GAUSS-JORDANELIMINATION.
När vi använder Gausselimination för att lösa ett linjärt ekvationssystem överför vi systemets totalmatris till trappstegsform (varje element under ledande ettan är 0).
OM SYSTEMET ÄR LÖSBART kan vi fortsätta med s.k. Gauss – Jordanmetoden.
I Gauss - Jordaneliminationen fortsätter vi och eliminerar alla element ovanför de ledande ettorna och får s.k. REDUCERAD TRAPPSTEGSFORM.
Ett exempel på en matris på trappstegsform
�
𝟏𝟏 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ∗ ∗ ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎
�
En matris på reducerad trappstegsform
�
𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ∗ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎
�
I ovanstående exempel står * för ett (vilket som helst) tal.
ÖVNINGAR
1. Använd Gauss - Jordanelimination för att lösa följande system
= + +
= + +
= + +
7 2
9 2 2
6
z y x
z y x
z y x
Lösning:
Först överför vi, med hjälp av radoperationer, systemets totalmatris till trappstegsform:
7 9 6 2 2 1 1 2 1 1 1 1
~
+
− +
−
1 3 6 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ) 3 1
(
) 2 1
(
rad rad
rad
rad trappstegsform
I Gauss – Jordanmetoden fortsätter vi och eliminerar även ovanför ledande ettor och får
+
−
+
−
1 2 5 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ) 2 3
(
) 1 3
(
rad rad
rad rad
~
+
−
1 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 1 2
( rad rad
reducerad trappstegsform
För att tolka den reducerade trappstegsformen skriver vi motsvarande ekvations system :
=
=
= 1
2 3
z y x
Härav z =1, y =2, x =3
Svar: Precis en lösning: x=3, y=2, z=1
2. Använd Gauss - Jordanelimination för att lösa följande system
= + +
= + +
= + +
7 12 8
15 6 4 2
6 3 2
z y x
z y x
z y x
Lösning:
Först överför vi, med hjälp av radoperationer, systemets totalmatris till trappstegsform:
7 15
6 12
6 3 8 4 2 1 2 1
~
⋅
− 3
6 0 3 0 2 ....
0 1 ) 1 2 2
(rad rad trappstegsform
Eftersom den andra raden har motsvarande ekvation 0=3
har systemet INGEN lösning . ( Självklart behöver vi inte göra flera radoperationer) Svar: Systemet saknar lösning ( Vi kan också säga: Ingen lösning, inkonsistent system, olösbart system)
3. Använd Gauss - Jordanelimination för att lösa följande system
= + +
= + +
= + +
14 7 4 2
12 6 4 2
6 3 2
z y x
z y x
z y x
Lösning:
Först överför vi, med hjälp av radoperationer, systemets totalmatris till trappstegsform:
14 12 6
7 6 3
4 4 2
2 2 1
~
+
⋅
−
+
⋅
−
2 0 6
1 0 3
0 0 2
0 .
0 1
) 3 1
2 (
) 2 1
2 (
rad rad
rad
rad Vi byter plats på rad 2 och 3 och får
0 2 6
0 1 3
0 0 2
0 .
0 1
(trappstegsform)
Vi har fått systemets trappstegsform men vi fortsätter och eliminerar element ovanför
0 2 6 0 1 3 0 0 2 0 .
0 1
~
+
⋅
−
0 2 0 0 1 0 0 0 2 0 .
0 1 ) 1 2
3
( rad rad
Systemet är lösbart eftersom ingen ledande etta finns i andra delen.
Två ledande ettor och tre variabler betyder att systemet har en fri variabel och därför
oändligt många lösningar. I vårt exempel är variabeln y en fri variabel och vi betecknar y=t.
För att lösa ut ledande variabler skriver vi nu motsvarande systemet (nu på reducerad trappstegsform)
=
=
= + +
0 0
2 0 0 2
z y x
Härav z=2, y=t och x= –2t.
Svar: x= –2t , y=t, z=2, där t är ett godtyckligt tal.
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM MED SAMMA VÄNSTERLED.
Vi använda en totalmatris för att lösa sådana ekvationssystem samtidigt genom att hantera problemet som ett ekvationssystem med flera högerled.
