Formelsamling Matematik 4

Formler till nationellt prov i matematik kurs 4

Algebra

Regler 2 2 2 2 ) (a+b =a + ab+b 2 2 2 2 ) (a−b =a − ab+b 2 2 ) )( (a+b a−b =a −b 3 2 2 3 3 3 3 ) (a−b =a − a b+ ab −b 3 2 2 3 3 3 3 ) (a+b =a + a b+ ab +b ) )( ( 2 2 3 3 b ab a b a b a + = + − + ) )( ( 2 2 3 3 b ab a b a b a − = − + + Andragradsekvationer x2+px+q=0 x p p −q      ± − = 2 2 2

Aritmetik

Prefix _{T G M k h d c m µ n p}

tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 Potenser x y x y a a a = + _y x y x a a a ₌ − x y xy a a ) = ( x _x a a− = 1 x x x ab b a =( ) x x x b a b a       = _an =n_a 1 1 0₌ a Geometrisk summa a+ak+ak2+...+ak −1 =a(_kk₋−₁1) där k≠1 n n Logaritmer y=10x ⇔x=lgy y=ex ⇔ x=lny xy y x lg lg lg + = y x y x lg lg lg − = _xp _{p x} lg lg = ⋅ Absolutbelopp    < − ≥ = 0 om 0 om a a a a a

Funktioner

Räta linjen Andragradsfunktioner

m kx y= + 1 2 1 2 x x y y k − − = _y=ax2_{+bx+c a≠0} Potensfunktioner Exponentialfunktioner a x C y= ⋅ y=C⋅ax a>0 och a≠1

Statistik och sannolikhet

Standardavvikelse 1 ) ( ... ) ( ) ( ₁ 2 ₂ 2 2 − − + + − + − = n x x x x x x s n (stickprov) Lådagram Normalfördelning Täthetsfunktion för normalfördelning 2 2 1 e 2 1 ) (       − − = σ µ π σ x x f

Differential- och integralkalkyl

Derivatans definition a x a f x f h a f h a f a f a x h − − = − + = ′ → → ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( 0

Derivator Funktion Derivata

n

x där n är ett reellt tal nxn−1

x a ₍a>0₎ axlna x ln (x>0) x 1 x e ex kx e k e⋅ kx x 1 2 1 x − x sin cos x x cos −sinx x tan x x 2 2 cos 1 tan 1+ = f x( )+g x( ) f ′( )x + ′g x( ) ) ( ) (x g x f ⋅ f(x)⋅g′(x)+ f′(x)⋅g(x) ) ( ) ( x g x f (g(x)≠0) ₂ )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( x g x g x f x g x f′ ⋅ − ⋅ ′

Kedjeregeln Om y= f(z) och z=g(x) är två deriverbara funktioner så gäller för y= f(g(x)) att ) ( )) ( (g x g x f y′= ′ ⋅ ′ eller x z z y x y d d d d d d ⋅ =

Primitiva

funktioner Funktion Primitiv funktion

k kx+ C ) 1 (n≠− xn C n xn + + + 1 1 x 1 C x+ ln (x>0) x e ex+C kx e C k kx + e ) 1 , 0 (a> a≠ ax C a ax + ln x sin − cosx+C x cos sinx+C

Komplexa tal

Representation z=x+iy=reiv =r(cosv+isinv) där i2 =−1

Argument argz=v x y v= tan Absolutbelopp 2 2 y x r z = = + Konjugat Om z=x+iy så z=x−iy

Räknelagar z₁z₂ =r₁r₂(cos(v₁+v₂)+isin(v₁+v₂))

)) sin( i ) (cos( _{1 2 1 2} 2 1 2 1 _{v v v v} r r z z _{= − + −}

Geometri

Triangel Parallellogram 2 bh A= A=bh Parallelltrapets Cirkel 2 ) (a b h A= + 4 π π 2 d2 r A= = d r O=2π =π Cirkelsektor Prisma r v b 2π 360⋅ = 2 π 360 2 br r v A= ⋅ = Bh V = Cylinder Pyramid h r V =π 2 rh A=2π (Mantelarea) 3 Bh V = Kon Klot 3 π 2 h r V = rs A=π (Mantelarea) 3 π 4 r3 V = 2 π 4 r A= Likformighet Skala Trianglarna ABC och DEF är likformiga. f c e b d a _{= =} Areaskalan = (Längdskalan)2 Volymskalan = (Längdskalan)3

Topptriangel- och transversalsatsen Bisektrissatsen Om DE är parallell med AB gäller BC CE AC CD AB DE _{= =} och BE CE AD CD = BC AC BDAD = Vinklar ° = +v 180 u Sidovinklar v w= Vertikalvinklar

L1 skär två parallella linjer L2 och L3 w v= Likbelägna vinklar w u= Alternatvinklar Kordasatsen Randvinkelsatsen cd ab= u=2v Pythagoras sats 2 2 2 b a c = + Avståndsformeln Mittpunktsformeln 2 1 2 2 1 2 ) ( ) (x x y y d = − + − 2 och 2 2 1 2 1 x _y y y x x_m= + _m = +

Trigonometri

Definitioner c a v= sin c b v= cos b a v= tan Enhetscirkeln y v= sin x v= cos x y v= tan Sinussatsen c C b B a A sin sin sin _{= =} Cosinussatsen _a2_=b2_+c2_−2bccosA Areasatsen 2 sin C ab T = Trigonometriska

formler _sin2 _+cos2 ₌₁

v v u v u v u

v ) sin cos cos sin

sin( + = + u v u v u

v ) sin cos cos sin

sin( − = − u v u v u

v ) cos cos sin sin

cos( + = − u v u v u

v ) cos cos sin sin

cos( − = + v v v 2sin cos 2 sin =       − − − = (3) sin 2 1 (2) 1 cos 2 (1) sin cos 2 cos 2 2 2 2 v v v v v ) sin( cos sinx b x c x v a + = + där c= a2+b2 och a b v= tan Cirkelns ekvation (x−a)2+(y−b)2 =r2

Exakta värden Vinkel v (grader) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° (radianer) 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 π 2 4 π 3 6 π 5 π v sin 0 2 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 0 v cos 1 2 3 2 1 2 1 0 2 1 − 2 1 − 2 3 − −1 v tan 0 3 1 1 3 Ej def. − 3 −1 3 1 − 0