“Likhetstecknet betyder ju att det ska vara lika mycket det är punkt slut.” : -En studie om hur elever ges möjlighet att urskilja kritiska aspekter av likhetstecknets inne- börd under en lektion.

ÖREBRO UNIVERSITET

Grundlärarprogrammet, inriktning F-3 Matematik

Självständigt arbete avancerad nivå, 15hp Vårterminen 2020

“Likhetstecknet betyder ju att det ska

vara lika mycket det är punkt slut.”

inne-börd under en lektion.

Rebecca Landqvist

The equality sign means that it should be the same, end of

discus-sion.

-A study about how students are given possibilities to discern critical aspects of the meaning of the equality sign

The aim of this study is to research and bring knowledge about how the meaning of the equality sign can be taught in a Swedish classroom. The research focuses on how a teacher creates possibilities for the students to discern critical aspects of the meaning of the equality sign through patterns of variation. The data was collected by using stimulated recall during one lesson in a year 2 classroom with a teacher who has been working as a teacher for ten years. The collected material was analysed with inspiration from the variation theory. The result shows that four critical aspects were made visible to the students. This was done through dif-ferent patterns of variation that was created by the use of difdif-ferent forms of representation.

Key words: mathematics, teaching, equals sign, primary school, stimulated recall,

varia-tion theory

Sammanfattning

Syftet med denna studie är att undersöka och bidra med kunskap om hur undervisningen om likhetstecknets innebörd kan se ut i ett svenskt klassrum. Det som undersöks är hur en lärare skapar möjlighet för eleverna att urskilja kritiska aspekter av likhetstecknets innebörd genom variationsmönster. Datainsamlingen genomfördes genom stimulated recall i en åk 2 med en lärare som har tio års arbetslivserfarenhet som lärare vid ett undervisningstillfälle. Analysen av datamaterialet gjordes med inspiration från variationsteorin. Resultatet visade att fyra kritiska aspekter gjordes möjliga för eleverna att urskilja. Detta gjordes genom olika variationsmönster som skapades genom användandet av öppna utsagor och olika representationsformer.

Nyckelord: matematikundervisning, likhetstecknet, stimulated recall, variationsteori,

Innehållsförteckning

Likhetstecknets betydelse och elevers förståelse ... 4

Hur lärare kan påverka elevers förståelse för likhetstecknet ... 6

Teoretisk ram ... 7

Variationsteorin ... 7

Variationsteori och likhetstecknet. ... 10

Metod ... 11 Urval ... 11 Datainsamlingsmetod ... 13 Observation. ... 13 Intervju. ... 14 Dataanalys ... 14 Analysmetod ... 15 Etiska överväganden ... 16

Reliabilitet och validitet ... 17

Resultat och analys ... 18

Sammanfattning av den observerade lektionen ... 18

Lärandeobjekt ... 19

Kritiska aspekter och hur eleverna får möjlighet att urskilja dem ... 21

Kritisk aspekt: en matematisk utsaga måste läsas från vänster till höger utan att hoppa över något steg eller välja ordning själv. ... 21

Kritisk aspekt: likhetstecknet betecknar numerisk ekvivalens. ... 27

Kritisk aspekt: vänster- och högerled ska ha samma värde för att likhetstecknet ska gälla. ... 29

Kritisk aspekt: differensen mellan vänster- och högerled kan adderas eller subtraheras för att likhetstecknet ska gälla. ... 31

Diskussion ... 34

Sammanfattning av huvudresultaten ... 34

Resultatdiskussion... 35

Metoddiskussion ... 37

Fortsatta studier ... 39 Referenser ... 41 Bilagor ... 43 Bilaga 1 ... 44 Bilaga 2 ... 45 Bilaga 3 ... 46

1

Inledning

Likhetstecknet är ett centralt begrepp inom matematiken. I läroplanen ingår likhetstecknets betydelse i åk 1-3 uttryckt som ”Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse” (Skolver-ket, 2018, s.55). Eleverna ska kunna använda och förstå likhetstecknet som statiskt och dyna-miskt (Skolverket, 2014). En dynamisk innebörd av likhetstecknet kommer till uttryck genom ”blir lika med” och uppmanar till att en beräkning ska utföras (Rittle-Johnson, Matthews, Tay-lor & McEldoon, 2011). Den statiska innebörden kan uttryckas med ”är lika med” och innefat-tar förståelse för numerisk ekvivalens, ”Mathematical equivalence, typically represented by the equal sign, is the principle that two sides of an equation represent the same value” (Rittle-Johnson et al., 2011, s.0). En vanligt förekommande svårighet hos elever är dock att tolka och förstå likhetstecknets statiska innebörd, de fastnar ofta vid en dynamisk förståelse (McNeil, 2008).

Utvecklingen av förståelse för likhetstecknets innebörd kan dock anses mer komplicerad än att eleverna går direkt från dynamisk till statisk förståelse utan några mellansteg. Rittle-Johnson et al. (2011) beskriver det som ett kontinuum där elevernas utveckling kan ligga på olika nivåer i olika typer av uppgifter. Molina, Castro och Castro (2009) beskriver även de att eleverna som deltagit i deras studie gav uttryck för att inneha förståelse för likhetstecknets innebörd på fler nivåer än statisk och dynamisk. De belyser även att det finns ett antal betydel-ser av likhetstecknet som används i olika avseenden, vissa mer problematiska än andra. Ele-verna visade en förmåga att kunna använda sig av flera betydelser av likhetstecknet, till synes utan förvirring för att lösa en och samma eller olika matematiska uppgifter (Molina et al., 2009).

Hur kan då elevers förståelse för likhetstecknet utvecklas? Det finns olika metoder som lärare kan använda för att gynna elevers förståelse enligt forskning. Ett exempel är att låta elever möta öppna utsagor och påståenden som inte följer den aritmetiska standarden, där en operation följs av likhetstecknet och sedan svaret (operation=svar) (McNeil, 2008; McNeil, Fyfe, Petersen, Dunwiddie & Brletic-Shipley, 2011; McNeil, Fyfe & Dunwiddie, 2015; Powell, Driver & Julian, 2015). Det är även genom denna typ av uppgifter som elevers kunskaper om likhetstecknet testas i Skolverkets (2019) bedömningsmaterial Nationellt bedömningsstöd i

tal-uppfattning för åk 1-3. Eleverna ska då fylla i det tal som saknas i uppgifter som: 8=_+2

(Skol-verket, 2019).

Lo, Marton, Pang och Pong (2004) lyfter fram att allt eftersom en lärare samlar på sig yrkeserfarenhet bygger de upp kunskap om elevers olika sätt att erfara specifika koncept eller

2 fenomen, därmed bygger de även upp olika sätt att bemöta dessa olikheter. Sådana kunskaper är värdefulla och viktiga att de identifieras och framförallt delas med andra lärare (Lo et al., 2004). Därmed finns det ett intresse i att studera hur undervisningen om likhetstecknets inne-börd kan se ut i praktiken i ett klassrum. Förhoppningen med denna studie är att den kan bidra med sådan kunskap från en yrkesverksam lärare, kopplat till variationsteorin, till andra lärare och lärarstudenter. Mer specifikt ska studien bidra med hur en lärare kan möjliggöra för elever att urskilja kritiska aspekter som är nödvändiga för att skapa förståelse för likhetstecknets in-nebörd. För att göra detta används stimulated recall som datainsamlingsmetod, där en lektion observeras, följt av en intervju med läraren utifrån lektionen. Vad som behandlas under lekt-ionen kommer sedan att analyseras med inspiration från variationsteorin för att se hur eleverna får möjlighet att urskilja kritiska aspekter av likhetstecknets innebörd. En variationsteoretisk analys av ett undervisningstillfälle kan ge förståelse för förhållanden som är nödvändiga för att lära sig någonting på ett specifikt sätt, genom att fokus ligger på lärandeobjektet (Runesson, 2005).

Syfte

Syftet med denna studie är att utifrån inspiration från variationsteorin studera och bidra med kunskap om hur en lärare kan skapa möjlighet för eleverna att urskilja kritiska aspekter för att skapa förståelse för likhetstecknets statiska innebörd.

Frågeställningar

• Hur kan lärare möjliggöra för elever att urskilja kritiska aspekter av likhetstecknets innebörd?

• Hur kan variationsmönster av kritiska aspekter spännas upp?

3

Litteraturgenomgång

Detta avsnitt avser att redogöra för hur likhetstecknets innebörd framställs i Skolverkets styrdokument, samt hur elevers förståelse för likhetstecknet kan se ut och hur lärare enligt ti-digare forskning kan utforma undervisningen för att gynna elevers statiska förståelse för lik-hetstecknet.

