Momentfördelning i pelardäck av armerad betong

Momentfördelning i pelardäck av armerad betong

John-Henrik Frostell

TRITA-BKN. Examensarbete 247, Betongbyggnad 2007 ISSN 1103-4297

ISRN KTH/BKN/EX--247--SE

Förord

Detta examensarbete är utfört vid institutionen för byggvetenskap vid Kungliga Tekniska Högskolan i samarbete med Ramböll Sverige AB. Arbetet har pågått under hösten 2006 och början på 2007.

Examensarbetet är avsett att utforska de svårigheter med dimensionering av pelardäck som kan uppstå på grund av införandet av den nya europeiska normen för betongkonstruktioner.

Rapporten gör även en allmän kartläggning av metoder inom området pelardäck och en jämförelse mellan klassiska handberäkningsmetoder och finita elementmetoden. Arbetet innerhåller metodjämförelser men inga riktlinjer. Till detta examensarbete har inte bifogats några beräkningar som jag har utfört, men de kan fås på begäran.

För detta examensarbete vill jag rikta ett tack till mina handledare Docent Mikael Hallgren, enhetschef vid Bro och Anläggning på Ramböll samt Docent Anders Ansell, från Bygg- vetenskap på Kungliga Tekniska Högskolan. Idén till detta examensarbete kommer från Mikael Hallgren och arbetet har utförts vid Bro- och Anläggningsenheten på Rambölls Stockholmskontor. Därför vill jag även rikta ett tack till personalen där.

Stockholm, februari 2007 John-Henrik Frostell

Sammanfattning

Detta examensarbete fokuserar på momentfördelning i pelardäck av armerad betong.

Huvudsyftet med arbetet är att undersöka vad det kommer att innebära för dimensionering av pelardäck när den europeiska normen för dimensionering av betong, Eurocode 2 (EC 2) införs i Sverige. Ett bisyfte är att undersöka hur i Sverige vedertagna metoder, som bygger på gränslastteori (plasticitetsteori), står sig mot Finita Elementmetoden (FEM). De metoder som står att finna i Betonghandboken är brottlinjeteori och strimlemetoden. I arbetet görs en jämförelse mellan klassiska beräkningsmetoder och FEM som bidrar till diskussionen om huruvida de äldre metoderna är föråldrade eller om det finns anledning att bevara dem.

I detta arbete ges först det en teoretisk genomgång av vad som är speciellt med pelardäck, allmän platteori, brottlinjeteori samt strimlemetoden. Det ges även en genomgång av det som i EC 2 är av relevans för pelardäck. Av FEM ges bara en mycket kort teoretisk genomgång och för vidare läsning hänvisas till den stora mängd litteratur som finns i Sverige och internationellt. Teoridelen i detta arbete ger vissa svar på vilka fördelar och nackdelar som finns med de olika metoderna, men för att göra ett praktiskt test av metoderna görs en fallstudie, för att utreda närmare vilka för- och nackdelar som finns. De metoder som undersöks i fallstudien är brottlinjeteori, strimlemetoden och ett föreslaget sätt att fördela moment efter beräkning med ramberäkningsanalogi enligt EC 2. I fallstudien görs även en linjärelastisk FE-analys.

Utifrån detta examensarbete dras slutsatsen att det inte kommer att innebära några större skillnader att införa EC 2 i fråga om vilka metoder som är tillåtna att använda. De metoder som rekommenderas i Betonghandboken, brottlinjeteori och strimlemetoden, är tillåtna även enligt Eurocode 2. Något som däremot kan innebära problem är villkoren i EC 2 för när plasticitetsteori får användas. Detta regleras i kapitel 5.6 i EC 2 och de bestämmelser som står där kan vara svåra att använda för kontroll. Där finns ett villkor som är enkelt att kontrollera och om detta inte uppfylls måste rotationskapaciteten kontrolleras, vilket måste göras på ett omständligt sätt. Dessutom är det osäkert om kontrollen av rotationskapacitet är tillämpbar för pelardäck. Därför bör detta utredas vidare och kompletteras med enklare och tydligare anvisningar i ett framtida svenskt annex. Moment kan enligt plasticitetsteori väljas inom vida gränser, men detta kan leda till problem att uppfylla krav i brukstillståndet.

Resultaten från denna fallstudie visar också att det är olämpligt att dimensionera ett pelardäck, enbart med en linjärelastisk FE–analys, något som redan påpekas i Betonghandboken från 1990. Ramberäkningsanalogin enligt EC 2 är bra för enkla fall med regelbunden geometri, men dess tillämpbarhet avtar ju mer komplicerat fallet blir. Fördelarna med gränslastteori är många. En elastisk analys tar inte hänsyn till de omlagringar av spänningar och snittkrafter

som sker när betongen spricker upp och armeringsstålet närmar sig sträckgränsen, vilket leder till orealistiska momentkoncentrationer. Brottlinjeteorin och strimlemetoden erbjuder bättre möjligheter att dimensionera ett pelardäck än vad en linjär-elastisk FE-analys gör. Fallstudien som har utförts visar också att strimlemetoden ger lägst moment totalt sett och minst armering överlag trots att den är en övre gränslastmetod. Strimlemetoden tenderade att ge relativt sett högre stödmoment, enligt de beräkningsanvisningar som finns, än vad brottlinjeteorin och ramberäkningsanalogin enligt EC 2 gav. Arne Hillerborg, som har tagit fram strimlemetoden, hävdar att den alltid är på säkra sidan tillskillnad från brottlinjeteori. Fallstudien i denna rapport, visar att de speciella föreskrifter som finns för pelardäck för brottlinjeteori (enligt Sven Kinnunen), ger högre moment än strimlemetoden. Om Hillerborgs utsaga stämmer, innebär det en överdimensionering att använda de speciella föreskrifterna för pelardäck enligt brottlinjeteori. Även ramberäkningsanlogin enligt EC 2 innebär en överdimensionering, om man ska tro Hillerborgs postulat. Det kan påpekas att de föreskrifter som görs av Kinnunen för pelardäck innebär att inslag av elasticitetsteori används för att ge moment som är på säkra sidan även i brukstillstånd. Det är troligtvis dessa föreskrifter som gör att brottlinjeteorin för pelardäck ger högre moment, eftersom momenten blir av i stort sett samma storleksordning som de som fås av EC 2:s ramberäkningsanalogi, som innebär en elasticitetsteoretisk betraktelse för framtagandet av momenten.

