sidor i läroböckerna efter beskrivningar och förklaringar av likhetstecknet. Detta arbete är i linje med det som bland andra Li et al. (2008) har gjort.

3.2 Urval

Urvalet är ett så kallat målinriktat urval (Bryman, 2011). Med utgångspunkt i de specificerade målen för årskurs 3 i Lgr11 (Skolverket, 2011) gällande likhetstecknet (se kapitel 2.4) föll valet på att rikta undersökningens fokus på elever i årskurs fyra samt läromedel för årskurs 1-3. Urvalet baseras på att böckerna för dessa årskurser förmodas

22

ta upp det centrala innehåll för årskurs 1-3 som beskrivs i Lgr11. Vidare bör elever i årskurs 4 dels ha nått upp till de kunskapskrav för godtagbara kunskaper i slutet av årskurs 3 som fastställs i läroplanen för matematik (Skolverket, 2011) och de har även med stor sannolikhet tillgodogjort sig ett läromedel avsett för årskurs 1-3.

3.2.1 Beskrivning av klasserna/skolorna och varför de valdes

Undersökningen genomfördes på två olika skolor och sammanlagt 67 elever i årskurs 4 deltog, 34 elever från skola A och 33 elever från skola B. Båda skolor är små skolor med till övervägande del svenskfödda barn. Skola A är en kommunal skola i södra Sverige med elever från förskoleklass till årskurs 6. Skola B ligger även den i södra Sverige och är en fristående montessoriskola med elever från förskola till årskurs 9. I skola A går eleverna årskursvis, det vill säga att årskurs 3 går för sig, årskurs 4 går för sig och så vidare. Årskurserna är fördelade på två klasser, a och b. I årskurs 1-3 har eleverna i A-klassen och B-A-klassen haft olika lärare medan de sedan innevarande termins start har en gemensam lärare i matematik. Skola B har en åldersintegrerad struktur där elever i årskurs 3 och 4 går tillsammans. Klasserna är indelade i två ”spår” och lärarna undervisar endast ett spår, det förekommer således ingen gränsöverskridande läraraktivitet. Skola A har totalt 39 elever som faller inom urvalsgruppen, det vill säga elever i årskurs 4. Av dessa 39 elever deltog 34 elever. En elev avstod från deltagande och fyra elever var inte närvarande vid testtillfället. Skola B har totalt 36 elever som faller inom urvalsgruppen. Av dessa 36 elever deltog 33 elever. I skola B avstod två elever från att delta och en elev var inte närvarande vid testtillfället. Bortfallet anses inte ha resulterat i någon större snedvridning av undersökningens resultat. Sammanlagt har 67 elever i årskurs 4 medverkat i undersökningen.

3.2.2 Urval av läroböcker

Innehållsanalysen är genomförd på tre läromedelsserier, varav två av läromedlen används på de skolor där elevundersökningen genomfördes. Läromedelsserierna riktar sig till skolår 1-3 och kriterier vid urval av läromedel var att de skulle vara vanligt förekommande och aktuella, det vill säga användas vid svenska skolor idag. Två av läromedlen valdes då de används vid de skolor som deltog i undersökningen och det tredje

23

valdes då undersökningsledaren arbetat med läromedlet vid utbildningens verksamhetsförlagda tid (VFT). Samtliga läromedel utger sig för att arbeta i linje med Lgr 11 och bör därmed med leva upp till det centrala innehållet för årskurs 1-3 som beskrivs i Lgr11 (Gleerups, 2012a, 2012b; Sanoma utbildning, 2013). Till de studerade läromedelsserierna hör olika typer av extra material i form av exempelvis läxböcker och utmaningsböcker. Då läroböckerna är grundstenen i materialet och därmed det material som flest elever kommer i kontakt med har undersökningen begränsats till att endast analysera läroböckerna och inte det tillhörande extramaterialet extra som ingår i läromedelsserierna. Detta går även i linje med McNeil et al. (2006) och Powells (2012) förfarande. De utvalda läromedelsserierna är Mattegruvan (Svensson & Östergren, 2005, 2006, 2007) som används av skola A, Prima Matematik (Brorsson, 2008, 2009a, 2009b, 2009c, 2010, 2011) som används av skola B samt Matte Direkt Safari (Falck et al., 2011a, 2011b, 2011c, 2011d, 2011e, 2011f).

