1
Examensarbete
15 högskolepoängElevernas förståelse om integralkalkyl
Students' understanding of integral calculus
Florentina Alionte
Lärarexamen 270hp Handledare: Ange handledare
Matematik och lärande Slutseminarium 2012-06-20
Examinator: Björn Lundgren Handledare: Peter Bengtsson Lärande och samhälle
3
Sammanfattning
Det här arbetet har haft som syfte att ta reda på vilka uppfattningar eleverna på en Komvuxskola har om integralkalkyl. I undersökningen medverkade 28 elever och fyra av dem blev intervjuade. Jag använde mig av ett skriftligt test och kvalitativa ostrukturerade intervjuer som undersökningsmetoder. Studiens resultat visade att endast några elever tolkade begreppen primitiv funktion samt integral som ett objekt och utvecklade relationell förståelse. De andra eleverna som på det skriftliga testet kunde tillämpa reglerna för att bestämma primitiva funktioner och för att beräkna integraler, uppfattade begreppen som en process och utvecklade instrumentell förståelse. De felaktiga svaren grundade sig på svårigheter med: algebraiska manipulationer, grundläggande algebra och hantering av grafräknaren. När det gäller elevernas förståelse om sambandet mellan funktionens och primitiva funktionens graf visade eleverna svårigheter med övergången från den grafiska till den symboliska representationsformen. De eleverna som använde sig av grafräknaren på ett effektivt sätt fick bättre resultat än de andra som skrev att grafräknaren inte kom till någon användning.
Nyckelord: förståelse, elev, matematik D, funktion, primitiv funktion, integral, area, graf, grafräknare
4
Förord
Jag vill tacka min handledare Peter Bengtsson för all hjälp och tid han har lagt ner på mitt examensarbete.
5
Innehåll
Students' understanding of integral calculus ... 1
Innehåll ... 5
1. Inledning ... 7
2. Syfte och frågeställningar ... 8
2.1 Syfte ... 8 2.2 Frågeställningar ... 8 3. Teoretisk bakgrund ... 9 3.1 Begreppsdefinitioner ... 9 3.1.1 Gränsvärde ... 9 3.1.2 Primitiv funktion ... 9 3.1.3 Integral ... 10 3.2 Integraler i kursplanen ... 11
3.3 Integraler i elevernas lärobok ... 11
3.4 Piaget och den kognitiva synen på inlärning ... 12
3.5 Strukturellt och operationellt tänkande ... 13
3.6 Relationell och instrumentell förståelse ... 14
3.7 Elevernas uppfattningar enligt tidigare forskning ... 15
3.8 Användning av grafräknare ... 16
4. Metod och genomförande ... 19
4.1 Presentation av testuppgifterna ... 20 4.1.1 Uppgift 1 ... 20 4.1.2 Uppgift 2 ... 20 4.1.3 Uppgift 3 ... 21 4.1.4 Uppgift 4 ... 21 4.1.6 Uppgift 6 ... 22 4.1.7 Uppgift 7 ... 23 4.1.8 Uppgift 8 ... 23 4.2 Urval ... 24
4.3 Reliabilitet och validitet ... 24
4.4 Etiska aspekter ... 25
6
5.1 Resultat av det skriftliga testet ... 26
5.2 Resultat av intervjuer ... 34
6. Analys av resultatet ... 38
6.1 Analys av det skriftliga testet ... 38
6.2 Analys av intervjuer ... 41
7. Slutsatser och diskussion ... 44
7.1 Förslag till vidare studier ... 48
Referenser ... 49
Bilaga 1 ... 51
7
1. Inledning
Integraler är ett av de viktigaste begreppen eleverna stöter på i Matematik D kursen. Hastighet, sträcka, längden av en kurva, area, volym, tröghetsmoment eller effekt är några storheter som kan beskrivas eller beräknas med hjälp av integraler.
Under hela utbildningen hade jag min praktikplats på en Komvuxskola och där träffade jag elever som tyckte att integralbegreppet kändes för abstrakt eller för svårt att förstå.
Själv hade jag läst Matematik D både i mitt hemland samt här i Sverige och trodde att jag hade förstått begreppet. Först när jag läste en fysikkurs och sedan en analyskurs på lärarutbildningen förstod jag att betydelsen av integralbegreppet var en annan. Faktum var att jag bara kunde tillämpa integreringsregler samt analysens huvudsats för att bestämma primitiva funktioner och för att beräkna integraler. Redan då bestämde jag mig för att mitt examensarbete skulle handla om elevernas uppfattningar av integralkalkyl.
8
2. Syfte och frågeställningar
2.1 Syfte
Syftet med den här undersökningen är att ta reda på vilka uppfattningar eleverna på en Komvuxskola har om integralkalkyl. I all tidigare forskning som jag har kommit i kontakt med under mitt arbete, har författarna låtit eleverna lösa uppgifter som ligger på en högre nivå än vad eleverna på komvux skulle klara. Därför är också mitt syfte med undersökningen att kontrollera om tidigare forskningsresultat stämmer på komvuxeleverna.
2.2 Frågeställningar
Vad har eleverna för förståelse om begreppen primitiv funktion och integral?
Vilka svårigheter stöter eleverna på vid bestämning av primitiva funktioner och vid beräkning av integraler?
Vad har eleverna för förståelse om sambandet mellan funktionens och primitiva funktionens graf?
I vilken omfattning samt i vilket syfte använder sig eleverna av grafräknaren i samband med studier i integralkalkyl?
9
3. Teoretisk bakgrund
3.1 Begreppsdefinitioner
I boken Derivator, integraler och sånt… som är avsedd för högskolestudier väljer Dunkels m.fl. (2000) att först definiera begreppet gränsvärde i kapitel två för att sedan ta upp begreppen integral och primitiv funktion i kapitel sex.
3.1.1 Gränsvärde
Enligt Dunkels m.fl. (2000) betraktas gränsvärdet som ett av analysens grundläggande begrepp och definieras:
”Funktionen sägs ha gränsvärdet A, då går mot oändligheten, om det går att få att
ligga godtyckligt nära A för alla tillräkligt stora . Detta skrivs: eller
då . ” (Dunkels m.fl. 2000, sid 88)
Figur 1: Visar funktionen (Dunkels m.fl. 2000, sid 88)
3.1.2 Primitiv funktion
Dunkels m.fl. (2000) definierar en primitiv funktion enligt följande:
”Funktionen sägs vara en primitiv funktion till på intervallet I om för alla .” (Dunkels m.fl. 2000, sid 299)
10
Författarna betonar också att inte är den enda primitiva funktionen som har. Till exempel om är två primitiva funktioner till så kan skrivas som: där är en godtycklig konstant.
3.1.3 Integral
För att definiera begreppet integral väljer Dunkels m.fl. (2000) funktionen , som är uppritad i diagrammet nedan:
Figur 2: Visar funktionen som begränsas av linjerna a och b samt av x-axeln (Dunkels m.fl. 2000, sid 294)
Vidare förklarar författarna att mellan linjerna a och b samt funktionen och x-axeln bildas ett område. Arean av området kan bestämmas genom att dela upp det i fyra rektanglar. Rektanglarnas bredd är lika med intervallen , , , medan rektanglarnas höjd är lika med och . Arean för den första rektangeln blir . Den sammanlagda arean betecknas med och kan beräknas genom att addera alla rektanglarnas areor: . Med hjälp av Riemannsumma kan den sammanlagda arean skrivas allmänt:
11
Integralbegreppet definierar Dunkels m.fl. (2000) enligt följande:
Låt f vara en begränsad funktion på intervallet . Dela intervallet i delintervall med delningspunkter . Välj godtyckligt en punkt från varje
delintervall och sätt . Öka antalet delningspunkter så att längden av det lägsta delintervallet går mot 0. Om konvergerar mot ett och samma gränsvärde oberoende av hur talen och väljs så sägs integralen av f över intervallet existera och integralens värde är gränsvärdet ifråga . Gränsvärdet betecknas . (Dunkels m.fl. 2000, sid 295)
Författarna förklarar hur kan tolkas: står för , för och för . Funktionen kallas för integrand, för övre och nedre integrationsgränser medan kallas för integrationsvariabel. Om en funktion integreras med avseende på t betecknas då gränsvärdet: .
