Examensarbete
15 högskolepoäng, grundnivå
Likhetstecknets betydelse i
skolmatematiken -
en studie i årskurs tre och fyra
The meaning of the equal sign in school mathematics
-a study in class three and four
Soumal Houssari
Lärarexamen 210 hp Handledare: Ange handledare
Matematik och lärande 2013-11-05
Examinator: Per Schubert
Handledare: Eva Riesbeck Lärande och samhälle
3
Sammanfattning
Syftet med denna undersökning var att undersöka hur elever i årskurs tre och fyra uppfattar likhetstecknet och hur deras lärare undervisar begreppet ”likhetstecknet” för att öka förståelsen hos eleverna.
För att kunna besvara mina frågeställningar använde jag mig av en kvantitativenkätundersökning och kvalitativa intervjuer. Samtliga elever fick svara på en gruppenkät, som bestod av nio prealgebraiska utsagor där likhetstecknet har en central roll. Elevernas svar analyserades och klassificerades i fyra olika kategorier: strukturell uppfattning, operationell uppfattning, annat och inget svar. I mina intervjuer deltog tio elever och två grundskollärare. Intervjuerna gjordes för att ge eleverna möjlighet att muntligen uttrycka sin uppfattning om likhetstecknet. Lärarna beskrev i intervjun hur de bedriver sin undervisning angående likhetstecknet.
Min undersökning påvisar att många av eleverna har en ofullständig förståelse av likhetstecknets innebörd. Eleverna uppfattar likhetstecknet som ett operationellt tecken, det vill säga som en uppmaning att utföra en räknehändelse. Vidare visar min undersökning att lärare använder sig av ett laborativt och undersökande arbetssätt för att underlätta för eleverna att förstå begreppet ”likhetstecknet”. Det är viktigt för läraren att ha ett varierande arbetssätt och fortlöpande söka sammanhang ur elevens perspektiv.
Nyckelord: Ekvivalens, likhet, likhetstecken, operationell uppfattning, strukturell uppfattning, öppna utsagor.
4
5
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 7 2. Syfte ... 9 3. Frågeställning ... 9 4. Litteraturgenomgång ... 10 4.1 Definitioner av begrepp ... 104.2 Likhetstecknet kopplat till kursplanen ... 10
4.3 Prealgebra ... 11
4.4 Likhetstecknet ... 12
4.5 Tidigare forskning om elevers uppfattningar om likhetstecknet ... 14
4.6 Litteraturgenomgång om hur lärare kan undervisa om likhetstecknet ... 16
4.7 Variationsteori – ett sätt att se på lärande ... 18
5. Metod ... 20
5.1 Datainsamling ... 20
5.2 Urval ... 22
5.3 Genomförande ... 23
5.4 Metoddiskussion ... 24
6. Resultat och analys ... 26
6.1 Kvantitativ undersökning ... 26
6.2 Kvalitativa intervjuer ... 32
7. Diskussion och slutsatser ... 37
7.1 Diskussion ... 37
7.2 Slutsatser ... 38
7.3 Fortsatt forskning ... 39
7
1. Inledning
Många elever i låg- och mellanstadiet verkar ha en ofullständig förståelse för likhetstecknets innebörd. Detta är något som jag har fått erfara under den verksamhetsförlagda tiden i min utbildning. Under denna tid har jag praktiserat på olika grundskolor och därmed kommit i kontakt med eleverna. Flera av de elever som jag har mött tolkar likhetstecknet endast som en uppmaning att göra en räkneoperation och därefter skriva svaret till höger. En sådan uppfattning av likhetstecknet benämns som den operationella uppfattningen. Detta är i linje med vad den minst tjugoåriga forskningen inom detta område visar (Falkner m.fl., 1999; Kieran 1981; McNeil m.fl., 2006; Hattikudur och Alibali, 2010). Den andra uppfattningen av likhetstecknet kallas den strukturella uppfattningen, som innebär att förstå att det ska vara lika mycket på vardera sidan av likhetstecknet (Bergsten m.fl., 1997; Hattikudur och Alibali, 2010).
Likhetstecknet är en viktig symbol inom matematik och särskilt inom algebraområdet. Enligt flera undersökningar beror elevernas missuppfattningar av likhetstecknet på att de ofta möter uppgifter som främjar den operationella uppfattningen av likhetstecknet, som till exempel uppgiften: 5 + 8 = __(Knuth m.fl., 2008). Detta kan i framtiden leda till att eleverna får stora svårigheter med förståelsen av algebra och ekvationslösning.
TIMSS (Trends in Internationel Mathematics and Science Study) är en internationell studie som gjordes 2007. Studien visade att svenska elever hade det lägsta resultatet i algebra, dock låg de över det internationella medelvärdet inom andra områden i matematik. Studien undersökte elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i skolår fyra och åtta. Den avslöjade att majoriteten av eleverna i årskurs åtta saknar den strukturella uppfattningen av likhetstecknet, vilket ledde till att eleverna misslyckades med ekvationslösning (Skolverket, 2008).
Det faktum att elevernas missuppfattning för begreppet "likhetstecken" inte upptäcks i tid skapar problem för eleverna under senare skolår. Upptäcks missuppfattningen i tid eller fokuseras förståelsen av dess innebörd under de tidiga skolåren kan problemet åtgärdas på ett tidigt stadium eller undvikas helt. Detta problem fångar mitt intresse som blivande lärare. Av denna anledning
8
anser jag att denna undersökning är välmotiverad och kan hjälpa mig i mitt framtida yrke som matematiklärare.
9
2. Syfte
Syftet med denna undersökning är att undersöka hur elever i årskurs tre och fyra uppfattar likhetstecknet och hur deras lärare undervisar begreppet ”likhetstecknet” för att öka förståelsen hos eleverna.
3. Frågeställning
Ser eleverna i årkurs tre och fyra likhetstecknet som ekvivalens eller som ett resultattecken?
10
4. Litteraturgenomgång
4.1 Definitioner av begrepp
Likhet: En logisk relation som innebär att två objekt är identiska (Kiselman och Mouwitz, 2008).
Likhetstecken: Har tecknet = och används för att ange att två uttryck betecknar samma sak eventuellt efter en uträkning. Det utläses ”är lika med” eller bara ”är” (Kiselman och Mouwitz, 2008).
Ekvivalens: Om P och Q är två utsagor, är ekvivalensen sann om P och Q båda är sanna eller båda falska, annars är ekvivalensen falsk. Ett vanligt skrivsätt är PQ (Kiselman och Mouwitz, 2008).
Öppen utsaga: Är en utsaga med minst en fri variabel (Kiselman och Mouwitz, 2008).
Sluten utsaga: Är en utsaga utan fria variabler (Kiselman och Mouwitz, 2008).
Strukturell uppfattning: När elever tolkar likhetstecknet som ”är lika med” eller ”är lika mycket som”. Detta innebär att de uttryck som finns kring likhetstecknet representerar lika stora tal (Bergsten m.fl., 1997). Denna uppfattning benämns också som ”relationell uppfattning”.
Operationell uppfattning: När elever tolkar likhetstecknet som ”blir”, dvs. som en uppmaning att räkna ut något (Kieran, 1981).
4.2 Likhetstecknet kopplat till kursplanen
Enligt Bergsten m.fl. (1997) har elevers uppfattning av likhetstecknet en stor betydelse för att kunna klara sig i matematik och särskilt i algebran. Vikten av att ha en god förståelse av likhetstecknet belyses i grundskolans kursplan enligt följande: ”undervisning i matematik ska
bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier och resultat. Eleverna ska även ges förutsättningar
11
att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga och matematiska situationer samt beskriva och formulera dessa med hjälp av matematikens uttrycksformer” (Skolverket, 2011, s.62).