3.2.3 Beskrivning av läroböcker

Totalt har 15 läroböcker analyserats, nedan följer en beskrivning av dessa.

Mattegruvan ges ut av Gleerups med en bok per årskurs, Koppargruvan (Svensson & Östergren, 2005) för årskurs 1, Silvergruvan (Svensson & Östergren, 2006) för årskurs 2 samt Guldgruvan (Svensson & Östergren, 2007) för årskurs 3. Varje kapitel inleds med en ordlista som även fungerar som en målbeskrivning av vad eleverna skall lära sig i kapitlet. Böckerna förefaller vara uppbyggda så att eleverna skall räkna från ”pärm till pärm”. Böckerna har två författare, båda med lärarbakgrund. Även Prima Matematik ges ut av Gleerups men med två böcker per årskurs, 1A (Brorsson, 2008), 1B (Brorsson, 2009a), 2A (Brorsson, 2009b), 2B (Brorsson, 2009c), 3A (Brorsson, 2010) och 3B (Brorsson, 2011), sammanlagt sex böcker. Författaren är matematikutvecklare och lärare. Varje kapitel inleds med en målöversikt ”I det här kapitlet lär du dig” följt av uppgifter som behandlar det som står i målöversikten. Kapitlen avslutas med diagnos, repetition och utmaning. Matte Direkt Safari ges ut av Bonnier Utbildning och har precis som Prima Matematik sammanlagt sex böcker med två böcker per årskurs, 1A (Falck et al., 2011a), 1B (Falck et al., 2011b), 2A (Falck et al., 2011c), 2B (Falck et al., 2011d), 3A (Falck et al., 2011e) och 3B (Falck et al., 2011f). Även här inleds varje kapitel med en målöversikt ”När du har arbetat med det här kapitlet ska du ha lärt dig” följt av uppgifter som tar upp

24

det som beskrivs i målen. Därefter följer en diagnos vilken ligger till grund för om eleven skall fortsätta med repetitionsuppgifter eller gå vidare med klurigare uppgifter kopplade till kapitlet. Tanken är således inte att eleven skall räkna samtliga uppgifter i boken. Matte Direkt Safari är den enda av de tre studerade läromedelsserierna som har reviderats och kommit ut i ny upplaga anpassad till Lgr11 (Sanoma utbildning, 2013).

3.3 Procedur

3.3.1 Procedur läromedelsanalys

De valda läroböckerna lånades vid Malmö högskolas bibliotek. Böckerna avlästes sida för sida och varje tillfälle där likhetstecknet identifierats noterades och klassificerades utefter ovan beskrivna klassificeringsschema direkt på datorn i programvaran Excel. När samtliga uppgifter i samtliga läroböcker klassificerats analyserades den insamlade datan i Excel med hjälp av pivot-tabeller.

3.3.2 Procedur enkätundersökning

De medverkande skolorna kontaktades via mail med förfrågan om de kunde tänka sig att delta i undersökningen. Lärarna fick veta att undersökningen gällde ett examensarbete i Matematik och lärande vid Malmö högskola men de fick inte veta vad undersökningen rörde sig om. Detta för att undvika att lärarna medvetet eller omedvetet skulle påverka eleverna och därmed undersökningens resultat. Fyra skolor kontaktades och två skolor återkom med positivt svar. De medverkande lärarna fick sedan brevet om föräldrarnas tillåtelse mailat till sig vilka de sedan distribuerade till eleverna. Därefter bestämdes en tid för genomförandet av undersökningen. Undersökningarna i de två skolorna genomfördes med mig som undersökningsledare och med cirka två veckors mellanrum, först på Skola A och därefter på skola B. Undersökningen gjordes i två omgångar på varje skola, detta utefter hur årskurs 4 var uppdelad på varje skola. Testen genomfördes på lektionstid i elevernas hemklassrum. Undersökningarna på skolorna genomfördes direkt efter varandra för att undvika att elever från de olika klasserna skulle hinna prata med varandra och därmed komma att påverka utfallet i undersökningen. Inför varje test

