BERÄKNING I SUBTRAKTION MED FOKUS PÅ METODER OCH STRATEGIER : En intervjustudie kring lärares subtraktionsundervisning i årskurs 1-3.

Examensarbete

Grundlärarutbildning F-3 240hp

BERÄKNING I SUBTRAKTION MED

FOKUS PÅ METODER OCH STRATEGIER

En intervjustudie kring lärares subtraktionsundervisning i

årskurs 1-3.

Examensarbete 2 för grundlärare åk

F-3 15hp

2019-06-27

BERÄKNING I SUBTRAKTION MED FOKUS

PÅ METODER OCH STRATEGIER

Titel: BERÄKNING I SUBTRAKTION MED FOKUS PÅ METODER OCH STRATEGIER: En intervjustudie kring lärares

subtraktionsundervisning i årskurs 1-3.

Författare: Caroline Karlsson 911205-xxxx

Emil Johansson 930403-xxxx

Akademi: Akademin för lärande, humaniora & samhälle

Sammanfattning: Lärare i matematik ska skapa och bedriva matematikundervisning där elever får förutsättningar till att lära sig matematik och där de inhämtar matematisk kunskap. Det är av vikt att undervisning i matematik präglas av variation då elever lär sig på olika vis. Elever ska få chansen att använda olika metoder och strategier i undervisningen och inom subtraktion finns det många sätt att beräkna uppgifter på. Däremot anses subtraktion vara ett svårare räknesätt än addition. I den här studien har syftet varit att bidra med kunskaper om hur undervisning i subtraktion bedrivs och genomförs i årskurs 1-3.

Studiens resultat baseras på individuella intervjuer med

verksamma lärare i matematik i årskurs 1-3. Resultatet visar att lärarna uttryckte sig lära sina elever att beräkna

subtraktionsuppgifter med hjälp av addition, uppställning och uppdelning av tal. De baserar dessa val på egna erfarenheter, vilken metod eller strategi de anser är lättast för eleverna och hur de ser att deras elever beräknar. Resultatet visar även att lärarna uttrycker sig använda konkret material och digitala verktyg vid undervisningen av metoder och strategier i subtraktion. De uttrycker sig arbeta kollaborativt med sina elever, men bedriver också subtraktionsundervisning med hjälp av och utifrån en matematikbok. Utifrån resultatet kan vi utläsa att lärarna uttrycker sig variera sin matematikundervisning för att skapa förståelse hos sina elever, men även för att få dem att lära sig olika metoder och strategier.

Nyckelord: matematik, metod, strategi, subtraktion, undervisning Handledare: Ingrid Gyllenlager och Ingrid Svetoft

Förord

Under våra snart fyra år på lärarutbildningen har vi båda fått ett ökat intresse och driv för undervisning i matematik. Det blev därför ett självklart val för oss att det var detta ämne vi skulle fördjupa oss i under en litteraturstudie, en aktionsforskning och nu även en

intervjustudie. Utifrån verksamhetsförlagd utbildning har vi fått insyn i att

matematikundervisning bedrivs på olika vis, men även att subtraktion är ett räknesätt som upplevs som komplicerat. Vi fann därför ett ökat intresse kring att rikta in oss på räknesättet subtraktion inom ämnet matematik. Den här intervjustudien fokuserar på hur lärare uttrycker att de bedriver matematikundervisning i subtraktion med fokus på metoder och strategier. Inriktningen formades utifrån genomförd litteraturstudie och en aktionsforskning där vi fått inblick i att det finns många olika metoder och strategier elever kan använda och använder sig av vid beräkning av subtraktion. Vi har även fått syn på att undervisning i subtraktion kan ske på olika vis och med hjälp av olika tillvägagångssätt. Vi har sett en avsaknad av studier genomförda i Sverige där matematik och subtraktion har varit i fokus. Vi har båda lagt ner lika mycket tid på arbetet och genomfört det tillsammans. Vi har kompletterat varandra och stöttat varandra genom arbetets gång. Vi vill passa på att tacka våra handledare Ingrid Gyllenlager och Ingrid Svetoft för bra handledning och stöttning genom hela arbetet. Vill även rikta ett tack till våra kurskamrater och vår examinator Åsa Bengtsson.

Caroline Karlsson och Emil Johansson Halmstad 2019

Innehållsförteckning

1. Inledning ... 1

1.1 Syfte och frågeställningar... 3

2. Bakgrund ... 3

2.1 Definition av centrala begrepp ... 3

2.2 Subtraktion ... 4

2.3 Tidigare forskning ... 5

2.3.1 Addition vid subtraktionsberäkning ... 5

2.3.2 Uppdelning av tal... 5

2.3.3 Vikten av en varierad undervisning ... 6

2.3.4 Vikten av förståelse ... 7 2.3.5 Konkret material ... 7 2.3.6 Digitala verktyg ... 8 3. Metod ... 9 3.1 Förutsättningar ... 9 3.2 Urval ... 9 3.3 Genomförande ... 10 3.5 Etiska principer ... 12 3.6 Metoddiskussion... 13 3.6.1 Trovärdighet ... 13

4. Resultat och analys ... 14

4.1 Metoder och strategier ... 14

4.1.1 Uppställning... 14

4.1.2 Uppdelning av tal... 16

4.1.3 Addition för att räkna upp ... 17

4.1.4 Sammanfattning av analys av metoder och strategier ... 19

4.2 Undervisning ... 19

4.2.1 Kollaborativ undervisning ... 19

4.2.2 Digitala verktyg ... 20

4.2.3 Konkret material ... 21

4.2.4 Matematikbok ... 22

4.2.5 Sammanfattning av analys av undervisning ... 23

5. Resultatdiskussion... 23

5.2 Undervisning kring metoder och strategier vid subtraktionsberäkning ... 25

6. Slutsats och implikation ... 27

Referenslista ... 29

Bilagor... 34

Bilaga 1 – Intervjufrågor ... 34

1

1. Inledning

I den här studien används begreppen metod och strategi kontinuerligt. Dessa två begrepp används parallellt och indikerar på samma betydelse. Däremot används dessa två begrepp på olika vis i litteratur, studiens tidigare forskning och studiens empiri. En mer fördjupad definition av betydelsen av dessa två begrepp finns under rubriken 2.1.

Matematik har en betydande roll i dagens samhälle. Undervisningen i matematik är med och formar elever och genom att elever inhämtar kunskaper om matematik, får de en förståelse för matematikens betydelse i samhället (Solem, Alseth & Nordberg, 2011, s. 23).

Moghaddam, Nilsson och Stankiewicz (2000, s. 53) framhäver att en traditionell

undervisning i matematik ofta sker på så vis att lärare utgår ifrån att elever inte har någon kunskap från början. De menar vidare att undervisning i matematik vanligtvis sker via genomgång av en viss metod för att lösa ett problem och att elever sedan individuellt ska träna på metoden. Däremot visar en enkät utförd av Myndigheten för skolutveckling (2007, s. 31) att de elever som svarade på enkäten, ansåg att en bra lärare varierar sin undervisning och låter elever vara delaktiga i utformandet av undervisningen.

Grevholm (2012, s. 252) betonar att det är verksamma matematiklärare som är de personer som ska skapa en undervisning där elever får förutsättningar till att lära sig och inhämta kunskaper i matematik. Att variera sin undervisning är viktigt eftersom elever lär sig på olika vis (Rundgren, 2008, s. 32). Det finns olika faktorer till att verksamma lärare väljer att inte förändra sin matematikundervisning. Det kan bero på att lärare inte känner tillit till och litar på sin egen förmåga att planera undervisning och istället förlitar sig på exempelvis en lärobok (Malmer, 1999, s. 25). Att endast använda sig av en lärobok inom matematik menar Stendrup (2001, s.50) påverkar elever till att de inte reflekterar och hinner ta in ny kunskap som

presenteras. Det blir istället en tävling om vem som blir klar först. Vidare belyser Stendrup att de olika läromedlen i matematik oftast består av olika delar och nivåer, så som A, B och C nivå, där C är den mest utmanande. Det här kan medföra att elever som inte kommer vidare från A-boken, inte känner sig lika duktiga på matematik.

Skolverket (2018, s. 55) skriver fram att elever ska få använda olika metoder i

undervisningen inom matematik, men även värdera de olika metoder och strategier de

använder. Att erövra metoder är ett utav målen för matematisk kunskapsutveckling, vilket ger elever möjlighet till lärande (Kinard & Kozulin, 2012, s. 30). Om lärare inte låter elever använda sig av egna metoder och förkunskaper för att beräkna matematikuppgifter i skolan, hämmar det elevers lärande. Ifall lärare däremot låter elever testa sina egna metoder, ta del av varandras och diskuterar dessa lösningar i stora och små grupper, ger det elever en större möjlighet till ett lärande (Hedrén, 2001, s. 149).

