Examensarbete (del 2)
för g
rundlärarexamen inriktning 4–6
Avancerad nivå
Variabler i tryckta läromedel
Vilken syn på variabler förmedlas i tryckta läroböcker för
årskurs 6 i matematik?
Författare: Mathias Edbäck Leo Handledare: Helena Grundén Examinator: Anna Teledahl
Ämne: Pedagogiskt arbete, matematik Kurskod: APG247
Poäng: 15 hp
Examinationsdatum: 2020-11-05
Vid Högskolan Dalarna finns möjlighet att publicera examensarbetet i fulltext i DiVA. Publiceringen sker open access, vilket innebär att arbetet blir fritt tillgängligt att läsa och ladda ned på nätet. Därmed ökar spridningen och synligheten av examensarbetet. Open access är på väg att bli norm för att sprida vetenskaplig information på nätet. Högskolan Dalarna rekommenderar såväl forskare som studenter att publicera sina arbeten open access.
Jag/vi medger publicering i fulltext (fritt tillgänglig på nätet, open access):
Ja x Nej ☐
Abstract:
Vetenskapliga studier har identifierat att noviser i programmering ofta har svårigheter med variabler. En genomgång av tidigare forskning visar att det finns en pluralistisk förståelse av variabler och dess användningsområden i programmering samtidigt som det finns en begränsad förståelse av variablers funktioner i programmering. Idag är programmering inskrivet i kursplanen för matematik och ska således ingå i ordinarie matematikundervisning. Samtidigt vittnar bland andra Sidenvall och
Skolinspektionen om en ensidig och lärobockscentrerad matematikundervisning. Därför har det i det här examensarbetet genomförts en analys av fem tryckta läroböcker i matematik för årskurs 6. Den här undersökningen visar att variabler främst representeras i tryckta läroböcker för årskurs 6 i matematik som uttryck för obekanta tal och i huvudsak som imitationsuppgifter. Vidare är
representationen av variabler ojämlikt fördelad mellan uppgifter på lägre- respektive högre nivåer. Detta riskerar att ge elever en begränsad förståelse av variabler i allmänhet och om variabler i förhållande till programmering i synnerhet.
Nyckelord:
Variabler, variablers användningsområden, förståelse för variablers användningsområden, begränsad förståelse av variabler, tryckta-läroböcker, matematik
1
Innehåll
1.Inledning ... 2
1.1 Syfte och frågeställningar ... 2
2. Litteratursökning till bakgrunden ... 3
3. Bakgrund ... 3
3.1 Läroböcker som tradition och dess begränsningar ... 3
3.2 Digitaliseringsprocessen – en orsak till programmering i skolan ... 5
3.2.1 Programmering, digitala verktyg och stress ... 5
3.3 Styrdokumenten om programmering och variabler ... 6
4. Tidigare forskning ... 6
4.1 Blockprogrammeringens förtjänster ... 7
4.1.2 Om läraren brister ... 7
4.3 Variabler i blockprogrammering ... 8
4.4. Sammanfattning av bakgrund och tidigare forskning... 9
5. Teoretiskt ramverk – Dogbeys kategorier ... 9
6. Metod ... 10
6.1 Steg 2: Urval av läroböcker ... 11
6.2 Steg 2.1: Urval av uppgifter ... 11
6.3 Steg 3: Skapande av kategorier ... 12
6.4 Steg 4: Analys ... 13 6.4.1 Slutgiltig analys ... 13 6.5 Etiska överväganden ... 14 7. Resultat ... 14 7.1 Obekanta tal ... 15 7.2 Generaliserade tal ... 17 7.3 Varierande kvantiteter ... 18 7.4 Övrigt kategorin ... 19 7.5 Sammanfattning ... 20 8. Metoddiskussion ... 20 9. Resultatdiskussion ... 22 10. Slutsats ... 24 Referenser ... 25
2
1.Inledning
Läroböckers ställning i matematikundervisningen är stark. Skolinspektionen (2009, s.17) menar att matematikundervisningen till stor del utgår från läroböcker vilket Sidenvall (2019, s.5) bekräftar i sin avhandling nära ett decennium efter Skolinspektionens granskning. Skolinspektionens antagande att en klar majoritet av undervisningen i matematik utgår från läromedel (2009, s.17) är även i min erfarenhet fortfarande aktuell. Inom den verksamhetsförlagda utbildning (VFU) jag genomfört under min lärarutbildning har jag under flera matematiklektioner såväl genomfört som observerat arbetsmoment med tryckta läroböcker. De tillfällen eleverna arbetat med digitala verktyg har de använt sig av Chromebooks och löst rutinuppgifter i program som Nomp eller Bingel. Skolinspektionen (2009, s.22) menar att det är en ensidig matematikundervisning och med en ensidig matematikundervisning riskerar elever att gå miste om att utveckla matematiska kompetenser. En sådan kompetens är variabler och dess funktioner i programmering.
Programmering är ett nytt innehåll i kursplanen för matematik från 2018 i vilket elever i årskurs 4–6 ska möta programmering i visuella miljöer vilket Skolverket exemplifierar med att eleverna ska få arbeta med så kallad blockprogrammering (2017a, s.17). Studier som har gjorts om blockprogrammering har visat att elever ofta har en begränsad förståelse om variablers funktion i programmering, exempelvis att en variabels värde kan ändras (Swidan, Hermans & Smit, 2018, s.152; Žanko, Mladenović & Boljat, 2019, s.1252). Programmering är också ett innehåll som lärare uppfattar som svårt (Skolverket, 2018, s.17). Lärares digitala kompetens ökar dock generellt tillsammans med ett ökat användande av digitala verktyg, som Chromebooks, i klassrummen. Dock så visar studier att lärare som inte besitter en adekvat programmeringskompetens riskerar att inte nå det fördjupade matematiska innehåll som blockprogrammering kan ge (João, Nuno, Ferrentini Fábio & Ana, 2019, s.3). Utbildningsutskottets granskning av digitaliseringen i skolan vittnar också om att användandet av digitala verktyg i klassrummet i värsta fall kan begränsa elevers lärande (Utbildningsutskottet, 2016, s.7). Det finns då en risk att elever genom en ensidig matematikundervisning medelst tryckta läroböcker, en lärare som själv inte besitter en tillräckligt adekvat programmeringskunskap och riskerna med ett ogenomtänkt implementerande av digitala verktyg i klassrummet kan utveckla en begränsad förståelse för matematiska innehåll – i detta fall variabler.
1.1 Syfte och frågeställningar
Med anledning av att tryckta läroböcker är det primära arbetsmaterialet i matematikundervisningen och forskning visat att elever ger uttryck för en begränsad förståelse av variabler för mer avancerad programmering, samt att lärare på grund av en bristande programmeringskompetens i vissa fall inte är förmögna att ta tillvara på blockprogrammeringens förtjänster är syftet med det här arbetet att: åskådliggöra på vilka sätt uppgifter i tryckta läroböcker i matematik för årskurs 6 förmedlar variablers olika användningsområden och vilka konsekvenser det kan ge. Detta genom att utgå från följande frågeställningar:
- Vilka förståelser för variablers olika användningsområden förmedlas i tryckta läroböcker i matematik för årskurs 6?
3
2. Litteratursökning till bakgrunden
Den litteratursökning som gjorts kan sägas vara resultatet av ett godtyckligt urval (Larsen, 2009, s.77) där litteratursökningen succesivt anpassades efter problemformuleringens utveckling och de kategorier som upplevdes vara relevanta. För att skapa en egen förståelse om programmering undersöktes publikationer på Skolverkets hemsida, kommentarmaterialet till kursplanen i matematik och även riksdags- som regeringsbeslut. Det gav en grund för vad programmering innebar i en svensk skolkontext och dess roll i en större helhet: en digitaliseringsstrategi som (enligt regeringen) ska göra Sverige bäst i världen på att använda digital teknik. Referenserna i Skolverkets uppföljning av digitaliseringsstrategin för skolväsendet ledde de riksdags- och regeringsbeslut som använts.
Då kommentarmaterialet föreslår att elever i årskurs 4–6 ska arbeta med programmering i visuella miljöer samt att de explicit skriver blockprogrammering som metod fick det ligga till grund under sökandet efter vetenskapliga artiklar. En avgränsning då var ett särskilt fokus på blockprogrammering med programmeringsspråk som Scratch, LOGO och Alice. Det dök upp flera artiklar som behandlade robotprogrammering men det skapade ett för stort material. Dock så var en artikel om robotprogrammering av betydelse för arbetet då det i den fann en referens som behandlade ett övergripande begrepp inom programmering, datalogiskt tänkande1. Detta ledde senare till artiklar som mer i detalj redogjorde för vanliga svårigheter med programmering i allmänhet och svårigheter rörande variabler i synnerhet.
De artiklar som inte hittats genom referenslistor i andra artiklar, avhandlingar och offentliga dokument fann jag genom att söka i två databaser, Summons och Eric (EBSCO). Då användes sökorden: block-based programming, elementary school, variables, ”misconceptions about variables”, K-12,” programming in Swedish schools” och “difficulties during programming”. Dessa förekom i varierande kombinationer. Cabell´s Blacklist användes för att undersöka om tidskrifterna som publicerat artiklarna hade några registrerade oegentligheter, ingen av de artiklar som använts i det här examensarbetet uppgav någon träff på Cabell´s Blacklist. Under litteratursökningen valde jag också att enbart inkludera artiklar som undergått en peer review och publicerats mellan 2015–2020.
