Om öfverensstämmelse mellan form och innehåll v i d räkne-

Om öfverensstämmelse mellan form och innehåll v i d räkne-

undervisningen.

Af L . C. Lindblom.

M e d större eller m i n d r e skäl klagas mång- enstädes öfver svårigheten a t t lära b a r n räkna. D e t t y c k e s , som o m b a r n e n i b l a n d h a s t i g t b e g r i p a d e t genomgångna och k u n n a tillämpa d e t . M e n r e d a n nästa l e k t i o n h a f v a m å n g a b o r t g l ö m t d e t förra gången inlärda.

D e t t a b e r o r på flere omständigheter. D e t b e r o r o f t a på b a r n e t s k l e n a fattningsgåfva och m i n n e . D å så är, h a r läraren i n g e n s k u l d t i l l dåligt r e s u l t a t , o m h a n g j o r t så m y c k e t h a n k a n o c h b ö r u n d e r de t i m m a r , s o m äro anslagna t i l l räkneivndervisningen.

M e n s t u n d o m b e r o r d e t på f e l i sjelfva u n - d e r v i s n i n g e n .

E t t g a n s k a v a n l i g t f e l är, a t t läraren för h a s t i g t l e m n a r e t t område, i n n a n b a r n e n ännu äro förtrogna d e r m e d . Särskildt gäller d e t o m d e n första u n d e r v i s n i n g e n . O m m a n uppehölle sig tillräckligt länge m e d de små talens b e h a n d l i n g g e n o m a t t låta b a r n e n lösa en m ä n g d

olikartade

e x e m p e l i n o m områdena 1—9, 1—99 och 1—999, så v u n - nes d e r i g e n o m en säkerhet i dessa tals be-

h a n d l i n g , som sedan s k u l l e l e m n a m å n g d u b - bel ersättning för d e n d e r t i l l använda, sken- b a r t förlorade t i d e n . M e n m a n g i f v e r sig då ofta ej t i d a t t efter h v a r a n d r a införa o c h inskärpa u t t r y c k , s o m sedan måste före- k o m m a . S o m l i g a a f dessa u t t r y c k anses för svåra, e h u r u svårigheten e g e n t l i g e n b e r o r derpå, a t t lär. försummar l i k a f l i t i g t a n v ä n d a dem som a n d r a . M a n försöker väl b r i n g a t i l l k l a r h e t sjelfva förfaringssättet för d e n eller d e n u p p g i f t e n s lösning, i d e t a t t m a n oupphörligt hänvisar t i l l d e t e l l e r d e t a f de f y r a räknesätten o c h frågar:

Hvilket räk- nesätt skall du använda,

eller

huru skall du göra?

O c h så b l i r följden, a t t b a r n e n ofta v i d lösning a f en p r a k t i s k u p p g i f t fråga:

Skall jag dra' ifrån ? o. s. v. Nog är det

v i g t i g t , a t t de f y r a räknesätten väl inläras.

Nog b ö r m a n v e t a , h v i l k e t räknesätt b ö r användas i d e t eller d e t särskilda f a l l e t . M e n ej är d e t derför n ö d v ä n d i g t a t t eftertänka o c h utsäga n a m n e t p å d e t räkne- sätt, som s k a l l användas. Ofta aflägsnas t a n k e n p å e x e m p l e t s e g e n t l i g a innehåll, o m n a m n e t p å d e t för dess lösning e r f o r d e r l i g a räknesättet s k a l l eftertänkas.

E x . 1. O m 1 a r k p a p p e r k o s t a r 2 ö r e , h u r u m y c k e t k o s t a 8 a r k a f d e n s o r t e n ? O m b a r n e t på någon a f de n y s s n ä m d a frågorna s v a r a r : m u l t i p l i k a t i o n eller m u l t i - p l i c e r a (mångfaldiga), så är s v a r e t r i g t i g t . M e n d e r a f följer i c k e , a t t s v a r e t p å frågan i e x e m p l e t b l i f v e r r i g t i g t . D e t k a n hända, och h ä n d e r oftast, a t t d e t l y d e r : 16, e h u r u d e t s k a l l v a r a : 16 öre. I n g e n d e r a a f de n ä m d a mellanfrågorna är här behöflig; i n g e n - d e r a b ö r derför f ö r e k o m m a . D e t v i g t i g a s t e skälet a t t u t e s l u t a d e m är d o c k det, a t t de l e d a t a n k e n från d e t r i g t i g a s v a r e t p å frå- gan i e x e m p l e t . P å d e n frågan b ö r a bar- n e n läras g i f v a svar o m e d e l b a r t ; o c h d e t s v a r e t är:

8 gånger 2 öre.

Sedan d e t b l i f - v i t sagdt sålunda, utsäges d e t s l u t l i g e n sanno- l i k t rätt, förenkladt t i l l 16 öre.

I nära s a m m a n h a n g h ä r m e d står l i k h e t s - t e c k n e t s o c h räknesättstecknens b e t y d e l s e .

Likhetstecknet förbinder två lika tal (storheter),

d . v . s. d e t t i l l v e n s t e r d e r o m stående s k a l l v a r a alldeles l i k a ( s t o r t ) s o m det t i l l höger d e r o m stående.

E x .

2.

7 + 2 = 9;

» 3 . 9 — 5 = 4 ;

» 4.

4 : 2 = 2;

» 5.

700 — 36 + 4

X

9 = 700;

» 6.

700 + 4

X

9 — 36 : 4 = 727.

7 + 2 = 9 utsäges e n k l a s t : 7 o c h 2 äro t i l l s a m m a n 9. D e t t a u t t r y c k a n g i f v e r , a t t 9 är e t t t a l , s o m består a f d e två t a l e n ( d e l a r n a ) 7 o c h 2 eller är s u m m a n a f d e m . E m e d a n d e t t i l l h ö g e r o m l i k h e t s t e c k n e t stående är e t t t a l , så måste d e t t i l l v e n s t e r d e r o m stående också v a r a e t t t a l . Alltså är 7 -\- 2 ett tal. M e n efter verkstäld ut- räkning k a n d e t t a t a l b å d e s k r i f v a s o c h ut- sägas e n k l a r e . E m e d a n räknesättstecknet + är u t s a t t e m e l l a n t a l e n , k a n m a n säga, a t t 7 + 2 är e n b e t e c k n a d s u m m a .

9 — 5 är e t t beteckningsssätt för t a l e t 4 ; t y 9 — 5 = 4. O c h derför är äfven 9 — 5 ett tal. S a m m a l u n d a är k l a r t , a t t 8 X 2 är ett t a l , s a m t a t t 4 : 2 är ett t a l . Likaså är h v a r t d e r a u t t r y c k e t 700 — 36 + 4 X 9 och 700 + 4

X

9 — 3 6 : 4

ett

t a l .

E n sammanställning a f två (flere) t a l o c h ett (flere) räknesättstecken m e l l a n d e m är således ett t a l .

Räknesättstecknen h a f v a således ej b l o t t den, a f g a m m a l t m e d g i f n a , b e t y d e l s e n a t t angifva, h v a d som s k a l l göras, u t a n ock a t t något är g j o r d t , e h u r u ä n n u m e r återstår att göra, n e m l . u t t r y c k a d e t g j o r d a (svaret) på a n n a t , e n k l a r e sätt. D e n senare b e t y - delsen b ö r betonas m e r a än n u sker. D e n står i s a m m a n h a n g m e d d e n e n k l a lösnin- gen a f ex. 1.

När m a n v i l l , a t t b a r n e n s k o l a u t t r y c k a t a l e t 700 + 4 X 9 — 3 6 : 4 i d e n e n k l a s t e f o r m e n , så är d e r e m o t lämpligast a t t fråga:

H u r u s k a l l d u g ö r a ?

