Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng på avancerad nivåProblemlösning – Vad? Hur och varför?
En studie om lärares syn på problemlösning i matematik
Problem Solving – What? How and why?
A study of teachers’ approach to problem solving in mathematics
Emina Begic
Tanja Trkulja
Lärarexamen 210 hp Handledare: Ange handledare
Matematik och lärande 2011-11- 07
Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Eva Riesbeck
Förord
Examensarbetets samtliga delar har vi gemensamt skrivit genom diskussioner och samråd. Samtliga intervjuer genomfördes tillsammans, men vi valde att dela upp transkriberingen av dessa för att utnyttja tiden optimalt. Det enskilda arbetet bestod av att hitta relevant litteratur och delge varandra forskningen som hittats. Vi vill tacka alla lärare som ställt upp i undersökningen. Vi vill även tacka vår handledare Eva Riesbeck som väglett oss under arbetets gång. Till sist vill vi tacka våra familjer som stöttat oss i både framgångar och motgångar.
Sammanfattning
Syftet med detta arbete har varit att försöka ta reda på vad lärare i dagens skola anser om problemlösning. Vad tycker de egentligen att problemlösning är, och hur arbetar de problemlösande? Det empiriska materialet har samlats in genom kvalitativa intervjuer. Informanterna var matematiklärare i mellanstadiet, och alla intervjuer spelades in på band. Därefter transkriberades informanternas svar och sammanställdes i fyra kategorier. De fyra kategorierna var ”Vad är problemlösning”, ”Varför arbetar lärarna med problemlösning”, ”Vilka sorts uppgifter väljer lärarna” och ”Hur arbetar lärarna med problemlösning”. Resultatet sammanställdes i form av berättande bilder för att skapa en helhetsbild av informanternas yttrande. Utifrån de berättande bilderna, gjordes en sammanfattande analys där det framgick att informanterna talade om fyra perspektiv på definitionen av problemlösning. I vår studie framkommer det att problemlösning är givande och en viktig del av matematikundervisningen.
Innehåll
1.Inledning ... 2 2.Syfte... 4 2.1 Frågeställningar ... 4 3. Litteraturgenomgång ... 5 3.1 Vad är matematik? ... 5 3.2 Vad är problemlösning?... 6 3.3 Problemlösning ur läroplansperspektiv ... 9 3.4 Varför problemlösning? ... 113.5 Vad är ett problem? ... 13
3.6 Att arbeta med problemlösning ... 15
4.Metod och genomförande ... 18
4.1 Kvantitativ och kvalitativ metodik ... 18
4.2 Datainsamlingsmetoder ... 18 4.3 Urval ... 19 4.4 Procedur ... 19 4.6 Forskningsetiska aspekter ... 20 4.5 Tillförlitlighet ... 21 5.Resultat ... 22 5.1 Vad är problemlösning?... 22
5.2 Varför arbetar lärarna med problemlösning? ... 24
5.3 Vilka sorts uppgifter väljer lärarna? ... 25
5.4 Hur arbetar lärarna med problemlösning? ... 27
6. Analys... 30
6.1 Problemlösning? ... 30
6.2 Sammanställande analys ... 34
7. Diskussion och slutsats... 36
Referenser ... 39 Bilaga 1
2
1. Inledning
Problemlösning i matematik kan ha olika perspektiv. Problemlösning kan ses som ett inlärningsmål, en process eller en basfärdighet (Magne, 1998). Det finns skilda bilder av hur problemlösning kan uppfattas och det intressanta är att synsätten ändras över tid. Problemlösning har olika innebörd beroende på hur man ser på det. Om två olika lärare säger att de ägnar sig åt problemlösning eller tycker att problemlösningsaktiviteter är viktiga, behöver det inte betyda att de prioriterar samma slags aktiviteter i klassrummet. Riesbeck (2000) menar att det finns lärare som bara använder sig av läroboken och anser att de använder sig av problemlösning. På så sätt finns det inget rätt eller fel svar på vad problemlösning är.
Vad eleverna ska lära sig i matematik är grundat i vad som står skrivet i läroplaner och kursplaner. I Lgr 69 står bland annat, att undervisningen ska anknyta till elevers erfarenheter, så att de får uppleva hur matematiken används i det vardagliga livet . Därför måste elever ha arbetat med många olika sorters problem. I Lgr 80 framkommer det tydligt att problemlösning är ett huvudmoment (Haglund m.fl., 2005). Undervisningen ska utgå från elevernas erfarenheter, behov och förbereda elever för rollen som vuxna medborgare (Lgr80). Eleverna ska därför i första hand skaffa sig god förmåga att lösa sådana matematiska problem som förekommer i vardagslivet. I läroplanen för grundskolan 2000 står att problemlösning alltid haft en central plats i matematikämnet. I den nya läroplanen för grundskolan 2011 står att skolan ska se till att alla elever utvecklar sådana kunskaper i matematik som man behöver för att kunna fatta välgrundade beslut i vardagslivet.
I läroplanerna framkommer det tydligt att problemlösning har haft och fortfarande har stor betydelse för matematikundervisningen. Eftersom vi ska bli lärare i matematik, insåg vi att det mest relevanta för oss var att samtala med dagens lärare för att se hur bilden av problemlösning ser ut.
3
Problemlösning har en stor betydelse för våra kommande elevers framtid, både som individer och medborgare i vårt samhälle. Problemlösning i matematik bör vara mer vardagsanknuten och det är viktigt för att våra framtida elever ska få en grundläggande bas att stå på. Under arbetes gång har vi haft de tre didaktiska frågorna: VAD, VARFÖR och HUR i åtanke. Vi ville ta reda på vad problemlösning är, varför lärarna arbetar med det, men även hur de arbetar med problemlösning. Som lärare bör man ha de didaktiska frågorna ständigt i åtanke. Wyndhamn (1987) menar att didaktiken ger lärarna ett tankeverktyg för att analysera den egna professionella verksamheten. Lärarna får olika handlingsalternativ genom didaktiken, men hur undervisningen ska gå till är upp till varje enskild lärare.
4
2. Syfte
Syftet med detta arbete är att få en bättre förståelse för hur dagens lärare undervisar och arbetar med problemlösning i matematik. Vi vill ta reda på vad lärarna anser om problemlösning och om de använder problemlösning i sin undervisning. Vi vill kunna upptäcka och förstå resonemanget kring problemlösning. Av våra tidigare erfarenheter har vi upptäckt att det används för lite i undervisningen. Vi har valt att utgå från lärarnas inställning och syn, eftersom det är de som styr och planerar undervisningen. Inför vårt framtida arbete som lärare vill vi ta reda på om det lönar sig att undervisa matematik genom problemlösning. Vad menar dagens lärare att problemlösning är och anser lärarna det är givande.
2.1 Frågeställningar
Utifrån syftet bestämde vi oss för att se om det finns någon skillnad på lärares syn angående vad problemlösning är och hur den bör användas. Vi bestämde oss för följande frågeställningar:
Vilka bilder av problemlösning ger lärare uttryck för? Varför ska man ha problemlösning?
Hur planerar och arbetar lärare med problemlösning?
5
3. Litteraturgenomgång
3.1 Vad är matematik?
I nationalencyklopedin (2011) får man svaret att matematik är ”en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling.”
Matematiken har många ansikten och framstår på olika sätt beroende på från vilket håll man betraktar den. Jaworski (1998) menar att matematik handlar om förhållande och abstrakta objekt som inte kan föreställas på ett enkelt sätt i den påtagliga världen. Oavsett vilka föremål lärare använder för att stimulera elevens fantasi måste ändå mentala konstruktioner göras (Jaworski, 1998).
Unenge, Sandahl & Wyndhamn (1994) skriver att matematiken sägs vara den äldsta av alla vetenskaper och att den ”föddes” för att människan hade behov av att räkna. Matematiken var en självklar del i människans allmänbildning fram till 1600-talet. När matematiken började använda symboler och ekvationer blev det ett abstrakt ämne. Därmed avskärmades matematiken från vardagen. När symbolspråket växte blev matematiken ett svårt ämne och man behövde en särskild begåvning för att räkna (Unenge, Sandahl & Wyndhamn, 1994).