3. Bakgrund
I det här avsnittet behandlas lärobokens roll som norm i matematikundervisningen. Avsnittet övergår sedan till en kort tillbakablick som ger en förklaring till hur programmering kommit att bli ett ämnesinnehåll i skolan. Avsnittet avslutas med en kort redogörelse över hur lärare uppfattar programmering som innehåll. Därefter följer en beskrivning av synen på programmering som ämnesinnehåll samt vad skolans styrdokument skriver om programmering samt variabler.
3.1 Läroböcker som tradition och dess begränsningar
Skolinspektionen (2009, s.17) skriver i sin rapport att de i sin granskning av matematikundervisningen i huvudsak observerade enskilt arbete och arbete med tryckta läroböcker. De menar att det är 1 Datalogiskt tänkande är en förmåga som innefattar bland annat felsökning.
En förmåga som i vissa fall anses vara en nyckelkompetens idag. Följande studie redogör för en grundläggande förklaring:
Lye, S.J & Koh, J.H.L (2014) Review on teaching and learning of computational thinking through programming: What is next for K-12? Computers in Human Behavior. 41. 51–61. Elsevier.
4 problematiskt då läroböckerna främst erbjuder övningar med redan lösa exempel och inte utmanar eleven att stärka andra matematiska kompetenser (Skolinspektionen, 2009, s.17). I detta instämmer Sidenvall (2019, s.5) när han uttrycker att elevers arbete med imitationsuppgifter är alltjämt vanligt förekommande i undervisningssammanhang. Samtidigt har Skolverkets i sin uppföljning av digitaliseringsstrategin funnit att lärare som inte är bekväma med användningen av digitala verktyg mer sällan använder sig av dem i sin undervisning (Skolverket, 2019, s.18). Det är dock inte hela förklaringen till matematikböckers starka ställning inom matematikundervisningen. En annan orsak kan också ha grund i mer konservativa traditioner vilket Player-Koro (2012) undersöker i sin avhandling där hon åskådliggör huruvida lärarutbildningar bidrar till att lärarstudenter reproducerar matematikundervisningsnormer. Hon menar att den vanligaste metoden lärare undervisar i är den läroboksbaserade där elevens kunskaper bedöms av ett prov men hon anger också att det är den mest kritiserade (2012, s.108). Emellertid redogör hon i inledningen till sin avhandling för en samhällsdebatt om bristen på ordning och reda i skolan, att elever har för mycket frihet och att det därför behövs mer disciplin och en mer traditionell undervisning (Player-Koro, 2012, s. 17). Detta ger utan vidare förklaring en viss igenkänning från samtida skoldebatter. Matematikundervisningen är emellertid idag redan relativt traditionell (Sidenvall, 2019, s.8) med arbete i tryckta läroböcker. Ett möjligt tillägg till varför matematikundervisningen primärt utgår från tryckta läroböcker kan uppfattas som mer pålitligt än deras digitala dito då digitala verktyg i klassrummet ofta anses orsaka stress. Det är någonting som debatteras flitigt i medier och sökningen ”stress digitala verktyg” ger 972 träffar på tidningen Lärarens hemsida2. Där samlas såväl ledare från Lärarförbundets ordförande Johanna Jaara Åstrand, debattartiklar från lärare och intervjuer som redogör för lärares upplevelser av digital teknik i klassrummen och dess inverkan på deras arbetsmiljö. Emellertid kan ett ensidigt bruk av tryckta läromedel orsaka andra brister i matematikundervisningen. Bland annat rörande ämnesområdet problemlösning då tryckta läroböcker till övervägande del innehåller imitationsuppgifter.
Sidenvall (2019, s.5) skriver i sin avhandling att arbete med imitationsuppgifter i läroböcker, där elever imiterar särskilda lösningar, var vanligt förr och är det även nu. Även om han också lyfter att en säkerhet i att använda matematiska procedurer är viktigt för lärandet i matematik och att det, enligt honom, lite oförtjänt kommit att kallas ytligt lärande. Emellertid, trots de förtjänster de har, vidhåller han att det inte är tillräckligt för att utveckla en god matematisk kompetens (Sidenvall, 2019, s.5–6). En förklaring till att undervisningen ändå ofta stannar vid imitation av procedurer är att det är den enklaste metoden för läraren (Sidenvall, 2019, s.5). Därigenom kan en upplevd stress rörande digitala verktyg och en trygghet i bekanta arbetssätt motivera bruket av tryckta läromedel i matematik-undervisningen.
Emellertid kommer det med vissa begränsningar. I sin studie jämför Jäder, Lithner och Sidenvall läroböcker från 12 olika länder och fann att de till en övervägande del innehåller uppgifter där lösningsmetoden är känd på förhand (Jäder m.fl., 2019, s.10). Även om tryckta läroböcker innehåller uppgifter av en problemlösande karaktär implementeras dessa sällan i undervisningen utan de uppgifter eleverna möter är de av en mer imitativ karaktär (Jäder m.fl., 2019, s.13; Sidenvall, 2019, s.7). Det kan leda till att elever inte utvecklar förmågan att skapa egna metoder. Vilket Jäder m.fl.
5 (2019, s.4) skriver om och är något som är centralt inom arbete med problemlösning (Sidenvall, 2019, s.3–4).
Sidenvall (2019, s.7) hänvisar även till en studie av Brehmer, Ryve och van Stenbrugge som resulterade i konstaterandet att tryckta läroböcker i gymnasiet till övervägande del innehåller rutinuppgifter, där elever imiterar lösningar från tidigare uppgifter rent procedurellt. Den ensidiga repetitiva matematiken i läroböcker sträcker sig således genom hela grundskolan och upp till gymnasieskolan. Regeringen har dock uttryckt en ambition om en bredare matematikundervisning. Detta har bland annat resulterat i den nationella digitaliseringsstrategin för skolväsendet.
3.2 Digitaliseringsprocessen – en orsak till programmering i skolan
Skolan är sedan en tid tillbaka inne i en digitaliseringsprocess. Regeringens uttalade ambition är att Sverige ska bli bäst i världen på att nyttja digitaliseringens möjligheter (Prop. 2011/12:1) och en god digital kompetens skrivs ut som en demokratifråga i bilagan till regeringsbeslut I:1 Nationell
digitaliseringsstrategi för skolväsendet (U2017/04119/S, s.1). Digital kompetens är också en av
Europeiska unionens (EU) åtta nyckelkompetenser (Utbildningsutskottet, 2016, s.12).
Förmågor som att införskaffa programmeringskunskap och källkritik lyfts fram som viktiga delar i en digital kompetens (U2017/04119/S, s.6). Programmeringskunskap lyfts i delmålet fram som en kunskap genom vilket lösningar kan skapas medelst digital teknik (U2017/04119/S, s.6) och vikten av att en adekvat digital kompetens (adekvat i den mening att den möter samhällets och individens behov) finns representerad i samtliga styrdokument (U2017/04119/S, s.7). Det för att säkerställa att skolan förmedlar de kunskaper och förmågor som krävs, av såväl arbetsmarknaden samt högre utbildningar som elevens möjligheter för ett aktivt deltagande i samhällslivet (U2017/04119/S, s.7). Det anges också som nödvändigt för Sveriges fortsatta konkurrenskraft att så många som möjligt erhåller förmågan att använda något av programmeringsspråken (SOU 2014:13, s.50). Införandet av programmering samt en ökad närvaro av digitala resurser i undervisningen har dock påverkat lärares arbetsmiljö.
3.2.1 Programmering, digitala verktyg och stress
Lärarna har uttryckt att programmering är svårt. Resultatet av Skolverkets (2018, s.17) uppföljning av digitaliseringsstrategin för skolväsendet visar att 70% av lärarna behöver kompetensutveckling inom programmering. Detta har Skolverket (2020, s.3) försökt att möta genom deras kurs Att programmera. De skriver om den och andra kompetensutvecklande insatser i deras rapport Redovisning av uppdrag
Främja digitalisering (Skolverket, 2020). Skolverkets och regeringens entusiasm rörande
digitaliseringen är dock inte alltjämt delad av lärarkåren. I en studie problematiserar Utbildningsutskottet (2016, s.5–6) digitala resurser genom att särskilt benämna datorer och elevers användande av dem. Där skriver de att användningen av digitala verktyg ökar men att det råder det en viss osäkerhet huruvida digitala läromedel är särskilt förtjänstfulla sett till elevers måluppfyllnad. Istället har det visat sig att digitala verktyg möjliggör ett hos eleven undvikande beteende. Där de istället för skolarbete hänger sig åt icke skolrelaterade aktiviteter som spel eller Youtube. Vilket bidrar med en högre arbetsbelastning för lärare (Utbildningsutskottet, 2016, s.6) som då istället kan fortsätta att använda sig av tryckta läroböcker i matematik. Utbildningsutskottet (2016, s.7) skriver också att
6 det ökade användandet av digitala resurser, bland annat elevdatorer, påverkat lärarens roll i klassrummet till en mer handledande karaktär. Det i kombination med att programmering upplevs svårt kan göra att implementerandet av programmering, och då speciellt blockprogrammering, riskerar att reproducera en begränsad förståelse om variabler i programmering (Swidan m.fl., 2018, s.152).