Härpå k a n svaras på flera sätt. a) Först m u l t i p l i c e r a 9 m e d 4, sedan d i v i d e r a 36 m e d 4. M e r a b e h ö f v e r ej u t f o r s k a s ; t y p å d e t öfriga b ö r a b a r n e n v a r a vissa, b ) Först t i l l 700 lägga 4 gånger 9 o c h sedan från sum- m a n b o r t t a g a 36 d e l a d t m e d 4. D e t senare s v a r e t är innehållsrikare än d e t första, m e n också m e r a i n v e c k l a d t o c h derför svårare att finna för b a r n e n . T i l l följd d e r a f b ö r d e t första s v a r e t föredragas. Uträkningen bör n a t u r l i g t v i s u p p s k j u t a s , t i l l dess d e t t a svar afgifvits.

O m m a n v i l l u t b y t a u t t r y c k e t »multipli- cera (mångfaldiga) 9 m e d 4» m o t e t t a n n a t , så är d e t bästa »4-faldiga 9» e l l e r »se efter, h u r u m y c k e t 4 gånger 9 är». D e r e m o t är d e t olämpligt a t t u t b y t a d e t m o t »taga 9 4 gånger» eller »taga 4 gånger 9». Dessa två sista u t t r y c k s k o l a v a r a åskådliga, m e n äro d e t i c k e i d e t t a f a l l . D e h a f v a bibehållits

från åskådningsundervisningen, u n d e r h v i l k e n

d e äro åskådliga. (Forts.)

Om öfverensstämmelse mellan form och innehåll v i d räkne-

undervisningen.

A f L . C. Lindblom.

(Forts.' fr. föreg. n:r.) Från första början a f räkneundervisningen i småskolan användas n e m l i g e n dels u t t r y c k , s o m sedan ofta återkomma, dels sådana s o m äro lämpliga b l o t t för småskolan eller sådana l e k t i o n e r i f o l k s k o l a n , h v a r v i d u n d e r v i s n i n g s - m e d e l få

handteras

a f b a r n e n sjelfva. Några ex. skola förtydliga det.

E x . 7. Läraren säger t i l l b a r n e n : F l y t t a f r a m 6 k u l o r ! E t t b a r n gör det. Derefter säger lär.: F l y t t a f r a m 3 k u l o r t i l l I D e t t a göres. Sedan säger läraren: H v a d h a r d u g j o r t ? S v a r : F l y t t a t f r a m 6 k u l o r o c h 3 k u - lor. S l u t f i g e n frågar läraren: H u r u m y c k e t är (gör) d e t ? Svar: 9 k u l o r .

I stället för a t t fråga: H v a d h a r d u gjort?

k u n n a e t t p a r a n d r a frågor göras, a) H u r u m y c k e t h a r d u f r a m f l y t t a t ? S v a r : 6 k u l o r o c h 3 k u l o r eller 9 k u l o r , b) H u r u m å n g a k u l o r h a r d u f r a m f l y t t a t ? Svar: 6 och 3 eller 9. c) H u r u m y c k e t ( h u r u många k u l o r ) * ) äro a l l a dessa t i l l s a m m a n ? S v a r : 6 k u l o r och 3 k u l o r (6 o c h 3) eller 9 k u l o r (9). F l i - t i g o m v e x l i n g m e l l a n dessa frågor h a r stor betydelse.

M i n d r e god är d e n frågan: H u r u m å n g a k u l o r h a r d u h ä r ? D o c k är d e n användbar u n d e r första året a f b a r n e t s s k o l t i d . M e n flitigt b ö r m a n v e x l a m e l l a n h e n n e och de öfriga här o f v a n angifna.

R e d a n n u b ö r anmärkas, a t t u t t r y c k e t

»Huru m å n g a k u l o r h a r d u framflyttat» ej är bättre än u t t r y c k e t : »Huru många k u l o r äro framflyttade,» e m e d a n lär. g e n o m d e t förra vänder sig u t e s l u t a n d e t i l l ett b a r n (det tillfrågade), m e n ej t i l l de öfriga.

Somliga svar b ö r a här l i k s o m i det föl- j a n d e u t t r y c k a s i fullständig sats, på det a t t b a r n e n m å få inskärpt, h v a d det är, som är så eller så m y c k e t .

E x . 8. Läraren: F l y t t a f r a m 9 k u l o r ! D e t göres.

Lär.: A f s k i l j ( b o r t t a g ) 3 k u l o r derifrån!

Lär.: H u r u m y c k e t ( h u r u m å n g a k u l o r ) återstår? S v a r : 6 k u l o r (6).

I stället för u p p g i f t e n : »Borttag 3 k u l o r derifrån!» k a n gifvas d e n u p p g i f t e n : D e l a

*) Det, som står inom parentes i frågan, mot- svaras af det inom parentes 1 svaret stående.

de 9 k u l o r n a i två d e l a r så, a t t d e n e n a d e l e n innehåller (utgör, är) 3 k u l o r ! D e n följande frågan b l i r d å : H u r u stor ( h u r u många k u l o r ) innehåller d e n a n d r a d e l e n ? S v a r : 6 k u l o r (6).

Jemte de två sista sva- ren bör äfven det svaret förekomma:

Skiinaden mellan 9 kulor (9) och 3 ku-

lor (3). O m m a n v i l l g ö r a d e t u t t r y c k e t t y d l i g a r e för b a r n e n , så k a n d e t s k e i sam- m a n h a n g m e d frågorna: H u r u m y c k e t m e r än 3 k u l o r äro 9 k u l o r ? o c h : H u r u m y c k e t m i n d r e än 9 k u l o r äro 3 k u l o r ? D e '9 k u - l o r n a k u n n a d å f r a m t a g a s p å e n t e n o c h d e 3 k u l o r n a p å e n a n n a n t e n . D e r i g e n o m v i n n e s , a t t b a r n e n se så väl d e 9 k u l o r n a som d e 3 k u l o r n a , o c h t i l l följd d e r a f k o m m a de lätt i h å g a t t utsäga a l l t . O m b a r n e n g e n o m tillräcklig öfning vänja s i g v i d d e t svarets f o r m , så m ö t e r ej större svårighet för d e m a t t utsäga s v a r e t i d e n f o r m e n än i n å g o n a n n a n , v a n l i g f o r m . U t t r y c k e t :

»skiinaden emellan» är e t t särdeles lämp- l i g t u t t r y c k v i d många tillfällen, d å m a n ej h a r t i d a t t låta b a r n e n uträkna e t t p r a k - t i s k t subtraktionsexempel, m e n dock v i l l höra efter, h u r u v i d a barneD k u n n a uträkna det. D e t bör föredragas framför räknesät- tets a n g i f v a n d e , e m e d a n d e t står i omedel- bart s a m b a n d m e d frågan i e x e m p l e t . J e m - för m e d redogörelsen t i l l e x . 11 J e m f ö r äf- v e n m e d a f d e l n i n g e n o m räknesättstecknens

betydelse!

E x . 9. B a r n e n f r a m f l y t t a 3 k u l o r 3 gån- ger. Frågorna o c h s v a r e n k u n n a öfverens- stämma m e d d e m i e x 7. M e n d e r j e m t e bör tagas hänsyn d e r t i l l , a t t l i k a m y c k e t är f r a m f l y t t a d t h v a r j e gång. D e r a f erhålles k o r t a r e u t t r y c k . H u r u många gånger h a r d u ( h a n , h o n ) f r a m f l y t t a t k u l o r (äro k u l o r f r a m f l y t t a d e ) ? Svar 3. H u r u m y c k e t (många k u l o r ) h v a r j e gång ? S v a r : 3 k u l o r (3). H u r u m y c k e t (många k u l o r ) är således f r a m f l y t - t a d t ? e l l e r : H u r u m y c k e t (många k u l o r ) är d e t t a ? S v a r : 3 gånger 3 k u l o r (3 gånger 3).

