Sida 1 av 12
KOORDINATVEKTORER.
BASBYTESMATRIS
Koordinater för en vektor i en given bas .
Om B=(𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ) är en bas för vektorrummet ( eller underrummet) V då gäller följande: Varje vektor w i rummet V kan skrivas på exakt ett sätt som en linjär kombination av 𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, … , 𝒗𝒗𝒏𝒏
𝒘𝒘 = 𝑥𝑥1𝒗𝒗𝟏𝟏+ 𝑥𝑥2 𝒗𝒗𝟐𝟐+ ⋯ +𝑥𝑥𝑛𝑛𝒗𝒗𝒏𝒏
Vi kan också säga att hela vektorrummet V spänns upp av basvektorerna, som vi skriver V = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒏𝒏(𝒗𝒗𝟏𝟏, 𝒗𝒗𝟐𝟐, . . . , 𝒗𝒗𝒏𝒏 ).
Tal 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 kallas 𝒘𝒘:s koordinater i basen B,
och
xn
x x
2 1
kallas koordinatvektor i basen B.
Vi skriver
[ ]
=
n B
x x x
w
2 1
Egenskaper för koordinatvektorer:
Följande egenskaper följer direkt från definitionen av en koordinatvektor:
1. [
u+v] [ ] [ ]
B = uB + v B 2.[ ]
λv B =λ[ ]
v B3.
[
λ1v1++λnvn]
B =λ1[v1]B ++λn[vn]BExempel 1. Låt V vara rummet R3 med standardbasen S= (i, j, k)
. Bestäm koordinater för vektorn w där
a) w =2i−3j +5k , b) w = , c) i w = j c) w =k
Svar: a)
[ ]
−
= 5
3 2
w S , b)
[ ]
= 0 0 1
w S c)
[ ]
= 0 1 0
w S , d)
[ ]
= 1 0 0 w S .
Anmärkning: När vi har koordinater i standardbasen brukar vi identifiera vektor w
och tillhörande koordinatvektor
[ ]
wS och vi skriver på enkelt sätt, t exSida 2 av 12
−
= 5
3 2
w ,
men, om vi har två ( eller flera) baser i samma uppgift måste vi ange (beteckna) vilken bas tillhör en given koordinatvektor.
Exempel 2. Låt V=span(
0 0 2 1 , 0 1 0 1
) , och
= 0 2 2 3 a .
i) Visa att B=(
0 1 0 1
,
0 0 2 1
) är en bas till underrummet V.
ii) Visa att vektorn a ligger i underrummet V och bestäm koordinatvektorn för a i den nya basen.
Lösning:
i) Vektorerna
= 0 1 0 1
v1 och
= 0 0 2 1
v2 är linjärt oberoende eftersom ekvationen
=
+
0 0 0 0
0 0 2 1
0 1 0 1
y
x har endast den triviala lösningen. Därmed bildar v1 och v2en bas till
spannet V=span(v1, v2).
ii) Vektorn a ligger i spannet V=span(v1, v2) om och endast om a är en linjär kombination av v1och v2dvs om följande ekvation x1v1+x2v2 =a har (minst) en lösning.
Från
=
+
0 2 2 3
0 0 2 1
0 1 0 1
2
1 x
x har vi
0 0
2 2 2
3
1 2
2 1
=
=
=
= +
x x
x x
som gör x1=2 och x2 =1
Exempel 3. Låt
= 2
w 4 vara en vektor i rummet R2 given i standardbasen S= ( ji,) .
Vi inför en ny bas B= (v 1,v2) med
= 1 1
v1 och
= 0 2 v2 .
Sida 3 av 12
a) Bestäm koordinatvektorn för w i den nya basen (v 1,v2). b) Bestäm koordinatvektorn för v1 i den nya basen.
c) Bestäm koordinatvektorn för v2 i den nya basen.
Anmärkning: Eftersom vi har två baser uppgiften, standard basen S och en ny bas B, kunde vi skriva koordinatvektorerna på ett mer precist sätt
[ ]
= 2 4
w S ,
[ ]
= 1 1
v1 S ,
[ ]
= 0 2 v2 S ,
men, som sagt, när det handlar om standard basen brukar vi undvika att beteckna basen.
