NATUR–MATEMATIK– SAMHÄLLE
Examensarbete i fördjupningsämnet matematik
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Uppgifter med anknytning till
matematikens historia i läroböcker
för det svenska gymnasiet
Tasks connected to the history of mathematics in textbooks
for the Swedish secondary school
Bennie de Jonge
Kompletterande pedagogisk utbildning, 90 hp Handledare: Ange handledare Datum för slutseminarium: 2019-03-15
Examinator: Peter Bengtsson Handledare: Per-Eskil Persson
2
Sammanfattning
Forskning om användningen av matematikens historia i undervisningen har pågått länge medan läroboksforskning å andra sidan är ett relativt nytt ämne. Denna uppsats rör sig i gränslandet mellan dem båda och rör specifikt uppgifter i läroböcker.
Det övergripande syftet med uppsatsen är att ta reda på vilken potential som finns i svenska läroböcker för gymnasiet att ge eleverna möjlighet att komma i kontakt med uppgifter med anknytning till matematikens historia. Efter en noggrann genomgång av aktuell litteratur inom området läroboksanalys kunde tre forskningsfrågor väljas ut, vilka besvarades bland annat med hjälp av kvantitativ innehållsanalys.
Ett urval på tjugo läroböcker i matematik för gymnasiet från fyra olika förlag gjordes. För urvalet av analysenheterna från dessa böcker behövde sedan begreppet ”uppgifter med anknytning till matematikens historia” först definieras.
Analysen visade att tre av fyra läroboksserier erbjuder ett ganska stort urval av denna typ av uppgifter. Dock finns vissa brister i hur de är fördelade mellan och inom böckerna och rörande bredden i vilka tidsperioder, kulturer och matematikområden som behandlas.
Nyckelord: läroboksforskning, innehållsanalys, matematikundervisning, matematikens
3
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 5
2 Begrepp ... 6
2.1 Matematikens historia respektive kulturhistoria ... 6
2.2 Problem och uppgifter ... 7
3 Syfte och frågeställningar ... 8
4 Litteraturgenomgång ... 9
5 Teori och tidigare forskning ... 11
5.1 Att använda matematikens historia i undervisningen ... 11
5.2 Läroboksforskning ... 12
6 Metod ... 15
6.1 Val av läroböcker ... 15
6.2 Urvalsprocess för uppgifterna – Definition av UMH ... 16
6.2.1 Uppgifter i historiska avsnitt ... 18
6.2.2 Övriga uppgifter ... 19
6.3 Totalt antal uppgifter ... 20
6.4 Kategoriseringsprocessen ... 21
6.4.1 Motivering till valda frågeställningar ... 21
6.4.2 Innehåll ... 22
6.4.3 Fördelning ... 24
7 Resultat och analys ... 26
7.1 Uppgifter efter kurs respektive läroboksserie ... 26
7.2 Uppgifternas innehåll ... 27
7.2.1 Innehåll med avseende på ämnesområde ... 27
7.2.2 Innehåll med avseende på tid och kultur ... 28
7.3 Uppgifternas fördelning ... 31
7.3.1 Exponent ... 31
7.3.2 Matematik 5000 ... 32
7.3.3 Origo ... 33
8 Diskussion ... 34
8.1 Allmän diskussion och slutsatser ... 34
8.1.1 Slutsatser ... 36
8.2 Metoddiskussion ... 37
4
8.4 Fortsatt forskning ... 39
8.5 Arbetets betydelse för min framtida yrkesroll ... 39
9 Referenser ... 40
Bilaga 1: Första litteratururvalet ... 45
Bilaga 2: Lista över inkluderade uppgifter ... 47
5
1 Inledning
Idén till detta examensarbete föddes redan i början av den kompletterande pedagogiska utbildningen för när vi började stifta bekantskap med ämnesplanen för matematik för gymnasiet var det en del som jag tyckte stack ut på flera sätt. I det centrala innehållet för samtliga matematikkurser, under rubriken Problemlösning, står det nämligen att undervisningen ska behandla ”Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria” (Skolverket, 2018a).
Att jag fastnade för detta hade flera orsaker. För det första kände jag att jag själv hade fått ta del av ytterst lite av matematikens kulturhistoria överhuvudtaget, både på gymnasiet och på universitetet. För det andra upplevde jag sedan att matematikens kulturhistoria mer eller mindre lyste med sin frånvaro under den verksamhetsförlagda delen av utbildningen. Slutligen kände jag att det här fanns spår kvar av ett gammalt bildningsideal som för övrigt inte är speciellt påtagligt i övriga styrdokument. Rätt utnyttjat borde det finnas potential att kunna utnyttja matematikens kulturhistoria exempelvis för att variera undervisningen, något som jag ville lära mig mera om, bland annat för att kunna använda i min kommande lärargärning.
Även om läroplanen fokuserar ganska mycket på just problemlösning ville jag ha en
bredare ingång där även rena proceduruppgifter behandlas eftersom även relativt enkla uppgifter om exempelvis antika talsystem kan ge en inblick i gamla kulturer. Även om mindre biografier över berömda matematiker kan vara intressanta i sig tvivlar jag på att så många elever läser dem. Så jag tror att det är mest genom uppgifter som eleverna i det svenska gymnasiet kommer i kontakt med matematikens historia. Eftersom jag upplevde att läroböckerna ofta är den främsta källan till uppgifter som ges till elever så tyckte jag att det var intressant att undersöka just de uppgifter som finns i dessa. Som blivande gymnasielärare föll det sig vidare naturligt att koncentrera sig på de matematikläromedel som finns tillgängliga för det svenska gymnasiet.
6
2 Begrepp
I detta avsnitt förklaras kort vissa begrepp som kommer att användas flitigt i denna uppsats. Först behandlas begreppen matematikens kulturhistoria och matematikens historia och om det finns någon större skillnad mellan dessa. Sedan tas skillnaden mellan problem och uppgifter upp och vilka olika typer av uppgifter det finns.
2.1 Matematikens historia respektive kulturhistoria
I ämnesplanen för matematik talas det om matematikens kulturhistoria och en ledtråd till vad Skolverket avser med begreppet finns i kommentarmaterialet till kurserna Matematik 1a, 1b och 1c:
”Ett exempel på anknytning till matematikens kulturhistoria är människans upptäckt av ett samband mellan en cirkels omkrets och dess diameter som representeras av talet π. Tanken med det kulturhistoriska innehållet är att göra matematikundervisningen mera levande och motivationsskapande, och att eleverna via matematiska problem får ta del av människorna, den tidsepok och den kultur som upptäckte de matematiska samband och begrepp som behandlas i kursen.” (Skolverket, 2018b)
Det ges här alltså bara ett konkret exempel på vad det skulle kunna röra sig om och det finns ett stort utrymme för tolkning. Men i vilket fall som helst ska eleverna ta del av den kultur som upptäckte de samband och begrepp som de stiftar bekantskap med. Matematiska samband upptäcks dock oftast inte en gång, utan flera gånger oberoende av varandra. Och det stora flertalet matematiska upptäckter som gjorts under historiens lopp har skett som svar på kulturbaserade frågeställningar av astronomisk, teknisk eller ekonomisk art. I den mestadels engelskspråkiga litteraturen som behandlar användningen av matematikens historia i undervisningen används vanligen ingen referens till culture, även när det uppenbarligen är exempel från mycket avlägsna kulturer såsom sumerernas som behandlas i en artikel.
Det är alltså mycket svårt, anser jag, att se någon skillnad mellan begreppen matematikens historia och matematikens kulturhistoria så dessa kommer att behandlas som utbytbara i denna uppsats.
7
2.2 Problem och uppgifter
Som nämndes i inledningen har jag valt att inte koncentrera mig specifikt på uppgifter av problemlösningskaraktär utan på uppgifter i allmänhet. Ett problem behöver nämligen inte nödvändigtvis vara komplicerat för att eleven ska kunna ”ta del av människorna, den tidsepok och den kultur som upptäckte de matematiska samband och begrepp som behandlas i kursen” (ibid.).
Konsekvent kommer jag att skriva om uppgifter med anknytning till matematikens
historia (förkortat UMH), en fras som lånar sin form från läroplanen men inte avser att
vara en tolkning av denna. En närmare definition av vad som menas med en UMH återkommer i avsnitt 6.2 och jag nöjer mig här med att behandla skillnaden mellan uppgifter och det jag kallar huvud- respektive deluppgifter.
