Slutfasstyrning av missil med explicit prediktionsreglering

(1)

Institutionen f¨or systemteknik

Department of Electrical Engineering

Examensarbete

Slutfasstyrning av missil med explicit

prediktionsreglering

Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping

av Mats Ekstr¨om LITH-ISY-EX-3619-2005

Link¨oping 2005

Department of Electrical Engineering Linköpings tekniska högskola Linköpings universitet Linköpings universitet SE-581 83 Linköping, Sweden 581 83 Linköping

(2)

(3)

Slutfasstyrning av missil med explicit

prediktionsreglering

Examensarbete utf¨

ort i Reglerteknik

vid Tekniska h¨

ogskolan i Link¨

oping

av

Mats Ekstr¨om LITH-ISY-EX-3619-2005

Handledare: Dr. Thomas Svantesson

Saab Bofors Dynamics AB

Dr. Ragnar Wallin

isy_{, Link¨opings universitet}

Examinator: Doc. Anders Hansson

isy_{, Link¨opings universitet}

(4)

(5)

Avdelning, Institution Division, Department

Division of Automatic Control Department of Electrical Engineering Link¨opings universitet

S-581 83 Link¨oping, Sweden

Datum Date 2005-02-09 Spr˚ak Language Svenska/Swedish Engelska/English ⊠ Rapporttyp Report category Licentiatavhandling Examensarbete C-uppsats D-uppsats ¨Ovrig rapport ⊠

URL f¨or elektronisk version

http://www.ep.liu.se/exjobb/isy/2005/3619/ ISBN

— ISRN

LITH-ISY-EX-3619-2005 Serietitel och serienummer Title of series, numbering

ISSN —

Titel Title

Slutfasstyrning av missil med explicit prediktionsreglering Terminal Guidance using Explicit Model Predictive Control

F¨orfattare Author

Mats Ekstr¨om

Sammanfattning Abstract

Arbetet har utförts p˚a Saab Bofors Dynamics AB i Linköping och dess syfte är att undersöka möjligheten att applicera teorin för prediktionsreglering, Model Predictive Control (MPC), p˚a guidance systemet i en missil av typen Medium Range Air-to-Air Missiles (MRAAM). Även implementering via Explicit MPC har undersökts.

I tidigare studier har det visat sig att den moderna slutfasstyrningsalgorit-men Linear Quadratic Augslutfasstyrningsalgorit-mented Proportional Navigation (LQAPN), som ˚aterkopplar missilens acceleration och rotation, uppvisar en bättre prestanda än de mer klassiska styrlagarna. Det främsta intresset med denna studie är därför att undersöka hur tillvida en styrlag baserad p˚a MPC kan mäta sig med dessa resultat. Fördelen med att använda MPC är framförallt att man kan ta hänsyn till styrsignalbegränsningar p˚a ett direkt och intuitivt sätt.

En nackdel med MPC är beräkningstiden. P˚a senare ˚ar har dock forskning bedrivits för att ta fram en variant av MPC som beräknar styrsignalen explicit som en affin funktion av det aktuella tillst˚andet. Denna metod kallas Explicit MPC och har betraktats som en separat metod i detta arbete.

Styrlagen baserad p˚a MPC kallas i detta arbete för Model Predictive Control Augmented Proportional Navigation (MPCAPN) och utmärker sig framförallt i tv˚a fall. Dels d˚a s˚a kallade händelsestyrda simuleringar studeras, d˚a den uppvisar ett klart bättre resultat än vad som erh˚alls med en styrlag baserad p˚a Linear Quadratic Augmented Proportional Navigation (LQAPN). Även vid beräkningar av skjutzoner blir resultaten ibland bättre. Framförallt förbättras den inre skjutgränsen för flygscenariet d˚a m˚alet utför en s˚a kallad ”tunnelroll”.

Nyckelord

Keywords Explicit MPC, modellbaserad slutfasstyrning, MPC, m˚alf¨oljning, parameterstyr-ning, slutfasstyrning

(6)

(7)

Sammanfattning

Arbetet har utförts p˚a Saab Bofors Dynamics AB i Linköping och dess syfte är att undersöka möjligheten att applicera teorin för prediktionsreglering, MPC, p˚a gui-dance systemet i en missil av typen Medium Range Air-to-Air Missiles (MRAAM).

¨

Aven implementering via Explicit MPC har unders¨okts.

I tidigare studier har det visat sig att den moderna slutfasstyrningsalgoritmen Li-near Quadratic Augmented Proportional Navigation (LQAPN), som ˚aterkopplar missilens acceleration och rotation, uppvisar en bättre prestanda än de mer klas-siska styrlagarna. Det främsta intresset med denna studie är därför att undersöka hur tillvida en styrlag baserad p˚a MPC kan mäta sig med dessa resultat. Fördelen med att använda MPC är framförallt att man kan ta hänsyn till styrsignalbe-gränsningar p˚a ett direkt och intuitivt sätt.

En nackdel med MPC är beräkningstiden. P˚a senare ˚ar har dock forskning be-drivits för att ta fram en variant av MPC som beräknar styrsignalen explicit som en affin funktion av det aktuella tillst˚andet. Denna metod kallas Explicit MPC och har betraktats som en separat metod i detta arbete.

Styrlagen baserad p˚a MPC kallas i detta arbete för Model Predictive Control Aug-mented Proportional Navigation (MPCAPN) och utmärker sig framförallt i tv˚a fall. Dels d˚a s˚a kallade händelsestyrda simuleringar studeras, d˚a den uppvisar ett klart bättre resultat än vad som erh˚alls med en styrlag baserad p˚a LQAPN. Även vid beräkningar av skjutzoner blir resultaten ibland bättre. Framförallt förbättras den inre skjutgränsen för flygscenariet d˚a m˚alet utför en s˚a kallad ”tunnelroll”.

(8)

(9)

F¨

orord

Jag skulle framförallt vilja tacka min handledare p˚a Saab Bofors Dynamics, Tho-mas Svantesson, för att han alltid har funnits till hands när jag behövt hjälp. Jag vill även tacka Alberto Bemporad för att i samband med en kurs i Linköping, september 2004, ha hjälpt mig med n˚agra reglertekniskt viktiga detaljer.

Vidare vill jag även tacka min handledare p˚a Linköpings Tekniska Högskola Rag-nar Wallin, min examinator Anders Hansson, min exjobbskollega David Rosdal, min chef Torbjörn Crona som bidrog till att arbetet blev av samt resten av perso-nalen p˚a Saab Bofors Dynamics plan 5 som har bidragit mycket positivt till min trivsel under arbetet.

Link¨oping, januari 2005 Mats Ekstr¨om

(10)

(11)

Inneh˚

all

1 Inledning 1 1.1 Bakgrund . . . 1 1.2 M˚alsättning . . . 2 1.3 Begränsningar . . . 3 1.4 Tidigare arbeten . . . 3 1.5 Rapportens upplägg . . . 3 2 Prediktionsreglering 5 2.1 Linjär prediktion . . . 5 2.2 Värdefunktionen . . . 6

2.2.1 Att l¨osa QP-problemet . . . 8

2.3 Designparametrar . . . 8

2.4 Explicit MPC . . . 9

2.4.1 mp-QP . . . 10

2.4.2 Komplexitet . . . 16

3 Koordinat- och missilsystem 17 3.1 Koordinatsystem . . . 17

3.1.1 Intertiellt kartesiskt koordinatsystem . . . 17

3.1.2 Missilens kroppsfasta koordinatsystem . . . 17

3.1.3 M˚alets kroppsfasta koordinatsystem . . . 17

3.1.4 Syftlinjefast koordinatsystem . . . 17

3.1.5 Transformationsmatriser . . . 18

3.2 Missilens olika delar . . . 18

3.2.1 M˚alsökare . . . 19 3.2.2 Guidance . . . 19 3.2.3 Autopilot . . . 19 3.2.4 Roderservo . . . 20 3.2.5 Navigering . . . 20 3.3 Missilmodell . . . 20 4 M˚alföljning 23 4.1 M˚almodell . . . 23 4.2 M˚alföljningsfilter . . . 25 4.2.1 AFMM . . . 25 ix

(12)

5.2 Styrlagar . . . 28 5.2.1 PN . . . 29 5.2.2 APN . . . 30 5.2.3 SOG . . . 30 5.2.4 LQAPN . . . 31 5.2.5 MPCAPN . . . 32 5.2.6 Explicit MPCAPN . . . 36 5.2.7 Koordinattransformationer . . . 40 6 Simuleringar 41 6.1 Scenarier . . . 41 6.1.1 Scenario 1 . . . 41 6.1.2 Scenario 2 . . . 41 6.1.3 Scenario 3 . . . 41 6.2 Monte-Carlo simuleringar . . . 42 6.3 H¨andelsestyrda simuleringar . . . 44 6.4 Skjutzoner . . . 47 6.5 Robusthet . . . 52

7 Slutsatser och framtida arbete 55 7.1 MPC . . . 55

7.2 Explicit MPC . . . 56

7.3 Sammanfattning . . . 56

7.4 F¨orslag till framtida arbete . . . 56

Litteraturf¨orteckning 57

A Notationer 59

(13)

Kapitel 1

Inledning

1.1 Bakgrund

Prediktionsreglering, Model Predictive Control (MPC), har under senare ˚ar blivit en allt mer vedertagen och använd reglerstrategi. Detta i takt med datorernas utveckling och den därav uppkomna möjligheten att utföra tyngre beräkningar i realtid. Den stora fördelen med MPC är att man p˚a ett direkt och intuitivt sätt tar hänsyn till givna bivillkor p˚a t.ex. styrsignaler eller processens utsignaler. En missil är uppbyggd av ett flertal olika delsystem som samverkar. N˚agra av de mest väsentliga delarna är

• M˚alf¨oljning • Navigering • Guidance • Autopilot

Den del som kommer att behandlas i denna rapport är guidance. Detta delsy-stem erh˚aller aktuellt flygtillst˚and fr˚an navigeringssystemet, samt information om m˚alets flygtillst˚and fr˚an m˚alföljningssystemet. Denna information används sedan av delsystemet guidance för att beräkna en kommenderad acceleration i gir- och tippled. Dessa blir sedan referensvärden till autopiloten, där de ger upphov till en translation av missilen i höjd- och sidled s˚a att missilen träffar m˚alet.