Detta är en viktig metod som används bl. a. vid bestämning av en inversen till en matris!
4. Lös följande ekvationssystem med samma vänsterled A) B)
= +
= +
5 3 2
2 y x
y x
= +
= +
3 3 2
1 y x
y x
Lösning:
Vi använder en totalmatris med två högerled och löser båda system samtidigt:
�1 12 3� 2 5�1
3� ~ �1 1 0 1� 2
1�1
1� ~ �1 0 0 1� 1
1�0 1�
För att tolka den reducerade trappstegsformen skriver vi den sista totalmatrisen som två ekvationssystem:
A) B)
=
= 1 1 y x
=
= 1 0 y x
Svar: System A har exakt en lösning x=1, y=1 , System B har exakt en lösning x=0, y=1.
5. Lös följande ekvationssystem med samma vänsterled A) B) C)
= + +
= + +
= + +
7 2
9 2 2
6
z y x
z y x
z y x
= + +
= + +
= + +
2 2
3 2 2
2
z y x
z y x
z y x
= + +
= + +
= + +
4 2
6 2 2
3
z y x
z y x
z y x
Lösning:
Vi använder en totalmatris med två högerled och löser båda system samtidigt:
4 6 3 2 3 2 7 9 6 2 2 1 1 2 1 1 1 1
Först överför vi, med hjälp av radoperationer, systemets totalmatris till trappstegsform:
4 6 3 2 3 2 7 9 6 2 2 1 1 2 1 1 1 1
~
+
− +
−
1 3 3 0 1 2 1 3 6 1 1 1 0 1 1 0 0 1 ) 3 1
(
) 2 1
(
rad rad
rad
rad
I Gauss – Jordanmetoden fortsätter vi och eliminerar även ovanför ledande ettor och får
+
−
+
−
1 2 2 0 1 2 1 2 5 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ) 2 3
(
) 1 3
(
rad rad
rad rad
~
+
−
1 2 0 0 1 1 1 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 1 2
( rad rad
(reducerad trappstegsform)
För att tolka den reducerade trappstegsformen skriver vi den sista totalmatrisen som tre ekvationssystem:
A)
=
=
= 1
2 3
z y x
som ger x=3, y=2, z=1
B)
=
=
= 0 1 1
z y x
som ger x=1, y=1, z=0
C)
=
=
= 1 2 0
z y x
som ger x=0, y=2, z=1
Svar: A) x=3, y=2, z=1 B) x=1, y=1, z=0 C) x=0, y=2, z=1
6. Lös följande ekvationssystem med samma vänsterled A) B)
= + +
= + +
= + +
15 3 3 2
9 2 2
6
z y x
z y x
z y x
= + +
= + +
= + +
4 3 3 2
1 2 2
2
z y x
z y x
z y x
Lösning:
Vi använder en totalmatris med två högerled och löser båda system samtidigt:
4 1 2 15
9 6 3 2 1 3 2 1 2 1 1
Först överför vi, med hjälp av radoperationer, systemets totalmatris till trappstegsform:
4 1 2
15 9 6
3 2 1
3 2 1
2 1 1
~
− +
−
+
−
0 1 2
3 3 6
1 1 1
1 1 1
0 0 1
) 3 1
2 (
) 2 1
(
rad rad
rad
rad
~
− +
− 1
1 2 0 3 6 0 1 1 0 1 1 0 0 1 ) 3 2
( rad rad
I Gauss – Jordanmetoden fortsätter vi och eliminerar även ovanför ledande ettor och får
~
− +
−
1 1 3
0 3 3
0 1 0
0 1 0
0 0 1 ) 1 2
( rad rad
(reducerad trappstegsform)
För att tolka den reducerade trappstegsformen skriver vi den sista totalmatrisen som två ekvationssystem:
A)
=
= +
= 0 0
3 3 z y x
som ger x=3, y=3−t, z=t (oändligt många lösningar)
B)
=
= +
= 1 0
3 3 z y x
⇒ ingen lösning
Svar: A) x=3, y=3−t, z=t B) ingen lösning