Nackdelarna med metoder enligt gränslastteori är att de är mycket tidskrävande. Att använda brottlinjeteori och framförallt strimlemetoden kräver omständliga beräkningar även om man tar hjälp av Excel eller Mathcad. Därför måste det utvecklas datorprogram som baseras på dessa metoder och som går att tillämpa på en mängd olika fall. För brottlinjeteorin finns visserligen ett enkelt program utvecklat av Strusoft, som heter Pelardäck, men detta har begränsningar och kan bara ta hand om enklare fall.

Det kan tyckas att dessa gamla metoder har spelat ut sin roll och att det i framtiden kommer att gå att göra alla beräkningar med hjälp av ickelinjära FE-analyser, som erbjuder ett mycket kraftfullt verktyg att få ett kvalificerat svar på många problem. Därför är det positivt att de kommer att spela en roll i framtiden. Nackdelen är att ju mer komplicerade de blir desto svårare har användaren att förstå dess möjligheter och begränsningar. Här utgör de gamla handräkningsmetoderna ett viktigt komplement, om de bara anpassas till den moderna tidsåldern. Riskerna med ”black-box-syndrome”, d.v.s. att en användare matar in data i ett program men inte förstår processen i programmet och får ut data vars giltighet han eller hon inte kan uppskatta, ska inte underskattas. Om ingenjörsutbildningen förlorar i kvalitet på den basala nivån, samtidigt som datorerna ger allt större möjligheter kan detta i framtiden bli ett reellt problem, eftersom datorerna troligtvis inte klarar sig utan den mänskliga omdömesförmågan inom en överskådlig framtid. Därför vore det bra om äldre metoder, vars beräkningsprocess och giltighet är enklare att förstå, fick en framtid sida vid sida med de alltmer avancerade tillämpningarna av FEM.

Abstract

Title: Moment distribution in Flat Slabs of reinforced concrete

This degree project focuses on moment distribution in flat slabs of reinforced concrete. The main purpose is to examine what the new European standard for concrete structures Eurocode 2 (EC 2) will mean for calculations on flat slabs compared to the previous Swedish standard.

A second purpose is to compare how older accepted methods based on plastic theory can compete with the Finite Element Method. The methods recommended by the Swedish standard book for concrete structures “Betonghandboken” are Yield-line-theory and the Strip- method. This degree project does a comparison between older methods of calculation and the Finite Element Method and contributes to the discussion whether there is still reason to use the older methods.

This work first gives a theoretical review of the phenomena that are special about flat slabs, basic Plate theory, Yield-line-theory and the Strip-method. A summary of the sections in EC 2 that are relevant for flat slabs is also given. The Finite Element Method is only given a short theoretical summary. The theory part of this degree project gives certain answers to what advantages and disadvantages the methods have, but for a practical test of the methods a case- study is carried out. The methods that are examined by the case-study are Yield-line-theory and the Strip-method and a proposed way to distribute moments after calculation with equivalent-frame-analysis according to EC 2. For the case-study a Finite Element Analysis is also carried out.

This degree project comes to the conclusion that it will not mean any important differences to introduce EC 2 in Sweden, when it comes to what methods for calculation that are allowed to use. The methods recommended by “Betonghandboken” Yield-line-theory and the Strip- method are also allowed according to EC 2. Something that perhaps will bring problems are the conditions in EC 2 that must be fulfilled for plastic theory to allowed to use. This is regulated according to chapter 5.6 in EC 2 and the regulations given there may be tough to use for verifying. There is a condition that is easy to check, and unless this is fulfilled the rotation capacity of a structure has to be verified, which has to be done in a complicated manner. It is also not certain that this method of verifying is valid for flat slabs. Therefore this should be examined further and clearer instructions should be given in an eventual Swedish national annex. Moment calculated according to plastic theory can be chosen in a wide range at Ultimate Limit State (ULS), but that can bring problems for fulfilling conditions at Service Limit State (SLS).

The results from this degree project also confirm that it is inconvenient to carry out calculations on flat slabs with a linear Finite Element Analysis. This has been known for a

long time and it is stated in “Betonghandboken” from 1990. Equivalent-frame-analysis according to EC 2 is appropriate for simple cases with a regular geometry, but less appropriate for more complicated cases. The advantages of plastic theory are many. An elastic analysis does not consider the redirections of stresses and stress resultants that occur when the concrete cracks and the reinforcement steel starts to yield. This brings unrealistic concentrations of stresses and moments. Yield-line-theory and the Strip-method offer better opportunities to carry out calculations on flat slabs than an elastic Finite Element analysis does. The case study also shows that the Strip-method gives the lowest total moments and less amount of reinforcement, despite that it is an upper bound method. The Strip-method tended to give larger support moments than Yield-line-theory and Equivalent-frame-analysis. Those results come from a direct application of the preliminary instructions given for the methods. It must be emphasized that those instructions at least in the case of the Strip-method can be neglected to a certain degree. Arne Hillerborg, who developed the Strip-method, claims that it is always on the safe side opposed to Yield-line-theory. The case-study in this report shows that the special instructions for the Yield-line-theory applied to flat slabs (developed by former Professor Sven Kinnunen at the Royal Institute of Technology in Stockholm) give higher moments than the Strip-method. If Hillerborgs statement is true, it would mean that Yield-line-theory applied to flat slabs overestimates the moments. Equivalent-frame-analysis also mean an overestimation if we are to believe Hillerborg. It should also be pointed out that the instructions made by Kinnunen for flat slabs contains elements of elastic theory in order to make the chosen amount of reinforcement to be on the safe side at SLS. It is probably the mix of elastic and plastic theory that gives the higher moments, since the moments calculated by Yield-line-theory are in the same range as the moments calculated by equivalent frame analysis, which means an elastic reflection for the calculation of the moments.

