Linjära kombinationer av stokastiska variabler

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Linjära kombinationer av s. v.

Linjära kombinationer av stokastiska variabler

Sats 1.Låt a , b vara konstanter och X stokastiska variabler där väntevärdet E( X)=µ och variansen V(X)=σ². Då gäller:

1. E(aX +b)=aE(X)+b=aµ+b 2. V(aX +b)=a²V(X)=a²σ²

Sats 2. Låt c₁,c₂ ,...,c_n vara konstanter, X₁,X₂,..., X_n stokastiska variabler, E(X_i)=µ_i och V(X_i)=σ_i². Då gäller:

1. E(c₁X₁ +c₂ X₂ +...+c_n X_n)=c₁µ₁+c₂ µ₂ +...+c_n µ_n,

2. V(c₁X₁ +c₂ X₂ +...+c_n X_n)=c₁²σ₁² +c₂² σ₂² +...+c_n²σ_n² om X₁,X₂ ,..., X_n är oberoende s. v.

Uppgift 1.

Låt X vara en s.v. med väntevärdet E(X)=13 och standardavvikelsen D(X)=σ =0.4. Beräkna E(Y), V(Y) och D(Y) om Y= 2X+10.

Lösning:

) (Y

E =E(2X +10)=2E(X)+10=2⋅13+10=36 64 . 0 16 . 0 4 2

) ( 2 ) 10 2 ( )

(Y =V X + = ²V X = ²σ² = ⋅ = V

8 . 0 64 . 0 ) ( )

(Y = V Y = =

D

Uppgift 2.

Låt X₁,X₂ ,X₃ vara oberoende s.v. sådana att 10

) (X₁ =µ₁ =

E , E(X₂)=µ₂ =−20, E(X₃)=µ₃ =30; 3

)

(X₁ =σ₁ =

D , D(X₂)=σ₂ =2, D(X₃)=σ₃ =1;

Beräkna väntevärdet, variansen och standardavvikelsen till Y där a) Y =5X₁+4X₂ −2X₃

b) Y = X₁+X₂ −X₃ Lösning:

a) E(Y)=5E(X₁)+4E(X₂ )−2E(X₃)=5⋅10+4⋅(−20)−2⋅(30)=−90 293 1 4 4 16 9 25 ) ( ) 2 ( ) ( 4 ) ( 5 )

(Y = ² σ₁ ²+ ² σ₂ ²+ − ² σ₃ ² = ⋅ + ⋅ + ⋅ = V

293 )

( )

(Y = V Y = D

b) E(Y)=E(X₁)+E(X₂ )−E(X₃)=−40

14 1 1 4 1 9 1 ) ( ) 1 ( ) ( 1 ) ( 1 )

(Y = ² σ₁ ² + ² σ₂ ² + − ² σ₃ ² = ⋅ + ⋅ + ⋅ = V

14 ) ( )

(Y = V Y = D

Uppgift 3.

Låt X₁,X₂ ,X₃ vara oberoende s.v. sådana att 10

) (X₁ =µ₁ =

E , E(X₂)=µ₂ =−20, E(X₃)=µ₃ =30; 3

)

(X₁ =σ₁ =

D , D(X₂)=σ₂ =2, D(X₃)=σ₃ =1;

Beräkna väntevärdet E(Y), variansen V(Y) och standardavvikelsen D(Y) då

1 av 2

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Linjära kombinationer av s. v.

3

3 2

1 X X

Y X + +

= .

Lösning:

Eftersom

3 3 3

3 2

1 X X

Y = X + + har vi

b) 3

) 20 3 (

) 1 3 (

) 1 3 (

) 1

(Y = E X₁ + E X₂ + E X₃ = E

9 1 14 9 4 1 9 9 1 9 ) 1 3 (

) 1 3 (

) 1 3 (

) 1

( ₃ ²

2 2

2 2 2

1 2

=

⋅ +

⋅ +

⋅

 =



 

 +



 

 +



 



= σ σ σ

Y V

3 14 1 9 ) 14 ( )

(Y = V Y = = D

Uppgift 4.

Låt X₁,X₂ ,X₃ vara exponentialfördelade s.v. med parametrar λ₁ =1/4, λ₂ =1/5och 10

/

3 =1

λ , dvs X₁∈Exp(1/4), X₂∈Exp(1/5) och X₃∈Exp(1/10). Låt vidare Y =X₁+2X₂ +3X₃.

Beräkna väntevärdet E(Y), variansen V(Y) och standardavvikelsen D(Y). Lösning:

För att bestämma väntevärdet µför en exponentialfördelade s. v. X ∈Exp(λ)använder vi sambandet

µ = λ¹ . Dessutom gäller 1₂ ) (^{X =} λ

V , därmed

σ =D(X)=λ¹( kolla formelblad).

I vårt fall har vi därför

1 =4

µ , µ₂ =5 och µ₃ =10 och

1 =4

σ , σ₂ =5, σ₃ =10. Nu har vi

44 ) ( 3 ) ( 2 ) ( )

(Y =E X₁ + E X₂ + E X₃ = E

1016 100

9 25 4 16 ) ( ) 3 ( ) ( 2 ) ( 1 )

(Y = ² σ₁ ²+ ² σ₂ ² + ² σ₃ ² = + ⋅ + ⋅ = V

1016 )

( )

(Y = V Y = D

Uppgift 5. En s.v. X har täthetsfunktionen , övrigt för 0

1 0

) 4 (

3



 < <

= x x

x f Bestäm väntevärdet och variansen för Y=10X+5.

Lösning:

Först bestämmer vi

5 4 4

) ( )

(

1

0

4 =

=

=

= ^+∞

∫ ∫

∞

−

dx x dx x xf X

µ E .

Eftersom

3 2 6 4 4

) (

1

0 5

2 =

∫

+∞

∫

∞

−

dx x dx x f

x får vi

75 2 25 16 3 ) 2

( )

( =^+∞

∫

∞

−

µ dx x f x X

V .

Nu har vi E(10X +5)=10E(X)+5=13 3 8 75 100 2 ) ( 10 ) 5 10

( X + = ²V X = ⋅ =

V

2 av 2