PUNCTIS SINGULARIBUS
\
C U R V A R U M A L G E B R A I C A R I I M S I M P L I C I S C U R V A T U R !
D ISQUISIT IO;
AUCTORE
P . - N EKMAN,
In Academia regia Upsaliensi Mathcmatum interiorum Doeente.
PARISIIS,
APUD BACHELIER, TYPOGRAPHUM-BIBLIOPOLAM
1JN C IA EPID 1N E A U G T JS T IN O E T JM , 55 .
MDCCCXLII.
DE
PUNCTIS SINGULARIBUS
A L G E B R A I C A K D H S I M P L I C I S C U R V A T U R A E
D I S Q U I S I T I O ;
AUCTORE
P .-N . ERMAN,
In Academia regia Upsaliensi Malhematum inferiorum Docente.
PARISIIS,
APUD BACHELIER, TYPOGRAPHUM-BIBLIOPOLAM,
IN C R E P I D I N E A U G U S T I N O R U M , 55.
MDCCCXLII.
^
PUNCTIS SINGULARIBUS
Omnes curvae algebraic* simplicis curvaturae determinari tui aequationibus algebraicis , qoae relationem quandam inter binas quantitates variabiles exhibent.
Sit igitur
^ = / ( * > j ) = °
aequatio, radicalibus fratetionibusque lib e rata, quae quam cumque harum curvarum , ad coordinatas rectangulas relatam , determ i
n a t, et consideretur / u t functio ipsius x . Quo posito, si q u an titas primitive variabilis x capiat increm entum h , functio ejus y accipiet incrementum respondens k , quod in genere p er hanc seriem Tayloricinam exprim i potest :
d v d 2r h 2 d 3y A3 d*y /<*
t = £ k + ^ S + 5? —3 * ' ' ’
dY d^ Y • i •
ubi coefficientes differentiates — , , e tc ., quoniam nulla ir- rationalitas per differentiationem in tro d u c itu r, sunt functiones rationales ipsarum x et y atque definiuntur suo quisque or
dine ex his aequationibus differentialibus :
du d 7y dy dx2
d'u / dy7 dy '2 \dx. + 2
d7u dy d2u dy dx dx dx7 du d3y
dy dx3
d -u dy dy2 dx + d 3u (dy du d \y
dy dx'
T d + 3
d'u \ d 2y dy dx J dx2
d3u
d 2u dy dy2 d/x d/3« / c/jK
4-
dy2dx \dx d 2u \ d3y
dr \ , o
“7~ I 4~ 'J d/3« d/r c/’«
--- _i--- — o dy dx2 d/x r/xJ
+ 3 / ^ V
dydxj dx3 - d/^ dx2 J dy2 \ dx j
d3u dy
i - - — H- d 3u d'u ( dy\' .
Ufa + / !
dy2 f/x d/x
d/4tt /d/^
l ^ r
dy
, d'u dy d'u
4 + — = «
d/u d/ 4 dy d/x5
dydx3 d/x d/2fd dy
dy 'dx \dx, d'u dx4
d / 2 M \ d / 4J
+ 6
d/v d/x2 J d/x:
d/4« f d y \
dy2 dx2 \d/x/
4 -
d/)‘2 d/x
rd /2w r/2r
x2 + dy
^ f d 3u dy d3u
+ 1° -\ dy2 d/x7—
dydx) dx4
d/3« / d//N d/3« d/j d/3« j d/3j-
+ 10
dhu
dy3 dx r d'u ldy
dy1 dx d'u
dy
\ J f d y
dx d iu
4 -3 - 5
dx) ' dy2 dx dx dydx2j d x 3 d y _V
dx2)
d'u dy d'u ~\d2y dy3dx \dx
d hu [ dy\'
t ) + 3
dy2dx2 dx dydx3J dx2
d / 5 a
dy' dx \dx
d hu
dy3dx1 dy2 dx
etc.
dy\ 2
v + 5
v dx
dy diu dy dx' dx dx5
Jam si in coefficientibus seriei (2) pro x et y valöres particu
lares, qu?e coordinatas cujusdam puncti curvae constituunt, sub
stituantur, fieri potest, ut aut omnes coefficientes finiti et deter-
( 5 )
minati reddantur, aut non omnes liniti et determ inati evadant. Si omnes liniti et determinati reddantur, hoc punctum nihil h a b e t, in quo a ceteris curvae punctis differat. Sin autem inter hos coeffi- cientes sin t, qui non finiti et determ inati fiant, punctum est sin
gulare, h. e. habet quidquam sibi proprium et peculiare, quo a ceteris punctis discernitur.
Qui coefficiens non finitus et determ inatus re d d itu r, is vel nihilo aequalis, vel infinite m agnus, vel indeterm inatus, h. e.
= l , fiat necesse est. Neque vero imaginarius fieri, nec plures valores obtinere potest, cum aequatio, quae expressionem ejus generalem suppeditat, rationalis sit et non nisi primam ejus po
testatem contineat. Sed quoties haec expressio abit in id indicio est , coefficientem plures valores habere d eb e re, inter quos etiam imaginarii reperiri possunt.
Inspicienti aequationes ( 5 ) . . .(7) et sequentes ap p a ret, omnium coefficientium, qui ex sua quisque harum aequationum determ i
n a n tu r, expressiones formam induere quantitatum fractarum , quarum num eratores dissimiles inter se et quidem magis magisqm pro ordine coefficientis compositi s in t, denominatores vero ex una eadem que quantitate — conficiantur. Hinc sequitur, ut quilibet coefficiens differentialis, evanescente n u m erato re, nihilo aequalis fieri possit, ceteris tum antecedentibus tum subsequentibus finitis m anentibus, sed nullus coefficiens differentialis infinite magnus nec indeterm inatus fiat, quippe cum hoc pro valoribus finitis ipsai uni x et r non nisi evanescente d e n o m in a to r accidere possit, quin tum antecedentes tum subsequentescoefficientes vel infinite m agni, vel indeterm inati simul fiant, prout eorum num eratores vel finiti, vel nihilo aequales per eandem substitutionem reddantur. Itaque quoties alteruter horum casuum ev e n it, concludim us, univeisam seriem (2) transform andam esse.