Lösning:
a) Vi löser ekvationen
w v x v
x11+ 2 2 = dvs
=
+
2 4 0 2 1
1
2
1
x
x
= +
=
⇒ +
2 0 1
4 2 1
2 1
2 1
x x
x
x sys(1)
Metod 1. Vi kan lösa system med t ex Gaussmetoden. vi får koordinater x1 =2 och x2 =1. Därmed har vi koordinatvektorn i basen B
[ ]
= 1 2 wB .
b) Vektorn v1 har koordinater 1 och 0 i basen B= (v 1,v2) eftersom
2 1
1 1v 0v
v = + alltså
[ ]
= 0 1 v1 B .
c) Vektorn v2 har koordinater 0 och 1 i basen B= (v 1,v2) eftersom
2 1
2 0v 1v
v = + alltså
[ ]
= 1 0 v2 B .
Vi visar en metod till (metod 2) för bestämning av den nya koordinatvektorn. Det känns onödigt att komplicera så enkelt problem, men metoden används i många olika svårare problem med basbyte.
Metod 2. Vi kan skriva systemet (sys1) på matrisformen och använda inversmatris för att bestämma den nya koordinatvektorn.
Från (sys 2)
Sida 4 av 12
=
2 4 0
1 2 1
2 1
x
x (*)
Vi betecknar systemets koefficient matris med P=
0 1
2
1 .
Från
=
2 4 0
1 2 1
2 1
x
x (*)
har vi ( med hjälp av inversmatrisen)
[ ]
w B =P−1[ ]
w U =
=
−
− −
1 2 2 4 1 1
2 0 2
1 .
Alltså
[ ]
= 1 2 wB . Svar a)
[ ]
= 1 2
wB . b)
[ ]
=
−
− −
= 0
1 1 1 1 1
2 0 2
1
v1 B ,
[ ]
=
−
− −
= 1
0 0 2 1 1
2 0 2
1 v2 B
Matrisen P=
0 1
2
1 i ovanstående exempel kallas BASBYTESMATRIS.
Lägg märke till att kolonner i basbytesmatrisen är koordinatvektorer (i standardbasen ) för de nya basvektorer, kolonn1 är
1
1 och kolonn2 är
0 2 .
I ovanstående exempel har vi
=
2 4
2 1
x
P x eller P
[ ] [ ]
w =B w SMed andra ord vi multiplicerar koordinatvektorn i den nya basen B och får koordinatvektorn i den gamla basen S.
Därför kallas S BASBYTESMATRISEN från B till S och betecknas (i många böcker men inte i alla)
P
B→S =P
=
0 1
2 1
BASBYTESMATRIS.
Låt U= (a1,a2,,an)vara en bas i ett vektorrum ( eller underrum) V.
Låt B = (b1,b2, ,bn)
vara en annan bas i samma rum.
Sida 5 av 12 Anta att en vektor whar koordinatvektorn
[ ]
=
n U
x x
w 1 i basen U och att samma vektor
har koordinatvektorn
[ ]
=
n B
y y
w 1 i basen B.
Vilket samband råder då mellan
[ ]
wU och[ ]
wB? Vi har[ ]
wU[
yb y b ynbn]
U
= 11+ 2 2+ + = (enligt egenskaper för koordinatvektorer)
U n n
U y b y b
b
y1[ 1] 2[ 2] [ ]
+ + +
= = (som kan skrivas på matrisform)
] ] [ ] [ ]
[[b1 U b2 U bn U
=
yn
y
1
=
] ] [ ] [ ]
[[b1 U b2 U bn U
=
[ ]
w BAlltså
[ ]
wU=P[ ]
wB eller =
xn
x
1
P
yn
y
1
,
där matrisen P [[b1]U[b2]U [bn]U]
= ,
är ett samband mellan koordinater för samma vektor wi två olika baser U och B.
Matrisen P [[b1]U[b2]U [bn]U]
= kallas basbytesmatrisen från B-koordinater till U- koordinater (eller kortare basbytesmatrisen från B till U) . Man kan visa att en basbytesmatris är alltid INVERTERBAR.
Från ovanstående följer att vi bestämmer en basbytesmatris från basen B till basen U på följande sätt:
Först bestämmer vi koordinatvektorer för b b bn
1, 2, , och därefter skriver dem som kolonner i en matris P. Matrisen P är då basbytesmatris från B till U.