Matematiken har en särpräglad relation till filosofin, och historiskt sett har de påverkat varandra. Redan på Platons och Aristoteles tid skissades de stora tankeströmningarna inom matematikens filosofi, till exempel att matematiken är personlig och kulturberoende och matematiska sanningar är oberoende av vår materiella värld (Helenius & Mouwitz, 2009).
Det finns tre karaktäristiska drag för ämnet, dessa är abstraktion, generalisering och formalisering enligt Wyndhamn (1987). Med abstraktion menas idealiserande och
6
extraherande, man identifierar kärnan i ett matematiskt sammanhang genom att överflödiga detaljer utesluts. Generalisering ses både som en process och ett påstående. Formalisering är matematikerns sätt att bearbeta matematiken mekaniskt. Man skapar ett lämpligt språk, symbolspråket (Wyndhamn, 1987).
Wistedt (1991) menar att matematikundervisningen bör utgå från elevers vardag och att man bör hämta material från deras närmiljö. Elever har rätt till inlärning på sina egna villkor och som lärare bör man knyta matematiken till sådant som eleverna redan kan och till situationer som är välbekanta för dem (Wistedt, 1991). Enligt Ulin (1991) handlar matematik om problemlösning där man ska utveckla en eller fler idéer. Elever behöver lugn och ro för att klara av uppgifterna på egen hand. Har läraren intresse för och erfarenhet av problemlösning, ökar även elevers kompetens och självförtroende (Ulin, 1991).
Matematiken som en kunskapsmassa (” a body of knowledge”) framstår som en fastställd mängd kunskap som är presenterad genom uppgifterna i läroböcker. Eleverna ska lösa dessa uppgifter genom att reproducera en viss kunskap med en viss metod. Svaret finns i facit och är inte förhandlingsbart. I matematiken som ett kunskapssätt (”a form av knowledge”) är målet för undervisningen att ge eleverna en högre kvalitet i tänkandet och större kunskap för att hantera olika situationer. Det finns en öppenhet i detta synsätt när man diskuterar vilka slags frågor som kan vara intressanta att bearbeta och vilka lösningsmetoder som ska tillämpas (Unenge, Sandahl & Wyndhamn, 1994).
3.2 Vad är problemlösning?
I ” Problemlösning som metafor och praktik” av Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz (2000) gjordes en studie där man frågade lärare vad de ansåg problemlösning var. Resultatet Wyndhamn m.fl. fick var att problemlösning ansågs vara; tillämpning, arbetssätt, inlärning och tankeprocess. De skapade ett analysschema (figur 1) för att presentera sina resultat.
Figur 1 Figur 1 B A C D Tillämpning Tankeprocess Arbetssätt Inlärning
7
Wyndhamn m.fl. (2000) förklarar aspekterna i fält A som samtal om olika strategier och tekniker. Eleven förutsätts ha en viss erfarenhet och kunskap, och det som tillkommer är att de ska organisera sina tankar på ett lämpligt sätt. Eleven ska på ett rationellt sätt använda sig av sin tidigare kunskap och på ett skapande sätt komma fram till en lösning. Fält B handlar om vilka slags uppgifter man kan eller ska lösa. Problemlösning är vardagsanknuten och nyttig, men det kan även vara att eleverna arbetar med ”tankenötter/kluringar”. I fält C ses problemlösning som ett sätt för elever att tillsammans med andra diskutera och tolka information på ett överskådligt sätt. Verksamheterna i detta fält ska förklara olika samband så att eleven skapar en förståelse och ökar sin matematiska medvetenhet. Till skillnad från fält A där tankeprocessen handlar om att söka lösningar på problem, handlar fält D om att tankeprocessen innehåller resonemang och argumentation. Elever gör medvetna tankeexperiment som de sedan kan analysera och värdera.
Wyndhamn m.fl.( 2000) menar vidare att de vardagsbetonade uppgifterna (fält B) som lärare väljer ut, påverkar elevernas tankeprocess (fält A). Det som sker i fält C, tror läraren ska ha en positiv inverkan på fält D. Fälten B och C ses som ”lärarens” rutor, och det är något som lärarna kan påverka. Fälten A och D ses som ”elevens” rutor och handlar om deras tankar och tankeprocesser (Wyndhamn m.fl., 2000)
Möllehed (2001) menar att problemlösning har funnits så länge man har undervisat i matematik men i olika former och på olika sätt. Ett problem avser en situation som kräver en lösning där man verkligen vill medverka till att hitta lösningen. Till att börja med saknar man en given metod för att lösa problemet (Möllehed, 2001). En liknande syn på vad problemlösning är har Ahlberg (1991). Hon menar att problemlösning ska ses som en utgångspunkt för att skapa behov hos eleverna för att använda sig av matematisk färdighet och inte att träna en redan inlärd färdighet. Det ska för eleverna inte finnas någon given metod eller matematisk modell till att börja med (Ahlberg, 1991).
Taflin (2007) skriver i sin studie ”Matematikproblem i skolan – för att skapa tillfällen till lärande” en sammanfattning om vad problemlösning är för något. Hon menar att eleven ska tolka uppgiften, förstå texten och uppfatta uppgiften som ett problem. Problemlösning handlar om att välja en metod för att lösa problem. För att kunna göra detta måste eleven ha matematiska idéer. Eleven ska ha kunskaper i de olika matematiska områdena men även dess begrepp och procedurer (Taflin, 2007).
8
Magne (1998) anser att det finns tre grundpelare i matematikinlärning. De tre pelarna är problemlösning, taluppfattning och formuppfattning. Enligt Magne (1998) är det svårt att definiera problem. Han menar att man förr pratade om benämnda uppgifter i den svenska skolan. På folkskolans tid var problem mest ett arbetssätt för elever att stärka de numeriska färdigheterna i de fyra räknesätten. Det finns tre tolkningar av problemlösning som är de mest vanliga. Problemlösning ses antingen som ett inlärningsmål, en process eller en basfärdighet (Magne, 1998). Riesbeck m.fl. (2000) skriver om benämnda uppgifter, eller som elever ofta kallar dem, lästal. Denna typ av uppgifter ger elever möjlighet att träna problemlösning och förmedla kunskap. Syftet med benämnda uppgifter är att elever ska få ett tillfälle att öva algoritmer och matematiskt resonemang utifrån verkliga problemställningar hämtade från vardagslivet (Riesbeck m.fl, 2000).
Problemlösning är en stor och komplex del av matematiken (Lester, 1996). Verschaffel m.fl. (1994) menar att problemlösning utgör en viktig del av matematikundervisningen i grundskolan. Anledningen till varför elever bör arbeta med detta är att de ska få träna på att tillämpa den formella kunskapen och färdigheterna de lärt sig i skolan, till verklighetsanknutna situationer (Verschaffel, De Corte & Lasure, 1994).
Taflin (2007) menar att problemlösning kan vara ett sätt att visa att man har nytta av matematiken i det verkliga livet. Genom att prata matematik under problemlösning, utvecklar eleverna sina matematiska kunskaper. De argumenterar med varandra och använder matematiska begrepp under dialogerna. Problemlösning förutsätter att elever har många olika kunskaper och färdigheter, men den leder samtidigt till att de får många olika kunskaper och färdigheter (Taflin, 2007).
Boaler (2011) pekar på en stor skillnad mellan en matematiker och en elevs matematikarbete. Problemlösning är enligt henne kärnan i det arbete som matematiker gör. Elever däremot gör korta räkneövningar där de får repetera enskilda räkneprocedurer. Eleverna är passiva i matematikundervisningen och de får svårt att implementera lösningsmetoderna som läraren lär ut i nya situationer.