3.3 Styrdokumenten om programmering och variabler
I kursplanen för matematik står det innehåll en elev ska möta i sin matematikundervisning. I årskurs 4–6 introduceras algoritmer i samband med programmering för eleverna (Skolverket, 2019, s.57). I kommentarmaterialet ger Skolverket en kort förklaring till vad en algoritm är. De skriver En algoritm
utgörs av entydiga stegvisa instruktioner som styr en dator att göra det man vill (Skolverket 2017a,
s.17). Med progressionen genom grundskolan i åtanke återkopplar således presentationen av algoritmer till innehållet i matematik för årskurserna 1–3. Där ämnesinnehållet Hur entydiga stegvisa
instruktioner kan konstrueras, beskrivas och följas som grund för programmering i kursplanen för
årskurserna 1–3 senare definieras som algoritmer i kursplanen för årskurserna 4–6.
Utöver innehållet hur algoritmer skapas och används vid programmering ska eleverna också möta innehållet programmering i visuella miljöer. Skolverket förklarar visuella miljöer med begreppet blockprogrammering för årskurserna 4–6 (Skolverket 2017a, s.17). I kommentarmaterialet förklarar de blockprogrammering som miljöer där eleverna kan dra och släppa fördefinierade element och således skapa algoritmer (s.17).
Under rubriken Likhetstecknets innebörd och variabler skriver Skolverket (2017a, s.15) i sitt kommentarmaterial för kursplanen i matematik att elever i årskurs 4–6 ska möta variabler som symboler för obekanta tal. De ska inte möta variabelbegreppet rent språkligt i fören senast i årkurs 7. Innan dess möter eleverna variabelbegreppet som Obekanta tal och deras egenskaper samt situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol (Skolverket, 2019, s.57).
Variabelbegreppet introduceras först för årskurserna 7–9 under ämnesområdet algebra (Skolverket, 2019, s.58). Skolverket förklarar i kommentarmaterialet att progressionen för förståelsen av variabelbegreppet bygger på en ackumulativ förståelse baserad på inhämtande av förkunskaper. De skriver exempelvis att elever i årskurs 1–3 ska undervisas i likhetstecknets betydelser för att börja bilda sig en uppfattning om variabler genom hur ett:
” […] tomrum i en matematisk likhet kan ersättas med en bokstav, utvecklar de förförståelse för obekanta tal och variabelbegreppet. Därigenom läggs en grund för innehållet obekanta tal och deras egenskaper samt
situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol i årskurserna 4–6.” - Skolverket,
2017a, s.15.
4. Tidigare forskning
I det här avsnittet kommer tidigare forskning om programmering och då i synnerhet blockprogrammering presenteras. Inledningsvis ges några exempel på vilka positiva effekter blockprogrammering kan ha på matematikundervisningen. Därefter problematiseras block-programmering. Sedan redogörs för studier vars resultat visar exempel på elevers begränsade förståelser av variabler och hur det kan yttra sig i deras arbete med blockprogrammering. Avsnittet
7 avslutas sedan med hur variabler kan framställas i läroböcker samt en sammanfattning av avsnitt 3 och 4.
4.1 Blockprogrammeringens förtjänster
Blockprogrammering är en form av introduktion till mer avancerad programmering. Det anger Kim, Yuan, Vasconcelos, Shin och Hill (2018, s.767) i sin studie. De menar att blockprogrammering kan lära ut fundamentala grunder i programmering som att producera en fungerande kod som får ett objekt att utföra en särskild handling (2018, s.768). Detta uttrycker Skolverket i kommentarmaterialet för kursplanen i matematik för algoritmer (Skolverket, 2017a, s.17).
Chiang och Qin lät i sin studie elever programmera egna spel med syfte att lösa ekvationer i en blockbaserad programmeringsmiljö. De utgick från ett konstruktivistiskt perspektiv och menade att spelprogrammering kan vara en väg för nå ett djupare lärande (2018, s.803). De fann att eleverna genom användandet av teknik var mer entusiastiska gentemot ekvationer samt att deras förmåga att lösa ekvationer ökade (Chiang & Qin, 2017, s.811). De menar att genom lek kunde eleverna närma sig ett komplicerat matematiskt innehåll och att de genom sin egen nyfikenhet utmanade sig själva. De beskriver också att eleverna utvecklades tillsammans. Att skapa ett spel var en utmanande aktivitet men eleverna fann en stolthet i att utveckla mer avancerade spel som de sedan jämförde med sina kamrater (2017, s.812).
En annan studie som undersökte vinsterna med att arbeta med blockprogrammering fokuserade på elevers förmåga att upptäcka matematiska mönster. Miller utförde i sin studie sex lektioner där eleverna fick programmera i en blockbaserad miljö (2019, s.918). Hennes resultat blev att programmering fungerar väl inom det matematiska området geometri genom att skapa geometriska figurer samt för att föra matematiska resonemang (Miller 2019, s.923). Miller (2019, s.917) påpekar även att elevernas förmåga att identifiera matematiska strukturer och mönster, vilket hon menar utgör grunden i ett algebraiskt tänkande, utvecklades i och med att eleverna fick programmera (2019, s.925). Detta gäller emellertid om läraren själv besitter en programmeringskompetens.
4.1.2 Om läraren brister
Om läraren brister i sin egen programmeringsförmåga riskerar undervisningen att drabbas. Det visar bland annat Millers (2019, s.925) studie. Miller menar att det finns ett behov att utbilda lärare i programmering. För även om studier exempelvis visat att blockprogrammering är förtjänstfullt för förståelsen av algoritmer (Saez-Lopez. J-M, Sevillano-Garcia. M-L & Vazquez-Cano. E, 2019, s.1422) kan lärares bristande programmeringskunskap (Skolverket, 2018, s.17) utgöra en undervisning i explicita programmeringsspråk framför dess ämnesdidaktiska förtjänster (João m.fl. 2019, s.3). Med det menas att en för stor del av undervisningen ägnas åt det specifika programmeringsspråket, hur det fungerar och är uppbyggt medan dess användningsområden förblir relativt outforskade. Exempelvis kan programmering användas som problemlösningsaktivitet för att konkretisera algoritmers funktion för att skapa en djupare matematisk förståelse. Således skulle programmering kunna fungera i arbetet med problemlösning vilket Sidenvall (2019, s.6) anger som en bristvara i matematikundervisningen. Emellertid kan programmering, och blockprogrammering, i vissa fall också bidra till att reproducera en begränsad förståelse om variabler (Swidan m.fl., 2018, s.152).
8
4.3 Variabler i blockprogrammering
Variabler anges som grundläggande vid programmering (Swidan m.fl., 2018, s.153; Lye & Koh, 2014, s.1253) men de är också ett av de vanligaste koncepten i programmering noviser har svårigheter med (Lye & Koh, 2019, s.1253). Swidan m.fl. (2018, s.153) undersökte vanligt förekommande uttryck för en begränsad förståelse av variabler i programmering. De utformade ett frågeformulär där de presenterade en algoritm och frågar deltagarna vad som händer när de startar programmet (2018, s.152). Deltagarna gavs några svarsalternativ där ett var felaktig, ett var korrekt och det tredje innehöll det uttryck för den begränsade förståelsen de syftade till att åskådliggöra.
Ett vanligt uttryck för en begränsad förståelse rör hur en variabel i programmering kan innehålla flera värden (Swidan m.fl., 2018, s.154). Undersökningen visar att en betydande del tror att exempelvis variabeln X kan innehålla två värden samtidigt, att X=10 och 20 och inte att X först var 10 och sedan ändrades till 20 (2018, s.154). Här tillskrivs X fasta matematiska värden (s.154) när det i själva verket exempelvis representerar variabeln X= antal steg. I, exempelvis, en blockprogrammeringsmiljö är ett block ”antal steg”, sedan följer ett andra block - exempelvis ”sväng vänster” följt av ett nytt ”antal steg” block. I linje med föregående exempel kan det då uttryckas sig såhär: X=10; Y=Sväng vänster;
X=20. Resultatet blir då att figuren först går tio steg, svänger vänster och går sedan tjugo steg.
Variabeln är densamma, antalet steg, men dess värde om hur många steg den tar har ändrats. En annan vanlig begränsad uppfattning de fann var att noviser ofta såg variablerna i programmeringen som ofullständiga uträkningar. Denna förståelse grundar sig således i att noviser såg koden som en matematisk operation istället för en sekvens, en algoritm (Swidan m.fl., 2018, s.154).