3.2 Integraler i kursplanen
Eleverna som läser Matematik D på Komvux får betyg enligt kursplanen Lpf 94. I slutet av kursen ska eleverna kunna:
bestämma primitiva funktioner och använda dessa vid tillämpad problemlösning
förklara innebörden av begreppet integral och klargöra sambandet mellan integral och derivata samt kunna ställa upp, tolka och använda integraler i olika typer av grundläggande tillämpningar
redogöra för tankegången bakom och kunna använda någon metod för numerisk integration samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara för att beräkna integraler. (www.skolverket.se hämtad 2012-04-29)
3.3 Integraler i elevernas lärobok
Läroboken eleverna använder i skolan heter Matematik 4000, Kurs D blå (Alfredsson m.fl., 2009). Författarna förklarar att den är avsedd för de elever som antingen går en naturvetenskapslinje eller tänker studera högre matematik och följer kursplanen Lpf 94. Varje moment i boken introduceras med en teoretisk genomgång som följs av några lösta exempel. I slutet av avsnittet finns det rutinuppgifter, tillämpningar samt blandade uppgifter som ligger på olika svårighetsnivåer. I det tredje kapitlet tar författarna upp integralkalkyl och differentialkalkyl. Integralkalkylen berör följande moment: primitiva funktioner, primitiva funktioner med villkor, integraler, numerisk integration, numerisk integration med över- och
12
undersummor, integralberäkning med primitiv funktion, area mellan två kurvor, integraler och areor, tillämplingar och blandade problem.
Begreppet primitiv funktion introducerar Alfredsson m.fl. (2009) med hjälp av några enkla funktioner. Först visar författarna hur man hittar en eller flera primitiva funktioner algebraiskt, för att sedan rita upp några av dessa i ett koordinatsystem. Vidare definierar Alfredsson m.fl. (2009) begreppet enligt följande:
”En funktion kallas en primitiv funktion till om . Vi kan också säga att F är
antiderivatan till .” (Alfredsson m.fl. 2009, sid. 153)
Integralbegreppet förklaras med hjälp av några verklighetsanknutna exempel. Författarna nämner att grafräknaren är ett användbart verktyg när det gäller bestämning av integraler, men visar inte hur man går tillväga för att komma fram till lösningen. Begreppet integral definieras:
”Om det finns precis ett tal som för alla indelningar av intervallet ligger mellan över- och
under summan är integrerbar och .” (Alfredsson m.fl. 2009, sid. 169)
3.4 Piaget och den kognitiva synen på inlärning
Imsen (2000) förespråkar att Jean Piaget (1896-1980) verkade bland annat som biolog, filosof, epistemolog och psykolog. Enligt Piagets teori sker inlärningen på individuell nivå. Piaget betonar att man lär sig ständigt genom att samspela med omgivningen och att detta leder till en ömsesidig påverkan, som medför människans utveckling. Alla erfarenheter och kunskaper man samlar på sig under livets gång sparas och kartläggs som tankescheman (kognitiva scheman). Vidare förklarar Imsen (2000) att de kognitiva schemana konstrueras och modelleras med hjälp av två olika processer: assimilering och ackommodering. Med assimilering menas att varje gång man stöter på ny information/händelse tolkas och bearbetas med hjälp av befintliga kunskaper, för att sedan anpassa dem efter sina existerande scheman. Ackommodering kallas den andra processen och den kommer till användning när man utvecklas och de befintliga kunskaperna inte längre räcker till för tolkning av de nya händelserna man stöter på. (Imsen, 2000)
13
3.5 Strukturellt och operationellt tänkande
Sfards (1991) teori förespråkar att matematiska abstrakta begrepp kan uppfattas på två olika sätt: strukturellt och operationellt. Den strukturella uppfattningen innebär att begreppet tolkas som ett objekt:
”Seeing a mathematical entity as an object means being capable of referring to it as if it was
a real thing – a static structure, existing somewhere in space and time.” (Sfard, 1991, sid 4)
Med den operationella uppfattningen menas att begreppet tolkas som en process:
”In contrast, interpreting a notion as a process implies regarding it as a potential rather than actual entity, which comes into existence upon request in a sequence of actions.” (Sfard,
1991, sid 4)
Författaren tar hänsyn till resultat av tidigare forskning samt till Piagets teori och hävdar att inlärningsprocessen av abstrakta begrepp sker som ett samspel mellan de två typerna av tänkanden. I den här processen tolkas och bearbetas begreppen med hjälp av olika representationsformer. Vidare förklarar Sfard (1991) att man först bör kunna manipulera med begreppen algebraiskt för att sedan övergå till det strukturella tänkandet. Begreppet funktion tar författaren som exempel för att klargöra vilka steg man bör göra för att uppnå det strukturella tänkandet. Först ska man kunna beräkna funktionens värde i olika punkter med hjälp av linjens ekvation. Enligt författaren är grafer viktiga vid tolkning och bearbetning av abstrakta begrepp och därför bör man kunna rita upp olika typer av funktioner i ett koordinatsystem. Den strukturella uppfattningen uppnås enligt Sfard (1991) när man klarar att skissa grafen för hand till olika funktioner utan att behöva tänka på några koordinater eller när man kan gå mellan de olika representationsformerna.
Enligt Sfard (1991) kan en funktion tolkas och bearbetas med hjälp av följande representationsformer:
1. Muntlig – motsvarar operationellt tänkande (den här processen sker stegvis, man tar ett steg i taget och förklarar sina tankegångar).
2. Den algebraiska representationsformen – motsvarar både strukturellt (linjens ekvation som visar hur två olika storheter beror på varandra) och operationellt tänkande (beräkningar).
14
3. Den grafiska representationsformen – motsvarar strukturellt tänkande (det är flera punkter som kan sammanbindas med en linje).
4. Med hjälp av ett dataprogram eller en grafräknare – motsvarar operationellt tänkande (fungerar som en beräkningsprocess).
Sfard (1991) hävdar att den strukturella uppfattningen ligger till grund för den relationella förståelsen, vilken är definierad av Skemp (1976). Vidare betonar författaren att algebraiska tillvägagångssättet eller de andra representationsformerna som motsvarar operationellt tänkande, medför endast instrumentell förståelse.
3.6 Relationell och instrumentell förståelse
Skemp (1976) skiljer på två typer av förståelse: relationell och instrumentell. Med instrumentell förståelse menar författaren att man vet vilka regler som gäller för att lösa uppgifter och hur de tillämpas. Men däremot när man ”vet vad man gör” och ”vet varför”, har man uppnått den relationella förståelsen.
Vidare understryker Skemp (1976) att det finns många lärare som undervisar instrumentellt. Anledningen till att man väljer göra det, kan vara fördelarna med den typen av undervisning och författaren tar upp några av dem. Eleverna förstår och lär sig snabbare vilka regler som gäller för respektive moment och hur man tillämpar dem. Den instrumentella förståelsen kan bygga upp själförtroendet eftersom eleven kan klara många uppgifter och snabbt kan få de rätta svaren. Det är inte så mycket kunskaper som är inblandade och författaren hävdar att de få kunskaperna glömmer eleverna snabbt. De behöver repetera ofta och orsaken till detta är att man betraktar varje moment som en enskild del. Slutligen påstår författaren att de eleverna som får en sådan typ av undervisning bygger upp kognitiva scheman, vilka består av många enskilda delar, som aldrig sammanknyts till en helhet.
