KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER
KVADRATISKA MATRISER
Definition 1. En matris med n rader och n kolonner, kallas kvadratisk.
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
typ(A)= n× . n
Definition 2. Element i en kvadratisk matris med radindex=kolonnindex , a , 11 a ,…, 22 a , säges ligga på diagonalen ( eller huvuddiagonalen) . nn
En diagonalmatris är en kvadratisk matris där alla element utanför diagonalen är nollor.
Exempel 1. Några diagonalmatriser.
=
3 0
0 A 2 ,
−
=
5 0 0
0 2 0
0 0 3
B ,
=
9 0 0
0 0 0
0 0 3
C ,
=
4 0 0 0
0 3 0 0
0 0 0 0
0 0 0 2 D
Definition 3. Summan av alla diagonalelement i en kvadratisk matris A kallas matrisens spår och betecknas tr (A) (från engelskans ” trace ” ).
Exempel 2. Låt
=
0 5 1
0 2 0
0 2 5
A . Då är tr(A)= 5+2+0 = 7.
Definition 4. En kvadratisk matris är en triangulär matris om matrisen har endast nollor på ena sidan av diagonalen.
En matris sägs vara övertriangulär ( = uppåt triangulär= högertriangulär) om alla tal under diagonalen är 0 och eventuella nollskilda tal ligger på eller ovanför diagonalen.
En matris sägs vara undertriangulär ( = nedåt triangulär= vänstertriangulär) om alla tal ovanför diagonalen är 0 och eventuella nollskilda tal ligger på eller under diagonalen.
Exempel 3. Nedanstående matris A är övertriangulär (nollskilda element finns endast ovanför och på diagonalen) , medan matrisen B är undertriangulär:
−
=
4 0 0
4 2 0
5 8 5
A ,
=
8 5 1
0 2 5
0 0 5 B
Definition 5. En enhetsmatris är en kvadratisk matris där alla diagonalelement är ettor och alla element utanför diagonalen är nollor.
En enhetsmatris betecknas ofta med I eller E.
Exempel 4. Några enhetsmatriser.
=
1 0
0 1
I2 ,
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I3 ,
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 I4
Definition 5. En kvadratisk matris M är en nilpotent matris om Mk=0 för något positivt heltal k.
Exempel.
= 0 0
2
A 0 ,
−
= −
2 1
4
B 2 ,
=
0 0 0
1 0 0
1 2 0
C och
−
−
−
−
−
−
=
6 6 6
2 2 2
4 4 4 D
är nilpotenta matriser.
Kontrollera att A2=0, B2=0, C3=0 och D2=0.
DETERMINANT AV EN KVADRATISK MATRIS A) Determinanter av andra ordningen
Determinanten av en kvadratisk matris A
=
22 21
12 11
a a
a
a är ett tal som betecknas
det(A) eller
22 21
12 11
a a
a
a och definieras enligt följande:
Exempel 5. 5 4 3 2 20 6 14 4
3 2
5 = ⋅ − ⋅ = − = .
Exempel 6. Beräkna följande determinanter:
a) c d b
a b) 2 1
2
1 c)
4 5
2
−2
d) 4 3
0 0
e) a a a a 2
3 f )
) 1 ( 1
2 + x
x g)
) 1 (
2 + x x
x h)
1 1 a3
a
Svar: a) ad −bc b) 0 c) –18 d) 0 e) −5a2 f) x2 + x−2 g) x2 −x h) 1 a− 4 B) Determinanter av tredje ordningen
12 21 22 11 22 21
12
11 a a a a
a a
a
a = −
Determinanten av en matris A
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
är ett tal som betecknas det(A) eller
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
och kan beräknas med hjälp av Laplaceutveckling " Utveckling efter en rad ( vilken som helst) eller en kolonn ( vilken som helst) :
Utveckling efter första raden
32 31
22 21 13 33 31
23 21 12 33 32
23 22 11 33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
a a a
a a a
a a a
+
−
=
Utveckling efter en rad eller en kolonn.
Låt
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
D= .
För att beräkna determinanten kan vi använda en av följande metoder:
1. Utveckling efter rad nummer i
3 3 3 2
2 2 1
1
1 ( 1) ( 1)
) 1
( i ai Ai i ai Ai i ai Ai
D= − + + − + + − +
2. Utveckling efter kollon nummer k
k k k k
k k k
k
ka A a A a A
D=(−1)1+ 1 1 +(−1)2+ 2 2 +(−1)3+ 3 3
I dessa utvecklingar är Aikunderdeterminanten m a p platsen (i,k)
som vi får om vi tar bort rad nummer i och kolonn nummer k från determinanten D . Teckenschema för (− )1 i+k.
+
− +
− +
−
+
− +
Exempel 7. Beräkna följande determinanter:
a)
0 1 2
0 3 1
3 2 1
b)
5 5 2
1 3 1
3 2 1
c)
4 5 5
1 3 1
3 2 4
Lösning:
Vi använder och jämför två metoder, utveckling efter rad 1 och utveckling efter kolonn 3.
