Mariebergsskolans nya idrottshall

Mariebergsskolans nya idrottshall

Utformning, dimensionering och jämförelse av stomalternativ i limträ

New Sports Centre at the school of Marieberg

Design, dimensioning and comparison of glulam frameworks

Linnea Bolstad & Daniel Erlandsson

Fakulteten för hälsa, natur- och teknikvetenskap Byggingenjörsprogrammet

22,5 hp

Kenny Pettersson Asaad Almssad 2016-06-16 118

Sammanfattning

I Karlstad kommuns ägor finns 26 idrottshallar var av en är Mariebergsskolans idrottshall som är belägen 50 meter från Karlstads centralsjukhus. Idrottshallen har fuktskador och är för liten för sitt ändamål vilket lett till att flertalet förslag för renovering har funnits på agendan genom åren. Det senaste beslutet som tagits genererade i att en ny idrottshall ska börja byggas under våren 2016.

Karlstad kommun uttrycker att de vill använda mer trä vid nybyggnationer men saknar i dagsläget en utarbetad träbyggnadsstrategi. Socialdemokraterna har lagt en motion om att kommunen ska arbeta fram en strategi med Växjös strategi, ”den moderna trästaden” som förebild.

Målet med examensarbetet har varit att dimensionera och granska olika stomalternativ i limträ för hallbyggnaden över Mariebergsskolans idrottshall och sedan jämföra dessa i avseende materialåtgång samt materialkostnad. Val av stomme har gjorts efter att materialkostnad och materialåtgång vägts samman och det mest fördelaktiga stomalternativet tagits fram. Den valda konstruktionen har slutligen använts för ritningar och 3D-modellering av hallen.

Stommen till Mariebergsskolans idrottshall består av treledstakstolar i limträ, vilande på limträpelare, med en fri spännvidd på 27 meter och en takhöjd på 7,2 meter. Den valda stommen var den mest fördelaktiga både gällande pris samt materialåtgång vilket gjorde treledstakstolen till det självklara valet.

Idrottshallen har utformats med tillgänglighet och funktionalitet som grundtanke för idrottsutövare såväl som publik.

Abstract

In the municipality of Karlstad’s possession are currently 26 Sports Centres, one of those are Marieberg’s Sports Centre which is located about 50 meters from Karlstad’s Central Hospital. The Sports Centre has had problems with moisture and the building itself is too small to fill its purpose. Several proposals of renovation have been expressed throughout the years but no decision has been made until now. The current plan is to build a brand new Sports Centre which is scheduled to start in the spring of 2016.

Karlstad municipality has expressed a will to increase the usage of wood as construction material for new building projects but currently lacks a suitable strategy regarding wooden structures. The social democrats in Karlstad have proposed a motion about creating a strategy for wooden structures with the city of Växsjö’s strategy, “den moderna trästaden” as a model.

The goal of the examination project is to dimension and examine different framework-alternatives in glulam for Marieberg’s new Sports Centre and compare the alternatives regarding costs and material usage. The combined costs and material usage of the different frameworks are used to decide the most advantageous alternative. The chosen framework forms the basis of which blueprints and a 3D- model are made.

The chosen framework for Marieberg’s Sports Centre consists of roof trusses carried by columns, both made of glulam. The roof trusses spans over 27 meters with a roof height of 7,2 meters. The framework consisting of roof trusses were the most advantageous alternative regarding costs and material usage compared to other alternatives which made it the clear choice.

The Sports Centre has been designed with accessibility and functionality in mind for the sportsmen as well as the spectators.

Innehållsförteckning

1. Inledning 1

1.1 Bakgrund 1

1.2 Syfte och mål 2

1.3 Problemformulering 2

1.4 Avgränsningar 2

2. Förstudie 3

2.1 Förutsättningar 3

2.2 Sedumtak 6

2.3 Limträ 7

2.4 Konstruktionslösningar 9

3. Metod 13

3.1 Förutsättningar 13

3.2 Gemensamma formler för beräkning av takkonstruktioner 14

3.3 Gavelbalk 18

3.4 Gemensamma formler för beräkning av pelare 19

3.5 Gavelpelare 22

3.6 Formler för beräkning av rak balk 23

3.7 Formler för beräkning av sadelbalk 24

3.8 Formler för beräkning av enkel treledstakstol 26

3.9 Formler för beräkning av limträbåge 32

3.10 Kostnads- och materialberäkningar 35

3.11 Ritningar och 3D-modellering 36

4. Resultat 37

4.1 Jämförelse av stomalternativ 37

4.2 Stomkonstruktion 38

4.3 Planlösning 40

4.4 Utformning 42

5. Diskussion 43

5.1 Jämförelse av stomalternativ 43

5.2 Stomutformning 43

5.3 Planlösning 43

5.4 Utformning 44

6. Slutsats 46

7. Referenser 47

7.1 Skriftliga 47

7.2 Muntliga 50

8. Tackord 51

Bilaga 1. Bilder

Bilaga 2. Dimensionering av stomme med raka balkar Bilaga 3. Dimensionering av stomme med sadelbalkar Bilaga 4. Dimensionering av stomme med treledstakstolar Bilaga 5. Dimensionering av stomme med treledsbågar Bilaga 6. Material- och kostnadsberäkningar

1

1. Inledning

1.1 Bakgrund

Innan år 2050 ska utsläpp av växthusgaser på jorden sänkas med 80-95 % för att undvika en fortsatt ökning av medeltemperaturen. En stor källa till utsläpp av växthusgasen koldioxid är materialanvändningen i byggsektorn. Att minska användning av stål och betong för att istället främja användningen av trämaterial skulle leda till minskning av utsläppen då tillverkningsprocessen av trämaterial är den minst energikrävande. Svenska sågverk drivs till 80 % av biobränslen och endast 20

% elenergi. Vid stål och cementtillverkning används ändliga råvaror och tillverkningen drivs till stor del av fossila bränslen. (Svenskt trä, 2015c)

I Karlstad kommuns byggriktlinjer finns skrivet att trä ska nyttjas i så stor omfattning som möjligt då teknik- och fastighetsförvaltningen har som mål att öka användandet av trä som byggnadsmaterial (Karlstads kommun, 2016b). Socialdemokraterna i Karlstad har i nuläget en motion där de vill komplettera kommunens miljö- och klimatstrategi med en träbyggnadsstrategi inspirerat av Växjös träbyggnadsstrategi, den moderna trästaden. (Socialdemokraterna, 2015).

I Karlstads kommuns ägor finns för tillfället 26 gymnastikhallar. En av hallarna är Mariebergsskolans gymnastiksal som är belägen 50 meter från Karlstads centralsjukhus i stadsdelen Marieberg. Mariebergsskolans gymnastikhall inrymmer två mindre gymnastiksalar och fyra omklädningsrum med anslutande wc och dusch (Karlstad kommun, 2016a). Kommunen har tagit ett beslut att den befintliga hallen vid Marieberg är undermålig i flertalet punkter. Hallen har fuktproblem, uppfyller inte kraven gällande tillgänglighet samt att de två salarna är för små för att rymma en helklass vilket försvårar lärarnas arbete, se bild i bilaga 1. Då behovet av idrottslokaler är större än vad nuvarande salar kan tillfredsställa innebär det att andra lokaler hyrts in för att täcka behovet av lokaler (Karlstads kommun, 2012).

Mariebergsskolan har även den varit i dåligt skick men renoverades för cirka 60 miljoner kronor och återinvigdes 2012. Idrottshallen blev den gången utan renovering

2 trots att flertalet lösningsförslag fanns. Nu är renoveringsplanerna återigen på agendan och den här gången har det beslutats att den nuvarande hallen är så dålig att en helt ny ska uppföras (Värmlands folkblad, 2010). Satsningen på en nybyggnation ska gynna både undervisning i skolan och kringliggande föreningar (Karlstads kommun, 2015).

