Malmö högskola
Lärande och samhälle VAL
Examensarbete
15 högskolepoängLikhetstecknet i matematiken
– en studie om begreppsmissuppfattningen och dess konsekvenser
The Equal Sign in Mathematic-‐ a studie of the misconception and its consequenses
Eva-‐Lena Axelsson
VAL 90hp
Matematik Handledare: Ange handled Slutseminarium 20140829.
Examinator: Martin Kjellgren
Handledare: Niclas Gustavsson
Sammanfattning
I min vardag som lärare i matematik på gymnasiet stöter jag på många elever som har problem med likhetstecknets betydelse. De tror att tecknet =, betyder blir. Två plus fem blir
sju delat med två blir 3,5 (2 + 5 =!!= 3,5) är ett vanligt skrivsätt av dessa elever. Korrekt
skrivsätt är, två uträkningar två plus fem är lika med sju och sju delat med två är lika med tre
och en halv (2 + 5 = 7 !"ℎ !!= 3,5) alternativt två plus fem delat med två är lika med sju
delat med två är lika med tre och en halv (!!!! = !!= 3,5). Denna missuppfattning av
likhetstecknets betydelse ville jag undersöka närmare. Finns det fler lärare som sett detta i sin undervisning och påverkar denna tolkning, elevernas vidare kunskapsutveckling när det gäller matematiken?
Det visade sig att fler lärare hade stött på samma missuppfattning som jag, men de hade även stött på andra missuppfattningar. Elever radade upp beräkningar efter varandra och använde likhetstecknet som mellanslag, elever som kommit längre i sin matematiska förståelse och blandade ihop det med ekvivalenstecknet (ó).
Konsekvenser av att inte förstå likhetstecknets betydelse påverkar många områden inom matematiken. Inom ekvationslösning är viktigt att förstå betydelsen av likhetstecknet. För att kunna lösa ekvationen och flytta termerna fram och tillbaka, är det viktigt att ha full förståelse för likhetstecknet. Räkneoperationerna skall göras lika på båda sidor om likhetstecknet och man får flytta tal och symboler fram och tillbaka, men det viktiga är att det görs på båda sidorna om likhetstecknet. Även inom andra områden såsom bråk-och procenträkning är det viktigt med full förståelse för likhetstecknet. Det visar sig alltså att likhetstecknets symbolik är väldigt väsentlig inom matematiken och för att kunna gå vidare till högre studier måste likhetstecknets betydelse vara klar. Det måste alltså läggas mycket tid på detta moment för att verkligen se till att förståelsen för likhetstecknet finns.
Något som kom fram i min undersökning och som jag skulle vilja titta närmare på är hur mellanledsräkningen påverkar förståelsen för likhetstecknet. Hur får man förståelse för likhetstecknets betydelse om man får se och utföra beräkningar såsom 13-8=2+3=5.?
Nyckelord; Matematik, likhetstecknet
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 6
2. Tidigare forskning/studier ... 8
2.1 Allmänt om lärande ... 8
2.1.1 Lärandetyper ... 8
2.2 Allmänt lärande om matematik ... 9
2.3 Matematik och språk ... 11
2.3.1 Andraspråksinlärning ... 11
2.4 Undervisning av matematik i klassrummet ... 12
2.5 Likhetstecknet ... 14 2.6 Sammanfattning ... 16 3. Teoretisk förankring ... 17 3.1 Assimilativt lärande ... 17 3.2 Potentiellt lärande ... 17 3.3 Ackommodativt lärande ... 18 3.4 Learning by doing ... 18 3.4 Sammanfattning ... 19 4. Metod ... 20 4.1 Val av metod. ... 20
4. 2 Urval och undersökningsgrupp ... 20
4.2 Datainsamling ... 21
4.3 Analysmetod ... 21
4.3 Etiska ställningstaganden ... 21
5. Resultat ... 22
5.1 Missuppfattningar ... 22
5.1.1 Likhetstecknet läses som blir ... 22
5.1.2 Radar upp flera likhetstecken efter varandra/kan bara använd ett tecken i varje operation ... 23
5.2.1 Hur öka förståelse? ... 25
5.3 Skillnad under lärarnas yrkesverksamma år ... 26
5.4 Sammanfattning ... 27
6 Analys ... 28
6.1 Missuppfattningar ... 28
6.1.1 Likhetstecknet läses som blir ... 28
6.1.2 Radar upp flera likhetstecken efter varandra/kan bara använda ett tecken i varje led ... 28
6.2 Konsekvenser ... 29
6.2.1 Hur kan man få ökad förståelse ... 30
6.3 Skillnad under lärarnas yrkesverksamma år ... 32
6.4 Sammanfattning ... 32 7 Diskussion ... 33 7.1 Resultatdiskussion ... 33 7.2 Metoddiskussion ... 33 7.3 Fortsatt forskning ... 33 7.4 Sammanfattning ... 34 Litteraturförteckning ... 36 Bilaga 1 ... 38
1 Inledning
I skollagen tredje kapitlet och tredje paragrafen står det: ”Alla barn och elever ska ges den ledning och stimulans som de behöver i sitt lärande och sin personliga utveckling för att de utifrån sina egna förutsättningar ska kunna utvecklas så långt som möjligt enligt utbildningens mål. Elever som lätt når de kunskapskrav som minst ska uppnås ska ges ledning och stimulans för att kunna nå längre i sin kunskapsutveckling.” §3 (Skolverket, 2014).
Lärande är ofta något som är starkt förknippat med skolan och med det som sker där. Framför allt det som sker i klassrummet mellan lärare och elever. Lärandet är något som är ganska personligt, där några tillgodogör sig kunskaperna snabbt och lätt medan andra behöver längre tid och tycker att det är svårt att lära sig saker. Man kan säga att lärandet är den kunskapsförändringen man har med sig oberoende av mognad, glömska och åldrande (Illeris, 2001).
Matematik anses vara ett viktigt ämne i skolan vilket även styrks av att eleverna måste ha minst godkänt i matematik i grundskolan för att de ska få gå i gymnasiet. De behöver också sina matematikkunskaper för att kunna utvecklas i både sitt vardags- och yrkesliv. Matematikundervisningen är också, som Eva Norén skriver i Flerspråkiga
matematikklassrum, ett sätt att kunna ge människor möjligheter att fungera som medborgare i
ett demokratiskt samhälle, men den kan också exkludera (Norén, 2010).
Den senaste tiden har det kommit många larmrapporter om att svenska elever presterar allt sämre i nationella undersökningar och då främst inom matematiken och debatten går varm. Ett av de senaste inläggen kommer från Christian Bennet och Madeleine Löwing (2014) där de tar upp att elever på gymnasiet har svårt för matematiska operationer som ligger på mellanstadienivå. ”Elevernas resultat talar ett entydigt språk; alldeles för många elever har mycket dåliga kunskaper när det gäller så grundläggande färdigheter som att addera och multiplicera enkla bråk eller hantera enkla procentberäkningar, alltså en typ av färdigheter som utgör en lika naturlig grund när det gäller matematisk problemlösning som läsfärdighet utgör när det gäller att förstå eller skriva en vanlig text.” (Bennet & Madeleine, 2014, s. 1).
Matematik brukar vara synonymt med tal och siffror, men symboler och ord är en viktig del av undervisningen som kan ställa till med en del problem för elevernas lärande. En av våra
vanligaste symboler inom matematiken är likhetstecknet. Det är en viktig symbol och betyder att det är lika mycket på båda sidor. Att ha rätt förståelse för denna symbol är viktigt för olika räkneoperationer däribland ekvationslösning (Falkner, Levi, & Carpenter, 1999). Denna symbol är något som många har problem med. Många elever har exempelvis svårt att se likhetstecknet som en symbol som står för är lika med utan många elever läser likhetstecknet som blir (Malmer, 1999).
I min undervisning möter jag ofta på elever som har bristande förståelse för likhetstecknet och undrar därför om fler lärare har samma erfarenhet.
Mitt syfte med detta examensarbete är att undersöka om andra matematiklärare på min gymnasieskola upplever elevernas bristande förståelse för likhetstecknet som ett hinder i deras lärande. Därför har jag valt frågeställningarna:
Vilka missuppfattningar angående likhetstecknet möter gymnasielärare på gymnasiet i vardagen?