Med uppgift avses i denna uppsats en fråga eller uppmaning eller en samling sådana som eleven förväntas svara på men där svaret inte följer direkt efter frågan1. Numrerade uppgifter i läroböcker är ofta indelade i flera frågor eller uppmaningar, vanligen refererade till med bokstäverna a), b), c) och så vidare. Om exempelvis en uppgift med nummer 1103 är indelad i 1103a och 1103b kommer 1103 hädanefter att refereras till som huvuduppgift, medan 1103a och 1103b kallas för deluppgifter. En fråga som inte är indelad på detta sätt räknas både som en huvuduppgift och som en deluppgift. I exempel 1 nedan finns alltså tre huvuduppgifter (1, 2 och 3) och fem deluppgifter (1a, 1b, 2a, 2b och 3).
Alla uppgifter är dock inte numrerade och hur dessa delas in i huvud- och deluppgifter behandlas närmare i avsnitt 6.3.
Exempel 1: Uppgifter från Historik: Pythagoras sats (Matematik 5000, 1c, s. 186)
1 Alltså utesluts det som brukar kallas ”Exempel” i läroböckerna. Anledningen till att detta nämns är att task i
8
3 Syfte och frågeställningar
Även om en hel del forskning bedrivits inom området läroboksanalys i Sverige har ingen specifikt behandlat användningen av matematikens historia i läroböcker. Det finns examensarbeten som tagit upp ämnet för läroböcker framtagna för den nuvarande läroplanen (Svensson, 2014; Nilsson, 2017; Eriksson, 2018) men ingen av dessa går specifikt in på uppgifterna och dessutom tas bara en del av böckerna på den svenska marknaden upp. I och med att en stor del av materialet till matematikundervisningen i den svenska skolan hämtas från just läroboken (Jablonka & Johansson, 2010; Bergwall & Hemmi, 2017) kan en undersökning av läroböckerna ge en god fingervisning om vilken sorts UMH som förekommer i undervisningen.
Syftet med examensarbetet är att via en läroboksanalys få en uppfattning om vilken potential läroböckerna på marknaden ger svenska gymnasieelever att komma i kontakt med UMH. Denna potential har i sin tur en kvantitativ och en kvalitativ sida. Kvantitativt sett beror potentialen främst på antalet UMH som finns, men intressant i sammanhanget är också hur stor vikt som läggs på sådana uppgifter i förhållande till andra. Kvalitiativt sett beror potentialen på vilka slags uppgifter som finns, någonting som givetvis kan innebära många olika saker.
Av skäl som förutom av ovanstående kommentarer kommer att framgå senare i uppsatsen (avsnitt 4 och 6.4.1) avser denna uppsats att besvara följande tre frågeställningar:
1) Hur många uppgifter respektive hur stor andel av uppgifterna i svenska läroböcker i matematik för gymnasiet är UMH?
2) Vilket innehåll har de UMH som finns i svenska läroböcker i matematik för gymnasiet?
3) Hur är dessa UMH fördelade mellan och inom svenska läroböcker i matematik för gymnasiet?
9
4 Litteraturgenomgång
Att hitta allmän litteratur om användning av matematikens historia i undervisningen var inte svårt men det visade sig betydligt svårare att hitta studier som behandlat matematikens historia i läroböcker i allmänhet och UMH i synnerhet. Ett antal artiklar om läroboksforskning hittades genom olika sökningar i Malmö universitets Libsearch. Men för att dels kunna hitta lämpliga frågeställningar, dels välja lämpliga metoder för att besvara dessa behövdes insyn i den aktuella forskningen på området. Efter inledande ostrukturerade sökningar valde jag till slut att göra sökningen på ett mer ordnat och replikerbart sätt för att vara säker på att inte missa något viktigt. För att en litteraturstudie ska kunna sägas vara systematisk ska den bland annat ”ha tydligt beskrivna kriterier och metoder för sökning och urval av artiklar” (Eriksson Barajas, Forsberg och Wengström, 2013) och ”ha en uttalad sökstrategi” (ibid.). Även om det inte är möjligt att genomgöra en helt systematisk litteraturstudie i detta fall anser jag att min litteraturgenomgång åtminstone uppfyller dessa två krav.
Eftersom kombinationen av uppgifter kopplade till just matematikens historia är ganska snäv togs även artiklar som behandlar uppgifter allmänt, eller i andra specifika ämnesområden med i grundurvalet. Närmare bestämt, de studier som togs med i urvalet är de som kan placeras i någon av följande kategorier:
A) Studier som behandlar uppgifter med anknytning till matematikens historia i läroböcker.
B) Studier som behandlar något annat urval av uppgifter i läroböcker än det i A). C) Studier som behandlar samtliga uppgifter i de undersökta läroböckerna
För att ingå i det första urvalet ska de ingå i någon av A-C, men även följande ska gälla: De ska vara Peer-reviewed samt publicerade mellan 2000 och 2018. Jag ville ha bara ha med relativt nya artiklar och året 2000 är valt eftersom en inflytelserik studie i ämnet publicerades då (Fauvel & van Maanen, 2000), vilken sammanfattade stora delar av vad som skrivits på området fram till dess. Vidare ska de handla om läroböcker på motsvarande högstadie- och gymnasienivå (eng. lower secondary respektive upper
secondary level) och endast sådana som var i bruk när studien gjordes. Eftersom jag
redan tidigt var inne på innehållsanalys med ett kvantitativt förhållningssätt föll studier utan någon sådan redovisning bort. I mitt syfte ingick inte heller att ta reda på vad
10
elever eller lärare anser om UMH vilket gjorde att studier som enbart handlade om detta uteslöts.
Som referensdatabas valdes ERIC (via EBSCO), framförallt eftersom detta är den största inom det pedagogiska området (Backman, 2016). Enligt kriterierna ovan genomfördes en litteratursökning med Peer-Reviewed: Yes och Date Published:
2000-2018 som grundläggande sökinställning. Sökord som användes var mathematics, history, education, textbook/analysis, task, exercise och problem i olika kombinationer.
Beroende på antal träffar ändrades sedan inställningen på Education Level. Eftersom det visade sig svårt att hitta lämpliga deskriptorer valde jag att inte begränsa mig till dessa, men det gav inte upphov till några större problem i form av felträffar. Task är exempelvis inte en deskriptor, utan task analysis, men det fanns lämpliga artiklar som inte hade detta som deskriptor. Jag hade också hjälp av de artiklar jag hittat innan i Libsearch för att lära mig hur klassificering i Education Level går till i ERIC.
Vid lämpligt antal träffar för abstractläsning, gick jag igenom samtliga sökträffar för att utesluta de som inte var lämpliga (se tabell 1).
Tabell 1: Sökningar i ERIC. Tal inom parentes avser dubbletter från tidigare sökningar
Söksträng (fritext) Education Level Träffar I urval
textbook AND mathematics AND task Secondary Education,
Grade 7-12, High Schools 40 10 textbook AND "history of mathematics" All 14 2 (1) textbook AND mathematics AND exercise Secondary Education 9 1 (3) textbook analysis AND mathematics Secondary Education 24 2 (6) Totalt 15 artiklar ingick i urvalet (se bilaga 1) men av artiklarna i kategori B var sedan en del svåra att använda eftersom kategorierna i dessa visade sig vara alltför anpassade till respektive ämne för att vara användbara i mitt fall.
Jag sökte också efter lämpliga konferensbidrag i de konferensrapporter från år 2000 och framåt som jag hittat på internet (se bilaga 1). Av konferensartiklarna kan särskilt Clark, Kjeldsen, Schorcht, Tzanakis och Wang (2016) nämnas då den tar upp det som hänt på området sedan år 2000. Vidare utgick jag från referenslistorna på de funna artiklarna för att hitta flera lämpliga artiklar, dock inte systematiskt.
Slutligen sökte jag även i Nationellt centrum för matematiks (NCM) databas över svenska avhandlingar på sökorden ’problem’, ’task’ och ’uppgift’ och Google användes med tyska sökord som Mathematikgeschiche tillsammans med Unterricht.
11
5 Teori och tidigare forskning
För detta arbete är forskning från främst två områden relevanta: Forskning som behandlar varför och hur matematikens historia kan användas i undervisningen och forskning om läroböcker i matematik. Den förra tas upp i avsnitt 5.1 och den senare i avsnitt 5.2.
5.1 Att använda matematikens historia i undervisningen
Tanken att använda matematikens historia som ett didaktiskt verktyg i matematikundervisningen är inte ny utan härstammar från slutet av 1800-talet (Furinghetti, 2012). En mera systematisk forskningsansats på området tog dock fart på 70-talet när en särskild grupp med detta ämne i fokus bildades i anslutning till konferensen International Congress on Mathematical Education (Clark m.fl., 2016). I slutet av 90-talet tillsattes en arbetsgrupp av ICMI (International Commission on Mathematical Instruction) som skulle göra en sammanställning av arbetet på området. Denna arbetsgrupp publicerade sina resultat i det inflytelserika verket History in
Matematics education – The ICMI Study (Fauvel & van Maanen 2000).