Skemp (1976) hävdar att den relationella förståelsen kan uppnås om eleven: använder sig av en strategi, väljer rätt metod, vet samt kan motivera varför just den metoden fungerar för att lösa respektive uppgift och har förmågan att anpassa den till andra nya uppgifter. I det här fallet är mängden av kunskaper större, innehållet kan kännas svårare och eleven behöver möjligtvis mer tid för att lära sig. Den viktigaste fördelen med den typen av förståelse som författaren understryker, är att man inte glömmer så snabbt och att man inte behöver repetera
15
lika mycket. Anledningen till detta är att man konstruerar ett tankeschema (kognitivt schema) inom respektive område, schema som lätt kan omformas så fort man stöter på ny information/händelse. En annan fördel med den relationella matematiken som författaren tar upp är att dess innehåll är mer aktuellt och mer förankrat i vardagslivet.
Den matematiken som undervisas i dagens skola, kallar Skemp för ”modern matematik”. Innehållet undervisas och uppfattas instrumentellt och detta gör det svårt för ackommodationsprocessen, rekonstruktionen av elevernas aktuella scheman (kognitiva scheman). (Skemp, 1976)
Skemp (1976) nämner också att det kan vara svårt för läraren att bedöma vilken typ av förståelse en elev har utvecklat genom att rätta ett prov eller följa elevens skriftliga lösningar till vissa uppgifter. Det bästa sättet att ta reda på det är genom att samtala med respektive elev.
3.7 Elevernas uppfattningar enligt tidigare forskning
Orton (1983) nämner i sin studie några vanliga svårigheter eleverna stöter på vid beräkning av integraler. Eleverna har fått bestämma arean för ett område som bildas mellan en funktionskurva och x-axeln. Vid bestämning av arean med hjälp av en numerisk metod visar elever först och främst problem med grundläggande algebra. Enligt instruktioner har eleverna delat respektive området i flera rektanglar för att sedan beräkna deras sammanlagda area. Det visar sig vara svårt även för de duktiga eleverna att bestämma rektanglarnas bredd och höjd . Dessutom visar många elever att de inte har förstått sambandet mellan begreppet integral och arean som bildas mellan funktionens kurva och x - axeln. Författaren har även testat elevernas räknefärdigheter genom att låta dem bestämma en primitiv funktion till olika typer av funktioner. Elevernas lösningar tyder på att de har svårt att manipulera potensfunktioner med negativ exponent eller med en exponent som står i bråkform.
Orton (1983) diskuterar de strukturella fel eleverna gör och poängterar att införandet av begreppet integral kan skymmas av algebraiska manipulationer. Han betonar också att grafräknaren kan vara ett användbart verktyg i arbetet med integralkalkyl, men den kommer inte till användning för de eleverna som visar problem med grundläggande algebra.
Sealeys (2006) låter eleverna som deltar i undersökningen, att lösa verklighetsanpassade uppgifter för att ta reda på vilka uppfattningar de har om sambandet mellan area och
16
integraler. Det visar sig att en del elever har svårt att lösa uppgifterna genom att ställa upp en integral. För att komma fram till lösningen måste de först lösa problemen med hjälp av Riemannsumman. Författaren noterar även att några elever som lyckas ställa upp en integral har svårt att bedöma om deras resultat är korrekt och vilken storhet den bestämda arean motsvarar i verkligheten. Sealey (2006) understryker att elevernas lösningar visar enbart operationell förståelse och påstår att area är ett viktigt verktyg, men inte tillräckligt för att eleverna ska förstå integralbegreppet.
Rasslan & Tall (2002) har i sin studie funnit att eleverna har svårt att definiera begreppet integral samt att lösa uppgifter som har med areaberäkningar att göra. I tre av uppgifterna som författarna väljer, bör eleverna rita upp de olika funktionerna för att lättare komma fram till lösningen. Det visar sig att bara några elever ritar upp graferna i ett koordinatsystem och att endast hälften av dem kommer fram till det rätta svaret.
Rasslan & Tall (2002) förespråkar att begreppet integral bör introduceras med utgångspunkt i elevernas befintliga kunskaper. För att eleverna ska bygga upp mer förståelse om begreppet bör läraren komma med olika exempel och uppmuntra eleverna att uttrycka sina idéer.
Förståelse av begreppet integral innebär enligt Ghazali m.fl. (2005) att kunna förklara det valda tillvägagångssättet muntligt samt att kunna gå mellan de olika representationsformerna: algebraisk, symbolisk och grafisk. Författarna har i sin studie kommit fram till att eleverna som har deltagit i undersökningen inte visar problem med övergången från den grafiska representationsformen till den symboliska. Elevernas lösningar visar däremot svårigheter med areaberäkningar.
Vidare förespråkar Ghazali m.fl. (2005) att läraren ska gå igenom olika exempel och praktiska övningar för att eleverna ska utveckla en bättre förståelse om de inblandade begreppen. Läraren bör förklara på ett ingående sätt vilken eller vilka representationsformer som kan användas för att lösa en uppgift och hur man går mellan de möjliga formerna.
3.8 Användning av grafräknare
Hunters (2011) exemplifierar i sin doktorsavhandling hur grafräknaren kan användas på ett effektivt sätt för att: visualisera grafer till olika funktioner, inleda en strategi, undersöka,
17
bevisa sambandet mellan integraler och arean, beräkna area, volym, sträcka eller approximera en integral med hjälp av en numerisk metod.
Eleverna som deltar i Hunters (2011) studie går i olika klasser. I den ena klassen får eleverna traditionell undervisning där de lär sig olika lösningsprocedurer och är vana att lösa uppgifterna för hand med hjälp av den algebraiska representationsformen. I den andra klassen har författaren själv undervisat och eleverna har lärt sig att lösa uppgifter både för hand och med hjälp av en grafräknare. Det visar sig att den icke traditionella undervisningen ger ett bättre resultat. Grafräknaren har kommit till användning under intervjuer för att; resonera, inleda en strategi, utföra beräkningar, visualisera grafen till olika funktioner, verifiera lösningar eller dra slutsatser. Hunter (2011) noterar att dessa elever kan lösa uppgifterna med hjälp av olika representationsformer. Genom att ta hänsyn till studiens resultat, men även till tidigare forskning, förespråkar författaren att elevernas resultat kan förbättras om läraren förklarar de abstrakta begreppen med hjälp av olika representationsformer.
Forster & Muellers (2001) studie undersöker vilka konsekvenser det medför, ifall eleverna använder grafräknaren, för undervisning och bedömning. Efter genomförda intervjuer och en ingående analys av elevernas lösningar, finner författarna att grafräknaren är en delvis källa till elevernas felaktiga svar. Studiens resultat visar att eleverna har svårigheter med bestämning av arean som bildas mellan en linjär funktion och en andragradsfunktion. Eleverna väljer fel områden eller felaktiga integreringsvärden och skriver av integralens värde med flera decimaler, precis som det visas i grafräknarens fönster. Studiens resultat visar även att eleverna föredrar den traditionella metoden (algebraiska representationsformen) för att lösa uppgifterna istället för att ta hjälp av grafräknaren. Möjligtvis har vissa elever inte valt grafräknaren eftersom de har varit osäkra på hur den används eller om den ger det rätta svaret. Forster & Muellers (2001) hävdar att grafräknaren bör användas snarare för elevernas förståelse i undervisningen och inlärningsprocessen än för bedömningens syfte.
Ye (2009) nämner i sin studie några av fördelarna med att använda grafräknaren i matematikundervisningen. Den hjälper till med förståelse av abstrakta begrepp och bidrar också till samarbete och utforskning. Författaren hävdar att användning av grafräknare förhoppningsvis kommer att främja en modernisering av läroböcker och den leder till diversifiering av undervisningen. Forskaren hänvisar till Streun, Harskamp & Suhre (2000) som förklarar att traditionell matematikundervisning går ut på; att lära sig formler utantill, att lära sig och träna olika procedurer. De här faktorerna har gjort att elever har tröttnat på
18
matematiken och tagit avstånd från ämnet. Grafräknaren kan vara ett användbart verktyg för hantering av långa och komplicerade uträkningar. Genom att använda grafräknarens inbyggda funktioner minskas belastningen på eleverna och de kan tillbringa mer tid för att resonera eller samarbeta. (Ye, 2009)
19
4. Metod och genomförande
För att ta reda på vilka uppfattningar eleverna på en Komvuxskola hade om integralkalkyl använde jag mig av två undersökningsmetoder: ett skriftligt test och en kvalitativ ostrukturerad intervju.
