Matematiksvårigheter: textuppgifter inom algebra

School of Mathematics and Systems Engineering Reports from MSI - Rapporter från MSI

Matematiksvårigheter

- gymnasieelevernas strategier för att lösa

textuppgifter inom algebra

Armend Aliu

Feb 2006

MSI Report 06012

Växjö University ISSN 1650-2647

Examensarbete 12 poäng i Lärarutbildningen Vårterminen 2006

ABSTRAKT

gymnasieelevernas strategier för att lösa textuppgifter inom algebra

Mathematical difficulties - strategies used by highschool students for solving tasks in algebra Antal sidor: 41

I detta arbete fördjupar jag mina kunskaper omkring elevernas svårigheter, kring dem matematiska begrepp och kring formuleringen av de olika textuppgifter som framkommer inom avsnittet algebra. Här ville jag ta reda på om det är matematiska begreppen eller om det är formuleringarna i matematikuppgifterna som eleverna har svårt att förstå samtidigt som jag ville se vilka strategier som eleverna använder sig av när de får olika typer av uppgifter inom avsnittet algebra. De klasser som jag ska göra min undersökning på är två åk 1 klasser som går handelsprogrammet. Detta medför att de läser matematik –A kursen och håller på med avsnittet som handlar om algebra och ekvationer. Jag utför en stor undersökning i form av prov som består av 8 uppgifter. Efter att provet genomförs och rättas så väljs några elever för en intervju. Förhoppningen var att med hjälp av intervjun komma underfund med vad i dessa uppgifter eleverna har problem med. Arbetet visar att elever oftast är osäkra när det gäller de olika matematiska begreppen. När det gäller formuleringen i textuppgifter har många elever i min undersökning svårt att hålla isär och hämta in rätt information för att kunna lösa uppgifterna rätt. Vidare visar arbetet att majoriteten av eleverna har problem med formuleringarna i uppgiften dvs. när uppgiften är lång och mycket information ges.

Sökord: Matematiksvårigheter, strategier, ansatser, ekvationer, algebra. Postadress Växjö universitet 351 95 Växjö Gatuadress Universitetsplatsen Telefon 0470-70 80 00

Innehållsförteckning

1. Inledning ... 1

2. Syfte ... 2

2.1 Avgränsningar ...2

3. Teoretiskt utgångspunkt... 3

3.1 Olika typer av matematiksvårigheter ...3

3.2 Teorier om problemlösning ...4

3.3 Svårigheter med minne och inlärning ...5

4. Metod... 6

4.1 Metodteori...6

4.2 Tillvägagångssätt...7

4.3 Urval ...8

4.4 Etik...8

4.5 Reliabilitet och validitet ... 9

5. Resultat diagnos... 10

6. Analys av diagnos och intervjuer... 25

7. Diskussion ...31 7.1 Resultatdiskussion...31 7.2 Metoddiskussion ...33 Källförteckning... 35 Bilaga 1 ... 37 Bilaga 2 ... 38 Bilaga 3 ...39

1. Inledning

Jag arbetar sedan tre år tillbaka som matematiklärare på en gymnasiefriskola i en mellanstor stad i södra Sverige. Matematiktjänsten delar jag med en lärare, som i sin tur även har en tjänst på en kommunal gymnasieskola. Under tidens gång har jag upptäckt att eleverna har svårt för att lösa textuppgifter. Med textuppgifter menas uppgifter som ges i form av text och som oftast måste lösas med hjälp av en algebraisk ansats. Där ska jag undersöka anledningen till de olika ansatserna som eleverna använder sig av för att lösa de olika textuppgifterna. Anledningen till att jag blev intresserad av detta är att jag i Malmer (2000) läst att Nathlie Badian (1983) i en undersökning gjort i USA har visat att 6,4% av undersökta barn i grundskolan hade svårigheter med matematiken medan 4,9% visade svårigheter med läsningen. Vidare så kunde Badian visa att 2,7% hade en kombination av läs- och matematiksvårigheter medan 2,2% hade svårt med enbart läsningen. För varje dag som går så får vi in rapporter om att dagens elever blir sämre och sämre i matematik. Idag på våra gymnasieskolor så uppmäts förmågan att räkna med hjälp av olika tester och prov. Förmågan att läsa och skriva blir således en del av matematiken. Att kunna läsa och förstå uppgifter är väldigt viktigt för att förstå och även att kunna skriva tal och siffror samt alla begrepp som används i matematikens värld. Om eleven läser av fel kommer även slutresultatet att påverkas av detta. Ofta får elever med matematiksvårigheter problem med lästal dvs. att de har problem med att plocka fram rätt fakta ur texten t.ex. vilka tal som ska ingå i räkneoperationen samt vilket räknesätt som ska användas.

2. Syfte

Syftet med min undersökning är att utifrån mina uppgifter undersöka vad som händer, när eleverna ställs inför textuppgifter. Det vill säga vilka svårigheter de ställs inför när ekvationer ska lösas. Samtidigt vill jag som sekundärt syfte se vilka strategier som eleverna använder sig av.

De strategier (ansatser) som kommer att behandlas i detta arbete är algebraisk strategi (ansats) och numerisk strategi (ansats). Numeriska strategier (ansatser) delas i sin tur i numerisk beräkning och i prövning. Nästa är strategin (ansats) numerisk beräkning dvs. eleven försöker lösa uppgiften med hjälp av någon form av uträkning. Algebraisk strategi (ansats) betyder att eleven försöker lösa uppgiften med hjälp av en ekvation. Slutligen har vi strategin (ansats) prövning dvs. där eleverna provar sig fram genom att sätta in olika värden för att komma till den rätta lösningen.

2.1 Avgränsningar

Jag ska endast ägna mig åt dessa två för mig väldigt intressanta punkter. Detta på grund av att jag ser att i undervisningen förekommer ofta att elever har olika typer av svårigheter och samtidigt så väljer eleverna olika lösningsstrategier. En annan anledning är att i annat fall så kommer arbetet att bli allt för stort och på grund av brist på tid så kommer jag inte att hinna med mera.

3. Teoretiskt utgångspunkt

3.1 Olika typer av matematiksvårigheter

Enligt Adler (2001) och Malmer (2002) kan man börja prata om matematiksvårigheter då en elev presterar under en förväntad nivå utifrån en relevant utbildning. Förmågan att läsa och skriva är bara en del av matematiken. Det är viktigt att förstå och även att kunna skriva tal och siffror samt alla begrepp som används i matematikens värld. Malmer (2002) menar vidare att elever med matematiksvårigheter har både svårare att hantera information och dålig minnesfunktion. Enligt Malmer (2002) delas orsakerna till matematiksvårigheter upp i två grupper, primära och sekundära. I den primära finns kognitiv utveckling, språklig kompetens, dyskalkyli etc. I den sekundära gruppen finns dyslexi och olämplig pedagogik. Malmer (2002) skriver att dyskalkyli ligger i den primära gruppen eftersom elever har problem som är direkt anknutna till matematiken medan dyslexi ligger i den sekundära eftersom elever som har någon form av dyslexi inte nödvändigtvis har problem med matematiken. Dyslektiker har problem med matematik och matematiska uppgifter först då eleverna ska lösa textuppgifter. Här menar Malmer att man ska kunna hjälpa dessa elever så fort som möjligt och inte låta detta problem pågå hur länge som helst eftersom detta kan leda till att eleven tappar intresset för ämnet. Malmer & Adler (1996) menar också att elever kan utveckla matematiksvårigheter i samband med undervisningen. Med olämplig pedagogik menar Malmer (2002) den typen av pedagogik där eleven inte får den stöd han/hon har behov av. Enligt Magne (2003) hänger matematiksvårigheter ihop med förståelsen av uppgifter, som när eleven misslyckas att lösa uppgiften rätt kan förknippas med en nedsatt begåvning hos eleven. Magne (1980) menar att all matematikinlärning huvudsakligen beror på tankeoperationer, som att förstå den givna informationen, att kunna generalisera från tidigare erfarenheter och kunskaper till den aktuella uppgiften och att komma ihåg logiska relationer i matematik. Enligt Adler (2001) kan man dela matematiksvårigheter i fyra grupper: akalkyli, dyskalkyli, allmänna matematiksvårigheter och pseudo-dykalkyli. Akalkyli är en oförmåga att överhuvudtaget utföra matematiska beräkningar. Dyskalkyli kallas även för specifika matematiksvårigheter, som är matematikens motsvarighet till läs- och skrivsidans dyslexi. Svårigheterna kallas för allmänna matematiksvårigheter när eleven har problem med lärandet i allmänhet och inte bara med matematiken. Pseudo-dyskalkyli är en stor och viktig grupp där svårigheterna kan härledas ur känslomässiga blockeringar Adler (2001). Ljungblad (1999) skriver att matematiksvårigheter kan vara varierande både språkliga och av matematisk natur. Enligt Adler (2001) får ofta elever med matematiksvårigheter problem med lästal dvs. att de har problem med

att plocka fram rätt fakta ur texten t.ex. vilka tal som ska ingå i räkneoperationen samt vilket räknesätt som ska användas.