Likhetstecknet i styrdokumenten

Algebraisk kunskap, där förståelse för likhetstecknets betydelse ingår är en viktig del för att förstå flera stora delar inom matematiken. Algebraisk kunskap är nödvändig för att kunna föra generella resonemang vid problemlösning, kunna använda matematiska modeller, föra re-sonemang inom geometri samt inom området samband och förändring (Skolverket, 2017). Skolverket (2017) beskriver algebraisk kunskap som att man kan uttrycka beräkningar på ett generellt sätt genom att använda bokstavsbeteckningar istället för tal. De grundläggande de-larna inom algebraisk kunskap utöver aritmetiska kunskaper inkluderar likhetstecknets inne-börd, bokstavsbeteckningar och variabelbegreppet (Skolverket, 2017).

Undervisning i matematik ska innefatta likhetstecknets betydelse enligt Lgr11, vilket finns med under centralt innehåll åk 1-3. Under algebra är det utryckt som ”Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse” (Skolverket, 2018, s.55). Detta innehåll beskrivs i kommentar-materialet som viktigt för att ge elever en grund till att skapa förståelse för att tomrum i mate-matiska likheter kan ersättas med en bokstav. Därmed ges en förförståelse för variabelbegrep-pet och obekanta tal (Skolverket, 2017).

I Skolverkets material Bedömning för lärande i matematik (2014) beskrivs vad lärare ska fokusera på vid bedömning av elevers kunskaper under de olika punkterna i centralt innehåll. Gällande likhetstecknets betydelse och matematiska likheter ska bedömningen fokusera på i vilken grad elever använder, uttrycker, eller visar kunskaper om likhetstecknets olika innebörd, dynamisk eller statisk. Exempel på dynamisk innebörd är matematiska uppgifter som 3+8=_, ett exempel som visar likhetstecknets statiska innebörd är _=3+8. På samma sätt ska elevers kunskaper om skillnaden mellan likhet (=), inte likhet (≠) och olikhet (>,<) bedömas. Bedöm-ningen ska vidare fokusera på hur väl eleven använder likhetstecknet, alltså att vänster och höger led är olika uttryck för samma tal och bestämmer värden av obekanta tal i enkla likheter, som exempelvis 15-_=8; 20=_+12; 8+7=5·_; _-3=7. Hur väl eleven med hjälp av olika ut-trycksformer som bilder, ord och eller matematiska symboler redovisar sina tankar om likhets-tecken och likheter skall även bedömas. Det ska också bedömas hur väl eleven ställer och

4 besvarar frågor om likhetstecknets betydelse (Skolverket, 2014). Dessa punkter förekommer för åk 1-3, men finns med även högre upp i skolåren.

Skolverkets bedömningsunderlag Nationellt bedömningsstöd i taluppfattning, matematik i

årskurs 1-3 är obligatoriskt att använda i åk 1, men finns även för höstterminen och vårterminen

i åk 2 samt höstterminen i åk 3 (Skolverket, 2019). Bedömningsunderlaget består i åk 2 av en muntlig och en skriftlig del. Den muntliga delen genomförs först och sedan bedömer läraren vilken av tre nivåer som varje elev ska genomföra det skriftliga testet på (Skolverket, 2019). Förståelse för likhetstecknets betydelse är ett av de kunskapsområden som testas i de skriftliga delarna (Skolverket, 2019). Den klass som ingår i denna studie har precis genomfört bedöm-ningen för vårterminen i åk 2. Detta bedömningsstöd är ämnat att agera som stöd för lärarens bedömning, följa upp elevernas utveckling och identifiera missuppfattningar eller svårigheter på individ- eller gruppnivå hos eleverna i klassen (Skolverket, 2019).

Likhetstecknets betydelse och elevers förståelse

Ett likhetstecken kan sättas mellan två uttryck som kan placeras på samma plats på en tallinje (Sollervall, 2015). När vi möter likhetstecknet finns det olika sätt att tänka kring det. vanligen uttryckt som “är” eller “blir” (Sollervall, 2015). Det lyfts dock fram fler betydelser av likhetstecknet av olika forskare. Molina et al. (2009) tar upp elva olika betydelser som givits till likhetstecknet på olika sätt av matematiker, elever eller läroböcker i bakgrunden på sin studie. Några av dessa är olika uttryck för att representera en operation, eller att en operation skall utföras (Molina et al., 2009).

Under kategorin uttryck för ekvivalens, i Molina et al. (2009) lista, då likhetstecknet an-vänds för att relatera ett matematiskt objekt uttryckt på två olika sätt återfinns olika typer av ekvivalens: numerisk ekvivalens, symbolisk ekvivalens och ekvivalens per definition eller no-tation. Numerisk ekvivalens är en statisk innebörd av likhetstecknet som då betecknar att två aritmetiska uttryck med samma värde är lika. Andra sätt att använda likhetstecknet på är att definiera matematiska objekt eller att ange ett värde på en symbol (ex. X=5) (Molina et al., 2009).

Resultatet av Molina et al. (2009) studie visade att eleverna använde sig av fyra olika be-tydelser för likhetstecknet när de genomförde uppgifter de blivit tilldelade. De använde två dynamiska betydelser: operator och uttryck för en händelse, samt två statiska: numerical

equi-valence och numerical sameness. När eleverna skulle lösa uppgifter i form av öppna utsagor

ledde förståelse för numerisk ekvivalens och likhetstecknet som en statisk symbol till att de löste uppgifterna korrekt. Om de inte hade den förståelsen, utan istället använde sig av någon

5 av de dynamiska betydelserna var några vanliga misstag att de antingen ignorerade delar av utsagan, kombinerade delar från olika sidor av likhetstecknet, räknade samman alla tal i utsa-gan eller läste vissa delar baklänges. Numerical sameness skapade problem för eleverna då denna förståelse innebär att samma tal måste finnas på båda sidor om likhetstecknet för att det ska vara ett sant påstående, exempelvis betraktas 12-5=5-12 som sant, medan 17-12=16-11 kan betraktas som falskt (Molina et al., 2009).

Eleverna i Molina et al. (2009) accepterade att likhetstecknet kan ha olika betydelser och kunde använda en eller flera av dessa betydelser för att lösa uppgifterna de fått. Vilka betydel-ser, eller hur de använde dessa analyserades sedan för att ta reda på vilken förståelse som ele-verna hade för likhetstecknets innebörd. De identifierade tre nivåer av förståelse för likhets-tecknets innebörd där den lägsta är en operationell förståelse, steg två är ostabil förståelse och den högsta benämner de som en avancerad förståelse (Molina et al., 2009). Likt Molina et al. (2009) anser Rittle-Johnson et al. (2011) att elevers utveckling av förståelse för likhetstecknets betydelse kan befinna sig på fler nivåer än statisk och dynamisk. De beskriver det som ett kontinuum där fyra olika nivåer i detta kontinuum förtydligas.

De fyra nivåer som Rittle-Johnson et al. (2011) beskriver startar på nivå ett: rigid

operat-ional. Denna förståelsenivå innebär att eleverna definierar likhetstecknet som dynamiskt och

att de endast kan lösa uppgifter på formen operation=svar (a+b=c). Detta inkluderar även om det tal som saknas är före likhetstecknet. Den andra förståelsenivån flexible operational innebär att eleven fortfarande har en dynamisk syn på likhetstecknet men kan lösa och förstå icke ty-piska ekvationsstrukturer som fungerar i samband med en dynamisk syn på likhetstecknet, där operationen är till höger (c=a+b) eller en likhet utan någon operation (a=a). Elever som befin-ner sig på den tredje nivån basic relational kan hantera uppgifter som har operatiobefin-ner på båda sidor om likhetstecknet (a+b=c+d; a+b-c=d+e). Dessa elever kan även förstå likhetstecknets statiska innebörd. De elever som nått den fjärde nivån comparative relational kan förutom det tidigare nämnda även lösa ekvationsuppgifter genom att jämföra uttrycken på vardera sida om likhetstecknet. De förstår att likheten fortsätter gälla om samma operation utförs på båda sidor samtidigt, samt anser att den statiska definitionen av likhetstecknets innebörd är den bästa (Rittle-Johnson et al., 2011).

Rittle-Johnson et al. (2011) skriver att hur väl elever förstår konceptet numerisk ekvivalens kan mätas på olika sätt och kan därmed ge olika resultat på huruvida eleverna anses ha förstå-else för det. Numerisk ekvivalens är principen att två sidor av en ekvation har samma värde och betecknas ofta med ett likhetstecken. Tre vanliga sätt att mäta elevers kunskaper om nu-merisk ekvivalens är för det första genom att låta dem lösa ekvationslösande uppgifter (ex.

