Det matematiska språket. Ett medel att nå ökad begreppsförståelse

Lärarutbildningen

Skolutveckling och ledarskap

Uppsats

15 högskolepoäng

Det matematiska språket

Ett medel att nå ökad begreppsförståelse

The language of mathematics

An instrument to attain increased understanding of concepts

Agneta Lindqvist

Magisterkurs i specialpedagogik, 30 hp Handledare: Elsa Foisack

Malmö högskola Lärarutbildningen

Skolutveckling och ledarskap Magisterexamen

Vårterminen 2008

Lindqvist, Agneta (2008). Det matematiska språket. Ett medel att nå ökad begreppsförståelse. (The language of mathematics. An instrument to attain increased understanding of concepts).

Skolutveckling och ledarskap, Magisterexamen, Lärarutbildningen, Malmö högskola.

Syftet med studien var att undersöka pedagogers uppfattning och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad be-greppsförståelse.

Studien ger en översikt över tidigare forskning om det matematiska språ-kets inverkan på begreppsförståelsen. Med hjälp av enkätundersökning och intervjuer ville jag ta reda på hur pedagoger arbetar för att utveckla det ma-tematiska språket och därmed stärka elevernas begreppsförståelse, men också vilka möjligheter eller hinder som pedagoger möter i detta arbete. Jag ville också ta reda på vilka grundläggande förutsättningar som är bety-delsefulla för att möjliggöra ett arbetssätt där man medvetet arbetar med det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse, samt vilken betydelse ett sådant arbetssätt har för elever i matematiksvårigheter.

Sammanfattningsvis visar resultaten av mina undersökningar på samstäm-mighet hos pedagogerna att om pedagogen i matematikundervisningen ar-betar medvetet med det matematiska språket och eleven får arbeta språkligt aktivt i samspel med pedagog/kamrater finns förutsättningar för att elevens matematiska begreppsförståelse utvecklas. Faktorer av betydelse är att ele-ven får arbeta i en liten flexibel grupp i en ändamålsenlig lokal med god tillgång till konkret och laborativt material där arbetssättet är verklighetsba-serat och under ledning av en kompetent pedagog/specialpedagog. Vidare framkom att dessa förutsättningar har särskilt stor betydelse för elever i ma-tematiksvårigheter.

Nyckelord: begreppsförståelse, matematiksvårigheter, matematiskt språk, specialpedagogik, språk

Agneta Lindqvist Handledare: Elsa Foisack

FÖRORD

Jag vill tacka alla pedagoger som på ett så engagerat och positivt sätt ställt upp på intervjuer för att dela med sig av sin kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad be-greppsförståelse.

Jag vill tacka min handledare Elsa Foisack för sakkunnig hjälp med magis-teruppsatsen.

Jag vill tacka Ann-Charlotte Pettersson, medförfattare till den c-uppsats som jag refererar till i min studie, för hjälp med det datortekniska i mitt skrivande.

Jag vill också tacka min familj som tålmodigt stått vid min sida under arbe-tets gång. Anders, ditt stöd har varit oumbärligt! Karin, din uppmuntran har haft stor betydelse för mig i mitt skrivande! Erik, du finns i tanken!

INNEHÅLL

3.1.1 Definition av ordet begrepp... 11

3.1.2 Definition av organisations-, grupp- och individnivå... 12

3.2 Styrdokumenten... 14

3.3 Matematiska begrepp ... 14

3.4 Matematiskt språk... 16

3.5 Att utveckla det matematiska språket ... 18

3.6 Möjligheter i arbetet med att utveckla det matematiska språket ... 19

3.7 Hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket ... 20

3.8 Grundläggande förutsättningar för att utveckla det matematiska språket ... 22

3.9 Det matematiska språkets betydelse för elever i matematiksvårigheter ... 24

4 TEORI... 27

4.1 Den sociokulturella teorin ... 27

4.2 Vygotskij och den sociokulturella teorin ... 28

4.2.1 Vygotskij... 28

4.2.2 Språk och tänkande... 28

4.2.3 Begreppsutveckling... 29

4.2.4 Den närmaste utvecklingszonen... 30

5 METOD ... 33 5.1 Allmänt om metod ... 33 5.2 Metodval... 34 5.3 Pilotstudie ... 36 5.4 Undersökningsgrupp ... 36 5.5 Genomförande ... 37 5.6 Databearbetning ... 38

5.7 Reliabilitet och validitet ... 38

6 RESULTAT ... 41

6.1 Att utveckla det matematiska språket ... 41

6.1.1 Matematiskt språk... 41

6.1.2 Begrepp/språkliga uttryck som är viktiga respektive svåra att lära... 42

6.1.3 Att utveckla det matematiska språket... 43

6.2 Möjligheter i arbetet med att utveckla det matematiska språket ... 44

6.3 Hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket ... 46

6.4 Grundläggande förutsättningar för att utveckla det matematiska språket ... 48

6.5 Det matematiska språkets betydelse för elever i matematiksvårigheter... 50

7 DISKUSSION ... 51

7.1 Matematiskt språk... 51

7.2 Att utveckla det matematiska språket ... 52

7.3 Grundläggande förutsättningar - möjligheter - hinder ... 54

7.4 Elever i matematiksvårigheter... 58

7.5 Mina reflektioner på vald teori... 60

7.6 Mina reflektioner på datainsamlingen ... 61

7.7 Sammanfattning ... 62

7.8 Fortsatt forskning... 62

REFERENSER... 63

BILAGOR Bilaga A Enkät ... 67

Bilaga B Missivbrev till enkät ... 69

Bilaga C Intervjufrågor - huvudfrågor ... 71

Bilaga D Missivbrev till intervjufrågor... 73

Bilaga E Definition av ordet begrepp ... 75

1 INLEDNING

Matematik är en av våra äldsta vetenskaper och har en mer än femtusenårig historia. Dess verksamhet är i ständig utveckling och idag används mate-matiska begrepp, metoder och modeller i såväl vardags- och yrkesliv som i samhälleliga och vetenskapliga sammanhang. Matematisk kunskap ska bi-dra till självförtroende, kompetens och reella möjligheter att påverka och delta i vårt samhälle (Skolverket, 2003). Lpo 94 (1999) föreskriver att sko-lan skall sträva efter att varje elev ska lära sig att använda sina kunskaper i matematik som redskap för att formulera, pröva antaganden och lösa pro-blem, reflektera över erfarenheter och kritiskt granska, värdera påståenden och förhållanden. Lpo 94 föreskriver även att skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet.

Matematik har nära samband med andra skolämnen. Eleverna hämtar erfarenheter från omvärlden och omsätter sina matematiska kunskaper i ett meningsfullt sammanhang. För att utöva matematik med gott resultat krävs att eleverna får kunskaper om matematiska begrepp, uttrycksformer och metoder. Det är viktigt att utveckla elevernas intresse för matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer (Skolverket, 2000). Det finns ett viktigt samband mellan de två kärnämne-na svenska och matematik, där språket har stor betydelse för utvecklandet av det matematiska tänkandet. Det är därför viktigt att uppmärksamma språkutveckling som en del av undervisningen i matematik (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Har eleven ett väl fungerande språk har han/hon goda förutsättningar för en effektiv inlärning, medan eleven med ett brist-fälligt ordförråd ofta får svårigheter att tillägna sig den grundläggande be-greppsbildningen. (Malmer, 2002; Sterner & Lundberg, 2004). Det är såle-des betydelsefullt att varje pedagog tar sitt ansvar för elevernas språkliga utveckling och uppmärksammar att matematikämnet har en språklig di-mension (Myndigheten för skolutveckling, 2008).

I den här studien kommer jag att undersöka pedagogers kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse. Jag kommer att relatera pedagogers kunskap och erfarenhet till aktuell forskning, litteratur och teori.