25

förklarade jag för eleverna att testet var anonymt och att de därför inte behövde skriva namn. Vidare förklarade jag att jag var intresserad av att se hur de tänkte och inte om de gjorde rätt eller fel, att jag ville använda resultatet för att se hur elever i årskurs 4 tänker på ett generellt plan. Eleverna fick fylla i det diagnostiska testet först och när de var klara med detta skulle de räcka upp handen. De fick då ett nytt blad med uppgiften av förklarande karaktär. När de var färdiga häftades uppgiftsbladen ihop och samlades in, detta för att kunna analysera de olika uppgiftstyperna i förhållande till varandra.

3.4 Reliabilitet, validitet och trovärdighet

Validiteten i en undersökning avgörs om undersökningen mäter det som den säger sig mäta (Bryman, 2011). Denna undersökning syftar att mäta förståelsen kring likhetstecknet och för detta har bland annat ett diagnostiskt test utformats samt en beskrivande fråga formulerats. Eventuell risk kring validiteten i undersökningen skulle kunna ligga i om testet verkligen mäter elevernas förståelse för likhetstecknet eller om det istället exempelvis återger brister i elevernas taluppfattning. Trots att man bör vara medveten dessa risker stärks undersökningens validitet då metoden följer etablerad forskning i ämnet.

Då validitet är frånvaron av systematiska mätfel syftar reliabilitet istället på frånvaron av slumpmässiga mätfel (Nationalencyklopedin, 2013). Stabilitet, intern reliabilitet samt interbedömarreliabilitet är tre begrepp som anses vara avgörande i fråga om en undersöknings reliabilitet (Bryman, 2011). Stabiliteten avser huruvida en undersöknings resultat är stabila över tid, det vill säga att resultaten av undersökningen inte skall förändras om den genomförs igen. Intern reliabilitet syftar till undersökningar där flera frågor aggregeras till en totalpoäng som sedan används för att dra slutsatser. För att mäta den interna reliabiliteten används ofta Cronbachs alfa, ett mått som beräknar genomsnittet av reliabilitetskoefficineterna för alla tänkbara ”split-half”. Med ”split-half” menas att undersökningsfrågorna slumpmässigt delas in i två grupper. Cronbachs alfa var 0,95 för resultatet i elevundersökningen och reliabiliteten ur detta perspektiv kan därför sägas vara hög. Interbedömarreliabilitet handlar om att tolkning av data skall överensstämma mellan forskare. Interbedömarreliabiliteten är säkrad genom så kallad dubbelkodning, det vill säga att delar av materialet har kodats av en annan forskare i syfte att säkra reliabiliteten

26

och undvika subjektiva bedömningar. Överensstämmigheten mellan forskarna var 99,4 % och reliabiliteten är i det avseendet god. För att ytterligare stärka reliabiliteten i undersökningen kan dubbelkodning även appliceras vid klassificeringen av enkätsvaren, i denna undersökning gavs dock inte möjlighet till detta på grund av bristande resurser.

För att ytterligare stärka undersökningens trovärdighet beskrivs undersökningsmetoderna på ett sätt som möjliggör för andra forskare att replikera studien, studien avses alltså vara replikerbar.