1.2 Syfte och mål

Syftet med arbetet är att undersöka stomlösningar i limträ för idrottshallar och påvisa skillnader i kostnad och materialutnyttjande mellan stomalternativ. Arbetet granskar även ett upplägg över hur en möjlig planlösning för en multifunktionell hall kan se ut.

Målet är att via handberäkningar enligt eurokoderna dimensionera och i avseende kostnad och materialåtgång, jämföra möjliga stomlösningar i limträ för hallbyggnationen. Det mest fördelaktiga stomalternativet väljs ut och appliceras i utformningen av Mariebergsskolans nya idrottshall.

1.3 Problemformulering

Hur utformas en multifunktionell idrottshall och tillhörande utrymmen på ett funktionellt och tillgänglighetsanpassat sätt för idrottsutövare såväl som publik?

Hur designas bärande stomme i limträ för idrottshallen på ett material- och kostnadseffektivt sätt?

1.4 Avgränsningar

Stommen för idrottshallen dimensioneras i limträ, andra stommaterial kommer inte undersökas. Vid dimensionering och jämförande av olika konstruktioner avses endast stommen för idrottssalen där entrébyggnad med tillhörande utrymmen inte är inkluderad. Vid uppförandet av planlösningen har dock samtliga utrymmen innefattats för att ge underlag till en 3D – modellering.

3

2. Förstudie

Första stadiet av arbetet har baserats på en litteraturstudie för att öka och bredda kunskaperna kring limträ som material och olika hallkonstruktionslösningar men även för att läsa på kring vilka mått och storlekar som erfordras för hallens faciliteter.

2.1 Förutsättningar

2.1.1 Utformning och placering

Den nya hallen ska enligt Karlstads kommun (2015) utgöra cirka 1600 kvadratmeter och vara belägen vid Mariebergs IP. På dessa 1600 kvadratmeter ska en fullstor gymnastiksal, fyra omklädningsrum, teorisal, styrketräningslokal, förråd, personalutrymmen och en läktare för 100 – 150 personer inrymmas. Idrottssalen ska uppfylla standardmått för sporterna innebandy, basket och handboll för att möjliggöra både träning och matchspel. Hallens fasad ska vara mörkgrön för att smälta in med det bakomliggande skogspartiet i området och taket ska täckas av sedum.

2.1.2 Mått

Enligt förutsättningarna för hallen ska den vara fullstor, vilket innebär 20 x 40 meter.

Den ska vara utformad för att möjliggöra spel inom innebandy, basket och handboll.

Innebandy och handboll ställer samma utrymmeskrav på hallen medan basket kräver mindre ytor, därmed blir de två försnämnda sporterna avgörande för hallens storlek.

Kravet på spelytan för innebandy och handboll innebär att mått B och D i figur 2.1.2a.

behöver vara 20, respektive 40 meter. Det ger en fullstor spelyta vilket var en av förutsättningarna från kommunens sida för idrotthallen. För att uppfylla kraven som ställs för nationellt matchspel i hallen behöver mått A vara 23 meter och mått C, 43 meter. Dessa mått avser fritt utrymme från vägg till vägg eller vägg till hinder vilket innebär att spelytan är omgiven av ett fritt utrymme på 1,5 meter per sida. Gemensamt för alla tre sporterna är att kravet på fri takhöjd är 7 meter. (Måttboken, 2016 a-c).

4

Figur 2.1.2a. Bilden beskriver de mått som bestämmer storlek på spelyta och avstånd till vägg/hinder.

(Måttboken, 2016).

2.1.3 Läktare

Bredden för varje person i en bänkrad ska vara minst 0,5 meter. Sittdjupet varierar beroende på val av läktarutformning. För läktare som utgörs av fasta sittplatser krävs ett djup på 1 meter mellan en bänkrad till en annan (Måttboken, 2013b).

Figur 2.1.3a. Bilden visar sittplatsdjup och benutrymme för en läktare med fasta sittplatser (Måttboken, 2013b).

För en läktare avsedd för mer än 50 personer placeras sittplatserna i ett eller flera bänkfält. Läktaren ska utformas med två utgångar där avståndet från en sittplats till närmsta utgång från läktaren inte får överstiga 30 meter. För en läktare avsedd för 75 till 150 personer ska minst en av utgångarna leda ut i det fria, alternativt till en utrymningsväg inom byggnaden. Minsta gångbredd för trappa ut från läktaren är 0,8 meter då läktarplatser endast finns på en sida om trappan. Om läktarplatser finns på båda sidor om trappa gäller minst 1,0 meters trappbredd (Måttboken, 2013b).

5 I avseende tillgänglighet gäller krav på rullstolsplatser. Antalet platser avsedda för rullstolar ska vara 2 ‰ av det totala antalet platser. Dock finns en minimigräns på minst 5 rullstolsplatser (Måttboken, 2013b).

För att åtskilja åskådare från spelplanen kan en barriär placeras mellan läktaren och spelplanen. Barriärens höjd ska då vara 1,1 meter hög. Om nivåskillnaden från golv upp till första läktarrad är högre än 0,5 meter fordras ett skyddsräcke med en höjd på minst 1,1 meter (Måttboken, 2013b).

Figur 2.1.3b Visar två olika alternativ för att åtskilja åskådare från idrottsutövare beroende på läktarens utformning (Måttboken, 2013).

2.1.4 Omklädningsrum

För att idrottsutövare ska ha tillräckligt med plats i omklädningsrummet beräknas behovet av bänkyta vara 0,6 meter per plats för att ge gott om utrymme i sidled. Om krokar används istället för skåp för klädupphängning är det bra om sittbänkarna placeras med ett avstånd från väggen så att idrottsutövare kan sitta ned utan att kläder är i vägen enligt figur 2.1.4a (Måttboken, 2013c).

Figur 2.1.4a. Bilden visar ett upplägg för omklädningsrum med sittbänkar och krokar för klädförvaring (Måttboken, 2013c).

Varje omklädningsrum bör förses med en WC, ofta kan det vara försvarbart att bygga två WC per omklädningsrum. Minst en av toaletterna per omklädningsrum bör vara

6 tillgänglighetsanpassat för idrottsutövare som ofta färdas med små rullstolar. I övrigt bör finnas en större tillgänglighetsanpassat RHWC inom byggnaden (Måttboken, 2013c).

2.1.5 Förråd

Multifunktionella hallar utrustas fördelaktigt med ett större förråd då redskap och material för flera olika sporter behöver förvaring. Det större förrådet kan sedan kompletteras med små sportspecifika förråd om behov finns. Om hallen görs delbar behöver båda delar av hallen ha tillgång till ett större kombinationsförråd enligt figur 2.1.5a (Måttboken, 2013a).

Figur 2.1.5a. Bilden visar ett exempel på mått för ett större förråd för förvaring av redskap med mera beroende på idrottshallens storlek (Måttboken, 2013a).

2.2 Sedumtak

Sedumtak även kallat gröna tak är takytor med planterad växtlighet. De gröna taken besitter flertalet fördelar ur miljösynpunkt. Växtligheten absorberar vatten och till viss del luftföroreningar vilket minskar risken för översvämningar och renar luften. Andra fördelar är dess isolerande förmågor både gällande värme och ljud. Till sedumtak används växter och mossa, exempelvis suckulenter, som inte har djupa rotsystem och inte riskerar att förstöra underliggande skikt (Vi i villa, 2013).

Vid val och montering av sedumtak är takvinkel en viktig faktor. Utformningen av underliggande tätskikt beror på vilket lutningsintervall taken ligger i. Taklutning mellan 0°-4° enligt figur 2.2a och taklutning mellan 2-27° enligt figur 2.2b.

7

Figur 2.2a. Utformning av sedumtak med lutning 0-4°.