1.1 Bakgrund

I januari 2007 var jag klar med utbildningen till specialpedagog vid Lärar-högskolan i Stockholm. I utbildningen läste vi litteratur om matematik och det gjorde mig intresserad av hur man i mötet med elever i matematiksvå-righeter på bästa sätt kan hjälpa dem att utveckla sin begreppsförståelse och därmed ge dem bättre förutsättningar att lösa matematiska problem. Därför var ämnesvalet enkelt när jag tillsammans med Ann-Charlotte Pettersson

skrev examensarbetet Begreppsförståelse, Förutsättningar för elever i ma-tematiksvårigheter (2006). Syftet med arbetet var att undersöka och kart-lägga pedagogers uppfattning och erfarenhet av vad som ger elever i mate-matiksvårigheter en ökad begreppsförståelse och därmed bättre förutsätt-ningar att lösa matematiska problem. Med hjälp av enkätundersökning och intervjuer ville vi ta reda på vilka grundläggande förutsättningar och ar-betssätt/strategier som gynnar begreppsförståelsen hos elever i matematik-svårigheter. Vi ville också se vilka hinder som pedagoger möter i arbetet med att utveckla begreppsförståelsen hos elever i matematiksvårigheter. Undersökningen omfattade pedagoger som arbetar från förskoleklass till år 6 samt i specialundervisningen inom alla rektorsområden i min kommun. Sammanfattningsvis pekade resultaten av vår undersökning på att om re-surser prioriteras så att en elev i matematiksvårigheter får arbeta språkligt aktivt med varierat arbetssätt i en liten grupp under ledning av en kompe-tent pedagog/specialpedagog, har han/hon goda förutsättningar att nå en god begreppsförståelse.

Arbetet med examensarbetet har gjort mig än mer intresserad av det ma-tematiska språkets betydelse för att förstå matematiken. I de tidigare åren arbetar ofta pedagogerna med multisensoriskt arbetssätt, dvs. eleverna lär genom flera sinnen, för att på detta sätt låta eleverna få förståelse för många av de matematiska begrepp som vi omger oss med i vardagen. I de senare åren är detta arbetssätt inte lika förekommande. I mitt arbete som specialpedagog möter jag elever som inte har förståelsen för många själv-klara ord, både i kommunikationen med pedagogen, när pedagogen under-visar eller i ord som förekommer i läromedel.

I min magisteruppsats kommer jag utifrån examensarbetet att ”dyka djupare” i sambandet mellan matematik och språk. I Lusten att lära - med fokus på matematik (Skolverket, 2003) poängteras att sambandet mellan god språkbehärskning och matematisk förståelse är väl belagt såväl i peda-gogiskt arbete som i forskning. Min studie kommer att behandla pedago-gers kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse.

Jag arbetar som specialpedagog med övergripande ansvar för år 4-9 i en liten kommun. Jag väljer att göra studien i min kommun för att på så sätt ta till vara den kompetens som finns inom kunskapsområdet, synliggöra den och visa på utvecklingsmöjligheter. Jag vill att alla pedagoger får del av denna kompetens för att på så sätt ge dem fördjupad didaktisk kunskap om det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse. Det är även viktigt att ledningen får del av denna kunskap eftersom ledningen för-fogar över styrmedel och visar på den pedagogiska inriktningen i arbetet.

2 SYFTE

Syftet med den här studien är att undersöka pedagogers kunskap om och erfarenhet av hur det matematiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse.

För att uppnå detta syfte används följande frågeställningar i arbetet:

• Hur arbetar pedagoger för att utveckla det matematiska språket och därmed stärka elevernas begreppsförståelse?

• Vilka möjligheter möter pedagoger i arbetet med att utveckla det mate-matiska språket och därmed elevernas begreppsförståelse?

• Vilka hinder möter pedagoger i arbetet med att utveckla det matematis-ka språket och därmed elevernas begreppsförståelse?

• Vilka grundläggande förutsättningar är betydelsefulla för att möjliggöra ett arbetssätt där man medvetet arbetar med det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse?

• Vilken betydelse för elever i matematiksvårigheter har ett arbetssätt där man medvetet arbetar med det matematiska språket som medel att nå ökad begreppsförståelse?

3 LITTERATURGENOMGÅNG

I följande kapitel redogör jag för den litteratur jag valt att utgå från när jag beskriver det kunskapsområde som min studie behandlar; hur det matema-tiska språket inverkar på elevers möjlighet till ökad begreppsförståelse. Lit-teraturgenomgången innehåller aktuell forskningslitteratur, matematik-didaktisk litteratur, styrdokument, rapporter och litteratur om elever i behov av särskilt stöd. Då min studie är en fördjupning av den c-uppsats jag tidi-gare beskrivit, har jag använt mig av litteratur som också fanns med där men gått mer på djupet denna gång.

Inledningsvis redovisar jag en beskrivning av hur jag enligt litteraturen valt att definiera ordet begrepp samt varför jag valt den definitionen. Jag motiverar också mitt val av hur jag enligt litteraturen valt att definiera or-ganisations-, grupp- och individnivå. Därefter följer en beskrivning av vad styrdokumenten föreskriver om matematiskt språk och kommunikation. Vidare följer aktuell forskning om matematiska begrepp och matematiskt språk. Jag relaterar min problemformulering till de mest relevanta kun-skapskällorna inom området och fokuserar på utvecklingen av det matema-tiska språket, grundläggande förutsättningar, möjligheter och hinder samt det matematiska språkets betydelse för elever i matematiksvårigheter.

3.1 Definitioner

I studien använder jag orden begrepp, organisations-, grupp- och individni-vå. Innebörden av dessa ord kan ibland variera hos olika författare. För att läsaren ska bli säker på vad jag menar följer här min definition enligt vald litteratur. Dessa definitioner kommer jag fortsättningsvis att använda i stu-dien.

3.1.1 Definition av ordet begrepp

Den beskrivning av ordet begrepp som jag valt att använda i min definition har jag hämtat från tre källor, Lpo94 (1999), Rystedt och Trygg (2005) och Malmer (2002).

I boken Matematikverkstad betonar Rystedt och Trygg (2005) att ett av de viktigaste målen för matematikundervisning är elevernas begreppsut-veckling. Författarna beskriver ordet begrepp enligt följande:

Ordet begrepp kommer ursprungligen från det fornsvenska begripa som i sin tur kan härledas från det lågtyska begripen med betydelsen gripa (med tanken). Med begrepp menas ofta en sammanfattning av utmärkande egenskaper hos exempelvis en grupp objekt, en grupp hän-delser eller en grupp beteenden. Förståelse för begreppet area innefattar t.ex. insikter i:

• att det är ett mått på storleken av en begränsad yta • att områden med olika form kan ha samma area

• att även om två områden har samma omkrets kan arean variera • vad som skiljer area från andra egenskaper hos ett geometriskt objekt

Mitt val av författarnas definition av ordet begrepp grundar sig på Vygots-kijs tankar om begreppsutvecklingens avgörande betydelse för barnets språkutveckling. Vygotskij (2005) menar att begrepp hjälper oss att hålla ordning i det sociala och materiella kaos som finns omkring oss. Begrepp avspeglar den underliggande teorin om hur tingen kan grupperas, hur de hänger ihop, vilka förhållanden de har till varandra och vilka gemensamma särdrag som finns. Att lära begrepp innebär att olika erfarenheter binds samman och att principerna förstås. I kapitel 4 redogör jag mer detaljerat för den sociokulturella teorin, där Vygotskij är ett framträdande namn. Mitt val av de här författarnas definition av ordet begrepp motiverar jag också genom att relatera till c-uppsatsen (a.a.), där jag använde samma de-finition. Definitionen gav då, enligt respondenterna, en bra förförståelse innan enkät- och intervjuundersökningen. Även jag själv hade stor nytta av definitionen i arbetet med studien. Därför finner jag samma definition an-vändbar i den här studien.

De begrepp med olika språkliga uttryck som ingår i strävansmålen i Lpo 94 (1999) är bl.a. area, volym, längd, massa, tid, procent, bråk, vinklar, överslagsräkning, skala, tabeller, diagram, sannolikhet och ekvationer. I boken Bra matematik för alla delger Malmer (2002) en matematikord-lista med viktiga begrepp när det gäller benämningar för färg, form, storlek och utseende; jämförelseord som svarar på frågan hur och ord som ofta an-vänds i kombination med jämförelseorden; lägesord som svarar på frågan var och tidsord som svarar på frågan när.

3.1.2 Definition av organisations-, grupp- och individnivå

I boken Att möta barns olikheter beskriver Ljungblad (2003) orden organi-sations-, grupp- och individnivå enligt följande. Definitionen återfinns i sin helhet i (bilaga E).

Organisationsnivå

Organisationsnivå är den nivå där politiker och ledning ger förutsättningar-na för skolans arbete och den nivå där pedagogen inte själv kan bestämma över eller förändra på egen hand. Förutsättningar som påverkar elevens si-tuation på organisationsnivå är t.ex. styrdokumenten.

Gruppnivå

På gruppnivå är pedagogerna på skolan själva med och påverkar och för-ändrar. I den pedagogiska och didaktiska verksamheten har pedagogerna inflytande över relationerna människor emellan. Det kan vara mellan peda-gog och elev och mellan olika elever. Eleven påverkas på gruppnivån av t.ex. gruppens struktur.