H u r u m y c k e t ( h v a d ) är 3 gånger 3 k u l o r (3 gånger 3)? S v a r : 9 k u l o r (9).

U t t r y c k e t »gånger m e r » är öfverflödigt och b ö r derför ej användas. D e s s u t o m är d e t o r i g t i g t i d e n b e t y d e l s e d e t v a n l i g e n tages.

D e r e m o t införes o r d e t

mångfald.

E f t e r - som 9 k u l o r innehåller några gånger 3 k u - lor, så säges 9 k u l o r v a r a mångfald a f 3 k u l o r . Närmare bestämdt äro 9 k u l o r 3-fal- den a f 3 k u l o r .

Största svårigheten a t t inlära u t t r y c k e t mångfald b e r o r derpå, a t t läraren s j e l f ofta h a r svårt a t t använda d e t .

Om öfverensstämmelse mellan form och innehåll v i d räkne-

undervisningen.

A f L . C. Lindblom.

(Forts. f r . föreg. n:r.) E x . 10. Läraren låter b a r n e n d e l a de 9 k u l o r n a i l i k a stora delar. F ö r s t b ö r h a n b e s t ä m m a h u r u stor h v a r j e d e l s k a l l v a r a ; derefter b ö r h a n bestämma, h u r u m å n g a de- l a r n e s k o l a v a r a .

A. D e l a d e t t a (9 k u l o r ) så, a t t h v a r j e d e l är 3 k u l o r ! H u r u m å n g a äro d e l a r n a ? D e t t a b e r o r derpå, a t t 3 gånger 3 k u l o r är 9 k u l o r .

D e r e f t e r v e x l a s m e l l a n följande frågor:

l ) H u r u m å n g a gånger k u n n a 3 k u l o r tagas a f 9 k u l o r ? 2) H u r u m å n g a gånger 3 k u l o r äro 9 k u l o r ? 3) H u r u m å n g a gånger 3 k u l o r innehålla 9 k u l o r ? 4) H v i l k e n mångfald a f 3 k u l o r äro 9 k u l o r ?

Frågan: H u r u m å n g a gånger m e r än 3 k u l o r äro 9 k u l o r ? förkastas.

B . D e l a d e t t a (9 k u l o r ) i 3 l i k a stora d e l a r ! H v a d är g j o r d t ? H u r u s t o r är såle- des h v a r j e d e l , o m 9 k u l o r delas i t r e l i k a stora d e l a r ? D å svaras n o g 3 k u l o r . M e n i o m e d e l b a r t s a m m a n h a n g d e r m e d l e m n a s följande u p p l y s n i n g : D å 9 k u l o r delas i t r e

l i k a s t o r a delar, är h v a r j e d e l 1 t r e d j e d e l (tredjedelen) a f 9 k u l o r . D å härefter d e n förra frågan u p p r e p a s , b ö r a 2 svar afgifvas.

D e t ena är:

1 tredjedel

( t r e d j e d e l e n )

af 9 kulor,

d e t a n d r a efter verkstäld uträkning

3 kulor.

D e frågor, m e l l a n h v i l k a m a n i d e n n a u p p g i f t lämpligast b ö r v e x l a , äro följande:

1) H u r u stor är h v a r j e d e l , o m 9 k u l o r de- las i 3 l i k a s t o r a d e l a r ? 2) H u r u s t o r är h v a r j e d e l , då 9 k u l o r

äro delade

i 3 l i k a s t o r a d e l a r ? 3) H u r u m y c k e t ( h v a d ) är 1 t r e d j e d e l a f 9 k u l o r ?

U t o m de frågor, s o m äro framstälda v i d lösning a f ex. 8—10, användas oftast frågor, s o m l i k n a d e n v i d lösningen a f 7:de e x e m p l e t i c k e förordade frågan. Sådana ä r o : O m d u t a g e r b o r t 4 ä p p l e n från 8 äpplen, h u r u m å n g a h a r d u q v a r ? O m d u tager 3 öre 2 gånger, h u r u m y c k e t får d u ? O m d u d e l a r 15 öre så, a t t h v a r j e d e l är 5 öre, h u r u m å n g a d e l a r får d u d å ? O m d u d e l a r 12 k r . i 4 l i k a s t o r a delar, h u r u m y c k e t får d u i h v a r j e d e l ? Dessa frågor förutsätta, a t t b a r n e n s k o l a v a r a sysselsatta ej b l o t t såsom tänkande, u t a n ock såsom h a n d l a n d e personer, d . v . s. a t t de s k o l a sysselsättas m e d sådan åskådningsmateriel som d e få h a n d t e r a u n d e r l e k t i o n e n s gång. M e n i småskolan användas få o l i k a slag a f åskåd- n i n g s m a t e r i e l . O c h d o c k , h u r u m å n g a e x e m p e l m e d o l i k a innehåll b e h ö f v a i c k e g i f v a s ! När dessa frågor ställas i s a m b a n d m e d a f b a r n e n använd åskådningsmateriel, så framträder deras o e g e n t l i g h e t m i n d r e . I a n d r a f a l l är d e n påtaglig. O m också d e n n a anmärkning ej i l i k a h ö g g r a d d r a b b a r d e m a l l a , så äro s o m l i g a för mångordiga. Dessas innehåll k a n utsägas k o r t a r e o c h på s a m m a gång bestämdare. O c h a t t frågorna b l i f v a bestämda, är högst v i g t i g t . V i s s e r l i g e n be- t y d e r d e t ofta i n t e t , o m d e sägas l i t e t f u l l - ständigare, än nödigt är. M e n s t u n d o m ska- d a r d e t t a för v i s s o . A t t här h a n d l a v i s l i g t är ej a l l t i d lätt. O c h då läraren v a n t sig v i d vissa frågoformer u n d e r a n v ä n d a n d e a f åskådningsmateriel, så å t e r k o m m a de g e r n a sedan, i s y n n e r h e t o m h a n är v a n v i d d e m från s i n egen s k o l t i d . I stället för a t t väcka större u p p m ä r k s a m h e t o c h b i d r a g a t i l l l e k t i o n e n s l i f i i g h e t v i l s e l e d a de ofta.

E x . 11. Persson k ö p t e e t t h u s för 362 k r . o c h sålde d e t för 384 k r . H u r u s t o r v a r h a n s v i n s t ?

V i d uträkningen d e r a f gifvas ofta m å n g a

frågor, s å s o m : H u r u s k a l l d u göra för a t t få r e d a på, h u r u m y c k e t h a n v a n n ? O m d u tager 2 från 4, h u r u m y c k e t får d u q v a r ? O m d u tager 6 från 8, h u r u m y c k e t får d u q v a r ? O m d u t a g e r 3 från 3, h u r u m y c k e t får d u q v a r ? H u r u m y c k e t fick d u q v a r a f a l l t s a m m a n ? — A l l a dessa 4 sista frågor äro o r i g t i g a . D e g r u n d a s i g p å de i sam- m a n h a n g m e d åskådningsmaterielen använda frågorna. M e n u n d e r v i s n i n g e n b l i r i c k e i v e r k l i g h e t e n åskådligare här g e n o m dessa m å n g a frågor e l l e r g e n o m användande a f o r d e n d u e l l e r j a g e l l e r d y l i k a .

Några a n d r a från d e n första räkneunder- v i s n i n g e n u p p t a g n a o c h s i g s e d a n bibehål- l a n d e u t t r y c k äro äfven olämpliga. D e v a n - l i g a s t e äro u t t r y c k e n : 1) ger m i g eller g ö r m i g ; 2) gå p å ; 3) gå t i l l ; 4) låna.