Wistedt & Johansson (1991) menar att det pågått diskussioner om problemlösning i den matematikdidaktiska debatten under en längre tid. Ord som vardag, verklighet, vardagsproblem och olika problemtyper används flitigt. Uppgifter ska helst vara förankrade i barnens vardagsverklighet. Dessa begrepp är inte nya i matematikens historia i den svenska skolan.
9
Unenge m.fl. (1994) menar att problemhantering är ett nytt uttryck som diskuteras i forskningen. Det gäller att ställa och formulera problem i först hand. Man måste göra de hanterbara innan man angriper själva problemet. Problemhantering kan ses som ett steg mot problemlösning, och man bör ställa frågor som ” vad händer om…?”(Unenge, Sandahl & Wyndhamn, 1994).
Ulin (2001) anser att ett problem är när man inledningsvis inte vet hur man ska angripa en uppgift. En bra uppgift behöver inte kräva massa kunskap för att bli löst, och i efterhand kan den verka väldigt enkel. Att elever löser uppgifter efter ett bekant mönster är inte problemlösning, det är en nödvändig aktivitet. Elever får självförtroende genom de problemlösningsuppgifter de lyckats med. Ulin (2001) påpekar att övning ger färdighet.
3.3 Problemlösning ur läroplansperspektiv
Wyndhamn (1993) förklarar problemlösning i samband med termer av tre prepositioner: för, om och genom. För- perspektivet som Wyndhamn (1993) kallar det, innebär att läraren och elever arbetar med uppgifter genom mekaniskt övande och praktiserande i små steg. Problemlösningen ses ur ett behavioristiskt synsätt eftersom det sker i ett antal delfärdigheter. Eleverna lär sig först enskilda aritmetiska operationer som sedan används i problemlösandet. Enligt Wyndhamn (1993) beskriver läroböckerna i detalj hur elever ska bete sig och utföra uppgifter. Eleverna lär sig olika operationer för att senare kunna ägna sig åt problemlösning. Problemlösning blir en aktivitet, där eleverna följer speciella procedurer (Wyndhamn, 1993).
Wyndhamn (2000) har jämfört sina tre perspektiv med de svenska läroplanerna. I kursplanen ser man att Lgr 69 innehåller för- perspektivet (Wyndhamn m.fl., 2000).
I läroplanen för grundskolan 1969 står det att undervisningen i matematik ska utgå från elevers erfarenheter och grundas på förståelse. Eleverna ska kunna få en god färdighet vid bland annat numerisk räkning och användning av grundläggande räknemetoder. Enligt Lgr 69 ska undervisningen vidare knyta an till elevers erfarenheter, så att de får uppleva hur matematiken används i det vardagliga livet utanför skolan. Därför måste elever arbeta med problem av skilda slag. Det står även att problem ska hämtas från: elevers erfarenhetsvärld, från matematikens praktiska
10
tillämpningar och den matematiska teorin. På så sätt utvecklar eleverna sin förmåga att kombinera, ge uppslag och ta initiativ.
Det andra synsättet på problemlösning som Wyndhamn (1993) redogör för är om- perspektivet. Det finns tre viktiga nivåer i hans resonemang: kunskapsnivån, den symboliska nivån och den fysiska nivån. Kunskapsnivån innebär att eleven har mål och vet saker om världen och uppfattar dessa på ett meningsfullt och logiskt sätt . Den symboliska nivån använder sig av symboler i sin undervisning för att få eleverna att förstå. Den sista nivån är när lärare letar efter elevens fel i en uppgift för att sedan hjälpa honom/henne vidare. Frågor som ”varför gör du så här?”, ”vad gör du?” eller ”hur hjälper det dig?” är vanliga och viktiga att ställa till eleverna. Inom problemlösningsprocessen menar Wyndhamn (1993) att man använder Polyas fyra steg, som vi återkommer till.
I läroplanen för grundskolan 1980 står det att matematikundervisningen ska vara konkret, så att varje elev kan använda sig av begreppen och förstå användningen av dem i praktiska situationer. Eleverna ska vilja upptäcka behovet av att kunna tillämpa inlärda färdigheter. Undervisningen ska utveckla elevers logiska tänkande och deras nyfikenhet. Matematiken blir då ett verktyg för att förstå verkligheten. I Lgr 80 infördes problemlösning som ett huvudmoment, dvs. man skulle också undervisa om problemlösning (Haglund m.fl., 2005). Eleverna skulle på egen hand klara av att hitta en lämplig lösningsstrategi, genom att lärarna undervisar om problemlösning (Haglund m.fl. 2005).
Det sista och modernaste synsättet är när undervisning sker genom problemlösning (Wyndhamn, 1993). Genom- perspektivet innebär att eleven är aktiv och skapar sin egen kunskap, som bygger på kunnande, uppfattningar, mål och ett undersökande arbetssätt (Wyndhamn, 1993). Eleven ska inte ses som den passiva mottagaren utan ta för sig och upptäcka saker.
Utbildningen i matematik ska utveckla elevernas problemlösningsförmåga (Lgr 94). I läroplanen för grundskolan 1994 sker undervisningen genom problemlösning menar Wyndhamn m.fl.(2000). I Lgr 94 står det att många problem kan lösas i direktanslutning till konkreta situationer utan att man behöver använda det matematiska språket och symboler. Andra problem behöver lyftas ur sitt sammanhang, ges en matematisk tolkning och lösas med hjälp av matematiska begrepp och metoder.
I läroplanen för grundskolan 2000 står det att problemlösning alltid haft en central plats i matematikämnet. Det krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter
11
och kunskaper om matematiska begrepp, metoder och uttrycksformer för att framgångsrikt kunna utöva matematik (Lgr 2000).
I den nya läroplanen står det att skolan ska hjälpa elever att utveckla sådana kunskaper som behövs för att kunna fatta välgrundade beslut i vardagslivet. Eleverna ska kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället (Lgr 11). Undervisningen ska även bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat.
3.4 Varför problemlösning?
Syftet med problemlösning är att aktivera och stimulera eleverna till självständigt tänkande. En problemlösningsuppgift kan vara en rutinuppgift för en elev men en svår och krävande uppgift för en annan. Det är det som är lärarens uppgift, att kunna reglera svårighetsgraden och anpassa problemen så att även de högpresterande som de lågpresterande kan bli stimulerade (Möllehed, 2001).
Matematik är ett skapande ämne som ständigt utvecklas och problemlösning är en av de viktigaste drivkrafterna bakom denna utveckling. Att som lärare ha goda kunskaper om olika typer av problem och problemsituationer är en förutsättning för att lyckas med att individualisera problemlösning i matematik. Lärare bör anpassa sin undervisning till olika elevers erfarenheter, intressen och förutsättningar i livet (Emanuelsson & Johansson, 1991).
Schoenfeld (1987) menar att en viktig del av en god problemlösningsförmåga är att effektivt använda sig av vad man vet sedan tidigare. Om du inte har en bra föreställning om dina egna kunskaper kan du få svårigheter att bli en duktig problemlösare. Silver (1981) anser att en framgångsrik problemlösare förmodligen kommer använda sig av tidigare lärd kunskap, lösningsmetoder och andra generella strategier när han eller hon stöter på ett nytt problem. Elever som är duktiga problemlösare har en viss tendens att ha i åtanke tidigare lösta problem och hur de gått tillväga men även problemens mönster (Silver, 1981).
Problemlösning är något som även yngre barn och elever kan arbeta med. I sin bok ” Little Kids – Powerfull Problem Solvers” har Andrews & Trafton (2002) samlat
12
berättelser och lektionsplaneringar för små barn. De menar att små barn är skickliga matematiska tänkare och problemlösare. De är uppfinningsrika, fundersamma men även villiga att ta risker. Att lösa problem som engagerar och utmanar är något de flesta barn gillar. Många anser dock att man ska förenkla matematiken för de yngre barnen så att man inte förvirrar dem. Små barn har blivit begränsade i den matematik de fått lära sig från början, de har inte fått en chans att visa vad de kan (Andrews & Trafton, 2002). Lester (1996) instämmer i att barn är problemlösare av naturen, men att förmågan att lösa problem utvecklas långsamt eftersom den kräver mycket mer än direkta tillämpningar av matematikkunnandet. De elever som har svårt med problemlösning får inte tillräckligt med undervisning i detta arbetssätt. Lärare har inga säkra metoder som är lätta att följa och genomföra. Det är svårt att undervisa i problemlösning men det viktigaste är att läraren visar intresse och framhäver betydelsen av problemlösning i matematik genom ord och handlingar (Lester, 1996).