3.4 Forskningsetik

Undersökningen följer de forskningsetiska principer som antagits av Humanistisk-samhällsvetenskapliga forskningsrådet vilka kan sammanfattas i fyra huvudkrav för forskning; informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2002). Samtliga deltagande elever har fått skriftligt godkännande av målsman att delta i studien (se bilaga 5). I samband med detta presenterades även syftet med undersökningen. Eleverna har vidare fått information om att deltagandet är frivilligt och att de när som helst kan välja att avbryta sitt deltagande. Elevundersökningen genomfördes anonymt i den meningen att eleverna inte noterat namn på sina svar. Ytterligare anonymisering har vidtagits genom att inte använda namn på de skolor som deltar i undersökningen. Resultatet av undersökningen och de insamlade uppgifterna används enbart och endast enbart i den aktuella undersökningen. Slutligen har samtliga klasslärare informerats om var undersökningen kommer att finnas tillgänglig i sin helhet samt uppmanats att dela detta med de berörda eleverna.

27

4. Resultat och diskussion

Syftet med studien var att undersöka på vilket sätt elever i årskurs 4 uppfattar likhetstecknet och huruvida dessa uppfattningar kan förklaras av likhetstecknets framställning i matematikläroböckerna. De frågor som ställdes i anslutning till syftet var: Har elever i årskurs 4 en relationell eller en operationell förståelse för likhetstecknet? På vilket sätt är likhetstecknet presenterat i läroböckerna för årskurs 1-3? I följande avsnitt presenteras studiens resultat. Först presenteras resultatet av elevundersökningen och därefter följer den kvantitativa textanalysen och slutligen den kvalitativa textanalysen. Avslutningsvis diskuteras och problematiseras studiens resultat ur ett helhetsperspektiv.

4. 1 Resultat och diskussion av elevundersökning

Resultatet av elevundersökningen presenteras i tre delar. Först presenteras resultatet av det diagnostiska testet, det vill säga resultatet av de fem de räkneuppgifter eleverna utfört. Därefter presenteras resultatet av undersökningen som berör elevernas förklaring av likhetstecknet. Slutligen analyseras resultatet av de diagnostiska testet tillsammans med elevernas förklaring av likhetstecknet.

I elevundersökningen löser 49,3 % av eleverna uppgifterna korrekt, det vill säga 38 av de totalt 67 deltagande eleverna. En närmare granskning av resultaten visar dock stora skillnader mellan de två skolorna. I skola A löser 32,4 % av eleverna uppgifterna korrekt medan motsvarande siffra för skola B är 66,7 %. Ytterligare fem elever (en från skola A och fyra från skola B) löser uppgifterna på ett relationellt sätt men med enklare räknefel på någon av uppgifterna. I skola A är den operationella förståelsen för likhetstecknet tydlig då 44,1 % eller 15 av 34 elever (korrigerat för enklare räknefel), löser uppgifterna enligt strategin ”Sen kommer svaret”, vilket innebär att de ignorerar sista siffran och skriver svaret omedelbart efter likhetstecknet. I skola B är det två elever som använder sig av strategin ”Sen kommer svaret” och en elev som använder sig av strategin ”Utöka problemet”, det vill säga att eleven först räknar ut det första uttrycket och fyller i tomrummet efter likhetstecknet varpå uttrycket efter likhetstecknet följs av ett nytt likhetstecken och en ny uträkning (till exempel 8 + 4 = 𝟏𝟐 + 5 = 𝟏𝟕). Båda dessa strategier visar på en operationell förståelse för likhetstecknet. Två av de tre operationella

28

strategier vid beräkning av icke-traditionella räkneoperationer som identifierats av Carpenter et al. (2003) syns i undersökningen (strategierna presenteras i kapitel 2.2). Den strategi som inte används är ”Använd alla siffror”, det vill säga att eleven adderar samtliga siffor i räkneoperationen (till exempel 8 + 4 = 𝟏𝟕 + 5). Tabell 1 visar det sammanställda resultatet korrigerat för lösningar med enklare räknefel som inkluderats i totalen för relationella lösningar eller strategin ”Sen kommer svaret”.

Tabell 1. Elevernas lösningar klassificerade efter lösningsstrategi.

