Lösningar eller svar till
problemsamling 3
1. BEVIS (Motsägelsebevis) Antag att p är ett primtal och att p =m
n. Då följer att
n2p = m2
Eftersom en kvadrat måste ha ett jämnt antal primtalsförekomster av varje ingående primtalsfaktor följer att likheten ovanför uttrycker något motsägelsefullt. Nämligen att talet som beskrivs av vänsterled och högerled har både ett jämnt antal och ett udda antal p -förekomster i sin primtalsfaktorisering. (Det senare motsägs av entydigheten i fundamentalsatsen.)
2. HFELsexton=25410=111111102
3. Basen b är lika med 8.
4. (a) Reflexivitet? Nej, ty m R m är inte sann då m = 1. Symmetri? Ja, för alla m, n œ !+ gäller m R n ï n R m.
Transitivitet? Nej. Ty 1 R 3 Ï 3 R 1, men inte 1 R 1. (b) Reflexivitet? Ja, ty n \n för alla n œ !. Symmetri? Ja.
Transitivitet? Nej. Ty 3 R 1 och 1 R 2 är sanna, men 3 R 2 är falsk. (c) Reflexivitet? Nej. Ty 0 ÿ 0 = 0. Symmetri? Ja. Transitivitet? Ja.
5. f HxL = 2 x
0 1
0 2
6. f HnL antar alla jämna ickenegativa heltalsvärden för n ¥ 0 och alla udda positiva heltalsvärden för n < 0. Således är f en surjektion från ! till ".
Att f är en injektion från ! till " följer av att f är avtagande när f antar udda värden och växande när jämna värden antas.
7. Behöver visa att n3+3 inte är delbart med 3 om n ª31 eller n ª3-1
7. Behöver visa att n3+3 inte är delbart med 3 om n ª31 eller n ª3-1
n ª31 ï n3+3 ª31 + 3 ª32
n ª3-1 ï n3+3 ª3-1 + 3 ª32
8. 5
9. 17 ª73 ï 1717 ª7317 = I33M5 32 = H27L5 9 ª7H-1L5 2 ª7-2 ª75
10. Den avslutande siffran är lika med resten vid division med 10. Därför behöver vi "bara" göra lite kongruenskalkyl modulo 10.
97128 ª10?
Vi utnyttjar att a ª10b ï ak ª10bk.
97128 ª107128 ª10H-3L128 ª10964 ª10H-1L64 = 1
Härav, 97128 ª101. Alltså är den avslutande siffran lika med 1.
11. DEFINITION b ªnc om man kan ta sig från b till c genom att hoppa ett helt antal n-steg.
Nu bevisar vi att om heltalen x, y, z uppfyller x2+y2=z2 så är x ª30 eller y ª30. Räcker visa
x T30 och y T30 ï x2+y2!z2 för alla heltal x, y, z
Antag därför att
ingen av x och y är 3-kongruenta med 0 (1) Vi försöker nu visa att
x2+y2!z2 för alla heltal x, y, z (2)
Av (1) följer att x ª3"1 och y ª3"1.
En följd av detta blir i sin tur att x2 ª31 och y2 ª31. Därför kan vi konststera att x2 + y2 ª3 1 + 1 ª3 2.
För att visa (2) räcker det att visa att z2 T3 2 för varje heltal z. Det senare är lätt att göra med kongruenskalkyl:
z ª30 ï z2 ª30
z ª31 ï z2 ª31
z ª3-1 ï z2 ª31