Metod 1) Utveckling efter rad 1.
15 ) 6 1 ( 3 ) 0 0 ( 2 ) 0 0 ( 1 1 2
3 3 1
0 2
0 2 1
0 1
0 1 3
0 1 2
0 3 1
3 2 1
−
=
− +
−
−
−
=
⋅ +
⋅
−
⋅
=
Metod 2) Utveckling efter kolonn 3 ( där vi har två 0-element).
15 ) 6 1 ( 3 0 1 0
2 3 3 1
0 1 2
0 3 1
3 2 1
−
=
−
= + +
⋅
=
Det är enklast att utveckla en determinant efter den rad eller kollon med flera 0-element.
Svar a) -15 b) 1 c) 0
C) Determinanter av n:te ordningen.
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a D
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
Utveckling efter en rad eller en kolonn.
Låt
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a D
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
= .
För att beräkna determinanten kan vi använda en av följande metoder:
1. Utveckling efter rad nummer i
in in n i i
i i i
i
i a A a A a A
D=(−1)+1 1 1 +(−1)+2 2 2 ++(−1)+ 2. Utveckling efter kollon nummer k
nk nk k n k
k k k
k
ka A a A a A
D=(−1)1+ 1 1 +(−1)2+ 2 2 ++(−1) +
I dessa utvecklingar är Aikunderdeterminanten m a p platsen (i,k)
som vi får om vi tar bort rad nummer i och kolonn nummer k från determinanten D . Teckenschema för (− )1 i+k.
+
− +
− +
−
+
− +
INVERSA MATRISER
Definition 6. Låt A vara en kvadratisk matris av typ n× . Matrisen A är inverterbar om n det finns en kvadratisk matris B, av samma typ n× sådan att n
I BA AB= = , där I är enhetsmatrisen av typ n× . n
En sådan matris B kallas en invers matris till A . Den inversa matrisen betecknas med
−1
A .
Alltså om matrisen A har inversen A då gäller −1 AA−1 = A−1A=I och
( )
A−1 −1 = A.SATS OM INVERTERBARA MATRISER.
Låt A vara en KVADRATISK matris av typ n × n . Följande påstående är ekvivalenta 1. A är inverterbar
2. Rang(A)= n
3. Matrisens reducerade trappstegsform är I (där I=enhetsmatrisen an typ n × n ) 4. Matrisen har n oberoende rader
5. Matrisen har n oberoende kolonner 6. det(A)≠ 0.
7. ekvationssystemet AX =B har precis en lösning för varje
= bn
b b B ...
2 1
.
( Då är lösningen X = A−1B)
8. ekvationssystemet AX =0 har precis en lösning, den triviala lösningen, X=0.
Exempel 8. Undersök om matrisen A är inverterbar
a)
=
3 1
1
A 2 b)
=
2 4
1
A 2 c)
=
2 3
1 A 2
d)
=
5 0 0
0 2 0
1 2 3
A e)
=
5 0 0
2 4 6
1 2 3
A f)
=
3 6 4
2 4 1
1 2 3 A
Svar: a) Matrisen är inverterbar eftersom det(A)=5≠ 0.
b) Matrisen är INTE inverterbar eftersom det(A)=0.
c) inverterbar (=reguljär) d) inverterbar e) Ej inverterbar (=singulär) f) Ej inverterbar
Beräkning av inversen för en
2×2matris.
Låt
= d c
b
A a .
Matrisen är inverterbar om det(A)≠ 0 dvs ad − bc ≠0. Inversen kan beräknas med följande formel:
−
= −
−
a c
b d
A A
) det(
1 1
. Exempel 9.
Bevisa formeln
−
= −
−
a c
b d A A
) det(
1 1
. Bevis:
Låt
−
= −
a c
b d B A
) det(
1 . Vi behöver visa att AB=I och BA=I.
Vi beräknar AB= I
bc ad bc ad bc a ad
c b d d c
b a
A =
=
−
−
= −
−
−
1 0
0 1 0
1 0 )
det(
1
På samma sätt får vi att BA=I.
Därmed har vi bevisat att
−
= −
a c
b d B A
) det(
1 är inversen till A.
Exempel 10.
Beräkna den inversa matrisen för nedanstående matriser.
a)
=
5 4
3
A 2 b)
=
2 1
3
B 3 c)
=−
2 1
4
C 3 d)
=
2 1
5 D 3
Svar:
a) 10 12 2
5 4
3 ) 2
det(A = = − =− ≠0, så är matrisen inverterbar.
−
= −
−
−
= −
−
1 2
2 / 3 2 / 5 2
4 3 5
) 2 (
1 1 A
b)
−
= −
−
= −
−
1 3 / 1
1 3
/ 2 3
1 3 2
3
1 1 B
c)
=−
−
−
−
= −
−
3 . 0 1 . 0
4 . 0 2 . 0 3
1 4 2
) 10 (
1 1 C
d)
−
= −
−
3 1
5 2
1
1 1 D
Beräkning av inversen för en
n×nmatris.
