Varför lär vi oss matematik?

Malmö högskola

Lärande och samhälle

Natur, miljö, samhälle

Examensarbete

Varför lär vi oss matematik?

Why do we learn mathematics?

Hannes Odbacke

Lärarexamen 270hp Handledare: Ange handledare

Matematik och lärande 2014-11-04

Examinator: Leif Karlsson Handledare: Per-Eskil Persson

”Classrooms should be places where

interesting problems are explored

through important mathematical ideas.”

Sammanfattning

Syftet med mitt examensarbete är att undersöka vilka argument som finns för gymnasie-skolans matematikundervisning, samt hur läroplan och kursplaner förhåller sig till dessa argument. Därigenom hoppas jag kunna befästa skolmatematiken som sådan, men även bygga upp en arsenal av argument för att bemöta framtida elevers behov av motivation. För att uppnå detta syfte har jag genomfört en litteraturstudie av olika forskares och matematikdidaktikers texter kring argumenten för skolmatematiken och sedan kategori-serat dessa i fyra argumentskategorier. Därefter har jag försökt utreda argumentens im-plikationer i skolverksamheten. Resultaten visar att vissa av argumentskategorierna vi-lar på en ganska osäker grund, medan andra är väl underbyggda. Detta till trots förmår inget argument att ensamt bära skolmatematiken, utan olika delar bärs upp av olika ar-gument.

Innehåll

1.  INLEDNING  ...  9  

2.  SYFTE  ...  10  

2.1  FRÅGESTÄLLNINGAR  ...  10  

3.  METOD  ...  12  

3.1  VAL  AV  METOD  ...  12  

3.2  VAL  AV  KÄLLOR  ...  13  

4.  ARGUMENT  FÖR  MATEMATIKUNDERVISNING  ...  15  

4.1  KATEGORISERING  AV  ARGUMENT  ...  15  

4.1.1  Stenhags  argumentskategorier  ...  16  

4.2  REDOGÖRELSE  AV  ARGUMENT  FÖR  SKOLMATEMATIKEN  ...  18  

4.2.1  Direkta  nyttoargument  ...  18  

4.2.2  Samhällsargument  ...  21  

4.2.3  Formalbildningsargumentet  ...  22  

4.2.4  Selektionsargumentet  ...  23  

5.  ARGUMENTEN  I  PRAKTIKEN  ...  26  

5.1  VAD  SÄGER  LÄROPLANEN?  ...  27  

5.1.1  Ämnes-­‐  och  syftesbeskrivning  ...  27  

5.1.2  Förmågor  och  kursplaner  ...  30  

5.2  HÖGSKOLEFÖRBEREDANDE-­‐  KONTRA  YRKESPROGRAM  ...  33  

5.2.1  Matematik  på  yrkesprogrammen  ...  33  

5.2.2  Grund  för  differentiering  ...  34  

5.2.3  Kursernas  särprägel  ...  35  

5.3  MER  ÄN  BARA  ARGUMENTEN  ...  36  

5.3.1  Samhällets  påverkan  på  skolmatematiken  ...  36  

5.3.2  Hur  bör  man  undervisa  i  matematik  ...  37  

6.  SLUTSATS  ...  39  

6.1  ARBETETS  HUVUDSLUTSATSER  ...  39  

6.2  FRAMTIDA  FORSKNING?  ...  40  

1. Inledning

Som blivande matematiklärare ser jag det som min främsta uppgift att inspirera, entusi-asmera och motivera elever till att lära sig matematik. Betoningen i detta fall ligger på att det är eleverna själva som måste lära sig matematiken, eftersom jag som lärare aldrig kan överföra mina kunskaper, utan i det närmaste bara kan handleda eleverna på deras resa mot matematiska insikter. I detta sammanhang blir begreppet drivkraft av stor vikt, då drivkraft på något plan är vad som ligger till grund för varje handlande och således ligger det även till grund för elevers val att aktivt söka matematiska insikter och kun-skaper eller ej. Med andra ord, saknas en drivkraft, eller snarare om drivkraften inte är att lära sig matematik, kommer eleverna inte heller kunna lära sig matematik.

Mot denna bakgrund kommer det vara frågan Varför lär vi oss matematik? som utgör fokus för mitt examensarbete, då jag anser att besvarandet av denna mycket grundläg-gande fråga utgör en potentiellt stor källa till drivkraft för elever. För att besvara frågan kommer jag dels undersöka vilka argument för en matematikundervisning som anförs av olika matematikdidaktiker och sedan försöka identifiera dessa argument i gymnasie-skolans läro- och kursplaner. Anledningen till att dessa dokument är relevanta i sam-manhanget är för att de i hög grad styr, eller åtminstone bör styra, hur skolmatematiken utformas, vilket i sin tur får konsekvenser för hur argumenten implementeras i under-visningen. Arbetet kommer att göras med gymnasieskolans matematik i åtanke och där-för kommer jag även titta en del på likheter och skillnader mellan de högskoledär-förbered- högskoleförbered-ande programmen och yrkesprogrammen.

Personligen tror jag att det är oerhört viktigt att som lärare ha reflekterat över och även formulerat sig kring dessa frågor, eftersom vi i vårt yrkesutövande som sagt måste motivera elever till matematikstudier. Med detta sagt vill jag dock passa på att poäng-tera att jag är mycket väl medveten om att det är oerhört stora och svåra frågor jag stäl-ler, vilka jag på inget vis tror mig kunna besvara på ett heltäckande sätt i detta examens-arbete. Dessutom försvåras mitt arbete ytterligare av de praktiska begränsningar som ligger i min bristande erfarenhet och den relativt korta tid jag har att undersöka frå-gorna. Likväl är min förhoppning att jag i någon mån ska lyckas besvara frågan på ett relevant sätt, både för mig själv, men kanske främst för mina framtida elever.

2. Syfte

Syftet med detta examensarbete är undersöka argumenten för skolmatematiken och de-ras bärkraft, men även att undersöka hur skolmatematikens innehåll motivede-ras utifrån dessa argument. Utöver att motivera mitt eget yrkesutövande och mina framtida elevers matematikstudier, vill jag i enlighet med Niss (1996) mena att frågan Varför lär vi oss

matematik? tjänar en viktig samhällsfunktion. Detta eftersom så oerhört stora resurser

läggs på just skolmatematiken och därmed bör dess existens vara välgrundad. Bland annat skriver han att: ”Identifying, uncovering and discussing goals of mathematics ed-ucation serves to make the fundamental matters of mathematics open to scrutiny and debate and to keep the agents and forces of the educational system, including mathemat-ics educators, honest.” (s. 20).

2.1 Frågeställningar

Jag har valt att i huvudsak lyfta fram två aspekter av frågan Varför lär vi oss

matema-tik? Detta eftersom det annars skulle kunna innefatta så oerhört mycket, och även med

denna avgränsning är det svårt att besvara de två aspekterna på ett heltäckande sätt. Frå-geställningarna lyder således:

- Vilka är några av de vanligaste argumenten som anförs av matematikdidaktiker för att motivera matematikundervisning i skolan?

- På vilket sätt förekommer dessa argument i läro- och kursplaner för gymnasiesko-lan?

Utifrån dessa två frågeställningar hoppas jag kunna visa på att varken anledningen till eller utformningen av dagens skolmatematik har uppstått ur ett vakuum eller varit oe-motsagd. Snarare är den ett resultat av hur såväl samhället som skolan har förändrats genom historien och därmed utgör de historiska och nutida argumenten grunden för dagens matematikundervisning.

Anledningen till att jag väljer att undersöka den andra frågeställningen är för att dessa dokument i hög grad styr, eller åtminstone bör styra, hur skolmatematiken utfor-mas, vilket i sin tur får konsekvenser för hur argumenten implementeras i undervisning-en. I denna frågeställning kommer jag även titta lite närmare på likheter och skillnader

mellan vilken matematik man förväntas lära sig på de högskoleförberedande program-men kontra yrkesprogramprogram-men.