Polya (2004) anser att problemlösning är en praktisk verksamhet. Nyckelfaktorer för att bli en duktig problemlösare är att härma och imitera, därefter öva och praktisera. När elever ska försöka lösa problem, måste de observera och imitera hur andra gör. Elever kommer slutligen lära sig lösa problem på egen hand (Polya, 2004).
Den viktigaste anledningen till varför lärare ska använda sig av problemlösning i sin undervisning är att lära elever tillämpa den formella matematiken och kunskapen de lärt sig i skolan, i verklighetstrogna situationer (Verschaffel, De Corte & Vierstraete, 1999).
För att hantera problemsituationer i vardagen bör elever vilja och kunna använda sig av matematiken de lärt sig i skolan. Matematiken är det språk som ska organisera och hantera elevers tankeförmåga. Läraren måste veta vad och hur eleven tänker. Räknefärdigheter är viktiga men strategier och andra tekniker är minst lika viktiga i problemlösningen. Det är när en färdighet kan användas som den kan kallas för kunskap (Eriksson, 1991).
Skoogh & Johansson (1991) menar att problemlösning inte handlar om att läraren ska lotsa eleven genom sina förklaringar, och leda eleven till rätt svar. Det handlar inte heller om att ”programmera” eleverna att använda sig av ett visst sätt för att lösa problemet. Lärarens uppgift är att förklara för eleven vad problemlösning egentligen innebär. Eleven måste analysera problemet och tänka igenom det en god stund. Att springa till läraren på en gång hjälper varken läraren eller eleven. Det är eleven som ska hitta en bra lösningsmetod, läraren ska skapa förutsättningar för att eleven ska lyckas.
13
3.5 Vad är ett problem?
Ahlberg (1992) menar att relationen mellan individen och uppgiften är det som avgör om uppgiften är ett problem eller inte. Grevholm (1991) instämmer delvis i detta och skriver att för en elev som ännu inte lärt sig att räkna kan 37+46 vara ett problem, men snart bör uppgifter som dessa bli rutinuppgifter. Hon menar att problem i matematiken är uppgifter där eleven ska använda sitt matematiska kunnande och förnuft. Från början ska lösningen och tillvägagångssätten inte vara uppenbart. Hos eleven måste det finnas en vilja att lösa problemet. Om denna vilja är tillräckligt stark ger eleven inte upp förrän man kommit fram till en lösning (Möllehed, 2001).
Haglund m.fl. (2005) har sammanfattat olika forskares syn på vad ett problem är och skapat kriterier för vad de kallar rika matematiska problem. De har jämfört problemen och sökt efter gemensamma drag. Genom att göra detta har Haglund m.fl. (2005) skapat kriterier för problem som ska leda till matematisk medvetenhet. När elever löser dessa rika problem, som de benämner det, lär de sig matematik genom att upptäcka, utvidga, fördjupa och använda sina matematiska kunskaper. Ett rikt problem ger elever möjlighet att ha en givande diskussion av matematiska begrepp och procedurer. Kriterierna är följande:
1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier. Elever bör komma i kontakt med matematiska begrepp och känna behov att använda sig av matematiska idéer de kan sedan tidigare. Men de ska även lära sig nya begrepp, procedurer och tekniker.
2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. Alla elever ska känna att de förstår problemet och vad det går ut på, de ska känna att de har en förmåga att kunna lösa det. Ett bra och rikt problem ska helst kunna anpassas från förskolan till högskolan. Man ska kunna arbeta med problemet flera gånger utan att ha bearbetat ur all matematik i det.
3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. Ingen elev ska tycka att problemet är en rutinuppgift, som de kan lösa utan att tänka till.
14
4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt, med olika strategier och representationer. Vissa problem kanske inte behöver en särskilt djupgående matematisk kunskap, medan andra är mer avancerade. Elever bör kunna lösa problemet med t.ex. en bild eller en graf, eller helt enkelt använda sig av det svenska språket för att verbalt förklara sin lösning.
5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer. Elever ska kunna föra diskussioner i smågrupper och i helklass utifrån problemet. Diskussionerna ska leda eleverna in på väsentliga matematiska idéer.
6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare. Det är väsentligt att elever får se sammanhanget mellan olika matematiska områden.
7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. För att elever ska visa sin kunskap, men samtidigt fördjupa den är det viktigt att de får göra egna problem. Läraren får då en möjlighet att se hur eleverna har uppfattat problemlösningen som de arbetat med tidigare och om de har förstått de matematiska idéerna (Haglund m.fl., 2005).
Wyndhamn (1993) menar att ett matematiskt problem i klassrummet känns igen som en given uppgift som framförs av läraren, och som eleven tar emot och löser. Ur en kognitiv synvinkel definieras ett problem som en situation där man ska nå målet(svaret) men vägen dit är blockerad. Problemet måste ha en personlig relevans och den måste involvera en personlig utmaning (Wyndhamn, 1993). När elever arbetar med problemlösning får de sällan chansen att göra egna matematiska problem. Istället är det läraren som gör egna uppgifter eller så är de tagna ur läroboken. Eleverna blir passiva mottagare av kunskap där läraren är ansvarig för att dela ut och göra uppgifter (Silver, 1994).
Elever behöver utmanande problemlösningsuppgifter som bygger vidare på vad de redan kan. Uppgifterna ska även innehålla inbäddad matematik som ska bearbetas och övas på. Lärarens roll är ytterst viktig och det är läraren som bör uppmuntra eleverna att lära sig arbeta med problemlösning (Lester & Lamdin, 2007).
Polya (2004) skiljer på praktiska problem och matematiska problem. Han menar att de praktiska problemen innehåller matematiska problem. De praktiska problemen är betydligt mer komplexa. De givna villkoren är mindre klart definierade än i ett matematiskt problem. När man ska lösa ett praktiskt problem är man tvungen att utgå
15
från vaga idéer, medan i matematiska problem utgår man från ganska klara begrepp som finns i minnet. Ett exempel på praktiskt problem är när man ska rita geografiska kartor (Polya, 2004).
Det är viktigt att formulera olika typer av problem som får eleverna att utveckla sin analysförmåga, kreativitet, självförtroende, tålamod och även förmågan att tänka logiskt och tillämpa sina kunskaper. Självklart behöver elever arbeta med rutinuppgifter också men lärare måste komma med problemuppgifter som utmanar elevers förmåga att börja om från början. Uppgifter som inte kräver någon särskild förkunskap är ett bra exempel på utmanande uppgifter (Ulin, 1991).
3.6 Att arbeta med problemlösning
Det krävs att läraren har gedigna kunskaper i matematik och i didaktik för att kunna undervisa matematik genom problemlösning menar Haglund m.fl. (2005). Läraren bör noga ha tänkt igenom problemet i förväg. Vilka svårigheter som kan uppkomma och vilken matematik som finns inbäddad är några av sakerna läraren bör reflektera över (Haglund, Hedrén & Taflin, 2005).
Boaler (2011) anser att om elever lär sig ett fåtal metoder utantill kan de hantera de flesta matematiska problem. Detta gör de genom att ha kunskap om matematiska begrepp och en aktiv problemlösning. Eleverna ska inte vara passiva under matematiklektionerna, då de enbart blir likgiltiga och de ser ingen glädje med matematiken. Vidare menar Boaler att passiva undervisningsmetoder, där elever arbetar under tystnad är ett stort problem. Eleverna behöver prata igenom metoderna för att veta om de verkligen förstår dem. En av de viktigaste delarna är det som kallas logiskt tänkande. Man måste förklara varför något är logiskt korrekt och bevisa sina lösningar, och på så sätt lär man sig att matematik handlar om att göra saker begripliga (Boaler, 2011). Att låta elever diskutera och argumentera med varandra på matematiklektionerna borde vara naturligt då matematik är ett kommunikativt ämne. När elever sitter i smågrupper och ska lösa problem tillsammans får de ett tillfälle att tala matematik, det vill säga de får ett tillfälle att använda sig av matematiska begrepp och uttryck (Ahlberg, 1991).
