Egmont Porten Höst 2013/2014 Mittuniversitetet
DMA
Lösning till övning 4 Flervariabelanalys
1. a) T som y-enkelt omtåde:
0 ≤ x ≤ 3 1 − x
3 ≤ y ≤ 2 − 2x 3
T som x-enkelt omtåde:
0 ≤ y ≤ 2
g(y) ≤ x ≤ 3 − 3y 2 med g(y) =
3 − 3y om 0 ≤ y ≤ 1 0 om 1 ≤ y ≤ 2
y
x (3,0)
y=2-2x/3
y=1-x/3 (0,2)
(0,1) T
b) Z Z
T
xy dA = Z 3
0
dx Z 2−2x3
1−
x3xy dy
= Z 3
0
x dx Z 2−2x3
1−
x3y dy
= Z 3
0
x y 2 2
y=2−2x3
y=1−
x3
dx
= 1 2
Z 3
0
x(3 − 2x + x 2 3 )dx
= 1 2
3x 2 2 − 2x 3
3 + x 4 12
x=3 x=0
= 9
8
2. I polära koordinater beskrivs S genom
2 ≤ r ≤ 3 π
2 ≤ θ ≤ π
y
x S
(-3,0) (-2,0)
(0,3) (0,2)
Genom att använda x 2 + y 2 = r 2 , dA = r dr dθ får vi Z Z
S
dA x 2 + y 2 =
Z 3 2
dr r
Z π
π 2
dθ = π 2 ln 3
2 .
3. Vi gör variabelbytet x = au, y = bv
=⇒ ∂(x, y)
∂(u, v) = det
a 0 0 b
= ab
=⇒ dx dy = ab du dv.
Eftersom x a
2
+ y b
2
= u 2 + v 2 beskrivs E med avseende på koordinaterna u, v genom u 2 + v 2 ≤ 1.
=⇒
Z Z
E
y 2 dx dy = ab Z Z
u
2+v
2≤1
(bv) 2 du dv = ab 3 Z Z
u
2+v
2≤1
v 2 du dv.
Vi inför polära koordinater u = r cos(θ), v = r sin(θ). Disken u 2 + v 2 ≤ 1 beskrivs genom 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π. Observera du dv = r dr dθ.
=⇒
Z Z
u
2+v
2≤1
v 2 du dv = Z 1
0
r 3 dr Z 2π
0
sin 2 (θ) dθ
= r 4 4
r=1 r=0
Z 2π 0
1
2 (1 − cos(2θ))dθ
= 1
8 2π − 1
2 sin(2θ)
θ=2π θ=0
!
= π
4 .
4. I sfäriska koordinater beskrivs S genom 1 ≤ ρ ≤ 2, π 2 ≤ ϕ ≤ π, 3π 2 ≤ θ ≤ 2π
=⇒ Vol(S) =
Z Z Z
S
dx dy dz
= Z 2
1
ρ 2 dρ Z π
π 2
sin(ϕ) dϕ Z 2π
3π 2