Frågan om varför matematikens historia ska användas i undervisningen är givetvis central och bara hur argumenten ska delas in har diskuterats flitigt (se ex. Tzanakis & Arcavi, 2000; Jankvist, 2009). Enligt Vittori (2018) råder dock fortfarande oenighet om vilka ramar och metoder som ska användas i den empiriska forskningen i ämnet.
Den indelning som ska bilda grund för detta avsnitt är dock den som ges i Fried (2014). Enligt honom kan anledningarna som getts under den senaste tiden delas in i tre ”teman”: Motivationstemat, läroplanstemat och det kulturella temat.
Motivationstemat innehåller alla hänvisningar till att användningen av matematikens historia på något sätt ökar elevernas motivation och intresse för att arbeta med matematik i allmänhet och med specifika problem i synnerhet. Motivationen ska ökas genom att till exempel se att matematiken är ett mänskligt ämne och inte en samling en gång för alla givna sanningar. Matematiken har historiskt sett varit fylld av problem och återvändsgränder och även de största matematikerna hade problem med just det som eleverna för tillfället ska lära sig (Tzanakis & Arcavi, 2000). Som Fried (2014) påpekar är ett problem med detta att det på något sätt är underförstått att matematiken skulle
12
vara tråkig i sig. Dessutom riskerar själva historien i sig att förvanskas om den bara läggs på matematiken som ett sätt att roa.
Läroplanstemat har fått sitt namn efter att matematikens historia här behandlas på ett sätt som gör det enklast möjligt att förena med läroplanen. Exempelvis kan den användas som en källa till problem som passar in i det som för tillfället behandlas i läroboken. Det finns dock andra mer ”krävande” varianter av detta, där läroplanen i stället i hög grad ska anpassas efter matematikens historia. Detta kan motiveras av exempelvis Brousseaus tankar om att så kallade epistemological obstacles som står att finna i matematikens historia även framkommer i elevernas egen utveckling mot matematiskt vetande (Brousseau, 1997). Genom att studera matematikens historia går det alltså att lära sig hur dessa hinder kan, inte undvikas, men övervinnas i klassrummet. Det sista av de teman som Fried nämner är det så kallade kulturella temat. Här handlar det om den grundläggande inställningen att matematik är en kulturell verksamhet och att matematiken egentligen inte går att separera från dess historia.
5.2 Läroboksforskning
Början av studierna av läroböcker i matematik är av ganska sent datum. Först på 80-talet började forskare inse att detta var ett förbisett ämne som borde utvecklas (Fan, Zhu & Miao, 2013) och i samband med TIMSS-studien på 90-talet gjordes stor jämförande studie av läroböcker i matematik från drygt 40 länder (Valverde, Bianchi, Wolfe, Schmidt & Houang, 2002). Under senare år har det dessutom hållits två internationella konferenser på området(Schubring & Fan, 2018).
Enligt Valverde m.fl. (2002) kan läroböcker ses som en medlare mellan den avsedda och den genomförda läroplanen2. Den avsedda läroplanen är läroplanen som den
uttrycks i styrdokumenten baserat på bland annat politiska och administrativa ställningstaganden. Här ingår alltså ämnesplanen där det står att problemlösning med anknytning till matematikens historia ska ingå i undervisningen. Den genomförda
läroplanen är istället den faktiska genomförda undervisningen på klassrumsnivå
(Johansson, 2003). Läroboken är en medlare mellan dessa två nivåer i den meningen att ämnesplanen i denna har tolkats och fått en struktur som kan omsättas i praktisk undervisning. Frågan återstår sedan hur stor del av läroboken som verkligen används
2 Begreppen förekommer inte i svenskspråkig litteratur och jag har här använt direktöversättning från lexikon.
Det sker då ofrånkomligen vissa meningsförskjutningar. Originaltermerna för medlare, avsedd läroplan, genomförd läroplan samt potentiellt genomförd läroplan är mediator, intended curriculum, implemented
13
samt hur de delar som används tillämpas. Av denna anledning kallar Valverde m.fl. (2002) läroboken för den potentiellt genomförda läroplanen.
Det har genomförts en hel del forskning om läroböcker i matematik i Norden generellt (Grevholm, 2014) och i Sverige specifikt (Jablonka & Johansson, 2010). Dock verkar ingen ha sysslat med just förekomsten av matematikhistoria i dem i Sverige. Jag har hittat artiklar som behandlar läroboksanalys i ljuset av hur matematikens historia används i dem baserat på läroböcker från bl. a. Polen (Lakoma, 2000), Norge (Smestad, 2002), Danmark (Jankvist, 2008), Grekland (Thomaidis & Tzanikis, 2010; Xenofontos & Papadopoulos, 2015), Turkiet (Eren, Bulut & Bulut, 2015) och Tyskland (Schorcht, 2018a). Oftast gäller det dock allmänna översikter över det matematikhistoriska materialet i böckerna och inte uppgifter enbart.
De flesta artikelförfattare som väl koncentrar sig på att undersöka uppgifter i ett visst antal läroböcker gör någon form av urval av uppgifter eftersom motsatsen ger ett enormt antal uppgifter att gå igenom och kategorisera. Exempelvis specificeras ämnesområde samt något ytterligare krav beroende vad som ska studeras. Givet urvalet ska sedan lämpliga kategorier bestämmas utifrån frågeställningen. Av de som förekommer i litteraturen är många tillämpbara enbart på just det specifika urvalet medan andra är mera allmänna. Av de kategoriseringar som jag anser vara tillämpbara på UMH enligt min definition kan nämnas följande, baserat på vilken fråga den besvarar (om de sedan är lämpliga eller intressanta i sammanhanget behandlas i metodavsnittet):
Vilket matematiskt innehåll har uppgiften?
Glasnović Gracin (2018), som har kategoriserat hela 22 000 uppgifter från ett antal kroatiska läroböcker, delar exempelvis in uppgifterna i ämnen efter hur detta görs i de österrikiska s.k. Standards. Dessa Standards fastställer vilka matematiska kompetenser som eleverna ska ha uppnått vid specifika årskurser (Institut für Didaktik der Mathematik, 2007). En av dessa anger ämnesinnehåll och är indelad i fyra kategorier. Uppgifterna delas sedan upp mellan underkategorier och årskurs av Glasnović Gracin.
Finns tillräckligt med information för att lösa uppgiften?
Denna kategorisering avser att visa om en uppgift innehåller precis så mycket, mindre eller mer information än vad som behövs för att lösa uppgiften och används exempelvis av Wijaya, Heuvel-Panhuizen och Doorman (2015) i deras analys av kontextbaserade uppgifter i indonesiska läroböcker.
14 Vilken typ av kognitiva krav ställs på eleven?
Denna kategorisering är central i många av artiklarna och kommer att behandlas i detalj i avsnitt 6.4.1.
Är frågan öppen eller sluten?
Detta avser helt enkelt om det finns flera eller bara ett möjligt svar på frågorna. Detta är mycket enkelt att kontrollera snabbt och passar därför bra i analyser som innefattar ett mycket stort material, såsom de vilka utförts av Zhu och Fan (2006) respektive Glasnović Gracin (2018).
Hur är uppgiften placerad?
Detta kan besvaras med många olika kategoriseringar. Brehmer, Ryve och Van Steenbrugge (2016) som behandlat problemlösningsuppgifter i svenska läroböcker för gymnasiet skiljer mellan om uppgiften befinner sig i mitten, början, eller slutet av ett kapitel. Wijaya m.fl. (2015) skiljer istället mellan om uppgiften finns före eller efter det textavsnitt som förklarar den.
Vilken kultur är det matematikhistoriska materialet hämtat från?
Ju, Moon och Song (2016), vilka gjort en läroboksanalys av sydkoreanska böcker för årskurs 7, delar in matematikhistoriska referenser, inklusive uppgifter, efter om de är europeiska, icke-europeiska eller multikulturella. Det sistnämnda avser uppgifter som på något sätt gör kopplingar mellan matematik som utvecklats i olika länder eller folkgrupper.