3.2 Teorier om problemlösning

Möllehed (2001) menar att när eleven ställs inför problemlösning så sätts samtidigt elevens kognitiva färdigheter på prov. De kognitiva färdigheterna är tänkande, inlärning, minne, reflektion etc. Möllehed (2001) fortsätter vidare med att skriva att när eleven sätts inför problemlösning så ska han/hon först tolka och reda ut problemet innan de matematiska kunskaperna kan användas. Om eleven misslyckas med tolkandet av uppgiften eller om slarvfel begås då leder detta till ett felaktigt svar av lösningen på uppgiften. Förutom att eleven måste förstå texten i uppgifterna till sitt huvudsakliga innehåll så måste han/hon även vara införstådd med ord och matematiska uttryck Möllehed (2001). Möllehed (2001) skriver detta genom att ta stöd vid Piaget’s teori, om att eleverna helst använder sig av försök – misstag metoden dvs. numerisk ansats än någon ekvation.Möllehed (2001) skriver att enligt Krutetskii så finns det tre basstadier i att lösa ett matematiskproblem: 1. Att samla den information som behövs. 2. Att utnyttja inforationen för att lösa problemet. 3. Att komma ihåg informationen om lösningen. Enligt Krutetskii undersöker de duktiga eleverna texten i uppgiften för att se vilken information som finns tillgänglig och söker sedan lösningen i en riktning tills de löser uppgiften rätt, Möllehed (2001).

Enligt Möllehed (2001) kan lösningen av en matematisk uppgift vara en rutinsak för en elev medan det är en krävande tankeprocess för en annan. Möllehed (2001) påpekar att problemlösning är ett viktigt moment i matematikundervisningen för att befrämja elevens kreativitet och flexibilitet och därmed undvika rutinmässiga lösningar. Möllehed (2001) skriver att Polya redogör för fyra olika faser som är viktiga vid problemlösning och dessa är att förstå problemet, att göra upp en plan, att genomföra planen och att se tillbaka på lösningen. Man ska inte bara förstå problemet i allmänhet utan tränga in i texten så att man kan förstå alla små delar i det. Man ska klargöra för sig vilka data som finns, vilka villkoren är och vad man vill veta. Då man ska göra upp en plan ska man fråga sig vilka andra liknande problem man tidigare löst med fokus på vad man vill veta. Man bör kontrollera här om man använt alla data och förutsättningar. Nästa steg enligt Polya är att genomföra planen. Vid genomförandet är det viktigt att kontrollera varje steg och inte avvika från den uppgjorda planen. Om strävan är tillräckligt stark kommer problemlösaren att hitta en lösning. Det sista steget att titta tillbaka på lösningen då kontrollerar

man om det går att genomföra lösningen på ett enklare sätt, om man kan hitta mer än en lösning och om det går att generalisera så att lösningen även omfattar även andra problem. Polya har också enligt Möllehed (2001) påpekat det självklara att man måste ha vissa förkunskaper för att kunna lösa ett matematiskt problem. Möllehed (2001) skriver att de finns många faktorer som påverkar problemlösningen i matematik, bland dessa faktorer finns textförståelse och matematiska begrepp. Enligt Möllehed (2001) när det gäller textförståelsen så missförstår eleverna på olika sätt den information som ges i texten, eleven förstår inte sammanhanget i meningarna eller feltolkar enstaka detaljer. Vissa ord kan vålla problem för eleverna enlig Malmer (2001) det kan vara ord som ”5 mer” som blir ”5 gånger mer” eller ”dubbelt så mycket” kan bli ”1 mer” eller ”2 mer”. Vidare menar Malmer (2001) att elever kan ha en förutfattad mening, som överordnas innehållet i texten. Speciellt om det är uppgifter där någonting ska delas på ett visst sätt. Möllehed (2001) använder sig av termen ”matematiska begrepp” som betyder att eleverna missförstår innebörden av matematiska begrepp så som kvot, produkt, differens och har även svårt att använda sig av metoder vid beräkning. Möllehed (2001) menar att ibland kan eleverna förväxla de fyra räknesätten. Att man använder sig av addition först och sedan av multiplikation i uppgifter där sådana beräkningar förekommer. Matematiksvaga elever har dålig förmåga att tolka och bearbeta matematisk information, och har svårt att minnas från ett tillfälle till ett annat vad som fanns i problemstrukturen.

3.3 Svårigheter med minne och inlärning

Att logiken saknas kan man se då eleverna misslyckas lösa uppgifterna rätt. Termen logik används enligt Möllehed (2001) då eleverna kan eller inte kan dra slutsatser utifrån givna premisser. Att eleverna inte ger tillräckliga motiveringar eller visar prov på en fullständig tankegång, visar de brist på matematisklogik. Enligt Möllehed (2001, sid.94) är ”logik involverat i de flesta av människans handlingar och beteenden. Här finns förmågan att av givna premisser kunna dra rätt slutsats, att ge en fullständig motivering så att det framgår att alla alternativ har prövats, att ha en logisk tankegång vid bevis och att undvika specialfall som svar, då man förväntar sig en generell lösning”. Men det kan även vara så att elever läser av fel och på så sätt kan de missförstå hela uppgiften om man läser av fel kommer även slutresultatet att påverkas av detta, Adler (2001). Samtidigt som Malmer (2002) understryker att elever som har sämre matematisk förmåga har svårare att hantera information och har sämre minnesfunktion. Av detta

drar Malmer (2002) slutsatsen att elever som har sämre matematisk förmåga har allmänna inlärningssvårigheter och inte bara matematiksvårigheter.

Med allmänna inlärningssvårigheter menas att elever har problem även i andra ämnen. Att allmänna matematiksvårigheter är kopplade till att eleverna uppvisar generella problem med lärandet bekräftas även av Adler (2001) och Sterner & Lundberg (2002).

4. Metod

Här kommer jag att ta upp lite teori som jag använde mig av för att utföra detta arbete. Här kommer det även att tas upp det tillvägagångssätt som jag använde mig av.

4.1 Metodteori

Denna studie har antagit en hermeneutisk ansats, vilket innebär ett förhållningssätt som syftar till förståelse och bygger på tolkning som främsta kunskapsform. Hermeneutik handlar om att tolka eller förstå ett arbete eller en text som inte har dokumentkaraktär (Bryman 2002). Enligt Möllehed (2001) hjälper hermeneutiken oss att tolka vardagliga företeelser eller händelser som hjälper oss att förstå dessa företeelser eller händelser. Ibland är företeelserna mångtydiga och vi väljer medvetet en aspekt i tolkningen, vilket innebär att det finns andra vägar att gå i tolkningsarbetet. Det är då viktigt att tolkaren har en god förförståelse inom det område som tolkningen utförs. Enligt Möllehed (2001) så är man planlös i början av tolkningen. Genom att man går från del till helhet och omvänt försöker man få klarhet i innehållet. De mindre helheterna kan sedan bilda ett större sammanhang. Pendlandet mellan del och helhet, som leder till förståelsen, kallas för ”den hermeneutiska cirkeln”. Förståelsen har som utgångspunkt en viss helhetsuppfattning. Tolkningen av de olika delarna medför att denna helhetsuppfattning förändras, utgångspunkten flyttas och vid en ny tolkning av delarna påverkas åter helhetsuppfattningen. Genom samspelet mellan del och helhet förändras och fördjupas förståelsen stegvis. Hermeneutiken är alltså dubbelt relevant för detta arbete: först genom att den kastar ljus över intervjun som ska tolkas och sedan genom att klarlägga den process där intervjutexterna tolkas, vilket kan uppfattas som en dialog eller ett samtal med texten. Hermeneutiken kommer naturligt in i detta arbete då jag har skrivit och anpassat provet för elever i åk 1. Provet görs av eleverna och de svar som lämnas in och även intervjuerna kommer senare att tolkas av mig. Enligt Bryman (2002) står hermeneutik för insamling och analys av data som möjliggör en utformning av förståelse i sammanhang. Tolkningen kan variera hela tiden i