Žanko, Mladenović och Boljat (2018, s.1266) menar att variabler är en fundamental del i programmering som noviser har stora förtjänster av att bemästra innan de börjar med avancerad programmering. Žanko m.fl. undersökte i sin studie om det fanns en koppling mellan två olika programmeringsspråk och kända uttryck för en begränsad förståelse av variabler i textbaserade progammeringsmiljöer där elever fick svara på frågor med flera svarsalternativ. Likt Swidan et.al hade de inkluderat felaktiga alternativ för att synliggöra eventuella uttryck för en begränsad förståelse. I deras studie gav elever uttryck för att variablerna ska adderas (2018, s.1258) men också att elever hade svårigheter med att ge två olika variabler ett likadant värde (2018, s.1261). De fann också att ett missförstånd är en begränsad förståelse av variabler i programmering som statiska (2018, s.1265). Med det menas att elever tror att en variabels värde inte kan ändras utan att den håller samma värde som den först tillskrevs.
Žanko, Mladenović och Boljat menar dock att när noviser programmerar i blockbaserade miljöer programmerar de utan att använda sig av variabler i en jämfört med textbaserade miljöer likvärdig utsträckning. Detta menar de, genom att referera till Grover och Basu, kan resultera i att noviser utvecklar en bristfällig förståelse för de koncept programmering innebär (2018, s.1253). Grover och Basu (2017, s.272) förklarar detta med att i takt med hur blockprogrammerings miljöerna blivit mer användarvänliga har noviser enbart hjälpts med de syntaktiska aspekterna av programmering, inte de konceptuella eller strategiska. Ett exempel på detta ges i Žankos m.fl. (2018, s.1266) resultat där de visar att flera elever missförstår viktiga koncept när de inte är visuellt förenklade.
9
4.4. Sammanfattning av bakgrund och tidigare forskning
I bakgrunden behandlads den tryckta lärobokens normativa roll i matematikundervisningen vilket är skälet till att den här undersökningen fokuserar på tryckta läroböcker. Det problematiserades med att de i huvudsak innehåller imitationsuppgifter karaktär (Jäder m.fl., 2019, s.13; Sidenvall, 2019, s.7) och begränsar elevers möjligheter till fördjupat matematiskt lärande (Sidenvall, 2019, s.5–6). Deras studier visar att matematikundervisningen i allmänhet och tryckta läroböcker i matematik i synnerhet tenderar att vara ensidig och förhållandevis grund. Därefter följde en kort tillbakablick som syftade till att redogöra för ett skäl till att programmering idag är ett innehåll i matematikämnet i grundskolan och att det uppfattas som ett i särklass svårt ämnesinnehåll. Åtgärder som tagits av Skolverket presenterades också.
I avsnittet om tidigare forskning beskrevs ett par studier som funnit didaktiska förtjänster med att använda blockprogrammering i undervisningen. Studier som visat att lärares egen programmerings-kompetens är avgörande för vilka förtjänster med programmering som kan nås presenterades. En jämförelse av Skolverkets mätning av lärares attityder om programmering och de indikationer tidigare forskning visat om hur lärarens egen programmeringskompetens kan påverka undervisningens innehåll visar att: om en lärare inte har införskaffat sig en god programmeringskompetens och undervisningen främst utgår från tryckta läroböcker i matematik riskerar elever att få en ensidig och begränsad förståelse av variabler. Avslutningsvis så presenterades ett par studier som förklarar hur variabler kan vara en vanlig orsak till att noviser har svårt för programmering samt att variabler är grundläggande för programmeringsförmågan. Avsnittet avslutades sedan med ett stycke som problematiserar blockprogrammering.
Detta visar på relevansen i att undersöka hur variabler representeras i tryckta läroböcker för årskurs 6 i matematik. Det då den tryckta lärobokens ställning är fortsatt stark och även om användandet av digitala hjälpmedel i skolan ökar premieras fortfarande läroboken. Vidare är variabler, om än omskrivet till symboler för obekanta tal, ett centralt innehåll i matematikämnet. De är dessutom centrala när en programmerar. Variabler finns emellertid i fler tappningar än som symboler för okända tal eller byggstenar i programmering.
5. Teoretiskt ramverk – Dogbeys kategorier
Det teoretiska ramverket det här arbetet grundar sig på är Dogbeys (2016) kategorier av variablers olika användningsområden. I sin studie av tre stora amerikanska läroplaner presentar Dogbey flera vanliga kategorier av variabler: labels, specific unknowns, continuous unknowns, varying quantities,
constants, parameters, arguments, generalized numbers, och abstract symbols (Dogbey, 2016, s.1178). Han fortsätter med att specificera fyra kategorier som är särskilt vanliga i skolmatematiken och det är dessa detta arbete kommer att fokusera på. De fyra kategorierna är: specific unknowns,
varying quantities, generalized numbers ochabstract symbols (2019, s.1178). Dessa översatte jag till: specifikt okända tal, generaliserade tal, varierande kvantiteter och abstrakta symboler
Med specifikt okända tal menar Dogbey (2016, s.1178) okända värden i ekvationslösning. Exempelvis 27 = 4𝑥𝑥 + 3 där en del i problemets lösning ligger i att identifiera den okända variabeln X.
10
Generaliserade tal exemplifierar Dogbey (s.1178) med 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 och menar att det främst
används för att förstå multiplikationer, additioner och att skapa generaliserade mönster. Exempelvis är 7 + 3 = 3 + 7 och 6 × 4 = 4 × 6 och ett mål med den här kategorin är att utreda matematiska mönster. Kategorin varierande kvantiteter presenteras av Dogbey som 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 6 (s.1788). I denna kategori varierar variablerna och förståelsen rör hur variablerna påverkar varandras värde. Exempelvis ändras värdet av y beroende på värdet av x. Den fjärde kategorin utgår från en förståelse av variabler som abstrakta symboler (s.1788). Dogbey använder (faktor: x2+5x+6) som exempel och menar att den
förståelsen möjliggör för manipuleringen av algebraiska strukturer (s.1178). Detta är fyra olika av variablers användningsområden som Dogbey menar är vanliga i amerikanska läromedel. Det är tydliga och varierande exempel som får agera som grund för arbetet. Dock så uteslöts den sistnämnda kategorin, abstrakta symbolen, då det exempel som gavs i Dogbeys text bland annat innehöll en potens samt begreppet faktor. Det bedömdes som osannolikt att elever i sjätte klass för det första möter tal i potensform och för det andra begreppet faktor då de inte ska möta begreppet variabel förens i årskurs 7–9.
6. Metod
Då fysiska läroböcker är det primära arbetsmaterialet i matematikundervisningen i skolan och forskning visat att elever inte får med sig den förståelse av variabler som krävs för mer avancerad programmering är syftet med det här arbetet att: åskådliggöra på vilka sätt tryckta läroböcker i matematik för årskurs 6 förmedlar variablers olika användningsområden. I det här avsnittet kommer jag redogöra för hur jag samlat in material samt för den metod för analys jag använt mig av.
Då syftet med det här examensarbetet är att granska tryckta läroböcker har jag valt att utföra en textanalys. En textanalys utgår från en hermeneutiskt ansats och menar att tolka, förstå och förmedla ett budskap (Westlund. 2015. s.71, Widén. 2015. s.178). I det här fallet på vilka sätt variabler representeras i tryckta läroböcker i matematik för årskurs 6. Widén menar att en kvalitativ textanalys går i fyra steg (Widén, 2015, s185-188): 1) Identifiera ett problem, 2) Välj texter, 3) Skapa teman och 4) Utför analysen. Steg 1 redogörs för i inledningen av examensarbetet i och med det syftet arbetet har. I följande avsnitt kommer jag att redogöra för de val och steg som tagits i förhållande till steg 2, 3 och 4.
Widén menar att det finn tre dimensioner som bidrar med olika perspektiv i en textanalys. I den första dimensionen ligger fokuset på författarens tolkningar och föreställningar, i den andra dimensionen ligger fokuset på vilka begrepp som används eller inte används och i den tredje är fokuset att skapa en förståelse för den kontext i vilken en text skrivits (Widén, 2015, s.179–180). Steg 3 och 4 Skapa teman och utföra analysen, förhåller sig primärt till Widéns andra dimension i textanalyser. I den andra dimensionen står språket i fokus i ett försök att skapa en kunskap om samt vilken betydelse språkliga drag i en text kan ha (Widén, 2015, s.179). För att bilda mig en uppfattning om hur variabler representeras i de tryckta läroböckerna för årskurs 6 jag analyserat var det nödvändigt att studera det skrivna i läroböckerna. Emellertid var en ytlig analys av texten, uppgifter och liknande inte tillräcklig utan i flera fall fick jag tolka vad författarna kunde ha för avsikter med uppgiften i (Widén, 2015, s.179). Således kom jag att i min analys förhålla mig till Widéns första och andra dimension.
11
6.1 Steg 2: Urval av läroböcker
Utifrån syftet med examensarbetet behövde jag finna tryckta läroböcker i matematik innehållande någon form av representation av variabler. Variabelbegreppet introduceras inte för elever i innan årskurs 7 (Skolverket, 2019, s.58). Emellertid förekommer variabler under andra uttryck som exempelvis obekanta tal (Skolverket, 2019, s.57). För att öka sannolikheten att finna presentationer av variabler fokuserade jag på årskurs 6 som förbereder eleverna för det matematiska innehållet de senare ska komma att möta. Läroböckerna behöver också användas eller ha använts i undervisnings-sammanhang.