15
6 Metod
Den metod som kommer att användas är kvantitativ innehållsanalys, vilket “är ett angreppssätt när det gäller analys av dokument och texter som på ett systematiskt och reproducerbart sätt syftar till att kvantifiera innehållet utifrån kategorier som bestämts i förväg” (Bryman, 2018, s. 359). Ett alternativ till detta för min andra frågeställning rörande innehållet i UMH hade varit att se på materialet på ett förutsättningslöst sätt och med så kallad kvalitativ innehållsanalys istället skapa kategorierna ur datan enligt vissa bestämda regler. Jag upplevde dock att det inte skulle kunna genomföras inom ramen för detta examensarbete p.g.a. av tiden det skulle ta att sätta sig in i teorin och sedan utföra det hela. Som jämförelse kan nämnas att en hel doktorsavhandling har ägnats att göra något liknande för tyska läroböcker3.
I detta avsnitt visas först hur valet av läroböcker gjordes (6.1). Därefter beskrivs i detalj vad som avses med ett UMH och hur dessa söktes upp (6.2). För att besvara den första frågeställningen angående andelen uppgifter som är UMH behövde även det
totala antalet uppgifter räknas. Hur detta gjordes och vilka avvägningar som var
nödvändiga tas upp i avsnitt 6.3. I avsnitt 6.4 behandlas därefter först hur just frågeställning 2 och 3 valdes ut baserat på litteraturen och praktiska hänsyn. Därefter presenteras kategorierna och själva kodningsprocessen.
6.1 Val av läroböcker
Jag valde att analysera de böcker som är avsedda att användas på naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet, d.v.s. kurslitteraturen till kurserna Matematik 1c, 2c, 3c, 4 och 5. De främsta anledningarna till att begränsa urvalet till dessa var att arbetet inte skulle bli övermäktigt och att just c-böckerna täcker störst område av matematiken och därmed har störst potential att täcka en större del av matematikens historia.
Det finns fyra förlag som har gett ut en sådan fullständig serie, och alla dessa ingår i urvalet (se tabell 2). Hädanefter kommer referenserna till sidor i dessa böcker att se ut på följande sätt (här med exempel från Exponent 1c):
3 Visserligen med en mycket mer allmän frågeställning, nämligen följande: “Which types of material from
history of mathematics are integrated in German mathematics textbooks from 1st to 7th grade and in which way these materials could be used by teachers to comply with the requirements on mathematics education?”
16 • Referens till enskilda sidor: E1:011
• Referens till enskilda numrerade uppgifter: E1:011/U1103
• Referens till enskilda onumrerade uppgifter: E1:011/2 (där 2 står för den andra onumrerade uppgiften på sidan)
Tabell 2: Läroböcker som ingår i urvalet
Kod Boktitel År Förlag
F1 Matematik 5000 Kurs 1c Blå lärobok 2011 Natur & kultur F2 Matematik 5000 Kurs 2c Blå lärobok 2011 Natur & kultur F3 Matematik 5000 Kurs 3c Blå lärobok 2012 Natur & kultur F4 Matematik 5000 Kurs 4 Blå lärobok 2013 Natur & kultur F5 Matematik 5000 Kurs 5 Blå lärobok 2013 Natur & kultur
E1 Exponent 1c 2011 Gleerups E2 Exponent 2c 2012 Gleerups E3 Exponent 3c 2012 Gleerups E4 Exponent 4 2013 Gleerups E5 Exponent 5 2013 Gleerups M1 Matematik M 1c 2012 Liber M2 Matematik M 2c 2012 Liber M3 Matematik M 3c 2012 Liber M4 Matematik M 4 2013 Liber M5 Matematik M 5 2013 Liber
O1 Matematik Origo 1c 2011 Sanoma utbildning O2 Matematik Origo 2c 2012 Sanoma utbildning O3 Matematik Origo 3c 2012 Sanoma utbildning O4 Matematik Origo 4 2013 Sanoma utbildning O5 Matematik Origo 5 2013 Sanoma utbildning
6.2 Urvalsprocess för uppgifterna – Definition av UMH
Ett första urval bestod i att jag gick igenom texten sida för sida i de utvalda läroböckerna och noterade alla matematikhistoriska referenser, vare sig det rörde sig om uppgifter, bildtexter, exempel eller löpande text. När jag ändå gick igenom böckerna ville jag nämligen lokalisera all matematikhistorisk information för att sedan ha möjlighet att kunna se sammanhanget som uppgifterna befinner sig i. Jag gick igenom böckerna själv på detta sätt för alla böcker utom för hela Matematik 5000-serien, Exponent 1c, 3c och 5 samt M1c, M3c och M5 där jag kunde ta hjälp av Svensson (2014) som redovisat den allmänna förekomsten av historiskt material med sidhänvisningar i dessa böcker4.
4 Vid ett senare tillfälle kontrollerades om inga UMH hade missats genom att använda dessa sidhänvisningar.
Detta gjordes för Matematik 5000-serien och Exponent 1c, 3c och 5. Totalt sju uppgifter hade förbisetts, vilka nu lades till urvalet.
17
Nästa steg var att välja ut vilka av dessa referenser som, enligt frågeställningen, kunde anses vara uppgifter med anknytning till matematikens historia. Både uppgift, anknytning och matematikens historia behöver specificeras. Som framgick av litteraturgenomgången så finns det få studier som inriktats på just UMH så det finns inget färdigt ramverk att vända sig till. Xenofontos och Papadopoulos (2015) behandlar visserligen just sådana uppgifter i grekiska och cypriotiska läroböcker i matematik men det framgår inte hur de uppgifter de identifierat valts ut.
Vad som avses med uppgift har tagits upp i avsnitt 2.2 och kommer att beskrivas mer utförligt i avsnitt 6.3. Begreppet matematikens historia nämndes i avsnitt 2.1 men exakt vad som kan anses ingå i begreppet utvecklades inte. Smestad (2002), som bland annat beräknat andelen sidor i norska matematikböcker som upptas av matematikhistoria, anser att det han tolkar som matematikhistoria kan tolkas på annat sätt av andra, men tror ändå inte att detta påverkar de angivna procentsatserna i någon högre grad. Jag instämmer i att det i grunden är relativt okomplicerat men kommer här att nämna ett antal fall där min uppfattning skiljer sig från läroboksförfattarnas: För det första har uppgifter kopplade till experimentell fysik från det att fysiken uppstod som egen vetenskap på 1600-talet uteslutits (ex. O5:135; F5:179/U1-2). För det andra finns det uppgifter som visserligen handlar om historia, men inte matematisk sådan. Ett exempel är ett historiskt avsnitt med en tabell över världens befolkningsutveckling från vår tideräknings början i centrum (O2:127). Uppgifterna baseras alltså på historisk data men att sedan exempelvis beräkna den årliga procentuella befolkningsökningen från 1950 till 2000 (O2:127/U1) har inget med matematikhistoria att göra.
Men vad menas med att en uppgift har anknytning till matematikens historia? Det rimligaste alternativet anser jag är att se till vad läroboken framhäver som en sådan. Alltså inte vad läroboksförfattarna avsett utan vad läroboken som dokument framhäver som en matematikhistorisk uppgift, vilket givetvis i högsta grad är en tolkningsfråga. Matematikhistorisk text förekommer oftast inte direkt i uppgifterna utan exempelvis som inledning till kapitel, i bildtexter, i exempel eller i löpande text. Frågan är då hur nära texten ska finnas för att en uppgift ska kunna sägas ha anknytning till matematikens historia.
För urvalet har jag valt följande regler, vilka kommer att förklaras närmare i avsnitt 6.2.1 och 6.2.2: Om en huvuduppgift befinner sig i ett särskilt utmärkt avsnitt som kallas historiskt (gäller Origo och Matematik 5000) eller har motsvarande struktur (gäller
18
Exponent), samt kan kopplas till matematikhistorisk text i detta historieavsnitt, så är den en UMH. Om den istället befinner sig utanför ett historieavsnitt är den en UMH bara om
• den har tydlig matematikhistorisk information i själva uppgiften eller
• det finns någon form av tydlig referens mellan en uppgift och en matematikhistorisk text i form av en sidhänvisning eller dylikt.
Om en huvuduppgift klassas som en UMH klassas i förekommande fall automatiskt alla dess deluppgifter som UMH. En översikt över urvalsprocessen kan ses i figur 1.
Ställs fråga? Ja→ I historie- avsnitt? Ja→ MH i avsnittet? Ja→ I urval Nej→ Ej i urval Nej→ MH i uppgiften? Ja→ I urval Nej→ Referens till MH? Ja→ I urval Nej→ Ej i urval Nej→ Ej i urval
Figur 1: Urvalsprocess för uppgifter (MH=matematikens historia)
Två uppgifter uteslöts trots att de uppfyllde ovanstående eftersom den historiska informationen inte hade något samband med själva frågan. Nio uppgifter var svårplacerade i kategorierna ovan men ansågs av olika skäl ändå höra hemma i urvalet. En av dessa uppgifter visas i exempel 2. Det finns visserligen ingen tydlig referens men ”Cardanos problem” är inget vedertaget begrepp utan får bara sin mening av den matematikhistoriska texten två sidor innan.