den mening att ibland tolkas en enskild uppgift i elevarbetet och ibland tolkas alla uppgifter i elevens arbete. Några elever intervjuas och intervjun kommer i sin tur att läsas igenom av mig för att skaffa mig mer eller mindre en allmän mening. Sedan går jag tillbaka till vissa teman och särskilda uttryck för att försöka utveckla elevernas mening för att sedan återvända till den mer helhetliga meningen av intervjun i ljuset av delarnas fördjupade mening och så vidare. Detta sätt att arbeta kan få mig att förstå elevuppgifterna och att utföra mitt arbete på ett bättre sätt. När jag tolkar lösningarna så pendlar jag ofta mellan delen, dvs. den enskilda lösningen av uppgiften och helheten lösningarna på alla uppgifter. Enligt Bryman (2002) är kvalitativ metod en undersökning som bygger på förhållandet mellan teori och praktisk forskning. Enligt Kvale (1997) är forskningsintervjun ett samtal om den mänskliga livsvärlden, där det muntliga resonemanget förvandlas till texter som ska tolkas. Kvale (1997) menar att kvalitet syftar på arten, på karaktären på något medan kvantitet syftar på mängden av något. I detta arbete, vill jag se vilka problem eleverna stöter på när de ställs inför ekvationslösning. Vidare vill jag med hjälp av teorin och prov samt intervjuer se vilka strategier de använder sig av när de löser dessa matematiska uppgifter.

4.2 Tillvägagångssätt

Min kollega är en erfaren matematiklärare (38 år arbetslivserfarenhet), hans erfarenhet gör att jag tillsammans med honom valde ut några lämpliga matematikuppgifter. I samråd med min kollega bestämde vi oss för att ta fem uppgifter från Möllehed (2001), två från Holmström & Smedhamre (1994) och en från Gennow, S. Gustavsson, I. Johansson, B. Silborn, B. (2003). Vi fick ihop åtta uppgifter (se bilaga 1). Jag är med på 6 lektioner innan det är dags för provet. Detta för att jag vill att eleverna ska vara så avslappnade som möjligt när det är dags för provet och intervjun. Uppgifterna valdes på det sätt att provet består av blandade uppgifter. Uppgifter som innehåller mycket text med mycket fakta, uppgifter som innehåller matematiska begrepp för att kunna se om eleverna känner till dessa begrepp. I denna blandning av uppgifter så valde vi också uppgifter som innehåller lite text med inte så mycket fakta bara för att kunna se om eleverna har rena matematiska svårigheter. Dessa uppgifter hoppas jag ska vara till hjälp för att uppnå mitt mål, dvs. att se vilka svårigheter eleverna ställs inför när de ska lösa uppgifterna eller vilka strategier eleverna använder sig av för att lösa dessa uppgifter. Nästan alla uppgifter är av öppen karaktär, det vill säga att de kan lösas på olika sätt. Med öppen karaktär menar jag att uppgifterna kan lösas både

med hjälp av algebraisk strategi men även med hjälp av numeriska strategier. Jag bad eleverna att lösa uppgifterna endast med hjälp av ekvationer. Eleverna uppmanas till att ska skriva ner sina tankar och sina svar. När första delen är klar dvs. då uppgifterna är lösta rättar jag uppgifterna. Rättningen sker på så sätt att det är elevernas försök som kallas för strategier, kommer att bedömas. När uppgifterna är rättade kommer elever att kallas till intervju. Intervjuerna spelas in. Efter att intervjuerna är genomförda, förberedds materialet för analys genom att samtalen ordagrant skrivs ut, då skriftspråket är en form som lämpar sig bättre för en närmare analys, enligt Kvale (1997).

4.3 Urval

De klasser som jag ska göra min undersökning på är två åk 1 klasser som går handelsprogrammet. Detta medför att de läser matematik –A kursen och håller på med avsnittet som handlar om algebra och ekvationer. Klasserna består av 16 respektive 25 elever. Först görs provet och lämnas in för rättning. Efter provet var korrigerat valdes 18 elever ut för intervju. Förhoppningen var att med hjälp av intervjun komma underfund med vad i dessa uppgifter eleverna har problem med. Jag valde dessa frågor, se bilaga 2, eftersom det är intressant för mig att veta hur eleven har tänkt, och varför det har blivit fel. På detta sätt så kompletterar jag min undersökning med intervjuer där eleverna får svara på frågor som rör uppgifterna de fick lösa. De elever som kallades till intervju var elever som löst de flesta uppgifter men inte alla och elever som försökt lösa alla uppgifter men som misslyckats med att lösa dessa rätt. Dessa elever hade snarlika fel det vill säga att de oftast använder sig av ekvationer när de löser uppgifterna, använder sig av numeriska strategier när de tycker att de lätt kan komma fram till rätt resultat. Förutom detta valde jag denna grupp eftersom i den fanns elever som tydligt visade att de antingen haft problem med begreppen eller med formuleringen.

4.4 Etik

Alla intervjuade informeras om att de ska ha rätt att vara anonyma och de ska även kunna avbryta sin medverkan när som helst enligt Johansson och Svedner (2004). Efter det så förstörs bandet, detta görs för att skydda elevernas integritet och anonymitet. Dessa intervjufrågor kommer att hjälpa mig att kontrollera om det jag har uppfattat från lösningarna på deras uppgifter är rätt eller inte. Intervjuerna kommer alltså att fungera som ett verktyg och

komplement för att missförstånd ska undvikas. Det är fem till sex frågor som de kommer att svara på, beroende på felen som eleven i fråga gjort, se bilaga 2. Följdfrågor gavs under intervjun där den intervjuade kunde förklara närmare vad han/hon menade för att jag skulle förstå deras resonemang. Bra följdfrågor för att eleverna ska kunna förklara sig, är när, var, hur, hur ofta, ge exempel, enligt Johansson & Svedner, (2004). Detta resultat kommer sedan att jämföras med den lästa litteraturen och de resultat som framkommer där. För att allt ska gå rätt till så har jag skickat med ett brev till föräldrarna där jag talar om att jag genomför en undersökning och ska intervjua deras barn (se bilaga 3). Brevet lämnas tillbaka till mig med föräldrarnas medgivande i form av underskrift/underskrifter.

4.5 Reliabilitet och validitet

Mitt arbete med denna studie har präglats av många olika faktorer. Trots att jag varit med på sex lektioner i vardera klassen så känns det som att det var för kort tid för att lära känna eleverna. Dels den korta tiden för att lära känna eleverna, dels att en del av eleverna har varit frånvarande från dessa sex lektioner, dels att en del elever har varit motvilliga till samarbete gör att realibiliteten och validiteten kan ifrågasättas. Reliabilitet enligt Bryman (2002) handlar om följdriktigheten, överensstämmelsen och pålitligheten hos ett mått på ett begrepp. Reliabiliteten vid intervjuer kan störas beroende på att alla inte blivit intervjuade under samma dag och under samma yttre omständigheter. Då 18 personer är svårt att intervjua på en gång, kan detta skapa chans för eleverna att prata med varandra och påverkas av varandras åsikter och synpunkter. Enligt Bryman (2002) handlar validitet om man identifierar, mäter, eller observerar det man undersöker. Jag har ibland försökt att ställa följdfrågor och kontrollera att jag har uppfattat intervjusvaren korrekt för att vara säker på att jag har identifierat problemet. Jag har också försökt undvika att ställa ledande frågor för att inte påverka resultatet som enligt Klave (1997) är viktigt. Vid skrivningen av de kvalitativa intervjuer jag gjort försvinner exempelvis gester, mimik, betoningar, ironi och kroppsspråk. Läsaren kan därför tolka det resultatet som framkommer i detta arbete på ett annorlunda sätt än vad intervjuaren gjort detta understryks även av Kvale (1997). Ibland kan man inte bedöma om resultatet har gett en hel sann bild av det som undersökts eftersom jag inte kan kontrollera om intervjupersonerna svarar sanningsenligt eller det som de förväntas svara Kvale (1997). Med ett hermeneutiskt förhållningssätt når man en förståelse genom att relatera helheten till delarna Kvale (1997). På grund av detta läste jag om

och om igenom de renskrivna intervjuerna för att bilda mig en helhetsuppfattning om materialet innan jag började med samanställningen av resultatet det gav mig.