Ex. 12. 54 — 36. V i d uträknande a f t a l e t 64—36 f ö r e k o m m a de ofta a l l a f y r a . Förfaringssättet d e r v i d är i allmänhet föl- j a n d e . 6 e n h e t e r från 4 e n h e t e r går i c k e .

Derför går j a g t i l l t i o t a l s r a d e n o c h lånar e t t t i o t a l . — H u r u m å n g a e n h e t e r går d e t på ett t i o t a l ? S v a r : 10. — 4 h a r j a g förut; 10 och 4 g ö r m i g 14; 6 från 14 återstår 8; 3 från 4 återstår 1. R e s t e n b l i r således 18.

I stället för a t t säga: »6 e n h . från 4 e n h . går icke» säga m å n g a : »Siffran 6 är större än siffran 4.» O c h i stället för frågan:

H u r u m å n g a e n h e t e r går d e t p å e t t t i o t a l ? frågas: H u r u m å n g a e n h e t e r g ö r m i g e t t t i o t a l ?

O r s a k e n t i l l dessa u t t r y c k s u p p t a g a n d e och bibehållande s k a l l väl o c k l i g g a i deras förmenta åskådlighet och redogörelsens f u l l - ständighet. Ä r o d e d å så åskådliga? O c h o m de äro åskådliga, äro de derför lämpliga?

1) » G ö r m i g » o c h »ger m i g » äro n o g åskåd- l i g a , m e n ej lämpliga. 2) » G å på» är alls i c k e åskådligt. 3) » G å till» är n o g åskåd- l i g t , m e n öfverflödigt; t y d e t är sjelf- k l a r t , a t t , o m n å g o t s k a l l göras m e d ta- l e t 5, m a n måste sysselsätta s i g m e d d e t t a l e t . 4) » L å n a » åskådliggör i c k e saken, u t a n d e t är tvärt o m begreppsförvirrande, e m e d a n d e t »lånade» t i o t a l e t i c k e återlemnas.

D e t t a e x e m p e l löses rätt sålunda: 6 en- h e t e r från 4 e n h . går i c k e (eller k u n n a i c k e tagas, eller k a n j a g i c k e taga). Derför för- v a n d l a s 1 t i o t a l a f d e 5 t i o t a l e n t i l l enhe- t e r ; 1 t i o t a l innehåller (är) 10 enh.; 10 e n h . och 4 e n h . äro t i l l s a m m a n 14 enh.; 6 e n h . från 14 e n h . återstå 8 enh.; 3 t i o t a l från 4 t i o t a l återstår 1 t i o t a l . Svar således 18.

D e n n a lösning är l i k a åskådlig, s o m d e n förra e n l i g t m å n g a s åsigt s k u l l e v a r a . D e n g r u n d a r s i g p å p e n n i n g e v e x l i n g , h v a r o m bar- n e n t i d i g t få k ä n n e d o m . D e l s h a f v a b a r n e n u t o m s k o l a n , i h e m m e n e l l e r annorstädes, fått lära sig, h v i l k e t värde de o l i k a slan- t a r n e h a f v a , o c h a t t de, s o m h a f v a h ö g r e värde, k u n n a v e x l a s i m y n t a f m i n d r e värde, dels h a r läraren s k y l d i g h e t a t t g e n o m e x e m - p e l fastare i n p r e g l a det. I d e n lösningen användas o c k b l o t t några få v e r b ( p r e d i k a t ) , som bestämdt l ä m p a s i g för innehållet o c h äro lätta a t t förstå.

E m e d a n m a n i f o l k s k o l a n s k a l l b y g g a p å d e i småskolan l a g d a g r u n d e r n a , så åter- k o m m a d e r o f t a de f e l , s o m begåtts i små- s k o l a n , o c h d e t m ö t e r s t u n d o m s t o r a svårig- h e t e r , d å m a n v i l l b o r t t a g a d e m . S o m l i g a a f de i f o l k s k o l a n återkommande f e l e n äro anmärkta i d e t föregående. U t o m dessa f e l t i l l k o m m a åtskilliga n y a .

När a d d i t i o n s e x e m p e l uträknas i småsko- lan, u p p s k r i f v a s t a l e n oftast b r e d v i d ( i c k e u n d e r ) h v a r a n d r a m e d räknesättstecknet m e l - l a n sig. M e n e m e d a n m a n i f o l k s k o l a n sammanlägger flere t a l , o c h de ej a l l t i d äro l i k a mångsiffriga, så vänjas b a r n e n d e r a t t s k r i f v a u p p t a l e n u n d e r h v a r a n d r a före u t - räkningen. S u m m a n a f e n h e t e r n a är då o f t a så stor, a t t h o n innehåller n å g o t eller några t i o t a l , t i l l följd h v a r a f så m y c k e t s o m m ö j - l i g t förvandlas t i l l t i o t a l . D e t v i d förvand- l i n g e n erhållna a n t a l e t t i o t a l a n t i n g e n be- hålles i m i n n e t e l l e r u p p t e c k n a s p å n å g o t ställe för a t t lättare ihågkommas. T i l l e n början är då lämpligast a t t

uppskrifva min- nessiffran öfverst i tiotalsraden,

e m e d a n m a n d å k a n v a r a viss på, a t t b a r n e n se h e n n e o c h derför äfven i h å g k o m m a h e n n e . Så g ö r a många. M e n s o m l i g a a f d e m , s o m g ö r a så, äfvensom m å n g a a n d r a säga efter förvandlingen a f e n h e t e r t i l l t i o t a l : E n h e - t e r n a s k r i f v e r j a g (skrifvas) u p p u n d e r en- h e t e r n a ( e n h e t s r a d e n ) o c h t i o t a l e n lägger j a g t i l l t i o t a l s r a d e n . B a r n e n h a f v a förut b l i f v i t v a n a a t t sammanlägga e n h e t e r o c h enheter, t i o t a l o c h t i o t a l . T i l l följd d e r a f måste ut- t r y c k e t »tiotalen lägger j a g t i l l tiotalsraden»

m e d f ö r a o r e d a o c h osäkerhet. O m m a n d e r säger: »Tiotalen s k o l a läggas t i l l tiotalen», så förstå b a r n e n m y c k e t väl, h v a r t i o t a l s siffran s k a l l s k r i f v a s , för a t t d e t s k a l l ske.

Och då inträder i n g e n begreppsförvirring.

V i d m u l t i p l i k a t i o n s e x e m p e l s lösning före- k o m m a äfven e t t p a r f e l , s o m väl t y c k a s

v a r a jemförelsevis små, m e n d o c k b ö r a be- aktas.

Ex. IB. O m e t t b o r d k o s t a r 12 k r . , h u r u många k r . k o s t a 24 d y l i k a ? S v a r : 24 gånger 12.

R i g t i g uträkning: 12 X 24

48 24 288 O r i g t i g uträkning: 24

X 12 48 24 288

D e t är l i k a lätt a t t uträkna, h v a d 24 gånger 1-2 är, som a t t uträkna, h v a d 12 gånger 24 är; l i k a lätt a t t uträkna, h u r u m y c k e t 4 X 2 är, s o m h u r u m y c k e t 2 X 4 är. M e n h u r u o f t a sker i c k e d e r e n o m k a s t n i n g ! D e t är väl sant, a t t s v a r e n i b å d a f a l l e n b l i f v a l i k a , m e n d e t b i d r a g e r h ö g e l i g e n t i l l begrepps- förvirring a t t låta b a r n e n

utan orsak

k a s t a o m o r d n i n g e n m e l l a n d e b å d a f a k t o r e r n a . När de b å d a t a l e n 48 o c h 24 t i o t a l sam- manläggas, så säges v a n l i g e n : 8 n e d f l y t t a s ; 4 o c h 4 är 8; 2 n e d f l y t t a s . A t t 8 o c h 2 n e d f l y t t a s är i c k e sant. D e stå q v a r o c h en n y 8 o c h e n n y 2 t i l l s k r i f v a s . — I stäl- l e t b ö r m a n räkna sålunda: 8 är 8; 4 och 4 är 8; 2 är 2. D e t är lätt a t t i h å g k o m m a , och då råder f u l l öfverensstämmelse m e l l a n f o r m o c h innehåll.