Individnivå

På individnivå är det pedagogens ansvar att se varje enskild elevs behov och förutsättningar. Eleven påverkas på individnivå av t.ex. tillgång till hjälpmedel och konkret, laborativt material.

Mitt val av Ljungblads definition av orden organisations-, grupp- och indi-vidnivå motiverar jag utifrån Bronfenbrenners utvecklingsekologiska teori (Larsson – Svärd, 1999), där samspelet mellan eleven och dess utveck-lingsmiljöer betraktas i ett helhetsperspektiv. Utvecklingen sker genom en inre process som påverkas av mognad och arv men också genom en yttre process där man talar om fysisk och social miljö. Miljöerna i elevens om-givning hänger samman, förenas till en helhet och samspelar med de indi-vider som är delaktiga. Bronfenbrenner talar om makro-, meso- och mikro-nivå.

Figur 3.1 Bronfenbrenners makro-, meso- och mikronivåer (Larsson – Svärd, 1999, s. 41).

Bronfenbrenners makro-, meso- och mikronivå har tydliga paralleller till Ljungblads beskrivning av organisations-, grupp- och individnivå. På mak-ronivå är det enligt Bronfenbrenner samhället som påverkar elevens om-givning och möjlighet till utveckling genom t.ex. politik och ekonomi. Makronivå hänger ihop med organisationsnivå, vilket enligt Ljungblads beskrivning är den nivå där politiker och ledning ger förutsättningarna för skolans arbete. Bronfenbrenners mesonivå består av olika förbindelser mel-lan olika mikrosystem, dvs. samspelet melmel-lan närmiljöer. Detta hänger ihop med gruppnivå, vilket enligt Ljungblads beskrivning är den nivå där den pedagogiska och didaktiska verksamheten med relationer människor emel-lan finns. Bronfenbrenners mikronivå utgörs av situationer där individen samspelar med familj, vänner och skola. Detta har enligt Ljungblads be-skrivning sin parallell till individnivå, där individens behov och förutsätt-ningar finns.

Mitt val av Ljungblads definition motiverar jag också genom att relatera till c-uppsatsen (a.a.), där jag använde den definition vilken återfinns i sin helhet (bilaga E). Definitionen gav då, enligt respondenterna, en bra för-förståelse innan intervjuundersökningen. Även jag själv hade stor nytta av definitionen i arbetet med studien. Därför finner jag samma definition an-vändbar i den här studien.

3.2 Styrdokumenten

Genom läroplaner och kursplaner ger våra politiker riktlinjer för hur de önskar sig inriktningen av och innehållet i skolans undervisning. I Lpo94 (1999) finns direktiv för hur undervisningen ska utformas.

Undervisningen skall anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den skall med ut-gångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper främja elever-nas fortsatta lärande och kunskapsutveckling … (Lpo 94, 1999, s. 6)

I strävansmålen anges att skolan ska sträva efter att varje elev

• utvecklar ett rikt och nyanserat språk …

• lär sig att lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper som redskap för att

- _{formulera och pröva antaganden och lösa problem,} - _{reflektera över erfarenheter och}

- _{kritiskt granska och värdera påståenden och förhållanden …}

(Lpo 94, s. 11-12)

Uppnåendemålen visar att skolan ansvarar för att varje elev efter genom-gången grundskola

• behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet, … (Lpo 94, s.12)

Kursplanen i matematik (Skolverket, 2000) poängterar betydelsen av att använda det matematiska språket för att utveckla förståelse och därigenom elevens kunskaper. I kursplanen står:

… Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. … Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem (Skolverket, 2000, s. 26).

Det står tydligt i styrdokumenten att eleverna ska få kommunicera med ma-tematiskt språk och uttrycksformer för att få en djupare förståelse för de olika begrepp som finns. Denna kommunikation ska vara meningsfull och verklighetsanpassad så att eleverna även ska kunna resonera och dra slut-satser. Med stöd av de citat jag valt från styrdokumenten motiverar jag hur både läroplan och kursplan explicit påvisar det matematiska språkets bety-delse för elevernas begreppsförståelse samt att det är viktigt att eleverna lär sig kommunicera både i och om matematik.

3.3 Matematiska begrepp

Löwing (2008) beskriver hur skolans matematikundervisning har som mål att eleverna ska lära sig förstå och använda ett antal matematiska begrepp och modeller, vilka krävs för att de ska kunna begripa och bearbeta mate-matiska problem av olika slag. Först sker detta utifrån enkla och konkret

formulerade vardagsproblem för att successivt övergå i abstrakt formulera-de matematiska problem. För att eleverna ska kunna lösa matematiska pro-blem, var och en på sin kunskapsnivå, krävs att de begrepp som eleverna möter i skolan inte är konstanta, utan att de förfinas och görs mer generella och abstrakta under tiden som eleverna utvecklar sitt kunnande.

Figur 3.2. Vad som krävs för att lösa matematiska problem (Löwing, 2008, s.30).

Löwing visar vad som krävs för att lösa matematiska problem genom att beskriva hur begrepp bildas på olika nivåer (figur 3.2). På begreppsnivå 1 kan eleven lösa problem på grundläggande kunskapsnivå, t.ex. bestämma omkretsen på en kvadrat med sidan 3 cm genom upprepad addition. På be-greppsnivå 2 krävs ny kunskap för att t.ex. räkna ut rektangelns area genom vanlig traditionell algoritm. På begreppsnivå 3 krävs ytterligare ny kun-skap för att t.ex. bestämma arean av en rektangel med sidorna 2 ⅓ cm och 3 ⅝ cm. För att en elev som befinner sig på begreppsnivå 1 ska kunna gå vidare till begreppsnivå 2, krävs förutom förståelse på begreppsnivå 1 ock-så ett antal byggstenar, dvs. erfarenheter och förkunskaper i form av termer och delbegrepp (ringar mellan begreppsnivåerna). För att kunna gå vidare till begreppsnivå 3 krävs ytterligare byggstenar. En finess är att man kan lösa problem av en viss typ på olika nivåer och med olika djup. Det är i sin tur beroende av vilka begrepp som behövs för att lösa problemet och vilken grad av förståelse eleven har för begreppen. Denna process fortgår och för-finas under hela skoltiden. Med denna förklaringsmodell som grund menar Löwing att det är av största vikt att den pedagog som grundlägger ett be-grepp är medveten om hur detta bebe-grepp kommer att utvecklas av andra pedagoger under elevens skoltid, men även att mottagande pedagog känner till vilka begrepp eleverna mött tidigare och hur eleverna uppfattat dessa begrepp. Alla pedagoger bör ha en gemensam syn på skolmatematikens innehåll, didaktik och språk med vars hjälp dessa begrepp kommuniceras. Begreppen utgör stommen i vårt tänkande, framhåller Häggblom (2000) och menar att det behövs erfarenheter som har något gemensamt för att ett begrepp ska bildas. Begreppsförståelse inrymmer att en elev känner igen

begreppet i de olika representationsformerna, kan hantera begreppet inom en enskild representationsform samt kan växla från en form till en annan. Sterner och Lundberg (2004) betonar språkets roll för begreppsbildningen och vikten av att tala, läsa och skriva i samband med matematik.

3.4 Matematiskt språk

Det finns ett viktigt samband mellan de två kärnämnena svenska och ma-tematik, där språket har stor betydelse för utvecklande av det logiska tän-kandet och därmed för hela personligheten (Malmer, 2002). Förmågan att förstå matematik hänger nära samman med språklig förståelse. Särskilt ord-förståelse har ett tydligt samband med elevernas matematikord-förståelse (Skolutvecklingsenheten, 2003).

Matematiskt språk skiljer sig emellertid från vardagligt språk. Matema-tiskt språk kan betraktas som ett eget språk som till skillnad från det var-dagliga språket är mycket ordknappt, exakt och specifikt till sin natur. Det saknar redundans, dvs. det finns inget överskott på information i t.ex. läro-bokens texter, utan informationen nämns bara vid ett tillfälle. En del ord i svenska språket har både en vardaglig och matematisk betydelse. Då ett ord finns representerat i båda språken kan eleven stöta på svårigheter att tolka den matematiska innebörden. Ordet kan t.o.m. ha en helt ny innebörd i det matematiska språket. När eleven stöter på ordet i den matematiska betydel-sen finns risk att han/hon istället tolkar ordet i dess vardagliga betydelse. Begrepp som volym, rymmer, och udda är exempel på sådana ord (Myn-digheten för skolutveckling, 2008).