5. Resultat diagnos.

Eleverna fick 50 min. på sig att lösa uppgifterna, en uppmaning om att lämna in svar till samtliga uppgifter gjordes av både mig och min kollega. Följande resultat uppnåddes: provet genomfördes och alla elever var inte så samarbetsvilliga. Detta är resultatet som uppnåddes den dagen. Det kan vara så att eleven har gjort en algebraisk strategi (ansats) men inte svarat på uppgiften. Om en sådan lösning förekommer då kommer det att bedömas som ett försök att lösa uppgiften med hjälp av en algebraisk strategi men att svaret är fel pga. att det saknas ett svar. Förklaring för att tabellen ska kunna läsas så korrekt som möjligt. Kolumn 1 (från vänster), där finns elevernas typ av lösning på uppgiften. Man läser från höger till vänster radvis. Kolumn 2, frekvensen, dvs. antalet elever som svarat med samma typ av lösning på uppgiften. Kolumn 3, där beskriver jag med ord den ansats som eleven använt sig av för att lösa just den specifika uppgiften.

1. Stina och Per får tillsammans 30 kr för att de hjälpt till att plocka jordgubbar. Eftersom Stina

plockat flest jordgubbar ska hon ha 5 kr mer än Per. Hur mycket får var och en? (hämtat ur Möllehed (2001)).

Elevernas typ lösning på

uppgiften Frekvens Beskrivning av metoderna

Per x; Stina x+5; x+x+5=30; 2x=25; x=12,50. Stina 17,50 9 Använder en ekvation och rätt svar. 30-5=25; 25/2=12,50; Stina 17,50 eller Stina 17,50; Per 12,50; 8 Rätt svar genom numerisk beräkning 30/2=15; Stina 15+5=20; Per 15-5=10 11

Fel svar genom numeriskt beräkning 30/2=15; Per 12,50, Stina 17,50 2 Rätt svar genom prövning Stina 20; Per 10 2 Endast felaktigt svar genom prövning Inget svar 2 11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Matematisk ekvation

Numerisk beräkning Prövning Inget svar

inget svar fel rätt

Tabell och Diagram 1

2. Mohammed och Mustafa ska dela på 18 kr så att Mohammed får dubbelt så mycket som

Mustafa. Hur mycket får var och en? (hämtat ur Möllehed (2001))

Elevernas typ lösning på

uppgiften

Frekvens Beskrivning av _metoderna Mustafa x kr; x+2x=18; x=18/3; x= 6; Mohammed 12kr, Mustafa 6 kr. 9 Använder ekvation. Rätt svar Mohammed 2x, Mustafa x 4 Använder ekvation fel svar 18/3=6; Mohammed 6*2=12kr. Mustafa 6kr. eller 18/2=9; Den förste 6kr, den andre 12kr 13 Rätt svar genom numeriskt beräkning Mohammed 12kr, Mustafa 6kr. eller 6+2*6=18 Mustafa 6kr, Mohammed 12kr. 8 Rätt svar genom prövning 13

₀1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Matematisk ekvation Numerisk beräkning Prövning Inget svar

inget svar fel rätt

Tabell och Diagram 2

3. Ivar har två askar chokladkulor och 21 extra chokladkulor medan Vera har 4 askar och 5 extra

chokladkulor. Ivar och Vera har lika många chokladkulor. Hur många chokladkulor finns det i en ask? (hämtat ur Möllehed (2001))

Elevernas typ lösning på uppgiften Frekvens Beskrivning av metoderna 2x+21=4x+5 2x=16; x=8 10 Använder ekvation och får rätt svar 2x+21; 4x+5; 21-5=19; 16*6=96 5x+26=96; x= 14. eller 2x+21=4x-5 eller 2x+21 och 4x+5 4 Använder en ekvation men får fel svar. 21-5=16; 16/2=8 Svar 8 st. 8 Rätt svar genom numeriskt beräkning 21+5= 26 det finns 26 kulor I asken eller ritat rätt, antal askar och chokladkulor, men inte skrivit

något

4

Fel svar genom numerisk beräkning 8*2+21=37; 8*4+5=37 eller 8 st. 4 endast rätt svar genom prövning inget svar 4 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Matematisk ekvation Numerisk beräkning Prövning Inget svar

inget svar fel rätt

Tabell och Diagram 3

4. Vid en trafikkontroll kunde man räkna in 7 gånger så många personbilar som bussar. Samtidigt

visade det sig att det hade gått förbi 25 fler lastbilar än bussar. Sammanlagt hade 133 personbilar, bussar och lastbilar passerad. Hur många personbilar hade man kunnat räkna in?

(hämtat ur Möllehed (2001)). Elevernas typ lösning på uppgiften Frekvens Beskrivning av metoderna x = bussar; 7x=personbilar; x+25= lastbilar; x+7x+x+25=133 x=12; 84 personbilar 11 Använder ekvation och får rätt svar 7x; 25x; x x+7x+25x=133 eller 7x+25=133; 133-25=108 personbilar

6 ekvation och Använder får fel svar 133/7=19 bussar 7+25=32 lastbilar 133-51=82 personbilar eller 133/7=19; 19+25+19=63; 133-63=70 personbilar 5

fel svar genom numerisk beräkning 84 4 endast rätt svar genom prövning 105 personbilar 3 endast felaktigt svar genom

prövning

inget svar 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Matematisk ekvation Numerisk beräkning Prövning Inget svar

inget svar fel rätt

Tabell och Diagram 4

5. Förra året då Sven och Lisa åkte på semester till Danmark växlade de till sig 3 000 danska kronor.

För att få 100 danska kronor måste de betala 92 svenska kronor. I år planerar de också att åka till Danmark men får då 80 danska kronor för 100 svenska kronor. De tänker även i år växla till sig 3 000 danska kronor. Hur mycket dyrare i svenska kronor blir det att semestra i Danmark i år än i fjol för Sven och Lisa? (hämtat ur Möllehed (2001)).

Elevernas typ lösning på uppgiften Frekvens Beskrivning av metoderna 30*92=2760; 37,5*100=3750; 3750-2760=990 eller 100/80=1,25; 1,25*3000=3750; 92/100=0,92*3000=2760; 3750-2760=990 7 Rätt svar genom numerisk beräkning 30*92=2760; 116*30=3480; 3480-2760=720 eller 92*30=2760; 3000*0,8=2400; 2760-2400=360 eller 12*32=384 37,5*80=3000 eller 3000/80=37,5 12 Fel svar genom numerisk beräkning

bara svar 3750kr 1 Fel svar genom

prövning

inget svar 14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Matematisk ekvation Numerisk beräkning Prövning Inget svar

inget svar fel rätt

Tabell och Diagram 5

6. Pavel tänker på ett tal, han lägger till 12 och dividerar summan med 3. Sedan subtraherar

han 11 från kvoten samt multiplicerar med 4. Vilket tal tänkte Pavel på om produkten blir 8? ( hämtat från Gennow, S. Gustavsson, I. Johansson, B. Silborn, B. (2003)).