Då gäller
[ ] w =
UP [ ] w
B (*)(
P
omvandlar B-koordinate till U-koordinater som vi kan kortare betecknaP
B→U =P
)Från (*= har vi
[ ] w
B= P
−1[ ] w
U( dvs
P
-1 omvandlar U-koordinate till B-koordinater, alltsåP
U→B =P
-1) .
Därför
P
U→B= (
P
B→U)
-1 .Sida 6 av 12
Om vi t ex har ett tredimensionellt vektorrum/underrum V och med två baser U=
) , ,
(a1 a2 a3 och B= (b1,b2,b3)
, för att bestämma basbytes matris P=PB→U , uttrycker vi
3 2 1,b ,b b
i basen U= (a1,a2,a3). Låt
3 3 2 2 1 1
1 p a p a p a
b
+ +
=
3 3 2 2 1 1
2 q a q a q a
b
+ +
= (***)
3 3 2 2 1 1
3 ra ra ra
b
+ +
=
då är koordinatvektorerna
[ ]
b1 U =
3 2 1
p p p
,
[ ]
b2 U =
3 2 1
q q q
,
[ ]
b3 U =
3 2 1
r r r
och P=
3 2 1
3 2 1
3 2 1
r r r
q q q
p p p
====================================================
Exempel 4. Låt U= (a 1,a2) och B= (b1,b2)
vara två baser i ett 2-dimensionel vektorrum. Låt vidare
2 1
1 3a 2a
b
+
=
2 1
2 a a
b +
=
a) Bestäm basbytesmatris, från B till U b) Bestäm basbytesmatris, från U till B c) Bestäm
[ ]
wU om[ ]
= − 1 1 w B
d) Bestäm
[ ]
v B om[ ]
= 5 1 vU
Lösning:
Koordinatvektorn för b1
( i U basen) är
2
3 , samt koordinatvektorn för b2 är
1 1
Därmed är P=
1 2
1
3 basbytesmatris, från B till U ( som vi betecknar
S
B→U )Sida 7 av 12 Svar a)
P
B→U =
1 2
1 3 .
b)
P
U→B =P
-1=
−
= −
−
−
3 2
1 1 3
2 1 1 1 1
c)
[ ]
wU=[ ]
w =U P[ ]
w B=
=
−
1 2 1 1 1 2
1
3
d)
[ ]
w B =P−1[ ]
w U=
=−
−
−
13 4 5
1 3 2
1 1
Exempel 5. Låt V vara underrummet till R3 som består av alla vektorer
3 2 1
x x x
sådana att
koordinater satisfierar ekvationen 0
2 3
2
1 −x − x =
x
a) Visa att V= span( ) 1 0 2 , 0 1 1
.
och att U= (a 1,a2) där
= 0 1 1 a1 ,
= 1 0 2
a2 bildar en bas i V.
b) Visa att B= (b1,b2) där
−
= 1 2 0 b1
,
= 1 1 3 b2
är också en bas i V.
c) Bestäm basbytesmatrisen från B till U.
Lösning:
a) Vi undersöker vilka vektorer
3 2 1
x x x
satisfierar ekvationen x1−x2 −2x3 =0.
3 2 1 3
2
1 x 2x 0 x x 2x
x − − = ⇒ = +
Alltså en ledande variabeln x1, och två fria x =2 s, x =3 t. Därmed x1 =s+2t och
underrummet V består av oändligt många vektorer av följande typ:
+
=
t s
t s
x x
x 2
3 2 1
=
+
=
+
1 0 2
0 1 1 0
2
0
t s t
t s s
, där s, t varierar fritt.
Sida 8 av 12 Med andra ord
V=span(
1 0 2 , 0 1 1
) , ( och därmed ett underrum med dimensionen 2)
Eftersom
= 0 1 1 a1 ,
= 1 0 2
a2 är oberoende ( kontrollera själv) vektorer som spänner upp V , bildar de en bas för V.
b) Vektorerna
−
= 1 2 0 b1
och
= 1 1 3 b2
ligger också i V eftersom deras koordinater
satisfierar ekvationen. Dessutom är b1, b2
linjärt oberoende ( kontrollera själv).
Vi har 2 oberoende vektorer i ett 2- dimensionell rum V; därför bildar vektorerna en bas i V.
c) För att bestämma basbytesmatrisen från B till U beräknar vi koordinat vektorer för
2 1, b b
( i basen U) . Först löser vi ekvationen
2 1
1 xa ya
b
+
= dvs
+
=
− 1
0 2
0 1 1
1 2 0
y x
och får x= 2 och y = –1.