Vilka konsekvenser för den framtida kunskapsutvecklingen kan uppstå om eleverna inte har full förståelse för likhetstecknet?
Har matematiklärarna märkt någon skillnad under sina yrkesverksamma år?
Hur hanterar lärarna problemet?
2. Tidigare forskning/studier
2.1 Allmänt om lärande
När man pratar om lärande har det många gånger uppfattats som en psykologisk angelägenhet, men har på senare år även nått utanför det psykologiska området. Det har behandlats på olika sätt t ex ”... utifrån en biologisk grundval blivit ett viktigt team i samband med kroppsförståelse och det utgör ett centralt ämne inom den moderna hjärnforskningen.” (Illeris, 2001, s. 17).
För att man ska kunna lära sig något måste kroppen befinna sig i balans, d v s det måste finnas ett visst överskott av energi så att man orkar koncentrera sig. Finns inte detta kan det bli svårt att lära sig någonting. Det finns många olika faktorer som påverkar koncentrationen t ex hunger, trötthet, sorg, bekymmer, nervositet mm (Illeris, 2001).
Illeris menar också att lärandet omfattar två olika processer, en process som är beroende av samspelet mellan individen och omgivningen samt den mentala processen, som bearbetar det nya med det vi redan har lärt oss (Illeris, 2001).
2.1.1 Lärandetyper
En av de tidigare teorierna om lärande är den om betingat lärande, det klassiska exemplet är Pavlovs hundar. Pavlov ringde i en klocka och gav samtidigt hundarna mat, senare får Pavlov hundarna att utsöndra saliv när han ringde med klockan, utan att ge dem mat. Genom att ringa på klockan utlöste han en betingad reflex. Länge (och framför allt i USA) byggde läroteorin på Pavlovs och Thorndykes betingning, dvs. man kunde med hjälp av belöning få elever/människor att inse och lära sig nya saker, som när Pavlovs hundar utsöndrade saliv när de hörde en klocka.
I Europa fanns det en annan inriktning som främst dominerades av Piaget och Vygotskij, som behandlar den kognitiva processen i lärandet. Piaget inför två olika begrepp från biologin nämligen assimilation och ackommodation. När det gäller assimilationen innebär det att man tar det nya och anpassar/införlivar detta till sin redan kända struktur medan man med ackommodation ändrar sin struktur så att den egna föreställningen/kunskapen passar omgivningen. I sin teori skiljer Piaget på den dynamiska (drivkraften) och den strukturella (innehållet) aspekten i lärandet. (Illeris, 2001)
Thomas Nissen har utifrån Piagets teorier utarbetat sin egen teori om lärande som han benämner kumulativt lärande. Det kumulativa lärandet är den process som sker när
människan inte har någon som helst kunskap/struktur ex. när du lär dig psalmverser utantill. Detta innebär att kunskapen inte får en vidare hållbarhet och man glömmer lätt om det inte används ofta. (Illeris, 2001)
I vardagslivet använder vi oss ofta utav assimilativt/additivt lärande. De nya kunskaperna läggs till de gamla och utvecklar dessa. Vi får en djupare kunskap och den blir stabilare. Illeris menar att skolundervisningen bygger på denna typ av lärande. Nackdelen med denna typ av lärandet är att den är/blir situations- ämnesberoende. Eleverna kan inte använda kunskaperna i matematik i fysik/kemi då de inte ser sammanhanget. (Illeris, 2001)
Det ackommodativa lärandet kan vara en energikrävande process. Denna form av lärande innebär att den gamla kunskapen byts ut mot ny. Ibland kan det ske ganska lätt, (man får en snilleblixt) men ofta krävs det mycket möda och besvär. Man försöker anpassa det nya till det man kan och stöter på hinder, ändrar lite försöker på nytt stöter på hinder osv tills det fungerar. Denna process kan innebära att man inte orkar och drar sig tillbaka och inte vill lära sig något nytt, men orkar man fortsätta blir kunskapen förståelig och mer hållbar. Det assimilativa lärandet och ackommadativa lärandet går ofta hand i hand. D.v.s. man anpassar det nya till det gamla tills det inte går längre och då tvingas man ändra på sina kunskaper. Denna typ av kunskap är också väldigt individuell (Illeris, 2001)
På den senaste tiden har det uppkommit ett behov av en mer krävande och komplicerad läroteori. Denna teori nämner Illeris som transformativt lärande (det finns olika namn men grundteorin är densamma), vilket innebär att ett flertal strukturer omstruktureras. Denna typ av lärande/situation är något ”man bara ger sig i kast med när man står inför en situation eller utmaning som överskrider vad man utifrån sin nuvarande personliga grundval klarar av, men som man ändå måste klara av och övervinna om man ska komma vidare. Det rör sig alltså om en kris, ofta av existentiell karaktär.” (Illeris, 2001, s. 64)
2.2 Allmänt lärande om matematik
I början av 1900-talet började man forska i matematisk problemlösning. Edward Thorndike menade att man inom problemlösning bröt ner bitarna till den minsta beståndsdelen inom problemet och att bästa sättet att lära sig detta vara att öva och öva. Den så kallade associationsteorin. Enligt associationsteorin bygger all inlärning att vi från början gör slumpartade försök,(trial and error). Dessa slumpartade försök försvinner så småningom och ger plats för de korrekta försöken. De felaktiga associationerna hr fått ge vika för de korrekta
associationerna. Detta har påverkat den svenska matematikundervisningen mycket och vi har mångt och mycket kvar den mekaniska undervisningen på våra lektioner.
Ungefär samtidigt växte en annan teori fram i Tyskland. Den s.k. gestaltpsykologin. Här menar man att situationer tolkas på ett visst sätt och att vi som människor organiserar och strukturerar vår omgivning på ett visst sätt. Vi har gestaltningslagar som styr hur vi organiserar vår omgivning. Ett exempel är den s.k figur-grund-relationen, dvs vi uppfattar olika figurer mot en bakgrund. Vår uppfattning är selektiv och vi uppfattar inte allt utan vi sorterar bort vissa saker. Ex när vi läser en bok eller tidning ser vi orden mot bakgrunden och inte enbart bokstäver.
Vid mitten av 1900-talet började man intressera sig för de individuella skillnaderna. Utgångspunkten ligger i Louis Thurstones forskning och man ansåg att matematisk begåvning var en stabil egenskap och att vissa hade det och vissa inte. Richard Sternberg utvidgade detta under 1980-talet, där han tittade på vad som utmärker ett intelligent handlande. ”Han uttrycker att det som kan betecknas som ett intelligent beteende i ett sammanhang eller i en kultur kanske är irrelevant eller ointelligent i en annan” (Ahlberg, 1995)
Gudrun Malmer menar att det finns olika nivåer när man lär sig matematik:
Tänka- Tala. Här måste vi utgå från elevernas nuvarande nivå och skapa förutsättningar för att föra utvecklingen vidare. Uppgifterna måste ge eleverna en chans att öva sitt tänkande och sitt ordförråd inom det matematiska området. De måste ges tillfälle att prata matematik. En annan nivå är: Göra-pröva. Det finns inte bara en väg till kunskap. Eleverna behöver få konkretisera övningarna på ett meningsfullt sätt. Vid bråkinlärning underlättas det ex se en
halv skrivet i siffror (!!) och samtidigt dela ex .ett äpple. Det här med att dela äpple vid prat
om bråk för oss in på den tredje nivån: Synliggöra. Att själva få skapa en representationsform
förenklar för eleverna att ta steget till abstraktion (dela äpple, !!). Det är viktigt att elevernas
egna som styr, som omvandlas till förståelse. Nästa nivå är Förstå-Formulera. Här måste eleverna få en förståelse utifrån sina egna upplevelser och inte andras. Eleven måste själv få vara med och dela äpplena och inte höra om någon annan som delat ett äpple. Den femte nivån som Malmer nämner är Tillämpning. För att kunna tillämpa det eleverna lärt sig inom andra områden som inte stämmer riktigt överens med lärsituationen måste de ha en förståelse.
nivån är Kommunikation. Vi lärare måste få eleverna att förstå hur mycket matematik det finns i vår värld. Vi kan inte tillaga en måltid utan att använda oss av otroligt mycket
matematik ex !! dl mjöl mm. (Malmer, 1999)
Skolverket tar upp i sin rapport Svenskar elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007 två olika kunskaper såsom procedurell och konceptuell kunskap. Inom den procedurella kunskapen fokuserar man på hur man går tillväga för att lösa olika problem och inte på förståelsen. Medan den konceptuella kunskapen fokuserar på förståelsen för olika matematiska procedurer och begrepp (Skolverket 2008b).