Figur 2.2b. Utformning av sedumtak med lutning 2-27°.

2.3 Limträ

2.3.1 Tillverkning

Tillverkningen av limträ startar med samma process som för konstruktionsvirke, se figur 2.3.1a. Limträtillverkningen fortsätter enligt figur 2.3.1b.

Figur 2.3.1a. Tillverkning av konstruktionsvirke (Carling, 2008).

8 Skog avverkas, kvistas och kapas med maskiner och transporteras med lastbil/tåg till något av Sveriges 140 sågverk (Svenskt trä, 2015a). I sågverket mäts stockarna och sorteras efter grovlek innan de barkas och sågas i rätt tjocklek. Virket ströläggs innan de skickas vidare in i torken för att förbättra torkningsförutsättningarna. När virket, som är de blivande lamellerna i limträet, genomgått torken plockas de ut och genomgår hållfasthetssortering. Lameller i samma hållfasthetsklass fingerskarvas och hyvlas. När lamellerna ska sammanfogas kan två limtyper användas. Lim av typ ett kan användas i samtliga klimatklasser medan lim i typ två endast används i klimatklass ett och två. En limsort är fenol-resorcinol-formaldehyd, PRF, som är ett tvåkomponentslim och används vanligen vid fingerskarvning. En nyare limsort är melamin-urea-formaldehyd, MUF. Lamellerna har vid sammanfogningstillfället en fukthalt mellan 8-15 % och differensen mellan lamellerna får inte överstiga 4 %. När limmet har applicerats sammanpressas limträelementet och torkar vilket ger elementet sin goda hållfasthet. När limmet har torkat avlastas limträelementet och hyvlas för att få en jämn yta. Elementet läggs i emballage och är redo för transport till beställare (Carling, 2008).

Figur 2.3.1b. Tillverkning av limträelement (Carling, 2008).

9 2.3.2 Fördelar

I förhållande till egenvikten har limträ en hög hållfasthet vilket gör att den kan användas vid långa spännvidder. Den låga egenvikten leder även till billiga transporter och montering. En stor fördel för limträ i jämförelse mot betong och stål är tillverkningsprocessen. Limträets tillverkningsprocess är inte alls lika energikrävande eller miljöfarlig som för de andra två materialen (Carling, 2008).

Jämfört med vanligt konstruktionsvirke är limträelement inte lika känsligt för defekter som t.ex. kvistar. På grund av limträets uppbyggnad av lameller hamnar kvistar utspridda på olika platser i limträelementet vilket medför betydligt mindre påverkan på materialets hållfasthet. Av den anledningen är limträ starkare än konstruktionsvirke i samma dimension. Trots att trä är ett brandbenäget material har limträ en god stabilitet vid brand. Vid brand bildas ett kolskikt utanpå träet vilket isolerar och medför att eldens inträngningshastighet endast är cirka en millimeter per minut (Skogsindustrierna, 2007).

2.4 Konstruktionslösningar

För hallkonstruktioner där spännvidden ligger kring 25-30 meter finns flertalet stomlösningsalternativ som i olika grad utnyttjar limträets möjligheter. Valet av konstruktionslösning styrs förutom av spännvidden även av byggnadens funktion. De olika stomsystemen påverkar dessutom hallens utseende i avseende form, taklutning och byggnadshöjd.

2.4.1 Fritt upplagda tvåstödsbalkar

Den enklaste stomlösningen utgörs av en limträbalk som bärs upp av en pelare i varje ände. Vid små spännvidder används vanligen limträbalkar med konstant tvärsnitt, medan det vid större spännvidder kan vara fördelaktigt att variera tvärsnittet beroende på var behovet av bärförmåga är som störst. Det första alternativet kallas enkelt nog för rak balk och lämpar sig för spännvidder på mindre än 30 meter och en taklutning på 3° eller mer enligt figur 2.4.1a (Carling, 2008).

10

Figur 2.4.1a Visar utseendet för en rak balk vilande på pelare i ändarna (Moelven, 2016b).

Det andra alternativet kallas sadelbalk. Höjden på sadelbalkens tvärsnitt varierar över balkens längd och är högst vid balkens mitt där det böjande momentet vanligtvis är som störst, se figur 2.4.1b. Denna lösning rekommenderas för spännvidder mellan 10- 30 meter och en taklutning mellan 3-10° (Carling, 2008).

Figur 2.4.1b. Visar utseendet för en sadelbalk vilande på pelare i ändarna (Moelven, 2016c).

2.4.2 Treledstakstolar

I sitt grundutförande består treledstakstolen av två limträbalkar som lutar mot varandra och är sammankopplade vid mötespunkten. De två balkarna är i de yttre ändarna antingen ledat infästa i ett fundament eller sinsemellan ihopkopplade med ett dragband för att hantera horisontella krafter. Då dragband används läggs balkarna oftast upp på pelare. Treledstakstolen är antingen underspänd eller icke-underspänd.

Grundvarianten, den icke-underspända är ett passande alternativ för konstruktioner med spännvidder mellan 15 – 50 meter och där taklutningen är minst 14°, se figur 2.4.2a (Carling, 2008).

Figur 2.4.2a. Visar utseendet för en icke-underspänd treledstakstol med dragband (Moelven, 2016a).

11 2.4.3 Bågar

På grund av limträets mångsidighet möjliggörs att limträmaterialet kan formas till bågar. Limträbågar har sina fördelar då de gentemot vanliga limträbalkar kräver betydligt lägre tvärsnittshöjd. Limträbågar borgar därmed för ett bättre materialutnyttjande. En ytterligare fördel gentemot andra konstruktioner är att en korrekt utformad limträbåge som följer trycklinjen för en viss last endast påverkas av tryckspänningar genom hela tvärsnittet. Det kan jämföras med en vanlig limträbalk där vanligvis övre halvan av tvärsnittet påverkas av tryckspänningar medan undre halvan påverkas av dragspänningar vilket illustreras av figur 2.4.3a och figur 2.4.3b.

Figur 2.4.3a. Visar spänningsfördelning för balk. Figur 2.4.3b. Visar spänningsfördelning för båge (Carling, 2008).

Limträbågarna kan utföras i olika former så som elliptisk, parabel – eller cirkelformad där den sistnämnda är den absolut vanligaste formen, se figur 2.4.3c. Likt treledstakstolen kräver limträbågarna antingen dragband eller en fundamentinfästning för att ta hand om de horisontella krafterna. För att uppnå särskilda krav på takhöjd kan bågarna läggas upp på pelare. Limträbågar möjliggör att stora spännvidder kan hanteras och exempel finns där limträbågar använts för spännvidder på över 100 meter. Det rekommenderade spännvidds-spannet för användandet av limträbågar ligger i intervallet 20 – 100 meter (Carling, 2008).

Figur 2.4.3c. Visar utseendet för en treledad limträbåge (Moelven, 2016d).

2.4.4 Ramar

En annan konstruktionsvariant som inte är fullt lika materialekonomisk som limträbågen men av funktionella och estetiska skäl är ett intressant alternativ är

12 treledsramen. Ramkonstruktionen inkräktar väldigt lite på utrymmet innanför och ger ett gott utnyttjande av byggnadsvolymen. Treledsramen och är ett bra alternativ då det satts särskilda krav på fri takhöjd inom hela byggnaden. Ramarna finns i olika varianter beroende på hur hörnen är utformade och där den invändiga byggnadsvolymen i olika grad påverkas. I figur 2.4.4a visas en treledsram med krökt ramhörn. Treledsramen lämpar sig beroende, på hörnutformning, för spännvidder mellan 10 – 50 meter och ger en taklutning på minst 14°.

Figur 2.4.4a. Visar utseendet för en treledsram med krökt ramhörn (Moelven, 2016e).