Fästa v i oss sedan v i d lösning a f d i v i s i o n s - e x e m p e l , så träffa v i äfven d e r p å oegent- l i g h e t e r . D e n första o c h v i g t i g a s t e består d e r i , a t t m a n a n v ä n d e r u t t r y c k e n »gånger m e r » o c h »gånger m i n d r e » . M å n g a v e t a , a t t de äro o r i g t i g a , m e n bibehålla d e m a f g a m m a l v a n a o c h inlära d e m . D e t går n o g lätt a t t , sedan m a n först frågat: S k a l l d e t b l i f v a m e r ? derefter fråga: H u r u m å n g a gånger m e r ? O c h d o c k b o r d e d e t v a r a lätt a t t u t b y t a »gånger m e r » m o t »gånger så m y c k e t » , »gånger» eller»-falden» af, o c h »gån- g e r m i n d r e » m o t » - d e l e n af».

E x .

14.

2 0 : 4 .

Der stå

icke

svar p å frågan: H u r u m å n g a gånger m e r än 4 är 20?

D e r e m o t står der svar p å n å g o n a f föl- j a n d e frågor: 1) H u r u m å n g a gånger så m y c - k e t s o m 4 är 20? 2) H u r u många gånger 4 är 20? 3) H v i l k e n mångfald a f 4 är 20?

4) H u r u m å n g a gånger innehåller 4 i 20?

Svaret b l i r i a l l a f a l l e n 5.

Prof ning

b ö r ske sålunda: 5 gånger 4 är 20. (5-falden a f 4 är 20.)

D e r e m o t är d e t orätt a t t v i d pröfningen säga 4 gånger 5 är 20. A t t d e t t a är orätt, framgår deraf, a t t svaret 5 m o t s v a r a r frå- gans »huru m å n g a » , s o m är bestämning t i l l or- d e t gånger, h v a d a n äfven 5 s k a l l v a r a bestäm- n i n g t i l l o r d e t gånger i d e n sate, s o m förekom- m e r v i d pröfningen. D e t m ö t e r för öfrigt m i n - d r e svårighet, än många t r o , a t t förmå b a r n e n t i l l i a k t t a g a n d e a f r i g t i g o r d n i n g i d e t t a f a l l . Ex. IS. O m f y r a l i k a d y r a p e n n o r k o s t a 12 öre, h u r u m y c k e t k o s t a r 1 a f d e m ?

P å d e n frågan afgifves oftast s v a r e t : 4 gånger m i n d r e . D e t t a svar är e m e l l e r t i d b å d e o r i g t i g t o c h ofullständigt. F ö r f u l l - ständighetens s k u l l f o r d r a s tillägget: än 12 öre. — L i k a nära l i g g e r s v a r e t :

1 fjerdeäel

(fjerdedelen) af 12 öre. D e t är b å d e r i g - t i g t o c h fullständigt. I stället för d e t t a sva- h a d e o c k k u n n a t s ä g a s : 1 f j e r d e d e l deraf, e h u r u d e t i c k e är så t y d l i g t s o m d e t förer gående.

När s k r i f t l i g d i v i s i o n s k a l l inläras, l i g g e r s t o r v i g t uppå, a t t b a r n e n få säker känne- d o m o m , h v a d för slags t a l s v a r e t s k a l l innehålla, o m d e t s k a l l v a r a e n h e t e r , t i o t a l o. s. v . Inlärandet häraf sker e n k e l t b l o t t g e n o m a t t söka, h u r u stor e n bestämd d e l a f d e t deladeär. M e n då d e flesta äro o v a n a v i d u t t r y c k e t »delen a f » , så länge som de räkna h e l a t a l , så sker d e t t a inlärande v a n l i g e n i s a m m a n h a n g m e d s. k . m e k a n i s k d i v i s i o n . D e r v i d efterses, h u r u m å n g a gånger e t t t a l innehåller i (går u p p i ) e t t a n n a t . A t t d e t d o c k är o e g e n t l i g t a t t d å klargöra svarets art, inses lätt a f e t t e x e m p e l .

E x . 16. 5648 : 8 = x .

Uträkning. 8 i 56 h u n d r o r går 7 h u n d r a gånger, t y 7 h u n d r a gånger 8 är 56 h u n d r o r ; 8 i 4 t i o t a l går 0 t i o t a l g å n g e r ; derefter ned- flyttas 8; då b l i r d e t 48; 8 i 48 e n h . går 6 enh. gånger, t y 6 e n h . gånger 8 är 48 e n h .

H v i l k e n äldre p e r s o n förstår e n sådan sammanställning, o c h h v i l k e t b a r n b ö r då k u n n a b e g r i p a d e t ? Någon k a n väl anmärka, a t t t a l e t 5648 är s t o r t , m e n räkningen b l i r l i k a k o n s t i g o m d e n utföres p å n ä m d a sätt, äfven då s v a r e t b l i r b l o t t 2-siffrigt. O c h m i n d r e k a n väl t a l e t ej b l i f v a , o m m e d räk- n i n g e n åsyftas a t t klargöra, h v a d för e t t slag a f enheter s v a r e t s k a l l innehålla. Svaret bör t i l l o c h m e d v a r a mångsiffrigt, o m d e t t a s k a l l b l i f v a r i k t i g t k l a r t .

E x e m p l e t 16 b ö r uträknas p å följande

sätt, o m m a n v i l l klargöra beskaffenheten a f svarets särskilda delar. E n åttondedel a f 56 h u n d r o r är 7 h u n d r o r , t y 8 gånger 7 h u n d r o r = 56 h u n d r o r ; 1 åttondel a f 4 t i o - t a l är i n t e t h e l t t i o t a l ; derför uppskrifves 0 t i o t a l efter de 7 h u n d r . ; sedan förvandlas de 4 t i o t a l e n t i l l enh., o c h de 8 e n h . tilläg- gas, h v a r v i d d e n g i f n a enhetssiffran öfver- s t r y k e s o c h n e d f l y t t a s . E n åttondedel a f 48 e n h . är 6 enh., t y 8 gånger 6 e n h . = 48 e n h .

D e t är g i f v e t , a t t m a n för räkningens u t - förande p å sist n ä m d a sätt b ö r låta d e t an- d r a a f d e två g i f n a t a l e n , d e n kända fak- t o r n , v a r a ensiffrig. O m d e n är 2- eller fiersiffrig, utföres räkningen u t e s l u t a n d e »me- kaniskt».

H v a d decimalbråk beträffar förekomma fe- l e n h u f v u d s a k l i g e n i i n l e d n i n g e n , m u l t i p l i k a - t i o n o c h d i v i s i o n . D e stå delvis i nära s a m m a n h a n g m e d de senare i h e l a t a l an- märkta f e l e n .