En missil kan dock inte accelerera obegränsat. Detta talar för en användning av MPC, d˚a denna metod tar hänsyn till dessa begränsningar. I Figur 1.1 p˚avisas fördelen med att explicit ta hänsyn till givna bivillkor p˚a kommenderad accelera-tion. En styrlag som beräknas med klassisk Linear Quadratic (LQ)-teknik ger ett längre insvängningsförlopp jämfört med en styrlag beräknad med MPC. För ett noggrannare resonemang kring denna figur se avsnitt 5.2.5.

(14)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 MPC vs. LQ r s [rad/s] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −600 −400 −200 0 200 400 600 u [m/s 2] tid [s]

Figur 1.1.Illustration av hur ett initialt fel p˚a syftlinjesrotationen rs _{regleras till noll}

med styrsignalen u d˚a inga yttre st¨orningar f¨oreligger. Heldragen kurva (—) anger MPC medan streckad kurva (- -) anger LQ.

D˚a en missil utgör ett mycket snabbt system uppkommer problemet att beräknings-tiden online för MPC blir stor. En relativt ny metod som syftar till att offline utföra dessa tunga beräkningar kallas för Explicit MPC.

Projektet är utfört p˚a initiativ av Saab Bofors Dynamics AB i Linköping.

1.2 M˚

als¨

attning

Syftet med arbetet är att undersöka om styrlagar baserade p˚a MPC och Ex-plicit MPC kan ge bättre resultat än tidigare undersökta reglerstrategier pre-senterade i [19] och [20]. I dessa arbeten studeras styrlagarna Proportional Na-vigation (PN), Augmented Proportional NaNa-vigation (APN), Simplified Optimal Guidance-law (SOG) samt Linear Quadratic Augmented Proportional Naviga-tion (LQAPN), vilka här beskrivs i kapitel 5.

(15)

1.3 Begr¨ansningar 3

1.3 Begr¨

ansningar

Simuleringsmodellen är en s˚a kallad Missile Combat Simulator (MICOS) modell och är implementerad i Matlab. Detta är en kondenserad modell där missilens fullständiga dynamik ej betraktas. En annan begränsning är att man endast ar-betar med 5 frihetsgrader istället för 6. Detta innebär att ingen hänsyn tas till rollkanalen, vilket i sin tur gör att man undviker korskopplingar i systemet.

1.4 Tidigare arbeten

Tekniken att använda MPC i guidance har tidigare studerats i [12], men d˚a under enklare former. Andra studier där hänsyn tas till accelerationsbegränsningar i guidance är [10], [16] och [17]. Dessa baseras dock inte p˚a MPC utan använder sig av en styrlag som benämns Optimal Guidance Law (OGL). N˚agra studier där Explicit MPC tillämpas p˚a guidance har hittills inte förekommit till författarens kännedom.

1.5 Rapportens uppl¨

agg

I kapitel 2 ges en grundläggande teoriöversikt för MPC och Explicit MPC. I kapitel 3 ˚aterfinns en kort beskrivning av missilens uppbyggnad samt aerodynamiska och flygmekaniska egenskaper. Här introduceras även den matematiska modell som guidancesystemet använder sig av. Implementeringen av de olika styrlagarna i simuleringsmiljön beskrivs i kapitel 5. Simuleringsresultat samt diskussion kring dessa ges i kapitel 6. Avslutningsvis behandlas slutsatser och kommentarer i kapitel 7. Notationer ˚aterfinns i appendix A.

(16)

(17)

Kapitel 2

Prediktionsreglering

Prediktionsreglering, eller Model Predictive Control (MPC), har under senare ˚ar blivit en allt mer vedertagen och använd reglerstrategi. Detta i takt med datorernas utveckling och den därav uppkomna möjligheten att utföra tyngre beräkningar i realtid. Den stora fördelen med MPC är att man p˚a ett lätt och intuitivt sätt tar hänsyn till givna bivillkor. Grundidén är att med hjälp av en given processmodell beräkna en optimal styrsignalssekvens vid varje tidssteg. En enkel algoritm hämtad fr˚an [9] ser ut som följer:

1. Vid aktuell tidpunkt t predikteras ett antal framtida tillst˚and ˆx(t + k|t), k = 1, ..., Ny. Dessa kommer att bero p˚a den optimala styrsignalsekvensen

u(t + j), j = 0, 1, ..., Nu samt de aktuella skattade tillst˚anden vid tiden t.

2. St¨all upp en v¨ardefunktion baserat p˚a dessa variabler och optimera med avseende p˚a u(t + j), j = 0, 1, ..., Nu.

3. Applicera styrsignalen u(t).

4. Inv¨anta n¨asta tidpunkt, t + 1, och g˚a till steg 1.

Eftersom prediktionshorisonten förskjuts fram˚at med tiden kallas denna metod även för Receding Horizon Control (RHC). Detta kan jämföras med en bilist vars synhorisont ändras med tiden.

2.1 Linj¨

ar prediktion

Ett diskretiserat linj¨art system utan systembrus beskrivs av tillst˚andsmodellen x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t). (2.1) Utg˚aende fr˚an denna modell erh˚alls genom iteration, se [7], framtida predikterade tillst˚and

X = ¯T x(t) + ¯SU (2.2) 5

(18)

d¨ar X =                x(t + 1) x(t + 2) .. . x(t + Ny)                U =                u(t) u(t + 1) .. . u(t + Nu− 1)                , (2.3) ¯ T =                A A2 .. . ANy                ¯ S =                B 0 · · · 0 AB B · · · 0 .. . ... . .. ... ANy−1_B _ANy−2_B _{· · ·} _B                .

Observera att notationer och matrissammansättning ej helt stämmer överrens med de i [7]. I (2.3) förutsätts dessutom att Ny= Nu. Om detta inte är fallet kommer

matrisen S att beh¨ova modifieras.

2.2 V¨

ardefunktionen

M˚alet är att f˚a den predikterade styrsignalen optimal i n˚agot avseende. Detta görs genom att skapa en värdefunktion som sedan minimeras med avseende p˚a styr-signalerna u(t + j), j = 0, 1, ..., Nu. Kriterium som ska minimeras kan se ut p˚a

olika sätt. I detta arbete studeras ett kvadratiskt kriterie med motiveringen att det finns effektiva Quadratic Programming (QP)-lösare, samt att det ger ett likartat beteende som en LQ-lösning, vilket har visat sig framg˚angsrikt i tidigare studier av slutfasstyrning [19].

Man vill allts˚a l¨osa optimeringsproblemet, [3], min

U={u∆ t,ut+1,...,ut+Nu−1}

(19)

2.2 V¨ardefunktionen 7 H¨ar anger xt+Ny|t det predikterade tillst˚andet Ny tidssteg fram˚at i tiden,

base-rat p˚a mätdata vid tiden t. Detta optimeringsproblem löses online och p˚a s˚a vis erh˚alls en optimal styrsignalsekvens. I ekvation (2.4) förutsätts att Q = QT 0, R = RT ≻ 0, P 0, (Q1/2, A) är detekterbara, K är en linjär ˚aterkoppling, Ny, Nu, Nc är utsignal-, styrsignal- och begränsningshorisont, där Nu ≤ Ny och

Nc≤ Ny− 1.

Valet av K kan göras p˚a ett flertal sätt. D˚a det öppna systemet som ska regleras i detta arbete kan bli instabilt, se kapitel 3, behövs ett K med stabiliserande egen-skaper. Ett sätt att uppn˚a detta är att välja K = KLQ, se [18]. Detta erh˚alls genom

att beräkna K och P i ekvation (2.4) som lösningarna till det ickebegränsade LQ problemet,

KLQ = −(R + BTP B)−1BTP A (2.5a)

P = (A + BKLQ)TP(A + BKLQ) + KLQRKLQ+ (2.5b)

Detta är en omskrivning av den stationära Riccatiekvationen. Q och R är straff-matriserna fr˚an ekvation (2.4). Detta val indikerar att efter Nu tidssteg sl˚as

re-gulatorn om till ickebegränsad LQ. Att K och P väljs enligt (2.5) medför att värdefunktionen i (2.4) kan skrivas som

där de tv˚a första termerna utgör värdefunktionen för klassisk LQ-teori för k ≥ Nu. Dessa kan därför ersättas med termen xTt+Nu|tP xt+Nu|t. Observera att det

och kan konstatera att J(U , x) h¨ar har samma form som i (2.4), men med Ny =

Nu. S˚aledes anv¨ands vidare i detta arbete

Ny = Nu = N. (2.8)

Detta ger en stabil l¨osning f¨orutsatt att systemet under de Nusamplen har hunnit

(20)

Under avsaknad av begränsningar p˚a utsignalen uppträder aldrig n˚agot konver-gensproblem för QP-lösaren. Nc kan därför väljas mindre än oändligheten, se [3].