The disadvantage with methods according to plastic theory is that they are very time consuming. To use Yield-line-theory or the Strip-method means that many considerations have to be made by the user even when Excel or Mathcad is applied. For this reason computer programs have to be developed, that are based on Yield-line-theory and the Strip-method which are possible to apply on a wide range of cases. In the case of Yield-line-theory there is a program developed in Sweden by Strusoft called “Pelardäck”. This program has limitations and can only be applied to simple cases.

It might seem that there is no reason anymore to apply the older methods since non-linear Finite Element analysis will offer more opportunities in the future. Non-linear Finite Element analyses offer a very powerful tool to give a qualified solution to many problems in the field of structural mechanics. It is also very positive that this tool will be available, but the more complicated the analysis get, the harder it will become for the user to understand the processes, opportunities and limitations of the methods. For those cases the older methods means an important complement, if they are only adapted to the work conditions of today.

The risks with Black-box-syndrome, which means that a user puts values into a program and gets results without understanding the process behind, should not be underestimated. If the

civil engineering education loses in quality at the basic level and the computer programs get more sophisticated at the same time this will lead to considerable problems since no computer program will do without human judgment in a considerable time. For this reason it would be good if the older methods, whose calculation processes are easier to understand, got a future beside the more advanced applications of Finite Element Methods.

Innehåll

1. Introduktion ... 1

1.1 Syfte ... 1

1.2 Omfattning och avgränsning... 2

2. Allmänt om pelardäck av armerad betong ... 3

2.1 Korsarmerade betongplattor... 3

2.2 Pelardäck av armerad betong... 3

3. Platteori... 9

3.1 Definitioner ... 9

3.2 Allmänt ... 9

3.3 Kirchhoffteori... 12

3.4 Mindlinteori... 22

3.5 Numeriska lösningsmetoder... 22

3.6 Speciella förhållanden för pelardäck av betong ... 24

4. Brottlinjeteori ...25

4.1 Allmänt ... 25

4.2 Dimensionering av pelardäck med hänsyn till böjande moment ... 29

5. Strimlemetoden ...43

5.1 Allmänt ... 43

5.2 Den enkla strimlemetoden... 44

5.3 Den vidareutvecklade strimlemetoden för punktlaster och punktstöd ... 51

5.3.1 Teori och antaganden ... 51

5.3.2 Rationaliserad beräkningsgång för punktunderstödda plattor... 58

5.3.3 Speciella anvisningar för pelardäck ... 70

6. Föreskrifter och anvisningar i Eurocode 2...83

6.1 Inledning ... 83

6.2 Plasticitetsteori ... 83

6.3 Pelardäck... 84

6.4 Beräkning av moment i pelardäck ... 85

7. Fallstudie ...87

7.1 Konstruktionsuppgiften... 87

7.1.1 Förutsättningar och antaganden... 87

7.2 Utförande ... 91

7.2.1 FE- analys... 91

7.2.2 Beräkningar enligt brottlinjeteori ... 93

7.2.3 Beräkningar enligt Strimlemetoden... 94

7.2.4 Beräkningar enligt EC2 ... 96

7.2.5 Beräkning av armeringsmängder ... 97

8. Resultat och diskussion ...99

8.1 Moment... 99

8.1.1 FE- analys... 99

8.1.2 Brottlinjeteori... 104

8.1.3 Strimlemetoden... 113

8.1.4 Ramberäkningsanalogi enligt EC 2 ... 140

8.1.5 Sammanställning av resultat för momenten... 148

8.2 Armering... 149

8.3 Diskussion... 152

8.3.1 Jämförelse av momentfördelningarna enligt de olika metoderna... 152

8.3.2 Armeringsmängder... 157

8.3.3 Kraven i normerna... 158

8.3.4 Övriga jämförelser mellan metoderna... 159

8.3.5 Felkällor till fallstudien ... 161

9. Slutsatser och rekommendationer ...163

9.1 Praktiska konsekvenser ... 163

9.2 Allmänna rekommendationer ... 163

9.3 Punkter för vidare utforskning ... 164

Referenser ...165

Litteraturreferenser... 165

Personreferenser... 166

Programreferenser ... 166

Övriga referenser ... 166

1. Introduktion

1.1 Syfte

Konstruktioner där en platta är understödd på ett antal pelare utan kapitäl har blivit allt vanligare under efterkrigstiden. Inom såväl husbyggnad (parkeringsgarage, lagerlokaler, kontor) som brobyggnad är denna konstruktionstyp mycket vanlig eftersom den erbjuder ett enkelt utförande med liten materialåtgång. Konstruktionstypen brukar vanligen benämnas pelardäck.

Att dimensionera ett pelardäck är komplicerat och flera olika faktorer måste beaktas. I huvudsak är det två aspekter som ska tas i beaktande: böjande moment och genomstansning.

Olika metoder har utvecklats för att dimensionera med hänsyn tagen till böjande moment och de viktigaste som används i Sverige sammanfattas i detta examensarbete. Omfattande forskning inom området bedrevs i Sverige under 1950 – 70 talen. Två anledningar gör att det blivit intressant att återigen titta närmare på dessa metoder. Den första är att det har utvecklats nya europeiska normer som skall införas i Sverige. Arbetet med att införa gemensamma byggnormer i EU-området har pågått i över 20 års tid. År 2008 skall betongnormen Eurocode 2 (EC 2) [3] införas i Sverige. För praktiskt verksamma konstruktörer innebär detta en omställning vars omfattning är svår att uppskatta. Fördelarna med att ha en enhetlig norm i hela Europa är dels att arbete över gränserna underlättas, men också att nya rön och erfarenheter lättare sprids. En lyckad introduktion av enhetliga normer kan leda till forskningssamarbetet över gränserna ökar och att många positiva bieffekter därmed uppnås.

Men att sammanföra olika nationella normer med allt vad de innehåller i form av olika traditioner, synsätt och erfarenheter innebär också stora svårigheter. Det finns många likheter mellan normer i olika länder men också skillnader i syn på vad som är väsentligt och från vilka aspekter olika problem och fenomen skall betraktas. Syftet med detta examensarbete är därför dels att utreda vad införandet av EC 2 kommer att innebära för dimensionering av pelardäck med hänsyn tagen till böjande moment.