Komvuxeleverna kommer i kontakt med begreppet integral första gången i matematik D. Som jag nämnde tidigare, under hela utbildningen hade jag min praktikplats på en Komvuxskola. I samband med de sista praktikveckorna hade jag ett möte med läraren som ansvarade för kursen i matematik D, för att få tillåtelse att genomföra ett skriftligt test samt intervjuer. Läraren informerade mig att det fanns 36 elever som var inskrivna på kursen och att de skulle bli klara med avsnittet om integraler vecka 19. Jag var välkommen veckan därpå för att träffa eleverna och genomföra undersökningen.
Vecka 20 träffade jag eleverna som planerat och förklarade tydligt syftet med denna studie. Jag klargjorde att undersökningen gick ut på ett skriftligt test samt kvalitativa intervjuer. Det var frivilligt för eleverna att medverka i studien. Av de 36 eleverna som var inskrivna på kursen var endast 28 elever närvarande den dagen när det skriftliga testet genomfördes. Samtliga 28 elever var intresserade att skriva testet och fyra av dem ville bli intervjuade. Tillsammans bestämde vi datum för det skriftliga testet och tider för intervjuerna. Eftersom alla eleverna var myndiga behövdes det inte något samtycke från föräldrarna.
Testet (bilaga1) skrev eleverna på lektionstid i den klass de brukade ha ordinarie undervisning. Eleverna hade 120 minuter på sig för att lösa samtliga uppgifter, fast de flesta blev klara efter 60 minuter. Tillåtna hjälpmedel var grafräknare och formelbladet som används vid nationella prov i matematik D. Efter att jag delade ut bilaga 1 till eleverna, bad jag dem att läsa noga igenom instruktionerna, skriva tydliga lösningar så att man lätt kan följa deras tankegångar samt att på varje uppgift skriva ifall grafräknaren hade använts och i vilket syfte. De enskilda ostrukturerade intervjuerna genomfördes samma vecka som det skriftliga testet efter lektionstid, enligt elevernas önskemål. I början av intervjun fick eleverna tillbaka bilaga 1 samt deras lösningar på det skriftliga testet. Med elevernas tillåtelse spelade jag in samtalen som inte tog längre än 45 min per elev. Intervjufrågorna (bilaga 2) var relaterade till elevernas lösningar på det skriftiga testet. Några av intervjufrågorna sammanföll med de som eleverna hade på det skriftliga testet. Avsikten med det var att kontrollera om eleverna var konsekventa i sina svar (Björklund & Paulsson, 2003).
20
4.1 Presentation av testuppgifterna
Uppgifterna eleverna fick lösa på det skriftliga testet hade jag valt ut tillsammans med läraren, som var ansvarig för matematik D, på Komvuxskolan. Några uppgifter var hämtade ur
följande läroböcker: Matematik från A till E, Optima Matematik D, Räkna med Vux och
Matematik 3000 - Komvux.
4.1.1 Uppgift 1
Bestäm samtliga primitiva funktioner:
Syftet med den här uppgiften var att undersöka om eleverna kunde tillämpa integreringsreglerna för att hitta samtliga primitiva funktioner till: polynomfunktioner, potensfunktioner, logaritmfunktioner och trigonometriska funktioner. Ett annat syfte med uppgiften var att ta reda på om det fanns eventuella svårigheter för eleverna med algebraiska manipulationer. Uppgift 1b) kan lösas på två olika sätt. Det ena sättet är att använda kvadreringsregeln för att utveckla parentesen för att sedan integrera term för term. Det andra sättet är att integrera genom att ta hänsyn till den inre derivatan för att sedan dividera med den. För att bestämma en primitiv funktion på delfrågorna c) och d) krävs det först vissa omskrivningar.
Rätt svar fick eleven som bestämde den korrekta primitiva funktionen.
4.1.2 Uppgift 2
Välj en av funktionerna från Uppgift 1 och förklara vad det innebär att bestämma samtliga primitiva funktioner.
Avsikten med den här uppgiften var att kontrollera om eleverna kunde förklara vad det innebär att bestämma samtliga primitiva funktioner till en valfri funktion från uppgift 1.
21
Rätt svar på den här uppgiften fick eleven som gav en korrekt förklaring.
4.1.3 Uppgift 3
a) Bestäm den primitiva funktionen till som uppfyller villkoret
.
b) Förklara innebörden av med hjälp av egna ord eller med hjälp av en graf.
Syftet med den här uppgiften var att undersöka om eleverna kunde hitta en primitiv funktion som uppfyllde ett givet villkor samt förklara innebörden av .
Rätt svar fick eleven som bestämde den korrekta primitiva funktionen vilken uppfyllde respektive villkor och gav en korrekt förklaring till innebörden av .
4.1.4 Uppgift 4
Nedanstående grafer visar accelerationen, hastigheten samt sträckan som funktion av tiden för en och samma bil. Identifiera de tre graferna och förklara dina val.
(Danielsson m.fl. 2004, sid 259)
Syftet med den här uppgiften var att undersöka vilken förståelse eleverna hade om sambandet mellan funktionens graf och primitiva funktionens graf.
22
4.1.5 Uppgift 5
Figuren nedan visar en primitiv funktion till funktionen
(Danielsson m.fl. 2004, sid 228)
Vilken eller vilka av graferna visar funktionen Förklara ditt eller dina val.
(Danielsson m.fl. 2004, sid 228)
Syftet med den här uppgiften var att undersöka vilken förståelse eleverna hade om sambandet mellan funktionens graf och primitiva funktionens graf.
Rätt svar på den här uppgiften fick eleven som hittade det rätta alternativet samt gav en förklaring till varför det valda alternativet var korrekt.
4.1.6 Uppgift 6
Beräkna integralerna:
23
Avsikten med den här uppgiften var att kontrollera om eleverna kunde beräkna integralerna för olika typer av funktioner med givna integrationsgränser. Ett annat syfte var att undersöka vilka uppfattningar eleverna hade om sambandet mellan integraler och area. Uppgifterna kan lösas antingen med hjälp av grafräknaren eller med en algebraisk metod genom att tillämpa analysens huvudsats.
Rätt svar på den här uppgiften fick eleven som bestämde ett korrekt värde för ovan nämnda integraler.
4.1.7 Uppgift 7
a) Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna och .
b) Beräkna arean av det område som begränsas av x-axeln(den positiva delen),
och kurvan .
Syftet med den här uppgiften var att undersöka om eleverna kunde bestämma integrationsgränserna, skilja på undre- och övre funktionen, för att sedan bestämma arean som bildas mellan funktionernas grafer. Jag ville även kontrollera vilka uppfattningar eleverna hade om sambandet mellan integraler och arean som bildas under grafen och x-axeln eller mellan två olika grafer. Uppgiften kan lösas antingen med hjälp av grafräknaren eller med en algebraisk metod.
Rätt svar på den här uppgiften fick eleven som bestämde korrekta integrationsgränser, kunde skilja på undre- och övre funktion samt bestämde ett korrekt värde för respektive area.
4.1.8 Uppgift 8
Ett tåg kör med konstant hastighet, 90 km/h. Hur långt färdas tåget under de två första timmarna?
Syftet med den här uppgiften var att undersöka om eleverna kunde använda integraler vid tillämpad problemlösning. Uppgiften kan lösas på olika sätt. Det första sättet är genom att använda sig av formeln; där står för sträcka, för hastighet och för tid. Det
24
andra sättet är att rita ett v-t diagram och beräkna arean för området som bildas under grafen. I det här fallet blir grafen en linje som är parallell med x-axeln eftersom tåget kör med konstant hastighet. Området vars area måste beräknas blir en rektangel. Det tredje sättet är att ställa upp en integral. Funktionen som ska integreras är .