Löwing (2004) ser språk och kommunikation som viktiga element i ma-tematiken. En förutsättning för att kunna abstrahera och bygga upp en mer komplex matematik är att eleven behärskar de speciella begrepp och ord som ger betydelse och precision till matematiken. Det är viktigt att de kan använda det matematiska språket i praktiska situationer. Det betyder att de måste kunna gå fram och tillbaka mellan olika språkliga miljöer. Det är viktigt att elever och pedagog har ett gemensamt språk och är överens om innebörden i de matematiska termer och begrepp som används i undervis-ningen. En av pedagogens stora utmaningar är att ”med hjälp av konkreti-seringar och metaforer bygga en bro mellan elevens vardag och detta kom-plexa innehåll” (s. 117). Ganska mycket i matematiken kan beskrivas med hjälp av ett vardagsspråk. När språket tappar sin precision, t.ex. när en rek-tangel kallas fyrkant, eller när matematiska termer associeras till vardags-språket, t.ex. ordet volym blir högtalarens ljud, uppstår problem. Det blir förvirrande för eleverna om de inte kan hålla isär begreppen och kan kopp-la orden till det matematiska språket. För att matematikundervisningen ska fungera fordras att pedagog och elever använder ett korrekt språk. Ska ele-ven kunna kommunicera begrepp krävs ett språk med vars hjälp begreppen kan lyftas fram och synliggöras. Då måste också pedagogen och eleverna

vara överens om de ord som används. Det är betydelsefullt att pedagogen använder ett korrekt och för eleven förståeligt språk. När nya ord introdu-ceras i skolan är det viktigt att eleverna lär sig deras fulla betydelse. Löwing talar om register, dvs. en samling begrepp och ord som används inom ett speciellt språkligt område. Inom geometrin kan t.ex. orden rek-tangel, triangel och cylinder ingå. Om eleven ska kunna behärska och ut-veckla ett nytt område eller ämne och kunna föra ett matematiskt resone-mang, måste eleven lära sig det ämnets speciella register. Utifrån det språk som pedagogen använder, bygger eleven på sikt upp ett eget språkbruk i anslutning till innehållet i undervisningen. Pedagogen måste således be-härska ett språk som fungerar för att förklara eller för att lösa problem på ett formellt sätt men också fungerar för att konkretisera och verklighetsan-passa det som ska förklaras för eleverna. Det hjälper följaktligen inte att pedagogen uttrycker sig matematiskt korrekt om han/hon använder ett språk som inte når fram till eleverna. Därför är det oerhört viktigt att peda-gogen gör språket synligt och tolkbart för eleverna. Denna språkliga pro-cess bör utgöra en röd tråd genom skoltiden (Löwing, 2004; 2006).

Det är viktigt att alla elever får hjälp med att erövra det matematiska språket och så småningom lär sig att ord kan ha både en vardaglig och en matematisk betydelse. Därför är det viktigt att arbeta med den matematiska betydelsen av ett ord vid sidan om den vardagliga, så att orden införlivas i det aktiva ordförrådet. (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Kan eleven använda flera olika sätt att beskriva samma begrepp har eleven en rikare begreppsbild och därmed en mer funktionell begreppskunskap (Rystedt & Trygg, 2005). Eleverna känner i många fall till och upptäcker mer än de har förmåga att verbalt formulera. Det visar på vikten av att det är nödvändigt att mycket medvetet arbeta för att utöka elevernas ordförråd (Malmer, 2002).

Genom att undvika ett matematiskt språk och i stället använda ett var-dagsspråk hindras eleverna från att utveckla sitt kunnande. I stället för att undvika det matematiska språket handlar det om att ge eleven tillfällen att successivt utveckla detta språk och därmed göra det möjligt att kommuni-cera och hantera även lite mer formell matematik. Detta är en förutsättning för att han/hon ska få ett funktionellt språk att använda vid problemlösning under grundskolans senare del (Löwing, 2006; Myndigheten för skolut-veckling, 2008).

Löwing (2004) undersökte i sin doktorsavhandling hur pedagoger kom-municerar med sina elever för att stödja deras lärande med fokus på det ma-tematiska språket. Ett problem som hon uppmärksammade var att även om elever och pedagog kommunicerade med varandra så var kommunikationen bristfällig. Avsaknaden av ett gemensamt matematiskt språk att bygga kon-takten på gjorde att elever och pedagog ofta talade förbi varandra. Pedago-gerna hade inte heller någon grundläggande kunskap om elevernas

förkun-skaper och använde ett bristfälligt matematiskt språk i stället för att ge ele-verna ett korrekt matematiskt språk att bygga vidare på. Detta kallar Lö-wing och Kilborn (2002) för lotsning, vilket innebär att pedagogen av olika anledningar lotsar eleverna förbi olika svårigheter i stället för att lotsa dem igenom svårigheterna.

När man talar om språket som styrinstrument är det betydelsefullt att observera språkets roll som ett filter för inlärning. Med hjälp av talat eller skrivet språk meddelas den information och de anvisningar eleverna får, vilken de också måste tolka. Eleverna måste kunna uppfatta ett instruerande språk, men också själva behärska ett relevant språk för att kunna resonera med sig själva och för att kunna kommunicera med sin omgivning. Efter-som språket har avgörande betydelse för inlärningen, blir en av pedagogens viktiga uppgifter att själv använda och bygga upp ett effektivt matematiskt språk hos eleverna (Löwing, 2006). Detta tar jag fasta på i min studie där syftet är att undersöka hur det matematiska språket inverkar på elevers möj-lighet till ökad begreppsförståelse. Hur pedagoger arbetar för att bygga upp och utveckla det matematiska språket är en av huvudpunkterna i studien.

3.5 Att utveckla det matematiska språket

Matematik har en språklig dimension som man som pedagog måste vara uppmärksam på. Det krävs en språklig lyhördhet för att vid rätt tillfälle in-troducera nya ord, begrepp och uttryck. Det gäller att skapa språkutveck-lande miljöer där eleverna får använda och utveckla det matematiska språ-ket. Genom att bygga ett klassrumsarbete med diskussioner, laborationer och smågruppsarbete främjas utvecklingen av det matematiska språket (Myndigheten för skolutveckling, 2008). Det sker en utveckling av det ma-tematiska språket om eleverna i samtal får förklara hur de tänkt och hur de löst uppgifter (Skolverket, 2003). Dialogen med pedagogerna och kamra-terna är en resurs för utvecklingen av matematiska begrepp, problemlös-ning och annan matematisk förståelse. Genom samspel och kommunikation med kamraterna och pedagogen, då eleverna diskuterar olika förslag på lösningar och val av strategier, kan deras förståelse utvecklas när de möter andras sätt att tänka. Därigenom kan de utveckla sitt eget tänkande, sin egen förståelse (Ahlberg, 2001; Gran, 1998; Sterner & Lundberg, 2004). I det flerstämmiga, dialogiska klassrummet har språket en central betydelse för inlärningsprocessen. Det finns en nära koppling mellan språk och tanke och språket är en skapande kraft i relationer till andra människor. Då dialo-gen, flerstämmigheten dominerar i klassrummet, får eleverna själva möj-lighet att vara meningsskapande individer i samspel med varandra och pedagogen (Dysthe, 1996).

Språk och konkretisering hör nära samman. Eleven ska få känna på, handskas med och pröva konkret material för att därigenom iaktta skillna-der och likheter, dvs. generalisera och diskriminera (NCM, 2005). Med

hjälp av språket tillägnar sig eleven matematisk information som han/hon sedan bearbetar, kommunicerar med och konstruerar som ny matematisk kunskap. Hur eleven tolkar den nya informationen beror på tidigare erfa-renheter och förkunskaper. Därför är det viktigt att pedagogen konkretise-rar undervisningen genom ett laborativt arbetssätt där det nya kunskapsfäl-tet kan belysas. Det kan även ske genom att pedagogen anknyter till ge-mensamma erfarenheter som belyser det som ska läras. Det laborativa ma-terialets funktion är att lyfta fram det matematiska tänkandet och stödja språkliga förklaringar. Det viktiga i arbetet med det laborativa materialet är att det formella språket och tänkandet knyts ihop med det informella språ-ket och tänkandet. Då blir det laborativa arbetet ett stöd för eleven att ut-veckla sin förståelse (Häggblom, 2000; Löwing & Kilborn, 2002; Sterner & Lundberg, 2004). När eleven sätter ord på tankar och idéer, lyfts de upp och blir synliga för reflektion och eftertanke. På så sätt kan en djupare för-ståelse nås. Genom att kommunicera med sitt eget talade språk, använda sina egna uttrycksformer, rita bilder eller arbeta laborativt, kan eleven nå erfarenheter som sedan kan utvecklas till formella kunskaper och förståelse (Sterner & Lundberg, 2004). Genom att skapa en språkutvecklande miljö runt eleven på de sätt som jag har beskrivit får eleven goda möjligheter att utveckla det matematiska språket.