Elevernas typ lösning på uppgiften Frekvens Beskrivning av metoderna ((x+12/3)-11)*4=8 x=27 3 Använder ekvation och får rätt svar x+12/3-11*4=8 eller x+12x/3=4x eller x+12/3-3*4 = 0 9

fel ekvation fel svar inget svar 22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Matematisk ekvation Numerisk beräkning Prövning Inget svar

inget svar fel rätt

Tabell och Diagram 6

7. Arvid, Isak och Sara ska dela på 110 000 kr så att Arvid får 6 000 kr mer än Isak och Sara får

dubbelt så mycket som Arvid. Hur mycket får Sara? (hämtat ur Holmström & Smedhamre (1994)).

Elevernas typ lösning på uppgiften Frekvens Beskrivning av metoderna Arvid x; Isak x-6000; Sara 2x; Sara 58000 korrekt lösning följer

19 Rätt svar genom ekvation x+6000+x+2x=11000 eller x; 2x; x-6000; 4x-6000=110000-6000 2 Fel svar. Genom ekvation. Fel hämtning av information. Skriver 11000 i stället för 110 000 110000/3=36666,50 Sara får 73333 kr 3 Fel svar genom numerisk beräkning inget svar 10 22

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Matematisk ekvation Numerisk beräkning Prövning Inget svar

inget svar fel rätt

Tabell och Diagram 7

8. Differensen av två tal är 62. Det ena talet är 5 gånger så stort som det andra talet. Vilka är talen? (hämtat ur Holmström & Smedhamre (1994)).

Elevernas typ lösning på uppgiften Frekvens Beskrivning av metoderna 5x-x=62; x=15,5; och 5*15,5= 77,5 6 Använder en ekvation och får rätt svar x+5x=62; x=10,2 5 Använder ekvation får fel svar 62/5=12,4 12,4*5=62 eller 124/2=62 6

Fel svar genom numerisk beräkning.

svar 8, 12 etc. 5

endast fel svar genom prövning inget svar 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Matematisk ekvation Numerisk beräkning Prövning Inget svar

inget svar fel rätt

Tabell och Diagram 8

6. Analys av diagnos och intervjuer.

Uppgift 1: Ur tabell och diagram 1 så kan man utläsa att eleverna försöker lösa uppgifterna med

hjälp av de olika ansatserna som nämndes tidigare. Majoriteten av eleverna försöker använda sig av en numerisk ansats. Det vanligaste problemet med denna uppgift är att eleverna inte förstår att skillnaden endast ska vara 5kr. Alla elever gör ett försök för att lösa uppgiften. Från prov, diagram och tabell så kan man se att eleverna har problem med formuleringen av uppgiften. Vid intervjun uppger eleverna att de inte inser att skillnaden ska vara 5 kr. Som tyder på allmänna matematiska svårigheter då de inte förstår uppgiften. Detta kan då knyttas till det som Möllehed (2001) skriver att när eleven sätts inför problemlösning så ska han/hon först tolka och reda ut problemet innan de matematiska kunskaperna kan användas. Om eleven misslyckas med tolkandet av uppgiften eller om slarvfel begås då leder detta till ett felaktigt svar av lösningen på uppgiften. Samtidigt uppger eleverna i intervjun att de helst vill använda sig av numerisk ansats dvs. prövning eller beräkning. Jag kan dra denna slutsats med hjälp av detta citat ”Uppgift 1 var det bara att plussa ihop

bådas pengar dela det med 2 och dra från den ene 5 ge dessa 5 till den andre och så var det klart”.

Uppgift 2: Av tabell och diagram 2 att utläsa så framgår det att en stor majoritet försöker att lösa

uppgiften med hjälp av en numerisk ansats och lyckas med det. Texten i uppgiften är ganska kort och ganska enkel. Eleverna visar att de förstått uppgiften och kan enkelt lösa denna uppgift utan att använda sig av en ekvation. Alla elever försöker lösa uppgiften. Att eleverna inte löser uppgiften med hjälp av en ekvation tyder det på att de inte riktigt är säkra om hur ekvationen ska ställas upp. De elever som misslyckades med att lösa uppgiften rätt, när jag rättar deras uppgifter kan jag se att eleverna gjorde fel på grund av de trodde att det var svårare än vad det var, de krånglade till det för sig själva. Detta bekräftar det som Möllehed (2001) skriver när det gäller textförståelsen om att eleverna missförstår på olika sätt den information som ges i texten, eleven förstår inte sammanhanget i meningarna eller feltolkar enstaka detaljer. Även Malmer (2001) skriver om att vissa ord kan vålla problem för eleverna det kan vara ord som ”5 mer” som blir ”5 gånger mer” eller ”dubbelt så mycket” kan bli ”1 mer” eller ”2 mer”. Vidare menar Malmer (2001) att elever kan ha en förutfattad mening, som överordnas innehållet i texten. Speciellt om det är uppgifter där någonting ska delas på ett visst sätt. I intervjun som följde så bekräftas det att eleverna oftast missförstår uppgiften genom att de inte förstår termen dubbelt så mycket. Här följer ett citat från

intervjuerna ”Båda har 18 kr dela med 2 så får man 9 kronor var. Sedan är det att ta 2 från en och

ge till den andra”.

Uppgift 3: Denna uppgift är lite längre i texten och därmed fler saker att hålla reda på. Här kan man

tydligt se att eleverna har problem med formuleringen av uppgiften. Detta på grund av att frekvensen på lösta uppgifter sjunker något. Antalet elever som använder sig av en numerisk ansats är fortfarande hög. Det visar sig att eleverna fortfarande förstår problemet i uppgiften och kan hålla reda på informationen som ges där. Att eleverna förstår informationen på uppgifterna bekräftas även i Möllehed (2001) när han skriver att man inte bara ska förstå problemet i allmänhet utan tränga in i texten så att man kan förstå alla små delar i det. Man ska klargöra för sig vilka data som finns, vilka villkoren är och vad man vill veta. Då man ska göra upp en plan ska man fråga sig vilka andra liknande problem man tidigare löst med fokus på vad man vill veta. Detta gör eleverna i denna uppgift då de flesta lyckas väl med lösningen av uppgiften. De elever som misslyckas anger att de misslyckas på grund av att de inte vet hur de kan prova sig fram. Jag citerar: ”Jag har ritat lite

men jag vet inte senare hur jag ska fortsätta. Svårt att veta vad de vill att jag ska räkna ut”. Några elever anger tiden som en faktor, de kände sig stressade på grund av att det inte var så mycket tid kvar när de skulle lösa denna uppgift. ”Sedan var tiden nästan ute så det var svårt att få det att

fungera.”

Uppgift 4: Ur tabell och diagram 4 kan man utläsa att eleverna börjar få problem med uppgifterna.

Eftersom det är mycket information att hålla reda på i uppgiften så tyder detta på att eleverna har problem med formuleringen. Majoriteten av eleverna använder sig av en algebraisk ansats. I metoddiskussionen framkommer att en grupp elever intervjuas av mig. Av denna grupp så var det 8 elever som inte lyckades med uppgift 4. Av dessa 8 elever var det 3 elever som hade misslyckas med att lösa de flesta uppgifterna med hjälp av en algebraisk ansats. 2 av dessa 8 var elever som använt sig av numerisk ansats och misslyckats med denna uppgift. Första gruppen ut var de 3 som hade använt sig av en algebraisk ansats men misslyckades med att lösa uppgiften ändå. Det framkom i intervjun att eleverna inte förstod att ”25 fler lastbilar” betyder x + 25 och inte 25*x. Det framkom då att eleverna missuppfattat uppgiften eftersom vid frågan ”hur skulle du vilja lösa uppgiften idag? ”, ville eleverna fortfarande lösa uppgiften på samma sätt. I teoridelen så kunde man läsa att Möllehed

(2001) skriver att finns många faktorer som påverkar problemlösningen i matematik, bland dessa faktorer finns textförståelse och matematiska begrepp. När det gäller textförståelsen så missförstår eleverna på olika sätt den information som ges i texten, eleven förstår inte sammanhanget i meningarna eller feltolkar enstaka detaljer.