De tryckta läroböcker för årskurs 6 som förekommer i uppsatsen är basböcker. Det betyder att det är de böcker som eleverna med störst sannolikhet möter i sin undervisning då det är böcker som används om inget annat skäl finnes. Varje förlag erbjuder tryckta läroböcker med lägre respektive högre nivåer för de elever som finner basläroböckernas innehåll svårt eller otillräckligt. Basböckerna erbjuder skilda nivåer där elever såväl kan lära sig grunderna i deras matematiska innehåll samt fördjupande avsnitt med en högre nivå. Med anledning av detta gjordes bedömningen att de speciellt anpassade böckerna inte skulle inkluderas i underlaget.
För att finna exemplar på tryckta läroböcker som används i matematikundervisning i årskurs 6 kontaktades olika skolverksamheter för att utreda vilken/vilka läroböcker de använder. Initialt tog jag kontakt med utbildningsförvaltningen i två medelstora svenska kommuner. Därifrån uteblev svar och jag valde därför att kontakta rektorerna för samtliga grundskolor i en av kommunerna. En rektor svarade och angav att de arbetade med en av titlarna som förekommer i arbetet i sin matematikundervisning. Underlaget behövde dock utvidgas för att kunna ge ett mer generaliserbart resultat.
Med anledning av detta valde jag att i ett öppet inlägg på Facebook presentera mig själv och syftet med mitt examensarbete. Där ställde jag en öppen fråga om vilket tryckt läromedel som används i matematikundervisning. Svaren jag fick generade två ytterligare titlar bestående av tre tryckta läroböcker för årskurs 6. Slutligen kom undersökningen att omfatta totalt fem läroböcker utgivna av tre olika förlag.
De tryckta läroböckerna för matematik i årskurs 6 som slutligen valdes ut var då Matte Direkt Borgen 6A och 6B, Favorit matematik 6A- och 6B bas och Matematikboken Gamma. Efter att titlarna identifierats tog jag kontakt med de förlag som publicerat de tryckta läroböckerna. Till respektive förlag sändes ett informationsbrev som presenterade studiens syfte, mig som uppsatsskrivare och de efterfrågades även om samtycke att bilder ur deras böcker fick förekomma i arbetet. Medgivandet angick bilder på uppgifter som exemplifierade centrala aspekter i de kategorier som förekommer i arbetet. Samtliga förlag samtyckte till att skannade bilder på uppgifter används i arbetet.
6.2 Steg 2.1: Urval av uppgifter
I en matematisk lärobok finns det många uppgifter. Alla är nödvändigtvis inte fokuserade på variabler. Därför behöver begreppet ”variabel” definieras för att skapa ett verktyg för inkludering och exkludering av uppgifter utformas. Dogbey (2015) anger i sin studie de definitioner av begreppet variabler läroplanerna i hans studie använder sig av. I det här arbetet är inkluderingskriteriet för om en
12 variabel presenteras följande. En variabel är en symbol, i de flesta fall en bokstav, som kan innehålla olika värden, samt men inte nödvändigtvis ha flera eller varierande värden (Dogbey, 2015, s.1185– 1187). Det är denna definition som urvalet av uppgifter grundar sig på.
Rent konkret betyder det att uppgifter som innehåller någon markör för ett obekant tal på endera sida av likhetstecknet ingår i urvalet. Urvalet varierade då från enklare uppgifter som exempelvis 4 + 𝑥𝑥 = 10 till mer avancerade ekvationer och funktioner. I de fall då ett uttryck för en variabel inte uttrycks explicit har andra ledande uppmaningar i texten analyserats. I flera fall förekommer det direkta uppmaningar att eleven ska lösa uppgiften med en ekvation. Dessa har kommit att inkluderas då en utskriven ekvation innehåller uttryck för obekanta tal.
För att identifiera uppgifter som kunde inkluderas använde jag mig först av läroböckernas innehållsförteckningar. I dessa står det vilket matematiskt innehåll som var avsnitt och kapitel behandlar. Utöver detta genomsöktes repetitions- samt fördjupningsavsnitt i de tryckta läro-böckerna. Detta resulterade i ett antal uppgifter som kunde användas för att inleda kategoriseringen. Genom att först utgå från boken som en helhet, till att undersöka var kapitel genom innehålls-förteckningen till att analysera enskilda uppgifter så identifierades uppgifter succesivt. Detta resulterade i ett antal uppgifter som kunde användas för att inleda kategoriseringen. Med uppgift menas den siffra som markerar uppgiften. Uppgifterna har därför betraktats som en uppgift oavsett hur många deluppgifter (a, b, c och så vidare) de har.
6.3 Steg 3: Skapande av kategorier
Nästa steg i analysen utgick från Dogbeys (2015) kategorisering. Då skapades kategorier som syftade till att sortera uppgifterna som valdes i steg 2. Kategorierna blev följande:
Specifikt okända tal definieras som att det i uppgiften eftersöks ett specifikt tal som inte är känt för
eleven. Det kan vara 𝑥𝑥 + 2 = 4 eller 3 + 5 = 𝑦𝑦. Huvudsaken är att det eftersöks ett specifikt tal och att det inte finns någon möjlighet för uttrycket att innehålla fler än ett värde. Syftet med uppgiften är att finna värdet på det okända talet (Dogbey, 2015, s.1178).
Med Generaliserade tal är lösningen sekundär. Det primära är att uppgiften ger eleven möjligheten att utforska matematiska relationer (Dogbey, 2015, s.1178) exempelvis en proportionell ökning eller hur en generell formel kan konstrueras för bestämda omständigheter. Ett exempel är en generell formel för omkrets 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ 2 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 ∗ 2 = 6𝑎𝑎.
Varierande kvantiteter definieras som ett tal där det ingår två olika parametrar som påverkas av
varandra. Dogbey använder exemplet 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 6 (Dogbey, 2015, s.1178). I det exemplet avgörs uttrycket Y´s värde av X och vice versa. Är 𝑥𝑥 = 3 ger det ett värde av 𝑦𝑦. Om å andra sidan 𝑥𝑥 = 5 ger det y ett annat värde. Poängen är att det finns inte bara ett värde för 𝑥𝑥 och inte bara ett värde för 𝑦𝑦 tillskillnad från omständigheterna rörande specifikt okända tal (Dogbey, 2015, s.1187).
De två senare påminner om varandra då de båda kan producera formler som kan fungera generaliserande. Anledningen till att de ändå hålls åtskilda som separata kategorier är att generaliserade tal främst överensstämde med de exempel som återgavs i läroböckerna som generella
13 former för geometriska uttryck för omkrets. Medan varierande kvantiteter till större del överensstämmer med de exempel för funktioner och talföljder som förekommer i läroböckerna för årskurs 6 i matematik. Vidare så har de uppgifter som placeras i kategorin generaliserade tal ingen konkret lösning. I Varierande kvantiteter ska eleven finna en lösning till funktionen eller regeln samt översätta symbolen till ett känt tal. I den förra kategorin ska eleven istället konstruera generella formler.
Skapandet av kategorierna resulterade i den här tabellen som sedan användes för att dokumentera och sortera uppgifterna under analysarbetet. Här visas en förminskad version, i den som användes under arbetet fanns en kolumn för samtliga fem läroböcker.
Lärobok Total Okända Generaliserade Varierande
XX YY
6.4 Steg 4: Analys
I ett första steg analyserades uppgifterna individuellt efter presentationer av variabler, exempelvis ett uttryck för ett obekant tal eller en uppmaning att lösa uppgiften med en ekvation. De uppgifter som kom att inkluderas jämfördes därefter med de matematiska uttryck och definitioner Dogbey försett för var kategori. I de flesta fall var det tillräckligt för att en tillfredställande kategorisering kunde ske. I de fall det inte var tillräckligt fick jag gå tillbaka till Dogbeys arbete och läsa hur han definierade kategorierna och sedan undersöka uppgiften igen. Utöver att konsultera med Dogbeys material behövdes även ett antal uppgifter analyseras djupare. Detta var vanligt för text- och problemuppgifter och det var i dessa skeden jag kom att behöva röra mig mellan Widéns dimensioner för textanalys. Då krävdes det att jag försökte tolka författarnas intentioner med uppgiften (Widén, 2015, s.179–180). Emellertid räckte inte de kategorier jag hämtat från Dogbey till utan en fjärde kategori behövde skapas för att möta en presentation av variabel som inte hörde hemma i någon av kategorierna. Den döptes till ”Övrigt” då den kom att innehålla två sorter av uppgifter som i sig inte var jämförbara med varandra. Den ena erbjöd uppgifter där eleven skulle resonera, argumentera och förklara. Exempelvis vad skillnaden mellan ett uttryck för ett obekant tal och en ekvation är. Den andra använde ett uttryck för ett obekant tal i uppgifter som rör olikhet. Efter en första analys genomförde jag ytterligare en enligt samma steg och metod som jag redogjort för.