16
Att rita är verkligen viktigt i matematiken. Det är en stor hjälp för att se hur saker hänger samman med varandra. Lågpresterande elever saknar ofta en del av de generella strategierna så som att rita upp problemet, göra upp ett diagram eller pröva med ett enklare fall. Ett av misstagen elever gör när de löser matematikproblem är att de har bråttom, och bara gör något med talen. De tänker inte igenom vad som egentligen efterfrågas, vad problemet egentligen handlar om (Boaler, 2011). Även Eriksson (1991) instämmer i detta, att rita en bild är ovärderlig hjälp, ofta i samband med en annan strategi eller räknefärdighet. Det handlar inte om att rita exakta geometriska figurer utan enkla skisser som stöd inför beräkningar.
Polya (2004) anser att en av de viktigaste uppgifterna en lärare har är att hjälpa sina elever. Läraren bör hjälpa men inte för mycket eller för lite, eleven måste skaffa sig så mycket som möjligt av ett självständigt arbete. Läraren får inte lämna eleven ensam så att han/hon inte gör några framsteg alls. Det är en uppgift som kräver tid, övning, hängivenhet och sunda principer. När man löser problemlösningsuppgifter genomgår man fyra faser enligt Polya. Den första fasen är att förstå problemet. Eleven måste se vad som krävs. Den andra fasen är att göra en plan, man måste förstå hur det som söks är relaterat till det som är givet. Nästa fas är att genomföra planen och det sista och fjärde steget är att se tillbaka. Eleven bör granska och diskutera sin färdiga lösning (Polya, 2004).
När elever arbetar med problemlösning försöker lärare uppnå flera syften och det är även ett instrument för att nå matematisk förståelse. När man har lyckats i sin undervisning med problemlösning har man skapat en brygga mellan vardagliga händelser och en abstrakt matematisk verklighet (Wistedt & Johansson, 1991). Problemlösning bör betraktas som ett hjälpmedel för att elever ska utveckla ny kunskap inom matematiken enligt Lester & Lamdin (2007). De menar att eleverna får en djupare förståelse för matematiska begrepp och metoder genom detta arbetssätt. För att de ska lyckas med detta måste eleverna engageras och skapa mening i de problemuppgifter de arbetar med. Läraren bör ta reda på vad eleverna redan kan eftersom ny kunskap bäst byggs upp i relation till tidigare kunskaper.
Høines (1990) anser att genom problemlösning kommer elever att få vanan att tänka själva. De får användning för den kunskapen de har samtidigt som de utvecklar ny kunskap. Den kunskapen och erfarenheten eleverna får med problemlösning kommer de att använda för att påverka samhället, och vårt samhälle kommer ha nytta av den kunskapen. Det är framförallt genom praktiskt arbete vi som lärare kan utveckla vår
17
undervisning, att våga arbeta utanför de gränser de traditionella läroboksuppgifterna sätter. Björkqvist (2001) menar att problemlösning alltid kan leda till förnyade utmaningar genom att problemen kan varieras och generaliseras. Eleverna lär för framtiden, och de förväntas kunna lösa problem på många olika områden med hjälp av kunskapen de lärt sig i skolan.
Elever som har svårt med matematik bör fokusera på problemlösning, lösa problemlösningsuppgifter och söka mening med dessa. Istället för att eleverna ska enformigt öva på rutinuppgifter, kan de arbeta med problemlösning som anknyter till deras vanliga lekar. Elever bör möta många typer av problemlösningsuppgifter så som verkliga händelser, benämnda uppgifter och öppna problem (Magne, 1998).
Dahlgren m.fl. (1991) menar att lärare måste skapa en god stämning i klassrummet. Eleverna ska våga visa sina lösningar och man bör diskutera fördelar och nackdelar gemensamt utan att värdera rätt eller fel. På så sätt får eleverna en chans att reflektera över sin egen kunskap och som lärare måste man ibland försvara ett till synes felaktigt svar. Detta för att eleverna ska få tala om hur de tänker utan att känna sig dumma. Det är viktigt att eleverna får utgå från sina egna erfarenheter och att det tar tid att lösa problem, men även att det lönar sig att tänka. Skoogh & Johansson (1991) pekar på några enkla regler lärare bör följa för att klargöra elevens roll och hur man bör arbeta med problemlösning. Den första regeln är att man ska vänja eleverna vid att de alltid ska försöka lösa problemet utan hjälp. Den andra är att eleverna måste spara anteckningar från sina försök att lösa tidigare problem. Den tredje och sista regeln är att eleverna bör skriva upp så mycket som möjligt om problemet innan man diskuterar problemet med läraren.
18
4. Metod och genomförande
4.1 Kvantitativ och kvalitativ metodik
Inom kvantitativa metoder ingår användning av mätningar, kvantifiering med hjälp av matematik och statistik. De kvantitativa metoderna omvandlar informationen till siffror och mängder. Hit hör exempelvis experiment, prov, enkäter, och frågeformulär m.m. De kvalitativa metoderna använder sig inte av siffror och tal. De resulterar i verbala formuleringar, skrivna eller talande (Backman, 2008). I de kvalitativa metoderna är det forskarens uppfattning eller tolkning av informationen som står i fokus. Beroende på vad man vill ha utav sin undersökning, väljer man den metoden som passar bäst. ( Magne Holme & Krohn Solvang, 1997)
Enligt Bryman (2011) står kvantitativa och kvalitativa undersökningar för olika forskningsstrategier. Den kvantitativa innehåller ett deduktivt synsätt på förhållandet mellan teori och praktiskt forskning. Tyngden ligger på prövning av teorier. Den kvalitativa forskningen betonar ett induktivt synsätt på relationen mellan teori och forskning. Här läggs vikten på generering av teorier.
4.2 Datainsamlingsmetoder
Vi har valt att använda oss av kvalitativa intervjuer av lärare. I våra intervjuer har vi använt oss av huvudfrågor som utgångspunkt med kompletteringar av relevanta följdfrågor under intervjuernas gång. Anledningen till att vi valde kvalitativa intervjuer var för att vi tyckte att kvaliteten var viktigare än kvantiteten för vår undersökning. Kvalitativa intervjuer innebär att den intervjuade ska lämna sitt personliga ställningstagande (Johansson & Svedner, 2006). Genom detta undersökningssätt har intervjupersonerna haft möjlighet att formulera och uttrycka sina tankar och idéer på ett
19
tydligt sätt. Detta ansåg vi var viktigare för vår del eftersom vi får en djupare kunskap om det som undersöks.
4.3 Urval
Inom den kvalitativa forskningen är det vanligast med målstyrt urval. Målet med denna sorts urval är att forskaren väljer ut deltagare på ett strategiskt sätt, de ska vara relevanta för de frågeställningar som formulerats (Bryman, 2011). Vi har medvetet valt lärare på mellanstadiet som har behörighet i matematik. Men inom detta målstyrda urval har vi slumpmässigt valt våra deltagare. Vi kontaktade en mängd lärare i en medelstor stad och en mindre ort i södra Sverige via mail och telefon. Vi fick personlig kontakt med sammanlagt tolv lärare som hade möjlighet att intervjuas.