3.6 Möjligheter i arbetet med att utveckla det matematiska språket

Matematik handlar om fantasi och kreativitet, att ställa hypoteser och pröva dem för att se om de håller. Där finns utrymme för intressanta diskussioner där det matematiska språket utvecklas (NCM, 2000). För att inte eleverna ska uppfatta matematiken som ett främmande språk som de inte känner nå-gon gemenskap med är det betydelsefullt att pedagogen tar vara på elevens spontana berättande, då det ger kunskap om hans/hennes språkliga ut-trycksförmåga och egen verklighet. Då eleven får syssla med och bearbeta ett matematiskt innehåll får pedagogen värdefull information om elevens språkliga utgångsläge. De uttrycksformer som eleven använder är ett bety-delsefullt steg i den matematiska utvecklingen (Malmer, 2002).

I det flerstämmiga, dialogiska klassrummet har språket en central bety-delse för inlärningsprocessen. Det finns en nära koppling mellan språk och tanke och språket är en skapande kraft i relationer till andra människor. Om pedagogen har höga förväntningar på vad eleverna säger och skriver i klassrummet, uppmuntras eleverna att tänka själva och kontinuerligt integ-rera ny information med tidigare kunskaper och erfarenheter. Detta kräver att pedagogen ger stöd till eleverna utifrån individuella förutsättningar, för att därigenom säkerställa att eleverna har möjlighet att nå förväntningarna (Dysthe, 1996). Åskådlighet och reflekterande samtal är nödvändiga på alla nivåer i undervisningen (Sterner & Lundberg, 2004). När elever arbetar med laborativ matematik kan det uppstå spontana diskussioner när de

upp-täcker att de behöver ha tillgång till ett större ordförråd. Eleverna kan arbe-ta i en matematikverksarbe-tad, dvs. en rymlig lokal som är välfylld med mate-matikmaterial. Den ska vara till hjälp för att locka fram nyfikenhet, fantasi och kreativitet samt bidra till positiva upplevelser och erfarenheter av ma-tematik. Den ska vara till för alla, både elever som behöver extra utma-ningar och elever i matematiksvårigheter (Rystedt & Trygg, 2005).

Det är betydelsefullt att utgå från elevens verklighetsbild, bygga på hans/hennes nyfikenhet och arbeta med problem som eleven själv ställer (NCM, 2005). För många elever är texten i matematikuppgifterna svår att läsa och därmed svår att förstå. Eleverna förstår inte innebörden i texten, vissa ord och uttryck vållar bekymmer och förståelse för många matema-tiska begrepp saknas (Rystedt & Trygg, 2005). Om eleverna får undervis-ning i och om lässtrategier inom matematikundervisundervis-ningen kan det hjälpa eleverna att förbättra och fördjupa sin läsförståelse (Myndigheten för skolutveckling, 2008). En av de viktigaste uppgifterna för pedagoger som undervisar i matematik är just att hjälpa eleverna att utveckla sin läsförmå-ga (Lundberg & Sterner, 2006). Genom att uppmärksamma och arbeta med det matematiska språket i undervisningen kan elevernas lärande gynnas (Rystedt & Trygg, 2005).

3.7 Hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket

Att språket har stor betydelse för begreppsbildning påvisar all aktuell forskning. Språklig kompetens utgör en god grund för all inlärning. En elev med ett bristfälligt ordförråd eller en svag språklig medvetenhet får ofta stora svårigheter med den grundläggande begreppsbildningen. Han/hon saknar de viktiga verktyg som behövs, dvs. språket. Det är i många fall brister i språket som gör att eleven inte kan uppfatta innehållet i textuppgif-terna, även om han/hon behärskar de matematiska operationerna (Malmer, 2002; Magne, 1998; Sterner & Lundberg, 2004; Rystedt & Trygg, 2005). Kombinationen av dålig språkförståelse, litet ordförråd och syntaktiska be-gränsningar är den verkliga riskfaktorn vid läsförståelse. Det som gör den-na riskfaktor så förrädisk är att den är svåra att upptäcka (Nauclér & Mag-nusson, 2003). När en elev inte förstår texten i matematikuppgifterna med-för det att det blir svårt att lösa uppgifterna. Det kan få allvarligare konse-kvenser än så, då det påverkar elevens självkänsla, vilket i sin tur inverkar på elevens förmåga att klara matematik över huvud taget. Någonstans i år 4-6 tycks det finnas en gräns där skillnaderna ökar mellan de elever som förstår texterna och tycker matematik är spännande och utmanande och de elever som inte förstår. En orsak till att eleverna har svårt att förstå är att språket som de möter i skolan, i läroböcker och i uppgifter, ställer större krav än tidigare då det blir mer avancerat vid de skolåren (Myndigheten för Skolutveckling, 2008).

hur de gjort för att lösa ett matematiskt problem. Det blir uppenbart vilken stor klyfta som råder mellan tanke och språk, mellan det konkreta hante-randet och den abstrakta formuleringen. Elever som upplever svårigheter med matematiken har i många fall svag abstraktionsförmåga och oklara föreställningar och deras ordförråd är ofta begränsat. Elever med svag ma-tematisk förmåga har svårt att hantera information. Många saknar vanliga ord för att uttrycka jämförelser (Malmer, 2002). Det kan också vara så att en elev har ord i sitt passiva ordförråd men inte i det aktiva ordförrådet. Då förstår eleven ord som används men använder dem inte spontant själv (Malmer, 2000). Matematiska muntliga förklaringar och instruktioner, samt kontrasten mellan de precisa matematiska orden och deras innebörd och allmänna vardagliga ord kan då bli ett problem för eleven. Detta visar vik-ten av att pedagogen instruerar eleven på ett konkret sätt (Sterner & Lund-berg, 2004). Ett hinder vid begreppsbildning kan också vara att eleven har brister i fråga om generalisering och diskriminering (NCM, 2005). Ett an-nat hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket är att elever och pedagog inte har ett gemensamt språk och att de inte är överrens om innebörden i de matematiska ord och begrepp som ger betydelse och preci-sion i matematiken. Det medför att eleverna får svårigheter att bygga upp mer komplex matematik (Löwing, 2004). Ytterligare hinder kan uppstå om språket användas för att lotsa eleven förbi de problem som ska behandlas, vilket förhindrar en meningsfull inlärning (Löwing & Kilborn, 2002). Ett hinder i arbetet med att utveckla det matematiska språket kan vara att ele-ven i dialog med pedagogen eller kamraterna inte får förklara hur han/hon tänkt och löst uppgifter (Skolverket, 2003). Ytterligare hinder kan vara att undervisningen bedrivs med mycket enskilt arbete och utan möjlighet till samtal (Dysthe, 1996). Vid detta samtalsfattiga arbetssätt tar man inte i till-räckligt hög grad hänsyn till elevernas mycket olika behov, pedagogiskt, kunskapsmässigt och socialt (Skolverket, 2003). Läroboken kan distansera en elev från den praktiska användningen av matematik och underbygger inte alltid elevens förståelse av matematiska begrepp (NCM, 2000). Många pedagoger gör sig beroende av läroboken och räds för att inte hinna med kursen i stället för att satsa på språkets betydelse för att nå fram till fasta matematiska begrepp och förmåga att utveckla tankeprocesser. Läroboken blir en måttstock för både elever och pedagogen för vad eleverna kan och hur de utvecklas (Malmer, 2002).

Det sociala samspelet mellan eleverna har stor betydelse för möjligheten att utveckla det matematiska språket. Om klimatet i gruppen visar negativa värderingar så att eleverna inte vågar formulera sina tankar och inlägg, sker ingen språklig utveckling och konsekvensen bli i stället stress, osäkerhet och ångest (Malmer, 2002; Ljungblad, 2003). Extra utsatta är ofta elever i svårigheter. Det kan också hända mycket eleverna emellan på rasterna som kan påverka en del elevers möjlighet att fokusera tankarna på lektionen

(Ljungblad, 2003). Det är viktigt att pedagogen visar att det eleverna säger är intressant och värt att kommentera, annars minskar elevernas självre-spekt (Dysthe, 1996).