Undervisning i matematik innebär oftast att bara överföra information till elever (Kinard & Kozulin, 2012, s. 68). Vidare menar Kinard och Kozulin att undervisning i matematik behöver utformas på så vis att elever får chansen att testa sina egna metoder och strategier. Om undervisningen inte tillåter elever använda sina erfarenheter och egna beräkningsmetoder i matematik, kan det leda till att elever hamnar i matematiksvårigheter (Ahlberg, 2001, s.64). Undervisning handlar inte bara om vad som görs under lektionen, utan fokus ska vara på vad

2

elever ska lära sig (Karlsson & Kilborn, 2015, s. 40). Skolverket (2017, s. 56) framhäver i kommentarmaterial till kursplanen i matematik, att undervisning i matematik ska bidra till att elever inhämtar både kunskap och förutsättningar att själva kunna välja vilken metod som är bäst lämpad för en specifik matematikuppgift. Kursplanen belyser att elever ska tillämpa olika strategier och metoder i matematik, däremot står det inte att elever ska göra det här självständigt. Ifall elever skulle få göra det självständigt, finns det en risk att elever inte får ta del av mer effektiva och avancerade sätt att beräkna uppgifter på (Solem, m.fl., 2011, s. 155). Kilborn (1989, s. 45) menar att lärare oftast lär elever endast en metod för att beräkna

subtraktionsuppgifter, den metod som läraren själv föredrar och behärskar. Skolverket (2018, s. 60) skriver i kunskapskraven för årskurs 3 att elever via

subtraktionsundervisning ska få lära sig att välja och använda räknemetoder skriftligt, med ett positivt resultat inom heltalsområdet 0-200. Inom räknesättet subtraktion menar Löwing (2008, s. 134-135) att det finns många olika vis att beräkna subtraktion på och att det vidare leder till att det går att utföra algoritmer i subtraktion på flera olika vis. En algoritm förklarar Nystedt (1993, s. 174) som att det är hur en uppgift beräknas, hur utförandet sker. Däremot är det svårare för elever att utföra algoritmer i subtraktion än i addition, då subtraktion anses vara ett svårare räknesätt än addition (ibid). När elever har gått några år i skolan finns det en risk att de endast beräknar subtraktionsuppgifter på ett och samma vis och följden av detta kan vara att elever då får bekymmer under kommande skolgång, eftersom de då kan stöta på andra typer av subtraktionsuppgifter (Kilborn, 1989, s. 45). Karlsson och Kilborn (2015, s. 73) instämmer med att det finns många olika algoritmer för subtraktionsberäkning och eftersom elever kommer från olika kulturer finns det därför ett behov av att lärare behärskar flera olika algoritmer.

Problemområde

I dagens samhälle har matematik en betydande roll (Solem, mfl., 2011, s. 23). Lärare är de personer som ska se till att elever i dagens skola ska inhämta kunskaper i matematik

(Grevholm, 2012, s. 252). En varierad undervisning är viktig för elever eftersom elever lär sig och inhämtar kunskaper på olika vis (Rundgren, 2008, s. 32). Däremot väljer många lärare att inte förändra sin matematikundervisning och det kan bero på att lärare känner sig tryggare med att exempelvis använda sig av och utgå ifrån en lärobok. De litar inte på sin egen förmåga att planera undervisning (Malmer, 1999, s. 25).Skolverket (2018, s. 55-56)

framhäver att elever via undervisning i matematik ska få tillfälle att använda sig av och pröva olika metoder och därigenom själva få kunskap kring vilka som lämpar sig bäst till olika uppgifter. Det här i linje med Kinard och Kozulin (2012, s. 68) som även de betonar att matematikundervisning ska utformas så att elever får testa olika metoder och strategier för beräkning av matematikuppgifter. Det är betydelsefullt att matematikundervisningen låter elever använda egna metoder. Ifall elever inte får chansen att göra det, kan det vidare leda till att dessa elever hamnar i matematiksvårigheter (Ahlberg, 2001, s. 64).

Löwing (2008, s. 134-135) menar att det inom subtraktion finns många olika vis att beräkna subtraktionsuppgifter på, men att subtraktion är ett svårare räknesätt än addition. Lärare behöver behärska flera olika algoritmer eftersom elever lär sig på olika sätt och kommer från olika kulturer (Karlsson & Kilborn, 2015, s. 73). Däremot finns det en risk att elever som endast räknar subtraktionsuppgifter på samma vis hela tiden får bekymmer under sin kommande skolgång, eftersom de stöter på olika typer av subtraktionsuppgifter i skolan

3

(Kilborn, 1989, s. 45). Tidigare studier har visat att elever har uppfattat

subtraktionsalgoritmer som svårare än additionsalgoritmer (Wiles, Romberg & Moser, 1973, s. 251).

Utifrån problemområdet ser vi ett behov i att undersöka hur undervisning i subtraktion med fokus på metoder och strategier ser ut på olika skolor idag. Vi vill få syn på hur lärare uttrycker sig undervisa i subtraktion, eftersom det utifrån litteratur anses vara ett svårare räknesätt än addition. Vi vill även få en inblick i vilka metoder och strategier lärare uttrycker sig lära ut och undervisar sina elever i och vad de baserar dessa val på. Vi ser ett behov i att undersöka hur undervisning i subtraktion bedrivs för att få elever att lära sig olika metoder och strategier för subtraktionsberäkning då det är viktigt och relevant för läraryrket.

1.1 Syfte och frågeställningar

Syftet med den här studien är att bidra med kunskaper om hur undervisning i subtraktion kan bedrivas och genomföras. Syftet har mynnat ut i vidare frågeställningar:

• Vilka metoder och strategier uttrycker lärare i årskurs 1-3 att de lär sina elever att använda vid subtraktionsberäkning och vad baseras dessa val på?

• Hur uttrycker lärare i årskurs 1-3 att deras matematikundervisning bedrivs för att få elever att lära sig olika metoder och strategier för subtraktionsberäkning?

2. Bakgrund

I bakgrunden presenteras inledningsvis en förklaring och definition av studiens centrala begrepp. Vidare presenteras en fördjupning av vad subtraktion innebär, följt av en

presentation av tidigare relevant forskning inom området. Den forskning som lyfts fram berör matematik och subtraktion och består av; addition vid subtraktionsberäkning, uppdelning av tal, vikten av varierad undervisning, vikten av förståelse, konkret material och digitala verktyg.

2.1 Definition av centrala begrepp

En del begrepp är återkommande genom hela studien och för att skapa en förståelse följer nedan en definition av dessa centrala begrepp.

Metod och strategi

Det finns olika vis att gå tillväga vid beräkning och uträkning av matematikuppgifter och dessa olika tillvägagångssätt kan förklaras och definieras som strategier. Dessa olika tillvägagångssätt som kan användas kan vara både medvetna och omedvetna, de kan genomföras med hjälp av en specifik ordning och effekten av dessa strategier kan variera beroende på när de används (Skolverket, 2017, s. 25-26). Teledahl (2014, s. 1) menar däremot att styrdokument från Skolverket använder sig av begreppet strategi parallellt med begreppet metod, framförallt när de talas om problemlösning. Utifrån studiens presenterade tidigare forskning som redogörs nedan och litteratur inom ämnet matematik, har det visat sig att dessa två begrepp används parallellt och indikerar på samma betydelse. Eftersom

begreppen används parallellt och tillsammans, har vi i den här intervjustudien valt att definiera begreppen som samma sak. Begreppen metod och strategi kommer att användas

4

tillsammans och definiera de olika tillvägagångssätt som de medverkande lärarna i studien uttrycker sig lära sina elever att använda vid beräkning av subtraktionsuppgifter.

Konkret material

Att låta elever använda sig av hjälpmedel i form av exempelvis tändstickor, klossar eller pinnar vid beräkning av matematikuppgifter, kallas för konkret material (Sandahl, 2014, s. 65). Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994, s. 107) menar att ett konkret material kan hjälpa elever förstå och tydligare se vad som sker i en uträkning. Motsatsen till ordet konkret menar Sandahl (2014, s. 65) är ordet abstrakt. Karlsson och Kilborn (2015, s. 5) menar att

abstraktion kan innebära ett frigjort tänkande från det konkreta. Variation

I kommentarmaterial för kursplanen i matematik framhävs det att variation kan innebära att lärare låter sina elever arbeta på olika vis, exempelvis via olika gruppkonstellationer och individuellt (Skolverket, 2017, s. 10-11). Variation förklarar Skolverket (2019) betyder att lärare anpassar undervisningen efter de olika elever som finns i klassen, att undervisning består av olika moment för att ge alla elever chansen att utvecklas. Lärare behöver erbjuda olika moment och aktiviteter, det vill säga en varierad undervisning för att få undervisningen stimulerande för elever (Skolinspektionen, 2018).