6008 a) Formulera en ekvation som beskriver Cardanos problem ”dela talet
10 i två delar vars produkt blir 40” b) Lös ekvationen
Exempel 2: Uppgift E4:225/U6008
6.2.1 Uppgifter i historiska avsnitt
Det tydligaste sättet att framhäva en uppgift som historisk i någon mening att placera den i ett särskilt historieavsnitt, avskilt från resten av boken genom annorlunda färgsättning, layout, numrering etc. Sådana avsnitt är vanliga även i andra länder och kallas av Tzanikis och Arcavi (2000) för historical snippet. I Origo kallas avsnitten Historia, ”beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv” (O5:003) och
19
befinner sig alltid i kapitelslut. I Matematik 5000 kallas avsnitt av denna typ istället för
Historik och läroboksförfattarna skriver att ”i Historik, med tillhörande uppgifter, sätts
matematiken in i ett historiskt sammanhang” (F5:003). Avsnitten kan befinna sig på olika ställen i texten och det finns ofta även flera Historik-avsnitt i varje kapitel. Dock innehåller inte alla historikavsnitt uppgifter.
I Exponent saknas särskilt namngivna historieavsnitt av detta slag, men det finns
motsvarande typ av särskilda historiska sektioner som jag valt att se som historieavsnitt eftersom de har samma struktur som motsvarande i Origo och Matematik 5000: Romerska
tal (E1:063f.), Babyloniska tal (E1:065f.), Gyllene snittet (E5:176ff.) och Fibonacci (E5:179ff.). För de två senare finns till och med följande mening med: ”Gyllene snittet och Fibonaccis talföljd är två historiskt intressanta matematiska företeelser. I det här avsnittet får du bekanta dig med lite matematisk kulturhistoria” (E5:176).
I M-serien finns historisk information vanligen i inledningen till kapitel men utan några frågor.
Totalt 12 uppgifter från historiska avsnitt uteslöts från urvalet eftersom de inte behandlade matematikhistoria enligt ovan.
6.2.2 Övriga uppgifter
Om huvuduppgiften befinner sig utanför ett historiskt avsnitt ska den istället ha tydlig matematikhistorisk information i själva uppgiften eller en referens till eller från en sådan informationstext. Denna information kan t.ex. vara korta notiser om en matematiker. Det räcker dock inte med att ett namn som är en del av namnet på ett begrepp, en metod, en formel eller sats förekommer (som i Thales sats, Eratosthenes såll, Euklides algoritm och
Eulers formel). Uppgiften som visas i exempel 3 ingår därför inte i urvalet. Thales finns
med som en del av namnet på satsen men i uppgiften ges ingen mer information. Det finns en referens till denna uppgift två sidor innan men här finns inte heller någon ytterligare information om vem Thales var, när han levde och var eller varför han har gett namn åt satsen. I exempel 4 däremot framgår det av levnadsåren att det rör sig om en historisk person, om eleverna skulle ha missat vem Aristoteles var.
4212 Bevisa Thales sats, det vill säga att randvinklar till en halvcirkelbåge är räta
vinklar.
20
1063 Aristoteles (384 – 322 f.Kr.) påstod korrekt att 2 var det enda primtalet bland
de jämna talen. Förklara varför hans påstående var korrekt.
Exempel 4: Uppgift E1:34/U1063. Ingår i urvalet
6.3 Totalt antal uppgifter
För att kunna beräkna andelen UMH krävdes även kunskap om det totala antalet uppgifter i böckerna. Ingen sådan information hittades på förlagens hemsidor så uppgifterna var tvungna att räknas. Fördelen med detta är att jag kunde vara säker på att få ett exakt värde baserat på min huvuduppgiftsdefinition. Arbetet förenklades av facit och den konsekventa numreringen av uppgifterna. Vissa specialavsnitt fick behandlas separat men detta underlättades av att de för det mesta befann sig i slutet av kapitel eller delkapitel.
I beskrivningen av skillnaden mellan huvuduppgifter och deluppgifter gavs ett exempel med en numrerad uppgift (se exempel 1). De flesta uppgifter är numrerade, antingen med kapitelnumrering som anpassas efter kapitlet eller delkapitlet som uppgiften befinner sig i, eller numrering i varje kapiteltest eller avslutande blandade övningar. Förutom historieavsnitt finns även ett antal andra typer av specialavsnitt kallade aktivitet eller något liknande. I serien Matematik 5000 är alla uppgifter i dessa konsekvent numrerade på vanligt sätt (1, 2, 3, …), men det gäller inte i Exponent och Origo. För att ge en rättvisande bild av antalet uppgifter i böckerna gjordes en tolkning av huvuduppgifter i Origo och Exponent efter hur de troligen hade behandlats i Matematik 5000. Origo har t.ex. något som kallas ¤-uppgift, som täcker en hel sida och innehåller många frågor. Att “uppgift” står i singular och att frågorna märks ut med punkter signalerar på ett sätt att det rör sig om en enda huvuduppgift. I Matematik 5000 hade dock dessa delfrågor fått enskilda nummer, och för att tillåta jämförelser mellan antal och andel UMH i de olika serierna räknades alltså varje fråga i denna ¤-uppgift som en huvuduppgift.
21
6.4 Kategoriseringsprocessen
I detta avsnitt förklaras först med utgångpunkt i forskningen i avsnitt 5.2 hur frågeställningarna 2 och 3 valdes ut (6.4.1). Därefter presenteras metoderna som valts för att besvara de valda frågeställningarna om innehåll (6.4.2) respektive fördelning (6.4.3).
6.4.1 Motivering till valda frågeställningar
Vid arbetets början, innan någon litteratur hade studerats, hade jag tankar på att undersöka UMH ur bland annat en tids- och kulturaspekt, med avseende på svårighetsgrad och med avseende på matematikområde såsom algebra, mängdlära, geometri, komplexa tal etc. Det finns otaliga sådana aspekter som skulle kunna bilda underlag för kategoriseringar men frågan var vilka som var mest intressanta och samtidigt möjliga att besvara på ett bra sätt inom ramen för denna uppsats.
Matematiken är den äldsta vetenskapen av dem alla och det finns alltså en mängd kulturer som har tagit upp de enskilda områdena under en lång tidsrymd, var och en på sitt vis. Följaktligen anser jag att det är intressant att se hur detta urval har gjorts i läroböckerna. Givetvis sätter ämnesplanen gränser för vad som kommer att behandlas (det fanns ingen differentialkalkyl i det antika Grekland exempelvis) men hur ser det ut givet det frihetsutrymme som finns?
Innehållet med avseende på ämnesinnehåll är också viktigt. Den fångar en annan
dimension än tids- och kulturaspekten. Dominerar något område medan andra åsidosätts bland UMH?
Vad gäller fördelningen av UMH så visar den på potentialen som läroboken erbjuder läraren att kontinuerligt infoga element av matematikhistoria i undervisningen. En jämn fördelning skapar bättre förutsättningar att hålla det historiska perspektivet vid liv än ett ojämnt. Även om uppgifterna skulle vara jämnt utspridda bland kursens delämnen kan de vara samlade på ett ställe per delmoment.
Svårighetsgraden i sin tur kan ge en antydan om hur många elever som gör uppgiften ifråga. En jämn fördelning i svårighetsgrad gör det troligare att fler elever stiftar bekantskap med matematikens historia, eftersom det finns risk att lågpresterande elever hoppar över svåra uppgifter medan högpresterande istället väljer bort uppgifter av enklare karaktär. Som mått på den kognitiva utmaningen i respektive uppgift använder sig Wijaya m.fl. (2015) och Glasnović Gracin (2018) av en indelning framtagen för PISA-undersökningarna (OECD, 2009): Reproduction, Connection och Reflection.
22
Xenofontos och Papadopoulos (2015) samt Hong och Choi (2018) använder sig istället av de fyra kategorierna Memorization, Procedures without connection to meaning,
Procedures with connection to meaning samt Doing mathematics. Båda indelningarna
avser som jag ser det att fånga det kognitiva skiftet som sker när eleven går från enkla procedurer till komplicerade problemlösningssituationer som kräver ett sökande förhållningssätt. Problemet med båda är den knappa information som finns om tolkningen av kategorierna. Eftersom jag dessutom inte har möjlighet att få kodningen kontrollerad anser jag inte att jag skulle kunna garantera kvaliteten på resultatet.