Vidare står det att ”genom undervisningen ska eleverna ges förutsättningar att utveckla
förtrogenhet med grundläggande matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet. Samt att eleverna ska utveckla sin förmåga att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser”
(Skolverket, 2011, s.63).
I det centrala innehållet i Lgr 11 för årskurs 1-3 står det att eleverna ska utveckla sin förmåga för ”matematiska likheter och likhetstecknets betydelse”(Skolverket, 2011, s.64).
4.3 Prealgebra
Enligt Bergsten m.fl. (1997) kan prealgebra beskrivas som en mängd olika aktiviteter under alla skolår innan man inför den egentliga algebran. Det måste finnas en progression i algebraundervisningen genom hela grundskolan. Algebraiska tankeformer ska inte komma som en överraskning samtidigt som bokstavssymboler börjar användas. Bergsten m.fl. (1997) påpekar att i prealgebra kan man arbeta med strukturell aritmetik, mönster, generaliseringar och ekvationer.
För att eleverna ska kunna lösa algebraiska ekvationer krävs det att eleverna uppfattar den strukturella meningen av likhetstecknet. Prealgebraiska uppgifter kan ha en aritmetisk struktur, där eleverna kan fylla i ett eller fler tal som är utlämnade, som till exempel: 5 + 9 = __ + __, 2 × __= 6 × 8.
Eleverna kan också bedöma om utsagor är sanna eller falska i prealgebraiska uppgifter, som till exempel: 5 + 9 = 7 + 7, 2 × 5= 14 - 10. Ett viktigt drag hos dessa utsagor är att likhetstecknet står för en relation mellan talen på likhetstecknets båda sidor. Eleverna blir tvungna att lämna
12
beräkningstänkande till förmån för strukturellt tänkande. I Lära och undervisa
matematik-internationella perspektiv står det att
det finns goda skäl till att använda termen ”generaliserbara”, där en strukturell regel eller en relation mellan tal kan användas för att generera andra utsagor, där sann eller falsk kan beläggas genom hänvisning till en genererande regel för utsagorna snarare än beräkningen. (Emanuelson m.fl. 2010, s.37)
Att arbeta med generaliserbara numeriska likheter såsom 11 + 9 = __ + 18 skapar en användbar uppfattning om begreppet likhetstecknet.
4.4 Likhetstecknet
För att kunna hantera algebra och kunna förstå ekvationer i skolan är det viktigt att likhetstecknet uppfattas som strukturell, dvs. tolkas som ”är lika med”. Enligt Bergsten m.fl. (1997) är det nödvändigt att eleven kan tolka likhetstecknet som ”lika mycket som” eller ”är lika med”, dvs. att vänster och höger led i en ekvation står för lika stora tal. Denna tolkning betyder dels att likheten kan läsas från vänster till höger och tvärtom, dels att båda led finns samtidigt och är likvärdiga, dvs. ekvivalenta.
Elever uppfattar ofta likhetstecknet som att det ”blir”, då eleverna från början inte vet resultatet av en beräkning (Ahlberg, 2000). Vidare kan likhetstecknet bli till en symbol som alltid följs av svaret (Bergsten, 1997). Elever kan uppfatta likhetstecknet som en uppmaning att utföra en beräkning och sedan skriva svaret till höger. Denna uppfattning utökas genom att elever ofta möter uppgifter som: 3 + 4 = __.
Kilborn (1997) påpekar att likhetstecknet har olika innebörder. En statisk innebörd (strukturell), vilken är att tolka likhetstecknet som ”är lika med”, och en dynamisk innebörd (operationell), vilken är att likhetstecknet uppfattas som ”blir”.
Elever i tidig skolålder möter vanligen likhetstecknet i relation till olika aritmetiska uppgifter såsom 3 + 5 = __. Då öppnas det inte för variation av likhetstecknets betydelse. Eleven ges inte
13
möjlighet att upptäcka att höger och vänster led är ekvivalenta eftersom ingen variabel hålls konstant, allt varierar.
Enligt Wernberg (2009) antas eleverna urskilja aspekter som varierar. Vilket betyder ju mer elever ges möjlighet att arbeta med olika typer av uppgifter, desto lättare urskiljer de vad som behövs för att lösa en viss uppgift. Detta variationsteoretiska perspektiv förklarar Wernberg med följande exempel:
2x = 4 3x – 4 = x 4 + x = 3x
Först kanske det ser ut som ekvationerna är olika, men det är samma värde på x i alla tre ekvationerna, det är endast uttryckt på olika sätt. Den mest tydliga skillnaden är mellan andra och tredje ekvationen. En aspekt som här kan urskiljas är likhetstecknet, att höger och vänster led är ekvivalent. (Wernberg, 2009, s.33)
För att utveckla och bredda förståelsen av likhetstecknet hos eleverna, bör aktiviteter om likhetstecknets betydelse återspegla både strukturell och operationell uppfattning (Kilborn, 1997). Enligt Ahlberg (2000) kan man göra detta genom att använda konkret material, såsom att jämföra mängder. Vågen kan användas som ett hjälpmedel. Om vågskålarna väger olika bör något läggas till eller tas bort för att det ska väga jämnt. Man kan lägga föremål av samma typ på en våg för att visa uppgifter som 3 + __ = 7, __ + 4 = 7. Det svåra steget för eleverna, enligt Bergsten m.fl. (1997), är att översätta det konkreta materialet till det vanliga sättet att skriva. Det vill säga att gå från en fysisk till en symbolisk uttrycksform. Denna svårighet kan underlättas genom att låta eleverna rita av problemet och sedan med en följd av bilder visa hur de löser det.
Elevers strukturella uppfattning av likhetstecknet kommer att utvecklas om de i undervisningen får arbeta fortlöpande med genomtänkta aktiviteter som återspeglar den strukturella uppfattningen av likhetstecknet.
14
4.5 Tidigare forskning om elevers uppfattningar om
likhetstecknet
Enligt internationella studier har många elever svårigheter med att förstå den strukturella innebörden av likhetstecknet (Kieran 1981; McNeil m.fl., 2006). Många elever saknar den strukturella förståelsen för likhetstecknet. Eleverna uppfattar likhetstecknet som operationellt, dvs. som en signal att göra någonting.
Falkner m.fl. (1999) har genomfört en studie i USA kring grundskoleelevers förståelse av likhetstecknets betydelse. Eleverna fick en matematisk utsaga som löd på följande vis: 8 + 4 = __ + 5. Resultatet av undersökningen visade att knappt 10 % av eleverna i varje årskurs kunde ge den korrekta lösningen, 7. Svaren visade tydligt att likhetstecknet tolkas operationellt, då de flesta lösningarna var 12 eller 17.
Forskarna identifierade tre typiska lösningsstrategier som visar hur eleverna tolkar likhetstecknet:
Utför additionen och skriv svaret 12 efter likhetstecknet, 8 + 4 = 12 + 5
Addera samtliga tal och skriva in 17 i rutan, 8 + 4 = 17 + 5
Utveckla uppgiften, 8 + 4 = 12 + 5 = 17 (Falkner m.fl., 1999, s.233).
Vidare anser Falkner m.fl. (1999) att barn i förskolan redan har en informell matematisk kunskap vid skolstarten. De tolkar likhetstecknet utifrån den kunskap om aritmetik som grundat sig i stort sätt på aktiva handlingar och räknescheman. Innan de börjar skolan kan de utföra addition i olika situationer. När additionen, i skriftlig form, introduceras i skolan, anknyter barnen likhetstecknet med operationella räknescheman och tolkar det som ett operationellt. Falkner m.fl. (1999) betonar att man som lärare bör ta reda på sina elevers uppfattningar av likhetstecknet så fort symbolen presenteras för dem.