Ett naturligt val ¨ar d˚a

Nc = N − 1. (2.9)

2.2.1 Att l¨

osa QP-problemet

För att kunna angripa problemet med en standard QP-lösare kan man med hjälp av ekvation (2.2) skriva om ekvation (2.4) p˚a formen

V = min U 1 2U T HU+ xT(t)F U (2.10) d˚a GU ≤ W

F¨or bevis se [7]. H och F i ekvation (2.10) blir

H = ¯STQ ¯¯S+ ¯R (2.11) F = ( ¯STQ ¯¯T)T, (2.12) d¨ar ¯ Q =                     Q 0 0 · · · 0 0 Q 0 · · · 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · Q 0 0 0 · · · 0 P                     (2.13a) ¯ R =                R 0 · · · 0 0 R · · · 0 .. . ... . .. ... 0 · · · 0 R                (2.13b)

och Q, R och P är straffmatriserna fr˚an (2.4). P beräknas enligt ekvation (2.5). Goch W svarar mot begränsningarna fr˚an (2.4). I detta arbete begränsas endast styrsignalen.

L¨osningen till ett enligt ovan angivet QP-problem kan se ut som i Figur 2.1.

2.3 Designparametrar

Eftersom Ny och Nu v¨aljs som Ny = Nu = N och straffmatrisen P v¨aljs enligt

ekvation (2.5) medför detta att de enda prametrarna som behöver väljas är N samt straffmatriserna Q och R. Eftersom MPC arbetar med ett tidsdiskret system kräver detta att systemet samplas, vilket medför att även samplingstiden Tskan

(21)

2.4 Explicit MPC 9 Optimum utan bivillkor Tillåtet område Optimum med bivillkor u_(k) u_{(k + 1)} J_(u) Implementering enligt “Receding Horizon”

Figur 2.1.Niv˚akurvor f¨or ett QP-problem med Nu= 2.

2.4 Explicit MPC

En av de stora svagheterna hos MPC är tidsaspekten för beräkningen online. Vid varje sampel görs en onlineberäkning som resulterar i en optimal styrlag över en finit tidshorisont. I v˚arat fall kräver detta att ett QP-problem löses online varje sampel. Detta har gjort att MPC har begränsats till l˚angsamma processer, som t.ex. oljeraffinaderier, med samplingstider p˚a flera minuter eller timmar. Under se-nare ˚ar har det dock publicerats ett flertal artiklar som syftar till att söka en expli-cit lösningsmetod till problemet och s˚aledes kunna utföra optimeringsförfarandet offline, d.v.s. att p˚a förhand ha beräknat ett samband mellan u(t) och x(t) som

u(t) = f (x(t)), ∀t ≥ 0. (2.14) Detta tillvägag˚angssätt benämns Explicit Model Predictive Control (EMPC). Op-timeringsproblemet man vill lösa är fortfarande det i ekvation (2.4). För framtiden är det dock fördelaktigt att skriva om ekvation (2.10) p˚a formen

Vz = min z 1 2z T_Hz _(2.15) d˚a Gz ≤ W + Sx(t),

(22)

d¨ar z = U + H∆ −1FTx(t), (2.16) Vz = V −∆ 1 2x T_{(−F H}−1 FT)x, (2.17) S = GH∆ −1FT. (2.18)

Detta eftersom vi d˚a f˚ar parametervektorn x(t) endast i h¨ogerledet p˚a bivillkoret.

2.4.1 multi-parametric Quadratic Programming (mp-QP)

I detta kapitel söks en algoritm för att ta fram den optimala styrsekvensen U∗(x) samt värdefunktionen Vz = J(U∗(x)) som explicita funktioner av x som här

be-traktas som en parametervektor (d¨arav namnet ”multi-parametric”). Enligt [3] f˚as denna l¨osning genom att applicera Karush-Kuhn-Tucker (KKT) - se [15] - villko-ren

Hz+ GTλ = 0, λ∈ Rq, (2.19a) λi(Giz− Wi− Six) = 0, i = 1, . . . , q, (2.19b)

λ ≥ 0, (2.19c)

Gz ≤ W + Sx, (2.19d)

d¨ar index i indikerar den i-te raden. L¨oser man ut z ur ekvation (2.19) f˚ar man

z = H−1GTλ. (2.20)

Följande definition baseras p˚a en definition i [21] men är analog med de resonemang som förs i [3].

Definition 1 L˚at z∗(x) vara den optimala l¨osningen till ekvation (2.15) f¨or ett givet x0. Vi definierar d˚a aktiva bivillkor som ˜G

i

z∗(x) − ˜Wi− ˜Six0= 0, och

ej aktiva bivillkorsom de bivillkor d˚a Giz∗(x) − Wi− Six0< 0.

Aktiva bivillkor ¨ar med andra ord de bivillkor som sl˚as i d˚a den optimala l¨osningen z∗_(x

0) appliceras p˚a systemet. F¨or en illustration se Figur 2.1. Tillst˚andet x0

väljs i regel som mittpunkten i det aktuella omr˚adet (Chebyshev-centrum). En mer utförlig beskrivning av hur x0 väljs ges i [3].

Sats 1 L˚atCR0utgöra mängden av alla x för vilka ˜G, ˜S och ˜W utgör de aktiva

bivillkoren. D˚a ¨ar den optimala l¨osningen z∗samt dess lagrangemultiplikatorer λ∗ entydigt definierade affina funktioner av x inom den kritiska regionen,CR0.

Den affina funktionen f¨or z ges enligt [3] av

(23)

2.4 Explicit MPC 11

och det kritiska omr˚adet ges av sambanden

GH−1G˜T( ˜GH−1G˜T)−1( ˜W + ˜Sx) ≤ W + Sx (2.22a) −( ˜GH−1G˜T)−1( ˜W + ˜Sx) ≥ 0, (2.22b) där den första mängden är ett resultat av ekvation (2.19) medan den andra svarar mot faktumet att lagrangemultiplikatorerna inte f˚ar vara negativa, ekvation (2.19). Ett exempel i tv˚a dimensioner hämtat fr˚an [3] kommer att användas för att steg för steg ˚ask˚adliggöra framlagd teori.

Exempel 2.1

Betrakta ett andra ordningens system y(t) = 2

p2_{+ 3p + 2} u(t), (2.23)

d¨ar p ¨ar deriveringsoperatorn d/dt. Samplar man detta system med Ts = 0.1

sekunder erh˚alls tillst˚andsekvationen x(t + 1) =     0.7326 −0.0861 0.1722 0.9909     x(t) +     0.0609 0.0064     u(t) y(t) = 0 1.4142  x(t). (2.24)

Man vill reglera detta system samtidigt som man uppfyller bivillkoren

−2 ≤ u(t) ≤ 2. (2.25)

För detta syfte konstrueras en MPC-regulator baserad p˚a optimeringsproblemet i (2.4) med Q = I och R = 0.01. P väljs dock ej enligt ekvation (2.5) utan som lösningen till Lyapunovfunktionen P = ATP A+ Q. Detta kan göras eftersom vi i detta exempel arbetar med ett öppet system som är stabilt. Prediktionshorisont, styrsignalhorisont och begränsningshorisont väljs som Ny= Nu= 2, Nc= 1. Valet

av P svarar mot att man s¨atter ut+k= 0 f¨or k ≥ 2 och minimerar ∞

X

k=0

xT_t+k|txt+k|t+ 0.01u2t+k|t. (2.26)

Första steget i förloppet är att ta fram det första kritiska omr˚adet kallat CR0.

Detta definieras av ekvationerna i (2.22) och kan generellt skrivas p˚a formen CR0

∆

= {x ∈ X : Ax ≤ b}, (2.27) det vill säga som en polytop där X är mängden av alla till˚atna tillst˚and x. I detta exempel ges omr˚adet CR0 i Figur 2.2.

(24)

Figur 2.2.Kritiska regionen.

Den affina funktionen u∗(x), som f˚as via ekvation (2.16) och (2.21), blir f¨or denna region

u∗(x) = −5.92 −6.89 

x. (2.28)

Noteras bör att ˜G, ˜S och ˜W i detta fall är tomma mängder d˚a det ej finns n˚agra aktiva bivillkor. Omr˚adet definieras endast av olikheten 0 ≤ W +Sx, vilket i detta exempel är ett resultat fr˚an styrsignalbegränsningen i (2.25). Eftersom bivillkoren i detta omr˚ade ej är aktiva s˚a är den resulterande styrlagen i (2.28) inget annat än lösningen till motsvarande diskreta LQ-problem.

Efter att man har tagit fram den kritiska regionen delas den kvarvarande m¨angden upp i mindre regioner. Den kvarvarande m¨angden definieras av

CRrest ∆= X \ CR0. (2.29)

CRrest_{kan sedan delas upp genom att man successivt bortser fr˚}_{an begr¨ansningarna}

i (2.27), rad för rad. Ri ∆ = x∈ X : A i x> bi Ajx≤ bj, ∀j < i , i = 1, . . . , m, (2.30) där m = dim(b). Index j i t.ex. Aj anger j-te raden i matrisen A. Motsvarande gäller för index i.

(25)

2.4 Explicit MPC 13

Exempel 2.2

Forts¨attning fr˚an Exempel 2.1.

Hur CRrest_{delas upp enligt (2.30) ses i Figur 2.3.}

(a) (b)

(c) (d)

Figur 2.3.Uppdelning av CRrest

, steg f¨or steg.

F¨orfarandet att ta fram kritiska regionen CR0 samt den optimala styrsignalen

u∗_{(x) upprepas sedan i varje omr˚}_{ade R}

i. Detta tills att hela omr˚adet X ¨ar t¨ackt

av kritiska regioner, CRi

0. Ofta kan redundanta omr˚aden sl˚as samman till st¨orre

(26)

Exempel 2.3

Forts¨attning fr˚an Exempel 2.1 och 2.2 .