2.3 Matematik och språk
Enligt Piaget har språket en viktig roll i lärandeprocessen. Det är nödvändigt att bearbeta saker och ting språkligt för att man ska kunna befästa och utveckla olika begrepp. Om man då tänker sig att undervisningen sker på ett annat språk som inte behärskas till fullo. Då blir detta ett hinder i inlärningen på grund av att de inte förstår innebörden men de kan heller inte kommunicera och därmed utveckla sin begreppsförmåga. (Rönnberg & Rönnberg, 2001)
Även Gudrun Malmer tar upp vikten av språket i matematiken. Det finns många ord som används för att jämföra tyvärr en del som används felaktigt (ex mindre). Sedan finns det ord som är typiska matematikord som bara används i matematiken (ex addera, subtrahera). Det är viktigt att läraren använder dessa matematikord, gärna i kombination med dess betydelse, för att eleven ska få en ökad förståelse för dessa. (Malmer, 1999)
Med den moderna tekniken har vi fått hjälpmedel som hjälper oss att lösa krångliga och svåra beräkningar på ett snabbt och ganska smärtfritt sätt. I och med detta har språket inom matematiken fått en allt mer viktig roll. Vi måste med språkets hjälp få en förståelse för hur de matematiska processerna fungerar, vad som menas med de matematiska begreppen. Språket blir allt mer betydelsefull för oss som hjälp med att förstå, värdera och använda information. Något som är viktigt i ett fungerande och demokratiskt samhälle. (Malmer 1999)
2.3.1 Andraspråksinlärning
Litteraturen visar på att matematik är ett komplicerat ämne som inte bara innehåller siffror och tal, utan att även språket spelar stor roll i matematiken. Man kan till och med säga att matematik är ett andra språk. (Malmer, 1999) Symbolerna är ett språk för sig och de är inte så självklara som man kan tro. I och med detta samt att vi med dagens ökade rörlighet, gör att vi möter allt fler elever med svenska som andraspråk i våra skolor, gör att vi borde titta lite
extra och se hur andraspråksinlärning sker. Att sedan matematikens ordknappa och precisa språk skapar problem med förståelsen liknande de som har ett annat modersmål än svenska är ännu en bidragande orsak till att ha en viss insikt i andraspråksinlärning. (Löwing, 2005)
En sak som kan underlätta detta är att i början fokusera på innehållet av det som lärs ut och låta det formella stå åt sidan utan att man låter det ske på språkets bekostnad. (Löwing & Kilborn, Kulturmöten i matematikundervisningen- exempel från 41 olika språk, 2010)
2.4 Undervisning av matematik i klassrummet
När det gäller undervisningen av matematik har många en föreställning om att matematik är ett ämne som det är lätt att undervisa i. "Det finns bestämda reglar för hur man arbetar och det finns läromedel som ger all information som behövs." (Löwing, 2006, s. 9). Nu är det inte riktigt så då undervisningen är ganska komplex. Man ska som lärare tillgodose alla elevers olika behov och förmågor. Som lärare måste man behärska olika teorier för området man ska undervisa i, olika språk och sätt att kommunicera ämnet samt olika arbetsformer. (Löwing, 2006)
När det gäller språket i matematikundervisningen måste detta fungera. Ett problem som matematiken har är att språket är ganska kortfattat men ändå innehållsrikt. När man lär sig Pythagaros sats är det ofta med formuleringen "I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kateternas kvadrater." I denna mening finns väldigt mycket information, med ganska många matematiska termer. Dels måste man veta vad kateter, hypotenusa mm är. Dessutom har ordet kvadrat två olka betydelser.
Att vi i matematiken dessutom använder oss av vanliga vardagsord men ger dem en liten annorlunda betydelse gör det inte särskilt lättare ex "När man på bussen eller spårvagnen läser att det är förbjudet att äta varmkorv och glass så betyder det att man varken får äta glass eller varmkorv. Inom matematiken betyder samma text att man inte får äta glass eller varmkorv samtidigt.” (Löwing, 2006, s. 145).
När det gäller undervisningen i matematik har många lärare undvikit det matematiska språket för att underlätta det för elverna. Detta är inte rätt väg att gå utan vi måste lära oss att förklara de matematiska termerna på ett sätt som ser till att utveckla elevernas kunskaper och förståelse i matematik och de matematiska termerna. Får inte eleverna förståelse för de matematiska termerna blir det svårt för elever att lösa uppgifter där de matematiska termerna nämns. (Löwing, 2006)
När det gäller förmedling av språk och strategier är det viktigt att det är läraren som förmedlar detta till eleven. Nu för tiden har det tyvärr skett en förskjutning och det är läroböckerna som står för förmedlandet. Man måste som lärare vara ganska medveten om vilket språk man använder och hur man använder det. Man ska kanske inte undvika de svårare termerna men vi ska hjälpa dem att förstå och använda de korrekt i matematiken. (Löwing, 2006)
Man måste också vara noga med att introducera ett ord/begrepp ordentligt och ta med hela betydelsen. Ett klassiskt exempel på detta är "Lika med (=)". Många tolkar detta tecken som det blir ex 3+5=8 (tre plus fem blir åtta), istället för att tolka det som om det är lika många på båda sidor om tecknet. Har de inte förstått den rätta innebörden skapar det problem när de ska börja med ekvationer. (Löwing, 2006) Att då presentera likhetstecknet som de gjorde i GUMA projektet, där de fick tala om likheter i längd eller olikheter i längd gör det hela lättare och en del missförstånd kan då försvinna. (Malmer, 1999)
Under många år har det funnits en tendens att undvika att undervisa det som är svårt något som tyvärr ger bakslag. I boken Matematikundervisningens dilemma ger Madeleine Löwing exemplet/problemet gällande bråkräkning. Många tycker bråkräkning är svårt. Istället för att ge eleverna verktyg att abstraktisera delar (de flesta barn kan räkna bråk om du pratar äpplen eller apelsiner) så får elever lära sig att omvandla bråk till decimaltal och räkna dem så. Detta är inte särskilt lyckat eftersom om man missar ett moment i ett tidigare skede/årskurs kommer det för eller senare dyka upp och med stor sannolikhet orsaka ett större problem. (Löwing, 2006)
Miljön i ett klassrum kan verka vara ganska enkel och välorganiserad men det är långt ifrån verkligheten. Istället är det en mångfacetterad och komplicerad miljö där det händer mycket samtidigt. I denna miljö finns läraren med olika krav, behov intressen mm. Det är som om läraren spelar schack samtidigt med 20 elever och alla har egna regler. Löwing tar i sin bok upp sex olika faktorer som tar upp komplexiteten i klassrummet,
• det mångdimensionella (varje människa i klassrummet upplever olika händelser),
• det simultana (händelserna sker samtidigt i klassrummet och läraren är den människa
som ska ta hand om detta, oftast med otillräckliga resurser),
• tidsaspekten (problemen som uppstår i ett klassrum måste nästan alltid lösas under
• det oförutsedda (det är svårt att veta vad som kan hända, vad man behöver då
eleverna har olika "ryggsäckar" med sig)
• det offentliga (man har alltid en publik i klassrummet),
• historieaspekten (i gruppen uppkommer med tiden egna rutiner, normer och regler
som finns i det tysta och är därför svåra att ändra och upptäcka).
Vi måste som lärare vara medvetna om dessa faktorer och deras betydelse. Vad som är värt att notera är att dessa gäller för alla lektioner. En matematiklärare måste också kunna förmedla ämnets innehåll. Det gäller inte bara att ha bra ämneskunskaper utan man måste som lärare också ha en bra kunskap i matematikens ämnesdidaktik för att kunna välja bra vägar/redskap för att nå varje elev. (Löwing, 2006)
2.5 Likhetstecknet
En av våra viktigaste begrepp/symboler är likhetstecknet. (Malmer, 1999) Den används frekvent och är en källa för missuppfattningar. En felaktig synonym som oftast används i samband med likhetstecknet är blir. (Malmer, 1999)
Att förstå bergreppet likhet och likhetstecknets betydelse är något som kommer in tidigt i matematiken.