Rätt svar fick eleven som ställde upp en integral, angav rätt funktion, angav korrekta integreringsgränser, för att sedan bestämma ett korrekt värde på integralen. Rätt svar fick även eleven som med hjälp av ett v-t diagram beräknade arean av området som bildas mellan linjen (funktionen) som är parallell med x-axeln och själva x-axeln.
4.2 Urval
Av 36 elever som var inskrivna på kursen endast 28 elever medverkade i undersökningen och fyra av dem blev intervjuade. Anledningen till att endast 28 elever medverkade den dagen när det skriftliga testet genomfördes var att åtta elever var frånvarande (fyra elever gjorde ett omprov i ett annat ämne och de andra fyra var absenta av andra orsaker).
4.3 Reliabilitet och validitet
Enligt Björklund & Paulsson (2003) kan validiteten och reliabiliteten ökas genom att använda sig av flera undersökningsmetoder. Jag nämnde ovan att jag använde mig av två undersökningsmetoder för att ta reda på vilka uppfattningar eleverna på en Komvuxskola har om integralkalkyl. Dessutom hade jag spelat in samtliga intervjuer och försäkrade mig om att ljudkvalitén var bra. Vid konstruktion av bilaga 1 och bilaga 2 försökte jag ställa tydliga frågor som var relaterade till undersökningens syfte och frågeställningar. Uppgifterna på det skriftliga testet blev granskade av både min handledare och matematikläraren på Komvuxskolan.
Reliabiliteten kan ökas enligt Björklund & Paulsson (2003) genom att till exempel välja några frågor och ställa dem både på testet och på intervjun, för att kontrollera elevernas konsekvens. Reliabiliteten kan påverkas av olika faktorer. Eleverna som går på Komvux är i olika åldrar och det är möjligt att vissa har läst matematik för många år sedan. Elevernas kunskaper kan skilja sig beroende på vilken linje man läser: naturvetenskap, ekonomi, teknik eller
25
samhällslinjen. En annan faktor som också kan påverka undersökningens resultat är om eleven inte har bott tillräckligt länge i Sverige.
4.4 Etiska aspekter
I Vetenskapsrådets dokument Forskningsetiska principer inom humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning finns de fyra grundläggande kraven beskrivna vilka man
måste uppfylla som forskare: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet.
Under mitt arbete hade jag tagit hänsyn till de fyra kraven och försökte uppfylla dessa så gott jag kunde. Som jag nämnde ovan i metodavsnittet presenterade jag tydligt för hela klassen både syftet och undersökningsmetoderna. Datumet för det skriftliga testet och tiderna för intervjuerna bestämde eleverna med mig tillsammans. Samtliga elever som medverkade i studien, ställde upp frivilligt och eftersom de var äldre än 18 år behövdes det inget godkännande från föräldrarna. Jag försäkrade eleverna att de kunde när som helst under studiens gång ändra sig och avsluta. Dessutom försäkrade jag samtliga elever att deras anonymitet skyddades och att materialet (lösningar till uppgifter samt de inspelade intervjuerna) som samlades in skulle förstöras efter bearbetningen.
26
5. Resultat
5.1 Resultat av det skriftliga testet
Resultat: Uppgift 1
Tabell1: Sammanfattning av elevernas resultat på Uppgift 1 Antal elever som svarade
rätt
Antal elever som svarade fel Uppgift 1a) 28 - Uppgift 1b) 28 - Uppgift 1c) 19 9 Uppgift 1d) 4 14 Uppgift 1e) 28 - Uppgift 1f) 21 7
Alla 28 eleverna svarade rätt på delfrågorna1a), 1b) och 1e). Det var 19 elever av 28 som svarade rätt på deluppgift 1c). Delfrågan 1d) blev rätt besvarat utav fyra elever medan delfrågan 1f) av 21 eleverna.
Deluppgiften 1a) ställde inga problem för eleverna. De flesta eleverna valde att lösa deluppgift 1b) genom att utveckla parentesen först, för att sedan integrera polynomfunktionen term för term. När det gäller delfrågan 1c) hade eleverna svårt att skriva om funktionen som .
En elev som betraktade funktionen som insåg att svaret var fel och skrev följande:
27
Några av dem betraktade funktionen som och kom fram till fel primitiv funktion. När det gäller delfrågan 1d) hade några elever svårt att skriva om funktionen som . De skrev i stället . Några elever hade svårt att addera eller att dela med ett tal som står i bråkform. På deluppgiften 1e) provade några elever först att skriva funktionen som för att sedan integrera.
En elev skrev följande:
”
detta är fel! Den primitiva funktionen måste vara ”
På delfrågan 1 f) glömde några elever att ta hänsyn till den inre derivatan och svaren blev fel. Samtliga elever kontrollerade sina lösningar genom derivering.
De flesta eleverna skrev att grafräknaren inte kom till någon användning på den här uppgiften.
Resultat: Uppgift 2
Tabell 2: Sammanfattning av elevernas resultat på Uppgift 2
Antal elever som svarade rätt Antal elever som svarade fel
12 16
Det var 12 elever som svarade rätt på den här frågan.
Samtliga elever valde funktionen för att besvara frågan. Åtta av dessa elever valde att lösa uppgiften genom att först ta några exempel, för att sedan derivera dessa. En av dem skrev följande:
” är exempel på tre primitiva
funktioner. Om vi deriverar dessa får vi samma funktion . Konstanten C kan anta olika värden.”
28
Fyra elever valde att skissa flera primitiva funktioner i ett koordinatsystem och gav en ordentlig förklaring.
En av dem skrev följande:
”En funktion kan ha oändlig många primitiva funktioner: . Jag väljer några
exempel: och ritar upp dessa i ett och samma koordinatsystem. Det enda skillnaden är deras läge på y-axeln, den första sker y-axeln i punkten (0,5), den andra i punkten (0,2) och den sista i (0,-2). ” (eleven skissade alla tre primitiva funktionerna och
markerade skärningspunkterna med y-axeln)
Fyra elever skrev att grafräknaren användes för att rita den primitiva funktionen. De andra eleverna skrev att grafräknaren inte kom till användning eller att den användes för att utföra enkla beräkningar.
Resultat: Uppgift 3
Tabell 3: Sammanfattning av elevernas svar på Uppgift 3
Antal elever som svarade rätt Antal elever som svarade fel
3a) 28 -
3b) 12 16
Samtliga elever svarade rätt på delfrågan 3a). På den andra delfrågan var det 12 av eleverna som svarade rätt.
De 16 eleverna som fick fel svar på delfrågan 3b) gav fel förklaring eller blandade ihop funktionen med den primitiva funktionen.
En elev förklarade svaret på delfrågan 3b) enligt följande:
”Ritar med grafräknaren och kollar om grafen går genom punkten (1,2).” En annan elev skrev följande:
29 En elev skrev:
”Först måste vi hitta en primitiv funktion till funktionen . Det är den primitiva
funktionen som går genom punkten (1,2).”
Några elever skrev att grafräknaren användes för att rita funktionen eller den primitiva funktionen.
Resultat: Uppgift 4
Tabell 4: Sammanfattning av elevernas resultat på Uppgift 4 Antal elever som svarade
rätt
Antal elever som svarade fel
Antal elever som inte alls försökte
6 - 22
Det var 6 elever av 28 som svarade rätt medan de andra 22 elever försökte inte alls försökte lösa uppgiften.
En elev skrev följande:
”Jag vet att om man deriverar sträckan en gång, får jag fram hastigheten. Deriverar jag en gång till så får jag accelerationen. Nu måste jag tänka baklänges, alltså om jag integrerar första gången får jag hastigheten och andra gången får jag sträckan.
Svar: b)sträcka a)hastighet c)acceleration ”
En annan elev förklarade:
”Likadana uppgifter hade vi i förra kapitlet. Nu gäller det att tänka precis tvärtom!