Ett enklare förfaringssätt hade varit att notera den svårighetsgrad som anges av läroboksförfattarna. Enligt Brehmer m.fl. (2016), som gjort just detta, är svårighetsgraderna som de ges i Matematik M, Matematik 5000 och Origo likartade. Detta gäller dock inte Exponent, som istället har två nivåer (I-II). Och även om de skulle ha rätt i att tre av serierna har ett liknande sätt att bedöma svårighetsgrad så finns det största problemet kvar: Att endast 23 % av alla UMH har en angiven svårighetsgrad. Just dessa har mycket spridd svårighetsgrad5 men detta kan på inget vis utgöra grund för att göra
generella uttalanden. Sammantaget gjorde detta att svårighetsgraden inte beaktades i någon av frågeställningarna.
Om det finns tillräckligt med information för att lösa ett UMH eller om de är öppna eller slutna hade varit enkelt att kontrollera, men mindre intressant. Dels tror jag att större delen av uppgifterna inklusive UMH är slutna med precis så mycket information som krävs för att lösa dem, vilket för övrigt var mönstret som Zhu och Fan (2006) hittade bland läroböcker från Kina och U.S.A. i deras studie. Möjligen hade det varit intressant om det fanns en stor skillnad i andel mellan UMH och övriga uppgifter, men då hade jag behövt undersöka samtliga uppgifter eftersom jag inte direkt kan sluta mig till att det som gäller för kinesiska och amerikanska läroböcker även gäller för svenska.
6.4.2 Innehåll
Givet min frågeställning om vilket innehåll som UMH har i svenska läroböcker så kan detta som togs upp i föregående avsnitt delas in i åtminstone två dimensioner: Antingen på det matematiska innehållet (algebra, geometri etc.) eller på innehållet med avseende på historisk period och kultur (antika Grekland, Kina etc.). Matematikens historia kan delas in på många olika sätt och för att göra detta behövs ett kodningsschema men i
5 Totalt 8 stycken på den lättaste, 8 på den mellersta och 11 på den svåraste i serierna med tre nivåer. I Exponent
23
forskningslitteraturen hittades inget sådant. Det närmaste var Ju, Moon och Songs (2016) tredelade indelning som nämndes i avsnitt 5.2, vilken dock är alltför grov för att vara användbar i mitt fall. Dessutom behandlar den bara den kulturella aspekten, inte den tidsmässiga. Jag valde istället att basera kategorierna på en bok avsedd för studier i matematikens historia på universitetsnivå skriven av Victor J. Katz (Katz, 2004). Koderna (se tabell 3) skapades så att matematik som behandlas i ett visst kapitel i denna bok bildar en kategori. Två undantag behövde dock göras direkt eftersom denna bok inte behandlar olika talsystem, vilket är vanligt förekommande i kurs 1c i Sverige. Detta gjorde att det inte finns några kapitel där romerska tal eller Mayarikets tal tas upp, så koder för dessa fick läggas till. Dessutom kodes enklare uppgifter som exempelvis baseras på en källa från 1700-talet som E17 fastän det inte rör sig om ett ämne som tas upp i Katz (2004).
Tabell 3: Koder, innehåll tidsepoker/kulturområden
Kategori Kod
Kapitel i Katz (2004)
Egypten Eg 1.1
Mesopotamien Mp 1.2
Grekisk matematik till Euklides G1 2
Grekisk matematik från Arkimedes till Ptolemaios G2 3 Grekisk matematik från Diofantos till Hypatia G3 4 Matematik i Romarriket (exkl. Grekland) R Saknas
Antikens och medeltidens Kina K 5
Antikens och medeltidens Indien Ind 6
Mayarikets matematik May Saknas
Matematik i medeltidens islamiska värld Isl 7
Matematik i det medeltida Europa Em 8
Matematik i renässansen Er 9
1600-talets matematik E16 10-11
1700-talets matematik E17 12-15
1800-talets matematik E18 16-19
1900-talets matematik E19 20
Jag valde huvuduppgiften som analysenhet vilket gör att en uppgift kan ha två eller flera koder. Av denna anledning behövde kategorin Flera koder läggas till de övriga.
Matematikhistorien är inte reserverad för något visst matematikområde och därför kommer alla UMH att kunna kategoriseras efter innehåll precis som i totalstudier över läroboksuppgifter. Det hade varit tänkbart att använda böckernas kapitelindelning, men eftersom de skiljer sig åt ganska kraftigt mellan de olika serierna kommer jag att göra på ett liknande sätt som Glasnović Gracin (2018). Det finns stora likheter mellan de kategorier
24
som finns i de österrikiska Standards och de rubriker som finns i den svenska ämnesplanen för matematik (Skolverket, 2018a). Dessa bildar underlag för läroböckerna också vilket gör dem lämpliga att använda. Ett problem är dock rubriken problemlösning. Problemlösning förekommer i alla de andra delarna och läggs därför inte som en separat kategori här. De valda kategorierna för ämnesområde hos UMH visas i tabell 4. Eftersom exempelvis taluppfattning, aritmetik och algebra inte innebär exakt samma sak i kurs 1c och 2c behöver denna åtskillnad också göras i analysen. Analysenheten är även här huvuduppgiften, men här finns inget behov av en kategori för flera koder.
För att komplettera den kvantitativa analysen ovan väljer jag att även ge en beskrivning av de mera övergripande mönster som finns i materialet. För varje uppgift skrevs nämligen en kort beskrivning i kalkylbladet jag använde som gör att sådana mönster blir uppenbara. Det rör sig alltså inte om någon kvalitativ innehållsanalys utan tanken är bara att ge en något fylligare bild än koderna, informativa som de är i sig, kan ge.
Tabell 4: Områden i ämnesplanen för matematik
Kurs 1c-2c Kurs 3c-4 Kurs 5
Taluppfattning, aritmetik och algebra Aritmetik, algebra och
geometri Diskret matematik Geometri
Samband och förändring Samband och
förändring Samband och förändring Sannolikhet och statistik
6.4.3 Fördelning
Fördelningen av uppgifterna ska belysas ur ett flertal vinklar. Brehmer m.fl. (2016), som koncentrerat sig på problemlösningsuppgifter, noterar om uppgiften befinner sig i början, mitten eller slutet av ett kapitel eftersom placeringen gör att problemlösningen får olika syfte. Något liknande kan gälla för UMH: Är uppgiften tänkt som en inledning eller avslutning till kapitlet? Samtliga serier har anser jag en tydlig indelning av varje kapitel i • ett inledande block, där det centrala innehållet presenteras följt av en eller ett par
inledande uppgifter.
• ett huvudblock med numrerade delkapitel. Teoriavsnitt följs av exempel och kapitelnumrerade uppgifter6, då och då med inskjutna specialavsnitt av olika slag. • ett slutblock med exempelvis blandade övningar och diagnostiska tester.
och jag väljer att notera hur många UMH som befinner sig i vardera av dessa sektioner för respektive serie.
25
Det är också relevant om UMH befinner sig bland vanliga kapitelnumrerade och blandade uppgifter eller vid sidan om i speciella avsnitt kallade Historia, Tema, Aktivitet,
Resonemang och begrepp etc. Det finns möjligen en risk att sådana typer av särskilda rutor
riskerar att ses som extramaterial som faller bort om klassen har ont om tid.
Slutligen kan spridningen överlag studeras, d.v.s. hur uppgifterna är placerade i förhållande till varandra i de olika böckerna. En jämn fördelning ger potential att hålla det historiska perspektivet levande under kursens gång, medan detta lär vara svårare om alla uppgifter är koncentrerade på ett fåtal ställen i boken. Enklast redovisas detta grafiskt, och jag valde att dela in samtliga böcker i tvåsidorsintervall och räkna antalet uppgifter i varje uppslag för att därefter redovisa detta i ett histogram. Just detta redovisningssätt förekommer inte i litteraturen men Valverde m.fl. (2002) använder en annan typ av grafiskt tillvägagångssätt fast med en annan analysenhet.
Det är naturligt att betrakta allt detta på huvuduppgiftsnivå. Eftersom strukturen skiljer sig åt i de olika läroboksserierna kommer de att hanteras var för sig.
26
7 Resultat och analys
I denna del kommer den första frågeställningen om antalet och andelen UMH i läroböckerna att avhandlas i avsnitt 7.1. Resultaten för frågeställning 2 respektive 3 om vilket innehåll de har samt hur de är fördelade presenteras därefter i avsnitt 7.2 respektive 7.3.