2.2 Subtraktion

Det finns olika vis att förklara innebörden av subtraktion. Kling, Nyström och Wolf-Watz (1997, s. 19, 26) förklarar subtraktion som att det innebär att någonting förminskas, försvinner eller tas bort från ett tal. De menar vidare att det är det motsatta räknesättet till addition och att det också kan innebära att det är en uppdelning eller en skillnad. Larsson (2011, s. 46-47) betonar att man ska se subtraktion och addition tillsammans i en helhet och att de ska undervisas tillsammans, det här för att få elever att se sambandet mellan de två räknesätten. Larsson framhäver även att subtraktion är den inversa operationen till addition, men att många vuxna ser subtraktion som att det är när någonting tas bort eller minskas. Det här är i linje med Grevholms (2012, s. 102) förklaring av vad subtraktion innebär. Även Grevholm betonar att subtraktion är den inversa operationen av addition. Att subtraktion kan innebära att någonting tas bort, fylls ut, är en skillnad eller att något minskar.

För att klara av att beräkna subtraktion behöver elever förstå att subtraktion innebär tre saker, ta bort, jämföra och lägga till (Karlsson & Kilborn, 2015, s. 34). Vidare menar Karlsson och Kilborn (s. 50-51) att elever har svårigheter med räknesättet subtraktion på grund av att de enbart lär sig att subtraktion innebär att “ta bort” och att de inte får lära sig sambandet mellan subtraktion och addition. Elevers förståelse för subtraktion gynnas ifall de lär sig att strategier för beräkning av addition också kan användas vid subtraktionsberäkning, till exempel

strategierna att “lägga till” och “ta bort” (Fosnot & Dolk, 2018, s. 116). Att se subtraktion som omvänd addition gynnar elevers matematiska förmåga (Grevholm, 2012, s. 102). Whitacre, Schoen, Champagne och Goddard (2016, s. 303) betonar att elever behöver få en kunskap i att subtraktionsuppgifter går att beräkna på olika vis. Det finns metoder och

strategier som är bättre lämpade för vissa subtraktionsuppgifter än andra. De menar vidare att många elever får lära sig metoder och strategier för subtraktionsberäkning som enbart

5

2.3 Tidigare forskning

2.3.1 Addition vid subtraktionsberäkning

Det finns flera studier som visar på att det finns olika metoder och strategier som är gynnsamma för elever vid subtraktionsberäkning. I en studie genomförd i USA med 103 elever i åldern sex till sju år på två olika skolor, har Fuson (1986, s. 176-179) undersökt ifall de elever som medverkade i studien kunde lära sig att räkna upp med hjälp av addition i subtraktionsuppgifter, istället för att räkna ner. När eleverna räknade upp i

subtraktionsuppgifter, gjorde de det med hjälp av fingerräkning. Det är en studie där resultatet grundar sig på för- och eftertester som eleverna har genomfört, men även på intervjuer med utvalda elever. Att räkna upp och använda sig av addition vid

subtraktionsberäkning med hjälp av fingerräkning visade sig vara en effektiv strategi. Däremot visade det sig vara en svårare strategi för eleverna i studien som redan hade en beräkningsstrategi för subtraktion sedan tidigare (ibid, s. 180-181). En studie genomförd på 37 sjuåriga elever i Indonesien visar att beräkning med hjälp av fingrar även var svårt vid subtraktionsuppgifter som innehöll tvåsiffriga tal (Murdiyani, Zulkardi, Putri, Eerde & Van Galens, 2013, s. 110).

I en studie genomförd av Fuson och Willis (1988, s. 417) där de har undersökt hur väl strategin som innebär att räkna upp i subtraktionsuppgifter fungerar, visar även den på att strategin är effektiv vid subtraktionsberäkning. I studien som är genomförd i USA på elever i åldern sju till åtta år, var syftet att få syn på ifall strategin som innefattar att räkna upp, skapade problem vid användandet av andra strategier i subtraktion. Ett resultat som grundar sig på individuella intervjuer visar att strategin inte skapade problem vid användandet av andra strategier, utan att den snarare var fördelaktig vid svårare subtraktionsuppgifter. Strategin störde inte heller elevernas förmåga att kunna räkna ner i subtraktionsuppgifter, utan gav snarare eleverna en förståelse (ibid, s. 417).

Elever som fick lära sig att använda och se sambandet mellan addition och subtraktion, hade enklare att beräkna subtraktionsuppgifter som var uppbyggda av detta samband (Nunes, Bryan, Hallet, Bell & Evans, 2009, s. 64-68). I studien utförd på 60 elever i åldern sju till åtta år genomförd i England, har räknesättet addition använts för att skapa en förståelse för subtraktion. Eleverna i studien blev indelade i tre olika grupper med olika typer av

undervisning, varav en av grupperna fick ta del av undervisning på ett sätt som de var vana vid. Den här gruppen fungerade som en kontrollgrupp. En av de andra grupperna fick ta del av visuell undervisning och den tredje fick ta del av en undervisning präglad av diskussioner och samtal. För att få fram resultatet har eleverna fått genomföra för- och eftertester. Dessa tester visar på att de två grupper som inte fick den undervisning de var vana vid, fick en större framgång vid uppgifter uppbyggda av sambandet mellan subtraktion och addition efter att de fått se sambandet mellan de två räknesätten (Nunes, m.fl., 2009, s. 64-65, 68).

2.3.2 Uppdelning av tal

Studier visar att metoder och strategier som innefattar att dela upp tal är användbara för elever vid beräkning av subtraktion. En strategi som benämns som N10 (N + 10) som innebär att det första steget i strategin och uträkningen är att börja med att subtrahera tiotal och sen subtrahera ental, har visat sig vara en bra strategi för subtraktionsberäkning, framförallt när den användes tillsammans med ett konkret material i form av hundrarutor (Beishuizens, 1993,

6

s. 297-308). Resultatet synliggörs i studie genomförd på 125 elever i åldern sju till åtta år på sju olika skolor i Holland. I studien genomfördes individuella intervjuer med de medverkande eleverna (ibid, 302-303). Syftet var att undersöka hur väl en viss metod eller strategi

fungerade för elever vid subtraktion. Resultatet av studien synliggör även att en annan strategi som benämns som 1010 (10 + 10) där det också sker en uppdelning av tiotal och ental, var enklare för elever att ta till sig och lära sig än vad N10 strategin var. I 1010 delades tiotalen upp och räknades ut var för sig och entalen likaså, sen adderades svaret på dessa två uträkningar ihop (ibid, s. 297-308).

Det har visat sig vara enklare för elever med en hög aritmetisk förståelse och som även haft en förkunskap om innebörden av 1010 strategin, att ta till sig N10 strategin i

subtraktionsberäkning än för elever med en mindre hög aritmetisk förståelse och kunskap (Beishuizen, Van Putten & Van Mulken, 1997, s. 93-103). Det här resultatet synliggörs i en studie som även den genomförts i Holland. Studien genomfördes på elva skolor med

sammanlagt 249 elever i åldern åtta till nio år med syftet att få syn på hur elever kunde gå från ena strategin till den andra. För att få en bild över hur eleverna kunde skifta i

användandet av strategier, användes för- och eftertest. Det är via dessa tester som resultatet synliggörs (ibid, s. 93-95).

Däremot finns det en studie där ett resultat visar på att elever i mindre utsträckning använde sig av metoden som innebär att dela upp och räkna hundratal, tiotal och ental för sig.

Eleverna i studien använde sig oftast av den metod eller strategi som de senast hade lärt sig, inte den metod eller strategi som passade bäst till en viss typ av subtraktionsuppgift

(Torbeyns & LievenVerschaffel, 2015, s. 112-113). Det här resultatet har de kommit fram till via en undersökning genomförd på 58 elever i Belgien i åldern nio till tio år. Studiens syfte var att se vilka strategier eleverna i studien valde vid olika subtraktionsuppgifter. Resultatet framkom via tester med olika typer av subtraktionsuppgifter, som eleverna fick genomföra enskilt (ibid, s. 103-105).