6.4.1 Slutgiltig analys
Efter att uppgifterna kategoriserats och sorterats samt antecknats i tabellerna följde nästa steg i analysen. Då undersöktes uppgifterna i var kategori efter gemensamma nämnare och eventuella skillnader. Vilka egenskaper karaktäriserade en uppgift i den berörda kategorin? Varför kan den sorteras i den kategorin men inte en annan? Utifrån dessa frågeställningar trädde de gemensamma nämnarna fram som presenteras i resultatet.
14
6.5 Etiska överväganden
Här redogör jag för de övervägande jag gjort i relation till de åtta punkter som sammanfattar Forskningsrådets definition av god forskningssed (Vetenskapsrådet, 2017, s.8). För att stärka sanningshalten i de påståenden som förekommer i arbetet används ett vedertaget referens-hanteringssystem. Det för att läsare utan större ansträngning ska kunna granska de källor som anges i arbetet. Utöver det anges källor kort i brödtexten och sin fullhet i referenslistan. Metoden har uppdaterats utefter arbetets gång för att säkerställa att alla steg som tagits dokumenterats och tabellen som utgjort ett stöd i processen har också bifogats i uppsatsen. Vid de tillfällena utdrag ur läroböcker gjorts för att exemplifiera en uppgift sker detta med samtycke från det förlag som publicerat läroboken. Det förekommer inga kommersiella intressen då undersökningen inte finansieras av något organ (2017, s.52) och den instans jag är bunden till är Högskolan Dalarna i egenskap av lärarstudent vid Grundlärarprogrammet år 4–6. För att förebygga att examensarbetets resultat används för kommersiella syften kommer resultatet att presenteras som en generell enhet där samtliga läroböckers representationer av variabler anges. Det för att undvika att examensarbetet används i exempelvis marknadsföringssyften om en lärobok har en rikare presentation av variabler än en annan.
All data, såväl litteratur som den data detta examensarbete generar sorterades i särskilda mappar för att bibehålla en tydlig struktur för det egna arbetet och ha all data tillgänglig och överskådlig. Vid behov säkerhetskopierades materialet över till ett USB-minne för att minimera risken att arbetet gick förlorat. När examensarbetet blivit godkänt kommer materialet, förutom själva examensarbetet, att förstöras genom radering från både dator och USB-minne.
7. Resultat
I det här avsnittet presenteras studiens resultat först kvantitativt i tabellform där den totala mängden uppgifter som inkluderats anges respektive antal i vardera kategori. Därefter följer en mer djupgående redogörelse för var kategori.
Tabellerna nedan visar att kategorin Obekanta tal står för en övervägande majoritet av hur variabler representeras i tryckta läroböcker för årskurs 6 i matematik. Tabellerna visar att den representation av variabler eleverna möter i de flesta fall är som obekanta tal. Den näst vanligaste representationen var Varierande tal medan Generaliserade tal är mer sällsynt. Minst uppgifter är det dock i övrigt kategorin. För att ge ytterligare en dimension av resultatet presenteras deras procentuella fördelning nedan. I den första genomgången framkommer det att Obekanta tal står får cirka 67% av uppgifterna som på något vis innehåller en variabel. Varierande kvantiteter räknas till 21% medan Obekanta tal och Övrigt står för cirka 8 respektive 4%. Den andra genomgångens utfall visar att kategorin Obekanta tal står för ungefär 67% av uppgifterna. Varierande kvantiteteter för 23%, Obekanta tal för ungefär 8% och Övriga för 2%.
15 Tabell 1: Det kvantitativa resultatet från båda genomgångarna samt skillnaden mellan dem. De visar att kategorin Obekanta tal är överrepresenterat i samtliga av de analyserade läroböckerna.
7.1 Obekanta tal
Gemensamt för uppgifter som innehåller variabler som obekanta tal är att de innehåller minst ett uttryck för ett obekant tal, att de är lösningsorienterade och att de utan uttrycket för ett obekant tal hade kunnat passera som vilken rutinuppgift som helst. I de fall uppgiften är en ekvation är det de mer avancerade uppgifterna som erbjuder fler än ett räknesätt genom vilket eleven ska lösa uppgiften. Syftet med uppgifterna är i samtliga fall att eleven ska räkna ut värdet på ett uttryck för ett obekant tal, alternativt att själv skriva en ekvation eller ett uttryck för ett obekant tal med fokus på likhet. Exempelvis är 𝑥𝑥 + 7 = 11 (Matte Borgen 6A, 2012, s135) och 12 + 5𝑧𝑧 = 57 (Matematikboken Gamma, 2013, s.184) tydliga exempel på att uppgiften hör hemma i kategorin obekanta tal
Den mest förekommande presentationen av uppgifter med variabler som obekanta tal är som imitationsuppgifter där ett tal bytts ut mot ett bokstavstal samt att likheten står utskriven, där lösningsmetoden är känd för eleven. Detta gäller även de uppgifter där eleven ska lösa ekvationer med ett eller flera uttryck för obekanta tal och räknesätt. Utöver detta förekommer det uppgifter som är textuppgifter och problemuppgifter. De uppgifterna innehåller ofta ord som minska, öka, tyngre, lättare, längre och kortare som signalerar vilket eller vilka räknesätt som ska användas. Likaså ges eleven ofta direkta instruktioner att den ska lösa uppgiften med en ekvation. Dessa uppgifter förekommer främst i slutet av kapitlen eller avsnitten och föregås typiskt av rutinuppgifter.
16
Figur 1: Exempel på hur uppgifter med variabler som uttryck för obekanta tal kan se ut. (Matte Direkt Borgen 6A, 2012,
s.134) Carlsson, S., Falck, P., Liljegren, G. & Picetti, M. (red.) (2012). Matte direkt Borgen. 6 A. (2. uppl.) Stockholm: Sanoma utbildning. Använd med tillåtelse.
Figur 2. Ytterligare exempel på uppgifter med variabler som obekanta tal (Favorit Matematik 6A, BAS, s.37). Karppinen,
J., Kiviluoma, P. & Urpiola, T. (2018). Favorit matematik. 6A, Bas. (Upplaga 2). Lund: Studentlitteratur. Använd med tillåtelse.
Det förekommer också uppgifter i läroböckerna som implicit behandlar variabler som ett uttryck för ett obekant tal. Nedan följer två utdrag ur en lärobok som exemplifierar hur de uppgifterna kan framträda.
Figur 3. Exempel på en skriftlig uppgift som innehåller variabler som obekanta tal (Gamma, s.185) Undvall, L.
17
Figur 4. Exempel på uppgift på avancerad nivå som innehåller en variabel som obekant tal. Matematikboken Gamma,
s.186) Undvall, L. (2013). Matematikboken Gamma. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Används med tillåtelse.
Även vissa uppgifter av mer geometriskt karaktär som vinkelsummor och omkrets kom att inkluderas i den här kategorin. I de allra flesta fall fick eleverna uppgiften att räkna ut omkretsen och gavs ett värde för en variabel, därför kom det att ge ett uttryck för ett obekant tal då begränsningen enbart ger ett möjligt värde för omkretsen. Liknande premisser gäller för de uppgifter med vinkelsummorna. Beroende av antal tillgängliga grader och summan av de andra vinklarna begränsas värdet på vinkel 𝑣𝑣.
7.2 Generaliserade tal
Uppgifter som inkluderades i denna kategori kännetecknades med att syftet var att förenkla uttryck för olika matematiska förhållanden. De uppgifter som kategoriserats som Generaliserade tal har gemensamt att eleven inte ska räkna ut ett specifikt värde för ett obekant tal eller utreda en regel för en talföljd eller en funktion. Syftet med uppgifterna är att eleven ska utveckla en förmåga att förenkla matematiska uttryck. Uppställningen är jämförbar med den hos uppgifter med variabler som uttryck för obekanta tal där fokuset ligger på likhet. Skillnaden är att uppgifter med variabler som generaliserade tal i huvudsak syftar till att ge uttryck för generella förhållanden utan att ge ett uttryck för ett obekant tal ett specifikt värde.
Figur 5. Två exempel på generaliserade tal bland två obekanta tal. I uppgifterna 629 och 631 ska eleven skriva och förenkla uttryck (Matematikboken Gamma, 2013, s.169). Undvall, L. (2013). Matematikboken Gamma. (1. uppl.) Stockholm: Liber.
Används med tillåtelse.
Den vanligaste representationen av dessa uppgifter rör förenklingar av uttryck för omkrets av geometriska former med enbart ett uttryck för ett obekant tal. De exempel som då gavs var uttryck för
18 omkretsen av likbenta trianglar och kvadrater. Dock förekom exempel med rektanglar. Då skrevs uppgiften istället med blandade räknesätt, med addition och multiplikation.
7.3 Varierande kvantiteter
Det utmärkande draget hos uppgifter med variabler som varierande kvantiteter är att de visar ett förhållande mellan två uttryck för obekanta tal. I huvudsak beskriver förhållandet en ökning med jämna steg där var ökning är proportionell med nästa ökning. I de tryckta läroböcker för årskurs 6 i matematik som analyserats visar sig detta på två sätt, genom algebraiska funktioner samt talföljder.