Svar: a)hastighet b)sträcka c)acceleration”
Enligt eleverna användes grafräknaren för att: prova sig fram eller rita olika typer av funktioner samt dess primitiva funktioner.
30 Resultat: Uppgift 5
Tabell 5: Sammanfattning av elevernas resultat på Uppgift 5 Antal elever som svarade
rätt
Antal elever som svarade fel
Antal elever som inte alls försökte
12 11 5
Det var 12 elever som svarade rätt på den här frågan medan 5 elever inte alls försökte lösa uppgiften.
Fyra av eleverna som svarade fel på den här uppgiften beräknade linjernas lutning och avläste m-värdena (skärning med y-axel) för både alternativ A och D, för att sedan integrera funktionen de hade fått fram. Det visade sig att eleverna hade svårt att både beräkna k-värdet (linjens lutning) och avläsa m-värdet. Eleverna bestämde fel ekvationer till båda linjerna som är uppritade i alternativ A och D. Detta medförde implicit att de fick fram fel primitiv funktion. De andra sju eleverna som svarade fel ville lösa uppgiften med hjälp av derivata, men de hade svårt att ställa upp ekvationen till den primitiva funktionen .
En elev skrev följande:
”Den uppgiften liknar föregående uppgift fast linjen lutar neråt. Det rätta alternativet är D”
En annan skrev:
”Kurvan till den primitiva funktionen har en minimipunkt och detta betyder att talet framför är negativ. Grafen sker x-axeln i och . Formeln som beskriver den primitiva funktionen kan jag skriva: . Derivering ger: . Diagrammet som visar funktionen är alternativ D.”
Endast fyra elever valde att ställa upp linjens ekvation för att sedan integrera. En av dem skrev följande:
”Alternativ D ger: och
31
Den primitiva funktionen får jag genom att integrera funktionen . Den primitiva funktionen blir: ”
Grafräknaren användes enligt eleverna för att utföra enkla beräkningar eller för att kontrollera lösningar. Det fanns även elever som skrev att grafräknaren inte alls kom till användning.
Resultat: Uppgift 6
Tabell 6: Sammanfattning av elevernas resultat på Uppgift 6
Antal elever som svarade rätt Antal elever som svarade fel Löste uppgiften
med hjälp av grafräknaren
Löste uppgiften med hjälp en algebraisk
metod
Löste uppgiften med hjälp av grafräknaren
Löste uppgiften med hjälp av en algebraisk metod 6a) 10 18 - - 6b) - 4 14 10 6c) 8 13 - 7 6d) 2 14 5 7
Samtliga elever svarade rätt på delfrågan 6a). Fyra av eleverna hade svarat rätt på delfrågan 6b) medan delfrågan 6c) blev besvarat av 21 elever. Sexton av eleverna gav ett rätt svar på den sista delfrågan.
Den första delfrågan ställde inte till problem för eleverna. På delfrågan b) visade eleverna svårigheter med bestämning av funktionen som skulle integreras. Mellan integralsymbolen och integrationsvariabel står det en osynlig etta. Även integrationsvariabeln ställde till problem. Som svar på delfrågan b) skrev en elev följade:
”Det går inte att bestämma integralen eftersom vi saknar funktionen men jag gissar på att det står 1 och integrerar funktionen ”
32
På delfrågan c) visade några elever svårigheter med hantering av prioriteringsregler samt förenkling av uttryck. En annan orsak till att de svarade fel, var att några elever glömde ta hänsyn till den inre derivatan. Delfrågan d) ställde problem speciellt för de eleverna som försökte använda sig av grafräknaren. För att kunna lösa uppgiften måste grafräknaren vara inställd på radianer. Funktionen visas i grafräknaren om man väljer rätt zoom alternativ. De som fick ett negativt svar blev osäkra och förklarade att arean kan inte bli negativ.
En elev som inte fick fram grafen till funktionen i grafräknaren skrev följande: ”Det går inte och rita med grafräknaren! Jag får ingen graf!”
En elev annan elev skrev:
”Med grafräknaren får jag ett negativt värde . Arean kan inte bli negativ.”
Endast fyra elever valde också att skissa graferna för att sedan markera de områden vars area blev beräknade.
Enligt eleverna användes grafräknaren för att beräkna integraler eller för att utföra enkla beräkningar. Några elever som löste uppgiften med en algebraisk metod använde grafräknaren för att kontrollera lösningar.
Resultat: Uppgift 7
Tabell 7: Sammanfattning av elevernas resultat på uppgift 7
Antal elever som svarade rätt Antal elever som svarade fel Löste uppgiften
med grafräknare
Löste uppgiften med en algebraisk metod
Löste uppgiften med grafräknare
Löste uppgiften med en algebraisk metod
7a 4 22 2 -
7b 2 14 3 9
33
De eleverna som svarade fel på delfrågan 7a), använde sig av grafräknaren och avläste fel integrationsgränser. På delfrågan 7b) visade några elever svårigheter med bestämning av: integrationsgränser, övre- och undre funktion samt området vars area skulle beräknas.
En elev skrev följande:
”Mellan x-axeln, kurvan och linjen bildas flera områden. Vet icke vilket ska jag välja.” En annan skrev:
”Jag har bestämt gränserna men vi har en enda kurva. För att bestämma area måste jag ha två funktioner.”
Enligt eleverna användes grafräknaren för att: avläsa integrationsgränser, beräkna integraler, eller utföra enkla beräkningar. Endast några elever skrev att grafräknaren användes för att: rita grafen till de olika funktionerna, beräkna area eller kontrollera lösningar.
Resultat: Uppgift 8
Tabell 8: Sammanfattning av elevernas resultat på uppgift 8 Antal elever som svarade rätt
Antal elever som svarade fel
Antal elever som svarade inte alls
försökte Löste uppgiften
genom att beräkna arean för rektangeln
Löste uppgiften genom att ställa upp
en integral
11 4 2 11
På den här uppgiften var det 15 elever som svarade rätt medan 11 elever försökte inte alls lösa uppgiften.
Enligt eleverna användes grafräknaren för att: rita grafer, beräkna arean som bildas under grafen, kontrollera lösningar eller utföra enkla beräkningar.
34
5.2 Resultat av intervjuer
Resultat: Intervju Elev 1
Den första eleven som intervjuades svarade rätt på alla uppgifter i det skriftliga testet. Eleven svarade på mina frågor genom att använda sig av de rätta begreppen. De formlerna som stod i formelsamlingen, vilken eleverna hade tillgång till under det skriftliga testet och intervjun, kunde eleven utantill. Han/hon var konsekvent i sina svar när jag ställde samma frågor som på det skriftliga testet. Eleven kunde lösa uppgifterna på flera sätt och visade hur man gick tillväga. Han/hon valde att skissa graferna och där det behövdes markerade områdena vars area beräknades.
Intervjuare: ”Varför löser du uppgifterna på flera olika sätt?” Elev 1: ”För att visa att jag kan … och ... för att kontrollera mig…”
Intervjuare: ”Varför väljer du alltid att börja med den algebraiska metoden? ”
Elev 1: ”Det tränar vi på mest i skolan. Möjligt att den algebraiska metoden ger flest poäng
… jag vet inte … jag har aldrig tänkt på det…”
Intervjuare: ”Du har även skissat grafen till de flesta funktionerna? Varför?” Elev 1: ”För att visa att jag har förstått…”
Intervjuare: ”Ser du några fördelar eller nackdelar med användningen av grafräknaren?” Elev 1: ”Inga nackdelar … det är bara bra att vi får använda den … jag kan beräkna, prova
mig fram, rita grafer… och det går snabbt …”
Under samtalet använde eleven grafräknaren för att: resonera kring uppgifterna, dra slutsatser, rita upp funktioner eller kontrollera lösningar.
