Matematik 4

Matematik 4

Kap. 2 Trigonometri och grafer

Innehåll

2.1 Trigonometriska kurvor 2.2 Radianbegreppet

2.3 De trigonometriska funktionernas derivator 2.4 Tillämningar och problemlösning

2.1 Trigonometriska kurvor

TRIGONOMETRI OCH

DERIVATOR

TRIGONOMETRISKA KURVOR

Vilken av dessa kurvor är y = sin x resp. y = cos x ? y = sin x

y = cos x

AMPLITUD

y = sin x

y = 2sin x

y = 3sin Vilken kurva är vilken? x

PERIOD

Vad händer med perioden när man ändrar en kurva från sin x till sin 2x?

Vad menas med period?

Den blå kurvans period

Den röda kurvans period

sin

y  x y  sin 2x

Vad tror du händer med perioden när man ändrar en kurva från sin x ^till sin 0,5x^?

PERIOD

Vilken av dessa kurvor är y = sin (x), y = sin (2x) resp. y = sin (x/2) ?

Hur ändras perioden om man ändrar kurvan y = sin (x) till y = sin (2x)?

Hur ändras perioden om man ändrar kurvan y = sin (x) till y = sin (x/2)?

sin

y  x y  sin 2x sin 2 y  x

FÖRSKJUTNING AV KURVOR

y = sin (x)

y = sin(x -

40°) 40

°

FÖRSKJUTNING AV KURVOR

y = sin (x)

y = sin(x + 50°)

Kurvan y = sin (x) har förskjutits 50° åt vänster.

50

°

EN KURVA AV TYPEN y = a sin bx

y = sin (x)

y = 2 sin(2x) y = a sin (bx)  y = 2 sin(2x)  a = 2 & b = 2

(Perioden är halverad och amplituden är dubblerad)

KURVTYPEN y = a sin b(x-v)

y = sin (x)

y = 2 sin3(x – 20°)

Kurvan y = sin (x) har förskjutits 20° åt

höger. Den har perioden 120° (360/3) och amplituden 2.

KURVTYPEN y = a sin b(x-v)

 

 

2sin 3 – 2 2sin 3 60°

0

y x

z x

 

 

Är dessa två funktioner samma sak?

f(x)=2sin(3(x-20))

-π/2 π/2

-3 -2 -1 1 2 3

x

y f(x)=2sin(3x-60)

-π/2 π/2

-3 -2 -1 1 2 3

x y

KURVTYPEN y = a sin b(x-v)

KURVAN y = sin x - 2

y = sin (x)

y = sin(x) - 2 -2

Kurvan y = sin (x) har förskjutits 2 enheter nedåt.

KURVAN y = tan(x)

asymptot 90

°

x x x

cos tan  sin

- 90°

Tangens period = 180°

Asymptot

KURVAN y = a sin x + b cos x

Skriv om uttrycket på formeny  6sin x  8cosx y  msin(x  v).

Uppgift 2162 a) (Sid.

89)

2

2 8

6 



m  36 64  100 10

3 4 6

tanv  8 



 



 



 ^  53,1301023542...

3 tan ¹ 4 v

) 1 , 53 sin(

10  

 x

y

Svar:

KURVAN y = a sin x + b cos x

6sin 8cos 10sin( 53,1 )

y  x  x  y  x  

f(x)=6sin(x)+8cos(x)

-270 -180 -90 90 180 270

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

y 10?

+53,1

°?

10

53,1°

KURVAN y = a sin x + b cos x

2.2 Radianbegreppet

RADIANBEGREPPET

RADIANBEGREPPET

Radianer är definierade som den sträcka

utmed enhetscirkelns rand som spänns upp av vinkeln.

RADIANBEGREPPET

Eftersom enhetscirkeln har radien 1 så blir dess

omkrets 2π. Ett helt varv, 360 grader, motsvarar alltså 2π rad. Annorlunda uttryckt, 1 rad ≈ 57,295°.

[ Cirkelns omkrets = diameter × π  I enhetscirkeln: 2 × π ]

GRADER  RADIANER

360 2 180

90 2 60

3 45

4











 

 

 

 

 

Bra att kunna utantill.

GRADER  RADIANER

RAD DEG 2 360 

 



DEG RAD 360 2 

  

RAD = Radianer

ETT HELT VARV

 360

 2

Grader:

Radianer:

Gon (tidigare benämnd nygrad)

Ett vinkelmått avpassat efter decimal systemet är nygrader (gon, grade). Systemet kallas centesimalsystemet.

1 rätt vinkel (90º) indelas i 100 nygrader (100^g, grade)

1^g indelas i 100 nyminuter (100^c, centesimal minute) 1^c indelas i 100 nysekunder (100^cc, centesimal secunde) I lantmäteri anges vinkel i gon.

På miniräknare beteckningen

”DEG" för grader och ”GRA"

eller ”GON" för nygrader.

Källa:

http://matmin.kevius.com/vinkel.php

GRADER  RADIANER Ett exempel:

Deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner

jämfö r

ln e  1

OBS

!