Bisyftet med examensarbetet är att utreda hur de gamla metoderna står sig mot Finita Element Metoden (FEM), som tack vare datorernas intåg, har fått en stor betydelse som bara lär växa.

FEM är idag ett mycket kraftfullt verktyg, som erbjuder möjlighet att få en närmelösning till nästan varje tänkbart problem inom strukturmekaniken. Metoden erbjuder en tidigare ej praktiskt tänkbar möjlighet att få kvalificerade uppfattningar om förskjutningar, töjningar, spänningar och snittstorheter i olika två- och tredimensionella bärverk. Nackdelen med FEM är att den kräver stor kunskap, erfarenhet och omdömesförmåga av användaren. Den lägger också ett stort ansvar på programutvecklare. Ett heltäckande FEM-program som är fritt från fel ställer väldigt stora krav på mjukvarutillverkaren, som är svåra att uppfylla. Buggar i

1

FEM-program torde visserligen vara enkla att upptäcka i de flesta fall, men kan få ödesdigra konsekvenser.

En frågeställning är huruvida det finns fortsatt motivation att ha kvar och vidareutveckla de gamla metoderna eller om de har spelat ut sin roll annat än för mycket enkla fall. Arbetet syftar därför också till att ge reflexioner kring hur gamla metoder bör anpassas för ett modernare arbetssätt för att de ska kunna tillvaratas.

1.2 Omfattning och avgränsning

Detta examensarbete fokuserar på de olika metoder som finns för att beräkna moment- fördelning i ett pelardäck av betong. För att svara på de inledande frågorna har teorin för olika metoder kartlagts och prövats i en fallstudie. Rapporten fokuserar endast på momentfördelning i pelardäck. För andra fenomen av betydelse för dimensionering av pelardäck såsom genomstansning hänvisas till annan litteratur och publikationer. Speciella förutsättningar, såsom förspänning utforskas inte heller. I rapporten förutsätts att pelardäck är platsgjutna och slakarmerade.

I rapporten följer först teori (kapitel 2-6). I kapitel 2 ges en kort genomgång av vad som är speciellt med konstruktionen pelardäck. I kapitel 3 följer sedan en sammanfattning av de olika teorier som finns för att beräkna snittkrafter och spänningar i plattor. I kapitel 4 ges den teoretiska bakgrunden till metoderna brottlinjeteori och de speciella föreskrifter som finns för pelardäck. I kapitel 5 ges den teoretiska bakgrunden till strimlemetoden och föreskrifter för hur den tillämpas på pelardäck. De föreskrifter som är av relevans för pelardäck som står att finna i EC 2 sammanfattas i kapitel 6.

För att undersöka de olika metoderna har en fallstudie genomförts som beskrivs i kapitel 7.

Här beskrivs de antaganden som gjorts för de olika metoderna. För den läsare som kritiskt vill granska fallstudien rekommenderas en noggrann genomläsning av kapitel 7 och efterföljande kapitel 8, som redovisar resultaten och diskuterar dem. För den som vill skaffa sig en överblick ges det en sammanfattning av resultaten i slutet på avsnitt 8.1. Slutsatser från fallstudien ges i diskussionen i avsnitt 8.2 vilka besvarar de inledande frågorna genom reflexioner. I kapitel 9 ges en mycket kort sammanfattning av slutsatserna för hela examensarbetet, samt kortfattade rekommendationer och förslag till vidare forskning. I arbetet ingår ingen bilaga med beräkningar, men om läsaren vill granska beräkningarna för fallstudien kan dessa fås på begäran.

2

2. Allmänt om pelardäck av armerad betong

2.1 Korsarmerade betongplattor

Verkningssättet hos en korsarmerad platta varierar med belastningen och olika teorier stämmer olika väl beroende på belastningen. När deformationerna är små i jämförelse med tjockleken och plattan är obetydligt uppsprucken är elasticitetsteorin för en homogen, isotrop platta tillräcklig för att bedöma spänningar och deformationer. När belastningen har nått ett värde som medför att sträckgränsspänngen i armeringen uppnås, kan verkningssättet beskskrivas med hjälp av plasticitetsteori. Ett exempel på plasticitetsteori är brottlinjeteorin ([6], [7] och [9]) och ett annat är Hillerborgs strimlemetod ([4], [5] och [9]). För att kunna nyttja omlagringsförmågan av moment i plattor måste plasticitetsteori användas. När deformationerna tilltar, avtar tillämpbarheten av den klassiska elasticitetsteorin. Vid stora deformationer uppstår membraneffekter, eller vid tjocka plattor kupoleffekt. Dessa effekter verkar gynnsamt. Skall de effekterna tas i beaktande krävs speciella teorier, vilka för vanliga konstruktioner blir alltför komplicerade. Mycket grovt kan sägas att brottsäkerheten bedöms utifrån plasticitetsteori och deformationerna bedöms utifrån elasticitetsteori ([4], [5], [7], [9]

och [10]).

2.2 Pelardäck av armerad betong

Två aspekter utgör grunden för dimensionering av pelardäck. Den ena är dimensionering med hänsyn tagen till det böjande momentet och det andra är genomstansning. Även om de görs var och en för sig har de inflytande på varandra. Den kritiska pelarlasten för vilken genomstansningsbrott inträffar är å ena sidan beroende av hur mycket böjarmering som finns i plattan. Å andra sidan kan inte böjarmeringen dimensioneras enbart med hänsyn till det böjande momentet, eftersom hänsyn till genomstansningsbrottet medför att brottdeformationen måste begränsas, vilket leder till att sträckgränsspänningen inte kan uppnås helt i vissa delar av böjarmeringen. Trots detta samband är det mest ändamålsenligt att armeringen dimensioneras med hänsyn tagen till det böjande momentet och genom- stansningen var för sig. I efterhand kan den ömsesidiga växelverkan tas i beaktande, då armering dimensionerad enbart efter böjande moment korrigeras med hänsyn till begränsningen av brottdeformationerna p.g.a. genomstansning.