Många elever har dock svårt att förstå och använda likhetstecknet korrekt. Många elever har den dynamiska uppfattningen där 3+5=8 läses/uppfattas som blir. Det blir komplikationer i senare led då de ska lösa ekvationer (Bentley, 2013).
Redan i förskoleåldern visar barn att de missförstår likhetstecknet. Vid försök i förskoleklasser fick några barn lösa problemet 4+5= +6 och de flesta svarade då 9. När läraren sedan visade exemplet med kuber hade barnen inga som helst problem med att tala om att den sida som hade två högar med sex och nio kuber hade flest kuber. De kunde också ordna så att det blev lika många kuber på båda sidorna. När de efter denna övning fick uppgiften med likhetsecknet, svarade de trots detta att siffran bakom likhetstcknet ska vara nio. Denna undesökning visar att barn kan förstå likhet men att symbolen för likhet är något som är svår att förstå. Likhetstecknet är för många en symbol för räkna ut/blir istället för att att symbolisera är lika. (Falkner, Levi, & Carpenter, 1999)
Att likhetstecknet står för räkna ut blir är något som tyvärr förstärks av räkneböckerna som ofta bara är av typen 5+3=8 eller 10-3-5=2. (Falkner, Levi, & Carpenter, 1999)
I artikeln ”Substitution and sameness: Two components of relational conception of the equal sign” beskriver författarna förståelsen för likhetstecknet med följande tabell:
”level Description
4. Comparative relational
Explicity view ”=” as a relation signaling that the same value is on each side and able to define it as such. Accept a wide range of arithmetic equation types. Draw on arithmetic principles ( commutativy, associativity, and inversion) in order to evaluate and solve equations in terms of their structural proporties, for example, recognize that 3+5=5+3 and 6+9=7+8 are true by drawing on the commutative and assosiative properties of addition, respectiverly
3.Basic relational
Implicity view ”=” as a relation signaling that the same value is on each side but unable to define it as such. Accept a wide range of arithmetic equations as properly formed, including those with expressions on both sides
2.Flexible operational
View ”=” as an operator. Accept as properly formed equations that contain a result on at least one side of the equals sign
1.Rigid operational
View the symbol ”=” as an operator. Consider only canonical equations to be properly formed.”
(Jones, Inglis, Gilmore, & Dowens, 2012)
Tabellen tar upp fyra olika nivåer. Befinner sig eleven på nivå ett betrakta de likhetstecknet som blir, eleverna räknar tre plus fem blir åtta. På nivå två är eleverna lite mer flexibla. De räknar antingen tre plus fem är åtta, men kan även vända på operationen och säga att åtta är tre plus fem. Befinner sig eleven på nivå tre betraktar de likhetstecknet som en jämviktssymbol. Det är samma värde på båda sidor likhetstecknet. Kan lösa räkneoperationer från båda sidorna. Tre plus_____ är lika med åtta, åtta är lika med tre plus _____. På nivå fyra har eleven den korrekta förståelsen för likhetstecknet. De kan hantera operationer såsom sex plus nio är lika med sju plus åtta.
De menar också att mycket litteraturforskning har tagit upp likhetstecknet samma/lika mycket. D.v.s. att på båda sidorna är det lika många, det är samma. Men Jones, Inglis, Gilmore och Owens menar att det också finns en ersättningssida också av likhetstecknet. Ex om a=b och b=c kan a ersätta b och a=c. (Jones, Inglis, Gilmore, & Dowens, 2012)
Varför är det då så viktigt att förstå likhetstecknet? Räcker det inte med att känna till att det fem plus tre blir åtta. Jones, Inglis, Gilmore and Jones menar att den djupa förståelen för likhetstecknet behövs för att kunna gå vidare i den högre matematiken. (Jones, Inglis, Gilmore, & Dowens, 2012). Även Falkner. Levi och Carpenter tar upp hur viktigt det är att förstå likhetstecknets betydelser för likhet/jämvikt. Utan förståelsen för jämvikt blir ekvationer som ex 2x+15=48 svåra att lösa. Tror man att likhetstecknet innebär en räkneoperation blir stegen att ta minus 15 på båda sidorna likhetstecknet en obegriplig operation och därför kan proceduren för att lösa ekvtioner bli svåra att komma ihåg. (Falkner, Levi, & Carpenter, 1999)
2.6 Sammanfattning
Matematik har ansetts som ett ämne som är lätt att undervisa i och att det finns böcker som behandlar allt. Men matematik är ett komplext ämne som stundtals kan klassas som ett andra språk. Som lärare måste du tillgodose många olika nivåer där eleverna befinner sig, samtidigt som du måste kunna visa/kommunicera ämnesområdet på olika sätt, då man kan lära sig på olika nivåer såsom, tänka-tala, göra-pröva, synliggöra, förstå-formulera, tillämpning samt kommunikation. Där är mycket inom matematik som kan missförstås t ex likhetstecknet.
Likhetstecknet som används frekvent i matematiken orsakar också mycket missförstånd. Många läser likhetstecknet som blir ex 3+5 blir åtta istället för att 3+5 är lika med åtta. Missuppfattningen med likhetstecknet börjar redan i tidig ålder men det är själva symbolen för likhetstecknet som de missförstår och inte jämviktsbetydelsen som de visar förståelse för. Vikten av att förstå likhetstecknet på rätt sätt är av största betydelse för att kunna komma vidare i den högre matematiken.
3. Teoretisk förankring
3.1 Assimilativt lärande
Piaget, som under en lång tid dominerat vår uppfattning om hur barn tänker och lär, var biolog i grunden och därför har mycket av hans observationer har en biologisk grundsyn. Han menar att det är i 6-7-årsåldern som förmågan och behovet av att börja förstå det fysiska och sociala regelsystemet uppstår. I den åldern tillkämpar de sig mönster som t ex antalsuppfattning såsom att det blir färre klossar om man tar bort några. Detta kallar han de konkreta operationernas stadium. I denna ålder uppstår tankemönster som får dem att inse att trots förändringar blir allt som det varit förut. Piaget menar att lärandet är ett samspel mellan de två "mekanismerna" assimilation och ackommodation, där assimilation innebär att vi tar det nya vi lär oss och inordnar det till det gamla vi redan kan. Enligt Piaget finns det fyra olika slags assimilation, där ett stadium är upprepande; man upprepar en sak/rörelse om och om igen tills den fungerar smidigare och smidigare tills den blir automatiserad. Ett annat stadium är igenkännande, dvs. man tycker sig uppfatta en sak/rörelse som något man redan känner igen. Det tredje stadium är utforskande. Här utforskar man något som man känner igen delvis men inte helt. Detta innebär att det tidigare tankeschemat blir mer komplicerat. Det fjärde stadium är samordning. Här samordnar man nu tidigare rörelse-och tankescheman som tidigare fungerade var för sig men nu också fungerar tillsammans. (Egidius, 2009) Pi
3.2 Potentiellt lärande
Till skillnad från Piaget som var biolog var Vygotskij psykolog och pedagog. Han var länge okänd i väst och förbjuden i öst så han blev inte känd förrän efter sin död. Vygotskij menar att vår personliga och intellektuella utveckling sker genom att språket och kulturen samspelar med våra nya och gamla uppfattningar om omvärlden. Vygotskij studerade Piaget men hade en annan åsikt angående språket än Piaget. Vygotskij menar att det egocentriska språket är en självständig funktion som har som mål att utveckla den intellektuella orienteringen, av medvetandet, utveckla förställningsförmågan och tänkandet, utveckla möjligheten till att övervinna svårigheter och hinder. Enligt Vygotskijs utvecklingsteori finns det åtminstone två stadier i ett barns utveckling, den första är barnets faktiska utvecklingsnivå, det som menas är den nivå av den psykiska utvecklingen som uppnåtts. När barnens psykiska ålder mäts är det denna utveckling som mäts. Sedan finns det en mellannivå där barnet klarar av saker som ligger över den faktiska nivån genom att härma/imitera någon eller genom vägledning, en så kallad potentiell nivå. Vygotskij menar att lärandet är det som driver den psykiska
utvecklingen. Han menar att alla kan lära sig saker och att man inte ska intelligenttesta barn för att bestämma vad de ska pyssla med. I och med denna teori får läraren en stor betydelse för elevernas lärande och utveckling. Man måste som lärare lyssna och upptäcka var någonstans eleven befinner sig i sin utveckling för att med hjälp av detta ge rätt uppgifter för att kunna leda eleven fram i sin utveckling. (Egidius, 2009)
3.3 Ackommodativt lärande
När ungdomarna kommer upp i tonåren får de förmågan att förstå och upptäcka regelsystem på en abstrakt nivå istället för som tidigare de behövde konkreta bevis för att förstå. De kan förstå om man tar 8+7 så får man 15 och om man tar bort 7 från 15 så har man 8 kvar. "Vad är det då som har hänt i utvecklingen av tänkandet? De unga har införlivat de regler för förändringar som finns i naturen och som våra handlingsmönster måste stämma överens med om vi ska kunna agera framgångsrikt i vår omvärld. De har i sitt tänkande frigjort sig från direktkontakt med föremålen i omvärlden, vilket gav tankeoperationerna ett nödvändigt stöd under närmast föregående period." (Egidius, 2009, s. 99) Piaget anser att tankar är handlingar som blivit abstrakta. "Det finns därför tydliga likheter mellan biologiska mentala, fysiska och logiska system och funktioner." (Egidius, 2009, s. 100)
För Piaget är jämvikt ett viktigt begrepp. Han menar att alla system i naturen tycks finna sig i jämvikt som rubbas för att med hjälp av mekanismer återställas till sitt jämviktsläge igen. Så länge det fungerar och råder jämvikt mellan det gamla och nya är det assimilation som gäller men när jämvikten slutar att fungera inträder ackommodation. Vi tvingas då att tolka det vi kan på ett nytt sätt. Detta sker inte på ett passivt sätt som många tror utan man måste aktivt bearbeta det nya med det gamla som vi redan kan.