En annan studie har Knuth m.fl. (2006) gjort i USA. Studien belyser elevers förståelse av likhetstecknet och hur denna förståelse påverkar deras förmåga att lösa algebraiska ekvationer. Undersökningen fokuserade på mellanstadiet och sträckte sig över en femårsperiod.
15
I studien fick eleverna tre olika uppgifter som fokuserade deras varierande kunskap i algebra och hur de tolkade likhetstecknet. Elevernas svar samlades in och analyserades för att sedan klassificeras som operationell, relationell och övrigt. Resultatet visade att relativt få elever hade en relationell förståelse för likhetstecknet. Förståelsen för likhetstecknet blev inte bättre över tid, alltså från årskurs sex till årskurs åtta. Slutsatsen av undersökningen var att många elever saknade förståelse för likhetstecknet (Knuth m.fl., 2006).
Hattikudur och Alibali (2010) har i en studie undersökt om eleverna lättare förstår likhetstecknets betydelse om det introduceras tillsammans med andra relationssymboler, såsom mindre än (<) och större än (>). I studien medverkade elever som gick årskurs tre och fyra i grundskolan. Eleverna delades in i tre grupper.
Grupp 1 behandlade relationssymbolerna mindre än (<), större än (>) samt likhetstecknet (=) i lärandesekvensen.
Grupp 2 behandlade endast likhetstecknet i lärandesekvensen.
Grupp 3 var en kontrollgrupp, där de arbetade muntligt med relationer utan användning av symboler.
Ett förtest och ett eftertest användes för att kontrollera effekten av gruppindelningen och därmed resultatet av studien.
Resultatet visade att de elever, som i lärandesekvensen behandlat flera relationstecken har bättre relationell förståelse för likhetstecknet, och att missuppfattningen av likhetstecknet beror på undervisningen av ämnet matematik. Här behandlas oftast uppgifter som stärker den operationella förståelsen av likhetstecknet där svaret formuleras till höger om likhetstecknet.
De olika forskningsartiklarna mynnar ut i snarlika resultat. Det som skiljer dem åt är mest angreppssättet. Alla kom fram till bristen på den relationella förståelsen av likhetstecknets betydelse hos eleverna.
En sammanställning av artiklarna ovan visar sig komma fram till samma resultat, som är:
De flesta elever i grundskolan visar sig ha svårigheter med förståelsen av likhetstecknets innebörd.
16
Många elever saknar strukturell förståelse för likhetstecknet. Eleverna tolkar likhetstecknet som operationellt, vilket innebär att symbolen ses som en uppmaning till uträkning, att någonting ”blir”.
Det är avgörande för eleverna att ha förståelse för likhetstecknets innebörd för att kunna lösa algebraiska ekvationer.
Elever som kom fram till den strukturella förståelsen för likhetstecknet förstår att det skall vara lika mycket på båda sidor om likhetstecknet, dvs. ekvivalens.
4.6 Litteraturgenomgång om hur lärare kan undervisa om
likhetstecknet
Innan man som lärare sätter igång att undervisa om något måste man göra klart för sig vad undervisningen går ut på och hur olika elever kan uppfatta och tillämpa den aktuella kunskapen.
Angående likhetstecknet påpekar Malmer (1997) att symbolen i de flesta fall införs i samband med att man presenterar addition. Detta leder till att likhetstecknet inte får den huvudroll som det borde tilldelas. Det uppfattas lätt som ett resultattecken och översätts ofta med ordet ”blir”. Vidare anser Malmer att likhetstecknet kan införas utan inblandning av addition genom att utgå från helheten och dela upp i delar, då blir det helt naturligt att säga ”lika med”. Till exempel:
Symbolen för likhetstecknet införs ofta före undervisningen av begreppets innebörd. Detta eftersom eleverna ofta får arbeta själva med läroböckerna och läraren vill skynda på eller ta för givet att eleverna förstår likhetstecknets betydelse rätt. Malmer (1997) påpekar att eleverna bör erhålla matematiska begrepp som är grundade på förståelse innan de går till den abstrakta symbolframställningen. Ett laborativt och undersökande arbetssätt bör lättare kunna anpassas efter elevernas varierande förutsättningar och behov. Vidare anser Malmer att själva processen
17
fram till begreppet lätt kan störas genom att läraren försöker förklara det för eleven med ord som eleven ännu inte förstår. Om läraren saknar de rätta orden blir förklaringarna ingen hjälp, snarare tvärtom. Läraren ska försöka invänta och möta eleven, vilket förutsätter att det går att etablera en kommunikation som gör att barnet uppfattar och förstår begreppet som de använder.
Enligt Kilborn (1997) kan likhetstecknet ha olika betydelser. Men man löser inga problem genom att enbart acceptera en av dessa betydelser. Det är bättre att lyfta fram och bearbeta de olika betydelserna. Detta underlättar elevernas möjligheter att tänka och kommunicera.
Adolfsson m.fl. (2013) har genomfört en studie med syftet att introducera likhetstecknet i ett algebraiskt sammanhang i nybörjarundervisningen. Adolfsson m.fl. (2013) beskrev att nybörjarundervisningen bygger på att eleverna introduceras i matematik genom konkreta och laborativa uppgifter. Denna undervisning skulle ge eleverna möjlighet att utforska innebörden i symboler innan de börjar arbeta med siffror. I studien medverkade sju lärare. Studien genomfördes i årskurs ett och bestod av tre olika nyckeluppgifter (tärningar, guldsand, dyrbara oljor).
En av de uppgifter som användes i studien var hämtad från ”Landet längesen - matematik för 2000-talet” (Neuman, 1993). Uppgiften handlade om Landet Längesen där ingen matematik och inga siffror finns. Kungen ställs ofta inför problemet att kunna fördela guldsand till sina tjänare så att de får lika mycket. Elevernas uppgift blir att ta reda på om guldsanden i två olika bägare är lika mycket eller om någon av tjänarna har fått mer än de andra.
Eleverna blev engagerade i denna sociala situation och började tänka och diskutera kring lösningen till problemet. Under övningens gång insåg eleverna vikten av matematiska symboler såsom likhetstecknet, för att lösa uppgiften.
Resultatet av undersökningen visade vikten av en tidig undervisning, som kan bidra till att utveckla ett prealgebraiskt tänkande. Lärarna blev förvånade över att det endast var ett fåtal elever som kom att tänka på likhetstecknet när de konstaterade att de behövde ett tecken för att symbolisera likhet. De blev också överraskade när endast ett fåtal elever svarade att de kände igen tecknet när det presenterades. De uppgifter som konstruerades under projektet byggde på att
18
eleverna ställdes inför uppgifter med redskap av prealgebraisk karaktär såsom tärningar och olika symboler. Vidare visade undersökningen att elevernas arbete med problemlösning leder till utveckling av teoretiskt tänkande som är intressant att arbeta med i undervisningen (Adolfsson m.fl., 2013).
4.7 Variationsteori – ett sätt att se på lärande
Enligt Marton och Booth (1997) uttrycker eleverna sin förståelse av ett problem på olika sätt, eftersom de har erfarit problemet olika. Därmed kommer elevernas förståelse av ett undervisningsinnehåll att variera.