7.1 Uppgifter efter kurs respektive läroboksserie
I samtliga läroböcker i urvalet finns totalt 210 huvuduppgifter och 337 deluppgifter7 med anknytning till matematikens historia och hur dessa fördelas mellan respektive läroböcker, serier och kurser visas i tabell 5 respektive 6. Framförallt Matematik M-serien sticker ut med sitt ringa antal UMH. Matematik 5000 har istället betydligt fler än de övriga sett till både huvud- och deluppgifter. Teoretiskt sett skulle antalet deluppgifter kunna vara helt jämnt trots att antalet huvuduppgifter inte är det om uppbyggnaden av UMH skulle skilja sig mycket mellan serierna. En jämförelse mellan tabell 5 och 6 visar dock att så inte är fallet.
Tabell 5: Antalet UMH (huvuduppgifter) i respektive lärobok
1c 2c 3c 4 5 Serie Exponent 22 1 7 2 21 53 Matematik 5000 26 14 10 23 20 93 Origo 17 11 9 12 10 59 M 0 1 1 1 2 5 Kurs 65 27 27 38 53
Tabell 6: Antalet UMH (deluppgifter) i respektive lärobok
1c 2c 3c 4 5 Serie Exponent 37 1 13 2 29 82 Matematik 5000 50 26 19 48 39 182 Origo 19 11 9 13 13 65 M 0 2 1 1 4 8 Kurs 106 40 42 64 85
7 Det fanns tre deluppgifter som hade anknytning till matematikens historia medan respektive huvuduppgifter
inte var UMH. Dessa räknas inte in i tabell 5 och ingår inte i den följande analysen. Uppgifterna är, med koder inom parentes: F5:233/U25c (E19, SF); F5:235/U31a (E16, DM), E1:079/U38d (R, TAA).
27
Tabell 7: Det totala antalet huvuduppgifter i läroböckerna
1c 2c 3c 4 5 Serie
Exponent 1332 897 963 1072 685 4949 Matematik 5000 1545 1027 1065 1204 945 5786 Origo 1496 925 1102 1004 659 5186
För att besvara hur stor andel av uppgifterna som var UMH beräknades det totala antalet huvuduppgifter för de tre serierna Exponent, Matematik 5000 och Origo (se tabell 7).
Givet tabell 5 och 7 erhålls sedan andelen huvuduppgifter, vilken presenteras i tabell 8. Det totala antalet uppgifter räknades alltså inte för serien Matematik M men sett till antalet uppgifter i de övriga uppgifterna är det rimligt att anta en andel på 0,1-0,3% för Matematik M2c, M3c, M4 och M5.
Matematik 5000 har visserligen generellt sett ett något högre antal uppgifter än Exponent och Origo men skillnaden är så pass liten att även andelen UMH är betydligt högre för Matematik 5000 än i de övriga serierna.
Tabell 8: Andel huvuduppgifter i läroböckerna (%)
1c 2c 3c 4 5 Serie
Exponent 1,7 0,1 0,7 0,2 3,1 1,1 Matematik 5000 1,7 1,4 0,9 1,9 2,1 1,6 Origo 1,1 1,2 0,8 1,2 1,5 1,1
7.2 Uppgifternas innehåll
7.2.1 Innehåll med avseende på ämnesområde
Vad gäller innehållet med avseende på ämnesområde så följer här först en samlad översikt över huvuduppgifterna i samtliga fyra serier. Fyra uppgifter gick inte att koda men resultatet av de övriga visas i figur 2. Här framgår att UMH inom området Taluppfattning, aritmetik och algebra (TAA) dominerar i både kurs 1c och kurs 2c. Diskret matematik (DM) som ämnesmässigt är delvis överlappande med TAA dominerar i sin tur uppgifterna i kurs 5.
För att ge en tydligare bild över innehållet presenteras i det följande några tydliga mönster för de olika staplarna. För att börja med området Taluppfattning, aritmetik och algebra i kurs 1c så utgör en stor del av alla UMH sådana som rör olika historiska
28
talsystem (med 29 av 45 uppgifter). För kurs 2c domineras TAA istället av lösning av första-, andra- och tredjegradsekvationer samt ekvationssystem (10 av 18).
Sannolikhet och Statistik (SS) för kurs 1c-2c representeras främst (4 av 7) av UMH rörande sannolikhetslärans början i 1600-talets hasardspel.
I kurs 3c avhandlas både derivata och integraler inom området Samband och förändring (SF) men UMH utgörs nästan helt av uppgifter om derivata (11 av 13). Inom Aritmetik, algebra och geometri (AAG) behandlas inom kurs 4 främst komplexa tal vilket i hög grad även gäller för UMH (26 av 30). Diskret matematik (DM) i kurs 5 domineras slutligen av uppgifter om Fibonaccis talföljd eller gyllene snittet (23 av 38) medan sex uppgifter täcker området grafteori.
Figur 2: Innehåll enligt ämnesplanen (n=206)
För Geometri (G) i kurs 1c och 2c, AAG i kurs 3c samt SF i kurs 4 och 5 är innehållet mycket blandat och behandlas därför inte närmare här.
7.2.2 Innehåll med avseende på tid och kultur
När det gäller innehållet sett från tids- och kultursidan så visas fördelningen i figur 3. Matematik från den europeiska kultursfären från medeltiden och framåt dominerar stort. Sett till de 184 huvuduppgifter som är kodade med en enstaka kod så är hela 65% knutna till Europa från medeltiden och framåt. Motsvarande andel är 14% för antikens Grekland (G1-G3), 8% för antikens Babylon, 6% för Romarriket och 5% för det antika
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
TAA G SF SS TAA G SF SS AAG SF AAG SF DM SF
Kurs 1c Kurs 2c Kurs 3c Kurs 4 Kurs 5
An
ta
29
Egypten. Den medeltida islamiska världen finns inte alls representerad bland UMH och Indien finns bara omnämnd i en uppgift med fyra koder8.
I vissa fall behövde en uppgift ges flera koder. En uppgift gavs som nämns ovan fyra koder medan 8 fick två stycken. Av de senare rör tre kombinationer av europeiska koder från medeltiden och framåt. I två andra ska givna tal skrivas med både Mayatecken och egyptiska respektive babyloniska tecken (F1:047/U3-4). I de tre sista uppgifterna rör det sig om kombinationer av matematik från antikens Grekland och Kina respektive 1700-talets Europa (F1:163/U2; O5:093/1-2).
Figur 3: Innehåll med avseende på tid och kultur (n=210)
Totalt 17 uppgifter gick av olika skäl inte att koda och är således klassade som ospecificerade i figur 3. Exempelvis avslutar Origo bok 5 med en tidslinje över matematikens historia från 3000 f. Kr. till år 2000 och eleverna ska i två uppgifter diskutera mönster i utvecklingen (O5:170/1; O5:170/2). Ett annat exempel där problem uppstod var i Exponent 5 där ett flertal uppgifter i rad behandlar gyllene snittet (E5:178/UG01-G07). Fem av dessa gick inte att tids- och kulturbestämma eftersom det
8 Det nämns bara att √10 användes som approximation för π i Indien vilket i uppgiften ska jämföras med de
värden som användes i Babylon, Romarriket och antikens Grekland (F1:274/U19).
0 5 10 15 20 25 30 35 Antikens Egypten Mesopotamien Antikens Grekland (1) Antikens Grekland (2) Antikens Grekland (3) Romarriket (exkl. Grekland) Antikens och medeltidens Kina Antikens och medeltidens Indien Mayarikets matematik Medeltidens islamiska värld Medeltidens Europa Renässansen Europa Europa 1600-tal Europa 1700-tal Europa 1800-tal Europa 1900-tal Flera koder Ospecificerat Antal UMH
30
inte framgick exakt vilken del av det historiska textavsnittet som uppgifterna anspelar på.
Precis som i föregående avsnitt kommer de kvantitativa resultaten att kompletteras med en beskrivning av de mera övergripande mönstren där sådana kan urskiljas.
Vad gäller antikens Egypten så är tre av uppgifterna problem som är direkt hämtade ut den så kallade Rhindpapyrusen (E1:270/U19; F1:116/U3255; O1:022/U1179) medan två uppgifter har med det egyptiska talsystemet att göra. Det egyptiska sättet att räkna med stambråk behandlas dock bara i en enda uppgift (F1:026/U1240). Exponent har visserligen ett avsnitt om stambråk där den egyptiska kopplingen nämns, men uppgifternas frikopplade läge från textavsnittet ifråga gjorde att dessa inte klassades som UMH överhuvudtaget.