13

3. Metod

Dimensionering av stomalternativ görs med hjälp av förutsättningar för hallens mått som tagits fram i avsnitt 2.1. Vid jämförelse har fyra olika pelarburna stomsystem jämförts för att enklare möjliggöra handberäkningar. De jämförda alternativen är enkla balkar med konstant tvärsnitt, sadelbalkar, treledstakstolar samt limträbågar.

Valet av stomsystem grundades bland annat av att de är de rekommenderade stomsystemen för idrottshallar av limträ (Martinsons, u.å.). Dessutom är dessa stomalternativ de mest frekventa vid en undersökning av hur befintliga limträhallar är byggda. Undantaget till ovanstående är limträbågar som är mer förekommande vid större spännvidder men ändå togs med på grund av att det är en intressant lösning med stor potential att vara materialeffektiv. I Martinsons rekommendationer av stomlösningar ingår även limträfackverk men detta alternativ har valts bort på grund av det enligt Carling (2008) är en konstruktion med många och i vissa fall komplicerade knutpunkter.

Efter att de fyra stomalternativen dimensionerats gjordes en jämförelse gällande kostnad och materialåtgång, se avsnitt 3.10. Det mest fördelaktiga alternativet valdes ut för att utgöra grunden för en 3D-modell av byggnaden.

3.1 Förutsättningar

Genomgående i dimensioneringen kommer centrumavståndet 6 meter och en fri spännvidd på 27 meter användas. 6 meter valdes på grund av att det är ett vanligt spridningsavstånd för balkar med en spännvidd på över 12 meter (Rehnström &

Rehnström, 2014b). Pelarlängden sattes som minst till 7,2 meter vilket ger marginal för deformationer utan att kravet på 7 meter fri takhöjd äventyras. Om inget annat nämns används värden och formler från Formler och tabeller för byggkonstruktion enligt eurokoderna (Rehnström & Rehnström, 2014a). Upplagslängd i samtliga konstruktioner hämtas från Träkonstruktion enligt eurokoderna (Rehnström &

Rehnström, 2014b).

14 Yttertaket täcks av sedumsystemet XMS 2-27° enligt figur 2.2b, under detta läggs 100 millimeter trycktålig mineralull och slutligen en högprofilerad plåt med tjockleken 1 millimeter.

Följande faktorer gäller för samtliga konstruktioner

 Balkar och pelare förutsätts stagade vilket motverkar vippning

 Hållfastighetsklass för limträ, GL30c

 Kcr = 0,86 för konstruktionsdelar ej exponerade för solinstrålning och nederbörd (Svenskt trä, 2015b)

 Klimatklass 1

 Medellångtidslast

 Pelare antas ledade i båda ändar, 𝛽_𝑐𝑑 = 1,0

 ρ_sedum = 50 kg/m²

 Snözon 2,5

 Säkerhetsklass 3

 Terrängtyp 2

 Tjocklek sedum = 0,4 m

 Vindhastighet 23 m/s

3.2 Gemensamma formler för beräkning av takkonstruktioner

Följande formler återfinns i samtliga beräkningar av takkonstruktioner.

3.2.1 Snölast

Den karakteristiska snölasten beror av vilken snözon byggnaden ska uppföras i och beräknas enligt följande formler.

S = μ×Ce×Ct×Sk = [kN/m²] S = S [kN/m²] ×S[m] = [kN/m]

μ = Formfaktor beroende av takets lutning.

Ce = Exponeringsfaktor beroende av topografi.

Ct = Termisk koefficient

Sk = Karakteristiskt värde för snölast på mark

15 3.2.2 Egentyngd balk

Egentyngden för sedumtaket beräknas med värde från Veg Tech (2016) och summeras med balkens, plåtens samt mineralullens egentyngd.

𝐺𝑘,𝑡𝑎𝑘𝑡ä𝑐𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔= 𝜌 × 𝑔 × 𝑆 𝐺_{𝑘,𝑏𝑎𝑙𝑘}= 𝜌 × 𝑏 × ℎ

𝐺_{𝑘,𝑡𝑜𝑡}= 𝐺𝑘,𝑡𝑎𝑘𝑡ä𝑐𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔+ 𝐺_{𝑘,𝑏𝑎𝑙𝑘} 𝐺_{𝑘,𝑠𝑒𝑑𝑢𝑚} = Egentyngd sedumtak 𝐺_{𝑘,𝑏𝑎𝑙𝑘} = Egentyngd balk 𝜌 = Materialets tyngd g = 9,81

S = Centrumavstånd 𝑏 = Balkens bredd ℎ = Balkens höjd

3.2.3 Dimensionerande lastkombinationer i brottgränstillstånd

Formlerna B1a och B2a dimensionerar de tidigare karakteristiska lasterna och vid fortsatta beräkningar väljs den största dimensionerande lasten.

B1a: Q_Ed = 1,35×γ_d×G_k+1,5×γ_d×ψ₀×Q_k1+1,5×γ_d×ψ₀×Q_k2 B2a: Q_Ed = 0,89×1,35×γ_d×G_k+1,5×γ_d×Q_k1+1,5×γ_d×ψ₀×Q_k2

γd =Partialkoefficient beroende av säkerhetsklass G_k = Egentyngd för tak

Qk1 = Huvudlast

ψ0 = Lastreduktionsfaktor Qk2 = Bilast

3.2.4 Upplagslängd

I beräkningar som involverar längd krävs den totala spännvidden vilket innefattar upplagslängden enligt figur 3.2.4a. För att beräkna den verkliga spännvidden används följande tillvägagångssätt.

16

Figur 3.2.4a. Visar upplagslängden för en balk upplagd på pelare.

Ett realistiskt antagande görs gällande den totala spännvidden, lantagande, för att beräkna upplagskraft mellan balk och pelare.

𝑅_𝐸𝑑 =𝑞_𝐸𝑑 × 𝑙_{𝑎𝑛𝑡𝑎𝑔𝑎𝑛𝑑𝑒} 2

Tryckkraftskapaciteten vinkelrätt mot fibrerna dimensioneras.

𝑓_𝑐,90,𝑑 =𝑘_𝑚𝑜𝑑× 𝑓_𝑐,90,𝑘 𝛾_𝑚

𝑘_𝑚𝑜𝑑(𝑚𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙å𝑛𝑔𝑡𝑖𝑑𝑠𝑙𝑎𝑠𝑡, 𝑘𝑙𝑖𝑚𝑎𝑡𝑘𝑙𝑎𝑠𝑠 1) = 0,80 𝑓_𝑐,90,𝑘 = 𝑇𝑟𝑦𝑐𝑘 𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑟ä𝑡𝑡 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑒𝑟𝑛𝑎

𝛾_𝑚 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑎𝑙𝑘𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑏𝑒𝑟𝑜𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑣 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑘_𝑐,90 = 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓ö𝑟 ℎå𝑙𝑙𝑓𝑎𝑠𝑡ℎ𝑒𝑡

Kapaciteten för lokalt tryck erhålls genom att multiplicera dimensionerade tryckkraftskapaciteten med faktorn 𝑘_𝑐,90.

𝑓_{𝑐,90,𝑑,𝑙𝑜𝑘} = 𝑓_𝑐,90,𝑑× 𝑘_𝑐,90

Beräknade värden sätts in för att lösa ut upplagslängden l.

𝑓_{𝑐,90,𝑑,𝑙𝑜𝑘} ≥_{(𝑙+0,3)×𝑏}^𝑅𝐸𝑑

l per upplag beräknas och summeras med den fria spännvidden för att få den totala längden.

𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘 𝑠𝑝ä𝑛𝑛𝑣𝑖𝑑𝑑 = 𝐹𝑟𝑖 𝑠𝑝ä𝑛𝑛𝑣𝑖𝑑𝑑 + 2 × 𝑙 3.2.5 Dimensionerande böjhållfasthet för balk

För beräkning av balkens böjhållfasthet dimensioneras det karakteristiska hållfasthetsvärdet.