2.3.3 Vikten av en varierad undervisning

En varierad undervisning i subtraktion har bidragit till att elever fått större förståelse för vad subtraktion innebär. Det här visar en studie som genomförts i Sverige tillsammans med 262 elever mellan sex till elva års ålder där syftet var att stötta lärarna i studien till att finna kritiska aspekter i elevernas lärande (Oltenau & Oltenau, 2012, s. 810-815). Att variera sin undervisning kan ske på olika vis. En undervisning som präglades av att elever fick

dramatisera, använda konkret material, och rita upp subtraktionsuppgifter gjorde att elever vågade använda sig av nya sätt att beräkna subtraktion på. Detta i form av nya

beräkningsstrategier och metoder (Jao, 2013, s. 10). Elever i årskurs ett och två som fick ta del av olika tillvägagångssätt för att beräkna och lösa subtraktionsuppgifter, fick en djupare förståelse för innebörden av subtraktion. De fick även ett flyt i att använda sig av olika metoder och strategier vid subtraktionsberäkning (ibid, s. 6, 10).

Jao (2013, s.10) betonar vikten av att få elever involverade och engagerade i undervisning med hjälp av att samtala tillsammans i helklass. Det här för att elever via dessa samtal får möta och genomföra olika representationer av subtraktion. Resultaten som visar på positiva resultat i subtraktion via en varierad undervisning, har Jao fått fram via sin tvååriga fältstudie där det har skett observation kring effekten av en lärares undervisning (ibid, s. 6). Att elever

7

får en ökad förståelse för innebörden av subtraktion genom att arbeta tillsammans i helgrupp har även Cengiz, Kline och Grants (2011, s. 370-371) studie på sex till elvaåriga elever i USA visat resultat på. Syftet med observationsstudien var att få syn på hur helgruppssamtal påverkade elever och även få syn på helgruppssamtalens effekt.

En annan studie vars resultat visar att elever fått en större förståelse för subtraktion, men även ökade resultat i subtraktion via en varierad undervisning, är Scis (2011, s. 36, 39) studie där elever fick arbeta tillsammans i par. Studien genomfördes på 55 elever i åldern sju till åtta år och tre lärare i USA där eleverna observerades under studiens gång. Observationerna ägde rum när eleverna arbetade i par och där eleverna i paret hade olika uppgifter. En av eleverna i paret fick lösa en uppgift och resonera kring varför en uppgift skulle lösas på ett visst sätt. Den andra eleven målade ner det den första eleven sa i form av representationer och ställde olika frågor om de metoder och strategier eleven valde att använda. Eleverna fick genomföra för- och eftertest och det är via dessa tester som resultaten kring ökade resultat och ökad förståelse i subtraktion synliggörs (ibid, s. 36).

2.3.4 Vikten av förståelse

Lärare kan inte förvänta sig att elever ska förstå varje steg i en beräkning om de själva inte har den förståelsen (McClain, 2003 s. 302-303). I en studie som genomförts i USA

undersöktes lärarstudenters förståelse för sina uträkningar. I studien deltog 24 lärarstudenter som var i slutet på sin utbildning (ibid, s. 284-285). Lärarstudenterna i studien hade många olika metoder och strategier för att beräkna subtraktion, men de kunde inte förklara varför de genomförde ett visst steg i en uträkning. Förklaring de gav var att de bara lärt sig att det skulle genomföras på det vis som de gjorde (ibid, s. 302-303). Resultatet har framkommit via videoinspelning och loggbok av helgruppssamtal med lärarstudenterna. I helgruppssamtalet gav forskaren ut olika aritmetiska uppgifter som studenterna sedan skulle lösa enskilt, för att senare presentera sina uträkningar framme vid tavlan.

Lärare menar att det som gör att elever inte lyckas med sina subtraktionsberäkningar, beror på att de inte förstår reglerna eller har glömt vad räknereglerna innebär (Yorulmaz & Önal, 2017, s. 1893). Det här resultatet framkommer via en studie genomförd med 71

lågstadielärare i Turkiet. Lärarna i studien intervjuades kring vilka svårigheter de har sett att elever har med respektive räknesätt och hur undervisning kan utformas för att få elever att undvika dessa. Det vanligaste svaret som lärarna gav under intervjuerna om hur de kunde underlätta för elever att förstå hur de olika räknesätten beräknas, var att mer repetition skulle behövas och att de exempel som ges ska vara mer förankrade ur elevernas vardagsliv. Vidare menar Yorulmaz och Önal att lärare måste vara säkra på hur och varför olika steg i olika algoritmer ska genomföras, detta för att få elever att lära sig (ibid, s. 1892-1894).

2.3.5 Konkret material

Ett flertal studier visar att ett konkret material på olika vis är gynnsamt för elever att använda sig av vid beräkning av matematik och subtraktion. I resultatet av Scis (2011, s. 42-43) studie framgår det att elever får en fördjupad förståelse för innebörden av subtraktion när de får en presentation av sambanden mellan konkret material, representationer och det abstrakta presenterat för dem. Det här är i linje med ett resultat av Jaos (2013, s. 10)

8

och hjälpte elever till att förstå det abstrakta inom matematik och subtraktion. I Engvalls (2013, s. 232) studie synliggörs ett resultat kring att laborativa material är bra att använda när elever ska lära sig något nytt. Vidare menar Engvall att lärare så småningom tänker att elever inte längre ska behöva använda materialet, utan klara sig utan det. Syftet med studien var att studera matematikundervisning på lågstadiet och undersökningens resultat har synliggjort via fältstudier, deltagande observation med hjälp av videoinspelning och ljudupptagning och fältanteckningar. I studien medverkade fem lärare och den genomfördes på sammanlagt sex klasser i två kommuner (ibid, s, 104-105, 108).

Det finns olika typer av konkret material. Ett konkret material i form av ett snöre med pärlor har skapat en förståelse och övergång för hur en tallinje fungerar och används och det förbättrade även elevers subtraktionsberäkning. Det här resultatet blir synligt i Murdiyani m.fl. (2013, s. 97-110) studie där syftet med studien var att se hur ett specifikt konkret

material kunde stötta elevernas beräkningar av tvåsiffriga tal. Däremot är det viktigt att elever får en förståelse för hur ett konkret material fungerar och används, annars är det inte till någon användning och gynnar inte elever vid beräkning av matematik och

subtraktionsuppgifter (Skoumpourdi, 2010, s. 301, 305-306). Det här resultatet visar sig i en studie genomförd och baserad på individuella intervjuer med 20 stycken femåriga elever i Grekland. I studien fick eleverna lösa olika matematikuppgifter utifrån en berättande text, med hjälp av ett konkret material i form av kuber och tallinje. En del av eleverna i studien fick introduktion om hur det konkreta materialet kunde användas, medan de andra eleverna inte fick denna information. Ifall elever inte får en introduktion om hur ett konkret material används, bidrar det inte till ett ökat resultat för elever i matematik (ibid).

2.3.6 Digitala verktyg

I en studie genomförd i Australien av Loong och Herbert (2018, s. 476, 479-480) var syftet att få syn på hur digitala verktyg i form av Ipads används i klassrum. De har genomfört studien i två olika klasser på två olika skolor, en årskurs fem med 25 elever och en årskurs tre med 20 elever. Resultatet i studien har synliggjorts via observationer och videoinspelningar. Ett resultat är att eleverna i studien blev mer engagerade i matematikundervisningen och fann den roligare när de fick använda digitala verktyg (ibid, s. 494). I linje med det här, har

Rodríguez-Aflecht, Jaakkola, Pongsakdi, Hannula-Sormunen, Brezovszky och Lehtinen (2018, s. 265-266) fått fram ett resultat som visar att elever motiveras och triggas till att räkna matematik när de får använda digitala verktyg. I studien som genomfördes på fem olika skolor i Finland, medverkade 212 elever, samtliga i årskurs fem. De har i den här studien undersökt hur ett digitalt spel i matematik utvecklar elevers matematiska kunskaper. Studiens resultat har framkommit genom att eleverna i studien fick upp frågor under spelet gång när de aktivt använde spelet, men även via för- och eftertest (ibid, s. 261-263). Däremot visar ett resultat av studien att eleverna efter ett tag inte fann spelet lika motiverande längre, det här på grund av bristen av variation (ibid, s. 265-266).