6 8+4=_+5). För det andra genom ekvationsstrukturuppgifter, som att bestämma huruvida ett påstående är sant eller falskt (ex. 3+5=5+3). Eller för det tredje genom att definiera vad lik-hetstecknet betyder (Rittle-Johnson et al., 2011). Trots att barn tidigt har visat en typ av förstå-else för numerisk ekvivalens genom att sortera objekt i två lika stora högar verkar det vara svårt att överföra denna kunskap till att lösa och tolka skrivna ekvationer. Vanligt är att elever ten-derar att tolka det som att en operation ska utföras eller att en likhet endast kan vara en likhet om det finns en operation på vänster sida om likhetstecknet. För att exempelvis acceptera att 3=3 är giltigt kan elever behöva skriva om det på formen 0+3=3 (Rittle-Johnson et al., 2011).

Hur lärare kan påverka elevers förståelse för likhetstecknet

Det finns forskning om olika undervisningsmetoder och knep som lärare kan använda för att gynna elevers utveckling av förståelse för likhetstecknets statiska innebörd. Här nedan kom-mer några av de metoder som visat sig kunna stärka elevers förståelse för likhetstecknets sta-tiska innebörd att kort presenteras.

För att gynna elevers förståelse för likhetstecknets statiska innebörd kan man låta elever möta öppna utsagor och påståenden där likhetstecknet inte enbart placeras till höger om en operation där summan förväntas skrivas till höger. Även där det kan placeras med en räkneop-eration till höger och en summa till vänster eller med en opräkneop-eration på var sida om likhetstecknet, kan deras förståelse för likhetstecknets betydelse stärkas (McNeil, 2008). Eleverna i flera stu-dier har visat en djupare förståelse för numerisk ekvivalens och likhetstecknets innebörd efter att ha mött olika typer av öppna utsagor och påståenden i modifierade matematikböcker eller genomgångar (McNeil, 2008; McNeil et al., 2011; McNeil et al., 2015; Powell et al., 2015). Även ordningen på uppgifter kan ha inverkan på förståelsen för likhetstecknets innebörd. En studie visade att elevers förståelse kan stärkas genom att de får arbeta med uppgifter sorterade i grupper där de har samma summa (McNeil, Chesney, Matthews, Fyfe, Petersen, Dunwiddie, & Wheeler, 2012).

Något annat som visat kunna gynna elevers förståelse för likhetstecknet är användningen av olika representationsformer. Ett föremål som kan användas för att stärka elevers förståelse är en balansvåg. Mitten på balansvågen ska då representera likhetstecknet. Vågen användas för att experimentera med vad som händer när innehållet i de två vågskålarna förändras (Kurz, 2013). Ett annat sätt som kan bidra till att förstärka förståelsen för att likhetstecknet betecknar en relation mellan vänster- och högerled är att jämföra det med symbolerna större än och mindre än (>,<). Detta då även dessa symboler beskriver relationen mellan vänster- och höger-led (Hattikudur & Alibali, 2010).

7 Att använda icke symboliska representationer kan vara gynnande för elevers förståelse, då svårigheten i förståelsen för numerisk ekvivalens kan sitta i de matematiska symbolerna (Sher-man & Bisanz, 2009). Undervisning utan matematiska symboler kan vara främjande för elevers förståelse (Chow & Wehby, 2019). Elever i en studie presterade bättre när de löste uppgifter av typen 3+4=__+5 representerade med bilder eller historier istället för matematiska symboler (Driver & Powell, 2019). Vidare kan undervisning som inkluderar lästal vara gynnande för att utveckla elevers statiska förståelse för likhetstecknet (Barlow & Harmon, 2012; Powell & Fuchs, 2010).

Cook, Duffy och Fenn (2013) har i sin studie kommit fram till att elever som fått ta del av instruktioner som belyser att båda sidorna om likhetstecknet i en utsaga ska ha samma värde där läraren samtidigt rör handen under den sida om likhetstecknet som denne talar om preste-rade bättre i eftertesten än vad de elever gjorde som fick iaktta precis samma undervisnings-moment men utan några handrörelser.

Teoretisk ram

Nedan presenteras variationsteorin. Ett variationsteoretiskt perspektiv används genom hela metoden från planering och samtalet med läraren till analysen av det insamlade materi-alet. För att analysera hur läraren har gjort det möjligt för eleverna att urskilja kritiska

aspekter av lärandeobjektet som gestaltas. Begreppen lärandeobjekt, kritisk aspekt och variat-ionsmönster presenteras. Det argumenteras även för varför det är en lämplig teori att utgå ifrån i detta arbete och vad en sådan analys kan visa på.

Variationsteorin

Variationsteorin härstammar från fenomenografin, som är en kvalitativt inriktad forsk-ningsansats (Wernberg, 2005). Den intresserar sig för att beskriva fenomen på det sätt som andra upplever det samt finna variationer i betraktelsen inom det fenomenet (Wernberg, 2005). Variationsteorin beskriver skillnader i lärande och bidrar med ett sätt att beskriva förhållanden som är nödvändiga för att lärande ska kunna ske (Runesson, 2006). Lärande innebär ur ett variationsteoretiskt perspektiv att erfara, förstå och vara medveten om kritiska aspekter av vad som lärs (Runesson, 2006) Det innebär att utveckla förmågor och kompetenser, att lära sig att se saker på ett visst sätt. Vidare handlar det inte om att hitta den bästa undervisningsmetoden, utan det handlar om att olika typer av variation krävs för allt lärande och därmed att undersöka

8 vilken form av variation i lärandeobjektet som används i en planerad undervisningssituation (Wernberg, 2005).

En lärare kan antas ge specifika matematiska uppgifter till sina elever med intentionen att de ska lära sig och förstå något specifikt på ett visst sätt (Runesson, 2005). Detta innebär enligt Runesson (2005) att lärandet har ett objekt och att det är lärandeobjektet som bör analyseras när ett undervisningstillfälle ska studeras. Det hon menar med detta är att ta reda på vilka aspekter av lärandeobjektet som eleverna gavs möjlighet att urskilja. För att kunna avgöra detta behöver både undervisningens utförande och vad läraren avsåg lära eleverna beskrivas (Ru-nesson, 2005).

I varje undervisningstillfälle repeteras och varieras olika aspekter, oavsett om de är avsikt-ligt eller ej (Ko & Marton, 2004). Genom att använda ett variationsteoretiskt perspektiv vid analys av ett undervisningstillfälle kan möjligheten som eleverna får att lära sig lärandeobjektet undersökas, genom frågor som; vilka aspekter av lärandeobjektet fokuseras? Och, var dessa aspekter möjliga för eleverna att urskilja? (Runesson, 2005). Ko och Marton (2004) uttrycker även de vikten av att uppmärksamma vad som varierar och vad som hålls konstant i en läran-desituation för att kunna förstå vad som är möjligt att lära sig eller inte lära sig under den lärandesituationen. I och med detta lämpar sig en analys med utgångspunkt i denna teori för att analysera det insamlade datamaterialet och svara på frågeställningarna i denna studie.

Det går inte att tvinga en elev att lära sig och alla elever har med sig olika erfarenheter in i klassrummet (Lo, 2012). Det är därmed inte givet att eleverna urskiljer det som läraren har för avsikt att de ska göra under ett undervisningstillfälle (Runesson, 2005; Wernberg, 2005). Därmed är det som studeras i denna studie vilka möjligheter som läraren skapar för att eleverna ska lära sig. Runesson (2005) argumenterar för vikten av att undersöka en undervisning med fokus på lärandeobjektet när vi försöker förstå undervisning och lärande i matematik. I sin artikel illustrerar hon detta genom att visa hur en sådan analys av undervisningssekvenser kan bidra med andra insikter än exempelvis en sociokulturell eller konstruktivistisk analys. Hon lyfter fram att en variationsteoretisk analys kan fungera som ett komplement till analyser uti-från dessa lärandeteoretiska perspektiv, eftersom att det bidrar med minst en annan infallsvin-kel (Runesson, 2005).

Ett lärandeobjekt är en utvald del som undervisningen handlar om, det kan vara en del av någonting som står i läroplanen (Lo, 2012). Det finns olika dimensioner av ett lärandeobjekt. Ett är det som läraren planerar och vill att eleverna ska lära sig det kan benämnas som det intentionella lärandeobjektet. Den andra är det iscensatta lärandeobjektet, det som faktiskt iscensätts under lektionen, lärandeobjektet kan ändras under lektionens gång beroende på hur

9 den utspelar sig samt att det kan vara så att det är något annat än det läraren tror som undervisas. Den tredje är det som en elev uppfattar och benämns som erfaret lärandeobjekt (Lo, 2012).