När det handlar om funktioner varierar de i representation. Uppgifterna fokuserar på själva regeln som gäller för funktionen med en funktionsmaskin (se figur 6) i vissa fall. I andra fall skrivs själva funktionen ut och placeras i en tabell där eleven ska fortsätta att fylla i tabellen. Denna representation av variabler förekom inte i samtliga av de tryckta läroböcker i matematik för årskurs 6 som ingått i underlaget.
Figur 6. Exempel på en illustration av en funktionsmaskin. Den är i huvudsak överensstämmande med hur den representeras i en av de andra tryckta läroböckerna (Favorit Matematik 6A bas, 2018, s.46). Karppinen, J., Kiviluoma, P.
19
Figur 7. Ytterligare exempel på hur funktionsuppgifter kan se ut (Favorit Matematik 6A bas, 2018, s.51) Karppinen, J.,
Kiviluoma, P. & Urpiola, T. (2018). Favorit matematik. 6A, Bas. (Upplaga 2). Lund: Studentlitteratur. Används med tillåtelse.
Angående talföljder får eleverna först övningar i hur de kan identifiera matematiska mönster i talföljder. Tändstickor är ett gemensamt exempel bland läroböckerna när de ska symbolisera matematiska mönster och talföljder men de symboliseras också med skrivna exempel med tal.
Uppgifter i den här kategorin kännetecknades primärt av figurer som visade på någon form av ökning. Antingen genom prickar, kvadrater i olika färger eller tändstickor. De kännetecknades också genom att eleven ombads att räkna ut en talföljd med hjälp av ett uttryck för 𝑛𝑛. Detta är vanligast bland uppgifter som tillhör de mer avancerade nivåerna i de tryckta läroböckerna.
Figur 8. Exempel på enklare talföljder (Matematikboken Gamma, 2013, s.174)
Undvall, L. (2013). Matematikboken Gamma. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Används med tillåtelse.
Figur 9. Exempel på mer avancerade talföljder (Matematikboken Gamma, 2013, s.177)
Undvall, L. (2013). Matematikboken Gamma. (1. uppl.) Stockholm: Liber. Används med tillåtelse.
7.4 Övrigt kategorin
I två av de tryckta läroböckerna återgavs en variabel i ett sammanhang som inte riktigt föll inom ramarna för någon kategori. I dessa används x som uttryck i uppgifter om olikhet. Eleverna presenteras för en tallinje och/eller en olikhet. Uppgiften eleven ska utföra är att skriva för vilka heltal olikheten är sann. Det gemensamma draget är att eleven ska avläsa tallinjen och utifrån markören ange de tal på tallinjen som är större eller mindre än det angivna värdet.
Figur 10. Exempel på hur uppgifter om olikhet med en variabel kan se ut (Favorit Matematik 6A. Bas, 2018, s.59)
Karppinen, J., Kiviluoma, P. & Urpiola, T. (2018). Favorit matematik. 6A, Bas. (Upplaga 2). Lund: Studentlitteratur. Används med tillåtelse.
20 Utöver detta förekom det uppgifter som var svåra att etikettera tillfredställande. Här ska eleverna resonera mer än vad de ska räkna. Ett exempel på en sådan uppgift är när eleven ska förklara skillnaden mellan ett algebraiskt uttryck och en ekvation och para ihop begrepp med matematiska presentationer.
7.5 Sammanfattning
Den vanligaste förekommande representationen av variabler är som ett uttryck för ett okänt tal. En variabel är ett okänt tal i en ekvation, funktion eller talföljd som ska lösas och innehåller ett värde. I undantagsfall finns det representationer som erbjuder en förståelse för variabler som uttryck för generaliserade tal och verktyg för att beskriva matematiska förhållanden. Det är vanligt att samma symbol (x, y, z och så vidare) används multipla gånger i uppgifter. I samtliga fall innehåller ekvationerna minst ett uttryck för ett obekant tal. I de fall det förekommer fler än ett handlar det i huvudsak om talföljder eller funktioner. I de fall där det förekommer flera uttryck i en ekvation är det en uppgift som klassificerats i läroböckerna som mer avancerad. Detta är gemensamt för samtliga av de tryckta läroböcker för årskurs 6 i matematik som förekommer i arbetet. I huvudsak presenteras uppgifter som på något vis representerar en variabel som imitationsuppgifter. Eleven ges all den information som den behöver för att lösa uppgiften. Detta gäller också majoriteten av text- och problemuppgifter då de värden samt räknesätt eleven behöver ofta finns med i texten.
I de uppgifter som kategoriseras som Varierande kvantiteter och innehåller talföljder är det vanligt att eleverna uppmanas att identifiera mönster. Detta sker på en lägre och på en mer avancerad nivå av uppgifter. Däremot skiljer det sig åt huruvida eleven instrueras att skriva ett uttryck för vilken regel talföljden har. I uppgifter på en lägre nivå är det vanligast att eleven ska identifiera värdet på ökningen medan den i uppgifter på en högre nivå också ska skriva det algebraiska uttrycket för formeln. Utöver skillnader i nivå är det också en skillnad mellan de tryckta läroböckerna.
8. Metoddiskussion
I det här avsnittet kommer resultatet och metoden att problematiseras utifrån begreppen validitet och reliabilitet. Validitet är ett mått på hur väl undersökningen uppfyller syftet (Thurén, 2007, s.26), undersöks verkligen det som ska undersökas? Reliabilitet avgör undersökningens tillförlitlighet och om datan analyserats korrekt (Thurén, 2007, s.26). Kortfattat ska undersökningen kunna genomföras av en annan person som då ska uppnå samma resultat. I arbetets metodavsnitt har jag redogjort för de val samt vilka steg som tagits för att stärka studiens validitet och reliabilitet. Här nedan följer en diskussion som problematiserar studiens metod.
Studien uppkom ur ett misstankens hermeneutik (Westlund, 2015, s.73). Då syftet med studien är att försöka förstå en del i vad som kan vara en bakomliggande orsak till att variabler är särskilt uttalat som svårigheter vid programmering krävdes en analytisk metod som granskar ett specifikt fenomen. För att börja bilda mig en förståelse för varför en begränsad förståelse av variabler uttalas som en särskild svårighet vid programmering behövde jag granska vilken eller vilka förståelser där finns av variabler. För att sedan kunna applicera det i en relevant kontext behövdes relevanta texter. En fråga då kan vara om det finns fog för att påstå att det som internationell forskning menar är en svårighet i blockprogrammering är det i svenska sammanhang? Jag upplever att jag genom att ha analyserat fem tryckta läroböcker för matematik i årskurs 6, som bekräftats användas i undervisning, med viss
21 säkerhet kan visa att den representation av variabler eleverna möter är uppbyggt på ett visst sätt. Att de begränsningar den tidigare forskningen då lyfter även kan förekomma hos svenska elever är sannolikt då de kategorier som använts är inspirerade av Dogbeys studie (2015) som utfördes i USA. Samtidigt har en viss kvantitativ ansats använts. Genom en kvantitativ ansats (Larsen, 2009, s.27) möjliggörs en djupare förståelse jämfört med om undersökningen enbart utgått från ett kvalitativt perspektiv. Detta gör att resultatet kan bidra med en generell slutsats rörande tryckta läroböckers förmedling av kunskaper om variablers användningsområden, vilket kallas kvantifiering (Thurén, 2007, s.22). Kvantifieringen är ett steg i att kunna göra anspråk på ett visst mått av generaliserbarhet. De tabeller som återfinns i arbetets resultat visar en tydlig bild över fördelningen av representationen av variabler i de tryckta läroböckerna för årskurs 6 i matematik. Vilket kategoriernas procentuella uppdelning menar att förtydliga.
Initialt var tanken att jag skulle låna de tryckta läroböckerna från ett bibliotek. Tyvärr var detta ej en möjlighet. Ingen av titlarna var tillgängliga för utlåning på något av de regionala biblioteken, ej heller fanns de tillgängliga för fjärrlån. Därav kom jag att privat köpa ett exemplar av var tryckt lärobok utom två. Två läroböcker skänktes jag av en närliggande skola. Detta till trots var de tryckta läroböckerna för årskurs 6 i matematik de senast utgivna exemplaren som finns tillgängliga för privatpersoner. Hade äldre läroböcker analyserats hade resultatet kunnat visa på en inaktuell bild av representationen. Emellertid är bilden av representationen begränsad till just fem tryckta läroböcker i matematik för årskurs 6 utgivna av tre förlag. Det kan finnas fler titlar som används i matematikundervisning. En titel i arbetet har också en ny utgåva som inte fanns tillgänglig för inköp när materialet insamlades och samtliga förlag har webbaserade och kostnadsfria tillägg för att bland annat möta de revideringar om digital kompetens läroplanen genomgick 2018. De senare hade, om de getts utrymme i studien, med stor sannolikhet påverkat resultatet.