Variationsteorin fokuserar på hur ett fenomen eller objekt i omvärlden uppfattas av människor (Wernberg, 2009). Förståelsen av vad ett objekt är, beror på hur det skiljer sig från andra saker. Enligt Marton och Booth (1997) bygger variationsteorin på att lärandet ses som förändringar i sättet att erfara ett fenomen eller lärandeobjekt. Marton och Booth (1997) påpekar att variationsteorin har utvecklats ur den fenomenografiska forskningen, eftersom fenomenografin har sin grund i att beskriva fenomen i världen såsom andra betraktar dem, och att beskriva variationer i det avseendet. Enligt Wernberg (2009) är en fenomenografisk forskning fokuserad på vad den lärande uppfattar av ett lärandeinnehåll eller fenomen, till skillnad från hur det sker och mängden som lärs. Hon menar att människans aktivitet står i ett förhållande till det lärandeobjekt som aktiviteten riktas mot, samt att allt lärande är en förändring i relationen mellan människan och hennes omvärld. Denna relation är inte konstant över tiden. Därmed kommer uppfattningar av en företeelse i omvärlden att variera med tiden också.
Det kan vara svårt för eleverna att lära sig något i en lärandesituation, utan variation (Wernberg, 2009). Tänk till exempel att eleverna ska utveckla en förståelse för likhetstecknet. Vilket betyder att vänster och höger led har samma värde, det vill säga ekvivalent. Om alla uppgifter de möter i undervisningen ser ut som 3 + 4 = __, och 5 + 2 = __ är det troligtvis svårt för eleverna att urskilja vad som krävs för att lösa uppgifter som 3 + __ = 7 och __ + 2 = 7. Wernberg (2009) anser att man behöver ha erfarenhet av olika sätt att lösa en uppgift. Man måste först förstå
19
vilken slags uppgift det rör sig om, och sedan komma ihåg på vilket sätt den ska lösas. Då är man bättre rustad och kan angripa uppgiften på det mest givande sättet.
För att kunna erfara ett fenomen eller en företeelse på ett specifikt sätt, måste olika aspekter kunna urskiljas och finnas i medvetandet samtidigt. Erfarandet är grundat av de element som finns samtidigt i den direkta medvetenheten. (Wernberg, 2009, s. 29)
Vidare anser Wernberg (2009) att det är lärandeobjektets konstanta aspekter i en undervisningssituation som avgör vilket lärande eleverna har möjlighet att utveckla. Läraren bör vara öppen och vaken för elevernas uppfattning av lärandeobjektet som de ger uttryck för. Utifrån detta skapar eleverna ett mönster av variation på ett sätt som gör det möjligt för dem att utveckla sin uppfattning av lärandeobjektet.
20
5. Metod
För att kunna samla in data för min undersökning om elevernas förståelse av likhetstecknet valde jag både en kvantitativ och kvalitativ undersökningsmetod. Enligt Bryman (2006) kan en kvantitativ undersökning betraktas som en undersökningsstrategi som handlar om en insamling och analys av numeriska data. Bryman (2006) menar att en kvantitativ undersökningsmetod kan användas som ett sätt att mäta. Medan en kvalitativ undersökning uppfattas som en undersökningsstrategi som vanligtvis lägger vikt vid ord och inte kvantifiering av data, dvs. icke-siffermässiga egenskaper. Vidare används en kvalitativ metod för att erhålla ett uttömmande svar. Därmed blir svaren från den kvalitativa metoden mer detaljerade relativt den kvantitativa metoden.
5.1 Datainsamling
Jag valde att utföra min undersökning på elever som går i årskurs tre och fyra samt två grundskollärare från två olika skolor.
5.1.1 Kvantitativ undersökning
Som en kvantitativ metod i min undersökning, konstruerade jag och använde en gruppenkät, som innehåller olika prealgebraiska uppgifter där likhetstecknet har en central roll. Gruppenkäten bestod av nio öppna utsagor, till exempel: 11 + __ = 18 och riktar sig endast till eleverna. I de öppna utsagorna lämnade jag en lucka i högerledet och/eller en i vänsterledet, där eleverna kunde fylla i de tal som saknades (Bilaga 1).
I enkätundersökningar läser respondenterna själva frågorna och noterar sina svar på frågeformuläret. Vid gruppenkäter delas en enkät ut till en grupp individer medan undersökaren
21
är på plats, som samlar in enkäten efteråt. Detta ökar chanserna att få hög svarprocent, men det tar lång tid (Larsen, 2009).
Nackdelen med en kvantitativ undersökningsmetod är att undersökaren inte får in all information som han/hon kanske behöver (Larsen, 2009). Det kan alltså vara svårt att uppnå god validitet genom sådana undersökningar. Validitet betyder i detta sammanhang att informationen är giltig eller relevant, dvs. att insamlade data är relevanta för frågeställningen. Fördelen med denna metod är att undersökaren kan begränsa mängden information till det som man är intresserad av, genom att respondenterna svarar på bestämda frågor (Larsen, 2009).
5.1.2 Kvalitativ undersökning
För att ta reda på hur elever muntligen beskriver begreppet ”likhetstecken”, samt hur lärarna bedriver sin undervisning om begreppet likhetstecknet, valde jag en kvalitativ undersökning. Jag genomförde intervjuer av några elever och grundskollärare från två olika skolor. Denna metod gjorde det möjligt för mig att ställa frågor kring hur eleverna beskriver likhetstecknet, samt att få fördjupande svar om lärarnas arbetssätt vid undervisningen av likhetstecknet (Bilaga 2 och 3).
En av anledningarna till att använda kvalitativa intervjuer är att undersökaren vid intervjutillfället kan ställa följdfrågor och få fördjupande svar (Bryman, 2006). Det är dessutom enklare att säkerställa god validitet i kvalitativa undersökningar. Den intervjuade kan tala friare och man kan be om förklaringar.
En av de mest uppenbara nackdelarna med den kvalitativa metoden är så kallade intervjueffekten. Detta innebär att intervjuaren själv kan påverka intervjuresultatet (Larsen, 2009). Detta kan hända när den intervjuade svarar det hon tror intervjuaren vill höra, eller hon svarar för att göra ett gott intryck.
Enligt Bryman (2006) finns det två huvudsakliga typer av intervjuer, ostrukturerade- och semi-strukturerade intervjuer. Mina elevintervjuer kan betraktas som semi-semi-strukturerade intervjuer. Detta eftersom jag formulerade en lista med specifika frågor som behandlar det specifika temat
22
”likhetstecknets betydelse”. Mina lärarintervjuer är utformade som ostrukturerade intervjuer. Här ställde jag en enda fråga och reagerade bara på de punkter som verkade vara värda en uppföljningsfråga. En ostrukturerad intervju liknar ett vanligt samtal (Bryman, 2006).
5.2 Urval
5.2.1 Kvantitativ undersökning
Undersökningen genomfördes på 45 elever i årskurs tre och fyra, som går på två olika skolor. Eleverna var slumpmässigt valda. Skolorna ligger i samma kommun i södra Sverige. Från skola 1 deltog 35 elever i min undersökning. Däremot var deltagandet från skola 2 tio elever. Denna skillnad beror på skolans samarbete. På skola 1 fick jag hela klasser, medan på skola 2 begränsades antalet elever till fem stycken per årskurs.
Dessa skolor valde jag, då det var där jag hade min verksamhetsförlagda tid. Under denna tid praktiserade jag på dessa skolor och kom i kontakt med eleverna. På grund av detta var det lättare för mig att genomföra intervjuerna. Beroende på vår tidigare etablerade relation kunde eleverna känna sig tillräckligt trygga för att besvara frågorna. Enligt Doverberg och Pramling (1998) är det viktigt att skapa en relation som bygger på barnets förtroende. Det är bra att barnen känner pedagogen sedan tidigare.