Resultat: Intervju Elev 2
Den andra eleven som intervjuades svarade rätt på alla uppgifter förutom uppgift 8. Även från första stunden ville eleven påpeka följande:
35
Elev 2: ”Det är svårt för mig att förklara hur jag tänker därför att jag inte kan så mycket
svenska … jag pluggar svenska som andraspråk också.”
Intervjuare: ”Är det bra att ni får använda grafräknaren?”
Elev 2: ”Ja, det är bra! Men det är svårt när man inte kan alla funktioner och i boken hittar
man inte … de förklarar inte hur vi kan använda grafräknaren.”
När det gäller sista uppgiften sa eleven:
Elev 2: ”Jag har svårt med uppgift 8 … jag förstår inte problemet … du förklarade vad ordet
färdas betyder men det är svårt.”
Jag formulerade uppgift 8 på ett enklare sätt och efteråt hade eleven inga problem att rita ett hastighet – tid diagram, markera respektive area, för att sedan ställa upp en integral och beräkna dess värde. Han/hon nämnde också att uppgiften kunde lösas på tre olika sätt och visade snabbt alla tre möjligheterna. Även om eleven tyckte att det fanns svagheter i det svenska språket, kunde man lätt följa hennes/hans förklaringar. Eleven använde sig av de rätta begreppen beroende på vilken uppgift vi samtalade om. Under intervjuns gång använde eleven grafräknaren för att: kontrollera lösningar, rita grafer, dra slutsatser eller beräkna integraler.
Resultat: Intervju Elev 3
Den här eleven löste alla uppgifter algebraiskt men gav nästan inga förklaringar. Jag bad eleven förklara hur han/hon gick tillväga för att lösa uppgift 2. Eleven förklarade på ett detaljerat sätt och visade även att uppgiften kunde lösas på olika sätt.
Intervjuare: ”På uppgift 5 har du svarat att det rätta alternativet är D. Varför valde du det
alternativet? Hur tänkte du?”
Elev 3: ”I början var jag lite osäker…men jag tog fram både linjens ekvation och ekvationen
för andragradsfunktionen…och sedan funderade jag vilken av dem måste integreras. För att va säker kollade jag med grafräknaren.”
36
Elev 3: ”Nej, men det är lätt. Det är arean under grafen vi beräknar och genom att beräkna
arean tar vi reda på hur långt färdas tåget under de två första timmarna, alltså sträckan. Det är bara att rita grafen som jag redan har gjort och beräkna arean eller ställa upp en integral.”
Intervjuare: ”Varför gav du inga förklaringar på det skriftliga testet?”
Elev 3: ”Jag gillar inte och skriva…det är jobbigt och skriva så mycket…och på de vanliga
proven brukar vi inte skriva så mycket …alltså…det är bara att räkna rätt, att komma fram till de rätta svaren. Jag vet att det nationella provet är viktig och där brukar jag anstränga mig mer.”
Intervjuare: ”Du har skissat grafen till samtliga funktionerna. Varför?
Elev 3: ”Jag gör det för mig själv … det hjälper mig … jag måste veta vad jag beräknar.” Intervjuare: ”Ser du några fördelar eller nackdelar med användningen av grafräknaren?” Elev 3: ”Inga nackdelar … till exempel jag kan rita en funktion och sedan derivera eller
integrera den … det tar inte tid … gör jag fel … börjar jag igen … och det går snabbt … jag använder den flytigt … nej, det är bara fördelar jag kommer på.”
Under intervjuns gång använde eleven grafräknaren för att: rita grafer, beräkna integraler eller resonera kring uppgifterna.
Resultat: Intervju Elev 4
Den fjärde eleven som intervjuades hade lätt för att ge korrekta förklaringar till samtliga uppgifter på det skriftliga testet, men visade svårigheter med algebraiska manipulationer och detta medförde att han/hon svarade fel på några uppgifter. Jag ställde några frågor just på de uppgifterna han/hon inte klarade av på grund av de algebraiska manipulationerna.
Intervjuare: ”Hur går man tillväga för att hitta en primitiv funktion i Uppgift 1c)?”
Elev 4: ”Jag vet att man måste göra en omskrivning men det var för länge sedan jag har läst
matte B och C. Jag kommer inte ihåg så mycket av de mattekurserna jag har läst ... alltså jag menar algebra delen ... men jag jobbar på det ...”
37
Jag fortsatte genom att ställa hjälpfrågor och det visade sig att med lite hjälp klarade han/hon att lösa samtliga uppgifter som krävde en omskrivning.
Intervjuare: ” När det gäller Uppgift 5 svarade du att det rätta svaret måste det vara antingen
alternativ A eller D. Hur kom du fram till det?
Elev4: ”Med hjälp av formelbladet och grafräknaren. Först trodde jag att det är som
skulle integreras … men det var fel … det är som ska integreras.”
Intervjuare: ”Vad är det för skillnad mellan de två linjerna i alternativ A och D?”
Elev 4: ”De lutar olika, den ena mer än den andra … nu ser jag … det är alternativ D som är rätt.”
Intervjuare: ”Kan du nämna några fördelar och nackdelar med grafräknaren? ”
Elev 4: ”Jag är bara tacksam att den finns och att vi får använda den. Jag sparar jättemycket
tid ... och slipper de tråkiga beräkningarna ... man kan snabbt rita funktioner och skifta mellan funktionens graf och värdetabellen ... man kan derivera funktioner och beräkna integraler. Jag tror inte att det finns några nackdelar ... ”
Under intervjuns gång använde sig eleven av grafräknaren för att: prova sig fram, utföra enkla beräkningar, dra slutsatser, rita grafer eller beräkna integraler.
38
6. Analys av resultatet
6.1 Analys av det skriftliga testet
Avsikten med uppgift 1 var att undersöka om eleverna kunde tillämpa reglerna för att bestämma samtliga primitiva funktioner till olika typer av funktioner. Elevernas resultat som redovisas i tabell 1 tyder på att de lärde sig tillämpa regler och kunde bestämma samtliga primitiva funktioner till: polynomfunktioner, logaritmfunktioner och trigonometriska funktioner. När det gäller bestämning av samtliga primitiva funktioner för potensfunktioner visade elevernas lösningar att de kunde tillämpa reglerna, trots felaktiga svar på grund av algebraiska manipulationer. Samtliga elever kontrollerade deras lösningar genom att derivera. Anledningen till det kan vara att man tolkar och bearbetar nya insikter med hjälp av befintliga kunskaper, enligt Imsen (2000). Det innebär att de eleverna som enbart utvärderade sina lösningar genom derivering, tolkade begreppet primitiv funktion som en omvänd process till derivata.
När det gäller uppgift 2 skulle eleverna välja en av funktionerna från uppgift 1 och förklara vad det innebär att bestämma samtliga primitiva funktioner till den valda funktionen. Det visade sig att eleverna hade svårt att förklara sina lösningar med egna ord eller med hjälp av den grafiska representationsformen, men de hade lätt för att lösa uppgiften algebraiskt. Enligt Sfards (1991) teori, innebär det att de tolkade begreppet primitiv funktion som en process. Fyra elever gav även en detaljerad förklaring med hjälp av en grafisk representationsform. Genom att bestämma några primitiva funktioner algebraiskt samt skissa grafer till dem, visade dessa elever att de tolkade och bearbetade begreppet primitiv funktion inte bara med hjälp av derivata utan även med hjälp av de nya kunskaperna. Enligt Sfards (1991) teori tolkade de fyra eleverna begreppet primitiv funktion som ett objekt.
Avsikten med uppgift 3 var att undersöka om eleverna kunde bestämma den primitiva funktionen som uppfyllde ett visst villkor. De flesta elever hittade den primitiva funktionen med hjälp av den algebraiska representationsformen. Några av de som svarade rätt på delfrågan 3b) skrev att grafräknaren kom till användning för att rita funktionen och den primitiva funktionen. Meningen med det var att kontrollera vilken av de två graferna går som genom punkten (1,2). Detta visar att de var osäkra om det var funktionen eller den primitiva funktionen som skulle uppfylla respektive villkor. Min uppfattning är att eleverna hade svårt
39
för övergången från den symboliska till den grafiska representationsformen. Fyra elever valde att förklara uppgiften med hjälp av en grafisk representationsform. De skissade grafen till den primitiva funktionen och visade vad som menades med villkoret , markerade konstanten C på kurvan, skrev punktens koordinater och förklarade att den primitiva funktionens värde är lika med två när x- värdet är ett. Återigen visade dessa elever att de tolkade begreppet primitiv funktion som ett objekt.