För att lärande ska ske krävs det en viss mängd och typ av variation. Variationen kan dock få motsatt effekt om för många delar varierar samtidigt eftersom det då kan bli svårt att urskilja vad som varierar (Wernberg, 2005). En dimension av variation kan medföra att det är lättare för elever att urskilja de aspekter som behöver urskiljas i lärandeobjektet (Runesson, 2005). Det är dock inte vilken variation som helst som krävs, utan en variation i vissa av de kritiska aspekterna som är nödvändig för att lärande ska ske (Runesson, 2006). I en lärandesituation öppnas ett läranderum upp genom en dimension av variation. Mönstret i variationen skapar möjlighet till lärande (Runesson, 2006). För att exempelvis kunna avgöra vad olika färger innebär gör vi det i jämförelse med andra färger. För att förstå vad tre är behöver vi erfara olika variationer av tre (Wernberg, 2005). Detta kan göras genom att olika föremål representerar tre, genom att antalet hålls konstant till tre, medan man kan variera mellan föremålen. Genom att föremålen varierar men inte antalet kan man urskilja att tre innebär ett antal och inte ett visst föremål. Ju fler aspekter av lärandeobjektet en elev har urskilt, desto större variation krävs för att urskilja nya. I en klass är alla elever sällan på samma stadie i förståelsen för ett fenomen (Wernberg, 2005). Läraren måste därmed vara lyhörd för var eleverna befinner sig i det speci-fika området för att kunna skapa flera dimensioner för lärande, och på så vis kunna möta flera elever där de befinner sig (Runesson, 2005; Wernberg, 2005). Nedan följer en kort presentation av variationsmönstren:

Kontrastering innebär att erfara olikheter för att förstå vad en kritisk aspekt innebär. Det

är lättare att urskilja vad något är om man får erfara vad något inte är. Exempelvis behöver läraren förutom att visa eleverna olika trianglar även visa vad det inte är genom att visa andra geometriska figurer för att lära eleverna vad en triangel är (Lo, 2012).

Separering, för att urskilja en kritisk aspekt från andra kritiska aspekter är det just den

kritiska aspekten som ska variera medan de andra hålls konstanta (Wernberg, 2009).

Generalisering innebär att erfara lärandeobjektets olika utföranden. Om vi återgår till

tri-angeln innebär det i detta variationsmönster att olika typer av trianglar presenteras. I dessa trianglar fokuseras då det som gör dem till trianglar och vad som är specifikt för varje triangel och aspekter som färg fokuseras inte (Wernberg, 2009).

Fusion, flera kritiska aspekter som behöver användas samtidigt behöver även erfaras

till-sammans (Wernberg, 2009). Även hur dessa kritiska aspekter relaterar till varandra och till lärandeobjektet som helhet behöver tydliggöras (Lo, 2012).

10 Att skapa en variation och struktur som möjliggör för eleven att urskilja kritiska aspekter i ett lärandeobjekt är lärarens uppgift (Wernberg, 2005). Läraren är den som måste urskilja vilka de kritiska aspekterna är för det berörda lärandeobjektet. De kritiska aspekterna är de aspekter som behöver förstås för att kunna definiera ett objekt. Utöver att identifiera de kritiska aspekterna för ett lärandeobjekt behöver läraren undersöka hur elevernas förståelse för objektet ser ut. Läraren behöver gå utanför sitt eget perspektiv och anta vad det är eleverna behöver för att lärande ska ske och undersöka vilka kritiska aspekter det är som behöver synliggöras i för-hållande till de berörda elevernas förståelse. Variationsteorin kan användas för att analysera vilka kritiska aspekter eleverna upplever som svåra, vilket kan bidra till att öka förmågan att utifrån ett elevperspektiv utveckla elevers lärande (Wernberg, 2005).

Variationsteori och likhetstecknet. Gällande likhetstecknet finns det flera kritiska

aspekter som elever måste ha förståelse för, för att uppnå de olika nivåerna av förståelse för

likhetstecknets innebörd som beskrivs i Rittle-Johnson et al. (2011). För att uppnå den högsta och fjärde nivån som de benämner som comparative relational behöver eleverna bland annat kunna lösa och tolka ekvationer genom att jämföra uttrycken på båda sidor om likhetstecknet. Har eleverna nått den andra nivån flexible operational innebär det att kunna lösa och tolka och avkoda icke-typiska ekvationsstrukturer som fortfarande går att lösa med en dynamisk syn på likhetstecknet, exempelvis c=a+b eller a=a. Dessa olika aspekter kan ses som kritiska aspekter som eleverna behöver få en förståelse för, för att tillgodogöra sig och kunna använda en statisk förståelse för likhetstecknets innebörd. Några andra kritiska aspekter har tagits fram i Wern-berg (2009) genom att eleverna fått utföra ett test. En av dessa är att eleverna såg högerledet som ett svar på vänsterledet. En annan kritisk aspekt som de fick fram var talens värde och placering i taluppsättningen. I Wernbergs (2009) studie skulle en grupp lärare utforma under-visning utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv med lärandeobjektet “att urskilja likhetsteck-net som relationellt”. Delar av den undervisning som planerades innebar att de skulle arbeta med olika sätt att uttrycka talet 18. De skulle kunna använda sig av variationsmönstret kontras-tering genom att kontrastera addition och subtraktion för att belysa den kritiska aspekten talens värde (Wernberg, 2009).

11

Metod

Metodavsnittet avser beskriva hur urvalet, datainsamlingen och analysen har gått till och vad som motiverat utförandet. Även de etiska överväganden som har gjorts beskrivs. Avslut-ningsvis diskuteras studiens reliabilitet och validitet.

Urval

Urvalsmetoden som användes var ett målinriktat urval, det innebär att urvalet sker utifrån forskningens mål och för att kunna besvara forskningsfrågorna (Bryman, 2018). Då det inom ramen för detta arbete inte är möjligt att genomföra ett stort antal observationer och intervjuer är denna urvalsmetod lämplig eftersom det är viktigt att det insamlade materialet kan besvara forskningsfrågorna. Då det uppmärksammades genom samtal med min handledare under VFU:n att hon skulle lägga extra fokus på just likhetstecknet inom en snar framtid tillfrågaga-des hon att delta i studien. Då klassen och läraren redan kände mig skulle sannolikt min närvaro inte påverka lärare och elevers prestation i en allt för stor utsträckning då de var vana vid att ha mig i klassrummet.

Läraren som har deltagit i studien är utbildad grundskollärare och har legitimation för att undervisa från förskolan upp till åk 7 i specifika ämnen inklusive matematik. Läraren har 10 års arbetserfarenhet av att undervisa i låg- och mellanstadiet. En observation och intervju av denna lärare ansågs kunna besvara frågorna då läraren hade ett specifikt syfte och mål med lektionen som utgick från upptäckter av elevernas svårigheter i matematik. Det var inte känt om läraren arbetade utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv, men det kan argumenteras för att läraren ändå skulle kunna utgöra underlag för denna studie. Ko och Marton (2004) resonerar att det i alla undervisningssituationer förekommer saker som repeteras och varieras. De skriver vidare att effektivt användande av variation och repetition oavsett om den är medveten eller inte är en av faktorerna som utmärker bra undervisning. Lo et al. (2004) påpekar att lärare under sin tid som lärare samlar på sig erfarenhet och bygger upp kunskaper om hur elever hanterar specifika koncept eller fenomen. Detta leder till att lärare utvecklar olika strategier att bemöta dessa olikheter. Denna sorts kunskap lyfter de fram som extremt värdefull och den borde iden-tifieras, vässas, systematiskt reflekteras över och framförallt delas med andra lärare (Lo et al., 2004). Eftersom den berörda läraren har tio års erfarenhet av att undervisa i matematik i både lågstadiet och mellanstadiet kan det antas att läraren har erfarenhet av både elevers tidiga miss-uppfattningar av likhetstecknet, hur elever uppfattar det senare och hur missmiss-uppfattningar kan påverka elevernas möte med den matematik som eleverna ska kunna hantera högre upp i åldern.