För att ta fram den slutgiltiga mp-QP lösning har i detta arbete Matlab-toolboxen Multi-Parametric Toolbox (MPT), [13], använts. En komersiell toolbox, Model Predictive Control Toolbox (MPCT), är under utveckling av A. Bemporad, N.L. Ricker och M. Morari. Denna toolbox har dock inte varit tillgänglig under detta arbete.

Problemet löses med hjälp av Matlab-kommandot mpt_control. Resultatet finns illustrerat i Figur 2.4. För fullständig Matlab-kod se Appendix B.

(a) (b)

Figur 2.4.mp-QP l¨osningen. I (b) illustreras hur tillst˚andet x = [1.0139, 0.8592] styrs till origo.

Det existerar dock effektivare algoritmer f¨or att ta fram mp-QP l¨osningen. En s˚adan behandlas i [21] men tas inte upp i detta arbete.

Online anv¨ands sedan Matlab-kommandot mpt_getInput f¨or att erh˚alla den optimala styrsignalen u∗_{(x) som ges p˚}_{a en affin form F}i

x+ gi _{enligt ekvation}

(2.16) och (2.21). Index i avser h¨ar det aktuella omr˚adet CRi

0. Utifr˚an aktuellt

tillst˚and x s¨oker algoritmen igenom alla omr˚aden fr˚an i = 1 och upp˚at tills att den hittar ett omr˚ade CRi

0 som passar. Den optimala styrsignalen ges sedan av

(27)

2.4 Explicit MPC 15

framlagt i [22]. Denna l¨osning anv¨ands dock inte i detta arbete.

Exempel 2.4

Fortsättning fr˚an Exempel 2.1, 2.2 och 2.3. De affina lösningarna Fix+ gi _{för omr˚}_{adena CR}i

(28)

Resultaten är hämtade fr˚an [3]. Noteras bör att t.ex. regionerna #1, #3 och #4 al-la har u∗(x) = 2, men att de trots detta har definierats som tre separata omr˚aden. Anledningen till detta är att nästa komponent i styrsignalsekvensen U∗ skiljer sig ˚at dem emellan.

2.4.2 Komplexitet

Komplexiteten för mp-QP problemet bestäms framförallt av tre saker: 1. Antalet bivillkor (p˚averkar mest).

2. Antalet fria styrsignalsteg Nu (p˚averkar mycket).

3. Antalet tillst˚and i x (p˚averkar lite).

Att Nu p˚averkar mycket kan ses i Figur 2.5. Denna ¨ar h¨amtad fr˚an [2] och visar

p˚a ett exponentiellt samband mellan Nu och ber¨akningstiden. Att ¨aven antalet

omr˚aden ökar snabbt med storleken p˚a Nu gör att tidsvinsten för beräkningen

online ¨ats upp om man vill ha m˚anga fria styrsignalsteg.

Figur 2.5.Komplexitet f¨or mp-QP l¨osningen.

Sammanfattningsvis kan man s¨aga att s˚a l¨ange Nu h˚alls liten och man inte har

för m˚anga bivillkor s˚a kommer man att vinna i beräkningstid. Observera dock att det kommer att krävas ökad lagringskapacitet d˚a mp-QP lösningen kräver minnesutrymme.

(29)

Kapitel 3

Koordinat- och missilsystem

Missilen som betraktas i detta arbete är av typen Medium Range Air-to-Air Missi-les (MRAAM) och är en modern höghastighetsrobot som h˚aller en hastighet runt Mach 2.5.

3.1 Koordinatsystem

Fyra olika koordinatsystem har anv¨ants i detta arbete.

3.1.1 Intertiellt kartesiskt koordinatsystem

Detta koordinatsystem har x-koordinaten, xi_{, pekandes i nordlig riktning, y-koordinaten,}

yi_{, pekandes i ¨ostlig riktning och z-koordinaten, z}i_{, pekandes ned˚}_at.

3.1.2 Missilens kroppsfasta koordinatsystem

Detta är som namnet antyder ett internt koordinatsystem i missilen. x-koordinaten, xb_{, pekar i missilens längdriktning, y-koordinaten, y}b_{, är riktad ˚}_{at höger och}

z-koordinaten, zb_{, ¨ar riktad ned˚}_at.

3.1.3 M˚

alets kroppsfasta koordinatsystem

Fungerar precis likadant som missilens kroppsfasta koordinatsystem och indexeras som xbt_{, y}bt_{och z}bt_.

3.1.4 Syftlinjefast koordinatsystem

Det syftlinjefasta koordinatsystemet erh˚alls genom att utg˚a fr˚an missilens kropps-fasta koordinatsystem och sedan vrida detta en vinkel ν1runt zb-axeln och d¨arefter

vinkeln ν2 runt den nya yb-axeln. Det syftlinjefasta koordinatsystemts x-axel, xs,

ska efter detta peka l¨angs syftlinjen mot m˚alet - se Figur 3.1. 17

(30)

Missil Mål xi yi xb yb xbt ybt xs ys ν1

Figur 3.1.De fyra koordinatsystemen. Missilen och m˚alet ses ovanifr˚an.

3.1.5 Transformationsmatriser

F¨or att transformera vektorer mellan de olika koordinatsystem anv¨ands transfor-mationsmatriserna Tib (fr˚an inertiellt koordinatsystem till missilens kroppsfasta

koordinatsystem), Tbs (fr˚an missilens kroppsfasta koordinatsystem till

syftlinje-fast koordinatsystem) samt Tbti (fr˚an m˚alets kroppsfasta koordinatsystem till det

inertiella koordinatsystemet).

3.2 Missilens olika delar

En missil ¨ar uppbyggd av flera delsystem. I Figur 3.2 ses en principskiss ¨over de samverkande delarna.

Här är r det relativa avst˚andet mellan m˚al och missil, ˙r är relativ radiell has-tighet, ν1 och ν2 är vinklar till m˚alet, aycoch azc anger önskad acceleration, δac,

δec och δrcär kommenderade roderutslag, δa, δeoch δr är utförda roderutslag, ay

och az anger utf¨ord acceleration och ωy och ωz ¨ar missilens resulterande rotation

(31)

3.2 Missilens olika delar 19

Målsökare Guidance Autopilot Roderservon

Missilen Navigering Mättning r ˙ r ν1 ν2 ayc azc ay az ωy ωz δac δec δrc δa δe δr

Figur 3.2.Principskiss ¨over samverkan mellan olika delsystem i en missil.

Givetvis flödar det mer information än vad som är angivet i denna figur, men dessa är inte avgörande för denna studie.

3.2.1 M˚

als¨

okare

Det finns tv˚a typer av m˚alsökare som dominerar marknaden, radardoppler och Infrared (IR). En radardopplerm˚alsökare mäter relativa avst˚andet r, radiell has-tighet ˙r samt vinklarna till m˚alet, ν1 och ν2. Med en IR-m˚alsökare är det dock

endast möjligt att mäta m˚alvinklarna ν1 och ν2. Generellt gäller följaktligen att

radaroppler är bättre p˚a att mäta avst˚and, medan IR lämpar sig bättre när det gäller att mäta vinklar till m˚alet. I denna studie kommer dels radardoppler att användas, samt en kombination av radardoppler och IR.

I verkligheten aktiveras m˚alsökaren först när missilen närmar sig m˚alet eftersom den har begränsad räckvidd. Innan detta sker sköts i de flesta fall instyrning-en av missilinstyrning-en via länk fr˚an vapenbäraren. I simuleringsmiljön används dock en m˚alsökare med oändlig räckvidd som är aktiv under hela flygförloppet. M˚alsökarens dynamik modelleras inte och anses vara skrovfast, vilket innebär att den alltid är riktad längs missilens kroppsfasta x-axel, xb_.

3.2.2 Guidance

Delsystemet guidance erh˚aller aktuellt flygtillst˚and fr˚an navigeringssystemet, samt information om m˚alets flygtillst˚and fr˚an m˚alföljningssystemet i m˚alsökaren. Denna information används sedan av guidance för att beräkna en kommenderad accele-ration i gir-/tippled. Dessa blir sedan referensvärden till autopiloten. Som tidigare har nämnts finns det givetvis begränsningar p˚a hur stora accelerationer missilen kan ta ut. Detta modelleras genom attt lägga in en mättning mellan guidance och autopiloten. Det ger en övre och en undre begränsning p˚a styrsignalen. Be-gränsningen är vald till ±500 m/s2_.

3.2.3 Autopilot

Autopiloten erh˚aller referensvärden för accelerationer i gir- och tippled fr˚an gui-dance och resulterar i önskade roderutslag.

(32)

3.2.4 Roderservo

De ¨onskade roderutslagen fr˚an styrautomaten kommenderas till roderservon som p˚averkar robotens styrfenor.

3.2.5 Navigering

Missilen agerar och en mängd intern data avläses fr˚an sensorer. Dessa används bland annat av navigeringssystemet för att skatta missilens aktuella flygtillst˚and. ˚

Aterkoppling sker sedan till delsystemen guidance och autopilot.