Det finns många olika förhållanden som kan orsaka att eleven får svå-righeter med att utveckla det matematiska språket och därmed begreppsför-ståelsen. Individuella förutsättningar som kan försvåra inlärningen av ma-tematik är brister i perceptionen, hur individen tolkar det han hör och ser liksom den språkliga förmågan (Skolutvecklingsenheten, 2003). Språkliga svårigheter hos barn i skolåldern påverkar språkförståelse och funktionell språkanvändning på både muntligt och skriftligt plan. Ofta är svårigheterna svåra att upptäcka. Det är vanligt att elever med språkliga svårigheter ten-derar att undvika situationer där det ställs krav på språklig och kommunika-tiv förmåga. Följden blir då att eleverna inte får den språkliga och kommu-nikativa träning de så väl behöver. Skolans uppgift blir att på olika sätt stödja och underlätta för eleverna, t.ex. i naturliga samspelssituationer utgå från elevens egen drivkraft att vilja utveckla nya kunskaper och färdigheter (Bruce, 2006).

Bruce (2007) undersökte i sin doktorsavhandling hur och när språk- och kommunikationsproblem hos barn kan identifieras. Undersökningen omfat-tade även hur man kan stödja och stimulera barn med språkstörning inom ramen för dels naturliga och dela professionella samtalskontexter. Slutsat-sen som Bruce fann är att det vid både identifiering och intervention är vik-tigt att lägga fokus på den funktionella språkförmågan inom ramen för både naturliga och professionella samtal. På detta sätt är samtalet - att lyssna, förstå och uttrycka sig - både problemet och behandlingsformen.

Ytterligare förhållanden som kan orsaka att eleven får svårigheter att utveckla det matematiska språket och därmed begreppsförståelsen är dys-kalkyli, specifika matematiksvårigheter. Har eleven en svag kognitiv ut-veckling får han/hon ofta stora svårigheter i matematik, då det är ett ämne som både kräver omfattande abstraktionsförmåga och koncentrationsför-måga. Neuropsykiatriska problem är ett annat hinder som visar sig genom att eleven får svårigheter med koncentration, uppmärksamhet och/eller hy-peraktivitet (Malmer, 2002). Ännu en förklaring kan vara av sociologisk karaktär som t.ex. brister i elevens hemmiljö (Ahlberg, 2001).

3.8 Grundläggande förutsättningar för att utveckla det matematiska språket

I skolans matematikundervisning är det pedagogen som svarar för att un-dervisningens innehåll och syfte når fram till eleverna och att det sker en inlärning. Förutom goda ämnesteoretiska, pedagogiska och didaktiska kun-skaper i och om matematik, fordras att pedagogen är väl bekant med läro-planers och kursläro-planers mål (kapitel 3.2) där kommunikation och

reflekte-rande samspel är viktiga delar (Löwing, 2004; 2006; Sterner & Lundberg, 2004).

För att kunna kommunicera begrepp krävs ett språk som hjälper till att lyfta fram och synliggöra begreppen. Kommunikationen mellan pedagog och elev, enskilt eller i grupp, är den viktigaste. Den vanligaste kommuni-kationen ur elevernas synvinkel är dock den mellan elev och lärobok. Den-na enkelriktade kommunikation kräver en viss läsfärdighet av eleverDen-na och att de har tillräckligt goda förkunskaper för att lösa uppgifterna. Pedago-gens språk i kombination med språket i läroboken är mönsterbildande för elevens språkbruk. Om pedagogen har ett otydligt språkbruk eller inte själv behärskar ett matematikdidaktiskt språk, kan det leda till att eleverna får problem med begreppsbildning och med att uttrycka sig inom detta språk-område. Kommunikation kan också ske mellan två eller flera elever. En sådan kommunikation förutsätter att alla elever har ett språk som gör att de kan delta och ha ett utbyte av kommunikationen. Sist men inte minst sker hela tiden en inre kommunikation, när eleven bearbetar information. Det är pedagogen som genom sitt sätt att använda det matematiska språket formar den språkliga miljön i klassrummet. Pedagogen är elevernas språkliga före-bild, men också den som hjälper eleverna att tillägna sig och hantera det matematiska språket genom ett aktivt deltagande från elevernas sida och genom att de tillåts använda språket vid olika typer av kommunikation i klassrummet (Löwing, 2004; 2008). Dysthe (1996) betonar att språket är en skapande kraft i relationer till andra människor och att om dialogen, fler-stämmigheten får dominera i klassrummet, får eleverna möjlighet att sam-spela med varandra och pedagogen. Enligt Skolutvecklingsenheten (2003) visar forskning att när man samtalar kring matematiska begrepp i klass-rummet ökar elevernas förståelse. När eleverna får arbeta med problemlös-ning i grupp konfronteras de även med klasskamraternas sätt att tänka och diskutera vilket kan ge dem kunskap om nya strategier. För att möjliggöra ett varierat arbetssätt med alternativa metoder, t.ex. problemlösning i grupp eller laborativt arbete krävs enligt pedagogerna i Skolverkets (2003) under-sökning att elevgrupperna inte är stora, då det anses alltför betungande och svårt att hantera stora grupper.

När eleverna får arbeta laborativt kan deras matematiska språk utveck-las. Rystedt & Trygg (2005) menar att en grundförutsättning är att det finns god tillgång på laborativt material, dvs. vardagliga föremål och pedagogis-ka material. Det laborativa materialet spedagogis-ka fungera som stöd vid inlärning av matematiska begrepp. Detta material kan användas i olika lokaler i klass-undervisning, enskilt eller i grupp. Inte sällan måste dock matematiklektio-ner genomföras i lokaler avsedda för andra ämnen eller annan verksamhet. Därför är ytterligare en grundförutsättning att det finns ändamålsenliga lo-kaler, vilket en matematikverkstad är ett bra exempel på. Genom att samla allt material i en rymlig lokal där eleverna får arbeta laborativt i par eller i

grupp kan eleverna utveckla sitt matematiska språk. Häggblom (2000) be-tonar att genom att konkretisera undervisningen, dvs. verklighetsanknyta med hjälp av bilder eller minneshändelser, kan elevernas matematiska språk utvecklas. Det konkreta materialet fungerar som ett hjälpmedel som stimulerar till reflektioner och diskussioner. Det ställer stora krav på peda-gogens ämnesdidaktiska kunskaper att kunna vardagsanknyta undervis-ningen. Det handlar om att kunna se matematiken i elevens tankar och att ge eleven ett redskap, ett matematiskt språk, för att kunna uttrycka sina tankar och hjälpa dem att utveckla sin matematiska kunskap.

Muntligt och skriftligt språk har stor betydelse för bildandet av nya tan-kestrukturer. Betydelsefullt är att möta eleven där han/hon befinner sig i utvecklingen. Undervisningen måste utformas utifrån pedagogens kartlägg-ning av elevens totala situation så att pedagogen ser eleven i ett helhetsper-spektiv. Detta gäller både prestation dvs. färdighet och förutsättningar dvs. förmåga (Malmer, 2000; 2002).

Det sociala samspelet mellan eleverna fungerar inte alltid tillfredsstäl-lande. Några elever vill dominera, andra håller sig i bakgrunden. Om pro-cessen i gruppen ska fungera på ett tillfredställande sätt beror på hur ar-betsklimatet är (Malmer, 2002). Det är viktigt att bevaka relationerna mel-lan eleverna och att pedagogen kontinuerligt utvärderar den grupprocess som pågår mellan eleverna och känner in stämningen i gruppen. Eleverna bör få träning i att samarbeta med olika kamrater och inte bara sin bästa kompis (Ljungblad, 2003). För att eleverna ska våga ta risken att göra fel är det mycket viktigt att det är ett öppet och tillitsfullt klimat i matematikun-dervisningen (Ljungblad, 2003; Sterner & Lundberg, 2004). Undervisning-en måste vara individanpassad och möta eleverna på dUndervisning-en nivå där de befin-ner sig (Malmer 2002).

Lusten att lära matematik och tilliten till den egna förmågan har nära samband. I undervisning som utmanar, där det finns en glädje i att upptäcka och där det finns utrymme för känslor och tankar stimuleras lusten att lära (Skolverket, 2004). Motivation är grundläggande för lärandet, kanske minst lika viktig som inlärningskapacitet och begåvning. Kreativitet och variation är andra nyckelord i arbetet med att öka intresset för och att lära sig mate-matik (Magne, 1998).

3.9 Det matematiska språkets betydelse för elever i matematiksvårig-heter

Ett väl utvecklat språk är en nödvändig förutsättning för matematiskt läran-de. Med hjälp av språket utvecklas matematiska begrepp, eleven blir med-veten om sitt kunnande och om hur man lär. Därför behöver eleverna få tid att förklara hur de tänkt och hur de löst uppgifter. De behöver delta i samtal kring matematik som ett led i att utveckla sitt matematiska språk, tänkande och förståelse (Skolverket, 2003). Termer, begrepp och innebörd är

ömse-sidigt beroende av varandra. Kan eleven inte vissa matematiska begrepp eller språkliga uttryck har han/hon svårigheter att förstå texten i läroboken. Det är också svårt för eleven att förstå pedagogens förklaringar eller att själv ställa frågor till pedagogen om han/hon saknar ord som förkunskaper för att beskriva ett matematiskt problem. Eleven måste således behärska både ett relevant språk för att kunna resonera med sig själv och kunna kommunicera med sin omgivning (Löwing, 2006).