At priusquam ulterius progrediam ur et ad ipsam disquisitionem punctorum singularium accedam us, videndum e s t, quaenam sit ratio et natura eorum valorum ipsarum x et y , qui seriem (2) abnorm em red d a n t, et quomodo forma seriei, p e rq u a m incre
m entum k ipsius y exprim atur, determ inetur, quam quidem foi -
( 6 )
main jn examinandis punctis singularibus curvarum cognoscere necessc e st, ad diversas enim serierum formas diversae singulari
tates respondent.
Si in aequatione algebraica rationali duarum variabilium x et / alteri variabili x certus quidam valor a tribuatur, altera variabilis / obtinebit, aequatione soluta, tot omnino v alo res, nullo discri
mine inter reales et imaginarios facto, b, b', b", b'", e tc ., quot summus exponens ipsius y continet u nitates, et si pro .r alius valor a + /i substituatur, y totidem alios obtinebit v alo res, quos per b -+- k, b' -f- k', b" -f- k", b'" -f- k"', e tc ., denotare possumus.
Jam si valor uniuscujusque horum increm entorum k, k', k", e tc ., quae incremento h respondent, in seriem , secundum adscendentes ipsius h potestates progredientem , convertatur, manifestum est, ullum term inum nec factore h carere, nec hunc factorem cum ex- ponente negativo continere posse, si quidem , facto h = o, incre
m enta quoque k , k' , e tc ., evanescere oporteat. P o rro , si omnes valores b, b', e tc ., inaequales sin t, nec ullus coefficiens seriei plures valores o b tin ere, nec ullus exponens ipsius h fractus esse p o te st, quoniam series ita com parata esse deb et, ut incremen
tum , quod per eam determ inatur, unicum tantum valorem sor
tiatur. Nam cum tot sint valores b, b', e tc ., ad quos singulos singula increm enta k , k', e tc ., p ertin en t, quot summa potestas ipsius y est dimensionum , si aliquod horum increm entorum plu
res valores obtineret, fieret, ut valores ip s iu s /, valori x = a -f- li respondentes, plures essent, quam unitates in exponente summo ipsius y in su n t, id quod absurdum est. Itaque incidimus in hoc casu in ipsam seriem Taylorianam
k = Ah -+- BA5 + CA3 -h DA4 -f- e t c .,
ubi tamen quidam termini post p rim u m , coefficientibus evanes
centibus, deesse possunt.
Simili ratio n e, si pro certo valore y = b , in aequatione sub
stituto, altera variabilis x tot valores inaequales a , a , a" , etc., o btineat, quot summus exponens ipsius x continet unitates, et postea alius valor b -h k loco / ponatur, cui hi valores ipsius x ,
n h a> + /t' ? 4- /t", e t c . , respondeant, nullum horum in
crem entorum h , / / , e tc ., recipiet plures valores , sed omnia p er series hu ju s form * determ inentur :
h = A'A + B'A-2 + C'A3 + D'A4 + etc.
Sin posito * = « , plures valores ipsius y inter se «quales (9) fiant, u t sit ex. gr. b radix m ultiplex aequationis, ceteri vero valores b', b", e tc ., singulares, num erus valorum inaequalium m inor est quam pro gradu aequationis. Quoniam autem haec res pendet ex relatione quadam singulari coefficientium aequationis inter s e , ex valore illo particulari x = « n a ta , et rursus eva- nescente , quando p ro x substituatur alius valor a + h , valore, ipsius r inaequales, b + A, b' + A', 6" + A , e t c ., qui huic sub
stitutioni x = a + h respondent, nihilominus erunt pares nu m ero unitatibus , in summo exponente ipsius y contentis, atque adeo p lu re s, quam valores b , b b " , e t c ., qui illi substitutioni
x — a respondent. Numerus vero excedentium valorum idem
e rit, ac num erus radicum aequalium, una dem ta. Qui quidem num erus u t com pleatur, incrementum A , multiplici valon at d e n d u m , tot valores diversos obtinere op o rtet, quot sunt radices valori b «quales. H ab e b it igitur series, per quam valor ipsius A exprim itur, eam fo rm a m , quae talem diversitatem valorum ad
m ittat. Hoc autem tribus modis effici potest; si aut coefficientes seriei plures valores o b tin ean t, exponentibus incrementi h inte
gris m anentibus, a n t exponentes fracti reddantur, coefficient,bus singulos tantum valores obtinentibus, aut tum coefficientes m ulti
plices , tum exponentes fracti simul reddantur.
(a). S i, exponentibus integris m anentibus, coefficientes plures (1 0 ) obtineant valores, num erus horum valorum idem e r i t , ac nu m erus radicum aequationis valori b aequalium. In hoc casu series novam quidem non induit form am , sed solum in plures diversas ab it, quarum quaeque ad formam seriei Taylonan« com ponitur, ita u t s i t :
/ aA -+- 11/i2 -b C/i3 + etc.
/ = 5 A 7 i + B 7 i5 -4- C/A’ -b etc.
( etc.
f 8 )
Fieri etiam p o te st, u t , primis coefficientibus singulos valores obtinentibus, series ad posteriorem demum term inum in diversas partes d iscedat, u t sit ex. gr.
De cetero observandum est, diversos valores increm enti k hoc modo per diversos valores coefficientium exprim i non p o sse, nisi sint, posito y = b ad minimum totidem valores ipsius x «quales a , quot su n t, posito x = a , valores ipsius y aequales b. Nam si ex seriebus, supra exhibitis, valor ipsius h per methodum inversam serierum quaeratur, is erit, singulis seriebus datis singulas series inversas gignentibus, ad minimum aeque multiplex atque valor ipsius quod quidem fieri nequit, nisi sit a valor aeque m ulti
plex ipsius x , ac b est ipsius y . Potest vero h vel plures valores obtinere, si prim us terminus in quibusdam seriebus, valorem ipsius h exprim entibus , desit.
