och får 3 Till slut deriverar vi

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Förändringshastighet

1 av 3

FÖRÄNDRINGSHASTIGHET ( Tillämpningar av derivata)

Uppgift 1. En rak cirkulär kon med toppvinkeln 90^o placeras med spetsen vänd nedåt.

Konen fylls med vatten med hastigheten 5 dm³/min.

Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är h=2 dm ? Lösning:

Vi har 5 ; vi söker vid h=2.

Vattens volym är

3 där både r och h förändras med tiden t .

Toppvinkeln = 90^o medför att i konen.

Eftersom vi söker eliminerar vi , d v s substituerar i (*) och får

3

Till slut deriverar vi (**) med avseende på t och använder kedjeregeln ( Kedjeregeln: ^′ ^′ · ^′ eller · ].

Vi substituerar 5 och h=2 i (***) och får

5 4 5

4 Svar: dm/min

(2)

2 av 3

Uppgift 2. En rät (rak) cirkulär kon placeras med spetsen vänd nedåt.

Basytans radie är R=6m. Höjden är H=8m.

Konen fylls med vatten med hastigheten 0.1 m³/min.

Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är h=4 m ? Lösning:

Vi har 0.1 ; vi söker vid h=4.

Vattens volym är

3 där både r och h förändras med tiden t .

Från bilden ( likformiga trianglar) får vi följande samband mellan h och r

6

8 3

4 . Eftersom vi söker eliminerar vi , d v s substituerar ³

4 i (*), och får 3

4

3 3

16 Till slut deriverar vi (**) med avseende på t :

[Kedjeregeln: ^′ ^′ · ^′ eller · ].

9

16 Vi substituerar 0.1 och h=4 i (***) och får

1 10

9 · 16

16 1

90 Svar: Vattenytan stiger med hastigheten m/min

Uppgift 3. En kropp rör sig i planet längs kurvan ( hyperbel)

(3)

3 av 3

8, längdenhet är meter Kroppens hastighet i x-led i punkten 3, 1 är 2 / a) Bestäm kroppens hastighet i y-led i samma punkt.

b) Beräkna kroppens fart

c) Bestäm kurvans lutning (= tangentens lutning) i punkten 3, 1 . Lösning:

a) Vi har 2 i punkten 3, 1 . Vi söker i samma punkt.

Lägg märke till att både

och

är funktioner av tiden . Vi deriverar ekvationen

8 på och får

2 · 2 · 0

I punkten P gäller 3, 1 och 2, som vi substituerar i (*) och får 2 · 3 · 2 2 · 1 · 0 6

Svar a) Kroppens hastighet i y-led i punkten P är 6 m

b) Kroppens fart [= längden av hastighets vektorn , ]

är 2 6 √40 2√10

Svar b) 2√10 m/s

c) Vi deriverar implicit med avseende på x ekvationen

8 och får

2 2 · 0 3

1 3 Svar c) Kurvans lutning (= tangentens lutning) i punkten är 3.