3.3 Missilmodell

Missilmodellen är en MICOS-modell. Detta innebär att istället för att använda separata modeller för autopilot och skrovdynamik har dessa slagits ihop till en kondenserad modell. Om vi väljer att betrakta överföringsfunktionen fr˚an kom-menderad acceleration i girled, as

yc, till utf¨ord acceleration, asym, ges denna enligt

[1] av asym = 1 1 +_ω2ζ₀p +_ω12 0p 2 a s yc, (3.1)

där ω0är det ˚aterkopplade systemets odämpade egenfrekvens och ζ är den relativa

d¨ampningen. p ¨ar deriveringsoperatorn d/dt. ¨

Overf¨oringsfunktionen fr˚an kommenderad acceleration till rotation runt missilens z-axel, ωz, ges av ωz = 1 Vm · 1 + τsp 1 + 2ζ_ω₀p +_ω12 0p 2 a s yc, (3.2)

d¨ar Vm= |Vm| ¨ar missilens hastighet och τsdefinieras i (3.12). Ekvation (3.1) och

(3.2) ger

ωz =

1 Vm

(1 + τsp) asym. (3.3)

Ekvation (3.1), (3.2) och (3.3) skrivna i tidsdom¨anen blir asym+ 2ζ ω0˙a s ym+ 1 ω2 0 ¨ asym = asyc (3.4) Vm ωz+ 2ζ ω0 ˙ωz+ 1 ω2 0 ¨ ωz = asyc+ τs˙asyc (3.5) ωz = 1 Vm as ym+ τs Vm ˙as ym. (3.6) (3.7) Om vi tar ekvation (3.5) minus (3.4) erh˚alls med hj¨alp av ekvation (3.6)

2Vmζ ω0 ˙ωz+ Vm ω2 0 ¨ ωz+ τs− 2ζ ω0 ˙asym− 1 ω2 0 ¨ asym = τs˙asyc. (3.8)

(33)

3.3 Missilmodell 21 Genom att integrera ekvation (3.8) en g˚ang och utnyttja ekvation (3.6) erh˚alls

˙ωz= 1 τs (1 − 2ζω0τs)ωz+ 1 Vm (ω0τs(2ζ − ω0τs) − 1)asym +τsω 2 0 Vm asyc. (3.9)

Sammanfattningsvis kan man skriva ekvation (3.6) och (3.9) p˚a tillst˚andsforn en-ligt     ˙as ym ˙ωz     = 1 τs     −1 Vm 1 Vm · (ω0τs(2ζ − ω0τs) − 1) 1 − ω0τs2ζ         as ym ωz     +     0 ω20τs Vm     a s yc. (3.10)

En tillst˚andsmodell i tippled kan h¨arledas analogt med ovanst˚aende resonemang. Resultatet blir det samma s˚a n¨ar som p˚a n˚agra tecken

    ˙as zm ˙ωy     = 1 τs     −1 −Vm −_V1_m · (ω0τs(2ζ − ω0τs) − 1) 1 − ω0τs2ζ         as zm ωy     +     0 −ω20τs Vm     a s zc. (3.11)

Anledningen till teckenändringen är att ett positivt ωy gör att missilens nos

rote-ras upp˚at, vilket i sin tur medför en translation upp˚at. Eftersom z-axeln är riktad ned˚at ger detta ett ombytt tecken jämfört med modellen i girled.

Parametrarna f¨or en modell i girled v¨aljs enligt [1] till

ζ ≈ 0.7 (3.12a) K2 = dm 3Iz (3.12b) τs = mVm qSCCβ,trim (3.12c) τω = r _τ s 2K2u (3.12d) ω0 = r 1 + K2τωu τωτs , (3.12e)

där d är missilens referenslängd, m är missilens massa, Izär missilens

tröghetsmo-ment runt z-axeln, q är dynamiskt tryck, S är missilens referensarea, CCβ,trim är

en koefficient för sidkraft hos en trimmad missil och u är missilens hastighet i x-led. I tippled f˚as samma resultat d˚a parametrarna Iy och CNα,trim väljs enligt

[20] till

Iy = Iz (3.13a)

(34)

(35)

Kapitel 4

M˚

alf¨

oljning

4.1 M˚

almodell

Den m˚almodell som har använts i detta arbete använder sig av en kombination av kartesiska och polära koordinater och har sitt ursprung fr˚an examensarbetet [4]. M˚alets position ges i kartesiska, medan dess hastighet ges i polära. Fördelen med detta jämfört med en rent kartesisk modell är enligt [20] att vid en koordinerad sväng kommer hastigheten vtsamt accelerationerna axt, ayt, aztatt vara

konstan-ta. M˚alfölningsfiltret i avsnitt 4.2 f˚ar d˚a ett konstant värde att konvergera emot. Nackdelen är att tillst˚andsmodellen blir olinjär.

De variabler som illustreras i Figur 4.1 beskrivs av ekvationerna ˙xit = |vt| cos(ϕ) cos(θ),

˙yit = |vt| sin(ϕ) cos(θ),

˙zit = −|vt| sin(θ), ˙ vt = axt, ˙ ϕ = −ayt |vt| , (4.1) ˙θ = azt |vt| , ˙axt = w1, ˙ayt = w2, ˙azt = w3, d¨ar xi

t, yti och zit¨ar m˚alets position i det intertiella koordinatsystemet (se kapitel

3), vt= |vt| ¨ar m˚alets hastighet, axt, ayt och azt anger m˚alets acceleration, ϕ ¨ar

bäringen för m˚alets hastighetsvektor medan θ är elevationen för densamma. Insig-nalerna w1, w2 och w3 är drivande systembrus.

Om man g¨or antagandet att m˚als¨okaren befinner sig i origo i det intertiella koor-23

(36)

xi t yi t zit vt axt ayt azt ϕ _θ

Figur 4.1.Illustration av de aktuella koordinaterna i m˚almodellen.

dinatsystemet kommer relativt avst˚and mellan m˚al och m˚als¨okare r relativ radiell hastighet ˙r samt kardanvinklarna ν1 och ν2 (se Figur 3.1) att ges av

r = q (xi t)2+ (yit)2+ (zit)2+ e1, ν1 = arctan(y i t xi t ) + e2, ν2 = − arctan   zi t q xi t 2 + yi t 2  + e3, (4.2) ˙r = h ˙R, Ri |R| + e4,

där R är den uppmätta kartesiska positionsvektorn och ˙R är den kartesiska has-tighetsvektorn. Dessa definieras av

R =          xi t yit zi t          , (4.3) ˙ R =          vtcos(ϕ) cos(θ) vtsin(ϕ) cos(θ) −vtcos(θ)          . (4.4)

Vidare är ei det drivande mätbruset. Observera att om m˚alsökaren inte befinner

(37)

4.2 M˚alf¨oljningsfilter 25

M˚almodellen kan allts˚a beskrivas som en olinj¨ar modell p˚a formen ˙x = f (x) + w z= h(x) + e (4.5) d¨ar x=xi_t yi_t z_ti vt ϕ θ axt ayt azt   T , z=r ν1 ν2 ˙r   T (4.6) och f (x) f˚as fr˚an (4.1) och h(x) fr˚an (4.2) .

4.2 M˚

alf¨

oljningsfilter

Det har gjorts m˚anga studier gällande olika typer m˚alföljningsalgoritmer. De tv˚a metoder som enligt [4] visat sig ge bäst resultat är Adaptive Filtering through Mul-tiple Models (AFMM) och Interactive MulMul-tiple Models (IMM). Dessa är relativt komplexa och baseras p˚a multipla modeller. I detta arbete används endast AFMM. Detta med motiveringen att algoritmerna förvisso uppvisar samma prestanda, men att IMM enligt [4] är mer beräkningskrävande. Ett problem med multipla modeller är att antalet hypoteser växer exponentiellt och man m˚aste därför finna vägar för att begränsa antalet filter samtidigt som man uppeh˚aller god prestanda.

4.2.1 AFMM

AFMM baseras p˚a N stycken filter, i detta arbete Extended Kalman Filter (EKF), med vardera M stycken modeller. Varje filter baseras p˚a n˚agon manöver som m˚alet kan förväntas göra. I detta arbete används M = 2. Detta betyder att varje filter har en modell som är aktiv d˚a manöver sker och en modell för normaltillst˚andet när manöver ej sker. Dessa modeller skiljer sig ˚at endast genom att de har olika systembrusmatriser. Systembrusets kovarians ges allts˚a av

Qt =

Qm, med sannolikhet µ

Qn, med sannolikhet 1 − µ , (4.7) där µ är sannolikheten att manöver sker och m och n betyder ”maneuver” respek-tive ”non maneuver”.

I varje tidpunkt görs en skattning för varje filter av sannolikheten att m˚alets ak-tuella tillst˚and beskrivs bäst av just detta filter. Det filter som är mest sannolikt delas d˚a i tv˚a delar. En del som beskriver fallet d˚a manöver sker och en som be-skriver fallet d˚a manöver ej sker. För att antalet filter ska h˚allas konstant tas det filter med lägst sannolikhet bort. Eftersom detta sker i varje sampel är det inte troligt att en manöver hinner detekteras under denna korta tid. Man har därför ett minsta värde p˚a livslängden L hos filtren för att de inte ska förkastas felaktigt.

(38)

Andra parametrar ¨ar ρ som anger hur ofta filterbesk¨arning ska ske, samt Rf som

används för att skala mätbruskovariansen. Exempel 4.1 är hämtat fr˚an [4]. Exempel 4.1

I detta exempel är N = 3, M = 2 och L = 2. En illustration av förloppet ges i Figur 4.2. t1 t2 t3 t4 Filter 1 Filter 2 Filter 3 (0.1; 2; n) (0.7; 2; m) (0.2; 1; n) (0.05; 1; m) (0.75; 3; n) (0.2; 2; n) (0.4; 2; n) (0.35; 4; n) (0.25; 1; m) (0.7; 3; n) (0.2; 1; m) (0.1; 2; m) (p; L; type) p= sannolikhet L= livslängd

type= man¨over (m), ej man¨over (n)

Figur 4.2.AFMM med 3 filter och 2 modeller.

t1 Filter nummer 2 ¨ar mest sannolik. Detta filter delas upp i de tv˚a modellerna

manöver (m) och ej manöver (n). Filter 1 har lägst sannolikhet och stryks därför.

t2 Filter 2 har fortfarande störst sannolikhet och delas därför. Filter 1 har lägst

sannolikhet men dess livslängd är mindre än minsta till˚atna livslängden 2 och stryks därför inte. Istället stryks Filter 3.

t3 Filter 1 har nu störst sannolikhet och delas därför. Filter 3 har lägst sannolikhet

men dess livslängd är mindre än minsta till˚atna livslängden 2 och stryks därför inte. Istället stryks Filter 2.