17 f_md = ^{𝑘𝑚𝑜𝑑}_𝛾

𝑀 𝑓_𝑚𝑘

fmd = Dimensionerande värde för böjhållfasthet

k_mod = Korrektionsfaktor beroende av klimatklass och lastvaraktighet γM = Partialkoefficient beroende av materialtyp

f_mk = Karakteristiskt värde för böjhållfasthet 3.2.6 Böjmoment

Böjmomentet beräknas och kontrolleras att den ej överskrider balkens böjhållfasthet.

Maximalt moment för en fritt upplagd balk beräknas och beror av dimensionerande belastning samt balkens längd.

M_Ed = ^{𝑞𝐸𝑑𝑙}

2 8

M_Ed = Dimensionerande momentet för balken q_Ed = Dimensionerande lasten för balken

Balkens böjmotstånd, W, beräknas med hjälp av tvärsnittets utformning.

W = ^𝑏ℎ

2 6

b = Tvärsnittets bredd h = Tvärsnittets höjd

Maximalt moment i förhållande till böjmotståndet får ej överskrida dimensionerad kapacitet.

𝑀_𝐸𝑑

𝑊 ≤ 𝑓_𝑚𝑑 3.2.7 Tvärkraft

Den maximala tvärkraften som uppstår i balken beräknas och får ej överskrida den dimensionerade tvärkraftskapaciteten.

Tvärkraften reduceras med hänsyn till balkhöjd.

𝑉_𝐸𝐷 = ^𝑞𝐸𝑑₂^×𝑙 − 𝑞_𝐸𝑑×ℎ 𝑉_𝐸𝑑 = Tvärkraft

𝑞_𝐸𝑑 = Dimensionerande lasten för balken ℎ = Tvärsnittets höjd

Den effektiva bredden beräknas genom att multiplicera den verkliga bredden med en materialberoende korrektionsfaktor.

𝑏_𝑒𝑓 = 𝑘_𝑐𝑟× 𝑏

18 𝑏_𝑒𝑓 = Effektiv bredd

𝑘_𝑐𝑟 = Korrektionsfaktor 𝑏 = Tvärsnittets bredd

Den karakteristiska tvärkraftskapaciteten, f_vk, dimensioneras.

𝑓_𝑣𝑑 =^𝑘_𝛾^𝑚𝑜𝑑

𝑀 𝑓_𝑣𝑘

𝑘_𝑚𝑜𝑑 = Faktor beroende av material, klimatklass samt lastvaraktighet 𝛾_𝑀 = Partialkoefficient

Erhållna värden sätts in i formeln för att beräkna tvärkraftsspänningen, 𝜏_𝑉𝐸𝐷, och jämförs mot kapaciteten.

𝜏_𝑉𝐸𝐷 = 1,5_𝑏^𝑉𝐸𝑑

𝑒𝑓×ℎ≤ 𝑓_𝑣𝑑

3.3 Gavelbalk

Gavelbalken är den yttre balk som stöds på sex pelare, enligt figur 3.3a, vilket gör att den kan dimensioneras för en mindre belastning än balkar placerade mitt i konstruktionen. Beräkning av stödkrafter görs enligt Byggformler och tabeller (Johannesson & Vretblad, 2011). R_i = Stödreaktionen på grund av last på tak.

Figur 3.3a. Gavelbalk med stödreaktioner där s är centrumavståndet mellan pelare.

Stödreaktionerna på pelarna beräknas med hänsyn till dimensionerad last, spridningsavstånd och en konstant beroende av placering under balken. För vidare dimensionering av pelare beräknas qEd för snö som huvudlast samt bilast.

Snö som huvudlast

𝑅𝐴 = 𝑅𝐹 = 0,395 × 𝑞_𝐸𝑑× 𝑆 𝑅𝐵 = 𝑅𝐸 = 1,132 × 𝑞_𝐸𝑑× 𝑆 𝑅𝐶 = 𝑅𝐷 = 0,974 × 𝑞_𝐸𝑑 × 𝑆 Snö som bilast

𝑅𝐴 = 𝑅𝐹 = 0,395 × 𝑞_𝐸𝑑× 𝑆 𝑅𝐵 = 𝑅𝐸 = 1,132 × 𝑞_𝐸𝑑× 𝑆 𝑅𝐶 = 𝑅𝐷 = 0,974 × 𝑞_𝐸𝑑 × 𝑆

19 Momentet intill varje stöd ska beräknas då det största värdet blir det dimensionerande.

Beräkning av moment enligt Byggformler och tabeller (Johannesson & Vretblad, 2011). V_h = Tvärkraftens värde invid aktuellt stöd.

𝑀_{𝑓,𝐴−𝐵} = 𝑀_{𝑓,𝐸−𝐹} =_2×𝑞^𝑉ℎ2

𝐸𝑑+ (0 × 𝑞_𝐸𝑑 × 𝑆²) 𝑅_𝐵𝐻 = 𝑉_ℎ− 𝑞_𝐸𝑑× 𝑆² + 𝑅𝐵

𝑀_{𝑓,𝐵−𝐶} = 𝑀_{𝑓,𝐷−𝐸} =_2×𝑞^𝑉ℎ2

𝐸𝑑+ ((−0,105) × 𝑞_𝐸𝑑 × 𝑆²) 𝑅_𝐶𝐻 = 𝑅_𝐵𝐻 − 𝑞_𝐸𝑑 × 𝑆²+ 𝑅𝐶

𝑀_{𝑓,𝐵−𝐶} = 𝑀_{𝑓,𝐷−𝐸} =_2×25,7^𝑉ℎ2 + ((−0,079) × 𝑞_𝐸𝑑 × 𝑆²)

Det maximala momentet ska kontrolleras mot böjmoment och tvärkraftskapacitet enligt balkdimensioneringen i 3.2

3.4 Gemensamma formler för beräkning av pelare

Följande formler gäller för pelarberäkningar i samtliga fall.

3.4.1 Vindlast

Vindlastens storlek beror av tryckskillnader, förhållande mellan byggnadshöjd och bredd samt karakteristiska vindlast för byggnadens placering. De aktuella vindlastsfallen visas i figur 3.4.1a.

Figur 3.4.1a. Visar de två värsta fallen som kan uppstå vid inverkan av vind.

 Största utvändiga tryck 0,8

 Största utvändiga sug 1,2

 Största invändiga tryck 0,2

 Största invändiga sug 0,3

20 Största tryck som uppstår är 1,4 då det positiva inomhustrycket samverkar med det utvändiga suget. 0,2+1,2 = 1,4

Väggens verkliga höjd, h, beräknas genom att summera pelarhöjd, balkhöjd samt takets tjocklek.

ℎ = 𝑙_{𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒} + ℎ_{𝑏𝑎𝑙𝑘}+ 𝑡_𝑡𝑎𝑘 𝑙_{𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒} = Pelarens längd ℎ_{𝑏𝑎𝑙𝑘} = Balkens höjd 𝑡_𝑡𝑎𝑘 = Takets tjocklek

Den karakteristiska vindlasten, W_k, beräknas genom att multiplicera karakteristisk hastighetstryck, 𝑞𝑝(𝑧), med en formfaktor, ∆𝑐_𝑝, beroende av väggens utformning.

𝑊_𝑘 = 𝑞𝑝(𝑧) × ∆𝑐_𝑝 = [kN/m²]

𝑊_𝑘 = [𝑘𝑁/𝑚²] × 𝑆 [𝑚] = W_k [kN/m]

3.4.2 Egentyngd pelare

Pelarens egentyngd fås genom att multiplicera tungheten, 𝜌, med tvärsnittsmåtten och längden.

Gd = 𝜌 × 𝑏 × ℎ × 𝑙

Vid dimensionering av egentyngd används enbart första delarna av B1a och B2a.