3. Metod

I Samhällsvetenskapliga metoder kategoriserar Bryman (2011) olika samhällsveten-skapliga forskningsmetoder som antingen kvantitativa eller kvalitativa. Baserat på hans definitioner av dessa metoder skulle jag kunnat använda mig av såväl en kvantitativ som en kvalitativ undersökningsmetod för att besvara frågeställningarna i detta arbete. Ett kvantitativt angreppssätt hade i sådana fall inneburit ett insamlande av data (t.ex. rå-dande argument för matematikundervisning samt hur ofta dessa argument förekommer i läroplansdokumenten), ett kodande av dessa data, samt en bearbetning av dem för att få fram ett resultat. I detta fall hade jag fått använda mig av vad Bryman kallar för en ”in-nehållsanalys” och denna metod hade exempelvis kunnat visa på de olika argumentens frekvens i läroplansdokumenten.

En kvalitativ undersökningsmetod handlar enligt Bryman (2011) om att försöka ana-lysera och tolka data, för att om möjligt kunna placera in den i diverse kunskapsteorier med tillhörande begreppsdefinitioner. På så sätt kan eventuellt en teori skapas som in-begriper och förklarar forskningsresultaten. Därmed kan sedan denna teori placeras i ett större sammanhang där andra teorier och tolkningsmodeller redan existerar, vilket gör att man bättre kan förstå den aktuella mängden data och i bästa fall även överföra de nya resultaten till andra sammanhang för att belysa dessa ur ett nyfunnet perspektiv. Det blir således inte tal om ett kvantitativt jämförbart resultat, utan metoden leder snarare till en djupare förståelse för de företeelser och mekanismer som ligger till grund för insamlad data.

3.1 Val av metod

Även om en kvantitativ forskningsmetod hade kunnat vara intressant, med det potenti-ella resultatet att frekvensen av olika argumenten för skolmatematiken kartlades, menar jag att det inte hade uppfyllt syftet med mitt arbete. Detta eftersom mitt mål inte var att kunna redogöra för med vilken frekvens olika argument för skolmatematiken förekom-mer, utan snarare att kunna legitimera och styrka skolmatematikens existens. Därför behövde jag istället använda mig av en metod som gav mig möjlighet att analysera ar-gumenten för att se deras bärkraft och möjliga tillämpning i olika situationer.

Således borde mitt arbete, utifrån Brymans (2011) uppdelning, baseras på en

visserligen ville jag tolka och analysera data för att sätta den i ett större sammanhang, men i de kvalitativa metoder som Bryman tar upp exkluderas den typ av metaanalys utav existerande dokument som jag ville göra. Exempelvis skriver han i kapitlet ”Do-kument som datakälla” uttryckligen att: ”Tonvikten ligger på do”Do-kument som inte produ-cerats för att en samhällsforskare bett om dem, utan det som står i fokus i kapitlet är sådant som ’finns där ute’ och som bara väntar på att bli insamlat och analyserat” (s. 488). Men många av mina källor var just avhandlingar och forskningsrapporter som därmed faller i den kategorin som inte behandlas av denna metod.

Dock fanns det ett kapitel i Brymans bok som på ett väldigt väl överensstämmande vis behandlade en metod som jag fann lämplig för mitt arbete, nämligen ”Att komma igång – litteraturgenomgång”. I detta kapitel beskriver Bryman bland annat en så kallad

narrativ litteraturgenomgång vilken mer tematiskt ger en överblick av det område man

är intresserad av, till skillnad från exempelvis en narrativ analysmetod av kvalitativ

data, som mer verkade handla om att se människors perspektiv i olika historiska

hän-delseförlopp. Därför valde jag, utifrån Brymans beskrivning och på min handledares inrådan, att göra en så kallad litteraturstudie av området för att se vilka argument som genom historien lyfts fram för att motivera matematikundervisning i skolan.

Under tiden som jag gick igenom litteraturen förde jag noggranna anteckningar an-gående potentiellt intressanta perspektiv och citat att lyfta in i mitt arbete och jag för-sökte hela tiden följa Brymans (2011, s. 99) råd att läsa ”aktivt och kritiskt” för att få ut mesta möjliga av läsningen.

3.2 Val av källor

Till ett arbete i en tidigare kurs på utbildningen, ”Didaktisk forskning”, började jag un-dersöka frågan om elevers drivkraft till matematikinlärning, framför allt ur de tre per-spektiven lärande, prestation och undvikande som Hannula (bl.a. 2001; 2005) lyfter fram. Som en av källorna till det arbetet använde jag Stenhags (2010) doktorsavhand-ling, vilken blev en stor inspirationskälla även i detta arbete, men också en god källa till ytterligare litteratur på området. Med hjälp av litteraturlistan i hans avhandling började jag således söka mig vidare och kom då i kontakt med Bjerneby Häll (2002; 2006), vil-ket genererade ytterligare referenser. I detta sökningsarbete försökte jag hela tiden hitta nya spår att följa, för att på så sätt få så många olika argument som möjligt. Dock satte

tidsaspekten, samt min begränsade erfarenhet i området och sökmetodik stora begräns-ningar.

Jag genomförde även en del webbsökningar dels i databasen ERIC (Education Re-sources Information Center), samt Google Scholar, där jag bland annat använde mig av sökorden ”why mathematics”, ”numeracy”, ”vad är matematik”, m.fl. Även här satte min brist på erfarenhet sina tydliga spår, då mitt artikelsökande blev oerhört ineffektivt. Detta i sin tur ledde till att jag inte spenderade speciellt mycket tid med databassökning-ar och därmed blev resultaten av dessa mycket knapphändiga. Utöver dessa metoder fick jag även en del värdefulla litteraturtips av min handledare.

Så även om min intention hela tiden var att försöka få med så många argument som möjligt, inser jag att det finns en viss problematik i att jag i stort sett följde ett och samma källspår. Men här valde jag att luta mig mot det arbete som framför allt Stenhag (2010) och Bjärneby Häll (2002; 2006) gjort på vetenskaplig grund och med mycket större resurser än jag själv, då de lyft fram matematikdidaktiker och forskares argument för skolmatematiken.

4. Argument för matematikundervisning

Skovmose (2005) (och flera med honom) framhåller att matematik är något som stän-digt omger oss och som vi hela tiden använder oss av. Dessutom, påpekar Niss (1994), investerar i stort sett alla samhällen väldigt mycket tid och pengar i att skapa en gedigen matematikutbildning för sin befolkning. Detta eftersom matematikkunskaper anses starkt bidrar till formandet och utvecklandet av dessa samhällen – vilket sänder tydliga signaler angående vikten av matematik. Dock är min egen erfarenhet från både privatliv och den praktikförlagda delen av min utbildning, att många människor inte riktigt ser poängen med matematik som går speciellt långt bortom de fyra räknesätten, en inställ-ning som även bekräftas av flera matematikdidaktiker (se t.ex. Lundin, 2008; Wedege, 2002; Niss 1994). Men hur kan det vara så i ett samhälle där matematiken prioriteras och värderas så högt? Vari brister det? Niss (1994) menar att det beror på något han kallar för relevansparadoxen, vilken kort sagt handlar om att matematiken finns över-allt, men eftersom den för det mesta är dold i sina applikationer krävs det ett tränat öga för att se den.

I det här kapitlet vill jag därför presentera de argument för matematikundervisning som jag stött på under min litteraturstudie, för att på så sätt lägga en så god grund som möjligt för matematikämnet. Min förhoppning är därmed att visa att matematiken är relevant för alla, om än i något skiftande grad.

4.1 Kategorisering av argument

Under min genomgång av argument för skolmatematiken har pendeln svängt friskt ifrån Platons tankar om att matematiken skulle utbilda en styrande samhällselit med mottag-lighet för de yttersta tingen (Stenhag, 2010), till blivande matematiklärare som argu-menterar för att de konkreta användningsområdena för matematiken måste vara synliga i alla delar av undervisningen (Bjerneby Häll, 2002; 2006). För att få en struktur i mitt arbete och för att kunna föra en meningsfull diskussion istället för att bara rada upp ar-gument, har jag ansett det varit nödvändigt med någon form av argumentskategorise-ring. På så sätt har jag kunnat relatera olika argument till varandra och föra en diskuss-ion kring argumentens styrkor, svagheter och tillämpbarhet och därmed ge en större överblick över argumenten för skolmatematiken.

