Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Matrisens rang.
MATRISENS RANG
Definition 1. Inom matematiken är en matris ett rektangulärt schema
=
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
av reella eller komplexa tal.
En matris med m rader och n kolonner sägs ha typen m× som vi skriver då n typ(A)= m× . n
Man skriver ofta
n m
a
ikA = [ ]
× eller kortareA = [ a
ik]
.Talet a är alltså matriselement i rad i och kolonn k. ik
Definition 2. Två matriser A=[aik] och B=[bik] är lika om 1) typ(A)=typ(B)
och
2) aik =bik för alla i, k.
Exempel 1. Bestäm x, y och z så att A=B då
+
= 3 4 8
5 ) 3 (
5 x
A ,
−
= +
) 1 ( 4 3
2 1
5
y B z
Lösning: A och B är av samma typ 2× . De är lika om motsvarandeelement är lika 3 d v s om följande villkor är uppfyllda
5=5 , x+3 = 1 , 5= z+2 3=3 , 4= 4 , 8=y−1.
Alltså x= −2, z=3 och y=9.
Svar: x= −2, z=3 och y=9.
MATRISENS RANG
Vi upprepar att en matris kan, med hjälp av elementera radoperationer, överföras till sin trappstegsform. I matrisens trappstegsform är varje element till vänster och under ledande ettan lika med 0).
Ett exempel på en matris på trappstegsform.
�
𝟏𝟏 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ∗ ∗ ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎
�
---
Om vi fortsätter och eliminerar alla element ovanför de ledande ettorna får vi s.k.
REDUCERAD TRAPPSTEGSFORM.
En matris på reducerad trappstegsform
Sida 1 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Matrisens rang.
�
𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎
�
I ovanstående exempel står * för ett (vilket som helst) tal.
---
Definition 3. Med elementära rad operationer menas:
(1) multiplikation av en rad med ett tal ≠ 0 (2) platsbyte mellan två rader
(3) Addition av en multipel av en rad till en annan rad.
Definition 4. Vi säger att två matriser A och B är ekvivalenta, och betecknar A~B, om matrisen A kan ombildas till B med hjälp av elementära radoperationer.
Definition 5. Matrisens rang definieras som antalet ledande ettor i matrisens trappstegsform (=antalet ledande ettor i reducerade trappstegsform .
Rang till en matris A betecknas rang(A)
--- Senare i kursen visar man att
Rang (A) = (det maximala antalet linjärt oberoende rader i A) =
= ( det maximala antalet linjärt oberoende kolonner i A )
Anmärkning: Ekvivalenta matriser har samma rang. (Båda kan ombildas till samma trappstegsform).
Låt AT vara transponatet till matrisen A dvs den matris som vi får genom att skriva rader i A som kolonner i matrisen AT. Från ovanstående har vi att
Rang (A)= Rang (AT) ÖVNINGAR:
Uppgift 1. Bestäm rang(A) då
a)
=
7 3 5 2
3 0 3 1
4 3 2 1
A b)
=
8 6 4 2
4 3 2 1
4 3 2 1
A c)
=
4 4 3
2 2 2
1 1 0
1 1 1 A
d)
=
0 3 3
0 2 2
0 1 1
0 1 1
A e)
= 6 5
4
A 3 f)
= 8 6
4 A 3
Lösning:
a) Med elementära radoperationer överför vi matrisen A till trappstegsform:
Sida 2 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Matrisens rang.
−
−
+
−
−
−
−
+ +
0 0 0 0
1 3 1 0
4 3 2 1
~
rad3 (-1)
* rad2 1 3 1 0
1 3 1 0
4 3 2 1
~
rad3 (-2)
* rad1
rad2 (-1)
* rad1 7
3 5 2
3 0 3 1
4 3 2 1
Två ledande ettor i matrisens trappform medför att rang(A)=2.
f)
+
=
rad2 (-2)
* rad1 8
6 4
A 3 ~
dela med3
0 0
4 3
~
0 0
3 / 4
1 .
Alltså är rang(A)=1.
Svar: a) rang(A)=2 b) rang(A)=1 c) rang(A)=2 d) rang(A)=1 e) rang(A)=2 f) rang(A)=1
Uppgift 2. Bestäm rang(A) för olika värden på parametern p där a)
=
7 1 4 3
3 3
2
4 3 1 1
p
A b) Låt
=
1 1 4 3
3 3
2
4 3 1 1
p
A .
Lösning:
a)
−
−
−
−
−
−
−
−
=
0 ) 2 ( 0 0
5 6 1
0
4 3
1 1
~ 5 8 1 0
5 6 1
0
4 3 1 1
~ 7 1 4 3
3 3
2
4 3 1 1
p p p
p
A
Vi har följande två fall:
i) Om p=−2 så är
−
− 0 0 0 0
5 6 1
0
4 3 1 1
~ p
A och rang(A)=2 (två ledande ettor).
ii ) Om p≠−2 kan vi dela sista raden med (− p−2). Då blir
−
− 0 1 0 0
5 6 1
0
4 3 1 1
~ p
A och
rang(A)=3 (tre ledande ettor).
Sida 3 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Matrisens rang.
Svar a: rang(A)=2 om p=−2, rang(A)=3 om p≠−2.
b)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
6 ) 2 ( 0 0
5 6
1 0
4 3
1 1
~ 11 8
1 0
5 6 1
0
4 3 1 1
~ 1 1 4 3
3 3
2
4 3 1 1
p p p
p
A
Vi betraktar två fall:
i) Om p=−2 så är
−
−
−
−
−
1 0 0 0
5 6 1
0
4 3 1 1
~ 6) - med (dela 6 0
0 0
5 6 1
0
4 3 1 1
~ p p
A
och rang(A)=3 (tre ledande ettor).
ii) Om p≠−2 kan vi dela sista raden med (− p−2).
Då blir
−
−
−−
−
2 1 6
0 0
5 6
1 0
4 3
1 1
~
p p
A och rang(A)=3 (tre ledande ettor).
Svar b: rang(A)=3 för alla p.
Sida 4 av 4