Digitala verktyg i form av olika spel bidrar med en ny dimension i matematikundervisning (Siew, 2018, s. 272-273). Det här visar ett resultat som har synliggjorts via för- och eftertest med en kontrollgrupp på 20 elever i årskurs tre i Malaysia. De 20 elever som var med i studien delades upp i två grupper, där den ena gruppen fungerade som en kontrollgrupp. Kontrollgruppen fick matematikundervisning utan digitala verktyg. Den andra gruppen med elever fick däremot en undervisning tillsammans med digitala verktyg. Studiens syfte var att

9

få syn på om digitala verktyg påverkade elevernas prestationer och intresse för matematik (ibid, s. 269). Däremot fick Siew fram ett resultat som visar på att de elever som fick använda digitala verktyg, ökade sin förmåga att räkna i större utsträckning än de elever som fick undervisning utan digitala verktyg (ibid, s. 271). Elever som fick använda sig av digitala verktyg i matematikundervisning har ökat sin förmåga för huvudräkning i de fyra räknesätten (O´Rourke, Main & Hill, 2017, s. 64). I den här studien genomförd på 278 elever i årskurs fyra och fem, var syftet att se vilken påverkan digitala spel hade på elevers huvudräkning i matematik. Resultatet fick de fram via observationer, intervjuer och tester där elevernas huvudräkning prövades (ibid, s. 54-56).

Sammanfattningsvis är nämnda studier relevanta för vårt arbete på så vis att det berör undervisning i subtraktion. Vi har förståelse för att de presenterade studierna fokuserar på olika perspektiv, både lärarperspektiv och elevperspektiv, men anser att dessa är av vikt då de är relevanta för lärares undervisning i matematik. En studie som presenteras har genomförts på lärarstudenter, men vi anser att studien är relevant då lärarstudenter är blivande aktiva lärare. I tidigare forskning presenteras även studier genomförda för ca 30 år sedan, dessa kan anses vara för gamla och inte indikerar på hur det ser ut i samhället idag. Däremot anses de enligt oss vara relevanta för den här intervjustudien då de berör metoder och strategier i subtraktion. Olika teorier om hur lärare kan bedriva undervisning för alla elever i subtraktion, som exempelvis via en variation av undervisningsformer, med hjälp av ett kollaborativt arbetssätt, med hjälp av konkret material och digitala verktyg har synliggjorts utifrån tidigare forskning. Via både tidigare forskning och litteratur blir det för oss synligt att det finns olika vis att bedriva undervisning i subtraktion på och att det är viktigt att lärare skapar och ger elever en förståelse för innebörden av subtraktion, men även själva har förståelse för dess innebörd. Det är även av vikt att lärare varierar sina undervisningsmetoder och strategier för att skapa just en förståelse för subtraktion hos elever. Vårt ramverk för vår studie är därmed vikten av hur lärare formar sin undervisning i subtraktion.

3. Metod

Under avsnittet metod presenteras studiens förutsättningar följt av urval och avgränsningar. Fortsättningsvis redogörs studiens genomförande, där empiriskt material presenteras. Avslutningsvis beskrivs studiens analysmetod, etiska aspekter och studiens trovärdighet.

3.1 Förutsättningar

Förutsättningarna för att den här studien skulle kunna genomföras anses enligt oss vara goda. Utifrån tidigare forskning och studier blev det för oss tydligt vad vi ville undersöka. Tack vare tidigare forskning och egna erfarenheter fanns det en trygghet i att undersöka om det valda ämnet subtraktion. Arbetet med att hitta lärare att intervjua i olika kommuner

förenklades genom kontakter, detta mycket tack vare tidigare verksamhetsförlagd utbildning. De tillfrågade lärarna var positivt inställda till att medverka och alla de tillfrågade ville delta i studien och var positivt inställda till dess syfte.

3.2 Urval

I den här studien har det genomförts kvalitativa intervjuer med sju verksamma

10

kvalitativ intervju innebär att det som sägs tolkas av oss som forskare för att få fram ett resultat (Bjereld, Demker & Hinnfors, 2009, s. 26). Nyberg och Tidström (2012, s. 126) framhäver att det finns både fördelar och nackdelar med att använda sig av en kvalitativ ansats och en nackdel kan vara att ansatsen tar mycket tid av forskaren. Ifall man använder sig av en kvalitativ ansats bör forskaren använda sig av ett mindre antal informanter, eftersom ansatsen tar tid (ibid). Det här har tagits i beaktning och antalet intervjupersoner har därför avgränsat till sju stycken.

Lärarna som har intervjuats i studien arbetar i olika kommuner och på olika skolor i södra Sverige. Urvalet av lärare som medverkade varierar på olika sätt, så som antal verksamma år och vilka årskurser de är verksamma och undervisar i (se tabell nedan). Lärarna som

medverkar i studien är aktiva i årskurserna ett, två och tre. Avgränsningen kring att endast intervjua lärare som arbetar i årskurs ett till tre beror på att räknesättet subtraktion börjar fördjupas mer i årskurs ett än i förskoleklass. Valet att intervjua lärare med olika erfarenheter inom läraryrket och matematikundervisning, var enligt oss av vikt för att få en mer verklig bild av hur undervisning i subtraktion bedrivs.

Årskurs Antal verksamma år Åk 2 1 år Respondent 1 Åk 3 22 år Respondent 2 Åk 3 15 år Respondent 3 Åk 3 20 år Respondent 4 Åk 3 3 år Respondent 5 Åk 1 20 år Respondent 6 Åk 1 1 år Respondent 7

Tabell över respondenternas verksamma år och vilken årskurs de undervisade i vid intervjutillfället.

3.3 Genomförande

Studiens empiriska material utgår ifrån individuella intervjuer med lärare i årskurs 1-3. Intervjuer har använts som insamlingsmetod, då vi anser att det var det som passade bäst till att kunna besvara studiens syfte och frågeställningar. Innan intervjuerna genomfördes formulerades relevanta frågor för intervjuerna som syftade till att besvara dessa

frågeställningar (se bilaga 1). Enligt Bjørndal (2005, s. 94) är en bra regel för intervjuer att inte använda sig av för många olika teman, utan rikta in sig på ett område. Bjørndal betonar att specifika frågor inom ett visst område eller tema stärker kvalitén på informationen. Eriksson-Zetterqvist och Ahrne (2015, s. 38) menar att forskare kan utgå från ett strukturerat frågeformulär för att få chansen att kunna ställa svaren respondenterna ger mot varandra. Att ha ett strukturerat frågeformulär underlättar enligt Kvale och Brinkmann (2014, s. 172) ett senare analysarbete, eftersom det blir lättare att hitta kategorier. I de genomförda intervjuerna ställdes följdfrågor där det var nödvändigt, det här för att få en djupare förståelse för vad lärarna i studien menade när de svarade på våra frågor. Att ställa följdfrågor medför fler nyanser och dimensioner av svar (Eriksson-Zetterqvist & Ahrne, 2015, s. 38). Däremot utformades följdfrågorna som ställdes på så vis att de inte gav respondenterna ett färdigt svar, utan var enbart till för att förtydliga svar som enligt oss var svåra att förstå.

11

Kontakten med lärarna togs i ett tidigt skede av studien. De medverkande lärarna mottog ett mejl där studiens syfte och frågeställningar presenterades och en förfrågan kring ifall de var villiga och hade möjlighet att medverka i studien. Därefter bestämdes tid och plats för var intervjun skulle genomföras. Att låta de som intervjuas vara i en miljö där de känner sig trygga menar Ahrne och Eriksson-Zetterqvist (2015, s. 42) gör att de kan slappna av och känna sig mer säkra. De medverkande lärarna fick bestämma plats för var intervjuerna skulle genomföras. Intervjuerna hade inte heller någon bestämd tidsram, eftersom vi ansåg att det hade kunnat påverka och stressa lärarna, men även oss själva. Det här hade vidare kunnat resultera i att intressanta svar kunnat gå förlorat.

I inledningen av varje enskild intervju informerades lärarna ytterligare en gång om studiens syfte, frågeställningar och ifall de fortsatt var villiga att delta. De fick informationen kring hur intervjuerna skulle användas i vår studie och att de skulle förbli anonyma. Eriksson-Zetterqvist och Ahrne (2015, s. 45) skriver att i början och i inledningen av intervjuer, är det bra att ställa vänliga frågor. Efter ytterligare presentation av syfte och frågeställningar, fortskred intervjun med allmänna frågor som enligt oss definieras som vänliga frågor. De här frågorna var exempelvis om hur länge de intervjuade hade varit verksamma lärare, vilken lärarutbildning de har och hur många elever som gick i klassen. Fortsättningsvis följdes intervjun upp med frågor som syftade till att svara på studiens syfte och frågeställningar. Alla intervjuer genomfördes tillsammans med ljudupptagning, för att efteråt transkriberas gemensamt av oss. Det finns fördelar med att använda sig av ljudinspelning och en av dem är att det som sägs, går att lyssna på flera gånger om (Bjørndal, 2005, s. 71). Vi valde att vara deltagande båda två när intervjuerna genomfördes. Tanken med det var att den ene av oss kunde bli en ledare för samtalet, medan den andre kunde fokusera mer på att ställa

följdfrågor. Att vara två under intervjuer och ha bestämda roller, gör att intervjun kan hållas vid liv längre och intressanta följdfrågor kan uppkomma (Eriksson-Zetterqvist & Ahrne, 2015, s. 49). Efter transkriberingen påbörjades analysen.