Pelardäck av armerad betong kan konstrueras antingen med eller utan kapitäl (se figur 2-2) eller förstärkningsplatta. Under efterkrigstiden har utvecklingen gått mot att konstruktionstypen utan kapitäl blivit allt vanligare. Nackdelarna med kapitäl är framförallt ett mer omfattande och dyrare formsättningsarbete på byggarbetsplatsen. Förstärkningsplatta

3

försvårar armeringsarbetet väsentligt. Dessutom minskar betongens formella skjuvhållfasthet p.g.a. hållfasthetens storleksberoende. [7] och [14].

Figur 2-1: Principskiss för ett pelardäck i betong.

Figur 2-2: Här visas förstärkningsplatta och kapitäl. Figur enligt [6].

Det finns många olika fall av pelarunderstödda konstruktioner. Huruvida plattorna är understödda av en vägg längs med periferin eller inte, är en av de faktorer som kan ha betydelse för momentfördelning. Till skolexemplen hör bl.a. cirkulär platta understödd på en pelare i mitten och av väggar längs randen, samt rektangulär platta understödd av pelare i mitten och av väggar längs ränderna. Sådana fall kan användas som riktlinje för mer komplicerade fall. [7].

4

I verkligheten ser trajektorerna för huvudmomenten i elastiskt tillstånd i ett pelardäck ut så som figur 2-3 visar. Här visar de heldragna linjerna de radiella momenten och de streckade de tangentiella. Beloppet på momenten är störst vid pelaren och i mitten av fältet. Både de radiella och tangentiella momenten (huvudmomenten) är negativa inom området närmast pelaren. [8].

Figur 2-3: Här visas trajektorerna för huvudmomenten i ett pelardäck. De streckade linjerna markerar de tangentiella och de heldragna de radiella momenten. Figur från [8].

För att kunna dimensionera efter dessa moment finns olika förenklande teorier. Idealiseringar är nödvändiga, dels eftersom olika belastningar kan ge en bild som avviker från den ovan, dels för att det är mycket krångligt (utan FE-analys) att göra beräkningar som tar dessa riktningar i beaktande men främst därför att det inte är möjligt att armera efter dem. Därför måste dimensioneras efter moment, som går i andra riktningar (x-riktning, y- riktning, radiellt och tangentiellt) än de verkliga. I de allra flesta fall armeras det i x- och y-riktning som sammanfaller med plattfältens gränslinjer. Radiell och tangentiell armering är i de flesta fall mycket omständlig att lägga in. När två riktningar införs som man dimensionerar momenten i och projicerar huvudmomenten på, uppstår det även moment i andra riktningar s.k. vridande moment. Se kapitel 3 om platteori för en närmare förklaring. [7], [9] och [10] .

De metoder som finns för att beräkna momentfördelning i pelardäck kan grovt indelas i elasticitetsteori, plasticitetsteori.

Elasticitetsteorin är en användbar grund för dimensionering av betongplattor, men eftersom den ger andra momentriktningar och fördelningar av momenten än vad som brukar armeras efter måste den kompletteras med andra metoder. Dessutom sker omlagringar av momenten allteftersom betongen spricker och sträckgränsen i armeringen eventuellt uppnås. Det gör att det blir orealistiskt och oekonomiskt att dimensionera efter elasticitetsteori i brottgränstillstånd. För brukstillstånd är det dock inte lämpligt eller ens tillåtet att använda plasticitetsteori. [1], [3], [7], [9] och [10].

5

En typ av plasticitetsteori är gränslastteori. Enligt Betonghandboken [10] är gränslastteori praktiskt ekvivalent med plasticitetsteori. En sådan teori innebär formellt att en platta antas fungera som ett stelplastiskt material. I brottområdena förutsätts krökning ske under inverkan av konstanta moment, medan mellanliggande delar av plattan förutsätts vara stela. För gränslastteori finns två gränsvärdessatser, en övre och en undre. Hillerborg [4] ger följande förklarande definition på vad ett övre och ett undre gränsvärde innebär:

1A. För ett undre gränsvärde på en last gäller, att om man kan hitta en moment- fördelning, som i varje snitt uppfyller samtliga jämviktsvillkor och momentet inte i något snitt överskrider flytmomentet, då är det ett undre gränsvärde för lasten.

Ql

1B. För ett övre gränsvärde gäller, att om man för ett tänkt deformationstillskott beräknar plattans upptagna inre arbete, under förutsättningen att momentet i varje punkt där krökningen förändras, uppgår till flytmomentet och samtidigt uppgår till det yttre arbetet utfört av lasten Q_u, då är Q_u ett övre gränsvärde.

Plasticitetsteori där membran- och kupoleffekt försummas utgör en säker grund för dimensionering. Men även här finns svårigheter med att genomföra beräkningar för de armeringsfördelningar som står till buds. Det finns dock olika närmelösningar, varav vissa ger en undre gräns för bärförmågan enligt Hillerborgs sats ovan. För dessa måste kunna påvisas att jämviktsvillkor för ett utskuret plattelement är tillfredsställt i varje punkt av plattan. Ett exempel på en sådan närmelösning är Hillerborgs strimlemetod vilken uppfyller villkor 1A ovan.

Beräkningsförfarandet enligt Kinnunen ([6] och [7] ) är ett annat i Sverige mycket vedertaget beräkningsförfarande. Detta bygger på brottlinjeteori vilket är ett exempel på en teori som ger ett övre gränsvärde på brottslasten och uppfyller villkor 1B ovan. Det bör tilläggas att de flesta metoder som bygger på plasticitetsteori även innehåller tillämpningar av elasticitets- teori. För dimensionering av pelardäck bygger både Kinnunens föreskrifter (brottlinjeteori) och strimlemetoden på approximationer med elasticitetsteori, som används på olika sätt, även om dessa approximationer tillämpas annorlunda än för ren elasticitetsteori. I den meningen finns det oftast ingen skarp gräns mellan plasticitetsteori och elasticitetsteori. Att metoderna innehåller inslag av elasticitetsteori är en stor fördel när kraven i brukstillstånd ska uppfyllas.