Vygotskij menar att det är först när barnen kommer upp i skolåldern som de har ett behov av det icke-egocentriska språket och använder sig utav detta. När de kan använda sig utav det icke-egocentriska, allmänna språket, använder de sig av detta för att hantera sin omgivning efter egna önskningar och styrningar. Man kan säga att det råder ”ett dialektiskt samspel mellan barns biologiska mognande och de erfarenheter och lärdomar som de tar till sig från sin sociala och kulturella omvärld” (Egidius, 2009, s. 81)
3.4 Learning by doing
John Dewey 1859-1956, var professor i filosofi, psykologi och pedagogik. Han myntade uttrycket ”leaning by doing”. Deweys tankar om skolan var den, att som elever i skolan möter
barn en ämnesindelning där kunskapen i själva ämnet kan verka viktigare än att få en förståelse för verkligheten som ämnet ska beskriva. Målet för barnen är att de ska "bemästra kunskaperna", och detta gör man inte enbart genom att läsa i läroboken. Läroboken är ett bra hjälpmedel att ge oss kunskapen vi behöver, men för att kunna tala om en riktig kunskap måste vi vara stimulerade att aktiv söka kunskapen, i boken, ämnet mm. Dewey var en pragmatiker som menar att teorin ska betraktas som ett verktyg för att inhämta kunskap och inte som ett svar på själva frågan. Dewey ville att man skulle varva teori med praktik för att skapa ett intresse att vilja lära sig men även för att eleven skulle få en djupare förståelse för ämnet/omvärlden. Varvningen mellan teori och praktik är bara två av Deweys hörnstenar. Han menade att delaktighet och jämställdhet är lika viktiga. Är man inte delaktig och aktiv i aktiviteten blir det en börda istället för en tillgång. Även jämställdhet är något som John Dewey tar upp. Han menar att både chefer och arbetare, teoretiker och praktiker behövs. (Egidius, 2009).
3.4 Sammanfattning
Enligt Piaget finns det två olika inlärningsfaser. Assimilation som kan delas in i fyra olika steg, upprepande, igenkännande, utforskande och samordning. Men en djupare förståelse kommer vid ackommodation. Piaget menar att assimilativt lärande står för en grundare inlärning och ackommodativt lärande står för den djupare inlärningen.
Vygotskij menar att alla kan lära sig saker. Under sin inlärningsfas finns det en potentiell nivå där barnen klarar av saker som ligger över sin faktiska nivå genom att imitera någon. Man måste som lärare hitta elevens utveckling och med rätt uppgifter leda den vidare i nivå.
John Dewey myntade uttrycket learning by doing. Han menar att man ska varva teori med praktik för att skapa ett intresse för eleven att vilja lära sig men också för att eleven ska få en djupare kunskap.
4. Metod
4.1 Val av metod.
För att analysera den data som samlats in har jag att välja mellan kvantitativ och kvalitativ metod. En kvantiativ analys hade främst givit mig svar som hur ofta och hur mycket. Med en kvalitativ undersökning får jag djupare svar och kan analysera dessa mer. (Esaiasson, Gilliam, Henrik, & Wängnerud, 2007) Jag har valt att använda mig utav en kvalitativ metod, där jag försökt att ha lite mer utredande frågor. Den kvalitativa undersökningen ger mig kanske inte en bredd men den ger det mig ett djup och det är djupet jag känner ger mig lite mer i detta fall än bredden. Vad är det för problem som kan uppstå? Vad kan detta innebärar för fortsatt inlärning? Hur används symboler osv?
4. 2 Urval och undersökningsgrupp
När det gäller att undersöka detta har jag valt att intervjua matematiklärare på gymnasiet eftersom det är dessa lärare som möter elever som har genomgått nio års matematikundervisning i grundskolan. Jag har valt att ge matematiklärarana en stencil med frågor (bilaga 1) där de själva skriver ner svaren på frågorna. Till denna undersökning där jag valt att fråga några få lärare. Några av lärarna undervisar på IM, där går elever som har gått ut grundskolan utan godkänt betyg i matematik går, några lärare undervisar även på IM-språkintroduktion för nyanlända elever ( elever som bott mindre än fyra år i Sverige). En del lärare undervisar i matematik 2. Orsaken till att jag valt att intervjua dessa lärare är den att jag är intresserad av hur de upplever problematiken med att elever missförstår likhetstecknet. Är det något som de har erfarenhet av och på vilket sätt kan denna missuppfattning påverka elevernas fortsatta utveckling? Genom att välja dessa lärare får jag även en mer varierad bild då dessa lärare har olika klasser och man kan då se om det är skillnad på kurser och intressenivåer.
Skolan som jag valt ligger i mellersta Skåne och känner av det minskade elevunderlaget som uppstått på grund av minskade elever i årskullarna och den ökade konkurrensen på grund av det fria skolvalet. Skolans närhet till en populär studentstad innebär ett minskat elevantal där de elever som har höga intagningspoäng oftast väljer studentstaden. Detta kan göra att de elever som väljer skolan inte har någon stor studiemotivation och kanske en del kunskapsluckor.
4.2 Datainsamling
Jag har valt att skriva ner frågor på en stencil (se bilaga 1) som jag har mailat ut till matematiklärarna på skolan. Läraren har fått fylla i svaren. Orsaken till att jag valde att maila ut enkäten är att jag tror att jag får fler svar eftersom lärarna kan göra det när de har tid istället för att vi ska försöka pussla ihop det med våra tider. Dels kan de ta sig tid och fundera över svaren i lugn och ro utan att bli stressade över att ge ett snabbt svar. I de flesta fall har svaren har gett mig tillfredställande fakta men hos någon det sedan varit någon har jag följt upp med en intervju. Någon lärare har jag intervjuat direkt. Lärarna har även kunnat nå mig om det varit något de undrat om.
4.3 Analysmetod
Jag har valt att använda mig av en kvalitativ textanalys där jag noggrant läst igenom svaren (Esaiasson, Gilliam, Henrik, & Wängnerud, 2007). Jag läst igenom alla svaren och valt ut de passager i svaren som varit viktigast och som gett mig svaren på mina frågor. Svaren har sedan behandlats anonymt. Jag har namngett lärarna informant 1, informant 2 osv när jag citerat deras svar i resultatkapitlet. Jag har inte gjort någon kvantitativ analys utan det är helt kvalitativt.
4.3 Etiska ställningstaganden
I min undersökning har jag haft de forskningsetiska principerna i åtanke. Det har varit frivilligt för de intervjuande att delta och de har kunnat avbryta sitt deltagande närsomhelst. De har också blivit informerade att det gäller ett examensarbete. När det gäller deltagarnas svar har de redovisats anonymt och svaren kommer att förstöras efter att arbetet är klart. (Vetenskapsrådet).