(1 1 ) (b). Si, coefficientibus singulos tantum valores obtinentibus, series secundum fractas potestates incrementi h p ro g re d iatu r, omnes fracti exponentes habebunt eundem denom inatorem , qui quidem communis denominator idem erit ac num erus valorum ipsius y aequalium. N um erator vero prim i term ini seriei idem erit ac num erus valorum ipsius x aequalium. N am , cum quisque ter
minus tot valores h a b e a t, quot insunt unitates in denom inatore exponentis, si denominatores aequales quidem , sed majores essent, quam num erus valorum ipsius y aequalium, valores incrementi k justo plures fierent; et si denominatores aequales et minores essent, quam num erus valorum aequalium, valores incrementi k justo pauciores fierent; denique si denom inatores inaequales essent, nu
merus valorum incrementi k, compositis diversis valoribus ter
m inorum , justo aut major aut minor fieret, nisi denominator! s essent factores ejus n u m e ri, qui in d ic at, quot sint valores ipsius y aequales, quo casu etiam fractiones concinnatae ad hunc num erum u t communem denom inatorem reduci possunt.
( CA3 -f- DA4 -f- etc.
k = Ah -f- BA2 -f- < C'h 7, -f- DVi4 -|- etc.
etc.
( 9 )
Et quoniam idem convenit in eam se rie m , secundum adscen- dentes ipsius A potestates progredientem , per quam valor incre
menti // exprim itur, sequitur, u t communis denom inator expo
nentium fractorum ipsius A in hac serie idem sit, ac num erus valorum ipsius x aequalium. Haec vero eadem seiies , si ex ilia, quae valores ipsius k exhibet, p er methodum inversam serierum dedu
catu r, accipiet communem denom inatorem , num eratori primi ter
mini illius seriei aequalem. Hic ergo num erator idem sit necesst est, ac num erus valorum ipsius a: aequalium.
Itaque si m sit num erus valorum aequalium ipsius j , et n nume- rus valorum aequalium ipsius x , erit
n /> J7
A- = M/i" -h N/im -h Phm H- etc.
Fieri etiam potest, ut series initio secundum integras potestes- tatcs incrementi h p ro g re d iatu r, et exponentes fracti ab posteriori demum termino incipiant, ut sit ex. gr.
k = Ah + B/d M /r e tc .;
id quod evenit, quoties pro prim is coeffieientibus seriei, secundum integras potestates progredientis, valores finiti reperiantur. Nam is dem um terminus exponentem fractum obtinebit, cujus coeffi- ciens in serie regulari infinite magnus evadit. Qui vero futurus sit prim us exponens fractus, etiam in hoc casu facile perspicitur, cum denom inator p er regulam supra datam usque determ inetur, et nu
m erator talis esse debeat, ut num erus fractus a proxime anteceden
tis term ini exponcntc integro minus unitate d iffe rat, atque adeo inter hunc exponentem et proxim e subsequentem num erum inte
grum interjaceat. Quod si adhuc aliquid ambigui re s te t, id tollitur, ut videbim us, inspiciendo num eratore expressionis pro eo coeffi- c ie n te , qui ob denominatorem nihilo aequalem infinite magnus factus est.
Ceterum de coeffieientibus notandum est, eos, etiam si signis radicalibus affecti sint, tamen pro simplicibus habendos esse, quoties, numerus valorum , quos term inus o b tin e t, per talem affec-
( 1 0 )
__
tionem coefficients non augetur. Sic coefficiens in y/AA2 non minus quam in AA-12 simplex putandus est, quoniam ille terminus non plures habeat valores quam hic.
(1 2 ) (c). Si tum coefficientes multiplices , tum exponentes fracti sint, universi v a lo re s, ex diversis seriebus oriundi^ simul conficient numerum valorum , quos A obtinere oportet, et series praeterea ita comparatae e r u n t, u t, si in v e rtan tu r, etiam h obtineat eum nu
merum valorum , qui ei conveniat. S ic, si A tres, li vero duo va
lores habebit, forma serierum haec esse potest :
Ah 4 - BA2 4- Ch3 etc.
MA2 + NA2 4 - PA* -f- e t c .;
recipiet vero utrum que incrementum ternos valores hoc modo :
(1 3 )
BA! 4- CA’ 4- etc.
j_ 2.
MA24- NA24- e t c ., et sic porro.
Ex allatis igitur colligitur, non modo nullam aberrationem a solita form a, si ab e o casu recesseris, ubi quidam ex coefficientibus term inorum , qui primum subsequuntur, nihilo aequales reddantur, in serie occurere posse, nisi positis pro x et y talibus valoribus, qui vice radicum aequalium in aequatione funguntur, sed etiam formam seriei abnormis ex numero radicum aequalium pendere.
Itaque cognitio multiplicitatis valorum in singularitate punctorum examinanda plurim um valet.
Ilaec vero m ultiplicitas, quae sit, facile perspicitur. Nam , posito d 3 u d P ' ipsa quidem functio nihil aliud e rit, nisi aequatio prim itiva, unam
du d 2 u d 3u
jncogmtam y continens, et - - , 3-7 , -7—7, e tc ., erunt e ju s d e n -
, , . du d 2«
certo quodam valore a pro x in / ( x , y ), — , ---
d y d y2 etc.