3.4 Analysmetod

För att besvara studiens frågeställningar har en kvalitativ ansats med både en deduktiv och en induktiv analysmetod använts. Svensson (2015, s. 218) menar att en induktiv analysmetod innebär att generella slutsatser tar form och att teorier bildas utifrån den insamlade empirin. Deduktiv innebär däremot att teorier synliggjorts innan bearbetad empiri (ibid). Utifrån tidigare forskning analyserades empirin med färdiga teorier och analysbegrepp, men nya kategorier bildades under bearbetningen och därför används både en induktiv och en deduktiv analysmetod.

Utifrån studiens presenterade tidigare forskning har det blivit synligt för oss att det finns olika vis att bedriva undervisning i subtraktion på och att det är av vikt för eleverna hur lärare väljer att forma sin matematikundervisning. Utifrån det här, blev vårt teoretiska ramverk som tidigare nämnts just vikten av hur lärare formar sin undervisning i subtraktion. Studiens resultat utgår ifrån ett lärarperspektiv då empirin och frågeställningarna riktar sig mot hur lärare uttrycker att de undervisar i subtraktion. De teoretiska begrepp som används och ligger till grund för att analysera studiens empiri, har identifierats via studiens presenterade tidigare forskning inom ämnet. Via tidigare forskning har det blivit synligt att det finns olika metoder och strategier som är gynnsamma för elever vid subtraktionsberäkning, att en varierad

12

i beräkning av subtraktionsuppgifter. De teoretiska begrepp som därmed används för att analysera empirin är strategi, metod, variation, och förståelse och dessa formades utifrån tidigare forskning. En ny kategori som bildades utifrån bearbetningen av empirin är

undervisning, då empirin visar på olika vis som en subtraktionsundervisning kan bedrivas och genomföras. Det här används även som ett teoretiskt begrepp.

Det första steget i analysen var att transkribera all insamlad empiri. Bjørndal (2005, s. 86) framhäver att det finns fördelar med att transkribera ner tal till skrift. En fördel är att aspekter i kommunikationen som skett kan tydliggöras och bli synligare, man kan få syn på saker som annars hade kunnat gå förlorat (ibid). De inspelade intervjuerna lyssnades noggrant igenom steg för steg och allt som sades transkriberades och skrevs ner i ett dokument i Word. Det här dokumentet sparades sedan ner på ett separat usb. Efter att materialet transkriberats, lästes allt igenom och på så sätt blev likheter och skillnader i respondenternas svar synligt. Delar i intervjuerna markerades med olika färger, delar som ansågs vara relevanta för att besvara studiens frågeställningar. De olika färgerna symboliserade olika saker. De svar och citat som handlade om exempelvis metoder och strategier i subtraktion markerades i en egen färg och så vidare.

För att fortsättningsvis kunna bearbeta och analysera empirin, formades två olika tabeller som var till hjälp vid analysarbetet och därmed blev studiens analysverktyg (se bilaga 2). Utifrån de funna kategorierna i form av färgkodning, var analystabellerna till hjälp för att ytterligare synliggöra resultat utifrån empirin. Den ena tabellen som formades riktade in sig på hur lärarna uttryckte sig bedriva undervisning i subtraktion. I tabellen fanns det kolumner som representerade de olika undervisningssätt som empirin synliggjorde. När allt det

transkriberade materialet hade färgkodats lästes det ytterligare en gång och vi kryssade i de kolumner som stämde överens med färgkodningen, samt det som respektive respondent lyfte fram under intervjun.

Den andra tabellen fungerade på samma vis, fast den handlade om de olika metoder och strategier de intervjuade lärarna uttryckte att de undervisade sina elever i. Utifrån

färgkodning och tabeller, blev de olika resultataspekterna synliga för oss och underlättade arbetet med att svara på studiens frågeställningar. Resultatets kategorier formades. Det blev synligt vilka metoder och strategier de intervjuade lärarna uttryckte sig undervisade i, vilket var addition vid subtraktionsberäkning, uppställning och uppdelning av tal. Det blev även synligt hur lärarna uttryckte sig bedriva undervisning i subtraktion för att få elever att lära sig metoder och strategier. De uttryckte sig undervisa med hjälp av en matematikbok,

kollaborativ undervisning, konkret material och digitala verktyg. Resultatkategorierna syftade till att svara på studiens syfte och frågeställningar.

3.5 Etiska principer

I den här studien har hänsyn tagits till Vetenskapsrådets (2002) fyra etiska principer. Det första kravet, informationskravet, uppfylldes då deltagarna informerades om vad studien handlade om och vad den skulle användas till. Det andra kravet, samtyckeskravet, uppfylldes genom att alla deltagare fick frågan om det var okej för dem att vara en del av vår studie. Att all insamlad empiri enbart fanns tillgängligt för oss två på ett separat usb gör att

konfidentiallitetskravet uppfylldes, då inga andra kunde ta del av den insamlade empirin. Efter studiens genomförande kommer all insamlad empiri att raderas. De medverkande i

13

studien har avidentifierats på så vis att de enbart benämns som “Respondent 1, Respondent 2” och så vidare i presentation av empirin. För att tillgodose nyttjandekravet, används den

insamlade empirin enbart till den här studien.

3.6 Metoddiskussion

I studien genomfördes strukturerade intervjuer med verksamma matematiklärare i årskurs 1-3 för att frågeställningarna i studien skulle kunna besvaras. Frågorna som lärarna skulle besvara fokuserade på hur de bedrev undervisning i subtraktion i med fokus på metoder och

strategier. Under genomförandet av intervjuerna märkte vi att flertalet av lärarna var ivriga på att svara på våra frågor, vilket i vissa fall resulterade i att de gärna “svävade” ut ifrån frågan och svarade på mycket annat runt om själva frågan som var ställd. Det här påverkade till viss del intervjuerna, eftersom det fanns de lärare som svarade så mycket på en och samma fråga, att de andra frågorna blev besvarade redan innan vi ställt dem. Men för att inte missa

relevanta svar, ställdes de redan besvarade frågorna till lärarna ändå, fast med en risk för upprepning och förändrat svar. Det fanns även tillfällen där det ställdes följdfrågor under intervjuerna, det här på grund av att det fanns ett behov av förtydligande eller för att de svar som respondenterna gav krävde en följdfråga. De medverkande lärarna i studien fick i förväg endast reda på studiens syfte och frågeställningar, inte studiens intervjufrågor. Om

respondenterna fått reda på intervjufrågorna i förväg hade det kunnat påverka deras svar. Det här skulle kunna resultera i att de intervjuade svarat utifrån hur de trodde att vi ville att de skulle svara, inte hur de själva faktiskt tänkte.

De olika intervjuerna tog olika lång tid. Några intervjuer höll på i tolv minuter, andra höll på i cirka en timme. Det som blev synligt vid transkriberingen av de intervjuer som höll på en längre tid, var att dessa intervjuer var de intervjuer där respondenterna gärna “svävade” ut ifrån frågan och pratade om mycket annat runt omkring. Vi kan utifrån transkriberingen se att under de intervjuer som höll på en kortare tid, gav respondenterna mer korta och konkreta svar. Vi kan i efterhand se fördelar med att intervjuerna tog olika lång tid och att det var fördelaktigt att tiden som intervjuerna hade till förfogande inte var begränsad. Fördelarna var att lärarna enligt oss gav mer konkreta svar av de intervjuer som inte pågick så länge och djupa och utförliga svar i de som höll på en längre tid. Under intervjuerna valde vi även att en av oss var den som höll i själva intervjun och den andra personen lyssnade, ställde

följdfrågor, spelade in och kontrollerade så allt tekniskt fungerade som det skulle.