5. Resultat
I detta kapitel kommer jag att redovisa min undersökning enligt följande: missuppfattningar, konsekvenser och skillnad över lärarnas yrkesverksamma år.
5.1 Missuppfattningar
5.1.1 Likhetstecknet läses som blir
Det framkom i undersökningen att lärarna noterat att en del elever har missförstått likhetstecknet och tror att likhetstecknet läses/betyder blir. Detta missförstånd bidrar till att en del elever radar upp beräkningar efter varandra. Detta märks väldigt tydligt i räkneoperationer som kräver flera moment. När eleverna t ex räkna ut hur mycket fem plus
sju delat med två blir det 5 + 7 =!"! = 6 (fem plus sju blir tolv, tolv delat med två blir sex,)
när den rätta uppställningen bör se ut !!!
! = !"
! = 6 (fem plus sju delat med två är lika med
tolv, tolv delat med två är lika med sex). Det är som informant 1 skriver "Man läser från vänster till höger och tror att det som står till vänster om likhetstecknet skall BLI något som står till höger om likhetstecknet. Istället för att se det som att båda sidorna Är lika"
En annan följd av att elever läser likhetstecknet som blir, är att de kanske tror att de vid förkortning och förlängning av bråk räknar ut ett tal som blir annorlunda istället för att det rör sig om samma tal fast med olika siffror, ex man tror att !!!"#$!/!!/!!"#$ !! istället för att se att
! ! ä! !"#$ !"#$%! !"# ! ! . 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 3 1 3 1 3
Fig. 1 Tabell som demonstrerar att !! =!!
Att tro att det räknas ut ett annat tal vid förkortning/förlängning innebär att det kan bli svårigheter för eleven. Eleverna kan vid addition och subtraktion, ha svårt att förstå varför det krävs förlängning av bråk för att få gemensam nämnare.
När det gäller att få bukt på detta missförstånd är de intervjuade överens om att det är viktigt med ett korrekt språkbruk för likhetstecknet, där likhetstecknet benämns är lika med och inte blir. Att som lärare bli slarvig och använda ordet blir vid beräkningar som 3+5 blir åtta
istället för att det är lika med åtta är något som stärker missuppfattningen. Informant 4 menar att likhetstecknet är en av våra viktigaste symboler och att lärarna redan på lågstadiet måste lägga grunden för förståelsen för ett fortsatt lärande. ”Likhetstecknets betydelse bör ha hög prioritet på lågstadiet (även högre upp). Träna mycket på att uttrycka sig matematiskt o tala matematik ⟹ skriva ner det, Så de ser koppling tal-bild-formellt språk.”
Något som troligen hänger ihop med att läsa likhetstecknet som blir innebär att eleverna har svårt att läsa uppgiften från andra hållet. Eleverna är så vana vid att se beräkningar av formen 5+3=8 att när 8=5+3 dyker upp blir det en förvirring. De har svårt att se att ”åtta kan bli tre plus fem istället för att se att åtta är lika med tre plus fem oavsett vilken av leden som kommer ”först”.
Ett sätt att vända på detta är att ge eleverna fler övningar där det är omvänt i räkneleden. Både är det gäller vanliga räkneoperationer och ekvationer.
Att inte kunna hantera omvända tal ställer även det till med problem när det gäller ekvationer. Eleverna har svårt att kunna vända på uträkningar som 8=5x-12, men även ekvationer som 10-3x=5x+22. Många av eleverna väljer att flytta över x-termen till vänsterledet och får då
ekvationen 10-8x=22 för att sedan få -8x=12 och för att slutligen få −! =!"!, vilket är en stor
skillnad mot ! = −!"! då det alltid bör redovisas ett positivt x. Informant 2 beskriver det om
så att eleverna ”Ser till att de får X på vänster sida. Verkar som de lärt sig att få X på en sida men inte förstått att de måste ta plus eller minus på båda sidorna. Värst är det när det står minus framför X (ex -4x). Då blir de väldigt ställda.”
5.1.2 Radar upp flera likhetstecken efter varandra/kan bara använd ett tecken i varje operation Något som har stora likheter med att eleverna läser likhetstecknet som blir är att de radar upp beräkningar efter varandra. De skriver ner tal efter tal och skriver in ett likhetstecken mellan talen utan att se orimligheten i det de skriver. Ex 3 + 5 = 8 − 2 = 6 ∙ 2 = 12 !"#. Detta är något som informant 2 har uppmärksammat. ”Framför allt skriver de talen på rad efter varandra. De ser inte att de skriver = (är lika med). Inget kommatecken emellan som talar om att uträkningen slutar här. Som en löpande text.”
En missuppfattning som kan komma från att eleverna tror att likhetstecknet betyder blir är att de tror att likhetstecknet bara kan användas en gång i varje räkneoperation. Eleverna tror att man endast kan skriva 3+5=8 men inte 3+5=7+1=8. Vid räkneoperationer kan det ibland
hända att räkneoperationerna måste delas i flera led och därmed behövs det användas flera likhetstecken. Eleverna kan ha svårt för detta då de tror att de bara få ha ett likhetstecken. Ex
! + 5 !− ! + 3 ! − 3 = !2+ 10! + 25 − !2− 9 = !2+ 10! + 25 − !2+ 9 = 10! + 34
Här räknas det kvadreringsregeln och konjugatreglen (som dessutom parentesen behålls i ett led eftersom det finns ett minustecken framför som kan ställa till det), för att i nästa steg multiplicera in minustecknet och ta bort parentesen och i sista ledet förenkla det färdigt. Vad som är viktigt i operationer som denna är att se till att oavsett var någonstans du tittar om
likhetstecknet så ä det lika mycket på varje sida likhetstecknet. ”Några tror att !"!! =!!! =
2,5! är otillåtet skrivsätt. (På grundskolan har man ibland lärt sig att vi inte får ha flera ”=” efter varandra)” som informant 3 skrev.
De elever som väljer att läsa de svårare matematikkurserna har i regel bra koll på likhetstecknet men kan ibland blanda ihop det med ekvivalenstecknet (⟺). Ekvivalens är ett annat begrepp inom matematiken som också är viktigt. Ekvivalens är ett komplicerat begrepp som jag inte kommer att gå närmare in på här (eftersom mitt examensarbete inte handlar om det), men det betyder att om man ställer upp två påståenden så är de ekvivalenta om båda gäller åt båda hållen. Ex x=2 och 4x=8, kan skrivas x=2 ⟺ 4x=8. Dvs. om x är lika med två så är 4 multiplicerat med x(två) lika med åtta eller om 4 multiplicerat med x är lika med åtta så är x lika med två. Att detta inte är självklart förstår man av informant 3 kommentar ”Naturvetare kan ibland blanda ihop ”=” och "⟺". ”
5.2 Konsekvenser
En konsekvens om kom fram av att eleverna tror att likhetstecknet betyder blir är att de kan få svårt för ekvationer. Stegen i ekvationslösning underlättas om du har en förståelse för likhetstecknet. Förstår eleverna att likhetstecknet betyder är lika med och inte blir får eleverna en annan förståelse för de olika stegen i ekvationslösningen. Att se att 8! = 16 är ett naturligt steg vid addition av 3x på ekvationen 5! = 16 − 3! ökar förståelsen för de olika stegen vid ekvationslösning. Eleverna kan då förstå att X är lika med 2, inte att X blir 2. Det är viktigt att man är konsekvent och gör likadant på båda sidor. Att man inte som informant 3 skriver: ”Särskilt i algebra, ekvationslösning. De flyttar på X hur som helst. De följer inte det att om jag lägger till X så lägger de inte till X på båda sidor, utan bara på ena sidan. De flyttar bara över utan konsekvenser.”
Att inte förstå likhetstecknets betydelse påverkar många olika ämnesområden, det som nämndes av mina intervjuade var ekvationslösningarna men även andra områden som procent och räta linjens ekvation. Informant 6 nämner flera olika områden som eleven kan få problem med om de inte har förståelse för likhetstecknet.
Vid ekvationslösning. Räkneoperationer: Division. Om vänstra ledet består av en term och det högra av två så kan eleverna utan att blinka dividera det vänstra ledets term och endast den ena termen i högra ledet med samma tal och ändå tycka att de gjort samma sak på båda sidorna om likhetstecknet.