Vi har fått koordinatvektorn för b1 ,
[ ]
= − 1 2 b1 U
, ( detta är kolonn1 i matrisen P).
På samma sätt bestämmer vi
[ ]
= 1 1 b2 U
, ( detta är kolonn2 i matrisen P).
Därmed
P=
−1 1 1 2
Svar c)
P
B→U =
−1 1 1 2
Sida 9 av 12 Exempel 6.
Låt U= (a1,a2,a3) och B= (b1,b2,b3)
vara två baser i ett 3-dim vektorrum V.
Bestäm basbytesmatriserna a) PB→U från B till U och b) PU→B från U till B,
om vi har följande relationer mellan basvektorerna
3 1
1 a a
b +
=
3 2
1 b 2b
a = + (sys 1)
3 2 1
3 a a a
b
+ +
= Lösning.
a) För att bestämma basbytesmatriserna PB→U från B till U löser vi ut vektorerna
3 2 1,b ,b b
ur systemet (sys 1) och får:
3 1
1 a a
b +
=
3 2 1
2 a 2a 2a
b
−
−
−
=
3 2 1
3 a a a
b
+ +
=
Därmed PB→U =
−
−
−
1 2 1
1 2 0
1 1 1
b) För att bestämma basbytesmatriserna PU→B från U till B, löser vi ut vektorerna
3 2 1,a ,a
a ur systemet (sys 1) och får:
3 2
1 b 2b
a = +
3 1
2 b b
a =− +
3 2 1
3 b b 2b
a = − −
Därmed PU→B =
−
−
−
2 1 2
1 0 1
1 1 0
( Alternativt kunde vi beräkna PU→B = (PB→U)-1 , men mer beräkning krävs för sätt.)
Basbyte används oftast för att få en enklare ekvation för en kurva i xy-planet eller en yta i 3D-rummet, speciellt vid undersökning av andragradskurvor och ytor.
Sida 10 av 12
Exempel 6. En kurva har i xy-planet (med standardbasen) har ekvationen 6
2 2+xy+ y =
x .
a) Bestäm kurvans ekvation i det nya koordinatsystemet med basen som bildas av vektorerna
[ ]
= 1 1 b1
,
[ ]
=−
1 1 b2
. b) Rita kurvan.
Lösning:
Basbytesmatrisen från den nya basen B=(b1 ,b2
) till standardbasen är PB→S =P=
−
1 1
1
1 .
Beteckna de nya koordinater med u och v. Sambandet mellan gamla och nya koordinater
är
=
v P u y
x dvs
−
=
v u y
x
1 1
1
1 eller
. v u y
v u x
+
=
−
= (*)
Vi substituerar (*) i kurvans ekvation x2+xy+ y2 =6och får 6
) ( ) )(
( )
(u−v 2 + u−v u+v + u+v 2 = ( förenkla) 6
3u2+v2 =
som är en ellips i uv-koordinatsystemet.
Vi substituerar v=0i ekvationen 3u2 +v2 =6 och får skärningspunkter med u-axeln.
Elipsen skär u-axeln i punkterna u=± 2 ±≈ 1.41, v=0
och v-axeln i punkterna u=0, v=± 6 ±≈ 2.45 (substituera u=0i 3u2+v2 =6) Notera att längdenhet i det nya uv-systemet bestäms av nya basvektorerna
[ ]
= 1 1 b1
,
[ ]
=−
1 1 b2
.
Grafen till x2+xy+ y2 =6 i xy-planet dvs till 3u2+v2 =6i uv-planet:
Exempel 7. En kurva har i xy-planet (med standardbasen) har ekvationen 2
2 2
2 + xy+ y +x−y =−
x .
Sida 11 av 12
a) Bestäm kurvans ekvation i det nya koordinatsystemet med basen som bildas av vektorerna
[ ]
= 1 1 b1
,
[ ]
=−
1 1 b2
. b) Rita kurvan.
Svar:
a) Substitutionen
−
=
v u y
x
1 1
1
1 eller y u v. v u x
+
=
−
= (*) leder till ekvationen
2 2
4u2− v=− eller v=2u2 +1
b) Grafen till x2+2xy+y2+x− y=−2i xy-planet dvs till v=2u2+1i uv-planet:
Tentamen 9 april 2021, Uppgift 1
Sida 12 av 12