Men för att få meningsfulla kategorier måste dessa vara avgränsade, vilket i sin tur riskerar att begränsa eller till och med förminska argumenten, då åtminstone vissa av dem inte enkelt låter sig placeras in i bara en kategori. Därmed uppkommer en proble-matik rörande dels kategoriernas utformning och dels argumentens inplacering i dessa kategorier. Självklart har jag hela tiden försökt vara trogen vad jag uppfattat vara fors-karnas ursprungliga tanke med argumenten och få med argumentens hela rikedom. Dock finns en problematik i att jag redan vid läsandet kommer med min förförståelse och mina tankar, och ännu mer så vid kategoriserandet där min uppfattning av argumen-ten blir den styrande faktorn. Detta till trots har jag ändå valt att genomföra kategorise-ringen, eftersom jag ansett fördelarna överväga nackdelarna.

4.1.1 Stenhags argumentskategorier

Som utgångspunkt för min kategorisering har jag haft de fyra argumentskategorierna som Stenhag (2010) använder i sin doktorsavhandling, vilka är enligt följande:

• Direkta nyttoargument – vi läser matematik för att kunna praktisera kunskapen i vardagliga situationer eller vid fortsatta studier

• Kulturargument – matematikkunskaperna syftar primärt till att utgöra en skön-hetsupplevelse och/eller utgör en viktig del av vårt kulturarv

• Formalbildningsargumentet – studierna i matematik ses som en väg för att träna och utveckla den intellektuella förmågan

• Selektionsargumentet – matematiken används för att bedöma och sortera elever utifrån en viss form av intellektuell kapacitet

Dock fann jag, helt i enlighet med resonemanget ovan, en viss problematik i den här kategoriseringen, närmare bestämt med de två första kategorierna. Enligt mig gränsar kategorin direkta nyttoargument till att vara en alltför stor kategori, eftersom männi-skors ”vardagliga situationer” ser så oerhört olika ut. Därmed riskerar kategoriseringen att förlora sin mening, då avgränsningen inte blir tillräckligt tydlig. Likväl kommer jag att använda den här kategorin av just samma anledning som utgör problematiken med den. För eftersom människors vardagliga situationer ser så olika ut lämpar sig kategorin inte för en uppdelning. Skulle exempelvis en sådan göras utifrån de som ska läsa vidare på högskola/universitet, kommer även denna kategori att behöva delas upp i flera

un-derkategorier. Detta då olika högskole-/universitetsutbildningar har väldigt olika krav på matematik, och därmed skulle kategoriseringen på nytt förlora sin mening, men denna gång på grund av att den blir alltför snäva. Ett annat möjligt exempel vore en kategorisering baserat på yrkes- och privatliv, men även dessa ser alltför olika ut för att kunna utgöra en god kategoriseringsgrund.

När Stenhag (2010) redogör för vad som ingår i kategorin kulturargument definierar han ordet kultur i två olika bemärkelser och placerar således matematiken i två olika sammanhang. Dels som ett uttryck för skönhet i konstnärlig anda och dels som ett nedärvt arv, vilket format människors levnadsmönster genom historien. Detta formule-rar han på följande sätt:

Det spelar ingen roll om matematik är nyttigt eller inte. Oavsett vilket ska vi lära oss detta för att matematik, precis som konst eller musik, kan vara en skönhetsupplevelse att studera, för att det är en del av vår intellektuella historia och en förutsättning för att förstå våra förfä-der. (s. 43)

Att skolmatematiken förmedlar en kulturell skönhet i likhet med konst eller musik, vil-ket exempelvis även Ernest (2000) och Romberg (1992) advocerar för, är absolut en åsikt jag delar. Samtidigt placerar Stenhag i sin avhandling in argumentet att matematik tillhör allmänbildning i denna kategori. Och visserligen kan jag mycket väl se hur all-mänbildning kan kategoriseras som ett kulturargument, men menar att hans definition motsäger en sådan indelning. Därför kommer jag i detta fall frångå Stenhags kategorise-ring och istället använda mig av en kategori som jag valt att kalla samhällsargument, vilken inkluderar matematikkunskaper som syftar till att hjälpa individen att dels tillva-rata sina rättigheter i samhället, men också till att vara med och forma ett demokratiskt samhälle.

Denna kategori rymmer visserligen mer eller mindre samma argument som Stenhags kulturargumentskategori, åtminstone på det sätt han använder den i sin avhandling, då jag anser allmänbildning vara ett viktigt begrepp inom samhällskategorin. Därmed ryms exempelvis kunskap om vår intellektuella historia, och att kunna placera in viktiga ma-tematiska upptäckter i sina historiska och kulturella sammanhang, i denna kategori. Vad som möjligtvis inte ryms i en samhällskategori är den skönhetsupplevelse som beskrivs ovan, men då detta argument mycket sällan förekommit i min litteraturstudie väljer jag att inte gå vidare med det. Istället genomför jag ett kategoribyte, från kulturargument till samhällsargument, eftersom jag anser att denna betoningsskillnad mycket bättre svarar mot argumentens innehåll.

Vad gäller kategorierna formalbildningsargumentet och selektionsargumentet ser jag inget behov av att modifiera dessa kategorier, utan kommer använda dem enligt Sten-hags definition. Således kommer jag i mitt arbete att använda mig av följande fyra ar-gumentskategorier:

• Direkta nyttoargument – vi läser matematik för att kunna praktisera kunskapen i vardagliga situationer eller vid fortsatta studier

• Samhällsargument – matematikkunskaperna syftar till att hjälpa individen att dels tillvarata sina rättigheter i samhället, men också till att vara med och forma ett demokratiskt samhälle

• Formalbildningsargumentet – studierna i matematik ses som en väg för att träna och utveckla den intellektuella förmågan

• Selektionsargumentet – matematiken används för att bedöma och sortera elever utifrån en viss form av intellektuell kapacitet

4.2 Redogörelse av argument för skolmatematiken

Utifrån dessa något modifierade kategorier kommer jag nu redogöra för de olika argu-ment som genererats av min litteraturstudie. Dock vill jag påpeka att jag på inget sätt tror mig löst ovan nämnda avgränsnings- och indelningsproblematik med den något modifierade kategorin. Likväl hoppas jag att följande genomgång av argument gynnas av uppdelas i dessa fyra kategorier.

4.2.1 Direkta nyttoargument

I den här kategorin hamnar alltså de argument som gör gällande att skolmatematiken främst ska utrusta elever med de kunskaper de behöver för att hantera sin vardag – vare sig dessa kunskaper ska möta privatlivets utmaningar, yrkeslivets krav eller utgöra grunden för vidare studier. Därmed ingår alltifrån att kunna räkna ut mängden av olika ingredienser vid omräknandet av ett recept, till all den matematik som krävs för att ut-bilda framtida matematiker. Det kan som sagt vara på gränsen till en lite väl generell kategori, men samtidigt pekar den på något väldigt viktigt när det gäller argumenten för skolmatematiken – nämligen att de till stor del är situations- och personbundna. Att till exempel hävda för en person, som inte planerar att läsa vidare på någon form av

högs-kola eller universitet, att den skulle ha direkt nytta av att exempelvis kunna integrera, är nästintill löjeväckande. Och likväl skulle precis samma argument ses som fullt rimligt för exempelvis en blivande ingenjör eller matematiklärare. Därför måste detta stora spann rymmas inom kategorin direkta nyttoargument.

Men även om kategorin skulle begränsas till att endast gälla den matematik som ge-mene person behöver (vars yrke eller utbildning inte kräver några djupare matematiska kunskaper), skulle problemet likväl inte vara löst. För som Howson och Wilson (1987) skriver är det i det närmaste omöjligt att specificera kunskapskrav utifrån ett allmänt behov, eftersom dessa behov ser så otroligt olika ut. Ett konstaterande som även fångas väldigt träffsäkert av Dörfler och McLone (1986) när de reflekterar över arbetsgivares krav: “Generally they say they require 'good basic mathematics', although it is not clear that they know what this is.” (s. 52).