CIRKELSEKTORN - BÅGE OCH AREA

360 2

b  v  r

Cirkelbågens längd

Vinkeln mäts i

grader Vinkeln mäts i

radianer

Cirkelsektorns areaVinkeln mäts i

grader Vinkeln mäts i

radianer

r v v r

b     

 ² 2

2 2

360 360 2

v v r

A r   r

2 2

2 v r2

v r

A   



2 2 2

360

v r r b r

A     ^ v r² v r r b r

A      

2.3 De trigonometriska funktionernas derivator

Hur kan man se detta i DESMOS?

Derivatan av trigonometriska funktioner

Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska

funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?

Genom att utföra samma beräkning med en räknare som först ställts in på radianer och sedan på grader (degree).

OBS! 1 RAD  57,2957795130823°

Derivatan av trigonometriska funktioner

Hur kan man visa att regler för derivering av trigonometriska

funktioner endast gäller om vinklarna anges i radianer?

OBS! /4 RAD = 45°

Derivatan av trigonometriska funktioner

En liten film som visar varför man skall använda radianer

när man använder derivatan till trigonometriska formler.

http://wikiskola.se/index.php?

title=Derivatan_av_trigonometriska_funktioner

Derivatan av sammansatta funktioner

Kedjeregeln

Kedjeregeln

 

 

4

3 4 5

3

3 5

2 3 4

2

2

'

4 '

4 3

3

' 15 ( )

5

5 4 4

p x p

z x z

y x y

x

x x x

x

 x





 



 

    

Jag har matat in en funktion på Y₁ och en på Y₂ i min räknare. Sedan slog jag följande:

Vad kan man säga om relationerna mellan funktionerna Y₁ och en på Y₂ ?

Y₂ är derivatan till Y₁. Varför ger beräkningarna inte exakt samma resultat?

Kedjeregeln

Kedjeregeln

4cos ' 4sin 3 '

2 2

4cos 3

2

' 4sin 3 4 sin 3 2 sin 3

2 2 2 2 2

p x p x

z x z

y x

y x x x

 



     

  

  

 

   

 

     

                

Kedjeregeln

1 4

Bestäm derivatan av ( )f x

x x

 

   

 

4

1

1 2

( ) 1

( ) 1

( )

f x x x

g x x x

x x

h x x x x x



 

     

  



   

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Kedjeregeln

1 4

Bestäm derivatan av ( )f x

x x

 

   

   

4 3

1 2

1 1

2 2

1 1

( ) '( ) 4 '( )

( ) 1 '( ) '( )

( ) '( ) 1 1

2

f x f x g x

x x x x

g x x x g x x x h x

x x

h x x x x x h x x

 



   

         

       



      

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Kedjeregeln

1 4

Bestäm derivatan av ( )f x

x x

 

   

   

 

 

4 3

1 2

1 1

2 2

3 2

3 2 1

2

1 1

( ) '( ) 4 '( )

( ) 1 '( ) '( )

( ) '( ) 1 1

2

'( ) 4 1 '( )

1 1

'( ) 4 1

2

f x f x g x

x x x x

g x x x g x x x h x

x x

h x x x x x h x x

f x x x h x

x x

f x x x x

x x

 





 

   

        

       



      

 

       

 

 

          Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Kedjeregeln

1 4

Bestäm derivatan av ( )f x

x x

 

   

 

4 3 2 1

1 1 1 2

( ) '( ) 4 1

f x f x x x 2 x

x x x x

   

    

            

TEST!

Inmatat i räknaren:

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Hur skall vi tolka resultatet?

Kedjeregeln

1 4

Bestäm derivatan av ( )f x

x x

 

   

 

3 2 1

1 1 2

'( ) 4 1

f x x x 2 x

x x

   

 

         

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

I facit står det:

 

'( ) 2 4 x f x

x x x

  



Är det samma sak? Hur kan man kolla det?

Kedjeregeln

   

3 2 1

2 5

1 1 2 4

'( ) 4 1 '( )

2

f x x x x f x x

x x x x x

 

    

 

          

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Är dessa båda samma sak?

Omvandling

 

 

3 1

2 5

2 2 4

'( ) 1 1 1 '( )

4 2 x x

f x f x

x x x x x x x

   

  

 

   

       

 

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Att omvandla VL till HL.

Skriver om blå

1 3 1 1 1

4 4

x x x x x x x x

      

         

     

Skriver om röd

 ^{x x}^{2 1 } _{x x}^{1 2 1 } _{x x}^{1 } _{x x}^{1 }

             

Multiplicerar blå med

röd  

   

5 5

5 5

1 1 1 1 4

1 4 4

1 1 1

4 x x x x x x x x x x x x x x x x

     

            

    

   

   

  

      

Omvandling

 

 

3 1

2 5

2 2 4

'( ) 1 1 1 '( )

4 2 x x

f x f x

x x x x x x x

   

  

 

   

       

 

Origo 4, uppg. 3141, sid 84

Att omvandla VL till HL.

Multiplicerar produkten med grön

       

   

 

 

5

1

5

5 5

2

5 5

5

1 1 1 1 2 1 2

1 1

2 2

4 4 4 4

2 2 4

4 8 2 4

2 2

2 2 2

x x x x x x x x

x x x

x x x

x x

x x x x

x x x x x x

x

    

            

   

       

   

     

  

  

   

 

     

Q.E.D.