5.2.2 Kvalitativ undersökning
Av de 45 elever som genomförde den kvantitativa undersökningen kunde tio stycken intervjuas. Eleverna var slumpmässigt valda. Sex elever från Skola 1 och fyra från Skola 2. Tidsaspekten samt skolornas samarbete begränsade antalet intervjuade. Jag hade velat intervjua minst hälften av eleverna för att kunna säkerställa resultatet.
Jag har också intervjuat en grundskolelärare på respektive skola om hur de arbetar med likhetstecknet för att öka elevernas förståelse.
23
5.3 Genomförande
5.3.1 Kvantitativ undersökning
Jag informerade alla elever som deltog i min undersökning, att deras deltagande var frivilligt, att de skulle förbli anonyma i undersökningen och att resultatet inte skulle vara betygsgrundande. Enligt Bryman (2006) ska forskaren informera berörda personer att deras deltagande är frivilligt och att de har rätt att avbryta om de så önskar.
Eleverna fick svara på en gruppenkät, som behandlade prealgebraiska uppgifter och bestod av nio utsagor. Utsagorna var av olika typer, såsom: 11 + __ = 18, 2 × __ = 4 + __ och 35 = __ (Bilaga 1). När eleverna kände sig färdiga lämnades enkäten in.
5.3.2 Kvalitativ undersökning
Eleverna som deltog i enkätundersökningen från skola 2 fick ett informationsbrev, där deras föräldrar skulle ge sitt godkännande till att deras barn intervjuas, medan i skola1 behövdes inget särskilt tillstånd. I början av läsåret har föräldrarna lämnat sitt samtycke om att deras barn får delta och vara med i olika undersökningar som genomförs på skola1. Bryman (2006) påpekar att deltagarna i en undersökning har rätt att själva bestämma över sin medverkan. Om någon är minderårig kan föräldrars eller vårdnadshavares godkännande krävas.
I brevet framkom att alla uppgifter som samlas in endast får användas i undersökningen. Jag utgick från hur Bryman (2006) förklarar sina etiska punkter, dvs. konfidetialitetskravet och nyttjandekravet. Bryman (2006) menar med konfidetialitetskravet att uppgifter om alla personer som ingår i undersökningen ska behandlas med största möjliga konfidentialitet. Personuppgifter måste förvaras på ett sätt att obehöriga inte kan komma åt dem. Vidare beskriver Bryman (2006) nyttjandekravet med att de uppgifter som samlas in om enskilda personer endast får användas för forskningsändamålet.
24
Min intervju bestod av specifika frågor och följdfrågor beroende på elevernas svar. Frågorna handlade om likhetstecknet (Bilaga 2). I första delen fick eleverna beskriva sin uppfattning av likhetstecknet, dvs. ser de likhetstecknet som ett operationellt eller strukturellt tecken. Denna fråga framställde jag med hjälp av tidigare forskning (Knuth m.fl., 2008; McNeil m.fl., 2006).
Den andra delen bestod av fem räkneuppgifter som: 10 - 2 = 5 + 4, 25 – 5 = 4 × 5. Eleverna skulle säga vilka påstående som var sanna eller falska och varför. Jag bad eleverna att tänka högt så att jag kunde höra deras funderingar.
Intervjuerna genomfördes i ett grupprum på respektive skola och spelades in på band. Att spela in intervjuerna hjälpte mig att lyssna på dem senare och att inte lägga för mycket tid på att anteckna vad eleverna sade.
Jag intervjuade också två grundskollärare om hur de undervisar likhetstecknet för att öka elevernas förståelse (Bilaga 3). Intervjuerna med lärarna utfördes i deras klassrum. Intervjuerna genomfördes i form av samtal om likhetstecknet. Intervjuerna spelades in på band.
5.4 Metoddiskussion
Validiteten i resultaten av min undersökning kan anses som god eftersom all data har varit relevanta för mina frågeställningar och samlats in på samma sätt. Jag har även kompletterat den kvantitativa undersökningen med kvalitativa intervjuer för att öka och förbättra validiteten i min undersökning.
För att uppnå en hög och tillfredställande reliabilitet i min undersökning förbereddes enkätundersökningen noggrant så inga slumpmässiga fel kunde uppstå. Detta skedde bl.a. genom att utveckla frågor som inte kunde misstolkas av respondenterna. Intervjuerna spelades in för att minimera risken att information går förlorad i efterarbetet. Intervjuerna renskrevs och kontrollerades noggrant.
25
Jag anser att det begränsade urvalet i min undersökning inte representerar Sveriges elever generellt, då kunskapsnivån kan skilja sig mellan skolor.
Det begränsade elevantalet i undersökningen kan ha en betydande inverkan på undersökningsresultatet. Denna begränsning kunde jag inte styra över då de inblandade skolorna erbjöd mig en grupp elever som skulle delta i min undersökning. Ett bredare urval av elever hade kunnat ge ett mer vägledande och säkrare resultat.
26
6. Resultat och analys
I detta kapitel av arbetet redovisas och analyseras elevernas tankegångar kring de uppgifter som jag har gett dem. Jag har delat upp redovisningen i två huvudkategorier: kvantitativ undersökning och kvalitativa intervjuer.
6.1 Kvantitativ undersökning
Undersökningsenkäten bestod av olika prealgebraiska uppgifter där likhetstecknet har en central roll. Enkäten omfattade nio öppna utsagor såsom 11 + __ = 18 (Bilaga 1). I några av de öppna utsagorna lämnade jag en lucka i högerledet och en i vänsterledet, där eleverna kunde fylla i de tal som saknades.
Resultatet av enkätundersökningen presenteras på följande sätt:
- Utsagor.
- Resultat i tabell- och diagramform.
- Sammanfattning av resultatet för varje utsaga.
- Tolkning och diskussion i förhållande till teorin.
Elevernas resultat analyserades och kategoriserades i fyra olika kategorier som är: strukturell uppfattning, operationell uppfattning, annat och inget svar.
27 Utsaga 1: 11 + __ = 18 96% 4%
Diagram 1
Strukturell uppfattning Operationell uppfattning Annat Inget svarUtsaga 1 behandlade en räknehändelse på vänster sidan om likhetstecknet. Det grundläggandet tänkandet som krävs för att lösa uppgiften är en operationell uppfattning. Tabell 1 visar i antal elevernas svar på utsaga 1. Figur 1 visar i procent elevernas resultat av utsagan.
96 % av eleverna svarade rätt på denna uppgift. Resterande 4 % lämnade in utsagan utan svar. Några av elevernas lösningsstrategier:
11 + 7 = 18
Jag tog 11, sedan räknar jag så att det blev 18.
För att 7 + 1 = 8 och 10 + 8 = 18. För att 18 – 7 = 11. Utsaga 2: 22 – 2 = __ + 10 Strukturell uppfattning 0 Operationell uppfattning 43 Annat 0 Inget svar 2 Strukturell uppfattning 2 Operationell uppfattning 26 Annat 7 Inget svar 10
Tabell 1. Visar elevernas svar fördelade på de fyra kategorierna.
Figur1. Visar fördelningen av elevernas svar i de fyra kategorierna.
28 4% 58% 16% 22%
Diagram 2
Strukturell uppfattning Operationell uppfattning Annat Inget svarPå utsaga 2 svarade 74 % av eleverna fel. En del (58 %) av alla deltagande ignorerade att det fanns +10 på den högra sidan av likhetstecknet och skrev talet 20. En annan del utvecklade uppgiften och skrev: 22 – 2 = 20 + 10 = 30. Resterande del (16 %) av de som svarade fel, adderade ihop samtliga tal på vänster och höger sida av likhetstecknet. De ignorerade att likhetstecknet fanns mellan det vänstra och högra ledet. Detta resultat stämmer med de tre lösningsstrategierna som Falkner m.fl. (1999) identifierade:
Utför addition och skriv svaret efter likhetstecknet.