12 Klassen är en åk 2 bestående av 24 elever med varierande kunskaper inom matematik. Detta kunde urskiljas i elevernas resultat i Skolverkets bedömningsstöd då några elever precis klarat den lägsta nivån, några mellannivån och några den höga nivån på det skriftliga testet. Detta test genomfördes under min VFU, precis innan denna studie inleddes. Det som eleverna visade sig ha störst svårighet med överlag var den del som berörde likhetstecknets betydelse. Till följd av detta planerade läraren att lägga in undervisning om likhetstecknets betydelse un-der matematiklektionerna. Utmärkande för uppgifterna som testade elevers förståelse för lik-hetstecknets innebörd var att eleverna oavsett nivå skulle fylla i det tal som saknas i öppna utsagor (se bild 1 nedan). Ett exempel på ett vanligt felsvar hos eleverna är att de svarat att det ska stå 2 på den tomma raden i uppgiften 4=_-6. Utifrån hur eleverna svarat och vad som verkat vara svårigheten i att lösa dessa uppgifter planerade läraren den observerade lektionen.

Bild 1. Utdrag ur Skolverket (2019) Nationellt bedömningsstöd i taluppfattning, skriftligt på

mellannivå VT åk 2. Denna del är den som ska bedöma förståelse för likhetstecknets innebörd. Nästa steg var att konstruera en medgivandeblankett att skicka ut till elever och föräldrar samt en till den berörda läraren för att få tillåtelse att filma och spela in ljud i klassrummet (se bilaga 1 och 2). Ett slutdatum sattes för att få in lapparna inom en rimlig tid för att kunna gå ut

13 och genomföra datainsamlingen. Av de 24 elever som går i klassen inkom det 17 lappar med godkännande från elever och föräldrar.

Datainsamlingsmetod

För att besvara forskningsfrågorna och uppfylla syftet med denna studie valdes metoden

video-stimulated recall. Stimulated recall innebär att en lärares verksamhet dokumenteras med

ljud- eller videoinspelning (Haglund, 2003). Det inspelade materialet ska sedan användas för att stimulera den berörda personens minne för att komma ihåg hur denne tänkte under det till-fället. Respondenten får då kommentera sitt agerande och tänkande. Enligt Haglund (2003) finns det ingen bestämd manual för denna metod utan den kan skilja sig utifrån exempelvis syftet med studien.

Denna metod valdes dels för att kunna se hur undervisningen går till i praktiken genom att filma och analysera lektionen. Även för att genom att spela upp videosekvenser stimulera lä-rarens minne för att få fram en djupare bild av hur och varför läraren agerar som hon gör. Genom att ta reda på hur läraren resonerat vid planering och genomförandet av lektionen kan förståelse för varför och hur eleverna har fått möjlighet att lära sig de kritiska aspekter som framkommer under lektionen. I denna studie valdes videoinspelning av lektionen för att få med det som händer i klassrummet och inte bara det som sägs. Intervjun spelades bara in med ljud då det inte är nödvändigt med bildupptagning för att få fram lärarens resonemang. För att lära-ren ska komma ihåg hur den tänkte under den inspelade lektionen sker intervjun kort efter det tillfället (Haglund, 2003). Efter överenskommelse med läraren genomfördes lektionen direkt när skolan började på morgonen och intervjun vid skoldagens slut.

Observation. I diskussion med läraren planerades tillfället för observation. Läraren fick

instruktioner om att planera och genomföra en lektion som handlar om likhetstecknets bety-delse. Innehållet och hur lektionen skulle se ut var annars helt upp till läraren att välja utifrån vad klassen behöver och hur undervisningen sett ut innan. Lektionen som observerades genom-fördes i halvklass. Båda delarna av klassen observerades, den första delen filmades medan den andra delen observerades med hjälp av fältanteckningar. Denna lösning beror på att alla elever inte fick delta i film- eller ljudupptagning och denna lektion har läraren alltid halvklass.

Inspelningen genomfördes med hjälp av en filmkamera på ett stativ. För att inte riskera att allt skulle försvinna spelades även ljudet in med en mp3-spelare. Filmkameran placerades längst bak i klassrummet till att börja med då eleverna satt vid sina bänkar, när de sedan flyttade ner till mattan framför tavlan flyttades kameran fram för att få med det som hände på mattan

14 och den del av tavlan som läraren använde. Det som var fokus var läraren för att kunna besvara forskningsfrågorna.

Intervju. När observationen ägt rum studerades materialet och intressanta delar valdes ut

att spelas upp i intervjun. De sekvenser som ansågs extra intressanta var de som kunde behöva en förklaring till varför läraren agerat som hon gjort för att veta hur hon tänkt, några delar som behandlade likhetstecknet på olika sätt med olika representationsformer och delar som ansågs framställa olika kritiska aspekter.

Intervjun som genomfördes innehöll först bakgrundsfrågor om lärarens utbildning, yrkes-erfarenhet och yrkes-erfarenheter av likhetstecknet. Den andra delen av intervjun fokuserade på att läraren skulle få reflektera över och uttrycka sina intentioner med olika delar av lektionen. Detta gjordes genom att sekvenser från inspelningen spelades upp om det var från den första lektionen, om det var från den andra lektionen gjordes en påminnelse av vad som hänt under den del av lektionen som den efterföljande frågan berörde.

För att inte leda in läraren på variationsteoretiska begrepp och riskera att inte få ärliga eller riktade svar eller riskera att läraren inte har koll på variationsteorin uteslöts begrepp som kri-tiska aspekter och lärandeobjekt ur intervjufrågorna. Istället utformades frågorna för att få fram svar på detta utifrån mer vardagligt språk (se intervjuguide bilaga 3). Ett exempel på en fråga är “Vad tänkte du att eleverna skulle förstå med hjälp av berättelsen i början?”. Innan denna fråga ställdes spelades sekvensen där detta ägde rum upp. Varje fråga planerades att efterföljas med ett “varför?”, läraren i studien föregick alla dessa genom att i svaret på respektive fråga förklara varför hon gjort det som efterfrågades.

Intervjun spelades in med en mp3-spelare för att materialet skulle kunna gås igenom i efterhand och minska risken att något missas eller misstolkas om endast anteckningar hade förts.

Dataanalys

Efter datainsamlingen transkriberades materialet. Vid transkriberingen av filmen från lekt-ionen transkriberades både det som sades och sådant som hände som är relevant för studien. Gällande vad som sades så transkriberades allt som hade med lektionsinnehållet att göra. Det som inte transkriberades var när en annan lärare kommer in och frågar någonting, när läraren behövde säga till en elev att sitta still eller liknande. Vad gäller det som hände så transkribera-des mestadels lärarens handlingar som när denne skriver upp något på tavlan, gestikulerar, delar ut saker eller hjälper elever. Varje elev blev tilldelade ett kodnamn i form av ett ”E” och sedan en siffra. De gånger som det var svårt att urskilja vilken elev eller om det var flera elever

15 som ropade ut samma sak samtidigt benämndes de bara med ett ”E”. Läraren betecknas i tran-skriberingen med ett ”L”.

Transkriberingen av intervjun innefattar det som läraren och jag säger. Det som inte tran-skriberades var ljudet från de filmklipp som spelades upp eller när något som inte berörde undervisningen sades. Det som sades skrevs ner med skriftspråk, men som det sades. Intervju-arens mm-anden som inte gjorde att läraren slutade prata eller gjorde någon notis på valdes att uteslutas för att få ett bättre flyt i texten.

Analysmetod

De två lektionerna som observerades var i stort sett lika. Då den första filmades och tran-skriberades kommer det att vara den lektionen som är i fokus i analysen. Några saker skiljde dem dock åt, dessa delar kommer att tas med från den andra lektionen. Ett exempel är att de under den andra lektionen hann komma längre och läraren presenterade ett arbetsblad för ele-verna som de hann börja arbeta med, vilket var tanken även i den första lektionen men tiden räckte inte till.

Analysen är inspirerad av variationsteorin och det som analyserades var vilket lärandeob-jekt, vilka kritiska aspekter och vilka variationsmönster som framkom under lektionen. Detta gjordes både i det inspelade materialet och transkriberingarna av lektionen och intervjun.

Analysen startade när materialet gicks igenom och fortsatte efter att inspelningarna hade transkriberats. Den första analysen ägde rum på plats när materialet från videoupptagningen sågs igenom för att hitta sekvenser som var av intresse för intervjun. Det som ansågs vara av intresse var exempelvis de olika metaforerna läraren använde på olika sätt för att förtydliga olika aspekter av likhetstecknets betydelse, varför uppgifterna såg ut som de gjorde, om det fanns någon tanke med räknesätten som användes och vad intentionerna var med specifika moment under lektionen.