De 2 elever som hade försökt lösa uppgift 4 med hjälp av en numerisk ansats, de hade också missförstått uppgiften. De ville dela det totala antalet personbilar, lastbilar och bussar med antalet personbilar som var 7 och på så sätt få fram svaret. Detta sätt att räkna tyder också på svårigheter med lästal dvs. att de har problem med att plocka fram rätt fakta ur texten. Här kan man klart se det som Möllehed (2001) skriver att enligt Krutetskii så finns det tre basstadier i att lösa ett matematiskproblem: 1. Att samla den information som behövs. 2. Att utnyttja inforationen för att lösa problemet. 3. Att komma ihåg informationen om lösningen. Eleverna kan inte samla det information som behövs, kan inte utnyttja informationen för att lösa uppgiften.

Uppgift 5: Ur tabell och diagram 5 går att utläsa att inga elever hade försökt lösa uppgiften med

hjälp av en algebraisk ansats. De elever som försökt lösa denna uppgift hade använt sig av en numerisk ansats. Här är uppgiften också ganska så komplicerat innehållande mycket text som medför att det är mycket information eleverna måste hålla reda på. Formuleringen av uppgiften verkar vara ett problem för eleverna i denna uppgift. Många elever har inte lämnat något svar trots uppmaningen om att göra det. Här intervjuas elevgruppen. Av dessa 18 som valdes ut för intervju var det 12 som inte lämnat något svar. Det framkom tydligt att eleverna hade det svårt att hålla isär informationen. De tyckte att det var svårt att räkna ut valutakursen för det sista året. Dvs. de hade svårt att få fram att

25 , 1 80 = 100

De tyckte att det var rörigt och att informationen inte gick att förstå i och med att först var svenska kronan starkare och sedan var den svagare och därmed rörigare att förstå. 3 av dessa 18 hade försökt lösa uppgiften med numerisk ansats (beräkning) men hade fått fel svar. Det framkom under intervjun att även för dessa var problemet det samma som för de övriga det vill säga att det var svårt att förstå vad för information som skulle hämtas för att kunna räkna ut uppgiften. Eftersom uppgiften innehåller mycket text så ska denna uppgift helst kunna redogöras så som det beskrivs i Möllehed (2001) när han skriver att Polya redogör för fyra olika faser som är viktiga vid problemlösning och dessa är att förstå problemet, att göra upp en plan, att genomföra planen och att se tillbaka på lösningen. Man ska inte bara förstå problemet i allmänhet utan tränga in i texten

så att man kan förstå alla små delar i det. Man ska klargöra för sig vilka data som finns, vilka villkoren är och vad man vill veta. Då man ska göra upp en plan ska man fråga sig vilka andra liknande problem man tidigare löst med fokus på vad man vill veta. Man bör kontrollera här om man använt alla data och förutsättningar. Nästa steg enligt Polya är att genomföra planen. Vid genomförandet är det viktigt att kontrollera varje steg och inte avvika från den uppgjorda planen. Om strävan är tillräckligt stark kommer problemlösaren att hitta en lösning. Det sista steget att titta tillbaka på lösningen då kontrollerar man om det går att genomföra lösningen på ett enklare sätt, om man kan hitta mer än en lösning och om det går att generalisera så att lösningen även omfattar även andra problem. Polya har också enligt Möllehed (2001) påpekat det självklara att man måste ha vissa förkunskaper för att kunna lösa ett problem. Samtliga intervjuade elever var eniga om att det var matematiskt svårt och jobbigt från att gå från:

” Förra året då Sven och Lisa åkte på semester till Danmark växlade de till sig 3 000 danska kronor. För att få 100 danska kronor måste de betala 92 svenska kronor.”

till att gå till:

” I år planerar de också att åka till Danmark men får då 80 danska kronor för 100 svenska kronor. De tänker även i år växla till sig 3 000 danska kronor.”

Det visar att eleverna hade svårt att förstå och tolka uppgiften på rätt sätt. Vid intervjun så sade en elev ”När jag löste uppgift 5 ville jag ha 3000 svenska kronor. Pengarna är kronor

så danska eller svenska spelar ingen roll. Man kan handla med svenska kronor i Danmark”.

Detta visar att uppgiften är svår och att eleverna tycker att det är en onödig uppgift.

Uppgift 6: Ur tabell och diagram 6 kan man utläsa att den enda ansatsen som användes för

att lösa rätt denna uppgift var en algebraisk ansats. Majoriteten av eleverna hade misslyckats med att lösa denna uppgift. Här kan man tydligt se att eleverna har problem med de matematiska begreppen i uppgiften. Eftersom de väljer att inte skriva något när de inte förstår de matematiska begreppen. Med matematiska begrepp menas ord som kvot, produkt, differens, subtrahera etc. Mer än hälften av elevgruppen har inte lämnat något svar. Detta passar bra in även i metod delen då Möllehed (2001) använder sig av termen ”matematiska begrepp” som betyder att eleverna missförstår innebörden av matematiska begrepp så som kvot, produkt, differens och har även svårt att använda sig av metoder vid beräkning. Möllehed (2001) menar att ibland kan eleverna förväxla de fyra räknesätten. Att man

använder sig av addition först och sedan av multiplikation i uppgifter där sådana beräkningar förekommer. Vid intervjun fick jag fram att gruppen som består av 18 elever var 16 som inte lyckats lösa uppgift 6. Majoriteten av elever valde att inte skriva något på den uppgiften trots att vi, både jag och min kollega, uppmanat eleverna att skriva lösningar på samtliga uppgifter. När jag intervjuade dem så kom det fram att dessa elever valt att inte skriva något på grund av att de inte var säkra på vad ordet subtrahera, kvoten, produkt betyder och i stället för att göra fel väljer de att inte skriva alls. Denna slutsats drar jag av intervjun och speciellt av elevernas påståenden att de inte förstår de svåra orden, jag citerar

”Men sedan visste jag inte, jag var osäker på vad ordet subtrahera och differens betyder osäker på ordet kvoten också”. 6 av de 18 eleverna hade skrivit något, i de flesta fallen var

bara ett litet försök, dessa elever uppgav senare under intervjun att även de inte var säkra på vad ordet subtrahera betyder. Det visar sig även att några elever har problem med prioriteringsregler. Samtidigt så visar det sig i samtliga fall (dessa 16 fall) när det gäller uppgift 6 att eleverna vill skriva som följer

11*4 8 3 12 = − + x

Här kan man se att eleverna även har problem med prioritetsreglerna dvs. att de inte inser att man ska skriva 11 *4 8 3 12 ₌      x+ ₋ .

Detta är den korrekta ekvationen som ingen av dessa 6 hade lyckats med. Dessa 16 elever uppger att de var osäkra när det gäller matematiska begreppen, tre uppgav dessutom att det var svårt att lista ut vad som krävdes.

Uppgift 7: Av tabell och diagram 7 framgår det att de flesta elever har lyckats lösa uppgiften

med hjälp av en algebraisk ansats. Det är dock många elever som inte lämnat in något svar. Problemet verkar vara en blandning av svårigheter. Detta då svårigheter med matematiska begrepp och med formuleringen i uppgifterna. Eleverna missförstår ordet dubbelt så mycket. De matematiska begreppen i uppgiften är ett problem för eleverna. Eleverna har även problem med att ställa upp en ekvation. Detta eftersom de har svårt för att hämta fram rätt fakta som behövs för den algebraiska ansatsen. Detta så som Möllehed (2001) skriver om eleven misslyckas med tolkandet av uppgiften eller om slarvfel begås då leder detta till

ett felaktigt svar av lösningen på uppgiften. Förutom att eleven måste förstå texten i uppgifterna till sitt huvudsakliga innehåll så måste han/hon även vara införstådd med ord och matematiska uttryck. Under intervjun framkommer det att eleverna är väldigt osäkra när det gäller begreppet dubbelt så mycket. Några uppgav att de inte orkade bry sig då de var trötta och att tiden var knapp. Citat från intervjun som bekräftar att eleven förväxlar begreppet dubbelt så mycket med x+2 ”Att 110 000 ska delas med 3 sedan var det bara att se

hur mycket var och en ska ha. Sara ska ha x +2 som betyder dubbelt så mycket som Arvid och så får man svaret.”