dy ’ d y 2 ’ d y3 . . , . . r , . du d 2u vatae; ltidem que, posito in / [ x , y ) , — , : d1 u
dx , etc., projK
certo quodam valore b , ipsa functio erit »quatio prim itiva, unam
du d t u d 3u ,
incognitam x continens, et , -j—2 > ^ -7> ctc- > u u n eJus 1 ( rivate. H inc, quoniam , ut in theoria aequationum d em onstratur, radix duplex aequationis non modo ipsam aequationem , sed etiam primam derivatam nihilo aequalem red d it, radix triplex insuper derivatam secundam, et sic p o rro , colligere lic e t, quoties valores a et b , pro x et y substituti, non modo ipsam functionem f (x, y ) , sed etiam u n u m , vel duos, vel tres , etc. , deinceps ex coefficien- tibus differentialibus p a r t i a l i b u s ^ , ^ 7, e tc ., <IU1 o riu n tu r, si y tamquam variabilis, x vero tamquam constans tractetur, ni
hilo aequales faciant, b esse duplicem , vel triplicem , vel quadru
plicem , etc. , valorem i p s i u s / ; et quoties per eandem substitutio
nem , non modo functio ip sa , sed etiam unus , vel d u o , vel tres , du e t c ., deinceps ex coefficientibus differentialibus partialibus - - ,
— etc. qui oriuntur , si sola x tamquam variabilis trac tetu r,
d x 2 ’ ’ * ,
nihilo aequales reddantur, a esse duplicem , vel triplicem , vel qua
druplicem , etc., valorem ipsius ar. Ex aequationibus vero (5)...( 7) du d Iu et sequentibus apparet, quot differentialium partialium — , ^ , e tc ., qui se deinceps ex cipiunt, nihilo aequales sunt, totidem coefh- cientes continuos d£ , g , e tc ., in serie (S) evanescere, ita ut etiam dici possit, a esse duplicem , vel triplicem , e tc ., valorem ipsius x, p ro u t u n u s, vel d u o , etc., coefficientium initialium in sene (2) nihilo aequales sint.
E t cum quivis coefficiens differentiate respectu eorum , qui eum sub seq u u n tu r, tamquam functio prim itiva considerari possit, etiam concludim us, si plures coefficientes continui cujusvis ordi
nis in serie (2) , posito x = a et y = b, nihilo aequales reddantur, quem libet h o ru m , post substitutionem / = b tamquam aequatio
nem solius .r consideratum , tot habere radices aequales ipsi « , quot coefficientes, proxime eum sequentes, evanescunt, et insuper unam .
( I ?. )
Restat, ut ex doctrina de linearum contactu nonnulla proposita i epotam us, (piae nobis in sequente disquisitione usui erunt. Hrec igitur pro demonstratis habemus .
(1 Ö) Ordo contactus definitur numero coefficient!urn differentialium communium ab initio serierum , quae cursum linearum in regioni
b us, puncto contactus finitimis, designant ;
( 1 6 ) Si contactus sit imparis o rd in is, altera linea ab eadem parte alterius ante et post contactum sita e s t; ad oppositas vero partes , si sit contactus paris ordinis, ita ut cum hoc contactu intersectio conjuncta sit ;
('17) Nulla linea cum altera contactum superioris ordinis habere po
test, quam qui definitur num ero quantitatum constantium , ad ar
bitrium determ inandarum , quas continet ejus aequatio, una dem ta, nisi lorte per peculiarem qualitatem quantitatum proxim e sub- sequens coefficiens unius seriei proxime subsequenti alterius aequa
lis fiat.
(1 8 ) Quae jam applicemus ad eam classem linearum , quaeparabolicce vocantur et hac aequatione generali designantur :
y — a -f- bx -h ex'1 -)- d x 3 -f- cx* -f- etc.
Haec aequatio pertinet ad lineam rectam , si omnes term ini poste
rioris membri post secundum nulli sint; ad parabolam p ro p rie si<c dictam sive Apolloniancim, si omnes post tertium ; ad parabolam cubicam , si omnes post quartum ; et sic porro.
Itaque in genere linea recta habere non potest cum curva contactum superioris ordinis quam prim i; parabola Apolloniana non superioris quam secundi o rd in is; parabola cubica non supe
rioris quam tertii ordinis; et sic p o rro , ordine lineae ordinem con
tactus determinante. Sed quoniam aequatio pro linea recta om nes coefficientes differentiales post primum nihilo aequales h ab e t; pro*
parabola Apolloniana omnes post secundum ; pro parabola cubicat omnes post te rtiu m ; et sic p o rro , sequitur, u t , quoties in serie, qua cursus curvae in regionibus, puncto contactus finitim is, deno
tatur, vel secundus, vel tertius , vel quartus coefficiens differen- tialis nihilo aequalis s it, contactus, quem vel recta, vel parabola Apollonii, vel parabola cubica habeat cum hac cu rv a, arctior
( *3 )
fiat quam pro ordine lineae tangentis; et quidem eo superioris or
dinis, quo plures coeffieientes continui evanescant.
His ergo praemissis ad ipsam disquisitionem punctorum singu
larium progrediam ur. Omne punctum curvae au t tale est, pei quod solus ram us tran seat, aut tale, in quo plures rami con\e- niant. Numerus vero horum ram o ru m , in uno puncto convenien
tium , determ inatur num ero v alo ru m , quos prim us coefficiens dif- ferentialis seriei (2) % o b tin e t, hujus puncti coordinatis substitu-
' ' dx
tis pro x et y in aequationibus (3). . . (7) et sequentibus. Nam cum sit — tangens trigonometrica an g u li, quem tangens curvae facit
dx (ly
cum axe abscissarum , sequitur, u t , quot habeat — valores, tot sint tangentes curvae in dato p u n cto ; et cum unicus arcus in eodem puncto plures tangentes habere nequeat, totidem etiam di\ersi rami curvae in hoc puncto conveniant necesse est. Fieri tamen po
test , u t non omnes rami re vera ex sten t, quod semper usu v e n it, si quidam valores imaginarii s in t, et in te rd u m , si quidam sint aequales. Quoniam vero hoc p u n ctu m , etiam si unicus tantum ram us exstet, nihilominus a puncto simplici differat, dividimus puncta curvarum in simplicia, duplicia, triplicia, e tc ., non p io num ero ram orum , re vera exstantium , sed pro numero \ aloi u m , quos oblinet, ita u t punctum sit sim plex, si unicum tantum valorem obtineat; d u p le x , si d u o s; triplex, si tr e s ; e tc . , sive hi a~
lores inaequales sint, sive aequales; sive reales, sive imaginarii. Et cum — , nisi fiat in aequatione (3) indeterm inatus, plures valores
dx
obtinere neq u eat, sequitur ex nostra definitione, u t omnia puncta multiplicia sint singularia. Singuli vero rami praeterea aliis singu
laritatibus in eodem puncto affecti esse possunt. Ad plenam igitur et perfectam cognitionem cujusdam puncti curvae re q u iritu r, de
terminasse , non minus quotuplex sit ipsum pu n ctu m , quam quaenam sit singularitas uniuscujusque ram o ru m , qui ibi conve-
( «4 )
nitint. Illud definitur, ut nuper dictum e st, numero valorum ipsius lioc pendet a forma seriei, per quam valor incrementi X- exprim itur, et cognoscitur, si cursus r a m i, qui hac serie desi
gnatur, in regionibus, quae puncto finitimae su n t, investigetur.