I Sverige har hittills föreskrifterna enligt Betonghandboken [10] gällt. Betonghandboken rekommenderar brottlinjeteorin eller strimlemetoden. Betonghandboken påpekar vidare att generellt, enligt BBK [1], får armeringsföringen inte leda till att momentfördelningen avviker alltför mycket från den elasticitetsteoretiska.

Betonghandboken [10] ger även generella krav på armeringsföring som måste uppfyllas oavsett vilken metod som används. Armeringsföringen är t.ex. beroende av hur stark

6

pelarinspänning som föreligger, om det är en rand- eller innerpelare och vilka krav som finns på sprickbegränsning i brukstillståndet. Betonghandboken tar vidare upp ribbdäck och spännarmerade betongplattor. I Betonghandboken ges följande kontrollpunkter för att gränslastteori (eller plasticitetsteori) ska få användas:

2A. Rotationskapaciteten måste vara tillräcklig

2B. De framräknade momenten måste ligga tillräckligt nära de elasticitetsteoretiska för att kunna användas för brukstadieberäkningar, alltså krav på sprickvidder och deformationer.

Punkt 2A ovan kontrolleras enligt BBK 04 [1] avsnitt 6.5.2.2, enligt följande

1 ,

≤0

⋅

=

cc st s

f f d

ω A 2.1

I ekvation 2.1 är ωden mekaniska armeringsgraden, armeringsarean i ett visst tvärsnitt, den effektiva höjden, armeringens sträckgräns och betongens tryckhållfasthet.

As d

fst f_cc

Eftersom pelardäck är ett specialfall inom platteorin, görs i kapitel 3 en genomgång av teorin för elastiska plattor. Denna teori är visserligen av begränsat intresse för analysen av pelardäck, men teorin är av intresse för förståelsen av plattproblem, varför det är värt att förklara den närmare. Den elastiska platteorin är också av yttersta vikt för FEM för plattor.

7

8

3. Platteori

3.1 Definitioner

Inom ramen för teorier om tunnväggiga kroppar skiljer man bl.a. mellan skivor och plattor.

Skivor förblir plana efter deformation, medan plattor deformeras i höjdled. Den endimensionella analogin till skivor och plattor är dragna och tryckta stänger, respektive balkar. Vidare finns skal, som uppfyller funktionen både hos plattor och hos skivor, samt membran, vilket är mycket tunna skal. [7], [9], [12] och [13].

3.2 Allmänt

Precis som i balkteorin finns teorier av olika ordning och komplexitet. Den vanliga balkteorin bygger på Bernoulli-Eulers hypotes, om att en rät linje i z- riktningen fortsätter att vara vinkelrät mot tangenten även efter deformationen, d.v.s. plana tvärsnitt förblir plana. Detta betyder att skjuvtöjningar försummas d.v.s. γ_xy =γ_xz =γ_yz =0. Detta antagande gäller bara så länge förskjutningarna i z-led är små i förhållande till balkens höjd. Denna teori har utvidgats av Timoshenko [11], som även tar skjuvtöjningar i beaktande. Bernouilli-Euler motsvaras i platteorin av Kirchhoffteorin. Den elastiska linjens ekvation hos balkar

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ =−

∂

∂

z z

EI M x

v

2 2

3.1

har sin motsvarighet bland plattor i form av plattekvationen. Dock är plattekvationen en differentialekvation av fjärde och inte andra ordningen som elastiska linjens ekvation, men den senare kan omformuleras till en differentialekvation av fjärde ordningen om momentet i ekvationen ersätts med en utbredd last.

Precis som den enkla balkteorin har den enkla platteorin sina begränsningar och gäller inte för mycket tjocka eller mycket tunna plattor. Förutsättningar för platteorin är att förhållandet mellan plattans tjocklek och övriga dimensioner ligger i intervallet enligt:

50 1 10

1 ≤ ∧ ≤

y

x l

d l

d 3.2

För tunna plattor, där storleken på deformationerna ej längre blir små i förhållande till tjockleken bör membranteori användas. [7], [9], [12] och [13].

9

I allmän platteori antas att en linje (eller normal), som före deformation, är rät och vinkelrät mot medelytan (motsvaras av tangenten i balkteori), fortsätter att vara rak, men inte nödvändigtvis vinkelrät mot medelytan. Töjningar i z-led försummas. De allmänna sambanden mellan förskjutningar och rotationer och de kinematiska sambanden ser för platteori ut på följande vis (här är u- förskjutning i x-led, v- förskjutning i y-led och w- förskjutning i z-led, z är avståndet till plattans mitt i höjdled enligt:

2 2

z t t ≤ ≤

− 3.3

där z är positiv i nedåtriktningen, ψ_x rotation av medelytan i x-led mot normalen, ψ rotation _y av medelytan i y-led mot normalen, ε med index betecknar normaltöjning, γ med index betecknar skjuvtöjning) index ,x betecknar derivata m.a.p. x.

[

]

T

z v z

u⎥ = − ψ − ψ

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 3.4

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

−∂

∂

−∂

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

z v z

T u

y x

ψ

ψ 3.5

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =

∂

− ∂

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

, 0

, z

z w z _{xx yy}

T

z y x

ψ ψ

ε ε ε

3.6

( )

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

∂

− ∂

∂ + ∂

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

x y

x y y x T

xx yz xy

x w y

zψ ψ w ψ ψ

γ γ γ

,

, 3.7

Se figur 3-1 och 3-2 med w,_x och w,_y enligt:

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∂

∂

= ∂

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

y w x w w

w ^T

y x ,

, 3.8

10

Figur 3-1: Här visas rotationerna. Figur enligt [2].

Figur 3-2: Här visas lutningarna. Figur enligt [2].

Figur 3-3: Här visas ett deformerat tvärsnitt i xz- planet. Figur enligt [2].

För mer läsning hänvisas till [2] ,[9] och [12].

11

3.3 Kirchhoffteori

I Kirchhoff–teorin görs det vidare förenklingen att normalen till medelytan även efter deformationen är vinkelrät mot medelytan, vilket motsvarar Euler-Bernouilli hypotes i balkteorin.