Lektionen analyserades sedan på ett djupare plan för att undersöka vilka kritiska aspekter som belysts under lektionen och hur de har gjorts möjliga för eleverna att urskilja. Lektionen analyserades vidare med syftet att undersöka vilka variationsmönster som användes under lekt-ionen för att behandla de olika kritiska aspekterna. Transkripten skrevs ut för att lättare skapa en överblick över materialet. De olika sekvenser där de kritiska aspekterna behandlades mar-kerades med olika färger för att sedan analysera vilka variationsmönster som användes.

Analysen av vilka kritiska aspekter som ges möjlighet att urskiljas under lektionen utgick från kända svårigheter hos elever, hur likhetstecknet kan tolkas och vad som ingår i de olika förståelsenivåer som Rittle-Johnson et al. (2011) beskriver. Med detta i åtanke analyserades

16 lektionens innehåll. Det som analyserades för att hitta kritiska aspekter och på vilket sätt dessa spändes upp med variationsmönster var uppgifternas utformning, lärarens agerande och hur likhetstecknets innebörd belystes.

Vidare undersöktes hur läraren möjliggjorde för eleverna att urskilja de kritiska aspekterna genom att undersöka hur de framställdes med hjälp av variationsmönster. Variationsmönstren i lektionen skapades genom att arbetssättet hölls konstant medan det var olika aspekter som fokuserades och belystes i olika uppgifter. Detta förtydligades exempelvis med olika represen-tationsformer, lärarens exempel och vart betoningen låg i de olika uppgifterna.

Intervjun användes och analyserades i syfte att fördjupa förståelsen för lärarens olika me-toder att belysa de kritiska aspekterna under lektionen. Detta för att få en fördjupad bild av det iscensatta lärandeobjektet och vad eleverna kan ha fått möjlighet att lära sig under lektionen och hur dessa möjligheter kan skapas.

Etiska överväganden

För att uppfylla de fyra huvudkrav som Vetenskapsrådet (2010) delar upp individskydds-kravet i: informationsindividskydds-kravet, samtyckesindividskydds-kravet, konfidentialitetsindividskydds-kravet och nyttjandeindividskydds-kravet har följande åtgärder vidtagits.

För att uppfylla informationskravet delades bilaga 1 ut till alla elever och vårdnadshavare med kort information om studien. Även läraren fick en lapp (bilaga 2) med kort information. Både läraren och eleverna i klassen fick även muntlig information om vad inspelningen skulle användas till.

Vad gäller samtyckeskravet är det viktigt att alla som deltar i en studie själva bestämmer om de vill delta eller inte (Vetenskapsrådet, 2010). När det handlar om att filma barn behöver samtycke ges av både barnet själv och vårdnadshavare (Vetenskapsrådet, 2017). Därmed efter-frågades elevers och vårdnadshavares underskrifter för samtycke till att delta i inspelningen av lektionen (bilaga 1). Av de 24 eleverna i klassen gav 17 vårdnadshavare och elever sitt medgi-vande, en gav inte sitt medgivande och resterande sex lappar lämnades inte in. För att lösa detta och inte riskera att någon som inte gett sitt medgivande blir med på film- eller ljudupptagningen genomfördes observationen under en lektion där läraren alltid har halvklass. Den första lekt-ionen spelades in och den andra observerades med hjälp av fältanteckningar. Alla elever var medvetna om vad som gällde och tyckte att det var okej att jag var med utan att spela in.

17 Konfidentialitetskravet innebär att alla personuppgifter som samlas in ska förvaras så att ingen utomstående kan ta del av dem och att alla deltagare ska ges konfidentialitet (Veten-skapsrådet, 2010). För att säkerställa alla inblandades anonymitet kommer läraren benämnas i texten som ”läraren” och eleverna ”E1, E2 o.s.v.”. De insamlade lapparna och det inspelade materialet förvaras oåtkomligt för utomstående. Det inspelade materialet transkriberades och raderas när denna uppsats är färdigställd.

Nyttjandekravet säger att det material som samlas in om personer endast får användas för forskningsändamål (Vetenskapsrådet, 2010). Det insamlade materialet i denna studie kommer endast att användas till denna uppsats.

Reliabilitet och validitet

Reliabilitet handlar om huruvida en undersöknings resultat skulle bli detsamma om under-sökningen genomförs igen, eller om resultatet påverkas av exempelvis slumpmässiga händelser (Bryman, 2018). För att öka reliabiliteten i denna studie har tillvägagångsättet försökts beskri-vas tydligt. Förutsättningarna vid observationen och intervjun, samt vilken utgångspunkt som utgåtts ifrån vid val av lärare och klass har beskrivits. De intervjufrågor som utformats finns med som bilaga för att visa vad som frågats, dock utgår flertalet frågor från observationen och innehållet i just denna lektion. Om denna studie skulle göras om och en annan lektion skulle observeras bör intervjuguiden ändå kunna användas för att utforma liknande frågor.

Validitet handlar om huruvida det som avses mätas är det som mäts (Bryman, 2018). För att stärka validiteten i denna studie har metod och frågeställningar anpassats efter varandra. Läraren tillfrågades om att en lektion om likhetstecknet skulle få observeras utan att berätta att ett variationsteoretiskt perspektiv skulle användas vid analys för att försöka undvika att läraren planerade lektionen specifikt utifrån vad som eftersöktes. Den datainsamlingsmetod som har valts möjliggör svar på syfte och på frågeställningarna eftersom stimulated recall kan erbjuda både en bild av undervisningen och lärarens perspektiv för att bidra med kunskap och en för-djupad förståelse för det som utspelar sig under lektionen. Syftet och frågeställningarna har varit i fokus för hur materialet bearbetats och analyserats.

18

Resultat och analys

Resultat och analys av studien kommer att presenteras nedan. För att skapa en överblick av den undervisning som ägt rum sammanfattas först huvuddragen i lektionen. Analysen startar sedan med en analys av lektionens lärandeobjekt där även de kritiska aspekter av lärandeob-jektet som görs möjliga för elever att urskilja nämns. Hur de kritiska aspekterna har gjorts möjliga för eleverna att urskilja framställs sedan med hjälp av utdrag ur transkriberingen från lektionen och en analys av vilka variationsmönster som används för att lyfta fram de kritiska aspekterna. Delar av intervjun används för att förstå vad det är läraren har gjort och för att skapa en djupare förståelse av varför och hur de olika delarna av undervisningen kan bidra till elevers lärande.

Sammanfattning av den observerade lektionen

Inledning: Lektionen inleddes med att läraren stod vid tavlan och eleverna satt vid sina

bänkar. Läraren inledde med att visa vad som händer om vi skriver en mening med orden i fel ordning och belyser att matematiken fungerar på samma sätt. Läraren visade sedan vad som händer om man ändrar ordningen på tal eller operationer i en uppgift med följande form 7=_-2. Eleverna och läraren flyttade sedan ner till mattan på golvet framför tavlan och fortsatte lektionen.

Huvudaktivitet:Den största delen av lektionen bestod av att läraren skrev upp olika öppna utsagor på tavlan där eleverna skulle räkna ut vilket tal som skulle stå på den tomma raden för att bilda en likhet. Eleverna jobbade i par för att lösa uppgifterna. Varje par blev tilldelade två A4-papper i olika färger, ett urklippt likhetstecken, ett urklippt additionstecken, ett urklippt subtraktionstecken, enkronor och tiokronor. Läraren skrev upp talen på tavlan med matema-tiska symboler medan eleverna skulle använda sig av plockmaterialet. För varje uppgift fick eleverna försöka lösa den ett tag innan läraren fråga dem vad som skulle stå på den tomma raden. Eleverna uppmuntrades ofta att testa om deras svar stämde eller inte med hjälp av myn-ten.

De representationer för likhetstecknets betydelse som användes kontinuerligt under lekt-ionen var gungbräda, balansvåg/vågskålar, sidor i en bok och berättelser. Läraren berättade att eleverna var bekanta med dessa sedan tidigare på olika sätt.

Avslutning: De två lektionerna slutade lite olika på grund av att tiden tog slut under den första lektionen då den andra delen av klassen kom tillbaka. Den första lektionen, som var den som filmades, fick inget tydligt avslut utan det slutade med ett sista exempel. Den andra

19 lektionen avslutades med att eleverna fick ett arbetsblad med olika uppgifter på. Eleverna hann bara börja med arbetsbladet. Den uppgiften de hann med var att de i paren skulle komma på och skriva ner fem olika likheter på pappret.

När hela klassen återsamlades för fruktstund innan rasten återkopplade läraren till vad det var de hade gjort under lektionen och vad som var intentionen att de skulle fått möjlighet att lära sig. Hon sammanfattade med två punkter och en förklaring av hur de ofta gör fel när de löser liknande uppgifter.