Quamobrem haec disquisitio ita erit instituta, ut primum valores dy
11)S1US dx “ etern u n en tu r» deinde forma seriei exhibeatur, denique singularitas, quae huic formae respondeat, ostendatur. Increm en
tum vero h semper tam parvum concipimus, ut quivis term inus seriei, per quam valor incrementi h exprim itur, summam omnium sequentium superet.
Si, p u n c t i c u j u s d a m c o o r d i n a t i s a e t b p r o x e t y s u b s t i t u — TIS , T E R M IN I AJQUATIONIS ( O ) PRO SE QUISQUE N IH IL O A2QUALES NON
R E D D A N T U R , PR IM U S COEFFIC1ENS D IFFER E N T IA L IS — UNICUM TANTUM
dx
VALOREM O B T IN E T , ET PUNCTUM EST SIM PLE X .
'i n • dy
Coefficiens unicum tantum valorem in hoc casu o b tin e t, q u o niam determ inatur ex aequatione (55), quae non nisi prim am ejus potestatem continet. Hic vero valor vel finitus, vel nihilo aequalis, vel infinite magnus esse potest.
( i°.) Si valor unicus prim i coefficients differentialis — fin itu s dx sit, tangens curvce inclinata est in axem abscissarum.
Quoniam tum nec denom inator — , nec num erator — nihilo
d y dx
aequalis est, b et a sunt valores simplices ipsarum y et .r in aequa
tione y ( x , y ) = o (15), quamobrem X et h singulos valores obti
nere debent (ft). E t s i , substituto pro valoreinvento, sequentes coefficientes differentiales ex sua quisque aequatione quaerantur, invenimus re vera, eos nec plures valores obtinere, primo coeffi-
* iente unum tantum sortiente, nec infinite magnos fieri, communi
( )
eorum denom inators ~ valorem finitum habente; atque adeo seriem nec in plures dilabi, neo secundum fractas potestates ipsius h progredi posse. Itaque eiit .
k __ A/i 4- Bh- 4 - C/<3 4 - D/i4 4- E/i3 4 - e tc .,
dy litteris A , B , C , e tc ., denotantibus valores coefficient,um ^ ,
‘l 'X etc suo quemque ordine p er i , i .2, i . a . 3 , e tc ., di-
d x i 9 . . . •
visos ■ et punctum nihil habet singulare, nisi sit aliquis ex ternii- uis, qui prim um insequuntur, nihilo aequalis. Qualis vero singula- ritas inde o riatu r, jam videbimus.
(a). Si B = o , tangens habet in hoc puncto contactum secundi ordinis cum curva (18), qu * adeo ibi propius quam m a lu s suis partibus ad cursum rectae lineae accedit, id quod vel ex eo appa
ret , quod radius curvaturae, cujus in expressione estdenom i- (l 2y nator, posito B = o, infinite magnus evadit. Et quoniam — , q u i, ob relationem inter .r et y in functione p rim itiv a /(x , y ) — o d a ta m , tamquam functio solius .r considerari p o te st, habet radicem ipsi a aequalem, obtinebit valores, oppositis signis affectos, pro x _ a _4_ h et x — a — h , intra quos limites una radix continetur.
Signum autem coefficients determinat signum radn curva
tu r * , et hujus diversa signa indicant diversas regiones , in quas curvatura vergit. Inflectitur itaque curva in puncto, ita ut con
vexitatem ab altera parte regioni ordinatarum negativarum , ab altera regioni positivarum advertat. De ce te ro , quoniam contactus est paris ordinis, tangentem ab altera parte supra curvam , a ) altera infra sitam esse oportet (16). Hoc punctum \ n e a tu r/
tum inflexionis.
(b). Si C = o , parabola A polloniana, osculans c u n a m m p u n cto , habet cum ea contactum tertii ordinis (18). Itaque curva ibi propius quam in aliis suis partibus accedit ad cursum hujus
( )
parabolae. Sed quoniam contactus est imparis o rdinis, linea oscu
lans in eadem parte alterius ante et post contactum sita est.
(c). Si D = o , parabola cub ica, osculans curvam in puncto, habet cum ea contactum quarti ordinis et intersecat eam sim ul, quoniam ordo contactus p ar est; et ita porro.
{d). Si et B = o et C = o , recta tangens habet cum curva con
tactum tertii ordinis (18) et in eadem ejus parte ante et post con
tactum sita est. Nec ulla apparet inflexio, sed curvatura in utraque
• d 2y
parte eodem vergit, cum ^ 7» cujus a est radix duplex (14), va
löres, eodem signo affectos, sortiatur, sive a -+- h, sive o — h pro x substituatur. Hoc punctum vocatur punctum duplicis in
flexionis.
{c). Si et B = o et C = o et D = o, contactus tangentis cum curva est quarti ordinis, adeoque cum intersectione conjuncta. Et quoniam d 2r-^—7 habet tres radices aequales valori a (14), obtinebit
opposita signa pro x = a -h h et x = a — h , inter quos limites impar num erus radicum continetur. Curva ergo subit inflexionem in hoc puncto , quod vocatur punctum triplicis inflexionis.