Figur 3-4: Här visas en platta som böjer ner under en last q. Figur enligt [9].

I Figur 3-4 gäller för u och ϕ enligt:

ϕ sin z

u=− 3.9

där ϕ är medelytans lutning i x- led i punkten A enligt:

x w

∂

= ∂ φ

tan 3.10

De kinematiska sambanden följer enligt:

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

− ∂

∂

− ∂

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

∂

= ∂

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

2 0

2 2

2

y z w x

z w z

w y v x u

T

y y x

ε ε ε

3.11

12

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∂

− ∂

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂ +∂

∂

∂

∂ +∂

∂

∂

∂ +∂

∂

= ∂

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

0 0 2

2

y x z w z

v y w z u x w x v y u

T

yz xz xy

γ γ γ

3.12

Ur ekvation 3.8, 3.11 och 3.12 följer att derivatorna av förskjutningen i z-led är liktydigt med rotationen i x- respektive y-led, vilket är analogt med Euler-Bernouillis balkteori:

[

]

T

y w x w

ψ ψ

=

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

∂

3.13

Töjningarna kan även definieras utifrån plattans krökningar enligt:

[ ]

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∂

− ∂

∂

−∂

∂

−∂

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

=

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

y x

w y

w x

w z

z z

r r r

xy x y

xy y x T

xy y x

2 2

2 2

2

2 1

1 1

γ ε ε

κ κ

κ 3.14

Spänningarna i z-led är mycket små i jämförelse med spänningarna i x- och y-led. Detta brukar sammanfattas i antagandet plant spänningstillstånd för vilket gäller

=0

=

= _{xz yz}

z τ τ

σ . 3.15

För normalspänningarna vid ytan, där lasten verkar, måste förstås rent formellt gälla

z =−q

σ . På grund av detta är Kirchhoffteorin oförmögen att beskriva kraftflödesförloppet från last via plattan till stöd. Denna platteori kan på grund av detta inte heller på ett korrekt sätt ta hand om punktlaster, för vilka man måste använda andra approximationer eller antaganden.

Det måste dock påpekas att även om skjuvtöjningarna och skjuvspänningarna i z-led inte tas med i beaktande gäller detsamma inte för de tvärkrafter som dessa ger upphov till. Det är bara skjuvspänningarnas inflytande över böjningen enligt följande som inte tas hänsyn till.

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

G G

xz yz T

yz

xz τ τ

γ

γ 3.16

13

Vidare antas att Hookes lag gäller och att materialet är isotropt vilket ger följande förhållanden mellan töjningar och spänningar.

( ) ( ) _{( )}

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ + + −

= −

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

xy x

y y

x T

xy y

x E E E γ

νε ν ν ε

νε ν ε

τ σ σ

1 1 2

1 ^{2 2} 3.17

Förutsatt att materialet är isotropiskt, d.v.s. E_x =E_y =E och ν_x =ν_y =ν , gäller

yx

xy τ

τ = 3.18

Figur 3-5: Här visas de spänningar som verkar på ett plattelement. Figur enligt [9].

Med den konstitutiva styvhetsmatrisen enligt:

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

− −

=

2 0 1 0

0 1

0 1

1 ² ν ν

ν ν

C E 3.19

vektorerna ε och κ enligt:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

xy y x

γ ε ε

ε 3.20

3.21

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

xy y x

κ κ κ κ

14

differentialoperatorn Kenligt:

( )

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂

−

∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂

∂

∂

−

=

y x

y x

y x

2 2 2 2 2

2 2 2

2

1 K

ν ν

ν

3.22

och ekvation 3.11, 3.12 och 3.13 insatt i ekvation 3.17, kan det konstitutiva sambandet för ett linjär elastiskt, isotropiskt material och plant spänningstillstånd, i kompakt form sammanfattas:

w z zC CK

C = =

= ε κ

σ . 3.23

Under elastiska materialförhållanden kan snittkrafterna i plattor, precis som hos balkar, integreras ur spänningsvariationen över tjockleken enligt följande. Här betecknas momenten med litet m, för att understryka att det handlar om moment/m. Momentet m_x vrider inte runt x-axeln utan i x-axelns riktning. Momenten ges enligt:

∫

= ^/2

2

/ ( )

t

t x

x z z dz

m σ 3.24

Normalspänningarna över tjockleken kan vid elastiska förhållanden beskrivas som en linjär funktion av spänningarna som råder vid ena ytan enligt:

t z _xk z

x( ) σ 2

σ = 3.25

där σ_xk är spänningen som råder vid ytan (k för kant) och z är definierat enligt tidigare.

Ekvation 3.25 insatt i ekvation 3.24 ger

xk x

m t σ

6

2

= 3.26

För samtliga moment gäller därför

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

xyk yk xk

xy y

x t

m m m

τ σ σ 6

2

m . 3.27

15

I vilka riktningar dessa moment verkar ses i figur 3-6.

Figur 3-6: Här visas de böjande- och vridande moment, som verkar på ett plattelement.

Positiv riktning definieras enligt högerhandsregeln. Figur enligt [9].

Omvänt gäller, för det fall när momentet i plattan är känt och spänningen sökt, enligt ekvation 3.27 att

min 2 max/

,

6 t

m_x

x =±

σ . 3.28

Att dimensionera efter ekvation 3.28 i betong kan dock vara riskabelt eftersom den förutsätter linjär elastisk spänningsfördelning. Momenten kan även skrivas som en funktion av nedböjningen w. Med ekvation 3.11, 3.12 och 3.17 insatt i ekvation 3.24 fås

∫

∫

− ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

− ∂

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

∂

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

= ^/2

2

/ 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

/

2 /

2

1

t t

t

t x

x y

w x

D w y

w x

w dz E

z dz

z

m ν ν

σ ν ^3.29

där D är definierat som plattstyvheten

) 1 (

12 ²

3

ν

= Et−

D 3.30

vilket är analogt med böjstyvheten EI hos en balk.