För många elever är procent något som de flesta tycker är svårt. De finns många begrep inom detta område att hålla reda på. Begrepp som andel, förändringsfaktor procentenheter mm. Att då ha problem med likhetstecknet också gör det mera komplicerat. Att förstå att 0,05=5 % (procent betyder hundradelar) är ganska fundamentalt för beräkningar vid procenträkning.
5.2.1 Hur öka förståelse?
För att eleverna ska få den rätta kunskapen måste lärare försöka ge eleverna strategier och skapa förståelse för matematikens symboler. Hur ska lärarna få eleverna att förstå? Att ge eleverna förståelsen för matematikens alla grundläggande kunskaper däribland likhetstecknet är något som är väsentligt för alla matematiklärare. Hur kan lärarna förbereda lektioner och övningar för att få elever att förstå vikten av likhetstecknets betydelse?
När det gäller övningarna kom det upp att övningarna skulle vara relevanta och ge eleverna ökad förståelse. Att lärarna är konsekventa i sitt språkbruk och benämner likhetstecknet med just är lika med och inget annat. De ska också arbeta mycket med likhetstecknet i de lägre åldrarna och verkligen se till att eleverna förstå vad det innebär med likhetstecknet. Men också att lärarna låter eleverna möta räkneövningar på båda leden såsom 3+5=8 och 8=3+5. Det här med att vända på uppgifterna är något som informant 4 också tycker är något som
kan öka förståelsen för likhetstecken vilket visas i citatet ”Träna på att göra uppgifter
10=___ + ___? ”
Informant 5 var väldigt tydlig om vad personen ifråga ansåg gällande mellanled.
Ta bort det här med mellanled, för elever med matematiksvårigheter klarar inte
instruktioner i flera led. De ger upp. Att räkna 13-8=3+2=5 ger en obegriplig förståelse för både minus (framför allt) men även för likhetstecknets betydelse. Det blir för abstrakt.
När det räknas med mellanled ser uträkningarna för addition ut så här: 25+32=50+7=57, eleverna adderar alltså tiotal med tiotal och ental med ental. Vid addition med tiotalsövergång blir det så här: 25+38=50+13=60+3=63.
Vid subtraktion och mellanled blir det lite annorlunda då plus kommer in i bilden ex 13-8= 3+2=5 (Här kommer trean från att mellan tio och tretton är det tre och tvåan kommer från att mellan tio och åtta har du två.) Lägg ihop detta och du får då svaret fem.) När det räknas med algoritmer ställs talen upp under varandra och följande räkneoperation fås:
Och vid tiotalsövergång fås följande räkneoperation:
(13-8=5 brukar eleverna får lära sig utantill och då behövs ingen uppställning (algoritm)
När det gäller matematiklektionerna har de traditionellt gått ut på att lärarna har en gemensam genomgång på tavlan för att sedan låta eleverna räkna tyst med övningarna i boken. Men något som kan öka på förståelsen för matematiken är laborationer. Informant 2 nämner i att laborationer kan öka förståelsen ”men också laborera lite med olika uttryck som är ”lika mycket” fast skrivna på olika sätt.”
5.3 Skillnad under lärarnas yrkesverksamma år
Lärarna som jag frågade hade upplevt en försämring. De elever som redan har svårt för matematik i form av att de har haft svårt att lära sig multiplikationstabeller har kunnat få hjälp med tabellerna i form av stencil eller att låta dem räkna på miniräknare. Nu har de som befinner sig i matematiksvårigheter en så dålig grund att stå på så oavsett om de får hjälp av tabeller eller miniräknare så är det ingen hjälp alls. De är så svaga och saknar så mycket förståelse och grundläggande kunskaper att de inte vet hur de ska angripa problemet. De
2 5 + 3 2 5 7 1 2 5 + 3 8 6 3
blandar ihop plus och minus mm. Att inte kunna de grundläggande kunskaperna såsom likhetstecknets betydelse gör att eleverna ger upp och känner sig ganska värdelösa. Informant 5 har märkt en förändring och då framför allt för elever som befinner sig i matematiksvårigheter:
Ja de har aldrig varit så dåliga som nu. Jag har aldrig som mellanstadielärare och specialpedagog undervisat i mellanled. Eleverna i matematiksvårigheter var dåliga för, men de hade inga bekymmer med likhetstecknet som nu. Då hade de mer bekymmer med t ex multiplikationstabellen. Då kunde man ge dem tabeller eller miniräknare. Men nu spelar det ingen roll för de vet inte hur man ska göra.
5.4 Sammanfattning
När det gäller missuppfattningar angående likhetstecknet nämner lärarna att eleverna läser likhetstecknet som blir. Det tror 3+5 blir 8 istället för att 3+5 är lika med 8. En annan missuppfattning, som bygger på den förra, är den att de radar upp likhetstecknen efter varandra. Men det förekommer också den missuppfattningen att det bara kan används ett likhetstecken i varje räkneoperation.
Att inte förstå likhetstecknets betydelse innebär att eleverna får svårt som räkneområden såsom ekvationer, procenträkning mm. Eleverna har svårt att förstå de olika stegen i ekvationslösningar och är inte konsekventa i sina steg och gör olika på båda sidorna om likhetstecknet. Lärarna var också överens om att ett korrekt språkbruk när det gäller likhetstecknet är att föredra för en ökad förståelse.
Elevernas resultat i matematik har blivit sämre under lärarnas yrkesverksamma år. Eleverna har brister i förståelsen för likhetstecknet men även bristande grundkompetens.
6 Analys
6.1 Missuppfattningar
Det framkom att lärarna har erfarenhet av elever som har missuppfattningar angående likhetstecknet. Det kan vara allt från att de läser likhetstecknet som blir till att de i högre/svårare årskurser blandar ihop likhetstecknet med ekvivalens.
6.1.1 Likhetstecknet läses som blir
Att eleverna att läser likhetstecknet i betydelsen som blir är en ganska vanlig missuppfattning och, som Falkner, Levi och Carpenter skriver, förekommer tidigt i åldrarna. När eleverna i de yngre åldrarna får räkneoperationer där de ska sätta in siffror så gör de samma misstag som elever i gymnasiet. Men får de yngre eleverna göra samma operarationer med klossar har de inga bekymmer med detta (Falkner, Levi, & Carpenter, 1999). Enligt Piaget är det i 6-7 årsåldern som förmågan att förstå antalsuppfattning uppstår. Men för att eleverna ska förstå detta behövs det konkreta bevis ex klossar. Att elever i de yngre åldern kan ha svårt för likhetstecknets betydelse kan jag tycka inte är oroväckande, det är enligt Piaget först i tonårsåldern som eleverna kan förstå saker på abstrakt nivå. Att elever fortfarande kan ha den missuppfattningen efter nio års grundskola är ganska svårt att förstå. Dessa elever bör enligt Piaget ha fått den djupa förståelsen som det krävs för att gå vidare och förstå det på en abstrakt nivå. Eleverna som inte förstår likhetstecknets jämviktsbetydelse har stannat vid en assimilation, där de mekaniskt införlivat de nya kunskaperna utan någon förståelse. Eleverna har inte fått någon ackommodation (Egidius, 2009). De elever som inte förstår likhetstecknets betydelse kan enligt Vygotskij befinna sig på den nivå där de utför något som ligger på en högre nivå genom härma lärarna. Enligt Dewey har eleverna inte fått prövat sig fram tillräckligt. Kunskap uppstår när vi prövar oss fram och blandar teori och praktik.
6.1.2 Radar upp flera likhetstecken efter varandra/kan bara använda ett tecken i varje led Eleverna skriver ner beräkningar efter varandra utan att förstå att det måste vara lika mycket på båda sidorna om likhetstecknet oavsett vilket likhetstecken i operationen du tittar på. Här är ytterligare ett bevis på att eleverna inte har nått en jämvikt i sin kunskaps utveckling utan de befinner sig fortfarande på en assimilativ nivå och inte har ackommodativ nivå.