{ / ) • Si et B = o et C = o et D = o et E = o , tangens habet cum curva contactum quinti ordinis. Hoc p u n ctu m , ubi nec inter
sectio, nec inflexio exstat, vocatur punctum quadruplicis inflexio
nis. Simili m odo, quicunque et quotcunque coefficientium diffe- rentialium nulli s in t, puncti pro p rie ta s, quae singulis casibus res
pondeat, facile invenitur. Observandum tamen e s t, ea puncta, in quibus parabola quaedam arctiorem contactum cum curva h ab e at, ob eam solam rem inter singularia vulgo non num erari.
Itaque, his omissis, quoties — unicum valorem eumque finitumdy
d ^y obtinet, punctum aut nullam singularitatem habet, si — - finitus sit, aut est punctum inflexionis, si s i t d V — o. Ordo vero in-
d x 2
flexionis determinatur numero coefficientium continuorum, qui ni
hilo cequales sunt.
( 17 )
(2°). Si valor unicus prim i cocfficientis di (ferenti a lis — nihilo (21)
dx ' '
ce qualis sit, tangens curvee est parallela axi abscissarum.
du du
Quoniam tum n u m e ra to r— , non vero denom inator — , nihilo
dx dy
aequalis e s t, a est valor duplex ipsius x, b vero valor simplex ipsius y in a?quatione/(.r, y ) = o (15), et series ita erit comparata , ut / u n u m , h vero duo valores accipiat (9). Cui quoque conditioni satisfacit haec series, secundum integras potestates ipsius h proce
dens et prim o term ino caren s, quam eodem m odo, quo in easu praecedcnte (20), pro expressione ipsius k invenimus :
k — BAJ - b C/i3 -b DA4 EA5 -f- etc.
Quoniam in hac serie valor ipsius k sortitur idem signum , sive h positive, sive negative capiatur, punctum aut longius aut pro
p iu s , quam ea puncta curvae, quae ei ab utraque parte proxima su n t, ab axe abscissarum ab e st, quo sequitur, ut ejus ordinata au t maximum , aut minimum sit, prout coefficiens B aut negativus au t positivus est. Et cum x = a sit radix simplex functionis —
dx ’ haec functio pro x = a -b h et x = a — h valores, oppositis signis affectos, accipiat necesse est. Itaque duae rectae, quae tangunt cu rv a m , altera in puncto, cujus abscissa est a -b h , altera in p u n c to , cujus abscissa est a — h , faciunt cum axe abscissarum angulos diversa natura; altera acu tu m , altera obtusum.
Si insuper unus vel plures sequentium coefficientium nihilo aequales s in t, punctum eam habet proprietatem , quam supra (2 0) singulis casibus respondere invenimus. Sic
( a ) . Si B = o, a est valor triplex ipsius x in aequatione f (x , y) — o (15), et series fit
k = C A3 -b DA4 -b EA5 -b etc.
Punctum est simplicis inflexionis, et ejus ordinata nec maximum est nec minimum, quoniam k obtinet contraria signa pro b A et —A.
Et quoniam cum A = o, tum B = o, a est radix duplex functionis
cl Y- - (14), q u s quidem eam ob causam idem signum sortitur, sive in ea ponatur x — a -|- h , sive x = a — h , unde sequitur, ut tangentes curvae ab utraque parte puncti angulos ejusdem generis cum axe abscissarum faciant; aut acutos, si valor ipsius — per
dx hanc substitutionem positivus reddatur, aut obtusos, si negativus.
(b ). Si et B = o et C = o, a est valor quadruplex ipsius x , et series fit
k — DA ' -+- E h5 -b etc.
Punctum est duplicis inflexionis , et ejus ordinata aut maximum aut minimum. Anguli vero tangentium ad diversas partes puncti sunt diversa natura.
(c). Si et B = o et C = o et D = o , « e s t valor quintuplex ipsius x , et series fit
k = E/t5 -+- etc.
Punctum est triplicis inflexionis, et ordinata nec maximum nec minimum. Anguli vero tangentium sunt eadem natura ab utraque parte puncti; et sic porro.
Itaque, quoties - - unicum valorem cumque nihilo ecqualem obdy
tinet, aut solummodo puncti ordinata est maximum v e l minimum, si solus coefficiens ~ nihilo ecqualis sit, aut est punctum inflexio-(IY
dx
nis, si plures coefficientes continui evanescant, in quo casu ordi
nata simul maximi minimive proprietate gaudet, quoties inflexio est p a ri multiplicitate, h. e. quoties p a r numerus coefficientium, qui primum subsequuntur, nihilo ecqualis est.
(3°.) Si valor unicus primi coeffidentis differentialis — infiniteely
magnus sit, tangens CUtvce est normalis a d axem abscissarum.
du du
Quoniam tum denom inator — , non vero n u m erato r-—, mhilo aequalis est, b est valor duplex ipsius y , a vero valor simplex ^
( ‘ 9 )
ipsius x in aequatione f (x , y ) = o (13), et series ita erit com pa
rata , ut h duos valores, h vero unum obtineat (9). Q uare, cum praeterea, ob primum coefficientcm differentialem infinite magnum, series inde a primo term ino secundum fractas potestates incre
menti h progrediatur necesse sit, communis denom inator erit ?., prim us vero exponens ^ ( I I ) , et fiet
i in n
k — M/4 4- N/*7 H- P/i7 4 - etc.
Quam seriem solus valor positivus ipsius h realem reddit, si omnes coefficientes reales s in t, et solus valor negativus, si omnes coefficientes potestatum fractarum ipsius h imaginarii sint, sed in utrovis casu sories duos valores induit. Seriem vero semper ita esse comparatam , ut aut pro hoc aut pro illo valore realis fia t, vel inde colligimus, q u o d , si vicissim spectemus x ut functionem ipsius y . et evolvamus valorem incrementi h per seriem secundum adseendentes potestates ipsius k , incidimus in eundem casum , quem supra (21) tractavim us, ubi nullo modo series imaginaria fieri potest. Itaque arcus curv ae semper e x s ta t, et punctum aut longius aut propius ab axe orrdinatarum abest, quam ea puncta curvae, quae ei ab utraque partee proxim a sunt, ita u t ejus abscissa aut maximum aut minimum sitt, p ro u t coefficientes aut imaginarii au t reales sunt.