Undersökningsgruppen bestod av elva kvinnliga lärare och en manlig. Att det endast blev en manlig lärare hade vi ingen baktanke med, utan valet var slumpartat av de lärare som var intresserade av att ställa upp. Lärarna kommer från både kommunala skolor och friskolor, även detta var slumpmässigt. Vi har valt att intervjua lärare för att ta reda på deras olika perspektiv och syn på våra frågeställningar. Anledningen till att vi valde att intervjua lärare är för att vi ansåg att det är mest relevant för vår framtida undervisning. Dessutom beskriver Erkki Pehkonen (2001) att det mestadels är lärare som bestämmer hur undervisningen ska se ut.
4.4 Procedur
Vi började med att läsa litteratur om problemlösning för att få en bra grund som utgångspunkt inför det kommande arbetet. Detta var även ett sätt att förbereda oss inför intervjuerna. Efter att vi hade satt oss in i ämnet skrev vi våra intervjufrågor, alltså huvudfrågorna som vi skulle ha gemensamt till alla intervjuer (se bilaga 1). Bryman (2011) menar att det är viktigt för intervjuaren att förhållandevis snabbt skapa en relation till respondenten så att hon/han känner sig trygg. Våra intervjuer har skett enskilt och i par i miljöer där lärarna har känt sig trygga. Innan vi intervjuade lärarna tog vi kontakt med dem för att fråga om de ville deltaga i intervjun och informerade
20
samtidigt om vad intervjuerna skulle handla om. Vi tog kontakt med lärarna genom telefonsamtal och mail. Innan varje intervju förklarade vi för informanten att resultatet presenteras på ett sådant sätt att det inte ska gå att identifiera vem som sagt vad. Vi bestämde oss för att spela in intervjuerna på band, självklart frågade vi om tillstånd först. Vi försäkrade informanterna om att inspelningen inte kommer användas i annat syfte än vårt forskningsarbete. Därefter sammanställde och bearbetade vi svaren från intervjuerna. Det insamlade materialet transkriberades och därefter kategoriserade vi svaren utifrån våra frågeställningar. Vi använde oss av fyra olika färgpennor som symboliserade de fyra frågeställningarna. Vi tog bort det som inte var relevant då informanterna samtalade kring annat som inte direkt berörde vår undersökning. Resultatet har vi delat in i fyra berättandebilder baserade på de frågeställningar som undersökningen besvarat.
Resultatavsnittet är indelat i ”Vad är problemlösning”, ”Varför arbetar lärarna med problemlösning”, ”Vilka sorts uppgifter väljer lärare” och ”Hur arbetar lärarna med problemlösning”. Från varje intervju har vi plockat ut svaren på frågorna som är relevant för våra frågeställningar. På så sätt har vi skapat ”berättande bilder” utifrån lärarnas tankar och svar. Vi ville ha en helhetsbild istället för att fokusera på varje enskild individ. I vår sammanställande analys har vi valt att jämföra Wyndhamns analysschema med vårt resultat, och skapat en egen analysmodell.
4.6 Forskningsetiska aspekter
Vi har följt de fyra kriterierna (informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet) från Vetenskapsrådet (2011) på följande sätt: De berörda informerades om syftet med vårt forskningsarbete. Alla våra informanter var lärare och ställde upp frivilligt. Lärarna har fått största möjliga konfidentialitet genom att deras namn och arbetsplats inte nämns någonstans. Dessutom informerade vi lärarna om att alla uppgifter som kommer fram om den enskilda personen endast kommer att användas i forskningssyfte.
21
4.5 Tillförlitlighet
När man har gjort en vetenskaplig undersökning måste man alltid försöka bedöma resultatens tillförlitlighet (Vetenskapsrådet, 2011). Våra intervjupersoner har olika ålder, kön och arbetslivserfarenhet. Undersökningens syfte var inte att presentera alla lärares syn på problemlösning i matematik. Urvalet fick begränsas både på grund av tid och möjligheter.
Eftersom vi valde att skapa ”berättande bilder” genom att tolka vad lärarna sagt i intervjuerna finns det att alltid en risk med feluppfattningar. Ett problem kan vara om vi ger läsarna rätt bild, eftersom det är våra tolkningar utifrån lärarnas svar vi skapat dessa bilder i resultatet. Enligt Bryman (2011) motsvarar validitet trovärdighet och reliabilitet pålitlighet. Vi var två personer under genomförandet av intervjuerna, allt finns inspelat på band och vi har använt oss av samma intervjufrågor till alla deltagare. Genom detta kan vi stärka trovärdigheten och pålitligheten i vårt examensarbete. En nackdel med att endast ha intervjuer som metod är att det inte finns något kontrollinstrument. Vi utgår från att lärarna talar sanning men vi kan inte garantera att det som de säger görs. För att stärka trovärdigheten hade det varit önskvärt att observera ett lektionstillfälle efter varje intervju. Problemlösning har en central roll i den nya läroplanen (Lgr11) därför finns det en risk att informanterna gett en felaktig bild i vilken utsträckning de använder sig av problemlösning.
Vi hade ett litet tekniskt fel vid en av intervjuerna, men det löste vi ganska snabbt. Bandspelaren slutade fungera och vi gjorde om en del av intervjun på band. Resten fick vi skriva ner direkt efter medan det fortfarande var färskt i minnet.
Vi har haft mailkontakt med en av lärarna som inte kunde träffas personligen. Genom att maila i flera omgångar har vi haft möjlighet att ställa följdfrågor. Detta påverkar självklart resultatet men inte i någon större utsträckning. Vi anser att tillförlitligheten inte påverkas av urvalet av våra informanter. De viktigaste kriterierna för att deltaga i vår studie var att informanterna var utbildade matematiklärare på mellanstadiet. Genus och etnicitet var inte en väsentlig del av urvalet och det var inte heller av en betydande roll om informanterna arbetade på en friskola eller kommunal.
22
Resultat
Vi har valt att sammanfatta resultatet i form av ”berättande bilder”. Syftet var att skapa en helhetsbild av lärarnas inställning och tankar kring problemlösning. Då lärarna hade liknade tankar och svar på många av frågorna ansåg vi att det var mest lämpligt att göra på ett berättande sätt för att undvika upprepningar.
5.1 Vad är problemlösning?
”Det gör man ju varje gång man har matte. VARJE gång man har matte har man problemlösning.”
Att problemlösning är viktigt höll alla våra intervjuade lärare med om. De ansåg att problemlösning är en del av matematiken, och vi som framtida lärare absolut bör inkludera det i vår matematikundervisning. Men vad är problemlösning för dessa lärare? Hälften av de intervjuade lärarna ansåg att problemlösning är ett lästal. Eleverna får en uppgift med text och de ska få ihop det till en matematikuppgift. Problemlösning kunde även vara en berättelse, alltså en berättande uppgift. Man löser uppgifter som inte bara innehåller siffror. Problemlösning är när eleverna måste tänka till själva och se uppgiften som finns inbakad i texten. Eleverna måste tänka på det matematiska språket, vad står det egentligen i texten som är relevant, vad finns som utfyllnad och som inte har med uppgiften att göra. Det finns många faktorer i problemlösning och mycket som ska hållas reda på. I stort är problemlösning att ta reda på vad som står i texten, vad som är viktigt, vad man vill ha svar på och vad jag redan vet?
”Problemlösning för mig är en fråga som du med hjälp av en diskussion kan komma fram till ett svar, där får du flera alternativ, en öppen fråga.”
23
Problemlösning behöver dock inte var likställt med läsuppgifter. Det kan istället innehålla diskussioner och samarbete. Det är viktigast att problemlösningen är kopplad till teori och att man bygger vidare på denna. Elever bör diskutera och öva på de underliggande matematiska strukturerna annars blir problemlösning och laborativ matematik bara förvirrande och utan mening.
Flera av lärarna ansåg att problemlösning är när eleverna arbetar med praktiska uppgifter, helst knutna till deras vardag. De kan mäta skolgården, räkna pengar, läsa av kvitton, att lösa problem helt enkelt. Problemlösning ska innehålla flera led, man måste först tänka ut det ena och sen det andra och kombinera olika delar i talet för att få svaret.