Uppgifterna med anknytning till Babylon, Romarriket och Mayariket domineras kraftigt av sådana som behandlar dessa kulturers talsystem (23 av 28), något som även visade sig i föregående avsnitt. Ett undantag som kan noteras är två uppgifter som behandlar lösningen av andragradsekvationer i Mesopotamien (E2:096; F2:093/U1). Av de tre Kinarelaterade uppgifterna är två stycken problem som är hämtade från Nio
kapitel i konsten att räkna (F2:183/U24; O2:084/1).
De 25 uppgifterna med koppling till antikens Grekland bildar en brokig skara. Det enda problem som hämtats direkt från en antik grekisk källa är ett senantikt problem om matematikern Diofantos ålder, vilket med smärre variationer förekommer i tre av läroboksserierna (E1:083/U1; F1:153/U30; M3:039). Bland uppgifterna där eleverna istället ska använda sig av en formel eller metod som presenteras som härrörande från antiken kan nämnas sådana om Herons formel (F3:233/U4268; F5:234/U27) respektive Arkimedes metod för att bestämma π (O3:182) och Eratosthenes metod för att bestämma jordens omkrets (O3:221/1).
När vi kommer till medeltidens Europa så är har samtliga uppgifter anknytning till Leonardo av Pisa, även känd som Fibonacci, och i 16 av 17 fall handlar det om uppgifter baserade på den talföljd som fått hans namn. Vad gäller renässansens matematik så upptar Cardano en liknande om inte fullt så framträdande roll (med 7 av 14 uppgifter).
Vad som tas upp från 1600-, 1800- och 1900-talen är mycket blandat men 1700-talsuppgifterna har i nästan samtliga fall (14 av 15) någon anknytning till Leonard Euler, exempelvis till hans arbeten om komplexa tal eller det klassiska problemet om Königsbergs broar (F5:049/U1306; O5:084/U2318).
31
7.3 Uppgifternas fördelning
I detta avsnitt presenteras resultaten för en läroboksserie i taget. Talen inom parentes syftar alltid på antalet UMH av den typ som precis nämnts i hela serien. Histogram som visar fördelningen av uppgifter i varje uppslag visas här för kurs 1c medan övriga återfinns i bilaga 3. Fördelningen mellan böckerna har redan presenterats i tabell 5 så fokus kommer här att ligga på fördelningen inom böckerna.
7.3.1 Exponent
Varje kapitel börjar med ett inledande block bestående av det centrala innehållet, en kort text följt av en eller flera uppgifter kallade Din första uppgift (4)
.
Texten har ofta matematikhistoriskt innehåll men uppgiften är inte nödvändigtvis kopplad till denna. Huvudblocket består huvudsakligen av kapitelnumrerade uppgifter (39) och bland dessa ligger sedan specialuppgifter kallade Gruppaktivitet (1), Utmaning (3) och Reflekteraoch diskutera (2). I slutblocket finns slutligen en uppsättning av tester (3) samt blandade
övningar (1). Totalt finns 7,5 % av alla UMH i de inledande blocken, 85 % i huvudblocken och 7,5 % i slutblocken (jämfört med 0,7%, 70,2% respektive 29,1% av samtliga uppgifter).
De 39 kapitelnumrerade uppgifterna är inte jämnt utspridda utan hela 33 av dessa befinner sig i någon av de historierelaterade avsnitten som specifikt behandlar romerska
tal och babyloniska tal (Ma1c) respektive det gyllene snittet och Fibonacci (Ma5).
Spridningen över samtliga kurser blir alltså mycket ojämn med den stora majoriteten av uppgifterna i kurs 1c och 5 (se tabell 5). Dessutom är fördelningen ojämn inom dessa (se figur 4 för kurs 1c och bilaga 3 för kurs 5).
32
7.3.2 Matematik 5000
Ett kapitel i denna serie börjar med ett inledande block med det centrala innehållet, direkt följt av en eller flera uppgifter som kallas Inledande aktivitet (0).I ett fall finns ett Historik-avsnitt i det inledande blocket (2) medan de i övriga fall är belägna i huvudblocket (82). Förutom de kapitelnumrerade uppgifterna (12) finns här även uppgifter i specialavsnitt kallade Tema (2) och Aktivitet (0). I slutblocket finns sedan en diskussionsaktivitet (1) följt av ett test (0) och blandade övningar (7).
Totalt finns 2 % av alla UMH i de inledande blocken, 90 % i huvudblocken och 8 % i slutblocken (jämfört med 1 %, 72 % respektive 27 % av samtliga uppgifter).
Spridningen av uppgifterna är förhållandevis jämn inom böckerna (se ex. figur 5), vilket bland annat beror på att historieavsnitten befinner sig på olika ställen i kapitlen.
Figur 5: Fördelning av UMH i Matematik 5000, 1c (ss. 6-315)
33
7.3.3 Origo
Origos kapitel inleds med det centrala innehållet, en kort text och en eller två inledande uppgifter (1). I huvudblocket följer sedan den vanliga indelningen i teori, exempel och kapitelnumrerade uppgifter (8) samt frågor under rubriken Resonemang och begrepp (0) i slutet av varje delkapitel.
I slutblocken ligger historieavsnitten (39), några mer omfattande uppgifter som kallas
Problem och undersökningar (3) respektive ¤-uppgift (6) och slutligen blandade
uppgifter (2) och ett kapiteltest (0). Inga av slutblockets uppgifter ingår i facit.
Sammanfattningsvis finns 2 % av alla UMH i de inledande blocken, 13 % i huvudblocken och 85 % i slutblocken. (jämfört med 1 %, 73 % respektive 26 % av samtliga uppgifter). I Exponent och Matematik 5000 består slutblocken bara av tester och blandade uppgifter och som jämförelse befinner sig 3 % av alla UMH i Origo-serien i någon av dessa två kategorier (jämfört med 26 % av samtliga uppgifter)
I figur 6 kan ses att spridningen är ganska stor för kurs 1c. Men antalet uppgifter blir ganska få, till stor del på grund av det faktum att historieavsnitten ofta inte innehåller mer än en uppgift.
34
8 Diskussion
Detta avsnitt inleds med en allmän diskussion som sedan mynnar ut i ett antal slutsatser (8.1.1). Därefter går jag specifikt in på att diskutera för- och nackdelar med de valda metoderna (8.2). Efter att ha berört det som jag anser vara arbetets huvudsakliga begränsningar i avsnitt 8.3 avslutas uppsatsen med några förslag för vidare forskning (8.4) och en kort reflektion över vad jag tar med mig till läraryrket (8.5).
8.1 Allmän diskussion och slutsatser
Det primära syftet med denna uppsats var att få en uppfattning om vilken potential som finns i de svenska läroböckerna för gymnasiet för att ge eleverna möjlighet att komma i kontakt med olika slags UMH.
Av resultatet framgår det tydligt sett till antalet och andelen UMH att samtliga läroboksserier utom Libers M-serie har en klar intention att inkludera uppgifter med anknytning till matematikens historia i böckerna och med tanke på lärobokens roll som medlare mellan den avsedda och den implementerade läroplanen är detta mycket viktigt. Det är inte sannolikt att lärare använder den knappa tiden som står till buds för att själv hitta uppgifter av denna typ för att ge till eleverna. Sedan är frågan om det är lämpligt att lägga majoriteten av UMH i speciella historieavsnitt. Det verkar åtminstone garantera en stor spridning inom och mellan böckerna, åtminstone om resultaten mellan Exponent på den ena och Origo och Matematik 5000 på andra jämförs.
Läroplanen uttalar sig givetvis inte i detalj om hur stor andel eller antal av uppgifterna som ska vara problem kopplade till matematikens historia så hur ska det avgöras om potentialen är fullgod eller inte? Alla lärare kan dessutom göra sin egen tolkning av hur mycket som är tillräckligt. Personligen är jag intresserad av ämnet och kommer givetvis att ha en annan åsikt än lärare som inte tycker att uppgifter av detta slag har något i undervisningen att göra överhuvudtaget.
Ett sätt att belysa det hela är att se till resultaten från andra länder även om det som poängterats innan inte finns så mycket information publicerad på området. På motsvarande högstadienivå i både Cypern och Grekland finns enligt Xenofontos och Papadopoulos (2015) också skrivningar i läroplanen som poängterar vikten av att använda matematikens historia i undervisningen. Författarna undersökte de nationella läroböckerna för årskurs 7, 8 och 9 och fann totalt 30 deluppgifter i de cypriotiska och