På något sätt behöver alltså den här kategorin av argument besvara följande fråga som Romberg (1992) ställer: ”Even if one accepts the functional rational [nyttoargu-mentet], the question is then, ‘How much mathematics is enough for all?’” (s. 756). I sin klassiska artikel Mathematical Education in its Cultural Context presenterar Bishop (1988) sex aktiviteter som han menar utförs i alla kulturer och som är såväl nödvändiga som tillräckliga för utvecklandet av matematisk kunskap. Dessa är att räkna, lokalisera,

mäta, designa, leka och förklara. Även om detta inte utgör ett fullgott svar på Rombergs

fråga, ger det eventuellt en fingervisning om var den matematiska nivån bör läggas för att kunna kallas allmän. Motsvarande uppräkning görs av såväl Niss (1994, s. 369) som Dörfler och McLone (1986, s. 59), där den förre hävdar att förmågan att hantera dessa aktiviteter är lika nödvändig som läskunnighet. Detta spår är han inte ensam om att vara inne på, utan flera författare (t.ex. Niss, 1994; Wedege, 2007; Lindberg, 2010) använder begreppet numeracy som en beskrivning av matematikens motsvarighet till läskunnighet (literacy). Dock ges ingen direkt specificering av vad detta begrepp rymmer, i varje fall inte som går bortom den Bishop (1988) presenterade, vilket enligt mig förstärker bilden av kategorin som synnerligen svårdefinierad.

Ett steg i en något annan riktning tar Lindberg (2010) när hon pekar på att flera av de yrken som tidigare enbart bestod av manuell arbetskraft, numer ofta inkluderar datorer och andra tekniska redskap vars hantering kräver ett större mått av matematiskt kun-nande. Detta är en åsikt som både Romberg (1992) och Niss (1994) ansluter sig till med ungefär samma motivation, nämligen att datorer är oerhört kraftfulla redskap, men för

med hjälp av matematik, kan de aldrig ersätta matematiskt kunnande – precis tvärtom kräver de ett matematiskt kunnande för att användas. Därmed skulle ett nyttoargument innebära matematik som går bortom Bishops (1988) sex aktiviteter, eftersom datorer använder en mer komplex matematik än vad som ryms i dessa. Här återkommer vi där-med till det faktum att kategorin direkta nyttoargument är en väldigt stor och komplex argumentskategori som kan rymma väldigt mycket. Detta trots den begränsning som gjordes till att börja med, när vi valde att enbart titta på gruppen ”gemene person” och således strök en relativt stor grupp människor vars matematiska kunnande absolut kan argumenteras för utifrån denna kategori. Till exempel menar Dörfler och McLone (1986) att förmågan att se och översätta matematiken från ett verkligt problem kräver ett större matematiskt kunnande, och att de personer som besitter denna förmåga möjliggör användandet av exempelvis datorer på arbetsplatser där alla inte besitter denna kunskap. Således hör även denna form av matematiskt kunnande in under kategorin direkta nyt-toargument.

I precis motsatt riktning till föregående resonemang hävdar Ernest (2000) att, trots att vi lever i ett informationssamhälle är det ytterst få som behöver kunna mer matematik än den man lär sig i låg- och mellanstadiet (primary or elementary school) för att klara sig. Därmed menar han att nyttoargumentet spelat ut sin roll i berättigandet av skolma-tematiken som går högre än så. Denna slutsats ligger även i linje med resultaten från Bjerneby Hälls (2002; 2006) undersökning, där flera av lärarstudenterna menade att delar av matematiken i högstadiets senare årskurser var väldigt svår att motivera utifrån elevernas förmåga att klara vardagen. Därmed får man nog konstatera att argumentet ”att klara vardagslivet” inte sträcker sig särskilt långt, åtminstone inte vad gäller gym-nasiematematiken som är fokus för detta arbete.

Här skulle jag dock vilja påpeka det faktum att Ernest (2000) gör en i sammanhanget viktig distinktion när han talar om att människor ”klarar sig” utan någon djupare mate-matisk kunskap. Med det menar han att de klarar att uppfylla kraven som samhället stäl-ler på individen som bidragande arbetskraft. Däremot anser han att det krävs mer mate-matikkunskap för att kunna kritiskt hantera och utveckla samhället, något jag undersö-ker närmare i nästa avsnitt. Men, konstaterar Ernest, också i det scenariot där samhället styrs av en liten elit vars matematikkunnande går bortom de övrigas, är inte ens denna grupp i behov av den akademiska matematik man idag lär sig. Snarare menar han att det bör vara tal om en matematik som är kopplad till dess tekniska applikationer. Därmed väcker han en viktig fråga om vilken matematik som faktiskt bör ingå i

skolmatemati-ken, även i de sammanhang där vidare studier gör skolmatematikens varande till en ick-efråga.

Sammanfattningsvis innefattar direkta nyttoargument en stor spridning av argument, som helt klart innebär olika matematik för olika personer och olika samhällen. Dock verkar de flesta matematikdidaktiker vara överens om vikten av matematik för att han-tera vardagen, vilket jag ser som kärnan i den här kategorin. Att detta argument även rymmer förberedelse inför fortsatta studier tycker jag är rimligt, men jag vill ändå mena att det finns en överhängande risk med att oreflekterat hävda detta argument för att be-rättiga viss del av skolmatematiken. För precis som Ernest (2000) påpekar, måste vi ställa oss frågan om vilken matematik som ska ingå även i de högre utbildningarna. Dock är det en fråga som faller utanför det här arbetet.

4.2.2 Samhällsargument

Niss (1994) skriver i sin artikel Mathematics in Society att:

Altogether, if we add up the influence mathematics exerts on the cultural and mental circum-stances in society, we cannot but conclude that mathematics is embedded in the material and immaterial infrastructure of society. Thus, mathematics contributes in a thorough way to the

shaping of society, for better and for worse. (s. 370)

Utifrån detta perspektiv går det att sammanlänka samhällsargumenten med de direkta nyttoargumenten, eftersom uppbyggandet och utvecklandet av vårt samhälle utgör en direkt nytta. Så när Niss (1994, s. 372) radar upp yrken vilka använder matematik som ett redskap, skulle det visserligen kunna anföras som ett direkt nyttoargument, men det skulle lika gärna kunna ses som ett samhällsargument. Anledningen till att jag väljer att placera in det i den senare kategorin är för att jag, precis som Niss, anser att insikten om matematikens vikt i samhället bör tillhöra allmänbildning.

I föregående avsnitt berörde jag en potentiellt negativ effekt av bristande matematisk kunskap genom att referera till Ernests (2000) resonemang om att allmänheten riskerar att utestängas från viktiga beslut, som istället fattas av en matematikkunnig elit. Precis samma resonemang är Niss (1994) inne på, som dock menar att lösningen inte vore att utbilda alla människor till en hög matematisk nivå. Istället bör det ses som allmänbild-ning att ha insikt i och förståelse för vad dessa experters expertis egentligen består i. Alltså bör allmänheten ha en grundläggande förståelse för på vilka grunder och med vilka verktyg som beslut i samhället fattas, eller kanske ännu viktigare, vilka begräns-ningar dessa verktyg har. Detta skulle bidra till att forma ett demokratiskt samhälle av

kritiska medborgare, som inte blint styrs av en elit vars användande av matematik di-stanserar dem från allmänheten. Det skulle också kunna bidra till att förhindra det fe-nomen som av såväl Dörfler och McLone (1986) som Lundin (2008) beskrivs som att matematik på en hög och svår nivå i det närmaste anses vara magi i allmänhetens ögon.

På samma tema, fast med en annan infallsvinkel, hävdar Engström (2005) att skol-matematiken utgör ett viktigt bidrag till ett demokratiskt samhälle. Detta eftersom han anser att det finns en koppling mellan en så kallad deliberativ demokrati, dvs. en sam-talsdemokrati, och så kallad matematisk reasoning. Han menar att elever får träning i att föra välgrundade och välunderbyggda resonemang genom skolmatematiken, vilket en-ligt honom är en av grunderna för vårt demokratiska samhälle.

Ytterligare en infallsvinkel ger Niss (1996) när han argumenterar för att i demokra-tiska samhällen framhävs vikten av att använda matematiken för att skapa kridemokra-tiska sam-hällsmedborgare, medan det i mer auktoritära samhällen är något som hamnar i bak-grunden eller till och med aktivt motarbetas. Samtidigt är det viktigt att påpeka att det inte går att dra ett likhetstecken mellan matematikkunniga medborgare och demokra-tiska samhällen, vilket Skovmose (2005, s. 43) formulerar som att matematikundervis-ningen i sig inte har någon ”stark ryggrad” som garanterar ett förebyggande av totalitära regimer. Han pekar som exempel på det faktum att även under nazisternas tid undervi-sades tyska skolungdomar i matematik, något som förmodligen gäller för alla totalitära regimer genom historien.