Problemlösning för några av lärarna är en uppgift där man inte ser svaret på en gång, till exempel ser man inte att man ska ta tre gånger fyra direkt. Eleven måste använda sig av sina tidigare erfarenheter för att tänka till och lösa uppgiften. Det finns nämligen inte ett givet svar, utan eleven måste använda sig av olika tankesätt och lösningsmetoder för att komma fram till en lösning. Det är inte bara att det blir så, utan eleven måste fundera och försöka se olika möjligheter. Några av lärarna betonar att man ska använda sig av matematiska redskap för att lösa uppgifter.
”Problemlösning för mig är när man inte ser svaret direkt när man läser uppgiften utan att man använder sig av tidigare erfarenheter”
Eleverna får exempelvis reda på arean av en figur som består av 8 olika långa sidor, och längden på två av sidorna. Med hjälp av detta ska de ta reda på omkretsen på figuren. När eleverna får reda på lite, och själva ska ta reda på resten, det är den typen av problem som är problemlösning för lärarna. Det vill säga, så fort man ska ta hänsyn till många olika saker och lägga dem mot varandra. Öppna frågor kan också vara problemlösning enligt vissa av lärarna. Med öppna frågor menar de en uppgift där det finns flera svarsalternativ och lösningsmetoder.
Några av lärarna hade svårt att sätta fingret exakt på vad problemlösning är för dem, då de anser att varje gång de har matematikundervisning har de problemlösning. Det vill säga, lärarna tycker att problemlösning är matematik. De anser att det finns två delar i matematiken, den mekaniska delen och problemlösningen. Huvudräkning och de fyra räknesätten är bland annat det som ingår i mekaniska delen för dessa lärare. Det krävs ingen större tankeförmåga med rutinuppgifter. Multiplikationstabellen kan man lära sig utantill men det är inte det som är matematik(Se avsnitt 5.3).
24
Några av lärarna hade inte tidigare funderat över vad problemlösning är. De har nämligen aldrig ställts inför denna fråga. Därför försökte de definiera problemlösning utifrån en uppgift.
5.2 Varför arbetar lärarna med problemlösning?
Att vi som framtida lärare ska arbeta med problemlösning var något alla lärarna höll med om. Många av dem ansåg att matematik är likställt med problemlösning. Eftersom man kan få in flera olika matematiska moment i en problemlösningsuppgift är problemlösning viktigt för elevernas skull. De flesta påpekade även att man inte får glömma grunderna, den matematiska basen, rutinräkningen där eleverna måste lära sig automatisera vissa delar. Om eleverna inte kan grunderna kommer de ha svårt med problemlösning. En del av lärarna upplevde att de inte kunde arbeta med problemlösning för att eleverna inte hade automatiserat vissa moment, många hade svårt med huvudräkning till exempel.
Det här med problemlösning är ingen ”sköt dig själv” -uppgift, utan det är en process som pågår. Eleverna blir stimulerade och får en god lösningsförmåga. När de väl får arbeta med problemlösning är de väldigt positiva till det och vill ha fler uppgifter att lösa. För att eleverna ska komma ifrån sin inramade syn på matematiken, är problemlösning ett bra arbetssätt att använda sig av i sin undervisning. När elever börjar tänka utanför boxen, kommer samhället få fler duktiga tekniker och forskare.
De flesta av lärarna ansåg att problemlösning är det som gör matematiken verklighetsbaserat, det är det som eleverna kommer stöta på i riktiga livet. Det är viktigt att träna på problemlösning hela tiden, det är en förutsättning för att eleverna ska kunna handskas med vardagen. Problemlösning är matematik, det är att kunna använda färdigheterna, de matematiska verktygen i verkliga livet. Annars blir det bara en massa siffror utan mening och det är inte roligt, eleverna kommer inte se nyttan med matematiken. Det är en förutsättning för att vi ska utveckla samhället.
Fördelarna med problemlösning är enorma, det är då eleverna lär sig varför de ”tragglar” med matematik, varför de ska kunna multiplicera, dividera och allt det andra. Det är problemlösning som utvecklar eleverna, det är det som skiljer dem åt när de kommer högre upp i årskurserna. Det går inte att tänka i samma bana när man arbetar
25
med problemlösning, eleverna måste lära sig att växla tankesätt. Matematiken bör bli mer konkret menade alla lärarna. Eleverna ska helst se och känna på saker för att de ska förstå problemet. Problemlösning är bra på så sätt att eleverna får chans att lära sig matematik på riktigt istället för att bara rabbla en massa och inte förstå dess innebörd. De får verkligen tänka till och använda sin hjärna. Man kan inte bli en kreativ och duktig matematiker av att bara lära sig 24*13, utan man måste se nyttan av att använda 24*13 till någonting.
Den nya läroplanen handlar mycket om kommunikation i alla ämne, inte bara inom matematik. Genom problemlösning kan man använda sig av det matematiska språket och kommunikationen. Eleverna får tillfälle att kommunicera med varandra om matematiska begrepp. Det är viktigt att eleverna kan göra sig förstådda, och kan förklara vad de gör och hur de tänker. Många elever är duktiga och långt fram i läroboken, men de kan inte förklara hur de gjort och varför. Med problemlösning får eleverna olika termer och olika förståelse, de vågar samtala mer och tänka utanför boxen.
Några av lärarna betonade hur roligt det är med problemlösning, att det blir ännu roligare om problemet är i flera olika steg, flera olika tankeled som eleverna får göra. På något vis måste de lära sig hur de gör, de måste lära sig att spalta upp och lära sig olika lösningsstrategier. Ofta kan de räkna i huvudet, men de vet egentligen inte hur de har gjort. Genom problemlösning lär sig eleverna att förstå vad det är de räknar och dess betydelse.
”..för att problemlösning är ju det som de stöter på i riktiga livet.”
5.3 Vilka sorts uppgifter väljer lärarna?
Flera av lärarna var överens om att praktisk matematik är problemlösningsuppgifter. När man arbetar med problemlösningsuppgifter ska man ta in matematiken i vardagen. Många av lärarna försökte koppla uppgifterna till elevernas vardag och framförallt till sådant som eleverna tycker är roligt. Några av lärarna använder sig av egna uppgifter men de flesta togs från läroboken. Här nedan följer lite olika exempel på vilka sorts uppgifter lärarna väljer till sina elever:
När vi skulle ha övernattning i klassrummet fick eleverna gå bort till mataffären och undersöka lite olika priser på varor. Eleverna hade en fast summa pengar att
26
handla för, och fick därefter räkna ut vad de behövde köpa, hur mycket de skulle ha och vad det skulle kosta osv.
Olika lekar med tärningar
Man kan göra problemlösningsuppgifter när eleverna leker affär. Vilka varor kan de köpa och hur mycket växel får de tillbaka osv.
Omvandla enheterna i ett recept för smuldegspaj och sedan bakar man äppelpaj.
Träna på att avläsa tidtabeller och planera bussresor. T ex när klassen ska åka till ishallen, får eleverna själva ta reda på allt.
Mäter kroppsdelar, pulsen, lungvolym m.m.
Du har ätit köttbullar till middag, hur många har de andra ätit?
Ni i er grupp ska anlägga en djurpark. Er budget är på ? kr. I djurparken måste det finnas ?. Området ni anlägger den på får inte överstiga ? kvm. Följande djur trivs inte tillsammans med ?. Inträdet ska täcka utgifterna för djurens mat som är ?. Man beräknar att ? besökare ska komma. Här följer en lista på vad toalett, restaurang och kiosk m.m. kostar. (frågetecknen bestämmer lärarna) Hur ser er djurpark ut?
Ni vill ha ett akvarium i klassrummet och hur ska det gå till? Vad är första steget?
Ni ska kolla på en riktig fotbollsmatch i Allsvenskan, vilka olika sorters biljetter finns det? Vad ligger prisklasserna på? osv.