Skola A Skola B Totalt

Löser uppgifterna relationellt 12 26 38

Använder strategi "Sen kommer svaret" 15 2 17 Använder strategi "Utöka problemet" 1 1

Övriga lösningar 7 4 11

Totalt 34 33 67

Av de 11 elever som inte faller under någon tydlig strategi är utfallet följande: - en elev svarar inte på frågorna överhuvudtaget

- två elever svarar korrekt på samtliga uppgifter utom _ + 3 = 5 + 7 = _, där använder de strategin ”Sen kommer svaret”

- en elev svarar korrekt på samtliga uppgifter utom _ + 3 = 5 + 7 = _ där eleven kompletterar likheten i de två första leden efter sista likhetstecknet summerar eleven de två första leden och får 𝟗 + 3 = 5 + 7 = 𝟐𝟒

- en elev svarar korrekt på samtliga uppgifter utom _ + 9 = 12 + 5 där använder eleven strategin ”Sen kommer svaret”

- en elev använder strategin ”Sen kommer svaret” på samtliga uppgifter utom 8 + 4 = _ + 5 som eleven löser korrekt

- en elev använder strategin ”Sen kommer svaret” på samtliga uppgifter utom 4 + _ = 7 + _ som eleven löser enligt 4 + 𝟕 = 7 + 𝟑

- en elev löser två uppgifter korrekt, två uppgifter med strategin ”Sen kommer svaret” och i uppgiften _ + 3 = 5 + 7 = _ kompletterar eleven likheten i de två första leden och efter sista likhetstecknet summerar eleven de två första leden och får 𝟗 + 3 = 5 + 7 = 𝟐𝟒

29

I ett internationellt perspektiv, utifrån den undersökning som Li et al. (2008) gjort med elever från USA och Kina hamnar Sverige i mitten, de svenska eleverna visar på en bättre förståelse för likhetstecknet än de amerikanska eleverna men sämre än de kinesiska eleverna. Även baserat på uppgiften lånad av Falkner et al. (1999) presterar de svenska eleverna betydligt bättre än de amerikanska eleverna men något sämre än de kanadensiska eleverna i Freiman och Lees (2004) undersökning. Se tabell 2 nedan.

Tabell 2.

Andel elever som besvarar frågorna korrekt, jämförelse med tidigare internationella studier.

6+9=_+4 (%) _+8=12+5 (%) _+3=5+7=_ 1a luckan (%) _+3=5+7=_ 2a luckan (%) 8+4=_+5 (%) Resultat denna studie (2013)

Sverige Skolår 4 62,7 61,2 55,2 77,6 65,7

Resultat Li et al. (2008)

USA skolår 6 28,6 28,6 23,8 86,7

Resultat Li et al. (2008)

Kina skolår 6 98,6 96,6 98,6 97,9

Resultat Falkner et al. (1999)

USA skolår 4 7

Resultat Freiman & Lee (2004)

Kanada skolår 3 77

I den skriftliga uppgiften har två av eleverna inget svar på vad symbolen heter, 39 elever svarar att symbolen heter ”Är lika med” och 25 elever svarar att symbolen heter likhetstecknet. En elev svarar att tecknet heter summa. På frågan om vad symbolen betyder ger 30 elever ett svar som klassificeras som operationellt, 25 elever ett svar som klassificeras som relationellt och 7 elever ger ett svar som klassificeras som ospecificerad likhet. Av svaren av operationell karaktär handlar 12 om att det ”blir” något och 18 svar om att ”sen kommer svaret”. En elev svarar ”symbolen står för att e.x. om man räknar mattekrokodiler 11 > 3 3 = 3 79 > 77 2 < 8 den betyder med andra ord (eller siffror) om man leger ihop 7 + 3 så är de = 10”. Detta svar har inte klassificerats men eleven har löst samtliga uppgifter korrekt. Det är intressant att eleven lyfter de jämförande symbolerna då flera forskare pekar på vikten av just dessa för att underbygga den relationella förståelsen (Hattikudur & Alibali, 2010; Kronqvist & Malmer, 1993). Tre elever ger ingen förklaring alls, det är samma tre elever som har ingen eller inkorrekt lösning på tre eller fler av räkneuppgifterna i första momentet. Resultatet tyder inte på att

30

kontexten i vilken eleverna fått se likhetstecknet påverkar svaret i någon större utsträckning, se tabell 3 nedan.