Visserligen anser jag definitivt att allmänbildning är ett starkt argument för matema-tikutbildning, framför allt när man sätter in det i ett sammanhang av samhällsnytta. Dock blir frågan här precis som i fallet med direkta nyttoargument, hur mycket matema-tik och kanske ännu mer vilken matemamatema-tik, bör ingå i en sådan allmänbildning? Trolig-en rör det sig om mer matematik än vad som kan hävdas med nyttoargumTrolig-ent, eftersom det skulle innebära en förståelse för de matematiska verktygens premisser och kanske i synnerhet deras begränsningar.

4.2.3 Formalbildningsargumentet

Detta argument, att matematikstudier i sig själva för med sig ett utvecklande av intellek-tet, vekar vara ett av de tidiga argumenten som sedan följt med genom hela historien. Stenhag (2010) visar på hur redan Platon tänkte i dessa banor och i min studie av argu-ment för skolmatematiken har det förekommit i det närmaste överallt (för att inte säga

precis överallt). Men det är på inget sätt ett oemotsagt argument och dess motståndare menar ofta att det är helt grundlöst, bland annat skriver Tietze (1994) följande:

The argument often used to justify mathematics in school, "mathematics trains logical think-ing," is not only nebulous in its semantics but also based on a transfer hypothesis that does not withstand closer examination. The idea that starting off with very general concepts (e.g., a general concept of variable) will facilitate the learning process reveals an implicit learning theory that lacks scientific sanction. This implicit learning theory influenced curriculum de-velopment especially in algebra and has increased learning difficulties in this subject, which is quite difficult as is. (s. 43)

Liknande hävdanden görs av bland andra Dörfler och McLone (1986), Skovmose (2005) och även underförstått av Lindberg (2010, s. 2) utifrån hennes egna upplevelser. Samtidigt är det i viss mån detta argument som Stenhags (2010) doktorsavhandling syf-tar till att undersöka och slutsatsen han kommer till är att ”ett högt matematikbetyg fun-gerar som en god markör för generell studieframgång.” (s. 170). Dock är han tydlig med att detta arguments giltighet inte är bevisad och påpekar i sin avhandling att mer forsk-ning på området krävs för att hävda argumentets validitet.

Ofta har detta argument kopplat samman matematiken med logiskt tänkande, något som exempelvis Niss (1996) samt Dörfler och McLone (1986) gör till synes lite i förbi-farten. Dock menar de två senare att det inte kan finnas någon strikt koppling mellan matematik och logik eftersom det finns många människor som helt saknar matematiskt kunskap men som fortfarande besitter förmågan att resonera logiskt.

Sammanfattningsvis har argumentet visserligen funnits med genom i stort sett hela historien och även idag smyger sig fram i olika sammanhang (exempelvis hos Bjerneby Hälls (2002; 2006) lärarstudenter). Likväl bör det användas med försiktighet eftersom det till synes saknar vetenskapliga belägg.

4.2.4 Selektionsargumentet

Detta argument skiljer sig på sätt och vis från de övriga genom att det intar ett organi-sationsperspektiv vad gäller matematikens roll i skolan. Därmed faller det nästan utan-för mitt arbete, eftersom det skulle vara ett mycket märkligt argument att anutan-föra utan-för att motivera elevers matematikstuderande. Dock anser jag att det förekommer indirekt vid flera tillfällen hos Bjärneby Hälls (2002; 2006) lärarstudenter då dessa använder argu-mentet ”det kommer på provet”. Men att hävda detta som ett skäl för skolmatematiken blir enligt mig ohållbart, eftersom provet inte skulle existera om det inte vore för skol-matematiken. Bortsett från den form selektionsargumentet tar hos Bjärneby Hälls

lärar-studenter anser jag det vara ett i sammanhanget väldigt viktigt och intressant argument, eftersom det sätter en så stor prägel på skolans utformning. För som jag ser det skulle hela betygssystemet falla utan detta argument, då dess syfte är att just särskilja elever. Oberoende av huruvida min analys av selektionsargumentets betydelse för betygssy-stemet stämmer eller inte, menar bland andra Lundin (2008), Howson och Wilson (1987), Skovmose (2005), Romberg (1992), samt Ernest (2000) att skolmatematiken tillskrivs en särställning bland andra skolämnen just på grund av dess differentierande effekt. Även Dörfler och McLone (1986) sällar sig till denna skara genom att formulerar sig på följandet vis:

Mathematics is one of many subjects but it nevertheless is in a unique position, because of its highly differentiating effect. […] Mathematics is therefore a tool for selection, possibly to a greater extent than other subjects; a role that is tacitly accepted by many teachers, students and also parents (see Section 1). Success in mathematics is widely considered to be a proof of intellectual ability and lack of success is interpreted accordingly as lack of the abilities necessary not only for good achievement in mathematics but also in other fields. This view is widely held even though there is also the conviction that the actual content to be learned in mathematics is of rather minor importance for later activities either at work or in private life. (s. 71)

I detta citat belyses ett faktum som även Stenhag (2010) lyfter fram, nämligen att selekt-ionsargumentet och formalbildningsargumentet vilar på samma grund, nämligen att god matematisk förmåga också indikerar god förmåga inom andra områden som inte har med matematik att göra. Något som gör mig konfunderad i det här sammanhanget är att den kritik som riktas mot formalbildningsargumentet inte alls verkar riktas i samma utsträckning mot selektionsargumentet. Som jag ser det beror det antingen på att perso-ner som ansluter sig till kritiken av formalbildningsargumentet inte anser att det finns en sådan koppling mellan dessa argument, eller att selektionsargumentets roll i skolan är så självklar att argumentet inte ifrågasätts. Oavsett vilket vore det intressant att närmare undersöka denna koppling, men dessvärre hade jag inte möjlighet till en sådan under-sökning i detta arbete.

En aspekt av skolmatematikens differentierande effekt som framför allt Skovmose (2005) lyfter fram är dess sociala implikationer, vilket han beskriver på följande vis:

It appears that mathematics education serves a social function by providing a stratification that may include the marking of students. This stratification separates those who will get ac-cess to power and prestige from those who will not. It is also remarkable that mathematics education seems to provide a legitimization of this stratification. Not only is the stratification acted upon by authority, it is also accepted by its victims as being, somehow, objective. (s. 1)

Enligt Skovmose bidrar alltså skolmatematikens differentierande effekt till att dela in befolkningen i olika socioekonomiska skikt, något han senare i boken benämner som en indelning i adel, tjänstemän och avyttringsbara (disposable) människor. Den första gruppen kommer styra samhället, den andra gruppen kommer inneha mer eller mindre viktiga positioner och den tredje gruppen kommer helt enkelt få vara nöjda med de jobb de blir tilldelade. Han pekar också på det faktum att denna effekt av många anses vara objektiv, något jag kopplar till den bristande förståelsen för premisserna vid användan-det av matematiska verktyg som jag redogjorde för i föregående avsnitt. Att människor hyser en tilltro till matematiken som objektiv och värderingsfri utgör därmed en grund för selektionsargumentet, samtidigt som det visar på faran i allmänhetens bristande för-ståelse för matematik.

Självklart är det inte enbart skolmatematiken, eller ens skolan som helhet, som styr denna socioekonomiska indelning. En så stor samhällsfråga är alltid mycket mer kom-plex. Dock vill jag med detta avsnitt peka på problematiken i att skolmatematiken bidrar till denna process.

5. Argumenten i praktiken

Både Stenhag (2010) och Romberg (1992) avslutar sina redogörelser av argument för skolmatematiken med att konstatera att de olika argumenten var för sig inte förmår bära bördan av att motivera den, men att de gemensamt mer än väl motiverar en fortsatt skolmatematik. För mig blir en logisk konsekvens av detta konstaterande att olika delar av skolmatematiken bärs av olika argument, något som även Bjärneby Hälls (2002; 2006) lärarstudenter konstaterar. Därför anser jag det vara av intresse att titta på vilka argument som finns med i läroplanen, samt vilka delar som motiveras av vilka argu-ment. Detta är något som Bjärneby Häll (2006) gör i sin doktorsavhandling, men då utifrån sina lärarstudenters argument och med grundskolans matematik. Jag kommer istället undersöka gymnasieskolans matematik utifrån de fyra ovan genomgångna argu-mentationskategorierna, och även göra en jämförelse mellan de högskoleförberedande programmens och yrkesprogrammens kurser. Slutligen kommer jag resonera kring det faktum att det finns fler variabler som styr matematikundervisningen än bara argument, samt läro- och kursplaner.