B1a > B2a gör att endast B1a behöver beräknas.

B1a: Q_Ed = 1,35×γ_d×G_k B2a: Q_Ed = 0,89×1,35×γ_d×G_k

3.4.3 Normalkraft och böjande moment

Följande beräkningar ger maximala värden på den tryckande normalkraften och det böjande momentet.

Fall 1: Snö som huvudlast, vind som bilast 𝑁_𝐸𝑑 = ^{𝑞𝑠𝑛ö,ℎ𝑙}₂ ^𝑙+ 𝑔_{𝑑,𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}

𝑀_𝐸𝑑 =^{𝑞𝑣𝑖𝑛𝑑,𝑏𝑙}₈ ^𝑙2

𝑞_{𝑠𝑛ö,ℎ𝑙} = Dimensionerad huvudlast, snö 𝑔_{𝑑,𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒} = Dimensionerad egentyngd pelare 𝑞_{𝑣𝑖𝑛𝑑,𝑏𝑙} = Dimensionerad bilast, vind

Fall 2: Vind som huvudlast, snö som bilast

21 𝑁_𝐸𝑑 = ^{𝑞𝑠𝑛ö,𝑏𝑙}₂ ^𝑙+ 𝑔_{𝑑,𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒}

𝑀_𝐸𝑑 =^{𝑞𝑣𝑖𝑛𝑑,ℎ𝑙}₈ ^𝑙2

𝑞_{𝑠𝑛ö,𝑏𝑙} = Dimensionerad bilast, snö 𝑞_{𝑣𝑖𝑛𝑑,ℎ𝑙} = Dimensionerad huvudlast, vind

3.4.4 Tryckkraftskapacitet för pelare

Knäcklängden, 𝐿_𝑐𝑟, beräknas genom att multiplicera längden, l, med inspänningsfaktorn 𝛽_𝑐𝑑.

𝐿_𝑐𝑟 = 𝑙 × 𝛽_𝑐𝑑 𝑖 =_√12^ℎ

𝜆 beräknas som förhållandet mellan knäcklängden och tröghetsradien.

𝜆 = ^𝐿𝑐𝑟_𝑖

Slankhetstalet, λrel, och faktorn kfås via följande formler och används för beräkning av reduktionsfaktorn kc.

λrel = ^𝜆_𝜋√_𝐸^𝑓𝑐𝑘

0∙05

E_0,05 = Medelvärdet för elasticitetsmodul k = 0,5[1+β_c(λ_rel−0,3)+λ²_rel]

βc = Koefficient beroende av materialtyp kc = ¹

𝑘+√𝑘²−𝜆²_𝑟𝑒𝑙

Tryckkraftskapaciteten erhålls genom att multiplicera reduktionsfaktorns, k_c, med den dimensionerade hållfastheten, f_cd, och tvärsnittsarena, A.

Nc,Rd = kc×fcd×A

3.4.5 Böjmomentkapacitet för pelare

Hänsyn till volymeffekt beaktas genom korrektionsfaktorn, 𝑘_ℎ,och beräknas om tvärsnittshöjden är mindre än 600 mm.

𝑘_ℎ = 𝑚𝑖𝑛 {(⁶⁰⁰𝑏 )^0,1 1,1

Momentkapaciteten erhålls genom att multiplicera den dimensionerade böjhållfastheten, 𝑓_𝑚𝑑, med tvärsnittets böjmotstånd och korrektionsfaktorn, 𝑘_ℎ.

𝑀_𝑅𝑑 = 𝑓_𝑚𝑑 × 𝑘_ℎ×^𝑏×ℎ₆ ²

22 3.4.6 Kontroll för tryckande normalkraft och böjande moment

I följande formler kontrolleras att pelare håller för kombinationen av tryckande normalkraft från tak och böjande moment av vind enligt figur 3.4.6a. De maximalt uppkomna värdena plockas från kapitel 3.3.3 och hållfastheten enligt 3.3.4 samt 3.3.5.

Figur 3.4.6a Visar den tryckande normalkraften samt böjande momentet på pelaren.

Summan av förhållandena mellan beräknat moment, 𝑀𝑦_𝐸𝑑, och momentkapacitet, 𝑀𝑦_𝑅𝑑, samt tryckande normalkraft, 𝑁𝑐_𝐸𝑑, och tryckkraftskapacitet, 𝑁𝑐_𝑅𝑑, beräknas och får ej överskrida 1,0.

𝑀𝑦_𝐸𝑑

𝑀𝑦_𝑅𝑑+^𝑁𝑐_𝑁𝑐^𝐸𝑑

𝑅𝑑 ≤ 1,0 3.4.7 Tvärkraft

Pelarens tvärkraft beräknas enligt följande och får ej överskrida den dimensionerade tvärkraftskapaciteten. För mer detaljer se 3.2.7.

𝑓_𝑣𝑑 =^𝑘_𝛾^𝑚𝑜𝑑

𝑀 𝑓_𝑣𝑘 𝑏_𝑒𝑓 = 𝑘_𝑐𝑟× 𝑏

𝑉_𝐸𝐷 = ^𝑞𝐸𝑑₂^×𝑙 − 𝑞_𝐸𝑑×ℎ 𝜏_𝑉𝐸𝐷 = 1,5_𝑏^𝑉𝐸𝑑

𝑒𝑓×ℎ≤ 𝑓_𝑣𝑑

3.5 Gavelpelare

Under gavelbalken står sex pelare som behöver dimensioneras för en högre vindlast då vägghöjden är högre än för pelare på långsidan. Bortsett från den annorlunda vindlastberäkningen går beräkningar för pelare enligt 3.3 att följa.

23 Formfaktorer för utvändig vindlast Cpe, 10

Värden baseras på vilken zon aktuell pelare hamnar i enligt figur 3.5a.

Formfaktorer för invändig vindlast C_pi

Väljer de mest ogynnsamma värdena +0,2 (tryck) och -0,3 (sug).

Figur 3.5a Påverkan av vindlast för beräkning av gavelpelare.

3.6 Formler för beräkning av rak balk

Innan beräkning av nedböjning används gemensamma formler för balkar enligt 3.2.

3.6.1 Nedböjning

För rak balk beräknas nedböjningen och kontrolleras mot den maximalt tillåtna enligt följande. Elasticitetsmodulen, Emedel, enligt Svenskt trä (2015b).

Balkens tröghetsmoment, I, beroende av balkens tvärsnittsmått beräknas.

𝐼 = ^𝑏ℎ₁₂³

Omedelbar nedböjning, 𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑔}, beroende av egentyngden beräknas och används för beräkning av slutlig nedböjning 𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑔} .

𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑔} = ^5𝑔_384𝐸𝐼^𝑑×𝑙4

𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑔} = 𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑔}(1 + 𝑘_𝑑𝑒𝑓) 𝑘_𝑑𝑒𝑓 = Omräkningsfaktor 𝜓_2,1 = Reduktionsfaktor

Omedelbar nedböjning, 𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑞}, beroende av snölasten beräknas och används för beräkning av slutlig nedböjning 𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑞} .

24 𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑞} = ^5𝑞_384𝐸𝐼^{𝐸𝑑𝑙4}

𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑞} = 𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑞}(1 + 𝜓_2,1𝑘_𝑑𝑒𝑓)

𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑞} kontrolleras och får inte överskrida gränsvärdet.

𝐿

200≥ 𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑞}

Den totala nedböjningen, 𝑢_𝑓𝑖𝑛, är summan av de slutgiltiga nedböjningarna från egentyngd och snölast. 𝑢_𝑓𝑖𝑛 kontrolleras och får inte överskrida gränsvärdet.

𝑢_𝑓𝑖𝑛 = 𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑔}+ 𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑞}

𝐿

150≥ 𝑢_𝑓𝑖𝑛

3.7 Formler för beräkning av sadelbalk

Gemensamma formler enligt kapitel 3.2 har använts. Följande formler är enligt Limträ handbok (Carling, 2008).