Tabell 3. Elevernas förklaring av likhetstecknet i förhållande till kontext.

Kontext

3+4=2+5 3+4=7 7=7 Totalt

Operationell 11 11 9 31

-blir 5 3 5 13

-sen kommer svaret 6 8 4 18

Relationell 10 7 8 25

Ospecificerad likhet 1 4 2 7

Inget svar 2 1 3

Annat 1 1

Totalt 24 22 21 67

Av de som svarat relationellt har samtliga utom två elever korrekt lösning (se tabell 4). Av dessa två använder en elev konsekvent strategin ”Sen kommer svaret” trots att förklaringen till likhetstecknet är relationell. Detta kan förklaras av att eleven i frågan om likhetstecknets betydelse ser likhetstecknet i en reflexiv kontext, 7 = 7, och ger svaret ”Den betyder att det är lika mycket på båda sidorna”. Den andra eleven använder ”Sen kommer svaret” på alla utom en uppgift vilken löses korrekt. Eleven ser likhetstecknet i en icke-traditionell kontext, 3 + 4 = 2 + 5, vilket med stöd i forskningen gjord av McNeil et al. (2006) kan vara en förklarande faktor då de visar att denna kontext tenderar att locka fram den relationella förståelsen för likhetstecknet. Hos en av eleverna som definierat likhetstecknet som en relationell symbol går det att se att eleven först har använt strategin ”Sen kommer svaret” men raderat detta och sedan kompletterat likheten korrekt. Eleven har således ändrat strategi under testet, detta är intressant och stämmer med Chesney et al. (2013) som visar att stressade situationer kan trigga en operationell förståelse för likhetstecknet. Av de elever som ger en operationell förklaring till likhetstecknet är resultaten av räkneuppgifterna mer spridda, detta tyder på att eleverna kan lösa uppgiften korrekt utan att kunna ge en riktig förklaring av likhetstecknet. Hälften av de elever som har svarat att likhetstecknet betyder ”sen kommer svaret” har löst uppgifterna korrekt. Detta skulle kunna förklaras av att eleven ser likhetstecknet och reagerar instinktivt med att de skall komma med ett svar, de löser uppgiften rätt men det är inte likheten som är i fokus utan svaret.

31

Tabell 4. Elevernas förklaring av likhetstecknet jämfört med lösningsstrategi.

Löser uppgifterna relationellt

Använder strategi "Sen kommer svaret"

Använder strategi "Utöka problemet" Övriga lösningar Totalt Operationell 10 15 1 5 31 -blir 2 8

-sen kommer svaret 8 7 1

Relationell 23 1 1 25 Ospecificerad likhet 4 1 2 7 Inget svar 3 3 Annat 1 1 Totalt 38 17 1 11 67

4.2 Kvantitativ textanalys

Den kvantitativa undersökningen av de sammanlagt 15 matematikböckerna resulterade i totalt 13250 räkneoperationer som klassificerats enligt ovan beskrivna kodningsschema (se bilaga 6 för antal räkneoperationer per lärobok). Nedan följer en redovisning av resultatet.

Den kvantitativa analysen av läroböckerna visar att i genomsnitt ca 90 % av alla uppgifter där likhetstecknet förekommer faller under kategori 1, det vill säga traditionella räkneoperationer där ett uttryck följs av likhetstecknet och sedan svar (𝑎 + 𝑏 = 𝑐), se figur 1 nedan. Att framställningen av likhetstecknet sker övervägande i en traditionell kontext är i linje med vad Seo & Ginsburg (2003), McNeil et al. (2006) och Powell (2012) konstaterar i sina studier av amerikanska matematikböcker. Som tidigare nämnts skiljer sig detta dock från vad Li et al. (2008) finner då de söker förklaringen till de kinesiska elevernas förståelse för likhetstecknet i läroböckerna och konstaterar att kinesiska elever exponeras för en högre grad av variation då det handlar om likhetstecknets framställning i läromedlen.