Addera samtliga tal och skriv in totalt i rutan.
Utveckla uppgiften.
McNeils m.fl. (2006) fick liknande resultat i deras studie. Den påvisade att eleverna uppfattade likhetstecknet som en uppmaning för att utföra en räknehändelse. Detta kan bero på att likhetstecknet introducerades i undervisningen tillsammans med ett operationellt tecken. Det vill säga att svaret kommer efter likhetstecknet (Bergsten m.fl.,1997).
Utsagor 3 – 6:
3) 2 × __ = 4 + __ 4) 18 - __ = 10 - __ 5) 3 × __ = 6 + __ 6) __ - 5 = 8 + __
29
Utsagor 3, 4, 5 och 6 var utsagor som kräver en lösningsstrategi som använder den strukturella uppfattningen av likhetstecknet. Utsagorna behandlade räknehändelser på båda sidor om likhetstecknet.
Uppgift 3 Uppgift 4 Uppgift 5 Uppgift 6
Strukturell uppfattning 20 15 12 10 Operationell uppfattning 11 13 16 18 Annat 6 7 7 0 Inget 8 10 10 17
Diagram 3 visar att 32 % av eleverna löste utsagorna korrekt. De använde sig av en strukturell lösningsstrategi. 35 % av eleverna svarade korrekt på utsaga 3, medan på utsaga 4 svarade 26 % korrekt. Vidare svarade 21 % av eleverna korrekt på utsaga 5, och 18 % svarade korrekt på utsaga 6. Utsagorna 3 och 4 fastnade inte eleverna vid. Däremot var utsagorna 5 och 6 svåra för
Tabell 3. Visar elevernas svar på uppgifterna 3, 4, 5 & 6 fördelade på de fyra kategorierna.
30
dem att lösa. 36 % av eleverna svarade talet 2 på utsaga 5, medan 15 % av eleverna utvecklade uppgiften genom att skriva 3 × 2 = 6 + 2 = 8. Dessa elever har en operationell uppfattning av likhetstecknet. 20 % av eleverna lämnade in utsagan utan svar. När det gäller utsaga 6 skrev 40 % av eleverna talet 13 i vänstra ledet och lämnade högra ledet tomt. Detta beror på att eleverna uppfattade likhetstecknet som en uppmaning att svaret skulle komma efter det, alltså till höger (Ahlberg, 2000). Bergsten m.fl. (1997) har påvisat att elever som har denna uppfattning kan få svårigheter med att lösa ekvationer som består av mer än en term i den högra sidan om likhetstecknet. 38 % av eleverna lämnade in utsaga 6 utan svar.
Utsaga 7: 35 = __
40 % av eleverna svarade korrekt. En del av dem skrev 35 = 35, och den andra delen skrev en räkneoperation såsom 35 = 20 + 15 och 35 = 30 + 5. Enligt Emanuelsson m.fl. (2007) är det viktigt att låta eleverna möta utsagor med likhetstecknet och ta reda på hur de tolkar dessa uttryck. Denna typ av utsagor är viktig eftersom den kan få eleverna inse att likhetstecknet betyder ”är detsamma som”. Detta leder eleverna bort från att se likhetstecknet som ett resultattecken. 11 % av eleverna svarade fel på utsaga 7. De utvecklade utsagan och lade till ett operationstecken. De skrev: 2 × 35 = 70.
Korrekt 18
Inkorrekt 5
Inget 22
Tabell 7. Visar elevernas svar fördelade på de fyra kategorierna.
Figur 7. Visar fördelning av elevernas svar i de fyra kategorierna.
31 Utsaga 8: 15 = __ + __ = __ - __ = __ × __ 9% 29% 62%
Diagram 8
Strukturell uppfattning Operationell uppfattning Inget29 % av eleverna tolkade likhetstecknet som att ”det blir”. De utvecklade utsagan såsom: 15 = 15 + 5 = 20 – 8 = 12 × 2 = 24. De skrev alltid svaret efter likhetstecknet. Likhetstecknet fungerade här som en uppmaning att utföra en operation. Detta avspeglas i det språk som brukar användas ”att det blir” (Bergsten m.fl.,1997).
Utsaga 9: __ = __ 9% 42% 16% 33%
Diagram 9
strukturell uppfattning Operationell uppfattning Annat Inget Strukturell uppfattning 4 Operationell uppfattning 13 Inget 28 Strukturell uppfattning 4 Operationell uppfattning 19 Annat 7 Inget 15Tabell 8. Visar elevernas svar fördelade på tre kategorierna.
Figur 8. Visar fördelning av elevernas svar i de tre kategorierna.
Tabell 9. Visar elevernas svar fördelade på de fyra kategorierna.
Figur 9. Visar fördelning av elevernas svar i de fyra kategorierna.
32
9 % av eleverna skrev utsagor som behandlade räknehändelser på båda sidorna av likhetstecknet. Till exempel som: 3 × 3 = 9 + 0. De påvisade att de hade den strukturella uppfattningen av likhetstecknet. 42 % av eleverna skrev utsagor som behandlade en räknehändelse på den vänstra sidan om likhetstecknet som: 7 + 7 = 14. Detta berodde på att eleverna har stött på sådana utsagor i undervisningen. Eleverna har inte arbetat med likhetstecknet på ett strukturellt sätt, det vill säga med uppgifter av typ 6 + 6 = 5 + 7. De har ofta arbetat med beräkningsuppgifter av typen 5 + 7 = 12 (Bergsten m.fl.,1997).
Resultatet av den kvantitativa undersökningen visar att elever har svårigheter med utsagor som behandlar räknehändelser på båda sidorna av likhetstecknet. Dessa utsagor kräver en strukturell uppfattning av likhetstecknet, det vill säga en förståelse av att likhetstecknet står för ekvivalens.
6.2 Kvalitativa intervjuer
6.2.1 Hur beskriver elever likhetstecknets symbol?
Mina elevintervjuer bestod av två huvudfrågor (Bilaga 2). I den första frågan fick eleverna muntligt beskriva likhetstecknet.
Elevernas tolkningar av likhetstecknet kategoriserade jag i två grupper. Den första gruppen var de elever som gav likhetstecknet en strukturell beskrivning och förklarade att likhetstecknet betyder ”lika mycket på båda sidor”. Den andra gruppen var eleverna som gav likhetstecknet en operationell beskrivning, det vill säga att beskriva likhetstecknet med ordet ”blir” eller ”att svaret kommer efter tecknet”.
Endast två elever visade en strukturell uppfattning när de beskrev likhetstecknet. De beskrev likhetstecknets innebörd på följande sätt:
- ”att det är lika mycket på båda sidorna”. - ”det är som en våg”.
33
Resten av eleverna visade en operationell uppfattning av likhetstecknet. Tre av dem använde ordet ”blir”:
- ”det betyder hur mycket det blir”. - ”att det blir något”.
De resterande fem beskrev likhetstecknet som resultattecken, där svaret skulle komma efter likhetstecknet. Några av elevers beskrivningar:
- ”det visar vad svaret är”.
- ”till exempel om det finns något plus något, sedan blir det ett svar”.
- ”när man plussar då räknar man och sedan kommer svaret som, 5 + 3, vi räknar 5,6,7,8,
då blir det 8”.