Sålunda säges oftast: 1 t i o n d e d e l är 10 gånger m i n d r e än e n h e l ; e n h u n d r a d e d e l är 100 gånger m i n d r e än e n h e l , eller t i o gånger m i n d r e än e n t i o n d e d e l ; o. s. v . Rätteligen b o r d e m a n säga: 1 t i o n d e d e l är 1 t i o n d e d e l a f en h e l ; e n h u n d r a d e d e l är 1 h u n d r a d e d e l a f e n h e l eller 1 t i o n d e d e l a f en t i o n d e d e l o. s. v . 0,1 utsäges ofta 0 h e l a 1 t i o n d e d e l . B o k s t a f l i g e n sant är väl d e t t a , a l l d e n s t u n d b l o t t 0 står t i l l venster o m deci- m a l k o m m a t . M e n d e t är likväl orätt a t t utsäga 0,1 så, e m e d a n t a l e t innehåller b l o t t 1 e n h e t a f d e t slag, som k a l l a s t i o n d e d e l a r d. v . s. är e n t i o n d e d e l . A l l d e n s t u n d d e n n a n o l l a fordras, när m a n v i l l beteckna 1 t i o n d e - del, så b ö r t a l e t utsägas

1 tiondedel.

D e s s u t o m säger m a n a l d r i g 0 k r . , då m a n t a l a r o m e n p e n n i n g s u m m a , s o m innehåller b l o t t öre.

Ofta, o m i c k e oftast, begagnas o r d e t gån- ger v i d utsägande a f m u l t i p l i k a t i o n s t e c k n e t , äfven då, när d e t s t r i d e r m o t innehållet.

E x . 17. 0,4 X 7. D e t t a utsäges ofta 4 t i o n d e d elsgång 7. M e n d e t t a är svårfattligt, t y d e t är o l o g i s k t . M a n k a n n e m l i g e n ej utsäga e l l e r taga n å g o t färre gånger än 1 gång. Derför b ö r 0,4 X 7 utsägas:

4 tionde- delar af 7.

Rätteligen b ö r m a n utsäga m u l t i p l i k a t i o n t e c k n e t m e d o r d e t »af», så s n a r t s o m d e n föregående f a k t o r n innehåller bråk, äfven o m d e n dessutom s k u l l e i n n e - hålla h e l t t a l .

E x . 18. 3,4 X 7.

D e t t a t a l b ö r utsägas 34 t i o n d e d e l a r a f 7.

M e n e m e d a n d e t t a t a l innehåller några gån- ger 7 j e m t e 0,4 deraf, så går d e t lättare för sig a t t d e r a n v ä n d a gånger i stället för af, och således k a n d e t utsägas 3,4 gånger 7.

"Vid d i v i s i o n i decimalbråk användes ofta e t t l i k a r t a d t förfaringssätt som v i d första lösningen a f ex. 16. Då så sker, innehåller n a t u r l i g t v i s s v a r e t sådana o r i m l i g h e t e r s o m 4 tiondedelsgånger, 5 hundradedelsgång eller d y l i k t .

Rätteligen b ö r m a n här, l i k s o m i h e l a t a l , börja m e d d e l n i n g a f decimalbråk i få (högst 10)

lika stora delar,

h v i l k a s s t o r l e k sökes. T y

endast på det sättet begripa

b a r n e n , h v a r d e c i m a l k o m m a t s k a l l insättas i svaret, o c h b l i f v a säkra a t t insätta det på rätt p l a t s .

E n d a s t o m m a n i m u l t i p l i k a t i o n på lämp- l i g a ställen använder o r d e t af, då m a n v i l l utsäga m u l t i p l i k a t i o n s t e c k n e t , b ö r d e t gå och går d e t någorlunda lätt a t t r e d a u t för- faringssättet, då d e t b l i r fråga o m a t t s k r i f t - l i g e n lösa e x e m p e l sådana som d e t l a : H u r u stor d e l a f 8 k r . är 1 k r . 70 ö r e ?

Sedan b a r n e n fått lära, a t t e t t d e c i m a l - bråk lättast mångfaldigas m e d 10, 100 o. s. v . g e n o m d e c i m a l k o m m a t s f l y t t n i n g 1, 2, o. s. v . steg åt höger, o c h tvärt o m e n k l a s t delas m e d 10, 100 o. s. v . g e n o m d e c i m a l k o m m a t s f l y t t n i n g 1, 2 o. s. v . steg t i l l venster, hän- d e r d e t m y c k e t ofta, a t t dessa u t t r y c k o m d e c i m a l k o m m a t s flyttning användas, då de ej b ö r a användas.

E x . 19. 84 : 10.

I t a l e t 84 finnes i n t e t d e c i m a l k o m m a ; derför k a n i n t e t flyttas, u t a n e t t måste i n - sättas m e l l a n 8 och 4. D e t t a öfverensstäm- m e r m e d det, s o m förut s k a l l v a r a a n g i f v e t i h e l a t a l :

sista siffran af skiljes från den föregående genom ett komma. N u , m e n

i c k e då, k a l l a s d e t t a k o m m a d e c i m a l k o m m a , och derför utsäges s v a r e t : 8 h e l a 4 t i o n d e - delar.

V i d allmänna bråks b e h a n d l i g förekomma o e g e n t l i g h e t e r o c h f e l företrädesvis v i d de- ras förkortning, förlängning, m u l t i p l i k a t i o n och d i v i s i o n .

V i d förkortning o c h förlängning b l o t t om- f o r m a s bråken, m e n förändras i c k e deras värde. D e t t a b e r o r derpå, a t t s a m m a räkne- o p e r a t i o n (räknesätt) företages m e d b å d e tälj are o c h nämnare, a n t i n g e n d i v i s i o n eller m u l t i p l i k a t i o n . Felet, som ofta begås, t y d - liggöres bäst g e n o m e t t ex. (Forts.)

Om överensstämmelse mellan form och innehåll v i d räkne-

undervisningen.

A f L . C. Lindblom,.

(Slut.) E x . 20. Förkorta ^ !

l o

L ö s n i n g : D e t t a bråk k a n förkortas m e d 2. Först förkortar j a g 16 m e d 2; d e t b l i r 8;

sedan förkortar j a g 18 m e d 2 ; d e t b l i r 9.

I d e n n a lösning användes o r d e t förkortas i stället för d i v i d e r a s . D e t t a u t b y t e g r u n - dar sig e g e n t l i g e n derpå, a t t förkortning s k u l l e v a r a l i k t y d i g m e d d i v i s i o n eller för- m i n s k a n d e . O m m a n så v i l l , så k a n m a n j u anföra d e t rörande de h e l a t a l e n , m e n d e n n a l i k h e t s u p p v i s a n d e der är öfver- flödig, och h ö r derför förbigås der. D e t vigtigaste skälet a t t underlåta a l l t t a l o m d e n n a l i k h e t der är d e n motsats, som måste betonas i bråk m e l l a n förkortning o c h d i v i s i o n . Om m a n här i bråk förblandar u t t r y c k e n förkortning o c h d i v i s i o n m e d h v a r a n d r a , så b o r t t a g e r m a n d e n ena s t u n d e n h v a d m a n inlärt d e n a n d r a s t u n d e n . D e t s a m m a gäller rörande förblandning a f förlängning o c h m u l t i p l i k a t i o n .

I m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n förekommer oftast, a t t h e l a t a l b r i n g a s t i l l bråkform, d e r i g e n o m a t t de u p p s k r i f v a s såsom täljare m e d 1 såsom nämnare. D e t t a h a r b l o t t e n f o r m e l betydelse u t a n m o t s v a r a n d e innehåll

och g r u n d a r sig h u f v u d s a k l i g e n derpå, a t t m a n önskar, a t t b a r n e n s k o l a — ofta u t a n god förberedelse — inlära e n k o r t regel.

O m u n d e r v i s n i n g s t i d e n är k n a p p , så k a n re- g e l n o c h d e t i s a m m a n h a n g d e r m e d stående förfaringssättet försvaras, eljes i c k e . Oegent- l i g t är d e t dock a l l t i d a t t göra e t t u t t r y c k m e r a i n v e c k l a d t , än d e t behöfver v a r a .