I kapitlet refererar jag till olika didaktiska frågeställningar, vilka jag hämtat från Bjärneby Hälls (2002) licentiatuppsats. Dessa frågeställningar har egentligen följt med genom hela arbetet, men inte lika uttalat som i detta kapitel. Bjärneby Häll definierar dem enligt följande:

VARFÖR? Innehållet legitimeras, dvs. varför ett visst kunskaps- eller färdighetsområde skall vara representerat i skolan motiveras.

VAD? Innehållet identifieras och en selektion görs, dvs. vad vi t.ex. menar med fär-digheter i matematik anges, och ett visst urval av matematik görs som konse-kvens av identifieringen.

HUR? Innehållet kommuniceras, dvs. frågor som rör hur innehållet skall bearbetas i undervisningen beaktas. (s. 41-42)

I det förra kapitlet sökte jag svaret på den första frågan, och jag kommer i det här ka-pitlet försöka besvara de två andra frågorna med utgångspunkt i läro- och kursplaner. Anledningen till att jag tar med dessa aspekter är för att det inte är tillräckligt att skolmatematiken som helhet står på en god grund, även de olika delar som utgör skol-matematiken måste kunna motiveras utifrån denna grund. Annars riskerar en välgrundad skolmatematik inhysa mindre välgrundade delar, vilket i sin tur skulle underminera äm-net som sådant.

Dock vill jag påpeka att en uppdelning som denna, med tre olika didaktiska fråge-ställningar, för med sig liknande avdelnings- och inplaceringsproblematik som i fallet med argumentskategoriseringen. Vissa formuleringar kan mycket väl tolkas som svar på flera eller till och med samtliga frågor, eller tvärtom inte kunna placeras in som svar på någon av de tre frågorna. Dock väljer jag återigen att nyttja fördelarna med att dela in och strukturera, framför riskerna med att begränsa och förminska.

5.1 Vad säger läroplanen?

Till att börja med kommer jag gå igenom Skolverkets (2011) allmänna beskrivning av matematikämnet, samt ämnets syfte, för att se vilka argument som förekommer där. Under denna genomgång kommer jag för enkelhetens skull att förkorta de olika argu-menten på följande sätt: (i) direkta nyttoargument, (ii) samhällsargument, (iii) formal-bildningsargumentet, samt (iv) selektionsargumentet. Därefter kommer jag föra ett re-sonemang kring de sju förmågor som elever ska få förutsättningar att utveckla genom undervisningen av matematik och hur dessa förhåller sig till dels kursplaner, men även ovan presenterade argument.

5.1.1 Ämnes- och syftesbeskrivning

Min argumentsanalys av ämnesbeskrivningen ser ut på följande vis:

Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer (ii). Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan (i)&(ii). Kommunikation med hjälp av matematikens språk är likartad över hela världen (ii). I takt med att informationstekniken utvecklas används matematiken i alltmer komplexa situationer (i)&(ii). Matematik är även ett verktyg inom vetenskap och för olika yrken (i)&(ii). Ytterst handlar matematiken om att upptäcka mönster och formulera generella samband (iii)?. (Skolverket, 2011)

När ämnet beskrivs i generella ordalag är det främst de två första argumenten som gör sig gällande om vartannat. Att de två senare inte alls eller väldigt knappt används i detta sammanhang får ses som föga förvånande med tanke på premisserna för argumenten, då båda bygger på något som inte lyckats bevisas och som därmed är vida omstritt. Dessu-tom har argument (iv) som sagt snarare att göra med den strukturella utformningen av skolan och faller således inte riktigt inom ämnets ramar. Vad gäller den sista meningen, skulle den eventuellt kunna ses som ett exempel på formalbildningsargumentet. Dock anser jag att den är svår att argumentskategorisera eftersom den handlar om vad

mate-matiken är, medan de övriga talar om matemate-matikens historia eller dess användningsom-råden. Att formuleringar kring matematikens väsen inte faller inom något av argumen-ten för dess exisargumen-tens är egentligen bara logiskt, eftersom argumenargumen-ten utgår från vad ma-tematik är och försöker visa på hur och varför den är användbar. Dock skulle den som sagt kunna tolkas som att Skolverket menar att studiet av matematikämnet som sådant utvecklar den intellektuella förmågan, genom att det utvecklar förmågan upptäcka mönster och se generella samband.

När sedan ämnets syfte beskrivs, görs det på följande sätt, här med min argumentsa-nalys:

Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar förmåga att arbeta matematiskt (iii). Det innefattar att utveckla förståelse av matematikens begrepp och metoder samt att utveckla olika strategier för att kunna lösa matematiska problem och använda mate-matik i samhälls- och yrkesrelaterade situationer (i)&(ii). I undervisningen ska eleverna ges möjlighet att utmana, fördjupa och bredda sin kreativitet och sitt matematikkunnande

(i)&(iii). Vidare ska den bidra till att eleverna utvecklar förmåga att sätta in matematiken i

olika sammanhang och se dess betydelse för individ och samhälle (i)&(ii).

Undervisningen ska innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande akti-viteter utgör en del. När så är lämpligt ska undervisningen ske i relevant praxisnära miljö

(i)?. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att kommunicera med olika uttrycksformer.

Vidare ska den ge eleverna utmaningar samt erfarenhet av matematikens logik, generaliser-barhet, kreativa kvaliteter och mångfacetterade karaktär (ii)&(iii). Undervisningen ska stärka elevernas tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang samt ge ut-rymme åt problemlösning som både mål och medel (i)&(iii)?. I undervisningen ska eleverna dessutom ges möjlighet att utveckla sin förmåga att använda digital teknik, digitala medier och även andra verktyg som kan förekomma inom karaktärsämnena (i). (Skolverket, 2011)

Även i syftesbeskrivningen är det tydligt att det främst är de två första argumenten som gör sig gällande, men jag tycker mig också se spår av det tredje argumentet. Återigen lyser det fjärde argumentet med sin frånvaro, vilket enligt mig enbart förstärker dess unika plats i skolmatematiska sammanhang där det inte förekommer någonstans rakt ut, men hela tiden finns med under ytan. I denna del var det två formuleringar som jag hade svårt att kategorisera och anledningen till det tror jag är att de snarare svarar på de di-daktiska frågorna hur eller vad, vilket innebär att de inte gärna kan motiveras med denna typ av argument. Vad gäller den första formuleringen som fick ett litet frågeteck-en efter sig, beror det på att jag inte anser att dfrågeteck-en egfrågeteck-entligfrågeteck-en besvarar varför-frågan. Men eftersom jag ser det som ganska uppenbart att den bakomliggande anledningen till att undervisningen ska ske i praxisnära miljöer är för att koppla undervisningen till kommande yrke, tycker jag den likväl kan motiveras utifrån direkta nyttoargument. Me-ningen markerad med (iii)? skulle kunna tolkas som ett exempel på

formalbildningsar-gument, närmare bestämt en transfereffekt, eller transferhypotes som Tietze (1994) kal-lar det i citatet på sidan 23. Med detta menas enligt Stenhag (2010) att ”det man lär sig i matematikstudierna bidrar till att underlätta annat lärande” (s. 15), och är alltså en annan beskrivning av formalbildningsargumentet. Dock har som sagt någon sådan transferef-fekt inte kunnat bevisas. Anledningen till att jag satt ett frågetecken är för att det inte tydligt framgår huruvida undervisningen på något sätt är knuten till de sammanhang inom vilka eleverna förväntas använda matematiken. Om så är fallet är det inte tal om någon transfereffekt, men om det inte är fallet är det ett exempel på formalbildningsar-gument.