Lärandeobjekt

Lärandeobjektet som behandlades under lektionen var att förstå och använda likhetsteck-nets statiska innebörd. Läraren hade planerat lektionen utifrån elevernas uppvisade svårigheter att lösa uppgifter i form av öppna utsagor som inte följer den aritmetiska normen. Läraren beskrev både under lektionen och i intervjun vad hon ämnade att de skulle lära sig under lekt-ionen. Det intentionella lärandeobjektet och de kritiska aspekter som var menade att fokuseras kan utläsas i följande uttalande från läraren:

L- Att hålla sig från vänster läsa talet till höger, nummer ett, nummer två eh balansen alltså likhetstecknet, det spelar ingen roll egentligen hur många jag har på en sida, jag kan ha tre (termer) på en sida jag kan lägga till på ena sidan eller ta bort på andra sidan det spelar ingen roll eh utan likhetstecknet det är liksom där är konstanten det är liksom där ska det vara lika på båda sidorna när vi är klara med ett tal. Dom två sakerna och sen försöka liksom ringa in det här med att man måste lokalisera vad finns på ena sidan vad finns på andra sidan? Fråga sig, är det här lika?

Lärarens intention kan tolkas vara att eleverna skulle lära sig att förstå likhetstecknet som en statisk symbol och mer specifikt att för det första hålla sig från vänster till höger för att likheten ska stämma i slutändan, läraren förklarade vad hon menade med detta för eleverna genom det som kan ses i fotot från lektionen (bild 2). Läraren visar hur eleverna bör tänka och hur de istället ibland tänker. Och för det andra att eleverna skulle komma ihåg att jämföra vänster- och högerled med varandra för att se om likheten stämmer eller vad som ska göras för att den ska stämma. Läraren belyste även vikten av att se likhetstecknet som att det symboli-serar balans och att det visar att det ska finnas samma värde på vardera sida om det oavsett hur många tal det finns på vardera sida.

20

Bild 2. Foto på det som läraren skrev upp på tavlan för att sammanfatta för eleverna vad hon

ville att skulle ha lärt sig under lektionen. 1. Gå från vänster till höger, 2. Jämföra vänster- och högerled och längst ner elevernas vanliga misstag i ordningen när de ska lösa denna typ av uppgifter.

Läraren skapade under lektionen möjlighet för eleverna att urskilja fyra kritiska aspekter av lärandeobjektet genom olika variationsmönster. De fyra kritiska aspekterna som synliggjor-des under lektionen är följande: en matematisk utsaga måste läsas från vänster till höger utan

att hoppa över något steg eller välja ordning själv, likhetstecknet betecknar numerisk ekviva-lens, vänster- och högerled ska ha samma värde för att likhetstecknet ska gälla, differensen mellan vänster- och högerled kan adderas eller subtraheras för att likhetstecknet ska gälla.

Det är dock ingen garanti att eleverna lyckades urskilja lärandeobjektet och alla de kritiska aspekter som gjordes möjliga. Något som kan ha medfört svårigheter och i vissa stunder kopp-lat bort elevernas fokus från likhetstecknet var att de tal som användes krävde tiotalsövergångar och växling. För vissa elever krävdes fokus på det istället för det som var intentionen.

L- … därför jag skulle ha ... tagit bort tiotalsövergångar och växlingar och det där, egentligen.

21 Det fanns dock en mening bakom vilka tal som användes i lektionen. Det var det talområdet de arbetade med just nu i matteböckerna och därför valde läraren att ta dessa tal för att knyta an till det. Efter lektionen när jag frågade om det var något läraren ville säga om lektionen var det bland annat följande:

L- Jag skulle ha kunnat gått ner på lägre tal, nu ville jag jobba med de här höga talen för att det är där som vi är i matteboken just nu och jobbar men jag hade kunnat faktiskt fokusera i större grad på likhetstecknet tagit bort det här svåra tänkt bort tiotalsöver-gångar, tänkt bort växlingar för det är ju faktiskt inte det som den här lektionen handlar om, jag skulle kunnat hållit det mycket mycket mer basic för att kunnat fånga upp de lite svagare eleverna MEN och där kommer man till att den här klassen är ju väldigt svår just för det här med spridningen.

Att använda lite högre tal var alltså en avvägning som gjordes för att försöka fånga alla elevers intresse och kunskapsnivå utan att göra det för svårt eller för enkelt vilket också kunde lett till att elever tappat fokus. Dock som läraren säger kan det ha gjort att vissa elever inte har upptäckt de kritiska aspekter av lärandeobjektet som läraren ville att de skulle upptäcka under lektionen. Ett exempel är två elever som vid flertalet tillfällen under lektionen fick hjälp av läraren med var de skulle placera mynten och de olika symbolerna på sina papper samt visade de på svårigheter med att växla tiotal till ental.

Kritiska aspekter och hur eleverna får möjlighet att urskilja dem

Genom analysen hittades fyra kritiska aspekter som gjordes möjliga för eleverna att ur-skilja i olika grad. Nedan kommer dessa att beskrivas tillsammans med hur de synliggjordes under lektionen, vilka variationsmönster som kunde urskiljas samt lärarens tankar och intent-ioner med de olika handlingarna.

Kritisk aspekt: en matematisk utsaga måste läsas från vänster till höger utan att hoppa över något steg eller välja ordning själv. Denna kritiska aspekt behandlas

återkom-mande under hela lektionen genom olika variationsmönster. Variationerna förtydligades ge-nom olika representationsformer. Lektionen inleddes med att läraren påminde eleverna om att ett mattetal kan liknas vid en berättelse och skrev sedan meningen ”Jag skriver hitåt.” på tavlan med orden i korrekt ordning och sedan meningen ”Jag kan inte läsa såhär.” med orden huller om buller ”Jag läsa såhär. Kan inte”.

L- Så ni kommer när vi skriver ett mattetal så är det alltid någon sorts berättelse, det är alltid någon sorts berättelse. När jag skriver, jag skriver hitåt, eller hur? Jag kan inte välja hur jag vill läsa. Jag- kan – inte – läsa- såhär. (skriver orden i oordning)

22 E1- Jag läsa såhär punkt kan inte

L- Precis jag visserligen skrev dom ju i rätt ordning, jag kan inte läsa såhär, Men när jag faktiskt ska läsa upp det, jag läsa såhär punkt kan inte, det funkar inte. När vi läser så börjar vi alltid härifrån och vi går hitåt (pekar från vänster till höger), det är viktigt, det är jätteviktigt för framförallt när vi börjar i matematiken för det är precis precis precis samma med våra mattetal.

Läraren fortsätter med att överföra denna regel till matematiken genom att be eleverna göra en berättelse av 7=_-2.

L- Om ni tittar här, om det står såhär (7=_-2) det är ju här som jag har märkt att många tycker det är superdupermegaklurigt. Kan någon göra någon form av berättelse av det här? E2?

E2- Nej men jag vet vad det ska stå på den där linjen L- Vet du det?

E2- Nio. …

L- Jättebra för många gånger så har ni sagt såhär (7=5-2). Och jag vet inte riktigt varför. Ibland så vill ni få det till att sju minus fem är lika med två, att ni gärna byter lite plats att ni tycker att det borde vara okej att byta men det är det ju aldrig. Det är ju här vi vill ha det.

Eleverna skapade dock ingen berättelse av det utan svarade direkt vad det skulle stå på den tomma raden. Efter att eleverna svarat berättar läraren för eleverna hur hon har sett att de ofta gör när det blir fel. Att de byter plats på både tal och symboler i uppgiften. Att poängtera att vi läser från vänster till höger skulle kunna tyda på en dynamisk syn på likhetstecknets innebörd, syftet med detta är dock att eleverna ska förstå att en likhet inte stämmer om talen och operat-ionerna byter plats.