Mer än hälften av eleverna har beskrivit likhetstecknet som ett operationellt tecken. De flesta av dem berättade om likhetstecknet som resultattecken. Detta resultat beror på att eleverna ofta stöter på likhetstecknet tillsammans med ett operationstecken. Enligt Malmer (1997) införs likhetstecknet i de flesta fall i samband med addition. Detta leder till att likhetstecknet inte får den huvudroll som tecknet borde ha. Då uppfattas det som ett resultattecken och översätts ofta med ordet ”blir”. En av eleverna beskrev likhetstecknet som en våg, vilket betyder att tecknet står för ekvivalens. Detta kan bero på elevens erfarenheter när likhetstecknet presenterades för honom. Enligt Ahlberg (2000) kan vågen vara ett perfekt hjälpmedel när man introducerar likhetstecknet.
Den andra frågan bestod av fem utsagor som till exempel, 10 – 2 = 5 + 4. Eleverna skulle besvara vilka uppgifter som var sanna eller falska och förklara varför. Det var lättare för eleverna att lösa utsaga 1 och utsaga 4 än resten av utsagorna. Eleverna som gick i årskurs tre tyckte att resten av utsagorna var svåra och ville inte fortsätta intervjun. De sa att de inte har börjat med gånger. Eleverna som genomförde utsagorna uttryckte att tre av utsagorna var sanna eftersom det var lika mycket på båda sidor. De beskrev hur de tänkte på följande sätt:
- ”10 – 2 är 8 och sedan räknar man den andra sidan 4 × 5 lika med 20, så är det
sant”.
Bara en elev kunde lösa utsaga 5 som var: 32 = 16 × 2 = 10 + 22 = 45 – 13. Han löste den genom att räkna varje räkneoperation för sig.
De flesta av eleverna hade svårt att beskriva hur de tänkte. Malmer (2003) påpekar att det är svårare för eleverna att med ord beskriva hur de tänker än att upptäcka och uppfatta en situation.
34
Utifrån elevers lösningsstrategier blir resultatet av denna del av undersökningen att ett fåtal av eleverna har en strukturell uppfattning av likhetstecknet. Dessa elever förstår att det krävs att det ska vara lika mycket på båda sidor om likhetstecknet för att utsagan ska vara sann, dvs. ekvivalent.
6.2.2 Hur undervisar lärarna likhetstecknets symbol?
Mina lärarintervjuer bestod av en enda fråga som behandlade lärarens arbetssätt att undervisa begreppet likhetstecknet (Bilaga 3).
Lärare 1 introducerade likhetstecknet genom att arbeta med konkret material som klossar och stenar. Han tog som ett exempel sju klossar och grupperade de i olika grupper innehållande fem respektive två klossar, eller fyra respektive tre klossar eller en respektive sex klossar. Han ansåg att om man utgick från ett heltal och sedan delade upp det i olika delar, då uppfattade eleverna likhetstecknet som ”är detsamma som”. Eleverna fick undersöka på hur många olika sätt de kan kombinera ihop klossarna så att de erhåller talet sju. Men om man införde addition först och skrev 3 + 4 = 7 då leder man in eleverna att se likhetstecknet som ett resultattecken.
Vidare tyckte lärare 1 att öppna utsagor som 3 × __= __ + 6 var ganska svåra att lösa och förstå för sina elever. Han menade att en del av sina elever inte såg likhetstecknet som ekvivalenstecken. Han uttryckte att matematikböckerna brukade innehålla öppna utsagor men bara med en lucka.
Vidare uttryckte lärare 1 att han presenterade likhetstecknet i samband med addition och arbetade mycket efter matematikböckerna. Detta kan tänkas vara en anledning till att hans elever hade svårt och lösa mina öppna utsagor. Kilborn (1997) påvisar att många elever uppfattar likhetstecknet som ”det blir” eller att svaret ska komma efter. Detta beror på att eleverna arbetar med likhetstecknet i samband med ett operationstecken som addition och subtraktion (ofta med addition).
35
Lärare 2 uttryckte att han brukade använda vågen i början av årskurs två vid introduktion av likhetstecknet. Eleverna fick prova att väga och upptäcka att de behövde lägga lika mycket på båda sidorna. Sedan fick eleverna översätta och skriva uppgiften med matematiska symboler som 5 = 2 + 3.
Vidare tyckte lärare 2 att problemlösning var jätteviktigt att använda för att öka elevers förståelse av likhetstecknet. Han tog som ett exempel följande problemlösning:
”Tre barn har tio kronor sammanlagt. Ett av barnen har en krona fler än de andra. Hur många kronor har varje barn?”
För att lösa detta problem fick eleverna arbeta med konkret material som låtsaspengar. De delade upp tio kronor i tre grupper. Sedan skrev eleverna hur de löste problemet som 10 = 3 + 3 + 4. Svaret är: två barn hade 3 kronor och ett barn hade 4 kronor. Lärare 2 tycker att med sådana metoder skulle eleverna förstå att svaret inte alltid borde komma efter likhetstecknet. På så vis blev eleverna engagerade i att tänka och diskutera kring hur de kan lösa problemet. Adolfsson m.fl. (2013) påpekar att elevernas arbete med problemlösning leder till utveckling av teoretiskt tänkande som är intressant att arbeta med i undervisningen. Vidare uttryckte lärare 2 att eleverna lärde sig i samspel med lärare och med andra elever. Med hjälp av diskussion och samspel med varandra utvecklar eleverna sitt tänkande. Malmer (1997) anser att förståelsen av matematiska begrepp utvecklas genom språket i samspel med andra. Läraren ska försöka invänta och möta eleven, vilket förutsätter att det går att etablera en kommunikation, att barnet uppfattar och förstår begreppet som de använder (Malmer, 1997).
Lärare 2 arbetade också med talkamrater. Detta genom att låta eleverna tänka på hur många olika sätt ett tal kan delas upp. Han tog talet 16 som ett exempel. Eleverna fick undersöka på hur många sätt talet 16 kunde delas upp i som 10 + 6, 7 + 9, 3 + 5 +10 etc. Lärare 2 tyckte att om man utgick från ett heltal och delade upp det i olika delar blev det naturligt för eleverna att uppfatta likhetstecknet som ”är lika med”.
Båda lärarna arbetar med uppdelning av ett helt tal i olika delar. Malmer (1997) anser att likhetstecknet kan införas utan inblandning av addition genom att utgå från helheten och dela upp den i delar då blir det helt naturligt att säga ”lika med”.
36
Båda lärarna använde sig av ett laborativt och undersökande arbetssätt som till exempel klossar och våg. Detta för att underlätta för eleverna att uppfatta och förstå begreppet likhetstecken. Ahlberg (2000) anser att det är viktigt att använda konkret material för att utveckla och bredda förståelsen av likhetstecknet hos eleverna. Då uppfattas likhetstecknets betydelse både strukturell och operationell.
37
7. Diskussion och slutsatser
7.1 Diskussion
När jag började mitt examensarbete hade jag en hypotes om att många elever saknar förståelse för den strukturella innebörden av likhetstecknet. Resultatet av min undersökning visar att många av de elever som ingick i undersökningen har bristande förståelse för likhetstecknet. De har en operationell förståelse för likhetstecknets betydelse och detta stämmer med vad tidigare forskning visar.