Att de två första kategorierna av argument är de mest frekventa i både den generella beskrivningen av matematik och i matematikämnets syfte är på intet sätt uppseende-väckande. Förutom det faktum att dessa kategorier är de mest omfångsrika, kunde vi också under genomgången i föregående kapitel se att de är de mest välgrundade och allmänt accepterade. Dessutom är kategori tre och fyra lite speciella, vilket jag varit inne på tidigare. Men dessa beskrivningar innehåller trots det en del intressanta formule-ringar som åtminstone jag anser förtjänar att problematiseras lite kring. Det första som slår mig är den i det närmast odelat positiva betoningen som användandet av matematik får i dessa beskrivningar. Visserligen håller jag med om att matematik är ett alldeles ypperligt verktyg att använda i såväl yrkesliv som samhället i stort, men som jag var inne på i det förra kapitlet finns det också risker förbundna med en alltför stor tilltro till användandet av matematiska verktyg – framför allt finns det risker i en alltför stor tilltro till dessa verktygs objektivitet. Visserligen ska matematikundervisningen enligt Skol-verket (2011) utveckla elevers förmåga att se matematiska modellers begränsningar, men jag anser likväl att det ska vara ett av syftena med matematikundervisningen. Detta för att stärka dess roll inom skolmatematiken och därmed ge ytterligare förutsättning för att förebygga risken med ett underminerande av demokratin som jag var inne på tidi-gare.

En annan aspekt som jag skulle vilja lyfta fram är att det i syftesbeskrivningen finns formuleringar som kan kopplas till ett av huvudresonemangen i Lundins (2010) dok-torsavhandling. Där ger han först en beskrivning av fenomenet matematik som något i det närmaste odefinierbart och nästan svävande över samhället i allmänhet och skolan i synnerhet. Därefter gör han en distinktion mellan fenomenet matematik och skolma-tematiken och sedan talar han, och nu förenklar jag mycket, om att maskolma-tematiken i sig

verkligheten. Men, menar han, skulle man ta bort matematiken skulle skolmatematiken behöva skapa en egen relation till verkligheten och därmed konfronteras med frågor som ”Vad är det för framtida tillvaro som eleverna genom denna strikt reglerade verk-samhet förbereds för?” (Lundin, s. 61). Men eftersom matematiken finns där som ett skyddande mellanled, blir svaret på ovan ställda fråga formuleringar som att ”eleverna utvecklar förmåga att arbeta matematiskt”, eller att ”eleverna ges möjlighet att utmana, fördjupa och bredda sin kreativitet och sitt matematikkunnande” (Skolverket, 2011). Att matematiken dessutom tillskrivs en rad högre värden – som till exempel att den bidrar till ekonomisk tillväxt, att demokratin stärks och att människor får bättre självförtroende – förstärker ytterligare dess position som berättigande av skolmatematiken. Vad Lundin (2008) alltså ifrågasätter är hur skolmatematiken rent faktiskt ska kunna leda fram till de syften den har. Det hela är förvisso ett ganska invecklat och i viss mån filosofiskt reso-nemang som bitvis inte var helt lätt att följa, men likväl väljer jag att ta med det ef-tersom jag tycker det lyfter ett intressant perspektiv på skolmatematiken.

5.1.2 Förmågor och kursplaner

Efter ämnes- och syftesbeskrivningarna går Skolverket (2011) vidare med att först pre-sentera en lista över vilka förmågor som matematikämnet ska utveckla hos elever, och sedan presenteras de olika kursplanerna. Eftersom dessa delar besvarar den didaktiska

vad-frågan kommer jag följaktligen inte att göra någon argumentsanalys av dem.

Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla för-måga att:

1. använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begrep-pen.

2. hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg.

3. formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, meto-der och resultat.

4. tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvär-dera en modells egenskaper och begränsningar.

5. följa, föra och bedöma matematiska resonemang.

6. kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling.

7. relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkes-mässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang. (Skolverket, 2011)

Denna lista, tillsammans med de olika kursplanerna, svarar alltså på den didaktiska vad-frågan, men eftersom kursplanernas innehåll av uppenbara skäl varierar ryms inte en fullständig genomgång av dessa här. Dock kommer jag att kort redogöra för det centrala innehållet i kurserna Matematik 1 och 2, eftersom dessa kurser ges för samtliga program och en av arbetets frågeställningar handlade om att jämföra gymnasieskolans högskole-förberedande- och yrkesprogram. En närmare jämförelse av kursernas a-, b- och c-spår kommer sedan att göras i nästa avsnitt: där a-spåret ingår i samtliga yrkesprogram; b-spåret ingår i ekonomi-, estetiska-, humanistiska- och samhällsvetenskapsprogrammet; c-spåret ingår i naturvetenskaps- och teknikprogrammet. I fem av sex av dessa kurser ingår samma fem kategorier av centralt innehåll: taluppfattning, aritmetik och algebra; geometri; samband och förändring; sannolikhet och statistik; problemlösning. I kursen Matematik 2a utelämnas kategorin sannolikhet och statistik.

Detta är alltså vad skolmatematiken syftar till att utveckla hos eleverna, de sju punk-terna ovan inom ramen för kursernas sex olika centrala delar. Dörfler och McLone (1986) konstaterar att listor liknande den ovan finns i många länder, men att det också finns en problematik med sådana listor: ”The problem with such lists is that it is diffi-cult to find a practical interpretation of what these words mean - what activities, what tasks, what strategies?” (s. 56). Samma spår är även Niss (1996) inne på då han menar att det inte finns ett enkelt samband mellan skolmatematikens mål och dess innehåll. Romberg (1992) och Lundin (2008) påpekar att det urval som sker vid besvarandet av

vad-frågan i det närmaste tvingas fram för att göra skolmatematiken möjlig. I synnerhet

uppdelningen av matematikämnet (i t.ex. aritmetik, geometri, algebra, etc.) samt den ordningsföljd i vilken de olika momenten kommer, är på inget sätt naturligt förekom-mande inom den matematiska vetenskapen. Romberg menar därför att denna uppdel-ning riskerar att separera de olika delarna ifrån varandra och därmed fragmentera ele-vernas kunskap så att de inte ser matematiken som en helhet, vars olika moment kom-pletterar varandra och hjälper oss att förstå vår omvärld.

En annan problematik som många matematikdidaktiker lyfter fram är det faktum att besvarandet av hur-frågan riskerar att överskugga vad-frågan. Exempelvis skriver Dör-fler och McLone (1986) att:

Almost every topic is associated with certain types of exercises; a topic which does not give ample opportunity for exercises will not be considered suitable for inclusion in school math-ematics. One may even classify school mathematics by the various different types of exer-cises. (s. 63)

Ett konstaterande som även Lundin (2008) ställer sig bakom genom att skriva:

I skolan handlar matematikkunskaper nämligen nästan uteslutande om förmågan att lösa (större eller mindre) matematiska problem, vilkas relation till matematikens ”stora idéer” och de viktiga frågor man måste ta ställning till i samhällslivet, är allt annat än självklar. Detta är vad man övar på under lektionerna och det är denna förmåga som genom prov översätts till betyg och examina. (s. 34)

Men hur kommer det sig då att så många matematikdidaktiker (för att inte tala om min egen, om än mycket begränsade, erfarenhet) vittnar om en matematikundervisning som består i lösandet av ett i det närmaste ändlöst antal uppgifter, vars relation till matemati-kens stora idéer som sagt kan ifrågasättas?

Ett potentiellt svar, eller åtminstone en mycket intressant reflektion, ger Skovmose (2005) då han sätter in fenomenet i ett socialt sammanhang. Han börjar med att konsta-tera att de uppgifter som typiskt förekommer i skolböcker i det närmaste liknar kom-mandon, vilka eleverna förväntas följa. Utifrån detta ifrågasätter han hur följandet av dessa kommandon ska kunna föda kreativitet och matematisk kompetens, vilket är det uttalade målet med matematikundervisningen. Därmed konstaterar han att det finns en tydlig diskrepans mellan mål och tillvägagångssätt, men likväl har detta upplägg tillåtits fortleva, och det är här Skovmose drar den intressanta kopplingen mellan skolmatema-tikens utformning och dess sociala effekt. För genom att låta eleverna följa alla dessa kommandon (Skovmose uppskattar att en genomsnittlig elev löser ca 10 000 övnings-uppgifter under sina matematikstudier) tränar man dem i just detta, att följa komman-don. Därmed formar man en framtida arbetskraft som är van att utföra rutinuppgifter, vilket han menar är premissen för många av dagens yrken. Alltså handlar skolmatemati-ken egentligen inte om att lära elever matematik, utan att förbereda dem för yrskolmatemati-ken där rutinuppgifter görs dag ut och dag in. Dessutom konstaterar han att det faktiskt finns de elever som lyckas ta sig igenom skolsystemet och uppnå de mål som är uppsatta för skolmatematiken, och dessa elever går sedan vidare till högre utbildningar. Därmed menar Skovmose att skolmatematikens utformning i sig själv fungerar som ett differen-tieringsverktyg.