E x . 21. 4 X —.

lo

T •• • N j " « ^{7 4} ~ ^{7 4}-⁷ 28 . 13

L o s m n g : a) ^ ^ X ^ — ^ l - '

7 4.7 28 , 13 15 l o 15 15 7

E x . 22. — : 3.

T •• • ^ ⁷ o ⁷ . ^{3 7} ~ ^{1 7}

L o s m n g : a) _ : 3 = ^T . ^T= - X f^-tf 7 7 7

b ) ¥ ^{:3 =} Ö⁼⁼2 4 '

V i d dessa exempels lösning h a r i a) d e t v a n l i g a sättet användts, i det a t t det från början gifna h e l a t a l e t b r a g t s i e n k l a s t e bråkform. I b ) d e r e m o t h a r lösningen g n m - dats på det f ö r u t . inlärda, a t t bråkets värde förändras a l l t efter som täljaren eller näm- n a r e n förändras. J u större täljaren är ( m e d oförändrad nämnare), desto store är b r å k e t ; och j u större nämnaren är ( m e d oförändrad täljare), desto m i n d r e är bråket t i l l s i t t värde.

Då e t t t a l s k a l l delas m e d e t t bråk, säges v a n l i g e n , »att m a n s k a l l v ä n d a u p p o c h n e d på divisorn». U t t r y c k e t är n o g k o r t , m e n det framställer ej saken. D e t , som v e r k l i g e n göres, k a n utsägas i e t t u t t r y c k , som är jemförelsevis lätt a t t ihågkomma, o c h der- för b ö r d e t användas. D e t t a u t t r y c k är:

Man skall multiplicera med faktorns *) nämnare och dividera med dess täljare.

D e t t a sistnämnda u t t r y c k f r a m k o m m e r o t v u n g - e t u r redogörelsen för d y l i k a exempels l ö s - n i n g .

E x . 23 H v a r a f är 7 t r e f j e r d e d e l a r ? Svaret b e t e c k n a s : 7 : ~r.

4

L ö s n i n g : E m e d a n 3 fjerdedelar a f d e t t a l e t är 7, så är en fjerdedel d e r a f = a f

7 1 7

7 eller O c h då - ? d e r a f är -5-, så är

O 4 o

7 4 7

h e l a t a l e t 4 gånger y eller - j - . Svaret b l i r

*) D e t t a ord är bättre än divisorns.

n a t u r l i g t v i s l i k a s t o r t , vare sig m a n skrifver

4.7 „ 4 . , t „ 7 X 4 4

-J- eller y X 7 eller eller 7 X f .

När regula-de-tri-uppgifter lösas, k a n m a n gå t i l l väga på flere sätt. V a n l i g a s t an- vändes » e n h e t s m e t o d e n » eller någon än- d r i n g d e r a f , s t u n d o m ^ tillämpas läran o m förhållande. Här skiljes m e l l a n lättare o c h svårare e x e m p e l . T i l l de förra e x e m p l e n höra sådana, i h v i l k a v e r k n i n g a r n a stå i d i r e k t förhållande t i l l o r s a k e r n a ; t i l l de se- n a r e höra sådana, i h v i l k a v e r k n i n g a r n a stå i o m v ä n d t förhållande t i l l orsakerna.

E x . 24. O m 3 l i t e r salt kosta 24 öre.

h u r u m y c k e t k o s t a 21 l i t e r deraf?

V a n l i g a s t u p p s k r i f v e s u p p g i f t e n i förkor- tad f o r m sålunda:

3 l i t e r 24 öre 21 » ? »

Frågetecknet u n d e r 24 är olämpligt; t y d e t är ej n å g o t skäl a t t använda a n d r a obe- k a n t a t a l för siflerräkningen än de som eljes — v i d bokstafsräkningen — äro v a n l i g a . Bäst är d e s s u t o m a t t låta frågetecknet ute- s l u t a n d e användas såsom s k i l j e t e c k e n . Fråge- t e c k n e t b ö r derför u t b y t a s m o t x .

L ö s n i n g e n utföres ofta sålunda: Då 3 l i - ter k o s t a 24 öre, så k o s t a r 1 l i t e r 3 gånger m i n d r e och 21 l i t e r 21 gånger m e r a . O c h så u p p k o m m e r d e n n a b e t e c k n i n g o c h d e t t a

2 4 x 2 1

s v a r : —=— = 1 k r . 68 öre. S t u n d o m skrif- ves 168 öre i stället för 1 k r . 68 öre samt u t s t r y k e s frågetecknet u n d e r 24 o c h ditsät- tes d e t f u n n a svaret.

I lösningen ingå 2 svar, a f h v i l k a d e t sista är svar på hufvudfrågan. H v a r j e svar bör h e l s t föregås a f en d i r e k t fråga. I s a m m a n h a n g m e d svarets afgifvande måste g r u n d e n eftertänkas, t y eljes händer lätt, a t t svaret b l i r f e l a k t i g t . M e n d e n nyss anförda lösningen är så sammanträngd, a t t g r u n d e n ej märkes. O c h o m b a r n e n vänjas v i d så- dan sammanträngd f o r m , så händer, a t t de g l ö m m a eftertänka g r u n d e n , h v a r a f åter föl- j e r f e l a k t i g t svar. Derför bör g r u n d e n t i l l h v a r t d e r a s v a r e t angifvas, eller åtminstone redogörelsen v a r a så fullständig, a t t g r u n d e n lätt k a n finnas. D e t förefaller väl för lä- r a r e n s t u n d o m e n f o r m i g t , m e n för b a r n e n är d e t n y t t i g t . Lösningen k a n väl innehålla b l o t t påstående satser, m e n bestämda fråge- satser b ö r a föredragas. U t t r y c k e n gånger

m i n d r e o c h gånger större böra o c k u t b y t a s m o t förut a n g i f n a .

Följande lösning b ö r således föredragas..

Då 3 l i t e r k o s t a 24 öre, h u r u många öre k o s t a r 1 l i t e r ? S v a r : \ a f 24. B e t e c k n i n g : 24 ö

- . Då 1 l i t e r k o s t a r så många öre, hurra

u

många öre k o s t a 21 1.? S v a r : 21 gånger sa mänga. B e t e c k n i n g : — ; — .

21 V 2 4

Uträkning: | = 168. Svar: 168 öre = 1 k r . 68 öre.

A t t b l o t t 168 skrifves efter l i k h e t s t e c k n e t , b e r o r på l i k h e t s t e c k n e t s betydelse a t t för- b i n d a l i k a storheter, således här 2 l i k a s t o r a t a l , m e n ej en p e n n i n g s u m m a o c h e t t t a l . O m m a n finner d e t besvärligt a t t s k r i f v a : s v a r 168 öre = 1 k r . 68 öre, så k a n d e t u n d v i k a s g e n o m a t t ändra redogörelsen. Man-, säger då: h u r u m y c k e t i stället för h u r u m å n g a öre och så m y c k e t i stället för så många öre s a m t s k r i f v e r öre efter 24. A t t

2 1 X 2 4 öre s k r i f v a 1 k r . 68 öre o m e d e l b a r t efter ^ - är i n g e n v i n s t , t y först räknar m a n sig t i l l svaret 168 öre, h v i l k e t då också g e r n a k a n u p p s k r i f v a s , o c h sedan u t t r y c k e s d e t i k r o - n o r o c h öre.

S t u n d o m k a s t a r läraren i n e t t p a r frågor u n d e r lösningen för a t t få reda på, h u r u v i d a lärjungen förstår skälet t i l l svaret. E x . H v a r - för k o s t a r d e t ( s k a l l det b l i f v a ) 3 gånger m i n d r e ? S v a r : t y 1 är 3 gånger m i n d r e än 3. M e d d e t t a svar låter mången nöja, sig. M e n d e t duger i c k e . E n l i g t e x e m p l e t eger strängt taget i n g e n jemförelse r u m m e l l a n 2 t a l , u t a n m e l l a n 2 saltmängder.