Uppgift 8: Av tabell och diagram 8 ser man att de flesta elever misslyckats lösa uppgiften

rätt. Lika många elever använder sig av både en algebraisk och numerisk ansats. Däremot är antalet elever som inte lyckats lösa uppgiften ganska så stor. Många elever har inte lämnat något svar. Denna uppgift är ganska lämplig att lösa med hjälp av en algebraisk ansats. Även uppgift 8 var en uppgift som ledde till intervjuer med elevgruppen. Eleverna som inte lyckades med att lösa uppgiften rätt intervjuades. Citat från intervjun visar vad som gör att jag drar den slutsats som kommer ”Svårt att säga. Krångliga ord och så var det vid slutet av

lektionen”. Detta blev inte lättare då jag även insåg att eleverna inte kan uttala rätt begreppen

som ges i uppgiften ”Ordet differenanse, hahaha differens var jag osäker på. Lektionstiden

höll på att ta slut”. Det de hade problem med i denna uppgift var att de inte var säkra på vad

begreppet differens betydde därför så valde de att inte skriva något trots uppmaningen om att göra det. Osäkerheten gör att de väljer att inte skriva något svar. Detta tyder på att eleverna har problem med de matematiska begreppen i uppgifterna. Här kan man tydligt se det

Möllehed (2001) menar när han skriver om att när eleven sätts inför problemlösning så ska han/hon först tolka och reda ut problemet innan de matematiska kunskaperna kan användas och att förutom att eleven måste förstå texten i uppgifterna till sitt huvudsakliga innehåll så måste han/hon även vara införstådd med ord och matematiska begrepp.

Intervjun visar också att eleverna var väldigt stressade då lektionen skulle avslutas.

7. Diskussion

7.1 Resultatdiskussion

Jag ville veta vilka svårigheter eleverna ställs inför när ekvationer ska lösas. Det visade sig att när eleverna ställs inför sådana situationer då har de svårt både för de matematiska begreppen och för formuleringarna i matematikuppgifter. Jag ville också veta vilka ansatser eleverna använder sig av. Jag tycker att jag har fått de svar jag var ute efter. Svaret på den första punkten är att eleverna har problem med både de matematiska begreppen och formuleringarna i uppgifterna. De

matematiska begreppen i en uppgift är då de olika begrepp som används inom matematikuppgifter t.ex. kvot, differens, produkt, summa etc. medan med formuleringen i en uppgift menas själva uppbyggnaden av uppgiften. Formuleringarna i uppgiften menar jag att det är långa uppgifter med mycket text och information, där eleverna måste hålla reda på flera olika premisser för att kunna lösa uppgiften i fråga. Det visade sig i min undersökning att majoriteten har problem med formuleringarna i uppgiften dvs. när uppgiften är lång och mycket information ges då har eleverna svårt att hålla isär informationen. Uppgift 1, 2, 3, 4, 5 och 7 är uppgifter som tillsammans med intervjufrågorna hjälper mig att förstå att eleverna har problem med formuleringen. Detta visar att uppgift 5 är en uppgift som består av en lång formulering utan några ”krångliga” ord dvs. matematiska begrepp. Denna uppgift hade eleverna stort problem med att förstå vilket hjälper mig att besvara min frågeställning. Uppgift 6 och 8 hjälper mig att se att elever har problem med matematiska begrepp. Dessa begrepp är ord som differens, summa, kvot, fler än och även många andra koncept. Detta är det som Magne (2003) skriver att matematiksvårigheter hänger ihop med förståelsen av uppgifter. Även Möllehed (2001) bekräftar detta då han skriver att när eleverna misslyckas med tolkandet av uppgiften eller om slarvfel begås då leder detta till ett felaktigt svar av lösningen på uppgiften. Här kan jag tillägga att förutom att eleven måste förstå texten i uppgifterna till sitt huvudsakliga innehåll så måste han/hon även vara införstådd med ord och matematiska begrepp. Jag anser att när eleven inte förstår de matematiska begreppen då blir det svårare för eleven att förstå uppgiften och därför blir den information som behövs för att lösa uppgiften otillräcklig. Många elever har kunnat lösa en stor del av uppgifterna utan några problem, dessa elever kallar jag duktiga i fortsättningen. Dessa elever är enligt Krutetskii de duktiga elever som undersöker texten i uppgiften för att se vilken information som finns tillgänglig och söker sedan lösningen i en riktning tills de löser uppgiften rätt, Möllehed (2001). Efter intervjuerna så visade sig att de duktiga eleverna oftast

inte lämnar något svar på uppgiften om de inte förstår begreppen i uppgiften. Här kan kanske tilläggas att även prioriteringsregler ingår i detta problem. Detta fall kunde tydligt ses i uppgift 6.

Det intressanta var också att få se vilka ansatser eleverna väljer för att lösa de olika uppgifterna. Uppgift 6 är en uppgift som upplevs oftast av eleverna, i mina lektioner, som mycket enklare att lösa med hjälp av numerisk ansats. I det prov (bilaga 1) som eleverna har fått göra visas ganska tydligt att elever som förstår uppgiften kan lätt använda sig av en algebraisk ansats för att lösa problemet. Detta visades tydligt i samtliga uppgifter där matematiska begrepp inte var inblandade. Det man tydligt ser när man rättar provet är att i uppgift 6 så förstår inte eleverna de olika matematiska begreppen och blir väldigt osäkra och därmed lämnar inget svar på uppgiften trots uppmaning om att svar måste lämnas. Eleverna misslyckas ofta med att lösa uppgiften rätt pga. det som Möllehed (2001) tar upp om att när eleven sätts inför problemlösning så ska han/hon först tolka och reda ut problemet innan de matematiska kunskaperna kan användas och att förutom att eleven måste förstå texten i uppgifterna till sitt huvudsakliga innehåll så måste han/hon även vara införstådd med ord och matematiska begrepp. Annat som jag kunde se när jag rättade provet var att när uppgifterna var korta dvs. lite text och lite information då valde oftast en stor majoritet av eleverna att använda sig av en numerisk ansats. Kanske för att det är ganska så lätt att kontrollera om uppgiften är löst rätt. Detta stöds även av Piaget’s teori om att eleverna helst använder sig av försök – misstag metoden dvs. numerisk ansats än någon ekvation Möllehed (2001). Uppgift 7 är en kort uppgift med lite text men mycket enklare att lösa med hjälp av en algebraisk ansats detta visar även eleverna genom att de flesta försöker använda sig av just en algebraisk ansats. Eleverna använder sig oftast av en algebraisk ansats då uppgiften är lång innehåller mycket text och där mycket information ges. Detta stöds av Möllehed (2001) då han använder sig av termen ”matematiska begrepp” som betyder att eleverna missförstår innebörden av matematiska begrepp så som kvot, produkt, differens etc. Möllehed skriver också att om eleven ska förstå texten i uppgifterna till sitt huvudsakliga innehåll så måste han/hon även vara införstådd med ord och matematiska begrepp. Bland de 18 elever som jag intervjuat är det 12 elever som löst de flesta uppgifterna med hjälp av ekvationer och fått rätt svar. Dessa 12 elever har också löst uppgiften fel eller inte lämnat lösning på någon eller några uppgifter. De 6 resterande eleverna är elever som inte löst uppgifterna med hjälp av en algebraisk ansats men som fått rätt resultat på de flesta uppgifterna och fel resultat på någon av uppgifterna.