Det gemensamma syftet för de första tre uppgifterna var att undersöka om eleverna hade förståelse för begreppet primitiv funktion. Elevernas lösningar visade att de lärde sig vilka regler som gällde och kunde tillämpa dem, men de hade svårt att utvärdera sina lösningar med hjälp av den grafiska representationsformen. Den algebraiska formen dominerade bland elevernas lösningar och det tydde på att de uppfattade begreppet operationellt, enligt Sfard (1991). De fyra eleverna som valde att även använda sig av den grafiska representationsformen, för att förklara sina tankegångar, visade att de visste vilka representationsformer som var möjliga och att de lätt kunde gå från den ena till den andra formen. Enligt Sfards (1991) teori medför det att de uppfattade begreppet strukturellt.
Enligt tabell 4 var det sex elever som svarade rätt på uppgiften. Två av dem hänvisade till föregående avsnitt om derivata där de stötte på liknande uppgifter och förklarade att "man kan
tänka baklänges" eller "man kan tänka precis tvärtom" för att lösa uppgiften. Ännu en gång
visade eleverna att de tolkade nya kunskaper med hjälp av derivata. I tabell 4 kan man se att endast sex elever försökte svara på frågan och det kan bero på att klassen tränade mycket på att lösa standarduppgifter. Fyra elever förklarade att uppgiften kunde lösas: med hjälp av derivata, genom att ställa upp en integral eller genom att beräkna arean som bildas under grafen. Deras detaljerade förklaringar tydde på att de kunde utnyttja sina nya insikter om integraler för att lösa även andra typer av uppgifter inte bara rutinuppgifter.
Tabell 5 visar att det var tolv elever som gav ett rätt svar på uppgiften. Åtta elever ställde upp ekvationen för den primitiva funktionen för att sedan derivera. Att eleverna löste uppgiften med hjälp av derivata, innebär att de tolkade begreppet primitiv funktion som en omvänd process till derivata. De felaktiga svaren grundade sig på att eleverna hade svårt att ställa upp en ekvation till den uppritade funktionen eller till den primitiva funktionen. Detta betyder enligt min uppfattning att de hade svårigheter med övergången från den grafiska till den symboliska representationsformen. De andra fyra eleverna som svarade rätt, ställde upp ekvationen till den uppritade funktionen (linjens ekvation) för att sedan integrera. De nämnde
40
även att uppgiften kunde lösas med hjälp av derivata eller genom att beräkna arean för området som bildas under grafen. Jag tycker att endast dessa fyra elever visade att de förstod sambandet mellan funktionens och primitiva funktionens graf samt mellan integraler och arean som bildas under grafen.
Tabell 6 åskådliggör en sammanfattning av elevernas resultat samt fördelningen mellan de två tillvägagångssätten. I tabellen kan man se att den algebraiska representationsformen dominerade även vid bestämning av integraler. Elevernas lösningar visade att de flesta kunde tillämpa integralens huvudsats för att sedan bestämma integralerna med givna integrationsgränser. De felaktiga svaren grundade sig på: svårigheter med algebraiska manipulationer, svårigheter med grundläggande algebra eller osäkerhet när det gällde användningen av grafräknaren. Att eleverna hade svårigheter med algebraiska manipulationer eller med grundläggande algebra kan bero på den instrumentella undervisningen, som de hade fått tidigare. Skemp (1976) hävdar i sin teori att de eleverna som deltar i en sådan undervisning lär sig snabbt de nya insikterna eftersom det inte är så mycket kunskaper som är inblandade. Författaren nämner även att de insikterna som uppfattas instrumentellt glömmer eleverna snabbt.
Endast fyra elever förklarade och visade hur uppgifterna kunde lösas med hjälp av: grafräknaren, algebraiskt samt valde att förklara sina tankegångar med hjälp av den grafiska representationsformen. De skissade grafen till de olika primitiva funktionerna, markerade integrationsgränser och områden vars area skulle beräknas, för att sedan tillämpa analysens huvudsats. Allt det tydde på att de fyra eleverna tolkade integralbegreppet som ett objekt. Tabell 7 uppvisar att eleverna valde den algebraiska representationsformen framför grafräknaren för att lösa uppgiften. På delfrågan 7a) visade elevernas lösningar på att de kunde tillämpa analysens huvudsats för att beräkna arean som bildades mellan de två graferna. Trots det blev deras svar fel på grund av: svårigheter med grundläggande algebra, svårigheter med algebraiska manipulationer eller osäkerhet när det gällde användning av grafräknare. På delfrågan 7b) visade eleverna svårigheter med bestämning av integrationsgränser eller av området vars area skulle beräknas. För att lättare komma fram till lösningen och för att undvika de felaktiga svaren bör eleverna skissa respektive funktioner i ett koordinatsystem. Med hjälp av grafen ser man om funktionen hamnar ovanför eller under x-axeln och kan identifiera vilken funktion som ska integreras samt den undre- och övre funktionen. Eftersom dessa elever löste uppgiften antingen med grafräknaren (betraktas som en beräkningsprocess) eller med hjälp av den algebraiska representationsformen innebär det
41
att de tolkade integralbegreppet som en process. Fyra elever förklarade att uppgiften kunde lösas algebraiskt, med hjälp av grafräknaren samt valde att förklara sina tankegångar med hjälp av den grafiska representationsformen. Grafräknaren användes för att rita funktionerna och för att kontrollera löningarna. Den grafiska representationsformen användes för att: markera integrationsgränser samt området vars area skulle beräknas. Genom att skissa de olika graferna, exemplifierade dessa elever att de tolkade integralbegreppet som ett objekt och att de förstod sambandet mellan integraler och area.
Tabell 8 visar att eleverna valde att lösa uppgiften genom att ställa upp en integral eller genom att beräkna arean för rektangeln som bildas under grafen. Några av eleverna som svarade rätt på den frågan löste uppgiften genom att beräkna arean för området (rektangeln) utan att skissa den primitiva funktionen. De felaktiga svaren grundade sig på osäkerhet med bestämning av: funktionen som skulle integreras, undre funktionen eller integreringsgränser. Återigen var det bara fyra elever som lyckades: ställa upp en integral, ange rätt funktion och korrekta integrationsgränser för att sedan tillämpa integralens huvudsats. Dessa elever skissade grafen till den primitiva funktionen, angav rätta storheter för x- och y- axeln, markerade området vars area skulle beräknas samt angav korrekt storhet för den bestämda arean. Deras lösningar visade att de kunde använda sig av de nya insikterna för att lösa en verklighetsanpassad uppgift och att de tolkade begreppet integral som ett objekt.
Att undersöka elevernas förståelse om integralbegreppet var ett gemensamt syfte för de sista tre uppgifterna. Eftersom eleverna i första hand valde att lösa uppgifterna algebraiskt tydde på att de uppfattade integralbegreppet operationellt. Även de elever som endast använde sig av grafräknaren för att beräkna värden av de olika integralerna eller för att beräkna arean som bildas mellan en funktion och x- axeln samt mellan två funktioner, uppfattade begreppet operationellt, enligt Sfards (1991) teori. Enligt min uppfattning endast de fyra eleverna som använde sig av flera representationsformer och exemplifierade att de lätt kunde gå från den ena till den andra representationsformen uppfattade begreppet integral strukturellt.
6.2 Analys av intervjuer
Den första eleven som intervjuades svarade rätt på alla uppgifter på det skriftliga testet. Eleven kunde tillämpa integrationsreglerna och analysens huvudsats samt gav utförliga