6.2 Konsekvenser
Att inte förstå likhetstecknets betydelse kan påverka många olika områden i matematiken. Det som nämnts mycket av både litteratur och av de lärare som jag intervjuat är att det blir svårt att lösa ekvationer. Att ha en förståelse för likhetstecknets jämvikt, ökar förståelsen för ekvationslösningens olika steg, ex
3x+8=28-2x (Här addera (plus) man med 2x för att bli v med -2x för att bli av med x-termen på höger sida om likhetstecknet)
5x+8=28
5x=20 (Vi subtraherar (minus) med 8 för att samla de konstanta termerna på en plats)
X=4 (Vi dividerar med 5 för att få reda på vad ett x är lika med).
Har eleverna missuppfattat likhetstecknet är det lätt att de härmar och flyttar kors och tvärs utan att förstå varför. Enligt Vygotskijs teori ligger de på en mellannivå. De klarar av att lösa en ekvation med hjälp av härmning. De har en potentiell nivå att komma och förstå ekvationslösningens olika steg/likhetstecknet (Egidius, 2009).
Förstår man inte likhetstecknets innebörd är det svårt att förstå och kunna hantera att det är ok att lägga till 2x bara man gör det på båda sidorna. Det är som Falkner, Levi och Carpenter skriver att det är svårt och förstå varför man minskar, dividerar mm på båda sidor (Falkner, Levi, & Carpenter, 1999).
Något som hänger ihop med ekvationer är uttryck (3x+5 är exempel på ett uttryck), vilket också elever har svårt för. Uttryck nämndes inte specifikt i min undersökning men jag vill ändå nämna det här. Många elever blandar ihop ekvationer och uttryck. Jag tror att många som har svårt för likhetstecknet har svårt för uttryck. Jag har nämligen i min undervisning mött elever som blandar ihop uttryck med ekvationer. Uppgifter där de ska förenkla uttryck såsom 3x+5-x+7 görs gärna om till en ekvation så att istället för att förenkla det till 2x+12 skriver de om det till att bli 2x=12, x=6. Detta är något som är fel då ett uttryck är något som talar om att vi har en variabel (x) som kan ta vilket värde som helst och att vi kan endast beräkna värdet då vi vet vad x är lika med, och att vi då ersätter x med detta värde. Jones, Inglis, Gilmore och Downs tar upp just detta att likhetstecknet inte bara kan stå för lika mycket (på båda sidor) utan också att det finns en ersättningssida också. (Jones, Inglis,
Gilmore, & Dowens, 2012) Eleverna har inte till fullo nått en förståelse för var de gör utan härmar ekvationslösningens steg. De ligger enlig Vygotskij på den potentiella nivån.
Ett annat område många elever har svårt för bråkräkning. Bråkräkning med förlängning och förkortning är något som många elever tycker är svårt. Det är ganska abstrakt och tyvärr undviker många lärare att lära ut detta och låter elever med hjälp av miniräknare omvandla detta till decimaltal (Löwing, Matematikundervisningens dilemman, 2006). Vid addition/subtraktion av bråk med olika nämnare underlättar det om eleverna förstår att det vid förlängning alternativt vid förkortning av bråket/bråken bara är talen som skrivs om. Storleken på talet är den samma. Eleverna ”växlar” bara talet för att kunna addera/subtrahera
bråken. Ex !!+2 3= 1∙3 2∙3+ 2∙2 3∙2= 3 6+ 4 6= 7 6= 1 1
6 . Att inte låta eleverna träna på bråkräkning (med
siffror) innebär för eleverna att de inte kan gå från det konkreta tänkandet med hjälp av ex
halva äpplen till att kunna addera ihop !!+2
3. De får ingen chans att ackommodation av
bråkbegreppet (Egidius, 2009).
Procenträkning och bråk kan påminna lite om varandra då man i procenträkningen koncentrerar sig på hundradelar. Här kan missuppfattningarna i likhetstecknet få elever att få svårt att förstå att !""!" = 47 % !""!# 0,47 = 47 %. Detta kan skapa problem när eleverna vid beräkningar måste omvandla procenttalen till tal i decimalform. Eleven måste förstå att när de ska beräkna 56 % av 350 kan man inte räkna 56 gånger 350 då får man helt fel summa. Eleverna måste skriva om procenttalet (56) till decimaltal (0,56) och utföra beräkningen 0,56 ∙ 350 = 196 och inte 19600. Det är väldigt viktigt att också kunna rimlighetsbedöma beräkningarna (kommer inte gå närmare in på detta nu), för att kunna se att om de ska räkna ut strax över hälften av 550 så kan inte uträkningen bli större än själva talet vi beräknar ut ifrån.
6.2.1 Hur kan man få ökad förståelse
En av orsakerna till att likhetstecknet missuppfattas kan vara den att det som lärare är lätt att nämna likhetstecknet som blir i en räkneoperation, ex att tre plus fem blir åtta och inte att det är lika med åtta är något som stärker denna missuppfattning. Något som också stärker denna missuppfattning, enligt Jones, Inglis, Gilmore & Downes är att de västerländska matematikböckerna nästan enbart använder likhetstecknet med denna betydelse. I Kina är denna missuppfattning inte är lika utbredd. I deras läromedelsböcker används likhetstecknet tillsammans med tecknen större än och mindre än och eleverna får sätta ut rätt tecknet mellan
olika siffror. Här introduceras inte likhetstecknet i räkneoperationer förrän de har förstått likhetstecknets innebörd (Jones, Inglis, Gilmore, & Dowens, 2012) En annan metod för att inte introducera lihetstecknet för tidigt är den som The Emerson house använder sig utav. De undervisar elever i stora matematiska svårigheter och försöker också undvika en tidig presentation av likhetstecknet och introducerar gärna siffror som olika triader såsom att sju kan vara fem och två eller tre och fyra. Detta gör de genom att b la visa talen i en något pyrmidliknande figur där huvudtalet står överst (7) och de andra talen (5,2) och (3,4) står under länkade med sträck.
Fig. 2 Exempel på hur talet sju kan presenters i olika triader.
Att se siffror som olika kombinationer istället för 3+4= gör att man kan få en annan bild för siffrornas innebörd och på så sätt få en ökad förståelse för likhetstecknets betydese när den väl introduceras. Här ser man att siffran sju kan delas upp i olika mängder och att de är lika många men uträkningar eller att det blir nämns inte (Gifford & Rockliffe, 2012).
När det gäller benämningen av likhetstecknet är det lätt att hamna i fällan och säga blir/är. Här är det viktigt för oss pedagoger att inte slarva och verkligen benämna det som är lika med/är lika mycket som. På samma sätt tror jag att lärare måste vara medveten om hur man ställer frågor till elever. Istället för att fråga vad blir 4+3 bör man fråga vad 4+3 är lika med. Att vända på räkneleden mer än vad man gör nu i böcker och på genomgångar tror jag är viktigt. 7=4+3 precis lika mycket som att 4+3=7. Har eleverna den förståelsen att likhetstecknet betyder blir är det svårt att se likheten mellan de två uppställningarna 8=5+3 och 5+3=8. I uppställningen 5+3=8 (det som vi är mest vana vid att se) är det lätt att se hur deras missuppfattning hela tiden blir bekräftad och att de inte behöver ändra sin uppfattning. Så länge som det råder jämvikt mellan det vi kan och det nya vi lär oss behöver vår
7 4 3 5 7 2 5
uppfattning inte prövas. Det är när det gamla och nya hamnar i obalans som det sker en kollision och eleverna behöver ändra sin uppfattning och har inte fått en djupare inlärning. (Egidius, 2009).
6.3 Skillnad under lärarnas yrkesverksamma år
Sverige har i de senaste PISA –rapporterna sjunkit i resultat jämfört med de andra OECD-länderna (Skolverket, 2013). Lärarna som jag intervjuade hade märkt att eleverna blivit svagare i matematik och fler elever saknar grundläggande kunskaper. Många gymnasieelever har svårt att klara begrepp som eleverna bör klara av på mellanstadienivå. (Bennet &
Madeleine, 2014).
6.4 Sammanfattning
Elevernas missuppfattning när det gäller likhetstecknet innebär att de inte har fått den djupa kunskapen/förståelsen för tecknets betydelse. Eleverna måste gå från assimilation till ackommodation.
Missförståelsen för likhetstecknet innebär att de kan ha svårt för områden såsom ekvationer, procent mm. En del kan lösa ekvationer utan förståelse för tecknet men de befinner sig på en potentiell nivå.
Över åren har lärarna märkt en försämring av elevernas förståelse för likhetstecknet och matematik vilket stämmer väl överens med PISA-rapporterna.