7.2 Metoddiskussion

När det gäller intervjufrågorna så tycker jag att jag har lyckats ganska bra. Jag anser att frågorna i min undersökning är relevanta och att jag får de svar som hjälper mig att besvara min frågeställning. Trots våra uppmaningar om att eleverna ska skriva ner sina tankar och sina svar så har de inte gjort det. Det leder till att jag ofta får dra egna slutsatser. Till exempel då eleverna bara skrivit svar så har jag dragit slutsatsen att de på ett annat papper har använt sig av en numerisk beräkning och oftast av prövning. Trots detta så anser jag att arbetet är av god kvalité och ger en bra bild av hur eleverna och deras kunskaper ser ut idag. Detta arbete ger också bra svar på om det finns svårigheter för elever i att förstå de matematiska begrepp eller formuleringarna i de olika matematikuppgifterna. Man kan tydligt se att svårighetsgraden på uppgiften avgör metoden som kommer att användas vid lösningen. Vidare kan man på många uppgifter utläsa att elever hellre använder metoden prövning än att ställa en ekvation. Denna metod är metoden som anges av Piaget (Möllehed 2001) att elever i de konkreta operationernas stadium hellre använder sig av försök-misstag, som är då prövning. Prövningen är mycket olika i sin struktur, från slumpmässiga till strikt systematisk som samtidigt anger elevers olika utvecklingsnivåer. Av min studie kan man dra slutsatsen att de duktiga eleverna kan se samband mellan delar och helhet, eleverna kan hämta in det data som behövs för att kunna lösa ekvationerna med hjälp av en ekvation. Resten av eleverna förstår inte uppgiften vilket försvårar för dem att se sambandet mellan elementen. Duktiga elever kan oftast generalisera dvs. ser att problemen är av samma typ och därför använder de sig av samma lösningsstrategi. När eleverna har svårt att hämta information då tvingas de att gissa. Enligt Krutetskii undersöker duktiga eleverna texten i uppgiften för at se vilken information som finns tillgänglig och söker sedan lösningen i en riktning tills de löser uppgiften rätt Möllehed (2001). Vidare skriver han att det viktigaste är att förstå problemet. Här kan man tycka att det viktiga är att penetrera problemet i alla sina delar, att förstå delarnas inbördes sammanhang och klargöra frågeställningen, på så sätt så kan man lätt hitta lämplig ekvation för att lösa ekvationsproblemet. Svårigheter i att lösa uppgifter brukar sägas vara brister i matematiska kunskaper men även okunskapen om de olika matematiska orden enligt Möllehed (2001). Malmer (1996) anser också att det är brister i begreppen som bidrar till matematiksvårigheter. Eleverna har många gånger svårt att uppfatta innehållet i textuppgifter fast de behärskar de matematiska operationerna. Som kommande studie

kan jag rekommendera att försöka göra detta arbeta ännu större då mitt arbete är ganska begränsat, man kan ta och göra samma typ av undersökning på flera skolor. Intressant vore även att kunna se om det finns samband mellan ämnet svenska och matematik när det gäller just matematiksvårigheter och läs och skrivsvårigheter.

Källförteckning

Adler, B. (2001) Vad är dyskalkyli? NU förlaget. Kristianstads boktryckeri AB (2001). ISBN 91-89533-00-3

Bergsten, Ch. Häggström, J. Lindeberg, L. (1997) Algebra för alla. Upplaga 1:9. Grafikerna Liverna i Kungälv AB (2004). ISBN 91-88450-08-2

Bryman, A. (2002) Samhällsvetenskapliga metoder. Upplaga 1:2. LundaText AB. ISBN 91 47 06402-1

Gennow, S. Gustavsson, I. Johansson, B. Silborn, B. (2003) Exponent A- Matematik för

gymnasieskolan. Gleerups utbildning AB Värnamo 2003. ISBN 91-40-63859-6.

Holmström M./Smedhamre E.(1994) Matematik från A till E. Liber AB 1994. ISBN 91-47-00101-1.

Johansson, B. & Svedner, P. O. (2004). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget. ISBN 91-89040-36-8

Kay, J. & Yeo, D. (2003). Dyslexia and maths. David Fulton Publishers Ltd. ISBN 1 85346 965 3

Kvale, S. (1997). Den Kvalitativa forskningsintervjun. Lund, Studentlitteratur. ISBN 91 44 00185 1.

Ljungblad, A. (1999). Att räkna med barn med specifika matematiksvårigheter. Argument förlag AB 1999. ISBN 91 89036 39 5.

Magne, O. (2003). Literature on Special Educational Needs in Mathematics. 4th _edition.

School of Education, Malmö University.

Magne, O. (1980). Matematik, inlärningen i grundskolan. Bloms Boktryckeri, 1980.

Malmer, G. (2002) Bra matematik för alla - Nödvändigt för elever med

inlärningssvårigheter. 2:a upplagan. Studentlitteratur 1999, 2002. ISBN 91-44-02402-9

Malmer, G. & Adler, B. (1996). Matematiksvårigheter och dyslexi. Lund. Studentlitteratur. Malmer, G (2000). Mathematics and Dyslexia - An overlooked connection, Dyslexia 6. Möllehed, E. (2001). Problemlösning i matematik –en studie av påverkansfaktorer i

årskurserna 4-9. Reprocentralen, Lärarutbildningen 2001. ISBN 91-88810-20-8

Nationalencyklopedin (2005). http://www.ne.se, (läst den 050215)

Patel, R. & Davidson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder. Att planera, genomföra och rapportera en undersökning. (3:e upplagan). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02288-3

Sterner, G. Lundberg I. (2002). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. Upplaga 1:4. Grafikerna Liverna i Kungälv AB (2004). ISSN 1650-335X

Bilaga 1

Hjälpmedel: miniräknare.

Tid 50 minuter.

1. Stina och Per får tillsammans 30 kr för att de hjälpt till att plocka jordgubbar. Eftersom Stina plockat flest jordgubbar ska hon ha 5 kr mer än Per. Hur mycket får var och en?

2. Mohammed och Mustafa ska dela på 18 kr så att Mohammed får dubbelt så mycket som Mustafa. Hur mycket får var och en?

3. Ivar har två askar chokladkulor och 21 extra chokladkulor medan Vera har 4 askar och 5 extra chokladkulor. Ivar och Vera har lika många chokladkulor. Hur många chokladkulor finns det i en ask?

4. Vid en trafikkontroll kunde man räkna in 7 gånger så många personbilar som bussar. Samtidigt visade det sig att det hade gått förbi 25 fler lastbilar än bussar. Sammanlagt hade 133 personbilar, bussar och lastbilar passerad. Hur många personbilar hade man kunnat räkna in?

5. Förra året då Sven och Lisa åkte på semester till Danmark växlade de till sig 3 000 danska kronor. För att få 100 danska kronor måste de betala 92 svenska kronor. I år planerar de också att åka till Danmark men får då 80 danska kronor för 100 svenska kronor. De tänker även i år växla till sig 3 000 danska kronor. Hur mycket dyrare i svenska kronor blir det att semestra i Danmark i år än i fjol för Sven och Lisa?

6. Pavel tänker på ett tal, han lägger till 12 och dividerar summan med 3. Sedan subtraherar han 11 från kvoten samt multiplicerar med 4. Vilket tal tänkte Pavel på om produkten blir 8?

7. Arvid, Isak och Sara ska dela på 110 000 kr så att Arvid får 6 000 kr mer än Isak och Sara får dubbelt så mycket som Arvid. Hur mycket får Sara?

8. Differensen av två tal är 62. Det ena talet är 5 gånger så stort som det andra talet. Vilka är talen?

Bilaga 2

Intervjufrågor:

Hur tänkte du när du löste uppgiften?

Om inte uppgiften löst, vad var det i uppgiften som gjorde att du var/blev osäker?

Hur skulle du vilja lösa uppgiften?

Hur tolkar du uppgiften?

Vad i uppgiften inte går att förstå?

39

Bilaga

3.

Hej!

Mitt namn är Armend Aliu och är student som utbildar mig till behörig lärare vid universitetet i Växjö.

Jag håller på med mitt examensarbete där jag vill undersöka om det är matematiska begreppen eller om det är formuleringarna i matematikuppgifterna som eleverna har svårt att förstå och samtidigt vill undersöka vilka strategier som eleverna använder sig av. Här ska jag intervjua ett antal elever. Klassen som ska intervjuas är den klass där ert barn går i.

Intervjuerna spelas in på band. Det är endast intervjuaren som har tillgång till banden och dessa band kommer att förstöras direkt efter utskrift.

Intervjupersonerna kommer inte att kunna identifieras i undersökningen. Skolorna i undersökningen kommer endast att benämnas med fingerade namn.

Underskrifter av målsman önskas.

Om du som förälder inte önskar att ditt/dina barn intervjuas önskar jag att du snarast skickar med en lapp till skolan eller ringer undertecknad senast den 16/3 2005.

Med vänlig hälsning Armend Aliu Tel.nr. 0470-xxx-xx Mobil 070xxxxxx

Underskrifter.

Växjö

universitet

Matematiska och systemtekniska institutionen SE-351 95 Växjö

tel 0470-70 80 00, fax 0470-840 04 www.msi.vxu.se