J a m , quae sit proprietas punicti, si adhuc unus vel plures coef- ficientium differentialium partiadium ipsius j , qui prim um proxime
d t u d 3u
se q u u n tu r, ^ 7 > etc’ > nihilo aequales sin t, facile est in
v e n ire , exhibendis exam inandisque seriebus , atque comparandis singulis casibus cum casibus analogis, supra (21 : a , b , c) trac
tatis. Sic . d 2u
( a ) . S i - — — o , b est valtjr triplex ipsius y in aequatione f ( x , y ) = o (15), et series lit ( i | )
i ni n
k = Mh~ 4- N/ri 4- V/i* 4- etc.,
ubi k unicum valorem realem accipit, si h affirmative ca p ia tu r,
( 20 )
unicum etiam , opposito signo affectum , si negative. Quare punc
tum est simplicis inflexionis, et ejus abscissa nec maximum nec minimum. Iangens vero habet ibi cum curva contactum secundi ordinis.
,,, . d 7u d 3 u
[o). Si et - j - j — o et - — o , A est valor quadruplex ipsius / , et series fit
L — n
k — MA4 -f- NA4 PA^-(- e t c . ,
ubi k duos valores reales obtinet, A affirmative su m to , si coeffi- cientes reales sint, at A negative sum to, si coefficientes imaginarii sint. Est punctum duplicis inflexionis, et ejus abscissa est vel maxi
mum vel m inim um , prout coefficientes vel imaginarii vel reales sunt. Tangens vero habet cum curva contactum tertii ordinis.
, v c . d - a d 3 u d*u , , .
(■c). Si et - = o et y = o et j- = o , Aest valor quintuplex ipsius y , et series fit
^ m n
k — MA5 -f- NA5 PA^ -f- e tc .,
quae unicum valorem realem obtinet, sive A positive, sive nega
tive sum atur, quo fit, ut abscissa nec maximum sit nec m inim um . Punctum vero est triplicis inflexionis , et tangens habet contactum quarti ordinis cum curva; et sic porro.
Itaque, quoties — unicum valorem eumque infinite magnum obdy
tinet , aut solummodopuncti abscissa est maximum v e l minim um , si solus coefficienspartialis — nihilo ecqualis sit, A. e. si communis denominator exponentium fractorum sit 2, aut est punctum in
flexionis, siplures coefficientes partiales continui evanescant, h, c.
si communis denominator sit major (piam 2, in quo casu abscissa simul maximi mini/nive proprietate gaudet, quoties inflexio est pa ri multiplicitate, A. e. quoties denominator est numerus par-.
Si , PU N C TI CUIUSDAM COORDINATIS a ET A PRO X ET y S U B S T IT U T IS,
TE R M IN I A QUATIONIS (ö) , NON VERO AQUATIONIS (4), PRO SE Q U ISQ U E N IH IL O AQUALES REDDANTUR , PR IM U S COEFFICIENTS D IFF E R E N T IA L IS
dy
dxDUOS O B TIN ET VALORF.S , ET PUNCTUM EST DUPLEX.
Quoniam in hoc casu — in aequatione (5) evadit = £ atque adeody indeterm inatus, ad proxim e subsequentem aequationem ( 4 ) pro
grediendum e s t, ut inde valor determinatus eru a tu r. Et cum haec aequatio, quae ob —■ — o abit in
dy d 2 u ( d y d y 2 \d x
d 2 u dy d1 u _ d yd x dx d x 2
(2 4 )
sit secundi gradus , -y- obtinebit ibi duo valores. Hi vero valorcs dx
vel reales et inaequales, vel reales et aequales, vel imaginarii esse possunt.
(ly v
(i°.) Si ambo valorcs prim i coefficientis differentia lis —— reales (2 o ) et in ce quales sint, am bo tangentes curves diverse in axem abscissarum inclinatce su n t, et ambo rami, semper exstantes, de
cussant se invicem in puncto).
Cum hic tum ~ — o , tuim = o , b et a sunt valores dupli-
dy dx
ces ipsarum y et x in aequatione f [ x , y ) = ° , quare A- et h binos valores obtinere debent. -Quod si ex sequentibus aequationibus ( B ) .. .(7) , etc., prim o te rm in o , ob — = o , carentibus, va-
. ,. d * y X lores sequentium coefficientium differentiahum r > r7r ~ ’ etC’ ’ quaerantur, reperim us ex aequatione (S) pro d 2y duos diversos va-
lores, ex duobus valoribus ipsius j , altero post alterumdy
substituto, provenientes; itidemque cx aequatione (0) pro d ' y dx
. -T .T
f 2?- )
duos diversos valöres, prout uni vel alteri valorum , sibi invicem respondentium , pro ~ et su b stitu u n tu r; et sic deinceps.
Nullus vero coeffieiens nec plures quam duo valores obtinebit, cum omnes ex aequationibus primi gradus determ in en tu r, nec infinite
c dy
magnus fiet, - - valores finitos obtinente , cum omnium expressio
num denominatores contineantur hac functione — ^ 4- d ' u d y 2 d x dydx per factorem numericum m ultiplicata, q u * quidem fu n ctio , utpote piim a derivata aequationis (24), nihilo aequalis esse n e q u it, exsi
stentibus radicibus aequationis inaequalibus. Itaque invenimus v a
lores ipsius X per has series expressos
£ ( ^ BA2 -f- Ch3 + etc.
( A'h 4- B 'h1 -f- C'A^-f-etc.,
quarum utraque suum peculiarem ramum designat; et quoniam in utralibet eaedem aberrationes a formula generali, quae in se rie , r a mum simplicem determ inante, inessepossunt, utervis ram orum in puncto duplici quavis singularitate, quam talibus aberrationibus icspondere supra (2 0, 2 1, 2 2) dem onstravim us, affectus esse p o test. S ic, si A = o , quod evenit, si term inus ultim us aequatio-
cl2 u
n 'S n ^1^ ° aequalis sit, adeoque a valor trip le x , tangens alterius rami est parallela axi abscissarum ; si B = o , hic ramus h a
bet inflexionem ; etsi A ^r oo , quod evenit, si coefliciens primi ter-
• • . . . . d 2u
mini aequationis(24) —— nihilo aequalis s it, adeoque b valor tri- a y -
plex, fit
i m n
^ ^ j M/f2 + NA2 -f- P /i2 -h etc.
| A!h 4- B'A2 + C'h 3 4- etc.,
et tangens alterius rami est normalis ad axem abscissarum. Si
A ~ o et A' = oo , fit
t B/t' -h C/i3 + etc.