(39)

Kapitel 5

Slutfasstyrning

En m˚als¨okande missil genomg˚ar under sin flygning tre olika faser. Dessa delas vanligtvis in i

• Separationsfas. • Banfas. • Slutfas.

Separationsfasen är d˚a missilen lämnar vapenbäraren. Under separationsfasen är det viktigt att roboten har ett lugnt beteende s˚a att vapenbäraren riskfritt kan vika undan. Huvuddelen av flygtiden utgörs av banfasen. Denna kan se olika ut beroende p˚a hur man vill att missilen ska inkomma mot sitt m˚al. Vanligast är att man under banfasen l˚ater missilen stiga i höjdled och p˚a s˚a vis kan attackera m˚alet snett ovanifr˚an. I detta arbete behandlas endast slutfasen. Här ska missilen ha ett aggressivt beteende och kunna reagera snabbt p˚a m˚alets manövrer. I detta arbete definieras slutfasen av

|Rrel| ≤ 2000 m, (5.1)

där |Rrel| är det relativa avst˚andet mellan m˚al och missil. Man kan även tänka

sig att definiera slutfasen utg˚aende fr˚an den kvarvarande flygtiden, tgo.

5.1 Optimal styrning

En optimal styrlag finns h¨arledd i [14] och baseras p˚a att man minimerar v¨ardefunktionen

J = E{xT(tf)Sfx(tf) + tf Z t0 uTN udx}. (5.2) d¨ar x = [xsr, yrs, zrs, ˙xsr, ˙ysr, ˙zrs, asxt, asyt, aszt, asxm, asym, aszm]. (5.3) 27

(40)

H¨ar ¨ar Sf en blockdiagonal matris som inneh˚aller straffmatrisen H. Denna

straf-far avst˚andet till m˚alet vid tidpunkten tf, där tf är tidpunkten för träff. Matrisen

N ¨ar en viktmatris som straffar styrsignalerna u1 = asyc och u2 = aszc och t0 ¨ar

tidpunkten d˚a missilen avfyras. E{·} är väntevärdesoperatorn. I övrigt är xs r, yrs

och zs

r relativa avst˚anden mellan m˚alet och missilen medan ˙xsr, ˙ysr och ˙zrs anger

relativa n¨armandehastigheter. M˚alets accelerationer betecknas som as

xt, asyt samt

as

zt och missilens accelerationer av asxm, asym samt aszm.

Designparametrar här är straffmatriserna H och N . Om man har ett h˚art straff p˚a u, d.v.s. stort N , s˚a h˚aller man styrsignalerna l˚aga och styrningen blir mjuk. Om man istället väljer H stor f˚ar man en mer aggressiv styrning.

I följande ekvationer antas att missilens kommenderade acceleration till utförd acceleration kan approximeras med ett första ordningens filter med bandbredden ωb. P˚a samma sätt approximeras m˚alets motsvarande överföringsfunktion med ett

första ordningens filter med bandbredden λ - för en noggrannare härledning se [14]. Optimal kommenderad acceleration blir

asyc = Λy Vcrs+ D(tgo,λy)asyt t2 go − D(tgo,ωb,gir)asym t2 go (5.4a) aszc = Λz −Vcqs+D(tgo,λz)a s zt t2 go − D(tgo,ωb,tipp)aszm t2 go (5.4b) d¨ar D(s, h) = (e−sh− I3+ sh)h−2. (5.5) Index c i as

yc anger att det ¨ar en kommenderad acceleration och index s betyder

att accelerationen är angiven i det syftlinjefasta koordinatsystemet, se kapitel 3. Λy och Λz är navigeringskonstanter, rs är syftlinjesrotationen kring zb-axeln och

qs _{är syftlinjesrotationen kring y}b_{-axeln eftersom m˚}_{alsökaren är skrovfast. Den}

˚aterst˚aende flygtiden tgo, approximeras med

tgo =

Rrel

Vc

, (5.6)

där Rrel = |Rrel| är avst˚andet mellan m˚al och missil och Vc är den relativa

n¨armandehastigheten

Vc = −

hRrel, ˙Rreli

|Rrel| . (5.7)

Optimal styrning ben¨amns ofta som Optimal Guidance Law (OGL).

5.2 Styrlagar

De styrlagar som har undersökts i detta arbete är de fr˚an [19] samt tv˚a nya som baseras p˚a MPC och Explicit MPC - Model Predictive Control Augmented Propor-tional Navigation (MPCAPN) och Explicit MPCAPN. En kortfattad beskrivning ges först av styrlagarna Proportional Navigation (PN), Augmented Proportional

(41)

5.2 Styrlagar 29

Navigation (APN), Simplified Optimal Guidance-law (SOG) och LQ. Därefter följer en mer omfattande redogörelse för hur MPCAPN och Explicit MPCAPN har implementerats.

5.2.1 PN

Syftbäringsstyrning, Proportional Navigation (PN), är en gammal beprövad styr-lag vars teori studerades redan i slutet av andra världskriget. Den bygger p˚a att om riktningen till m˚alet hela tiden h˚alls konstant s˚a kommer missilen att träffa sitt m˚al. Missilen försöker med andra ord att h˚alla en kollisionskurs med m˚alet istället för att ˚aka rakt mot det. En tv˚adimensionell illustration ges i Figur 5.1.

Missil Mål Rrel xb yb Vm Vt σ

Figur 5.1.Illustration av syftb¨aringsstyrning i tv˚a dimensioner.

Att riktningen till m˚alet h˚alls konstant betyder att vinkeln σ ska h˚allas konstant. Detta inneb¨ar att syftlinjesrotationen

rs _{= ˙σ} _(5.8)

ska vara noll. Tidsderivatan av syftlinjesrotationen ges enligt [19] av ˙rs ₌ 1

Rrel

2Vcrs+ asyt− asym . (5.9)

PN bygger p˚a approximationen att m˚alets acceleration är noll. Man säger även att missilens bandbredd ωbär oändlig. Under dessa antaganden kan ekvation (5.4)

(42)

skrivas som

asyc = ΛyVcrs (5.10a)

aszc = −ΛzVcqs. (5.10b)

PN ¨ar med andra ord ett specialfall av den optimala styrlagen i avsnitt 5.1. Navi-geringskonstanterna Λy och Λz har i enlighet med [19] valts till

Λy = Λz = 3.5. (5.11)

5.2.2 APN

Augmented Proportional Navigation (APN) fungerar i stort som PN med det undantaget att m˚alets acceleration antas vara konstant ist¨allet f¨or noll. Detta ger att (5.4) kan skrivas som

asyc = ΛyVcrs+Λ₂yasyt (5.12a)

aszc = −ΛzVcqs+Λ₂zaszt. (5.12b)

För analys av gränsvärden d˚a λ → 0 och ωb→ ∞ se [19]. Navigeringskonstanterna

Λy och Λz har i valts enligt (5.11). Eftersom m˚alets acceleration h¨ar inte antas

vara noll betyder det att as

yt och aszt i (5.12) beh¨over skattas. Detta g¨ors enligt

metoden i kapitel 4.

5.2.3 SOG

I likhet med APN kräver ocks˚a Simplified Optimal Guidance-law (SOG) att m˚alets acceleration skattas. Utöver detta görs heller inte antagandet att missilens band-bredd ωb→ ∞. Man är med andra ord tvungen att skatta även denna. Detta görs

enligt [8] fr˚an sambandet ωb = ω0

q

1 − 2ζ2₊_{p1 + (1 − 2ζ}2₎2_, _(5.13)

där ω0är det ˚aterkopplade systemets odämpade egenfrekvens och ζ är den relativa

d¨ampningen. Dessa ges enligt definitionerna i (3.12).

Observera att (5.4) är härledda för ett första ordningens system, medan det aktu-ella systemet i detta arbete är ett andra ordningens system som ges av ekvation (3.1). Enligt [20] kan man dock se bandbredden för systemet i ekvation (3.1) som en tillfredställande god approximation i detta sammanhang. Styrlagen för SOG ges enligt de ovan angivna antagandena, samt ekvation (5.4), av

asyc = Λy Vcrs+ as yt 2 − D(tgo,ωb,gir)asym t2 go (5.14a) aszc = Λz −Vcqs+a s zt 2 − D(tgo,ωb,tipp)aszm t2 go . (5.14b)

(43)

5.2 Styrlagar 31

5.2.4 LQAPN

Linear Quadratic Augmented Proportional Navigation (LQAPN) är en modern styrlag som visat sig fördelaktig i tidigare studier, till exempel [19] och [20]. En förutsättning för att använda denna typ av reglerstrategi är att man först be-skrivit systemet med en linjär modell p˚a tillst˚andsform. D˚a missilens dynamik ¨

andras med avseende p˚a det relativa avst˚andet Rrel, relativa n¨armandehastigheten