3.6.1 Trovärdighet

Enligt Bjereld, Demker och Hinnfors (2009, s. 112-114) innebär begreppet validitet huruvida en studie undersöker och mäter det som är avsett att mäta. Den här intervjustudiens validitet kan därmed ses som relativt hög, eftersom vi har tagit fram intervjufrågor som syftar till att svara på studiens frågeställningar och undersöker det som är avsett att undersöka. Forskning ska även vara trovärdig för läsaren och trovärdighet är speciellt viktig vid en kvalitativ forskning (Svensson & Ahrne, 2015, s. 24-25). Det är viktigt att tänka på hur många personer som ska intervjuas i en kvalitativ forskning. Att intervjua mellan sex till åtta personer anses vara rimligt för att öka trovärdigheten i en forskning och studie. Däremot är det av vikt att intervjua fler än sex till åtta personer ifall man ska göra jämförelser i större omfång (Eriksson-Zetterqvist & Ahrne, 2015, s. 42).

14

Trovärdigheten i studien kan därmed även den anses vara relativt hög då det har genomförts intervjuer med sju verksamma lärare och dessa lärare arbetar även på olika skolor i olika kommuner, vilket gör att vi fått syn på hur deras arbetssätt varierar. Skulle däremot de intervjuades svar ha jämförts i större utsträckning och med ett annat syfte, hade det varit relevant att ha fler intervjupersoner. Däremot kan trovärdigheten i den här studien till viss del ifrågasättas, då det inte går att generalisera och säga att alla lärare arbetar på det här viset och att svaren förmodligen hade varierat och sett annorlunda ut ifall andra lärare hade intervjuats.

4. Resultat och analys

Nedan presenteras de resultat som har synliggjorts utifrån den insamlade empirin som syftar till att besvara studiens frågeställningar. Frågeställningarna är: vilka metoder och strategier lärare i årskurs 1-3 uttrycker att de lär sina elever att använda vid subtraktionsberäkning och vad dessa val baseras på och hur lärare i årskurs 1-3 uttrycker att deras

matematikundervisning bedrivs för att få elever att lära sig olika metoder och strategier för subtraktionsberäkning. Nedan redovisas vilka olika strategier och metoder lärarna uttrycker sig använda i sin undervisning och vad dessa val baseras på, men även hur lärare uttrycker att de bedriver subtraktionsundervisning för att få elever att lära sig olika metoder och strategier. All empiri analyserades tillsammans med analysbegreppen strategi, metod, variation,

förståelse och undervisning.

4.1 Metoder och strategier

Utifrån analysen av den insamlade empirin blev det synligt att de intervjuade lärarna uttrycker sig undervisa sina elever i olika metoder och strategier för subtraktionsberäkning. Med hjälp av de analytiska begreppen strategi, metod, förståelse och variation synliggörs vilka olika metoder och strategier för subtraktionsberäkning de intervjuade lärarna uttrycker sig undervisa i och varför. Empirin visar på tre olika metoder och strategier; uppställning, addition vid subtraktionsberäkning och dela upp tal, vilka de intervjuade lärarna uttrycker lära sina elever vid beräkning av subtraktionsuppgifter. Därmed visar resultatet nedan vilka metoder och strategier lärare uttrycker sig lära ut till sina elever.

4.1.1 Uppställning

Vid sammanställning av de intervjuade lärarnas svar, framkommer det i tolkningen av

intervjuerna att alla de intervjuade lärarna uttrycker att de lär eller kommer att lära sina elever att beräkna subtraktionsuppgifter med hjälp av en uppställning. Beroende på vilken årskurs läraren undervisade i för tillfället, handlade det om uppställning med växling i de högre årskurserna och uppställning utan växling i de lägre årskurserna. Under intervjuerna fick lärarna en fråga kring vilka metoder och strategier de undervisar i. Nedan är ett utdrag ur en intervju där svaret visar att läraren ifråga uttrycker sig undervisa sina elever i uppställning.

Intervjuare:

- Vilka strategier och metoder för subtraktion undervisar du i?

Respondent 5:

- Asså nu går de i årskurs 3 ju, så nu använder vi mycket uppställning för att det är det lättaste sättet för eleverna tycker jag just nu. Att de använder uppställning och ställer upp det. [...] Sen när de var ännu

15

yngre i 1:an så gjorde man ju inte riktigt så, då hade man ju inte uppställning på samma sätt, då var det mycket addition och subtraktion och kolla av liksom, från båda hållen. Kanske missat något nu men.. (skrattar).

I dialogen mellan intervjuaren och respondent 5 svarar respondenten att hen lär sina elever att använda uppställning för att beräkna subtraktionsuppgifter i den årskurs eleverna går i nu. Det framgår även varför respondent 5 väljer att undervisa eleverna i uppställning, vilket är att respondenten i fråga anser att uppställning är den strategi och metod som är lättast för

eleverna att använda sig av just för tillfället. Däremot såg det annorlunda ut när eleverna gick i årskurs ett. Det finns fler utdrag som visar på att lärarna i fråga uttrycker sig lära ut

uppställning till sina elever. Nedan följer ett utdrag ur intervjun med respondent 2.

Intervjuare:

- Vilka strategier och metoder för subtraktion undervisar du i?

Respondent 2:

- […] Eeeh, sen metoder, från att ha varit väldigt fult med uppställning så gör vi det mycket nu. Jättemycket. Men, med skillnaden att vi jobbar jättemycket med vad siffrorna betyder. Talets värde liksom. Det gjorde man ju inte när jag var liten utan då såg man ju alla mer som ental. Men det är ju viktigt att de får förståelse för vad siffrorna betyder beroende på var de står någonstans. Att om det står 152 så betyder femman femtio och inte en femma liksom. […] Men vi använder mest uppställning just nu i alla fall. […]

Intervjuaren ställer även här frågan om vilka metoder och strategier den intervjuade läraren undervisar i. I dialogen kan vi utläsa att respondent 2 frekvent använder sig av uppställning i klassen och kallar det här för en metod. Hen påpekar vikten av att arbeta med siffrornas betydelse för att underlätta för elever och för att de ska få en förståelse för talets värde. Av de sju lärare som intervjuats, svarade alla sju att de undervisar eller kommer att undervisa sina elever i uppställning, men de har alla olika anledningar till varför de valde att undervisa den och varför de ansåg att den var gynnande. Däremot anses uppställning enligt respondent 1 som svår, speciellt när eleverna inte har förstått innebörden av tiotal och ental, men att den gynnar elever när de väl har förstått innebörden. En uppställning går enligt respondent 1 snabbt och är enkel att göra. I den insamlade empirin är det en lärare som nämner att hen kommer att lära sina elever att använda uppställning som metod och strategi vid

subtraktionsberäkning i framtiden, men eftersom läraren ifråga undervisar matematik i en årskurs ett för tillfället har hen inte börjat lära ut den ännu.

Intervjuare:

- Vilka strategier och metoder för subtraktion undervisar du i?

Respondent 7:

- […] Jag kommer i denna klassen senare när det blir aktuellt lära ut den klassiska uppställningen. […]

Mycket i ens undervisning bygger på sin egen förmåga eller vad man behärskar. […]

Sammanfattningsvis kan vi utifrån empirin utläsa att alla de intervjuade lärarna uttrycker sig lära ut eller kommer att lära ut uppställning till sina elever, men att de gör det av olika anledningar. En anledning var att matematikboken går igenom detta vis att beräkna

subtraktion på. En annan anledning var att det är det sätt lärarna själva räknar subtraktion på och som de känner sig säkra på att lära ut. Det framkommer även från många av

respondenterna att uppställning anses vara det lättaste och effektivaste viset att beräkna subtraktionsuppgifter på. En lärare menade att, även ifall en subtraktionsuppgift är uppbyggd

16

för att lösas på ett specifikt vis går det ändå alltid att använda uppställning som metod och strategi om eleven vet hur den fungerar. Däremot gav respondenterna svaret att elever kan ha svårt att lära sig uppställning ifall de inte har inhämtat en förståelse för talets värde.

4.1.2 Uppdelning av tal

I empirin går det även att utläsa att tre lärare uttrycker sig undervisa sina elever i att dela upp tal och uppgifter på olika vis när de ska beräkna subtraktionsuppgifter. Lärarna fick som tidigare nämnt besvara en fråga om vilka strategier och metoder de undervisar sina elever i, men fick även frågor där respondenterna fick möjlighet att svara på vilka metoder och strategier de ansåg gynnar elever vid subtraktionsberäkning. Nedan är ett utdrag ur intervjun med respondent 1 där hen förklarar hur hen undervisar i uppdelning av tal.

Intervjuare:

- Vilka strategier och metoder för subtraktion undervisar du i?