32

Figur 1. Fördelningen av uppgiftstyper i de studerade matematikläroböckerna.

Tabell 5 visar hur fördelningen av traditionella och icke-traditionella räkneoperationer ser ut uppdelat per lärobok. Prima Matematik 1A (Brorsson, 2008) har lägst andel traditionella räkneoperationer (77,9%) medan Matte Direkt Safari 2B (Flack et al., 2011d) har högst andel traditionella räkneoperationer (99,3%). I övrigt visar materialet inte några betydande skillnader vad gäller framställningen av likhetstecknet i de studerade läroböckerna. Till skillnad från McNeil et al. (2006) går det inte heller att utläsa någon tydlig utveckling över tid, i de studerade läroböckerna är alltså årskurs inte avgörande för om likhetstecknet framställs traditionellt eller icke-traditionellt. Inte heller Powell (2012) påvisar att årskurs har betydelse för likhetstecknets framställning. Detta kan förklaras av vilka årskurser som är undersökningens fokus då McNeil et al. (2006) menar att skillnader i presentationen av likhetstecknet skulle kunna förklaras av de senare årskursernas allt större fokus på algebra.

33

Tabell 5.

Fördelning av traditionella och icke-traditionella räkneoperationer i de studerade läroböckerna.

Traditionella räkneoperationer (%) Icke-traditionella räkneoperationer (%) Koppargruvan 95,1 4,9 Silvergruvan 86,6 13,4 Guldgruvan 83,8 16,2 Prima Matematik 1A 77,9 22,1 Prima Matematik 1B 84,1 15,9 Prima Matematik 2A 82,0 18,0 Prima Matematik 2B 95,9 4,1 Prima Matematik 3A 89,5 10,5 Prima Matematik 3B 96,2 3,8

Matte Direkt Safari 1A 95,3 4,7

Matte Direkt Safari 1B 99,0 1,0

Matte Direkt Safari 2A 95,1 4,9

Matte Direkt Safari 2B 99,3 0,7

Matte Direkt Safari 3A 88,7 11,3%

Matte Direkt Safari 3B 94,1 5,9

Totalt 90,5 9,5

Tabell 6 ger en överblick över fördelningen inom de icke-traditionella räkneoperationerna. Värt att notera är att i Silvergruvan (Svensson & Östergren, 2006), Guldgruvan (Svensson & Östergren, 2007) samt Matte Direkt Safari 3A (Falck et al., 2011e) och 3B (Falck et al., 2011f) utgörs den största delen av de icke-traditionella räkneoperationerna av räkneoperationer som syftar till att lära ut en räknestrategi. Trots att denna typ av räkneoperation tillhör de icke-traditionella räkneoperationerna får likhetstecknet en operationell karaktär då syftet med räkneoperationen är att komma fram till det svar som skall skrivas efter det sista likhetstecknet precis som i de traditionella räkneoperationerna. Tabellen visar vidare att räkneoperationer av typen svar är lika med uttryck (𝑎 = 𝑏 + 𝑐) förekommer i relativt stor utsträckning i flera av de studerade matematikböckerna. I de studerade läroböckerna förefaller årskurs påverka på vilket sätt eleven exponeras för likhetstecknet utanför den traditionella kontexten. För årskurs 1 är det endast böckerna i serien Prima Matematik (Brorsson, 2008, 2009a) som exponerar eleverna för icke-traditionella räkneoperationer utöver en reflexiv kontext (a=a).

34

Generellt är räkneoperationer med uttryck på båda sidor av likhetstecknet samt likhetstecknet i en jämförande kontext minst vanligt förekommande i det studerade materialet. Av tabellen kan utläsas att det är i Prima Matematik-serien som merparten av dessa typer av räkneoperationer återfinns. Även McNeil et al. (2006) konkluderar att räkneoperationer med uttryck på båda sidor av likhetstecknet är minst vanligt förekommande samtidigt som de konstaterar att denna typ av räkneoperation är den som är mest effektiv för elevers förmåga att tolka likhetstecknet som en relationell symbol istället för en operationell symbol.