Ett medvetet språkbruk från pedagogens sida är till hjälp för elever i ma-tematiksvårigheter (Johnsen HØines, 2002). Språket finns i interaktionen mellan eleven och de situationer som finns i elevens omvärld. Det muntliga språket i en social interaktion gör att eleven kan utveckla färdigheter och föra ett matematiskt resonemang; att reflektera, beskriva, förklara och ar-gumentera för sina lösningar (Häggblom, 2000). Detta är viktigt för alla elever, inte minst för elever i matematiksvårigheter.

Sjöberg (2006) undersökte i sin doktorsavhandling om det stora antal elever i matematiksvårigheter som har problem i matematik och misslyckas med att uppnå en godkänd nivå i ämnet kunde hänga ihop med att de har dyskalkyli. Detta är, enligt Sjöberg, en orsak som viss forskning påvisar för ca. 6 % av grundskolans elever. Han drar slutsatsen att forskningen inte kunnat bestämma dyskalkylibegreppet entydigt. I en longitudinell studie fann han flera orsaker till att elever kommer i matematiksvårigheter. Det jag väljer att lyfta fram från avhandlingens resultat är kommunikations-mönstren i klassrummet. Undersökningen visar att det finns ett tydligt kommunikationsproblem, då många elever hellre väljer att vända sig till en kompis när de behöver hjälp än att fråga pedagogen. Förklaringen kan en-ligt Sjöberg (2006) vara att eleverna inte förstår pedagogen och att pedago-gen är omständlig och krånglar till begreppen. Sjöbergs observationer visar att eleven som frågar i många fall redan befinner sig i närmaste utveck-lingszonen och egentligen bara behöver få kommunikativa stöttor, dvs. kommunikativ hjälp med att komma vidare i lösningen av problemet. Sjöberg menar att det är en svår balansgång att veta när en elev i svårighet behöver en kommunikativ stötta och när han/hon behöver mer hjälp. Det är också svårt att avgöra om samtalen och lyssnandet mellan elever i svårighe-ter ger dessa elever möjlighet att låna förståelse från varandra. Sjöbergs observationer kan relateras till Löwing och Kilborn (2002) som framhåller faran av att pedagogen av olika anledningar lotsar eleverna förbi olika svå-righeter i stället för att lotsa dem igenom svåsvå-righeterna. Vikten av att peda-gogen ger eleven ett korrekt matematiskt språk att bygga vidare på är enligt Löwing (2004) betydelsefull.

Det är vanligt att elever i matematiksvårigheter närmar sig läroboksupp-gifter på ett mekaniskt sätt där han/hon bortser från innehållet i texten och inte kopplar det till egna erfarenheter och kunskaper. Det leder till att ele-ven får svårt att välja lämpligt räknesätt (Sterner & Lundberg, 2004). För

eleven utgör en bristande textförståelse ett hinder som påverkar problem-lösningsprocessen allra mest, betydligt mer än räkneförmågan (Rystedt & Trygg, 2005). En elev med bristfälligt ordsinne har särskilt stora svårighe-ter att förstå ords uppbyggnad och har inte heller lätt att skifta uppmärk-samheten från vad ord betyder till hur de låter. Elevens inre föreställningar om hur orden låter saknar detaljskärpa (NCM, 2001). En elev med läs- och skrivsvårigheter har svårigheter med att lära sig nya ord och införliva dem i sitt ordförråd. (Sterner & Lundberg, 2004). För elever i matematiksvårig-heter är kommunikationen viktig, där samspelet och dialogen hjälper ele-verna att forma begrepp genom att använda det matematiska språket. Peda-gogen måste se både språket och matematiken eftersom det finns ett viktigt samband mellan dem (Ljungblad, 2003). Det är oerhört viktigt att pedago-gen litar på sin kompetens och ger eleverna den tid de behöver för att i den takt de har förutsättningar för lära och förstå de grundläggande begreppen. Pedagogen måste också vara förtrogen med vad som kan bidra till läs- och skrivsvårigheter och samband mellan sådana svårigheter och lärande i ma-tematik (Sterner & Lundberg, 2004). Specialpedagogens uppgift är att förebygga svårigheter så långt det är möjligt och undanröja svårigheter som uppstår så fort som möjligt (Liljegren, 2000).

4 TEORI

Lpo 94 har påverkats av tre olika teorier om lärande, vilka är symbolisk interaktionism, metakognitiv teori och socialkonstruktivistisk teori (Skol-verket, 2003). George Herbert Mead grundade teorin om symbolisk inte-raktionism. Han menade att självmedvetande skapas genom ett symboliskt samspel med människor i omgivningen. Att ta en annans perspektiv (rollta-gande) är en viktig del. Genom att betrakta oss utifrån någon annans per-spektiv, se oss själva med andra glasögon och anamma den andres attityder gentemot oss utvecklas ett socialt medvetande. Teorins tyngdpunkt utgörs av samspelet mellan individen och den sociala miljön. Genom det sociala samspelet och genom att internalisera det vi lär av andra byggs vårt jag och vårt medvetande upp. Här har språkutvecklingen en viktig roll. Det måste finnas plats för kommunikation och social interaktion (Evenshaug & Hal-len, 2005). Metakognitiv teori handlar om de tankefunktioner med vars hjälp vi hanterar information. Metakognition innebär det generella uttryck för en människas förmåga att se sin egen planering och förmåga till pro-blemlösning. Detta inbegriper också att kunna övervaka sina egna hand-lingar och vara medvetet uppmärksam på sitt språk, sina känslor och avsik-ter. Det handlar om att kunna tänka på sitt eget tänkande vilket är beroende av ett aktivt och engagerat själv för sin utveckling (Brørop, Hauge & Lya-ger Thomsen, 2006). Enligt socialkonstruktivistisk teori kan kunskap inte förmedlas utan var och en ses som sin egen resurs i lärandet. Eleven själv skapar sin kunskap. Den socialkonstruktivistiska synen på inlärning och utveckling ligger till grund för den sociokulturella teorin (Evenshaug & Hallen, 2005). Jag har valt att referera till den sociokulturella teorin, där jag funnit Vygotskijs syn på språk och tänkande, begreppsutveckling och den närmaste utvecklingszonen betydelsefulla för innehållet i min studie.

4.1 Den sociokulturella teorin

Säljö (2006) belyser att lärande ur ett sociokulturellt perspektiv är förmå-gan att se ny kunskap som en variant av något som redan är välkänt. Indi-viden har tillgång till redskap och verktyg, dvs. språkliga, intellektuella och fysiska hjälpmedel, för att kunna förstå sin omvärld och verka i den. När individen lär sig behärska dessa redskap och verktyg utvecklar han/hon förmågan att se på ny kunskap som något redan välkänt. Genom kommuni-kation införlivar individen kunskap och samspelet mellan grupp och individ är i fokus. Det är genom kommunikation som sociokulturella resurser, dvs. både det verbala och kroppsliga språket samt det intellektuella där ordför-råd och begreppsförståelse byggs upp, skapas och att de förs vidare genom kommunikation. ”Att lära sig kommunicera är därför att bli en sociokultu-rell varelse” (s.88). Detta är en grundtanke i ett sociokultusociokultu-rellt perspektiv. Kommunikation är en länk mellan det inre (tanke) och det yttre (socialt

samspel). Språk, sociala faktorer och kultur påverkar vårt tänkande och lärande.

Dysthe (2003) påvisar att det sociokulturella synsättet har sitt ursprung i det konstruktivistiska sättet att se på lärande där man anser att kunskap skapas inom varje individ där var och en ses som sin egen resurs i lärandet. Det centrala är att kunskap utformas genom samarbete i ett sammanhang. Samarbete och samspel är det primära för lärande. Dysthe (2003) beskriver det sociokulturella synsättet på lärande kring följande punkter:

1. _{Lärande är situerat. Det betyder att inlärning sker i de sociala och} fy-siska sammanhang där aktiviteten är införlivad.

2. Lärande är huvudsakligen socialt. Det betyder att personer i ens till-varo t.ex. kamrater eller läraren tillför mer i läroprocessen än de skulle göra genom att uppmuntra individens införlivande av kunskap. 3. Lärande är distribuerat. Det betyder att kunskap är fördelad bland

in-divider i gruppen och var och en har olika lärdomar som alla är vik-tiga för helhetsförståelsen. Därför bör lärande inte ske individuellt utan i grupp.