Den andra lektionen inleddes på liknande sätt, en skillnad var att läraren började med att gå in på vad ”=” heter, eleverna fick berätta. Läraren berättade sedan att likhetstecknet kan jämföras med mitten på en gungbräda, innan hon gick vidare med att eleverna brukar glömma från vilket håll vi läser. Läraren skrev sedan upp två olika meningar precis som i den första lektionen för att poängtera att vi inte kan läsa huller om buller och att matematik är som en berättelse där något händer, att likhetstecknet är en gungbräda samt att det är den som läser uppgiftens jobb att se till att den gungar jämnt. Läraren skriver sedan upp 4=_-2 på tavlan. En elev svarar då att det ska stå en 2 på den tomma raden. Under utsagan ritar läraren upp en gungbräda. Hon ritar sedan en till under där hon skriver 4 på den ena sidan och 0 på den andra

23 sidan av gungbrädan. Hon konstaterar då att de fyra elever som sitter på den vänstra sidan av gungbrädan inte skulle ha så kul eftersom det inte råder jämvikt. Hon visar sedan hur de gjort på många uppgifter i Skolverkets bedömningsstöd. Hon tar även upp exempel där det inte ver-kar uppstå några frågetecken hos eleverna kring vilken ordningen symboler och tal ska läsas 8-6=_ och 8=10-_. När läraren tar upp 18-6=_-4 och en elev svarar att det är 20 som ska stå på raden utbrister en annan ”va jag trodde det var 12”. Detta är ett exempel på vad eleverna sagt under lektionerna som visar att eleverna har svårt att förstå vilken ordning den öppna utsagan ska läsas. Genom att eleverna här svarade fel och läraren då gick vidare på det kan möjligheten att upptäcka denna kritiska aspekt ha ökat.

De variationsmönster som denna kritiska aspekt presenterades genom i inledningen på lektionen har tolkats vara generalisering och kontrastering. Generalisering då det belystes ge-nom att visa att principen att vi läser från vänster till höger och inte kan hoppa huller om buller gäller såväl när vi skriver en text som när vi löser matematiska uppgifter. Variationsmönstret kontrastering användes när läraren visade vad som händer om vi skriver i fel ordning, eller hoppar när vi löser en matematikuppgift i form av öppen utsaga. Det vill säga de moment där det belystes vad “att gå från vänster till höger” inte är och vad som händer med en öppen utsaga om vi läser och löser den i fel ordning, som i exemplet när läraren visade att om det sitter fyra barn på ena sidan av en gungbräda och inga på den andra sidan så kommer det inte gå att gunga. Läraren motiverar valet av att belysa att vi läser från vänster till höger och att matematiken är som en berättelse i intervjun:

L- Helt enkelt för att jag trycker hårt på att allting i matematik, det händer någonting, det berättar någonting och att man måste följa det från början till slut framförallt när vi jobbar mycket med räknesagor, men framförallt det här fasta, att vad är det som händer? Det är precis som när vi skriver dom skulle aldrig börja blanda huller om buller när vi skriver heller och reglerna är ganska tydliga att vi går alltid från vänster till höger. Och det kommer de behöva jättemycket sen när vi blandar plus och minus och gånger och sånt där när vi kommer in med olika regler, prioriteringsreglerna så är ju det en av de starkaste vi går alltid från vänster till höger... Jag vill ju liksom att de ska förknippa det med att vi läser och skriver såhär vi räknar såhär, det är samma att känna en trygghet i att vi går därifrån och vi går dit i liksom rätt ordning.

Ett motiv var alltså för att eleverna ska känna sig trygga med vilket håll vi går ifrån inför när de blir äldre och ska börja blanda addition, subtraktion och multiplikation och bekanta sig med prioriteringsreglerna. Ett annat motiv var att de ska känna tryggheten i att det fungerar på samma sätt vid läsning av en berättelse som vid läsning av en matematikuppgift.

24 Denna kritiska aspekt behandlades även under fler delar av lektionen. Ett exempel som visar att detta är en kritisk aspekt som alla elever i denna klass inte har full förståelse för än var när de ombads att lägga upp följande 25+32=74-_ som läraren skrivit på tavlan, på sina papper med hjälp av mynten.

L- Och när vi jobbar nu om vi skulle säga såhär, vi behöver i våran första halva här, hur många, vi behöver två högar, hur mycket skulle jag ha i den första stod det? E- 25!

L- Då tar ni så att ni har 25, ni ska få enkronor också.

L- På andra sidan, kom ihåg vilket håll vi börjar läsa ifrån. Och sen så behöver ni ju såklart ett litet plustecken.

E- Vart ska vi lägga plustecknet? L- Ja, gissa, titta på tavlan E8- Före likhetstecknet

Eleverna pratar sinsemellan, svårt att urskilja vad som sägs. E9- Ska vi ta 32 nu?

Några elever hängde med direkt på hur de skulle visa detta på sina papper medan några uppvi-sade större svårigheter med det. Två elever uppviuppvi-sade svårigheter med att läsa av från tavlan och lägga upp talen i rätt ordning, vilket visar på att detta upplevs som en kritisk aspekt de inte har full förståelse för än.

L- Kolla på tavlan tjejer, vart har ni lika med på tavlan, vart har ni likhetstecknet på tavlan? Vart börjar vi läsa ifrån, om det här hade varit en text, vart hade ni börjat? E10- Härifrån (pekar på den vänstra sidan)

L- Där, så den första högen måste ju va där ni har börjat eller hur? E10- Ja

L- Så först där ni hade börjat läsa måste ni ha 25 …

L- Nu ska vi ta och titta, ni kan låtsas att de här bladen nu som ni har framför er utöver att dom är en vågskål så låtsas vi att dom är en bok som ni har slagit upp, eller hur? E- Mm

L- Och om vi tittar på våran tavla, så har vi våran bok såhär. Petter hade 25 kronor eller hur? Han fick vaddå?

E- 32

25 E- Jaa

L- Ja, sen kommer ju det här tecknet, plus E- Ja

L- Kolla på erat här tjejer, nu har ni börjat med att säga att 25 är lika mycket som 32 plus 74 minus (se bild 3), man kan absolut få ihop det, det är inget svårt för vi har ju ett minus här (eleverna byter plats på mynten) men där var det jättebra för nu är ni med i våran berättelse, Petter har 25 kronor han får 32 kronor. Då måste vi börja med att titta hur mycket är det ni har på eran första sida? Hur mycket är det ni har? Mm hur mycket är det vi har på våran första sida i boken här innan vi kommer till likhetstecknet?

Bild 3. Från videoinspelningen, visar hur de hade lagt upp mynten i fel ordning gentemot vad

de gemensamt skulle göra.

Här hjälper läraren eleverna att förstå vad som blev fel och att det skulle gå att reda ut det och få till en likhet men att det i detta fall är bättre att eleverna är med i samma berättelse som alla andra. För att förtydliga ordningen på talen och operationerna i uppgiften de ska lösa skapar läraren en räknehändelse om Petter. I detta exempel refererar hon även till en uppslagen bok för att förtydliga för eleverna att de ska läsa det som en berättelse. Denna del av lektionen erbjuder eleverna möjlighet att skapa förståelse för vikten av i vilken ordning vi sätter talen i en uppgift genom variationsmönstret generalisering som spänns upp genom att läraren förtyd-ligar det med att belysa utöver att vänsterled och högerled kan liknas vid vågskålar, skapa en räknehändelse och koppla talens ordning till hur en bok läses.

26

Bild 4. bild från videoinspelningen av lektionen. Den visar när läraren ritade upp som

bok-sidor och en gungbräda. 25 är ett förslag från eleverna om vad som ska subtraheras från 74 för

att likheteten ska stämma.

Under intervjun ställdes en fråga om varför läraren valde att använda en uppslagen bok som liknelse. Det visade sig att läraren var lite osäker på om det var givande eller inte för elevernas lärande under denna lektion. Ett utdrag ur hennes resonerande lyder:

L- Det var för att gå tillbaka till när vi skriver och sen så sa vi, alltså eftersom jag hade två blad så ville jag liksom att här vi har det här framför oss vi har likhetstecknet emel-lan vad har vi på den här sidan vad har vi på den andra … Vi hade kunnat sagt ena sidan andra sidan vågen, men återigen det var nog mest för att påminna dom om att vi läser den här berättelsen … det hade egentligen säkerligen varit tydligare och bara vad har jag på den här sidan, att vara mer konsekvent med sina uttryck … givetvis alltså jag skulle ju ha hållit mig till vågskålarna … jag behöver faktiskt inte blanda in en bok i det här … alltså jag ville återkoppla att vi går från vänster till höger vi läser i böcker. Läraren resonerade att det skulle knyta an till berättandet och introduktionen på lektionen att jämföra vänster- och högerled med två sidor i en uppslagen bok. Hon ställer sig dock tvek-sam till detta och att det kan ha krånglat till det mer för eleverna eftersom även gungbräda och vågskålar används som liknelser för likhetstecknet, vänster- och högerled. De två sistnämnda erbjuder troligtvis eleverna möjlighet att lära sig se att båda sidor om likhetstecknet måste väga jämnt och att därför jämföra och räkna ut en sida i taget, vilket är en annan kritisk aspekt som framkommer och analyseras nedan. Boksidorna i samband med en räknehändelse och referens till berättandet kan snarare tolkas som generalisering av denna kritiska aspekt och därmed