Huruvida detta är skälet till skolmatematikens utformning låter jag vara osagt, likaså huruvida det går att dra så stora konsekvenser baserat på denna utformning. Dock valde jag att ta med resonemanget för att belysa vikten av att det finns en koppling mellan svaren på de tre didaktiska frågorna varför, vad, och hur. För även om både skolma-tematiken i stort och dess olika delar vilar på en mycket god argumentsgrund, leder det

inte per automatik till att dess mål kan realiseras. Hur detta implementeras är av oerhört stor vikt, något jag återkommer till senare i arbetet.

5.2 Högskoleförberedande- kontra yrkesprogram

Jag kommer nu försöka göra en jämförelse mellan matematiken på de högskoleförbere-dande- och yrkesprogrammen, och eftersom det som sagt endast är Matematik 1 och 2 som ges för alla program, är det dessa kurser jag kommer att jämföra. Men innan vi stu-derar de olika kursernas särprägel vill jag först lägga en lite mer allmän grund vad gäller yrkesprogrammens matematik, för att på så vis sätta in den i ett historiskt och pedago-giskt sammanhang.

5.2.1 Matematik på yrkesprogrammen

Till att börja med menar jag det vara relevant att belysa det faktum att det var först i och med Lpf 94 som yrkesprogrammen blev en del av den svenska gymnasieskolan. Som en konsekvens av detta skulle alla elever läsa samma matematikkurs (Matematik A), om än med ”infärgning” av respektive program, och undervisningen skulle hållas av en mate-matiklärare. Innan dess hade yrkeselever undervisats i ”yrkesmatematik” av karaktärs-ämnesläraren, och således hade matematikinnehållet kunnat variera beroende på vilket yrke eleverna förbereddes inför (Lindberg, 2010).

Anledningen till att jag anser det vara viktigt att lyfta fram den här aspekten av yr-kesprogrammens matematik är för att visa på den pendelrörelse som svängt genom historien. För yrkesprogrammen har alltså matematiken svängt från att först bestå av ren yrkesmatematik, för att sedan vara den samma som de högskoleförberedande program-mens, för att nu ha svängt tillbaka i viss mån genom att de får sin egen matematikkurs (a-spåret). Denna pendelrörelse tror jag beror på att yrkesprogrammens matematik så tydligt kopplas till direkta nyttoargument – det är ju trots allt ett konkret yrke de ska förberedas inför. Men eftersom denna kategori som sagt har svårt att besvara hur myck-et, eller närmare bestämt vilken, matematik som behövs i yrkesutövningen, sker en pen-delrörelse i takt med att svaret förändras. En motvikt i penpen-delrörelsen utgörs av sam-hällsargumenten vars målsättning bland annat är att förhindra social differentiering, där elever på yrkesprogrammen annars riskerar att sorteras bort som avyttringsbara i framti-den. Dock är jag inte i en position där jag kan urskilja huruvida ovanstående

resone-mang finns åtanke hos beslutsfattare, även om den sjunde förmågan som matematikäm-net ska utveckla hos elever indikerar att det skulle kunna göra det.

En aspekt som enligt mig kan tänkas utgöra en faktor i sammanhanget är politiska ideologier, där två stridande perspektiv mycket väl kan tänkas generera de konsekvenser jag beskrivit ovan. Nämligen att det å ena sidan finns en önskan om att ge alla möjlighet till vidare studier, med den potentiella konsekvensen att många lämnar skolan i frustrat-ion över misslyckanden, och att det å andra sidan finns önskan om att förhindra elev-flykten, med den potentiella effekten att elevers framtida möjligheter begränsas. Dock faller ett ytterligare utvecklande av denna aspekt långt utanför ramen för mitt arbete och således får jag lämna det därhän.

5.2.2 Grund för differentiering

I och med de olika spåren i skolmatematiken sker alltså en differentiering utifrån ele-vernas val att studera på högskola/universitet eller ej. Visserligen finns det skillnader även mellan b- och c-spåren, men dessa relativt små under de två första kurserna och jag väljer därför att bortse från dem i det här arbetet. Men till att börja med kan det vara relevant att ställa frågan när och hur en differentiering ska ske, om den över huvud taget bör ske. Howson och Wilson (1987) konstaterar att det är ett mycket komplext problem som därmed saknar enkla lösningar, men presenterar lite olika alternativ för differentie-ring. De två alternativ som enligt mig stämmer bäst överens med den svenska skolans förutsättningar är ingen differentiering över huvud taget, eller differentiering utifrån

framtida yrke. Skulle man låta bli att differentiera, menar Howson och Wilson (1987, s.

48-50) att de starka eleverna skulle få styra innehåll och takt, och konsekvenserna skulle då bli att de starka eleverna når längre, men även övriga elever kommer prestera bättre eftersom höga förväntningar oftast ger bättre resultat. Dessutom slipper man undan de sociala konsekvenserna av differentiering och alla elever får en ”jämlik” chans. Dock menar Howson och Wilson att det även kommer leda till att många elever misslyckas, samtidigt som det ställer större krav på läraren på grund av den stora spridningen i ele-vers förmågor. Om differentieringen istället sker utifrån framtida yrke, vilket de anser vara en allmänt accepterad grund, blir konsekvenserna istället att det kan råda diskre-pans mellan en elevs val av framtida yrke och elevens matematiska förmåga (vilket så att säga kan gå åt båda hållen). Dessutom menar de att det med nödvändighet flyttar

fram differentieringen till ett så sent skede att det nästan garanterat är för sent för att dels hjälpa svagare elever och dels förhindra att starkare elever blir uttråkade.

Detta är som sagt en mycket stor och svår fråga, vars relevans för detta arbete inte är tillräckligt stor för att jag ska ha möjlighet att gå vidare med den. Men jag ville ändå lyfta fram den, eftersom vårt sätt att differentiera annars riskerar att bli taget för givet, när det i själva verket förtjänar en del uppmärksamhet. Till exempel lyfter en del av Bjärneby Hälls (2006) lärarstudenter fram det faktum att vissa elever och därmed även lärare, skulle gynnas av att differentieringen skedde tidigare, då detta skulle förhindra att lärarna var tvungna att försöka få totalt ointresserade elever att bry sig om matema-tik. Samtidigt skulle det, av skäl som jag varit inne på tidigare, riskera att starkt miss-gynna såväl individen som samhället i stort.

5.2.3 Kursernas särprägel

Så med yrkesprogrammens matematiska närhistoria, samt premisserna för differentie-ring i åtanke, vill jag nu ge mig i kast med att jämföra de olika kursplanerna. Enligt lä-roplanen ska matematikundervisningen ge eleverna förmågan att ”relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang” (Skolverket, 2011). Därmed kommer de olika kurserna med nödvändighet att se olika ut, vilket även stämmer in på utformningen av kategorin nyttoargument som har en stor spännvidd och innebär olika matematik för olika perso-ner. Som jag var inne på i avsnittet ovan bortser jag från de små skillnaderna i b- och c-spåren och jämför således enbart a- och b-spåret. Men hur stora skillnader kan vi egent-ligen förvänta oss, baserat på en differentiering utifrån framtida yrke? Och hur stora skillnader kan vi rent faktiskt acceptera på dessa premisser? För visserligen spelar yrket en stor roll för hur mycket matematik man använder, men samtidigt bör skillnaderna inte vara så stora att de till exempel utgör en demokratisk risk.

I kurs 1 är a- och b-spåret väldigt lika varandra på de flesta punkter, även om en del skillnader framträder i framförallt geometriområdet. Dock rör det sig inte i första hand om vilket innehåll som tas upp, utan handlar snarare om hur djupt olika delar behandlas, eller kanske framför allt graden av generaliseringen som eftersträvas. Dessutom för-läggs vissa av de geometrimoment som finns med i 1b, men som saknas i 1a, i 2a istäl-let. Detta anser jag vittna om att nyttoargumenten inte fått ta överhanden, även om de precis som det borde spelar en stor roll, utan man har också tagit hänsyn till de aspekter