Det viktigaste var att eleverna får börja tänka och se att det finns en mening med matematiken. Det finns massor av olika lösningar till problemen, vilket öppnar upp elevernas sinne och tankar. Det var otroligt betydelsefullt att uppgifterna var vardagsanknutna och roliga. Elever behöver uppgifter de känner sig hemma i. En problemlösningsuppgift kan handla om datorspel. De är något som är nära elevernas verklighet och då kan man komma långt inom problemlösning.
Många av lärarna arbetade inte specifikt med problemlösning utan de använde sig av läroböckerna. Några av lärarna betonade att de har en väldigt bra lärobok, med en bra struktur och väldigt mycket praktiska övningar. Varje kapitel inleds med en praktisk problemlösning som sedan återkommer flera gånger i kapitlet.
Vissa lärare kände det var jobbigt att få eleverna att förstå de faktiskt håller på med matematik när de arbetar med problemlösningsuppgifter utanför läroboken. Eleverna är så bundna vid att de bara håller på med matematik när de arbetar i läroboken.
27
Problemlösningsuppgifter innehåller flera olika tankeled. Eleverna måste verkligen tänka ett steg längre. Uppgifterna har inget givet svar och det finns många olika lösningsmetoder. Det kan vara en uppgift där man måste sätta ihop olika ämneskunskaper för att nå fram till en lösning. Hälften av lärarna anser att problemlösning innehåller diskussioner och samarbete.
Problemlösningsuppgifter ska framförallt vara praktiska exempel. För att många elever har väldigt svårt att hålla isär olika begrepp t ex km, m, dm, cm, gram och hekto. Man måste arbeta mycket mer praktiskt när man löser den här sortens problem som innehåller begrepp inom längd och vikt. Eleverna måste se det och helst känna på vad det är de arbetar med. Temadagar med praktisk matematik kan vara ett sätt att konkretisera vissa begrepp. Det kan innebära att eleverna får krypa in i en kubikmeter och man får tillverka olika saker, t ex en kubikdecimeter av olika sorts material. Då får eleverna verkligen se de olika måtten och känna på dem för att komma ihåg enheternas betydelse. Annars kan matematiken bli alldeles för abstrakt. Det är vanligt att en elev som inte förstått innebörden av de olika begreppen exempelvis kan svara att det är en millimeter till affären.
5.4 Hur arbetar lärarna med problemlösning?
Lärarna vi intervjuade använde sig av de läromedel som fanns tillgängliga på deras skola när de arbetade med problemlösning. Anledning till det var att de ansåg att läroböckerna var tillräckligt bra och att de gav en struktur till undervisningen. Vissa av läroböckerna hade problemlösning i varje kapitel, inte bara som en inledning utan kontinuerligt och invävt med de övriga uppgifterna. Några lärare lät sina elever gå vidare till fördjupningar eller arbeta med problemlösning när de räknat färdigt i läroboken. Dessa uppgifter kallades för kluringar där eleverna fick arbeta tillsammans med någon annan som också kommit lika långt.
Att det ska vara praktisk matematik var något som återkom flera gånger under intervjuerna, man måste göra det konkret för eleverna. När man exempelvis arbetar med begrepp som kilometer, meter och centimeter har många elever svårt att hålla isär de
28
olika begreppen, därför är det viktigt att arbeta med praktiskt matematik. För att elever ska lära sig matematik är det av stor vikt att de får arbeta med praktisk matematik.
Förutom att använda sig av läroböcker hade de flesta av lärarna ett lager av uppgifter som de samlat på sig under åren de arbetat, men flera av dem gör även egna uppgifter. Något som de även påpekade var hur viktigt det är att låta eleverna göra sina egna uppgifter, att det är ett sätt att arbeta med problemlösning. Man kan även använda sig av räknesagor som eleverna kan göra små räknetal eller problem om för varandra. En del av lärarna använde sig av tidningar och berättelser, som eleverna gjorde problemlösningsuppgifter av.
”Ofta ger jag dom ett problem och vi löser de tillsammans för att kunna diskutera och visa olika sätt att lösa, det finns ju inte bara ett sätt att lösa uppgifter på i allmänhet.”
De flesta av lärarna valde att börja sina lektioner med att presentera problemet och ha en genomgång utefter det. Ibland får hela klassen lösa problemet tillsammans, eleverna får tänka högt och höra sina klasskompisars tankar. Många elever tycker det är svårt med problemlösning, och därför är det bra med helklassdiskussioner. En del av lärarna valde att inleda sina lektioner med att gå igenom olika tillvägagångssätt på hur man kan lösa problem. Det var viktigt för dem att ge eleverna strategier och visa att det finns olika sätt att lösa problemet på. Precis som i det verkliga livet finns det inte bara ett sätt att lösa uppgifter på.
Flera av lärarna ansåg att när eleverna arbetar med problemlösning ska de skapa inre bilder och rita så att de förstår vad de gör. Att rita till uppgifterna kan underlätta problemlösningsprocessen. Många elever har väldigt bråttom när de löser uppgifter och vill ha svaret på en gång. När de tvingas rita och bena ur problemet tar det längre tid, de lär sig att ha tålamod men de får även med all fakta och riskerar inte att missa någon viktig information i problemet.
Ingen av lärarna hade några särskilda lektioner med problemlösning och det var inte heller en speciell grupp elever som fick arbeta med problemlösning. De flesta var överens om att när elever får arbeta i grupp eller i par så får de tillfälle att diskutera uppgiften men även att prata matematik och matematiska begrepp. Flera av lärarna uttryckte specifikt att det även kan vara bra att elever får arbeta enskilt, så även de tysta eller svaga eleverna får en chans att lösa uppgiften, annars tar de högljudda eleverna över. En lösning var att sätta de eleverna som ofta är tysta i en och samma grupp, då tvingas de prata.
29
Att använda sig av smartboarden och sätta upp problem på tavlan som har olika svårighetsgrader, men ungefär samma typ av uppgift är ett av sätten att arbeta på. Eleverna får lösa uppgiften tillsammans eller enskilt. Att ha en problemlösningsuppgift på tavlan som står där hela veckan så eleverna får fundera och klura på problemet både hemma och på rasterna var ett annat sätt. När eleverna kommit på lösningen får de en ruta att rita och förklara sin lösning på så de andra får se. På detta sätt får de som ännu inte hunnit lösa uppgiften en lösningsstrategi som de kan använda sig av till nästa uppgift, och de som löst problemet får ett tillfälle att förklara hur de har tänkt.
30
6. Analys
Vårt syfte var att ta reda på vad lärare gav för uttryck om vad problemlösning är. I detta kapitel gör vi en sammanställande analys av våra bilder utifrån den forskning vi har tagit del av.
6.1 Problemlösning?
Det finns ingen exakt definition på vad problemlösning är, många forskare har olika sorters teorier. Även våra intervjuade lärare hade svårt att uttrycka specifikt vad problemlösning var för dem, men att det var en viktig del av matematiken, höll alla med om. När man arbetar med problemlösning arbetar man med matematik. Både Magne (1998) och Lester (1996) styrker lärarnas uppfattning om att det är svårt att definiera problemlösning. Lärarna valde istället att förklara problemlösning med hjälp av uppgifter. De gav oss olika exempel på hur problemlösningsuppgifter kan utformas och vilka faktorer som behövs. På så sätt kom de fram till en definition av problemlösning.
Ett så kallat lästal eller textuppgift var en vanlig definition av problemlösning. Det handlar inte bara om siffror och givna svar, problemlösning i matematiken är så mycket mer. Lärarna menar att uppgiften finns inbakat i texten, och för att komma åt lösningen måste eleverna bena ut språket och se vad som är relevant. Lester & Lamdin (2007) talar om att matematiken ska vara inbäddad i uppgifterna. Även Taflin (2007) skriver om detta i sin forskning. Hon menar att eleven ska tolka uppgiften och försöka förstå texten för att komma fram till en lösning.
Ahlberg (1991) anser att problemlösning ska ses som en metod som får eleverna att reflektera kring sina tidigare erfarenheter och kunskaper, och sedan tillämpa dessa i problemlösningen. Många av lärarna gav uttryck för detta då de ansåg att elever som
