Matematik 4

Matematik 4

Kap. 1 Trigonometri och formler

Innehåll

1.1 Trigonometri och trianglar 1.2 Trigonometri och trianglar 1.3 Bevis och bevismetoder

1.4 Trigonometriska ekvationer

1.5 Tillämningar och problemlösning

1.1 Trigonometri och trianglar

Sinus, cosinus & tangens sin a

A  b cos c

A  b tan a A  c

Hur skall man göra för att komma ihåg detta?

Sinus, cosinus & tangens

motstående katet sin A  hypotenusa

närliggande katet cos A  hypotenusa

motstående katet tan A  närliggande katet

Sinus, cosinus & tangens

sin C 

cosC 

tan C 

bc ba ca

Sinus, cosinus & tangens sin 3 0,6

A  5

cos 4 0,8 A  5

tan 3 0,75 A  4

Sinus, cosinus & tangens

Hur stor är vinkeln A?

Enhetscirkeln

(0,8;0, 6)

(cos ,sin ) 



Enhetscirkeln

Enhetscirkeln

Hur stor är vinkeln?

Vinkeln är c:a 36,9°

Enhetscirkeln

NpMa3c ht 2012

TRIGONOMETRI

Trigonometri i rätvinkliga trianglar

sin 3

v  5 4

cosv  5 3

tanv  4

TRIGONOMETRI

Definitioner

motstående katet

sin hypotenusa

v a

 b

närliggande katet

cos hypotenusa

v c

 b

motstående katet tan närliggande katet

v a

 c

EXAKTA VÄRDEN

Från formler till Matematik 4

TVÅSPECIELLA TRIANGLAR

sin 45 1

  2 1

tan 45 1

  1 sin 30 1

  2 3

cos 30

  2 cos 45 1

  2

tan 30 1

  3 cos 60 1

  2 sin 60 3

  2 3

tan 60 3

  1 

EXAKTA VÄRDEN

Finns i formelhäftet!!

OBS!

ENHETSCIRKELN

ENHETSCIRKELN

ENHETSCIRKELN

sin tan cos

v v

v 

ENHETSCIRKELN

Hur kan vi visa följande formler?

sin( ) sin cos( ) cos

sin( 180 ) sin cos( 180 ) cos

v v

v v

v v

v v

  

 

   

   

Vi tar hjälp av räknaren

sin 0,766 cos 0,070 tan 0, 466

sin 3

2

cos 3

2 tan ??

v v v

v

v v









 



50 ??

86 ??

25 ??

60 ??

150 ??

90 ??

 

 

 

 

 

 

TRIGONOMETRISKA ETTAN

2 2 2

cos v  sin v  1

2 2

cos v  sin v  1

2 2

cos v  1 sin v

2 2

sin v  1 cos v cos v  1 sin 2 v sin v  1 cos 2 v

TRIGONOMETRISKA ETTAN

sin2

Hur matar man in 30 i räknaren?

TRIGONOMETRISKA ETTAN

2 2

cos v  1 sin v

2 2 2

cos v  1 sin v

   

cos2 v  1 sin v 1 sin v

TRIGONOMETRISKA ETTAN

2 2

sin v  1 cos v

   

sin2 v  1 cos v 1 cos v

2 2 2

sin v  1 cos v

ADDITIONS- OCH

SUBTRAKTIONSSATSERNA FÖR SINUS

sin((40 30) ) sin(40 ) cos(30 ) cos(40 )sin(30 )       

ADDITIONS- OCH

SUBTRAKTIONSSATSERNA FÖR COSINUS

FORMLER FÖR DUBBLA VINKELN

EKVIVALENS



EKVIVALENS

3x    1 4 x 1

IMPLIKATION



IMPLIKATION

3 2 9 x   x 

ICKE



DIREKT BEVIS

P  Q

INDIREKT BEVIS

P Q P Q

    

VAD ÄR DET FÖR FEL PÅ FÖLJANDE BEVIS?

GRUNDEKVATION FÖR SINUS

 

1 2

360

180 360

x v n

x v n

   

     

GRUNDEKVATION FÖR SINUS

DEGREES SINUS   DEGREES SINUS

60 0,866025   120 0,866025

420 0,866025   480 0,866025

780 0,866025   840 0,866025

1140 0,866025   1200 0,866025

1500 0,866025   1560 0,866025

1860 0,866025   1920 0,866025

2220 0,866025   2280 0,866025

2580 0,866025   2640 0,866025

2940 0,866025   3000 0,866025

3300 0,866025   3360 0,866025

GRUNDEKVATION FÖR COSINUS

1,2 360

x    v n 