3.7.1 Momentkontroll

Eftersom tvärsnittets höjd varierar över balkens längd uppträder inte det maximala böjspänningarna tillsammans med maximalt moment. Var de maximala böjspänningarna uppstår visas i figur 3.7.1a och beräknas enligt följande:

Figur 3.7.1a. Visar avståndet till maximal böjspänning.

Avståndet till maximala böjspänningar beräknas som ett förhållande mellan tvärsnittshöjd vid balkände respektive balkmitt.

Χ_max= l × h_ände 2 × h_mitt

Höjden på tvärsnittet där maximal böjspänning inträffar beräknas trigonometriskt med hjälp av balkens lutning.

h_max = tan α × Χ_max+ h_ände

Dimensionerande moment beräknas med hjälp av Xmax, dimensionerande belastning, Q_Ed, och balkens längd, l. enligt följande.

M_max,d=Q_Ed× Χ_max

2 × (l − Χ_max)

25 Reducering av böjspänningar görs genom faktorn, k_a,α, som tar hänsyn till snedskärning av lameller.

k_a,α = 1 − 4 tan²α

Totala böjspänningar i balken erhålls följande formel där reduktion sker genom faktorn k_a,α.

σ_m,d = k_a,α× 6M b × h_medel²

Reducering av böjhållfastheten görs genom faktorn, k_f,a, som tar hänsyn till snedskärning av lameller.

k_f,a = 1

f_m

f₉₀sin²α + cos²α

Böjhållfastheten, f_md, reduceras genom faktorn k_f,a. f_md,red = k_f,a× f_md

De maximala böjspänningarna, σ_m,d, får inte överstiga den reducerade böjhållfastheten, f_md,red.

σ_m,d < f_md,red

Spänningen i hjässzonen beräknas enligt följande.

M_nock,d =q_d× l² 8

σ_m,d = (1 + 1,4 tan α + 5,4 tan²α)6 × M_nock,d b × h_nock²

Kontroll av böjspänningar i balkens underkant vid nock görs genom att kontrollera att böjspänningen ej överskrider hållfastheten, fmd, som först korrigeras med faktorn kr

som beror av balktyp.

σ_m,d ≤ k_r× f_md

3.7.2 Tvärdragsspänningar

Den största dragspänningen vinkelrät mot fiberriktningen bör inte överskrida balkens hållfasthet.

σ_t,90,d ≤ k_vol× f_t,90,d

Volymen beräknas som en produkt av tvärsnittsbredden, b, och tvärsnittshöjden vid nock i kvadrat.

V = b × h_nock²

26 Faktorn kvol beräknas med hjälp av volymen, V, en referensvolym, V0, som vanligtvis sätts till 0,01. Kdis är en balktypsberoende faktor och m är en konstant som sätts till värdet 5.

k_vol = k_dis(V_o V)

m1

σ_t,90,d = 0,1 tan α ×^6×Mnock

bh_nock² f_t,90,d =^kmod_γ^×ft,90,k

m

3.7.3 Nedböjning

Beräkning och kontroll av nedböjning utförs enligt följande. För mer utförlig förklaring av nedböjningsberäkning, se avsnitt 3.4.1.

Q_Ed = G_k+ ψ₁× Q_k

Nedböjningen i mitten för en symmetrisk sadelbalk beräknas via följande formel.

u_inst= 5

384× q × l⁴ E_0,mean× I_e I_e =b × h_e³

12

h_e = h + 0,33 × l × tan α Nedböjning av snölast

u_fin,q = u_inst,q× (1 + ψ₂× k_def) Total nedböjning

u_fin,g= u_inst,g× (1 + k_def) u_fin,tot = u_fin,g+ u_fin,q

3.8 Formler för beräkning av enkel treledstakstol

Gemensamma formler enligt kapitel 3.2 har använts. Följande formler med undantag för vindlast, dragband och vindstag är tagna från limträhandboken (Carling, 2008).

3.8.1 Vindlast på tak

Beräkningar av vindlast på tak följer samma mönster som för resterande vindlastberäkningar. Skillnaden är att andra formfaktorer erhålls, vilket visas av figur 3.8.1a.

27

Figur 3.8.1a Påverkan av vindlast för dimensionering av treledstakstol.

Formfaktorer för utvändig vindlast C_pe

Väljer de zoner som ger mest ogynnsamma värden.

Vindriktning 0°

𝑍𝑜𝑛 𝐽 = − 1,0 (𝑠𝑢𝑔) 𝑍𝑜𝑛 𝐹 = + 0,2 (𝑡𝑟𝑦𝑐𝑘) Vindriktning 90°

𝑍𝑜𝑛 𝐹 = − 1,3 (𝑠𝑢𝑔)

Formfaktorer för invändig vindlast C_pi

Väljer de mest ogynnsamma värdena +0,2 (tryck) och -0,3 (sug).

Olika kombinationer av Cpe och Cpi beräknas och resulterar i antingen en tryckkraft eller en lyftkraft på taket. För stomdimensionering är endast den tryckande kraften intressant då den lyftande kraften mer påverkar takets infästningar.

Väggens verkliga höjd, h, beräknas genom att summera pelarhöjd, balkhöjd samt takets tjocklek.

ℎ = 𝑙_{𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒} + ℎ_{𝑏𝑎𝑙𝑘}+ 𝑡_𝑡𝑎𝑘 𝑙_{𝑝𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒} = Pelarens längd ℎ_{𝑏𝑎𝑙𝑘} = Balkens höjd 𝑡_𝑡𝑎𝑘 = Takets tjocklek

Den karakteristiska vindlasten, Wk, beräknas genom att multiplicera karakteristisk vindhastighet, 𝑞𝑝(𝑧), med en formfaktor, ∆𝑐_𝑝, beroende av väggens utformning.

𝑊_𝑘 = 𝑞𝑝(𝑧) × ∆𝑐_𝑝 = [kN/m²]

𝑊_𝑘 = [𝑘𝑁/𝑚²] × 𝑆 [𝑚] = Wk [kN/m]

28 3.8.2 Normalkraft

Beräkning av normalkraft görs med hjälp av balkens längd, l, taklutning, α, och de utbredda lasterna q_{Ed, 1} och q_{Ed, 2}. Vid jämn belastning gäller q_{Ed, 1} = q_{Ed, 2}, de antar endast olika värden vid ojämn belastning, exempelvis då snö ansamlats på ena takfallet.

𝑁₁ = −(𝑞_𝐸𝑑,1+ 𝑞_𝐸𝑑2) × 𝑙 8 × sin ∝

Maximal normalkraft i balken erhålls genom följande formel med hjälp av den tidigare beräknade N₁.

𝑁₂ = 𝑁₁−𝑞_𝐸𝑑,1× 𝑙

4 × sin ∝

3.8.3 Tryckkraftskapacitet för balk

Längden för en balk i en treledstakstol beräknas med hjälp av trigonometri där sedan en upplagslängd adderas.

𝐿 = 2𝑙

cos 15 + 𝑙_{𝑢𝑝𝑝𝑙𝑎𝑔}

Knäcklängden, 𝐿_𝑐𝑟, för en balk i en treledstakstol beräknas genom följande.

𝑙_𝑐𝑟 = 0,5 × 𝐿 cos ∝ 𝑖 = ^ℎ

√12

𝜆 beräknas som förhållandet mellan knäcklängden och tröghetsradien.

𝜆 = ^𝐿𝑐𝑟_𝑖

Slankhetstalet, λ_rel, och faktorn kfås via följande formler och används för beräkning av reduktionsfaktorn k_c.