Tabell 6. Fördelning av uppgiftstyper inom de icke-traditionella räkneoperationerna.

a+b=c+d=e (%) c=a+b (%) a+b=c+d (%) a=a (%) >, < el. = (%) Koppargruvan 0 0 0 100 0 Silvergruvan 56 15 10 7 12 Guldgruvan 40 6 0 47 6 Prima Matematik 1A 0 44 9 8 39 Prima Matematik 1B 0 83 13 4 0 Prima Matematik 2A 0 56 15 5 25 Prima Matematik 2B 0 80 20 0 0 Prima Matematik 3A 0 81 18 1 0 Prima Matematik 3B 7 21 36 14 21

Matte Direkt Safari 1A 0 0 0 100 0

Matte Direkt Safari 1B 0 0 0 100 0

Matte Direkt Safari 2A 0 67 0 33 0

Matte Direkt Safari 2B 0 100 0 0 0

Matte Direkt Safari 3A 41 44 5 10 0

Matte Direkt Safari 3B 49 51 0 0 0

Totalt 21 40 9 19 11

Tabell 7 visar hur operationstecknen är fördelade i de icke-traditionella räkneoperationerna. I tabellen kan utläsas att 95 % av de icke-traditionella räkneoperationerna hanterar endast addition eller subtraktion. Multiplikation återfinns i 2 % av de icke-traditionella räkneoperationerna medan division inte förekommer vid någon räkneoperation av icke-traditionellt slag. Detta stämmer överens med vad Powell (2012) finner då hon konkluderar att addition är det räknesätt som är vanligast förekommande då

35

det handlar om icke-traditionella räkneoperationer, slutsatser som även kan dras i denna undersökning.

Tabell 7. Fördelning av operationstecken inom de icke-traditionella räkneoperationerna.

Addition (%) Subtraktion (%) Multiplikation (%) Blandat (%)

73 22 2 4

Sammanfattningsvis kan sägas att variationen av framställningen av likhetstecknet i de studerade läroböckerna är begränsad. Ur ett variationsteoretiskt perspektiv blir möjligheten för eleverna att generalisera kring likhetstecknets betydelse utifrån böckerna synnerligen liten.

4.3 Kvalitativ textanalys

Den kvalitativa analysen av likhetstecknets presentation i läroböckerna indikerar att förklaringar och beskrivningar av likhetstecknet generellt är begränsat till att endast tas upp i ett av de inledande kapitlen i årskurs ett. Böckerna i serien Prima Matematik utgör dock ett undantag till detta då likhetstecknet även tas upp i Prima Matematik 2A (Brorsson, 2009b) tillsammans med tecknen för större än och mindre än samt i böckerna Prima Matematik 3A (Brorsson, 2010) och Prima Matematik 3B (Brorsson, 2011) där likhetstecknets betydelse tas upp i samband med den tidiga algebran. Samtliga studerade läromedelsserier tar upp likhetstecknet innan räknesätten introduceras. Detta strider mot Kronqvist och Malmer (1993) som framhåller att likhetstecknet oftast introduceras i samband med dynamisk addition vilket de menar förklarar elevernas operationella tolkning av likhetstecknet. Även Seo & Ginsburg (2003) finner att likhetstecknet presenteras i samband med uträkningar.

Prima Matematik 1A (Brorsson, 2008) och Matte Direkt Safari 1A (Falck et al., 2011a) tar upp likhetstecknet i bokens första kapitel och förklarar att det skall vara lika många på båda sidor av likhetstecknet. I Koppargruvan (Svensson & Östergren, 2005) presenteras likhetstecknet i kapitel två men utan närmare förklaring. Eleven får börja med att skriva likhetstecknet och sedan rita lika många och skriva likhetstecken emellan. I tredje och sista uppgiften om likhetstecknet skall eleven rita lika många och sedan läsa ut likheten som ”2 är lika med 2”. Detta skulle möjligtvis kunna tolkas som en slags förklaring, att