Motsvarande härledningar kan göras för moment i y-led och vridmoment:

16

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

− ∂

= 2

2 2 2

y w x

D w

m_y ν 3.31

( )

y x D w

m_xy

∂

∂

− ∂

−

= 1 ν ² . 3.32

Precis som det för spänningar i vissa riktningar inte finns skjuvspänningar, finns det även för moment riktningar (eller axlar), i vilka det inte finns vridmoment. I dessa riktningar finns bara rena böjmoment, s.k. huvudmoment. Som beräknas enligt:

(

) (

)

m_1,2 ^{2 2}

4 1 2

1 + ± − +

= 3.33

Vinkeln mellan vridmoment och huvudmoment visas i figur 3-7 och beräknas enligt:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

= −

y x

xy

m m

m arctan 2 2

φ 1 3.34

Figur 3-7: Här visas huvudmomenten och vinkeln ϕ mellan dess riktningar och koordinataxlarna. Figur enligt [9].

Egentligen kan sägas att dessa böjmoment är de enda som existerar i verkligheten och att vridmoment endast är konstruerade moment, som uppstår p.g.a. behovet att använda ett enhetligt koordinatsystem för beräkningar. Tvärkrafterna integreras ur skjuvspänningarna.

Även de betecknas med litet v, för att understryka att det handlar om kraft/m. Som ovan

17

nämnts är det endast skjuvspänningarnas bidrag till böjningen, som inte tas i beaktande, i antagandet plant spänningstillstånd. Tvärkrafterna fås enligt:

dz

v ^t

t xz

x =

∫

/ τ 3.35

dz

v ^t

t yz

y =

∫

/ τ 3.36

För det fall då man känner tvärkrafterna, kan de maximala skjuvspänningarna beräknas enligt:

t v_x

xz 1,5

max =

τ 3.37

t v_y

yz 1,5

max =

τ 3.38

I figur 3-8 visas hur tvärkrafterna verkar och de skjuvspänningar som de ger upphov till.

Figur 3-8: Här visas skjuvspänningarna i z- led och de tvärkrafter som dessa ger upphov till. Figur enligt [9].

För att kunna ställa upp en ekvation, som innehåller den yttre lasten q tillsammans med snittstorheterna, måste ett jämviktsvillkor ställas upp.

Om man betraktar ett plattelement med dimensionerna dx och dy (se figur 3-9) och den konstanta tjockleken t fås, om volymkrafter försummas:

∑

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

+ y x v y v x

y v v y x x

v v y x

q _x ^x _y ^y _{x y}

18

När dxdy →0 fås

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

− ∂

= y

v x

q v^{x y} 3.39

m_xydy m_xdy v_ydx m_yxdx v_xdy

m_ydx

y x y

v_y v^y d ⎟⎟d

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

+∂ x y x

v_x v^x d ⎟d

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

x

y y m_y m^y d ⎟⎟d

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

+∂ y x

y m_yx m^yx d ⎟⎟d

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

+∂ x y x

m_xy m^xy d ⎟⎟d

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

y x x

m_x m^x d ⎟d

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

+∂

Figur 3-9: Här visas ett plattelement dxdy och de snittstorheter som verkar på det. Figur enligt [10].

Om även momentjämvikt ställs upp kring två av de fyra axlarna fås:

∑

när dxdy →0 fås

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

− ∂

= ³₃ ³ ₂

y x

w x

D w y

m x

v_x m^{x yx} 3.40

samt

19

∑

när dxdy →0 fås

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

− ∂

= x y

w y

D w x

m y

v_y m^{y xy}

2 3 3 3

^3.41

Om ekvation 3.40 och 3.41 sätts in i ekvation 3.39 fås uttrycket för jämvikt

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

=

xy y x

m m m y y x

q x

2 2

2 2

2

2 3.42

eller, med ekvation 3.29, 3.31 och 3.32 insatt, förhållandet mellan belastning och förskjutningar den s.k. plattekvationen

( )

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ + ∂

∂ +∂

∂

= ∂⁴₄ ⁴₄ 2 ₂⁴ ₂

, x y

w y

w x

D w y x

q 3.43

eller med Laplace-operatorn enligt:

2 2 2 2

y

x ∂

+ ∂

∂

= ∂

Δ 3.44

( )

q , = ΔΔ 3.45

Eftersom detta är en differentialekvation krävs randvillkor för att entydigt lösa den. En distinkt lösning (stelkroppsrörelse utesluten) finns, om det för varje rand på plattan finns oberoende randvillkor. Dessa kan vara: fast inspänd

=0

w och =0

∂

∂ x

w 3.46

eller fritt upplagd

=0

w och ₂ 0

2 2

2 ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

− ∂

y w x

D w ν 3.47

detta innebär att momentet är noll, samt fri kant

20

2 0

2 2

2 ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

− ∂

y w x

D w ν och

(

)

3 3

3 =

∂

∂

− ∂

∂ +

∂

y x

w x

w ν 3.48

detta villkor betyder att den vertikala kantkraften ska vara lika med noll.

Längs randen kan det vridande momentet ersättas med statiskt ekvivalenta tvärkrafter, s.k.

Kirchhoffkrafter eller randkrafter (e för engelskans edge).

( ) ( )

a x xy

x

x x y

w x

D w x

v m y a e

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

− ∂

∂ +

− ∂

∂ = +∂

= ³₃ 2 ³ ₂

, ν ^3.49

( ) ( )

b y xy

y

y x y

w y

D w y

v m b x e

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂

− ∂

∂ +

− ∂

∂ = +∂

= ³₃ 2 ³₂

, ν 3.50

Utöver dessa kommer extra krafter i hörnen.

( )

y x D w

m

E_{c xy}

∂

∂

− ∂

=

−

= 2 2 1 ν ² 3.51

Den mest vedertagna analytiska lösningen på plattekvationen är Naviers lösning, där lasten beskrivs som en dubbelsumma av sinustermer i x- och y-led. Även lösningsansatsen består av en dubbelsumma av sinustermer i x- och y-led. För olika elementarfall finns dessa analytiska lösningar tillgängliga. Ett pelardäck kan endast med mycket grova förenklingar betraktas som ett elementarfall. Därför är en analytisk lösning av plattekvationen av begränsat intresse. För mer läsning om Kirchoffteorin hänvisas till [2], [9] och [12].

21