Vc, samt missilens hastighet Vm s˚a ändras även modellen när man g˚ar fr˚an en

beräkningspunkt till en annan. Metoden för att slippa beräkna en ny modell, och framförallt en ny styrlag, online vid varje beräkningspunkt kallas parameterstyr-ning och g˚ar ut p˚a att man p˚a förhand beräknar styrlagar för diskreta punkter och sedan interpolerar mellan dessa online. Man kan dock säga sig veta Vm, varvid

problemet reduceras till tv˚a dimensioner. I detta arbete har dock denna metod inte använts utan en ny styrlag beräknas istället online vid varje mätning. Detta gör att resultaten för LQAPN blir lite bättre än vad en approximation med para-meterstyrning skulle ge. En lösning med parapara-meterstyrning presenteras i [19]. I [19] approximeras m˚alets dynamik som ett första ordningens system enligt

˙asyt = −ε · asyt, (5.15)

d¨ar ε kan ses som en designparameter och har valts i enlighet med [20] till

ε = 0.7. (5.16)

Tillst˚anden f¨or systemmodellen i girled utg¨ors av vektorn

x =              rs as ym ωz as yt              (5.17)

och insignalen ¨ar den kommenderade accelerationen u = as

yc. Via ekvation (3.11),

(5.9) och (5.15) erh˚alls ˙x = Ax + Bu =                2 VcR − 1 R 0 1 R 0 −_τ1_s V_τ_s 0 0 1 τsV (ω0τs(2ζ − ω0τs) − 1) 1 τs(1 − ω0τs2ζ) 0 0 0 0 −ε                x+              0 0 ω2 0τs V 0              u. (5.18) Tillst˚ands˚aterkopplingen

u = −Lx (5.19)

erh˚alls via klassisk LQ-teori enligt [9]. I detta arbete används Matlab-kommandot lqr. Straffmatriserna i optimeringskriteriet väljs i enlighet med de som föreslogs i

(44)

[19] till Q =              1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0              (5.20a) R = 1, (5.20b)

d¨ar Q straffar avvikelser i tillst˚anden x och R straffar styrsignalsenergin i u. P˚a grund av symmetrin given i (3.13) f¨or tipp- och girled s˚a kommer tillst˚andsmodellen ¨

aven i tippled att ges av ekvation (5.18). Följaktligen blir även tillst˚ands˚aterkopplingen i ekvation (5.19) densamma. Det blir dock vissa skillnader i tecken, men detta löses genom att l˚ata tillst˚andsvektorn i tippled ges av

x =              −qs as zm −ωy as zt              . (5.21)

Anledningen till teckenändringen är att ett positivt ωy gör att missilens nos

rote-ras upp˚at, vilket i sin tur medför en translation upp˚at. Eftersom z-axeln är riktad ned˚at ger detta ett ombytt tecken jämfört med modellen i girled. Samma resone-mang gäller för syftlinjesrotationen qs_.

5.2.5 MPCAPN

Detta är en relativt obeprövad styrlag som bygger p˚a teorin i kapitel 2. Den benämns i detta arbete som Model Predictive Control Augmented Proportional Navigation (MPCAPN) och har tidigare studerats i [12], men d˚a under enkla-re former. Fördelen med en enkla-regulator som baseras p˚a MPC jämfört med en som baseras p˚a LQ är att MPC explicit tar hänsyn till begränsningarna p˚a styrsignalen. Systemet beskrivs precis som för LQAPN av tillst˚andsmodellen i ekvation (5.18). ¨

Aven här används samma modell för gir- och tippled. Tillst˚andsvektorerna i gir-och tippled är samma som ges i (5.17) gir-och (5.21). D˚a MPC använder sig av ett diskret system behöver systemet samplas. Eftersom mätuppdateringarna fr˚an m˚alföljefiltret sker med 100 Hz blir ett naturligt val av samplingsperioden

Ts = 1

100 = 0.01 sekunder. (5.22) För detta används Matlab-kommandot c2d med alternativet zero-order hold. Detta innebär att man ansätter insignalen u(t) som styckvis konstant mellan sam-pelpunkterna. Förfarandet följer i stort de resonemang om sampling av system

(45)

5.2 Styrlagar 33

som f¨ors i [7].

En missil kan inte accelerera obegr¨ansat. Detta resulterar i begr¨ansningar p˚a den kommenderade accelerationen, as

c. Denna begr¨ansning s¨atts i enlighet med [20] till

±500 m/s2_{. Vi f˚}_{ar allts˚}_{a en insignalbegr¨ansning enligt}

ac =

( 500 a_c > 500 ac |ac| ≤ 500

−500 ac < 500

(5.23) Om horisonterna Ny, Nu och Nc v¨aljs till

Ny = Nu = 30, (5.24a)

Nc = Nu− 1 = 29, (5.24b)

s˚a erh˚alls optimeringsproblemet min U∆={ut,ut+1,...,ut+29} n J(U , x) = xT_t+30|tP xt+30|t + 29 X k=0 xT_t+k|tQxt+k|t+ uTt+k|tRut+k|t o , (5.25) d˚a − 500 ≤ ut+k|t ≤ 500, k = 0, . . . , 29, xt|t = x(t), xt+k+1|t = Axt+k|t+ But+k|t, k ≥ 0.

Straffmatriserna Q och R v¨aljs till

Q =              1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0              (5.26a) R = 10−10_. _(5.26b)

Detta ger en betydligt aggressivare regulator än d˚a straffen i (5.20) används. Det-ta med motiveringen att en avvikelse i syftlinjesroDet-tationen helt enkelt regleras ut mycket snabbare utan att för den sakens skull ge en för stor översläng - se Figur 5.2.

När missilen kommer allt för nära sitt m˚al blir dock det öppna systemet i ekvation (5.18) instabilt, varvid det kan vara lämpligt med en mindre aggressiv regulator. Detta uppn˚as genom att välja

R =

10−10_{, n} go> 20

(46)

Figur 5.2.Illustration av hur ett initialt fel p˚a syftlinjesrotationen regleras ut d˚a inga störningar föreligger. Heldragen kurva anger MPCAPN (—) med straff enligt (5.26) me-dan streckad kurva anger LQAPN (- -) med straff enligt (5.20). Avst˚andet mellan m˚al och missil är Rrel = 1000 meter och närmandehastigheten är vald lika med missilens

hastighet Vc= Vm= Mach 2.5.

där ngo är antalet samplingspunkter fram till den tidpunkt d˚a m˚alet förutsp˚as

tr¨affas och ber¨aknas enligt

ngo = ceil Rrel Vc , Ts . (5.28)

Här är ceil ett Matlab-kommando som avrundar upp˚at till närmaste heltal och att ngo= 20 motsvarar tgo= 0.2 sekunder med samplingstident Ts= 0.01

sekun-der.

När missilen närmar sig m˚alet har det även visat sig effektivt att använda en prediktion- och styrsignalhorisont som sträcker sig exakt fram till den tidpunkt d˚a m˚alet förutsp˚as träffas. Motiveringen till ett s˚adant val är att straffet p˚a en avvi-kelse vid predikterad träff är extra viktig att undertrycka och ska därför straffas h˚ardare. Detta straff ges d˚a av P , d.v.s. den stationära lösningen till Riccatiekva-tionen, vilket är en matris med väldigt stora komponenter. En lämplig definition blir

Ny = Nu =

30, ngo≥ 30

ngo, ngo< 30. (5.29)

Straffmatrisen P och˚aterkopplingen K beräknas enligt ekvation (2.5) som lösningen till den allmänna Riccattiekvationen. Detta svarar mot att efter Nusampel

(47)

predik-5.2 Styrlagar 35

teras styrsignalen ut+k som l¨osningen till LQ-problemet vilket beskrivs i avsnitt

5.2.4. Detta ger en stabil l¨osning f¨orutsatt att systemet under de Nu samplen har

hunnit styras till ett omr˚ade där inga begränsningar sl˚as i. Eftersom missilen inte utgör ett tidsinvariant system är det dock väldigt sv˚art att garantera stabilitet. Intressant är givetvis ocks˚a at se vad som händer om man använder samma straff för LQAPN som för MPCAPN. I Figur 5.3 ses en jämförelse mellan dessa tv˚a metoder d˚a man applicerar straffen i (5.26).

Figur 5.3.Illustration av hur ett initialt fel p˚a syftlinjesrotationen regleras ut d˚a inga störningar föreligger. Heldragen kurva anger MPCAPN (—) medan streckad kurva anger LQAPN (- -). B˚ada med straff enligt (5.26). Avst˚andet mellan m˚al och missil är Rrel=

300 meter och n¨armandehastigheten ¨ar vald lika med missilens hastighet Vc = Vm =

Mach 2.5.

Om man har en större och trögre missil som kräver mer roderutslag än den som hittills behandlats blir skillnaden mellan MPCAPN och LQAPN ännu tydligare än i Figur 5.3. En trögre missil f˚as genom att välja lägre värden p˚a CNα,trim och

CCβ,trim i (3.12). Om dessa skalas med en faktor 0.6 erh˚alls uppf¨orandet i Figur

(48)

Figur 5.4.Illustration av hur ett initialt fel p˚a syftlinjesrotationen regleras ut d˚a inga störningar föreligger. Heldragen kurva anger MPCAPN (—) medan streckad kurva anger LQAPN (- -). B˚ada med straff enligt (5.26). Avst˚andet mellan m˚al och missil är Rrel=

300 meter och n¨armandehastigheten ¨ar vald lika med missilens hastighet Vc = Vm =

Mach 2.5. Koefficienterna CNα,trim och CCβ,trim ¨ar skalade med en faktor 0.6

5.2.6 Explicit MPCAPN

Som tidigare nämnts är den stora svagheten hos MPC tidsaspekten. Vid varje sampel görs en onlineberäkning som resulterar i en optimal styrlag över en finit tidshorisont. För att undvika detta kan metoden för Explicit MPC användas, se avsnitt 2.4.