4. Lärande är medierat. Det betyder att det är någonting som förmedlas på olika sätt.

5. Språket är grundläggande i läroprocesserna. Det betyder att för oss människor är språket det viktigaste redskapet som medierar kunskap. 6. _{Lärande är deltagande i en praxisgemenskap. Det betyder att lärande}

sker även genom handling i en social gemenskap.

4.2 Vygotskij och den sociokulturella teorin

4.2.1 Vygotskij

Lev Vygotskij (1896-1934) har haft en central roll i den moderna psykolo-gins och pedagogikens utveckling. Han hämtade inspiration från konstruk-tivismens syn på kunskapsbyggande. Liksom anhängarna av den teorin menade han att kunskap är något som konstrueras av individen själv. Till skillnad från den kognitiva konstruktionismen, ledd av Piaget, står Vygots-kij för en social konstruktionism, där kunskap uppfattas som något som skapas först i samspel med andra. Det är språket och de sociala förhållan-dena som möjliggör kunskapen (Evenshaug & Hallen, 2005). Med bak-grund som litteraturforskare menar Vygotskij att den kognitiva utveckling-en hos utveckling-en individ är beroutveckling-ende av att individutveckling-en behärskar språket. Språket blir tänkandets sociala uttryck (Vygotskij, 2005).

4.2.2 Språk och tänkande

Vygotskij koncentrerade sig mer på vad som skedde mellan människor än på vad som skedde inuti huvudet på varje enskild individ. Det betydelseful-la var samspelet melbetydelseful-lan människorna. Genom att samspebetydelseful-la med andra

kommer barnet i kontakt med kunskap och genom att samspela språkligt får barnet kontakt med det sociala verktyg som vi kallar språk. Det språkliga verktyget omformas av barnet till ett verktyg för dess tänkande. Det är i språket och det sociala samspelet som tänkandet börjar och kunskap skapas (Strandberg, 2006).

Språket är en av stöttepelarna i Vygotskijs teorier om mänsklig utveck-ling. Språket och tanken är starkt sammankopplade och tanken kommer till uttryck i språket. Den kunskap som individen bygger upp utgår alltid från en social aktivitet. Kunskapen förankras först i den sociala aktiviteten för att sedan få fäste i medvetandet. Denna utveckling av kunskap kallar Vy-gotskij för internalisering (Øzerk, 1998).

Vygotskij (2005) hävdar språkets stora betydelse för allt lärande. Cent-ralt i Vygotskijs språksyn är att språk och tänkande är oskiljaktiga. Språket leder barnet framåt och språk och tanke utvecklas i en ständigt pågående dialektik. Språket är ett kommunikationsmedel och förhållandet mellan tanke och språk är en levande process. Först befinner sig barns tänkande på ett icke-verbalt stadium och deras tal på ett icke-intellektuellt stadium. Se-nare blir tänkande och språk till ett, vilket Vygotskij benämner språkligt tänkande. Varje individs tankeprocesser är ett slags inre tal som är överfört och internaliserat med utgångspunkt i ett socialt samspel. Språket börjar med en social och interaktiv process och övergår sedan till att bli en inre förståelse. Först när tanken formuleras i ett samtal och uttrycks befästs det egentliga lärandet.

En viktig del av människans begreppsbildning är att uttrycka sig verbalt. När vi använder vårt språk utvecklar och utvidgar vi vårt begreppsinnehåll och begreppsuttryck, dvs. vårt språk och vår kommunikativa förmåga. Att utveckla ett begreppsinnehåll utan att utveckla ett språk är näst till omöjligt (Säljö, 2006).

Johnsen HØines (2002) belyser Vygotskijs tankar om egocentriskt tal, dvs. att barn pratar med sig själva, som en viktig funktion i begreppsbild-ningen. Efter hand slutar barnen att tala högt och går över i ett tyst, inre tal och därefter i tänkandet. Talet försvinner inte, men tänkandet utvecklar sig utifrån det och tar på så sätt över talet.

4.2.3 Begreppsutveckling

Vygotskij (2005) framhåller att den kognitiva utvecklingen hos barn hänger samman med deras förmåga att använda språket. Barnets sociokulturella upplevelser och erfarenheter har betydelse för deras språkliga utveckling. Begreppsutvecklingen har avgörande betydelse för barnets språkutveckling. Begrepp hjälper oss att hålla ordning i det sociala och materiella kaos som finns omkring oss. Utvecklingen av begrepp är en aktiv del av de intellek-tuella processer som sker genom kommunikation, förståelse och problem-lösning. Interaktionen mellan människor har en avgörande betydelse för

begreppsutveckling och för förmågan att skapa nya tankestrukturer. Be-greppsutveckling sker genom växelverkan mellan teori och praktik.

Vygotskij (2005) skiljer mellan spontana och vetenskapliga begrepp. Spontana begrepp utvecklas genom sociala upplevelser i naturliga situatio-ner i vardagslivet. De är omedvetna därför att de är osystematiska. Deras utveckling börjar med det konkreta och fortsätter till det generella. Veten-skapliga begrepp är medvetna därför att det finns systematik i dem. Be-greppsmedvetandet uppnås genom generaliseringar, från det generella mot det konkreta. Enligt Vygotskij är förhållandet mellan spontana och veten-skapliga begrepp sådant att de ömsesidigt påverkar varandra i utvecklingen. Begrepp måste läras in. Begreppsinlärning gör vidare inlärning möjlig och begreppen binder samman olika erfarenheter (Øzerk, 1998). Att uttrycka sig genom språket är en viktig del av begreppsutvecklingen. När eleven använder språket utvidgar han/hon förståelsen av olika begrepp och utveck-lar sitt sätt att språkligt uttrycka det. Det är svårt eller omöjligt att utveckla ett begreppsinnehåll utan att utveckla ett språk som täcker det. Genom oli-ka erfarenheter och genom att använda begreppet i språket utvecklar eleven begreppet, både den innehållsmässiga och den språkliga sidan. Det är ele-ven själv som utvecklar sina begrepp och som bygger upp sin begrepps-värld. Pedagogen fungerar som ledare och inspiratör. Nya begrepp bör all-tid ha anknytning och ge associationer till det redan kända. Därför är det betydelsefullt att pedagogen i sitt arbete ständigt är medveten om att det är eleven som är utgångspunkten. När pedagogen talar till eleverna med ord som de är välbekanta med kan de koncentrera sig på innehållet och därmed orsakar språket ringa svårigheter (Johnsen Høines, 2002).

4.2.4 Den närmaste utvecklingszonen

Flera forskare (Bråten & Thurmann - Moe, 1998; Hydén, 1981) belyser att Vygotskij förespråkar en undervisning som utformas för att utveckla högre psykologiska processer genom aktivt samspel mellan pedagogen och ele-verna eller mellan eleele-verna, där varje enskild elev stimuleras att nå allt hög-re i sin utveckling. Utrymmet mellan den nivå eleven hög-redan har nått och den nivå han/hon är på väg mot kallar Vygotskij den närmaste utvecklings-zonen. Undervisning inom den närmaste utvecklingszonen utgår från de processer som är under utveckling hos varje elev och stimulerar därigenom till vidare utveckling. Den närmaste utvecklingszonen är således avståndet mellan vad en elev kan utföra på egen hand utan hjälp och vad en elev kan utföra under ledning av en vuxen eller i samarbete med kamraterna. Med god vägledning kan en elev lösa problem som annars skulle vara för svåra att lösa på egen hand.

Figur 4. Utvecklingszon (Säljö, 2006, s. 122).

Säljö (2006) relaterar till Vygotskijs beskrivning av den närmaste utveck-lingszonen där uppnådd kompetens är de kunskaper barnet redan besitter eller kan uppnå. Ur ett psykologiskt perspektiv är det inte bara det som är det intressanta, utan kapaciteten ett barn har i sin utveckling då det gäller förståelse och handlande. I utvecklingszonen kan barnet genom handled-ning följa med i ett resonemang, men det kan dröja innan barnet själv kan utföra den handling som grundar sig på resonemanget. När barnet befinner sig i utvecklingszonen är det mottagligt för handledning. I en klass är varia-tionen stor bland eleverna när det gäller var i den närmaste utvecklingszo-nen de befinner sig. Det menar Vygotskij är betydelsefullt för att eleverna ska komma vidare i zonen. ”Det är den mer kompetente som vägleder den mindre kompetente.” (s. 122). Utvecklingszon Uppnådd kompetens Framtida kompetens