Och d e t t a är j u s t d e t p r a k t i s k a o c h d e t åskådliga i e x e m p l e t . ; v i d d e t t a s k a l l derför såväl läraren s o m b a r n e n fästa sig. D e t k a n väl synas, s o m o m d e t v o r e l i k g i l t i g t , t y d e t b l i r i a l l a f a l l s a m m a svar. M e n a t t d e t b l i r så i d e t t a o c h d y l i k a f a l l , b e r o r derpå, att v e r k n i n g a r n a stå i d i r e k t förhållande t i l l o r s a k e r n a . D e t v i s a r sig ock i svårare e x e m p e l , a t t d e t t a förfaringssätt ej duger M e r d e r o m i nästa e x e m p e l .

D e t t a ex. löses ock e n k l a r e sålunda: Efter- som 21 l i t e r äro 7 gånger 3 l i t e r , så k o s t a d e 7 gånger 24 öre.

E x . 25. O m 4 a r b e t a r e utföra e t t a r b e t e på 6 dagar, h u r u många arbetare s k u l l e be- höfvas för a t t utföra d e t på 3 dagar?

D e n första frågan i s a m b a n d m e d d e t

g i f h a s k u l l e här l y d a : O m 4 a r b e t a r e be- höfvas för a t t utföra e t t arbete på 6 dagar, h u r u många a r b e t a r e b e h ö f v a s för a t t u t föra det på 1 dag? O m s v a r e t d å b l i r 5 deraf, o c h läraren på frågan efter orsa- k e n d e r t i l l , får d e t s v a r e t : e m e d a n 1 är

| a f 6, så är d e r m e d i n t e t v u n n e t . Lär- j u n g e n måste n e m l i g e n föras t i l l b a k a t i l l e x e m p l e t s innehåll, o c h der är d e t fråga o m jemförelse m e l l a n 2 t i d e r . M e n o m d e t sista svaret s k u l l e b l i f v a : t y 1 d a g är J a f 6 dagar, så v o r e n å g o t v u n n e t . D e t svaret leder

omedelbart

t i l l e n a n n a n l e d n i n g s - fråga : Behöfvas flere eller färre a r b e t a r e för a t t utföra e t t arbete, o m t i d e n är k o r t än o m d e n är lång? eller d y l i k .

6 4 Svaret b l i r : ~ = 8.

o

Det fins e t t a n n a t sätt a t t lösa h i t h ö r a n d e e x e m p e l . D e r v i d s k o l a d o c k de frågor, som kräfvas för lösningen ej få s a m m a f o r m som frågan i e x e m p l e t . D å b ö r i stället frågas o c h eftertänkas,

huru man skall göra. Detta sätt är lämpligt, om först några exempel lösts på här förut angifna sätt,

m e n eljes förkastligt.

Lösningen a f ex. 24 sker då sålunda: E m e - dan 21 l i t e r är m e r än 3 l i t e r , så k o s t a 21 1. m e r än 3 1. Derför s k a l l j a g mångfaldiga m e d 21 o c h d e l a m e d 3.

E x . 25 löses då sålunda: E m e d a n flere arbetare behöfvas för a t t utföra e t t arbete på 3 dagar än på 6 dagar, så s k a l l j a g mångfaldiga m e d 6 o c h d e l a ' m e d 3.

A t t några ex. först böra lösas på först a n g i f n a sätt, b e r o r derpå, a t t e t t förökande k a n ske äfven g e n o m a d d i t i o n o c h e t t för- m i n s k a n d e äfven g e n o m s u b t r a k t i o n . M e n o m d e t t a a n d r a sätt först klargöres, så v i n - nes m y c k e n t i d , då i ex. f ö r e k o m m a bråk- t a l . O m d y l i k a e x e m p e l s k u l l e lösas e n l i g t enhetsrnetoden, så s k u l l e många mellanfrågor fordras s a m t i dessa ingå bråk, m e l l a n h v i l k a lärjungen a l l t i d h a r svårt a t t a n g i f v a förhållandet.

När något delas i delar, h v i l k a stå i e t t v i s s t u p p g i f v e t förhållande t i l l h v a r a n d r a , utföres räkningen ofta så, a t t för l i t e t af- seende fästes v i d e x e m p l e n s innehåll.

E x . 26. O m 12 k r . delas i 2 d e l a r så, att d e n ena d e l e n är d u b b e l t så stor som den a n d r a , h u r u s t o r a äro d e l a r n a ?

D e t t a ex löses ofta så: K a l l a v i d e n ena d e l e n 1, så är d e n a n d r a d e l e n 2 o c h båda t i l l - s a m m a n s 3. Derför s k a l l j a g dela 12 i 3 delar.

A t t d e t t a ej är r i g t i g t , u t a n t i l l o c h m e d vilseledande, märkes lätt deraf, a t t i u p p - g i f t e n är fråga o m d e l n i n g i 2 delar. Dess- u t o m k a n i n g e n d e l här v a r a 1 eller 2, u t a n 1 k r . o c h 2 k r .

Den r i g t i g a lösningen k a n utföras på flere sätt. O m en d e l v o r e 1 k r . , o c h d e n a n d r a d u b b e l t så stor, så s k u l l e d e n v a r a 2 k r . o c h det h e l a 3 k r . Alltså s k u l l e d e n m i n d r e delen v a r a J a f d e t h e l a . D e r e f t e r upptages här fortsättningen på 2 sätt: 1) D e t h e l a är här 12 k r . , alltså är d e n m i n d r e de- len ^ a f 12 k r . 2) A f 3 k r . är d e n m i n d r e d e l e n 1 k r . ; n u är d e t h e l a här 12 k r . eller 4 gånger 3 k r . , alltså s k a l l d e n m i n d r e de- len v a r a 4 gånger 1 k r . = 4 k r . s a m t d e n större d e l e n 4 gånger 2 k r .

O m åskådningsmateriel användes, så fat- tas dessa lösningssätt genast.

A f det, som här framstälts rörande öfver- ensstämmelsen m e l l a n f o r m o c h innehåll v i d räkneundervisningen, t y c k e s väl en d e l be- röra o b e t y d l i g h e t e r . M e n i i n t e t a f de v a n - l i g a undervisningsämnena t o r d e f o r m e n h a f v a större b e t y d e l s e än i m a t e m a t i k , o c h då så många, i de flesta f a l l o m e d v e t e t , begå f e l i d e t t a afseende h a r j a g v e l a t påpeka de åtminstone mest framträdande, u t a n a t t o r d n a dem efter deras s t o r l e k . Många a f d e m b e r o u t e s l u t a n d e deraf, a t t m a n ej g i f v e r sig r o a t t l u g n t , stegvis o c h a l l s i d i g t be- h a n d l a de m i n d r e talområdena. O c h d e t t a b e r o r åter derpå, a t t allmänheten, j a t i l l och m e d många s k o l m a n ä n n u anse, a t t m a n b ö r s n a r t k u n n a inlära d e m . Många af felen b e r o äfven derpå, a t t m a n så hål- ler fast v i d g a m l a i n r o t a d e u t t r y c k , a t t äfven de, som fått k ä n n e d o m o m a n d r a lämpliga, ofta återupptaga de g a m l a , från egen s k o l t i d inlärda o c h olämpliga. O c h d o c k är d e t vår s k y l d i g h e t såsom lärare a t t uppöfva b a r n e n s förmåga a t t tänka r e d i g t och e n k e l t o c h sätta d e m , så långt t i d e n m e d g i f v e r o c h deras förmåga sträcker sig, i stånd a t t lösa de v a n l i g a s t e p r a k t i s k a räkne- u p p g i f t e r n a .