Systemet beskrivs även här av tillst˚andsmodellen i ekvation (5.18) och straffmatri-serna ges som i fallet MPCAPN av (5.26). Ett problem med Explicit Model Pre-dictive Control (EMPC) är att antalet regioner i mp-QP lösningen växer snabbt, dels med avseende p˚a antalet tillst˚and i x, men framförallt med avseende p˚a styr-signalhorisonten, Nu. I avsnitt 5.2.5 användes en styrsignalhorisont p˚a 30 sampel.

Ett motsvarande val här skulle medföra en mp-QP lösning med tusentals omr˚aden. Detta skulle innebära en väldigt l˚ang beräkningstid s˚aväl offline som online, varvid hela poängen med en explicit lösning försvinner. Detta problem har lösts genom att istället för att sampla systemet med Ts= 0.01 sekunder använda

(49)

5.2 Styrlagar 37

och

Ny = Nu = 3, (5.31a)

Nc = Nu− 1 = 2. (5.31b)

Man f˚ar p˚a detta sätt en lika l˚ang prediktion tidsmässigt, men med betydligt lägre Nuoch Nc. Antalet omr˚aden i mp-QP lösningen kommer d˚a att ligga runt cirka 25

stycken. Observera att styrsignalen fortfarande beräknas vid varje mätuppdatering fr˚an m˚alföljefiltret, men att man i beräkningsögonlicket säger sig ha en predikterad styrsignal som är styckvis konstant under 0.1 sekunders intervall. Detta innebär gi-vetvis en ytterligare försämring, men har visat sig ge tillfredställande resultat i de utförda simuleringarna. En illustration av hur prediktionen g˚ar till ges i Figur 5.5.

0.1 0.2 0.3

0.01 tid [s]

u

Figur 5.5. Heldragen kurva (—) anger predikterad styrsignalsekvens vid tiden t = 0. Streckad kurva (- -) anger predikterad styrsignalsekvens vid tiden t = 0.01.

Precis som för styrlagen MPCAPN är det även här lämpligt att ha en prediktion-och styrsignalorisont som sträcker sig exakt fram till den tidpunkt d˚a m˚alet förutsp˚as träffas. En lämplig definition av dessa horisonter ges analogt med resonemanget kring (5.29) till

Ny = Nu =

3, ngo≥ 3

ngo, ngo< 3. (5.32)

Observera att denna beräkning görs offline och baseras p˚a vilken arbetspunkt mp-QP lösningen skapas för. Med arbetspunkt menas värdet p˚a processvariablerna Rrel, Vc och Vm.

(50)

Parameterstyrning

Parameterstyrning (eng: Gain Scheduling) innebär att man har en linjär regula-tor som är en funktion av mätbara processvariabler. I v˚art fall är dessa variabler Rrel, Vc och Vm. Grundtanken är att man beräknar en mängd styrlagar offline i

diskreta arbetspunkter. Online s˚a interpolerar man sedan mellan närliggande ar-betspunkter, varvid man erh˚aller en god approximation av den optimala styrlagen för aktuellt flygtillst˚and. Eftersom man p˚a förhand kan säga sig veta missilens ungefärliga hastighet Vm, kan denna sättas fix. I detta arbete behandlas en missil

som h˚aller hastigheten

Vm = Mach 2.5 (5.33)

via reglering av dragkraften. Variablerna Rreloch Vcvarierar dock.

Interpolations-punkterna f¨or dessa har valts som

Rrel = 100, 200, 300, . . . , 2000 m, (5.34a)

Vc = 100, 200, 300, . . . , 3000 m/s. (5.34b)

I Figur 5.6 illustreras hur parameterstyrning genomf¨ors.

100 200 100 200 Förberäknade mp-QP lösningar Aktuellt flygtillstånd Vc V1 c V2 c R1 rel R2rel Rrel mpQP11 mpQP12 mpQP21 mpQP22 (Rrel, Vc) Rrel = 320 m Vc= 370 m/s

Figur 5.6.Illustration ¨over parameterstyrning.

mp-QP l¨osningarna mpQP11, mpQP12, mpQP21 och mpQP22 inneh˚aller var f¨or sig omr˚aden liknande de i Figur 2.4, dock i fyra dimensioner eftersom dim(x) = 4.

(51)

5.2 Styrlagar 39

Utifr˚an dessa fyra närliggande mp-QP lösningar beräknas fyra separata styrlagar u11, u12, u21och u22som affina funktioner av det aktuella tillst˚andet x. Styrlagen u11_erh˚_{alls t.ex. genom beräkning av den affina funktionen F}i

11x+ gi11, d¨ar index

i anger aktuellt omr˚ade i mp-QP l¨osningen f¨or denna punkt.

Beroende p˚a hur nära en interpolationspunkt vi befinner oss ska styrlagen för den-na punkt p˚averka resultatet olika mycket. Linjär interpolation i tv˚a dimensioner sker i enlighet med tankesättet i [11] och resulterar i styrlagen

u(η, ε) = (1 − η) ·(1 − ε)u11_{+ εu}12_{+ η · (1 − ε)u}21_{+ εu}22_, _(5.35)

d¨ar vikterna η och ε ges av

η = Rrel− R 1 rel R2 rel− R1rel , (5.36a) ε = Vc− V 1 c V2 c − Vc1 . (5.36b) Ber¨akningstid

Syftet med Explicit MPC är att minska beräkningstiden jämfört med d˚a traditio-nell MPC används. Att detta har lyckats kan ses i Tabell 5.1. Här redovisas en genomsnittlig beräkningstid per mätpunkt för MPC och Explicit MPC under en hel simulering.

Styrlag Ber¨akningstid [s] MPCAPN 0.0340

EMPCAPN 0.0080

Tabell 5.1.Genomsnittlig beräkningstid per mätpunkt för guidancedelen under en si-mulering.

Observera att denna tid endast avser ber¨akning av styrlagen och ej skattning av m˚aldata.

Man skulle kunna tänka sig att tidsskillnaden mestadels härrör fr˚an att MPCAPN använder sig av en styrsignalhorisont med fler sampel än Explicit MPCAPN. Detta är dock inte fallet vilket visas i Tabell 5.2. Här baseras MPCAPN p˚a en samp-lingstid samt horisonter valda enligt (5.30) och (5.31). Det vill säga samma som för Explicit MPCAPN.

Styrlag Ber¨akningstid [s] MPCAPN 0.0268

Tabell 5.2.Genomsnittlig beräkningstid per mätpunkt för guidancedelen under en si-mulering. Samplingstid för regulatorn samt horisonter valda enligt (5.30) och (5.31)

(52)

Anledningen att den explicita lösningen inte är ännu snabbare är att parameter-styrning används. Eftersom man interpolerar mellan fyra olika styrlagar vid varje mätpunkt behöver följaktligen ocks˚a fyra stycken mp-QP lösningar analyseras för att finna dessa styrlagar.

En annan förenkling som är gjord är att missilen alltid befinner sig p˚a höjden 3000 m och flyger med en hastighet av Mach 2.5. Den sistnämnda kommer i och för sig inte att variera s˚a mycket d˚a denna hastighet styrs av en separat regler-krets mot just detta värde. Höjden missilen kommer att flyga p˚a är ju dock sv˚ar att veta p˚a förhand. En tänkbar lösning till problemet är att införa höjden som en ytterligare parameter i parameterstyrningen och d˚a f˚a ett tredimensionellt sy-stem. Nackdelen med detta är att man förlorar i beräkningstid samt att mp-QP lösningen kommer att kräva betydligt mer lagringskapacitet.

5.2.7 Koordinattransformationer

De styrlagar som har presenterats i detta kapitel resulterar i kommenderade accele-rationer som är vinkelräta mot syftlinjen. Autopiloten vill dock ha kommenderade accelerationer i det kroppsfasta koordinatsystemet. Denna transformation görs ge-nom det förenklade sambandet

abyc = as yc cos ν1, (5.37a) abzc = as zc cos ν2 , (5.37b)

(53)

Kapitel 6

Simuleringar

Styrlagarna som presenterades i kapitel 5 har jämförts enligt tre olika metoder. Dessa är Monte-Carlo simuleringar, avsnitt 6.2, händelsestyrda simuleringar, av-snitt 6.3, samt skjutzoner, avav-snitt 6.4. De flygscenarier som behandlas vid Monte-Carlo simuleringar samt vid skjutzoner beskrivs i avsnitt 6.1. Händelsestyrda si-muleringar beskrivs i sin helhet i avsnitt 6.3.

6.1 Scenarier

6.1.1 Scenario 1

I detta skjutscenario startar missilen p˚a höjden 3000 m. M˚alet befinner sig p˚a samma höjd och avst˚andet dem emellan är 18 km. M˚alet flyger till en början med hastigheten Mach 0.9 i riktning rakt mot missilen. Efter 4 sekunder gör det en 4g sväng till fr˚ankurs, samt accelererar med 1.5g i xbt_{-led efter 10 sekunder in i}

sv¨angen.

6.1.2 Scenario 2

Detta scenario liknar till stora delar scenario 1. Skillnaderna är att m˚alet p˚abörjar sin sväng efter 6 sekunder och utför denna med 8g, samt att accelerationen i xbt

-led p˚abörjas efter 6 sekunder in i svängen. Detta gör att m˚alet hinner vända innan träff, varvid träffen sker rakt bakifr˚an.

6.1.3 Scenario 3

Detta är det sv˚araste av de tre scenarierna. M˚alet gör här en s˚a kallad tunnelroll, vilket innebär att det hela tiden utför en kraftig roterande manöver i y- och z-led. Detta gör vinkelmätningen mycket sv˚ar. Starthöjden är 3 km och hastigheten är Mach 0.9.