En annan svaghet med studien är att resultatet är en produkt av mina tolkningar. Hade jag, likt Jäder m.fl. (2019, s.8) och Dogbey (2016, s.1184) haft en eller flera kollegor kunde vi uppnått en högre reliabilitet. Diskussionerna som då skett hade varit till förtjänst för inte bara resultatet som helhet utan också för varje individuell kategorisering under analysen. Resultatet kan då kritiseras utifrån att det är en produkt av en hermeneutisk metod och således ej generaliserbar då det kan tolkas som att det inte är intersubjektivt testbart (Thurén, 2007, s.103). För att förebygga detta utförde jag två analyser av de tryckta läroböckerna. I den andra granskningen kom antalet uppgifter att öka något. Detta beror delvis på att uppgifter om vinkelsummor kom att inkluderas i materialet då de också innehåller ett uttryck för ett okänt tal och därför uppfyller att av inkluderingskriterierna. Det beror även på att min egen analytiska förmåga utvecklats i och med att min bekantskap med kategorierna växt vilket ledde till att uppgifter som tidigare räknats till Övrigt kategorin uteslöts ur underlaget. Vidare så hade resultatet getts ytterligare en dimension om uppgifterna också kategoriserats utifrån egenskap av imitations-, text- eller problemuppgift angetts i procentuell indelning. Då hade antagandet att det främst förekommer imitationsuppgifter kunnat stärkas, eller ifrågasättas. Relevansen och de vinster detta hade gett i relation till den här studien går dock att diskutera.
Det var en process att bekanta sig med kategorierna och finna de gemensamma nämnare och skillnader som avgjorde i vilken kategori en uppgift hamnade. I flera fall var det en utmaning att kategorisera
22 uppgifterna. Dock låg inte utmaningen i att skilja kategorierna åt då det var förhållandevis tydligt i en majoritet av fallen. Utmaningen låg istället i huruvida en uppgift skulle inkluderas eller ej. Det var i de fallen som jag fick försöka att tolka författarnas intentioner med uppgiften. Det jag då tog hänsyn till var kontext, ord och begrepp. Några exempel på ord och begrepp som förekom i de fallen var teckna
ett uttryck för, förenkla och lös med en ekvation.
Att anonymisera de tryckta läroböckerna för årskurs 6 i matematik och presentera resultatet som en helhet har sina styrkor och svagheter. Då jag även i analysarbetet behandlat resultatet och de fem titlarna som en enhet har jag inte utrett eller tagit hänsyn till i vilken omfattning en titel används i matematikundervisningen. En titel kanske förekommer enbart i en bråkdel av klassrummen medan en annan är mycket vanligare. Å andra sidan så blir det presenterade resultatet mer rättvist. Två av böckerna hade en annan struktur i förhållande till uppgifter än de andra. Då de första böckerna jag analyserade hade en likvärdig struktur med en uppgift och tre till fyra underuppgifter räknade jag en uppgift som en uppgift, oaktat hur många underuppgifter den hade. När jag sedan kom till de andra tryckta läroböckerna hade de ett upplägg som skilde sig från övriga. De hade färre uppgifter men fler underuppgifter per uppgift. Hade jag istället räknat underuppgifter som en egen uppgift hade läroböckerna kanske framkommit som mer likvärdiga kvantitativt. Emellertid så följer de samma mönster som övriga läroböcker vilket ändå indikerar att sättet jag räknat på är förhållandevis rättvist. Detta styrks också av att den procentuella uppdelningen av uppgifter i de båda genomgångarna är jämförbara med varandra med enbart enstaka procentenheters skillnad.
9. Resultatdiskussion
Resultatet av undersökningen visar att de tryckta läroböckerna för årskurs 6 i matematik i huvudsak framstället variabler som uttryck för obekanta tal. Dogbey (2015, s.1179) menar att elever ofta är begränsade till att uppfatta variabler som platshållare för ett obekant tal. Det är en begränsad uppfattning likt denna som anges som en särskild svårighet för noviser i programmering (Žanko m.fl., 2018, s.1252). Det faktum att en klar majoritet av uppgifterna behandlar variabler som obekanta tal kan ligga till grund för att även fortsättningsvis reproducera denna begränsade uppfattning. Lägg därtill att kursplanen i matematik likställer variabler med symboler för obekanta tal (Skolverket, 2019, s.57) ökar sannolikheten att denna feluppfattning reproduceras. Sett till vilket fokus obekanta tal ges i kursplanen är det inte förvånande att de också ges ett utförligt utrymme i läroböckerna. Uppgifterna är förhållandevis varierande där ett uttryck i underuppgifter till en uppgift kan ges olika värden. Detta är viktigt för att förebygga en begränsad förståelse kopplad till variabler som Dogbey skriver om. Dogbey (2016, s.1179) menar att elever kan vara begränsade till att tillskriva en variabel ett värde. Han menar att elever som exempelvis möter uppgifter i form av 7𝑛𝑛 + 22 = 109 och 7𝑤𝑤 + 22 = 109 var av uppfattningen att n och w inte kunde ha samma värde. Istället menar Dogbey att de var av uppfattningen att de är hieratiskt ordnade (Dogbey, 2015, s.1179). Analysen av uppgifterna i de utvalda tryckta läroböckerna för årskurs 6 i matematik visar dock att det är en liten risk att elever utvecklar liknande begränsningar. Flera uppgifter innehöll två eller fler underuppgifter med ofta varierande räknesätt. Det som de hade gemensamt var att samtliga innehöll ett uttryck för ett obekant tal och det uttrycket var i huvudsak samma bokstavstal i samtliga underuppgifter. Därav signaleras för eleven att ett uttryck kan innehålla flera värden.
23 Undersökningen visar också att uppgifterna i huvudsak är lösningsfokuserade. Med det menas att en tydlig majoritet av uppgifterna som analyserats har en entydig lösning som är rätt och går att rätta med ett facit. I en klar majoritet av uppgifterna ska eleven räkna ut ett värde för ett uttryck eller regeln för en funktion eller alternativt en talföljd. De är också ofta skrivna på ett sådant sätt att eleven ges få möjligheter till annat än att skriva av uppgiften och sedan lösa den med en bestämd metod. Eleven ges inte ett stort utrymme att själva laborera med olika värden eller metoder förutom vid enstaka diskussionsuppgifter. Istället ges eleven de räknesätt som behövs för att lösa uppgiften i numeriskt skrivna uppgifter såväl som i textuppgifter. Det betyder att en majoritet av uppgifterna imitationsuppgifter som förvisso fyller en funktion i att ge eleven möjlighet att öva ekvationslösning rent procedurellt (Sidenvall, 2019, s.5). Emellertid är det inte förtjänstfullt för att eleven ska kunna utveckla sin problemlösningsförmåga vilket både Jäder m.fl. (2019, s.4) och Sidenvall (2019, s.3–4) uttryckt. Detta kan också ha negativa effekter för eleven i förhållande till dennes egenskap som novis i programmering. Det då problemlösningsförmågan anses ha en stor betydelse för programmeringskunskap vilket både Swidan m.fl. (2018, s.152) och Žanko m.fl. (2019, s.1252) anför i sina studier.
Utöver att uppgifterna är imitativa går det att ifrågasätta om textuppgifter som återfinns i de lägre nivåerna innehåller en variabel som uttryck för ett obekant tal eller någon annan representation. För exempel se figur 3 i avsnitt 7.1. I den uppgiften kan eleven göra uppställningen 7,5 − 2,8 = 4,7 för att räkna ut hur mycket Alvas ryggsäck väger utifrån den data uppgiftstexten erbjuder. Uppgiften påminner då om en ordinär subtraktionsuppgift som eleven mött flera gånger tidigare. Jag upplever det därför som osannolikt att eleven när den arbetar med uppgiften reflekterar eller är medveten om att den arbetar med variabler, när den arbetar med uppgifter likt denna. Då det, enligt min bedömning efter att ha räknar uppgiften på olika sätt, krävdes ett extra steg för att behandla uppgiften som en uppgift med ett uttryck för ett obekant tal. Undersökningen visar även att samtliga av de tryckta läroböckerna inte innehåller uppgifter om algebraiska funktioner med variabler som varierande kvantiteter. Det matematiska innehåll en elev kommer att möta i en lärobok i matematik står lika mycket utanför dennes kontroll som vilken matematiklärare den kommer att få. Då många lärare medger att de finner programmering som ett svårt innehåll (Skolverket, 2019, s.17) och undervisningen i huvudsak utgår från läroböcker med imitationsuppgifter (Skolverket 2009, s.17) finns det en risk att elever inte ges möjligheten att utveckla sina matematiska förmågor med blockprogrammering med aktiviteter likt dem i Millers som Chiang och Qins studier (João m.fl. 2019, s.3). Speciellt då lärares egen kompetens i programmering är direkt avgörande för att de ämnesdidaktiska förtjänsterna ska nås istället för att undervisningen ska fokusera på syntaktiska koncept i visuella progammeringsmiljöer. Vilket Žanko m.fl. (2018, s.1253) samt Grover och Basu (2017, s.272) anser leda till andra svårigheter när eleverna senare ska möta textbaserad programmering. Detta i relation till vad Utbildningsutskottet (2016, s.7) skriver om vilka konsekvenser ett ogenomtänkt användande av digitala verktyg kan resultera i bör vara orsak nog till fortsatta satsningar i att vidareutbilda lärare för att stärka dem i deras programmeringskompetens.