Respondent 1:

- Ja, eeh.... ja. Tiotal upp och ner. Att man går till närmsta tiotal i båda talen och adderar ihop dem. Exempel om eleverna får en uppgift som är 42-38, räknar dem ner två från 42 för att komma till närmsta tiotal och sen räknar upp två från 38 för att komma till närmsta tiotal, sen adderas man ihop dem tvåorna och får fyra. Det är två hopp ner till 40 och två hopp upp till 40, tillsammans blir det fyra. […] Lär även ut att eleverna kan beräkna 100-tal, 10-tal och ental för sig.

Intervjuare:

- Vad baseras dessa val på?

Respondent 1:

- Eeh... jag, eeh.. hur jag själv räknar. Eeh.. tips från kollegor och hur jag ser hur barnen tänker. Hur jag ser att de räknar ut, och då får de också visa för andra och jag använder det också. För att de ska få så många olika sätt som möjligt.

Respondent 1 svarar att hen lär sina elever att först räkna upp eller ner på det ena talet för att komma till närmsta tiotal och sen gör likadant på det andra talet. Därmed kan eleven beräkna de tal som tas bort eller läggs till istället, det här för att komma fram till det rätta svaret. Respondent 1 berättar även att hen lär sina elever att de kan dela upp hundratal, tiotal och ental för sig och att dessa val baseras på hur respondenten själv räknar, men även hur hen ser att eleverna räknar och tips från kollegor. I frågan gällande vilka metoder och strategier som de intervjuade anser gynnar eleverna bäst, svarar respondent 1 att uppdelning av tal i form av att dela upp tiotal och ental även är en metod och strategi som gynnar eleverna i klassen.

Intervjuare:

- Vilka strategier och metoder anser du gynnar eleverna bäst vid subtraktionsuppgifter och varför?

Respondent 1:

- [...] eeh, och också uppdelning på ental och tiotal. Dessa för att det är enkelt att visa praktiskt vad som händer, asså att de förstår siffrorna och ser de framför sig med hjälp av ett praktiskt material, typ pengar, när de gör det i siffror.

Även respondent 3 svarar att hen lär ut uppdelning av tal på frågan om vilka metoder och strategier hen undervisar sina elever i, men att hen gör det och baserar valet och

17

Intervjuare:

- Vilka strategier och metoder för subtraktion undervisar du i?

Respondent 3:

- Ja, i årskurs 3 så är det ju både liggande och stående algoritm. Den liggande fungerar som så att man delar upp talen, att inte du gör en uppställning. Stående algoritm är ju, då räknar man ju talen under varandra och räknar enbart ental. Gör man det liggandes så lär de sig tallinjen liksom.

Intervjuare:

- Vad baseras dessa val på?

Respondent 3:

- Ja det är ju matematikboken.

Respondent 3 svarar att hen lär sina elever att dela upp tal och kallar det här för en liggande algoritm. Genom att dela upp talen med hjälp av en liggande algoritm menar respondenten i fråga gör att eleverna även lär sig tallinjen. Av de sju lärare som intervjuats, var det tre stycken som svarade att de lärde sina elever att beräkna subtraktion med hjälp av att dela upp tal vid beräkning av uppgifter. Däremot går det att utläsa i empirin att respondent 6 anser att elever vid uppdelning av tal kan blanda ihop och glömma bort vad de har gjort eller vilket steg de är på vid en beräkning av en uppgift.

Sammanfattningsvis blir det synligt att uppdelning av tal som metod och strategi vid subtraktionsberäkning är någonting som några av lärarnas elever blir undervisade i, men att uppdelningen av tal kan se ut på olika vis och kan benämnas på olika sätt. Några av

respondenterna menar på att det här viset att beräkna subtraktionsuppgifter på gynnar deras elever. Utifrån empirin har det blivit synligt att lärarna utgår ifrån hur eleverna beräknar subtraktionsuppgifter och bygger då vidare på det. Valet att inte lära ut den här metoden och strategin, menar en lärare i studien baseras på att det är många steg och elever kan blanda ihop eller glömma bort vad det är de har beräknat och därmed inte har en förståelse för

uträkningen. De undervisar i uppdelning av tal bland annat baserat på matematikboken och på hur de själva beräknar subtraktionsuppgifter.

4.1.3 Addition för att räkna upp

Att räkna upp vid subtraktionsuppgifter, att använda sig av addition istället för subtraktion vid beräkning av subtraktionsuppgifter är även det här en metod och strategi som de intervjuade lärarna uttrycker sig lära sina elever. Här nedan är ett utdrag ur intervjun med respondent 4 som förklarar att hen undervisar sina elever att räkna upp med hjälp av addition vid subtraktionsuppgifter.

Intervjuare:

- Vilka strategier och metoder för subtraktion undervisar du i?

Respondent 4:

- Uppställning är en givetvis och sen är det då, eeh, att man tar störst först, nej förlåt mig, nu säger jag fel, baklänges med plus menar jag givetvis, att man börjar på det lägsta talet och räknar upp, den är bra att använda när det inte är så långt emellan talen. Men sen kan man även använda den att man ser att det skiljer ett på talen, så att man kan plocka upp också.

I dialogen mellan intervjuaren och respondent 4 berättar den intervjuade att eleverna i klassen får lära sig att räkna baklänges med addition. Att använda sig av att räkna upp och använda addition vid subtraktionsberäkning uttrycker läraren är gynnsamt när det inte är så långt mellan de tal som ska beräknas. Den intervjuade får även svara på frågan om varför hen väljer att lära eleverna det här viset att beräkna subtraktion på och vad dessa val baseras på.

18

På frågan svarar respondenten följande:

Intervjuare:

- Vad baseras dessa val på?

Respondent 4:

- Att jag har sett att vissa grejer är svårare och andra lättare.. för de flesta elever. Sen finns det alltid de som fastnar för vissa, som passar dem. Men, ehh.. oftast är det ju så att det som funkar på de flesta är ju det man använder om man säger så.

Respondent 4 baserar sina undervisningsval på erfarenhet och det som har fungerat,

respektive inte har fungerat för elever tidigare. Hen säger även att de metoder och strategier som fungerar för de flesta elever oftast är de man använder sig av. Av de sju lärare som intervjuats, visar empirin på att tre av dessa lärare uttrycker sig lära ut och undervisa sina elever i att räkna upp vid subtraktionsuppgifter. Att lära elever att använda addition vid beräkning av subtraktionsuppgifter uttrycker även respondent 6 att hen gör.

Intervjuare:

- Vilka strategier och metoder för subtraktion undervisar du i?

Respondent 6:

- Algoritm är ju den metoden som, om man kan den, kan man, asså det är ju som en metod, att man kan köra den alltid. Men sen är ju inte den metoden så bra om du har 202 – 199 till exempel, så är det ju där många som, det är många sekvenser i den räkningen, algoritmräkning som kan ställa till det för dig, så om du kan då att räkna upp, att använda addition, så är det ju enklare, men för en elev som har svårt för det kan ju, alltså algoritm alltid vara ett alternativ, för den känner jag mig trygg med.

I citatet ovan besvarar respondent 6 frågan om vilka strategier och metoder hen lär sina elever att använda vid beräkning av subtraktion. Svaret som respondent 6 gav visar på att “räkna upp” var en metod och strategi som hen lär sina elever att använda vid

subtraktionsberäkning. Att vid vissa uppgifter är det enklare för eleverna att räkna upp, men för de elever som inte har en förståelse för hur de ska räkna upp, kan en algoritm vara ett alternativ. Citatet ovan indikerar på att respondenten uttrycker lära sina elever att använda fler än en metod och strategi vid subtraktionsberäkning, detta beroende på vilken uppgift hens elever ska beräkna. En variation av olika metoder och strategier blir synlig. I citatet nedan har respondent 6 svarat på frågan om hur undervisning i subtraktion bedrivs i hens klass. Respondent 6 uttrycker att det är viktigt att elever får en bred grund med metoder och strategier för att beräkna subtraktion på.

Intervjuare:

- Hur bedriver du undervisning i subtraktion i din klass?

Respondent 6:

- […] det är väl det här som forskningen säger, att det är bra att ha många verktyg och det beror på vilket, vad man ska lära ut, asså vilket tal det är […]

Sammanfattningsvis kan vi genom empirin se att det enligt respondenterna finns många fördelar med att lära ut och använda addition för beräkning av subtraktionsuppgifter.

Däremot menar lärarna att det oftast gynnar de elever som besitter hög matematisk kunskap, att dessa elever lättare förstår och ser att det går att lösa specifika uppgifter snabbare och lättare på det här viset, än med en uppställning. Däremot menar en lärare att elever som