λrel = ^𝜆_𝜋√_𝐸^𝑓𝑐𝑘

0∙05

E0,05 = Medelvärdet för elasticitetsmodul k = 0,5[1+βc(λrel−0,3)+λ²rel]

βc = Koefficient beroende av materialtyp kc = ¹

𝑘+√𝑘²−𝜆²_𝑟𝑒𝑙

Tryckkraftskapaciteten erhålls genom att multiplicera reduktionsfaktorns, kc, med den dimensionerade hållfastheten, fcd, och tvärsnittsarena, A.

Nc, Rd = kc×fcd×A

29 3.8.4 Kontroll för tryckande normalkraft och böjande moment

Summan av förhållandena mellan beräknat moment, 𝑀𝑦_𝐸𝑑, och momentkapacitet, 𝑀𝑦_𝑅𝑑, samt tryckande normalkraft, 𝑁𝑐_𝐸𝑑, och tryckkraftskapacitet, 𝑁𝑐_𝑅𝑑, beräknas och får ej överskrida 1,0. I detta fall gäller 𝑁𝑐_𝐸𝑑 = 𝑁₂.

𝑀𝑦_𝐸𝑑

𝑀𝑦_𝑅𝑑+^𝑁𝑐_𝑁𝑐^𝐸𝑑

𝑅𝑑 ≤ 1,0 3.8.5 Tvärkraft i nock

Tvärkrafter i nock uppträder endast då belastningen är olika på de två takfallen och kan beräknas med följande formel där qEd, 1 och qEd, 2 är de olika belastningarna och l den teoretiska spännvidden.

𝑉₂ = −^{(𝑞𝐸𝑑,1−𝑞}₈^{𝐸𝑑2)×𝑙}

3.8.6 Horisontell kraft

I en treledstakstol uppstår horisontella krafter i både nock och vid upplag. Dessa krafter beräknas genom att först ta reda på f, höjden till nock. Notera att l avser längden på den fria spännvidden och ltot avser den teoretiska spännvidden där upplagslängder är inkluderat

tan 15 = 𝑓 2𝑙

→ 𝑓 = 𝑡𝑎𝑛 ∝× 𝑙 2 𝐻 =^{(𝑞𝐸𝑑,1+𝑞}_16×𝑓^{𝐸𝑑2)×𝑙𝑡𝑜𝑡2}

3.8.7 Kontakttryck

En treledstakstol består av två balkar som är förenade i nock, där uppstår kontakttryck då konstruktionen utsätts för belastning. En kontroll görs för att kontrollera att kontakttrycket inte överstiger tryckkapaciteten för balkarna.

Vid direkt anliggning mellan två ändträytor reduceras tryckhållfastheten med faktorn 0,6 𝑓_{𝑐,𝑜,𝑘} = 𝑓_𝑐𝑘 × 0,6

𝑓_𝑐,90,𝑘 = 2,5 𝑀𝑃𝑎

Tryckkraftskapaciteten erhålls genom följande formel.

𝑓_𝑐,𝛼 = _{𝑓𝑐,90,𝑘} ^{𝑓𝑐,𝑜,𝑘}

𝑓𝑐,0,𝑘×sin²∝+cos²∝

De totala spänningar som uppstår i nocken beräknas med hjälp av den tidigare uträknade horisontella kraften, H, som divideras med balkens tvärsnittsarea.

30 𝜎_{𝑛𝑜𝑐𝑘} = _𝑏×ℎ^𝐻

Jämförelse mellan värdena görs för att se att kapaciteten inte överskrids.

𝜎_{𝑛𝑜𝑐𝑘} < 𝑓_𝑐,𝛼 3.8.8 Nedböjning

Beräkning och kontroll av nedböjning utförs enligt följande. För mer utförlig förklaring av nedböjningsberäkning, se avsnitt 3.4.1.

𝐼 = ^𝑏ℎ₁₂³

𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑔} = ^5𝑔_384𝐸𝐼^𝑑×𝑙4 𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑞} = ^5𝑞_384𝐸𝐼^{𝐸𝑑𝑙4}

𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑔} = 𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑔}(1 + 𝑘_𝑑𝑒𝑓) 𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑞1} = 𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑞1}(1 + 𝜓_2,1𝑘_𝑑𝑒𝑓) 𝑢_𝑓𝑖𝑛 = 𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑔}+ 𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑞}

𝐼 = Tröghetsmoment 𝑔_𝑑 = Egentyngd för balken 𝐸 = Elasticitetsmodul

𝑢_{𝑖𝑛𝑠𝑡} = Omedelbar deformation 𝑘_𝑑𝑒𝑓 = Omräkningsfaktor 𝜓_2,1 = Reduktionsfaktor

Kontroll för snölast

𝐿

200≥ 𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑞} L = Balkens längd Kontroll för totallast

𝐿

150≥ 𝑢_{𝑓𝑖𝑛,𝑔} 3.8.9 Dragband

Dragstag i stål ska dimensioneras mot den horisontella kraften beräknat i 3.8.6. Stålets area multiplicerat med dragkraftskapaciteten i förhållande till materialkonstanten måste överskrida horisontalkraften för att klara av belastningen.

𝑁_{𝑝𝑙,𝑅𝑑} =^𝐴×𝑓_𝛾 ^𝑦

𝑀0 > 𝐻

31 3.8.10 Vindstag

För att få den totala vindlasten adderas den utvändiga och invändiga vindlasten, Fw, e

och F_{w, i} med friktionskraften, F_fr, som uppstår när vinden blåser parallellt med väggens area.

𝐹_𝑤 = 𝐹_𝑤,𝑒+ 𝐹_𝑤,𝑖+ 𝐹_𝑓𝑟 𝐹_𝑓𝑟= 𝑐_𝑓𝑟× 𝑞_𝑝(𝑧) × 𝐴_𝑓𝑟

𝐴_𝑓𝑟 beräknas som den tak-/väggarea på avståndet 2b eller 4h från lovartsidans takfot beroende på vilket som ger minst värde där, b är byggnadens bredd vinkelrät mot vindriktningen och h är byggnadens höjd enligt figur 3.8.10a..

Figur 3.8.10a. Visar vad som räknas som referensarea A_fr..

Av den totala kraften F_w tas hälften upp i varje kortsida där kraften sen fördelar sig på bottenplatta och dragstag enligt figur 3.8.10b. För att minska dimensionerna på dragstagen väljs att ha dubbla förband per väggsida

Figur 3.8.10b. Visar hur kraften från vinden delar upp sig på byggnadens nedre och övre del.

32 𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 𝑝𝑒𝑟 𝑠𝑡𝑎𝑔 = 𝐹_𝑤

2 × 4

Längden på stagen beräknas trigonometriskt med hjälp av centrumavståndet, S, pelarlängden, h, och vinkeln, α enligt figur 3.8.10c.

Figur 3.8.10c. Visar hur längden på dragstag beräknas med hjälp av pelarhöjder och centrumavstånd.

𝑙 = 𝑠 cos 𝛼

Kraften som dragstaget ska dimensioneras för räknas även det ut trigonometriskt enligt följande.

𝐹𝑤,𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝐹_𝑤 cos 𝛼8

Dragstaget dimensioneras enligt följande formel där, A är tvärsnittsarean på dragstaget, f_y, är stålets hållfasthetsvärde och γ_M0 är en materialkonstant.

𝑁_{𝑝𝑙,𝑅𝑑} =^𝐴×𝑓_𝛾 ^𝑦

𝑀0 > 𝐹𝑤,𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡

3.9 Formler för beräkning av limträbåge

Gemensamma formler enligt kapitel 3.2 har använts. Följande formler med undantag för vindlast och dragband är tagna från limträhandboken (Carling, 2008).

3.9.1 Vindlast på tak

Vindlasten beräknas för den högsta byggnadshöjden. Beräkningar av vindlast följer samma mönster som för resterande vindlastberäkningar. Skillnaden är att andra formfaktorer erhålls enligt figur 3.9.1a.