Eleverna i min undersökning använder sig av tre tillvägagångssätt när de tänker kring likhetstecknet. Detta stämmer med de tre lösningsstrategierna som Falkner m.fl. (1999) identifierar: att utföra addition och skriva svaret efter likhetstecknet, eller att addera samtliga tal och skriva in totalen i rutan eller att utveckla uppgiften. Eleverna uppfattar likhetstecknet som ett resultattecken eller som en uppmaning att utföra en räknehändelse. Likhetstecknet tolkas som ”blir” (Bergsten m.fl.,1997; Kieran, 1981; Falkner m.fl.,1999; McNeil m.fl.,2006). Detta tyder på att eleverna saknar förståelse av den strukturella innebörden av likhetstecknet, vilket innebär att det är lika mycket på båda sidor (Bergsten m.fl., 1997; Falkner m.fl.,1999).
Mina elevintervjuer visar att ett fåtal elever har den strukturella uppfattningen av likhetstecknet. Dessa elever förstår att det krävs lika mycket på båda sidor av likhetstecknet för att utsagan ska vara sann. Eleverna uppvisar härmed en förståelse som tyder på att likhetstecknet står för ekvivalens. Dessa elever kunde lättare lösa mina utsagor än de elever som saknade förståelsen av ekvivalens.
Lärarna i min studie använder sig helst av laborativa arbetssätt, då det blir lättare att förklara likhetstecknets innebörd för eleverna. Enligt Falkner m.fl. (1999) har lärarens arbetssätt en viktig roll. Undervisningen som grundar sig på elevers förståelse och intresse, samt ett laborativt arbetssätt där diskussioner har en central roll underlättar för eleverna att uppnå en bättre
38
förståelse för nya begrepp. Lärarens arbetssätt vid introduktion av likhetstecknet underlättar för eleverna att varsebli den strukturella förståelsen.
Ett av resultaten från min undersökning visar på vikten av att lärare har kännedom om hur elever uppfattar likhetstecknet i olika situationer. Då kan de handleda eleverna genom att välja spännande arbetsformer såsom att dela upp klossar i olika grupper eller att använda vågen eller att arbeta med problemlösning. Läraren bör utgå från hur eleven tänker och lär sig ett specifikt innehåll. Därför är det viktigt att ha ett varierande arbetssätt och söka fortlöpande sammanhang ur elevens perspektiv.
7.2 Slutsatser
Syftet med undersökningen var att undersöka hur elever i årskurs tre och fyra uppfattar likhetstecknet och hur deras lärare undervisar begreppet ”likhetstecknet” för att öka förståelsen hos eleverna. Utifrån den undersökningen kan följande slutsatser dras:
Elever i grundskolan visar sig ha svårigheter med förståelsen av likhetstecknets innebörd. Många elever saknar den relationella förståelsen för likhetstecknet.
Lärare bör inte ta förgivet att eleverna förstår likhetstecknets innebörd.
Lärarens roll är att planera en lärandesituation där den strukturella betydelsen av likhetstecknet understryks och förtydligas parallellt med den operationella betydelsen. Lärare ska då och då kontrollera och undersöka hur eleverna uppfattar likhetstecknets
innebörd. Därmed kan åtgärder sättas in i tid om det visar sig att det finns brister i elevernas förståelse.
Som blivande lärare kommer jag att arbeta medvetet utifrån elevers erfarenheter och förförståelse, samt att använda varierade arbetssätt som laborationer, grupparbete och gemensamma diskussioner. Jag kommer även att lägga vikt vid förståelsen för likhetstecknet, annars får eleverna svårigheter med algebra. Likhetstecknet är det tecken som eleverna måste förstå innan de introduceras till de fyra räknesätten.
39
7.3 Fortsatt forskning
Efter denna undersökning har jag kommit fram till några frågor som skulle vara intressanta att undersöka vidare kring likhetstecknets funktioner.
Frågorna är:
Hur kan jag skapa gynnsammare förutsättningar som främjar elevernas förståelse om likhetstecknet?
40
Referenser
Adolfsson Boman, M., Eriksson, I., Hverven, M., Jansson, A. och Tambour, T. (2013). Att introducera likhetstecken i ett algebraiskt sammanhang för elever i årskurs 1. Forskning om
undervisning och lärande, 10, 29-49.
Ahlberg, A. (red.) (2000). Att se utvecklingsmöjligheter i barns lärande. Matematik från början. Göteborg: NCM Nämnaren.
Bergsten, C. Häggström, J. och Lindberg, L. (1997). Algebra för alla. Göteborg: Göteborgs Universitet.
Bryman, A., (2006). Samhällsvetenskapliga metoder. Malmö: Liber AB.
Doverberg, E. och Pramling, I. (1998). Att förstå barns tankar. Almqvist och Wiksell.
Emanuelsson, G., Boesen, J., Walby, A. och Walby, K. (2010). Lära och undervisa matematik –
internationella perspektiv. Göteborg: Göteborgs Universitet.
Falkner, Karen P., Levi, L., och Carpenter, Thomas P. (1999). Children's Understanding of Equality: A Foundation for Algebra. Teaching Children Mathematics, 4, 232-236.
Hattikudur, Shanta och Alibali, Martha W. (2010). Learning about the equal sign: Does comparing with inequality symbols help? Journal of Experimental Child Psychology, 107, 15-30. Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in
Mathematics, 12, 317-326.
Kiselman, C. och Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. Göteborg: Göteborgs universitet.
Kilborn, W. (1997). Grundläggande aritmetik. Didaktisk ämnesteori I matematik. Stockholm: Liber Ekonomi.
Knut, E., Stephens, A., McNeil, N. och Albali, M. (2006). Does Understanding the Equal Sign Matter? Evidence from Solving Equations. Journal for Research in Mathematics Education, 4, 297 – 312.
Knuth, Eric J., Alibali, Martha W., Hattikudur, Shanta, McNeil, Nicole M., och Stephens, Ana C. (2008). The importance of Equal Sign Understanding: In middle grades. Mathematics Teaching
41
Larsen, A. (2009). Metod helt enkelt. En introduktion till samhällsvetenskaplig metod. Malmö: Gleerups utbildning AB.
Malmer, G. (2003). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur. Malmer, G. (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds Förlag AB. Marton, F. och Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur.
Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011. Stockholm: Fritzes
Elektroniska referenser
Skolverket (2008). Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007 - En djupanalys av hur
eleverna förstår centrala matematiska begrepp och tillämpar beräkningsprocedurer. Skolverkets
rapport nr 323. Hämtades den 2013- 05- 01.
Wernberg, A. (2009). Lärandets objekt- Vad elever förväntas lära sig, vad görs möjligt för dem
att lära och vad de faktiskt lär sig under lektionerna. Högskolan Kristianstad. Arbete nr 20.
42
Bilaga 1
Min gruppenkät
Lös följande uppgifter och förklara hur du tänkte.
1) 11 + __ = 18
Förklara hur du tänkte.
2) 22 – 2 = __ + 10 Förklara hur du tänkte.
3) 2 × __ = 4 + __
Förklara hur du tänkte.
4) 18 - __ = 10 - __ Förklara hur du tänkte.
43 5) 3 × __ = 6 + __
Förklara hur du tänkte.
6) __ - 5 = 8 + __
Förklara hur du tänkte.
7) 35 = __
Förklara hur du tänkte.
8) 15 = __ + __ = __ - __ = __ × __ Förklara hur du tänkte.
9) Skriv din egen uppgift:
44
Bilaga 2
Frågor till elever
5 + 2 = 7
Pilen pekar på en symbol. Vad heter den?
Vad betyder den här symbolen? Förklara.
Svara med sant eller falskt på följande uppgifter. Berätta varför.
1) 10 – 2 = 5 × 4
2) 27 – 5 = 11 × 2
3) 3 × 7 = 15 + 9
4) 25 – 5 = 4 × 5
5) 32 = 16 × 2 = 10 + 22 = 45 – 13
Mina följdfrågor:
Hur tänkte du här?
Varför?
45