/- = J i m
I M/c + NÄ* + e tc .,
et tangens unius ram i est parallela axi abscissarum , alterius ad eum normalis.
Itaque, quoties ^ duos v a lores reales eosque inaequales obtinet, duo rami curvce decussant se invicem in puncto, quorum uterlibet, serie a formula generali aberrante, quavis singularitate, quam supra (2 0 , 21, 2 2 ) in simplici ramo messe posse ostendimus, a f
fectus esse potest. ^
(20). Si ambo valores prim i coefficicntis differentialis reales (2 6 ) et aequales sint, ambo tangentes curvce habent eandem inclinatio
nem in axem abscissarum, h. e. coeunt in unam, et ambo rami curvce, si exstent, contingunt se invicem.
Cum radices aequationis (2 4 ) aequales s in t, prim a ejus derivata est necessario nihilo aequalis. H abem us ergo in hoc casu
d'u dy ^ d'u (2 7 )
dy'1 clx 1 d y d x
Radix vero duplex vel finita, vel nihilo aequalis, vel infinite magna esse potest.
(a). Si valor duplex ipsius finitus sit, tangens communis ra- ( 2 8 )
morum inclinata est in axem abscissarum.
. ■ d^u , .
Et quoniam tum nec coefliciens prim i ternum , nec ultim us term inus — in aequatione (24) nihilo aequalis est, b et a non sunt
d x 2
nisi valores duplices ipsarum y et x , quare / et h binos tantum valores obtinere oportet. Jani v ero, si valorem secundi coefficientis differentialis ex aequatione (5) quaeramus, invenimus pro eo ex
pressionem, cujus denom inator ob conditionem (27) nullus est, num erator autem vel finitus, vel nullus esse potest.
( 24 )
Si num erator finitus sit, fit — co , q u o sequitur, ut series inde a secundo termino secundum fractas potestates incrementi h progrediatur, et quidem ita , ut communis denom inator sit 2, ex
ponens vero secundi termini inter 1 et 2 com prehendatur ( I I I Itaque erit
3 m
A — AA -(- M/i" -f- NA1 -f- etc.
Haec series duos valores reales in d u it, sumto A positive, si 31 et omnes sequentes coefficientesreales sint, sumto vero A negative, si 31 et omnes sequentes coefficientes term inorum , exponentibus fractis affectorum , imaginarii sint. Itaque ambo ram i in hoc puncto p ra- cisi sunt > lta ut ab altera parte puncti exstent, ab altera nulli sint.
In qua vero parte exstant, ibi habent contactum prim i ordinis cum inter se, tum cum tangente, quae eos media interjacet. Tale punc
tum vocatur cuspis et quidem primee speciei.
Sin quoque num erator nihilo aequalis s i t , evadit in a q u a tione (o) = et valor ejus determinatus quaerendus est ex a q u a tione (G), ubi term ini, qui et ^ c o n t i n e n t , desu n t, vero ad secundam potestatem evectus adest. Hic igitur cocfficiens ibi duos valores obtinebit, qui vel reales et inaequales, vel reales et aequales, vel imaginarii esse possunt. Nullus vero valor infinite magnus fieri potest, cum adsum tum sit, qui, trip licatu s,
toefficiens est summae potestatis ipsius - j ~ in hac aequatione, fi
nitum valorem retinere.
Si ambo valores reales et inaequales s in t, etiam duo valores d x 3
reales et inaequales obtinebit, substitutis his valoribus ipsius , altero post alteru m , in aequatione (7). Sed nec plures quam duo valores obtinebit, cum haec aequatio n o n n isi primam ejus potes
tatem contineat, nec ullus valor infinite magnus fieri p o te st,
( »5 )
cum denom inator sit prima derivata ejus aequationis, ex qua d 'y
determ inatur, factore numerico neglecto, quae quidem derivata Cp y
nihilo aequalis esse n eq u it, duos valores inaequales obtinente.
Et cum eadem sit ratio omnium sequentium coefficicntium, q u i, substitutis loco antecedentium valoribus jam inventis, ex sequen
tibus aequationibus determ inantur, erit
( B/iJ -f- C/r' + etc.
k — Ah —f- «
\ B'A* + C /i3 -b etc.
Quibus seriebus duo integri rami curvae designantur, qui habent contactum prim i ordinis cum inter se, tum cum tangente, cujus ad diversas partes ja ce n t, quoties B et B opposita signa habent, ab eadem vero p a rte , quoties B et B r idem signum sortiuntur. De cetero, si nonnulli term ini utriusvis seriei nulli sint, ram us, qui p er eam determ inatur, ea singularitate, quae ex supra (20) exposi
tis huic casui respondet, affectus est.
Si ambo valores ipsius reales et aequales sint, denominator expressionis pro tertio coefficicnte differentiali, ex aequatione (7) deductae, nihilo aequalis fit, ideoque evadit valor hujus coefficien- tis aut — cc , aut = ~, p ro u t num erator aut linitus, aut nihilo aequalis est.
cl y
Si —— = co , erit (1 •)
(Lv* v
.S
k = Ah -f- Bh 2 H- Mh2 + etc.
Quae quidem forma seriei indicat, ramos ah altera tantum parte puncti exstare, ibique contactum secundi ordinis inter se, primi vero ordinis cum tangente h ab e re, quae ab eadem parte utriusque sita sit. Tale punctum vocatur cuspis secunda: speciei. S ili — o , ram i habent contactum secundi ordinis cum inter se, tum cum tangente, et punctum est cuspis primae speciei, quoniam tangens tum inter am bo ramos jacet.