Gauss-Jordan metod (kallas också Jacobis metod) för matrisinvertering.
Låt A vara en inverterbar kvadratisk matris ( det A≠ 0) av typ n× och I enhetsmatrisen n av samma typ.
Vi placerar enhetsmatrisen till höger om A och bildar en matris (A| I) av typ n×2n
.
Med elementära rad operationer ombildar vi (A| I) till (I |B).
Om (A| I) ~(I | B), så är A-1= B .
Anmärkning: Om matrisen inte är inverterbar så är det omöjligt att ombilda (A| I) till (I |B ). I detta fall får man ( efter några elementära radoperationer) en noll-rad i vänstra halvan av den stora matrisen.
Alltså, en noll-rad i vänstra halvan under ombildning av den stora matrisen visar att matrisen INTE är inverterbar.
Exempel 11.
Beräkna den inversa matrisen för nedanstående matriser.
a)
=
1 0 0 0
2 2 0 0
0 0 1 0
0 0 4 2
A b)
=
1 0 0
0 2 0
0 2 2
B c)
=
1 0 1
0 2 0
0 2 1 C
d)
=
1 0 1
0 0 0
0 2 1
D e)
=
1 3 1
0 1 0
1 2 1 E
Svar: a)
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
2 2 0 0
0 0 1 0
0 0 4 2 )
| (A I
(Vi delar rad 1 med 2 och rad 3 med 2 )
1 0 0 0
0 2 / 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 2 / 1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 2 1
~
Två elementera radoperationer: 1) r2*(-2)+r1 , 2) r4*(-1)+r31
−
−
1 0 0
0
1 2 / 1 0 0
0 0 1
0
0 0 2 2 / 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
~
Härav
−
−
− =
1 0 0 0
1 2 / 1 0 0
0 0 1 0
0 0 2 2 / 1
A 1 .
b)
−
− =
1 0 0
0 2 / 1 0
0 2 / 1 2 / 1
B 1 c)
−
−
− =
1 1 1
0 2 / 1 0
0 1 1
C 1
d) Matrisen D är INTE inverterbar e) Matrisen E är INTE inverterbar
=======================================================
För att bevisa att B är inversen till A räcker det att visa att AB=I, som vi använder i nedanstående exempel.
Exempel 12. BEVISA: Om A är en inverterbar matris och λ ett tal skild från 0 då är
1
1 1
)
( − = A− tA t .
Bevis: AA I
t A t
tA t = =
1 −1 −1
)
( . Detta medför att ( )−1= A1 −1 tA t
Exempel 13. BEVISA: Om A är en inverterbar matris då är
T
T A
A ) ( ) ( −1 = −1 .
Bevis: (Vi använder räknelagen PTQT =(QP)T I
I A A A
AT( −1)T =( −1 )T = T = . Detta medför att (AT)−1=(A−1)T.
Exempel 14 . BEVISA: Om en matris A är en produkt av två inverterbara matriser , A=PQ, då är A inverterbar och A−1 =Q−1P−1 .
Bevis: Vi behöver endast visa att AQ−1P−1 =I. Detta får vi enkelt från AQ−1P−1 = PQQ−1P−1 = PIP−1 =PP−1 =I.
Exempel 15.
A är en kvadratisk matris som satisfierar a) A2 − 3A+I =O b) A3 +4A−5I =O. Visa att A är inverterbar och bestäm A . −1 a) Lösning .
I I A A I A A O I A
A2 −3 + = ⇒− 2 +3 = ⇒ (− +3 )= .
Alltså, det finns en matris B (= −A+3I) sådan att AB =I. Därför är A inverterbar och I
A A−1 =− +3 .
b ) Svar. ( 4 )
5 1 2
1 A I
A− = +
Exempel 16. Om A är en kvadratisk matris sådan att A5 =0 visa att (I −A) är inverterbar och
at (I− A)−1 =I +A+ A2 + A3 +A4. Lösning:
(Anmärkning: Om vi, för en matris P, visar att det finns Q så att PQ=I betyder detta enligt definitionen för inversmatris att P är inverterbar och att Q är inversen till P.) Vi multiplicerar
5 4 3 2 4
3 2
4 3
2 )
)(
(
A A A A A A A A A I
A A A A I A I
−
−
−
−
− + + + +
=
= + + + +
− A5
I −
= ( eftersom A5 =0)
= I
Därmed har vi visat att (I − A) är inverterbar och at (I −A)−1 =I +A+A2 + A3 +A4.
Exempel 17. (KS 08)
a) Matrisen X satisfierar ekvationen AXA= AX +Iär en given matris av typ n× sådan att n
−1
A och (A− I)−1 existerar. Bestäm matrisen X.
b) Om B är en kvadratisk matris sådan att B2 −4B+I =0 visa att B är inverterbar och bestäm B −1
c) Om C är en kvadratisk matris sådan att C3 =0 visa att (I−C) är inverterbar och bestäm (I − C)−1.
Lösning:
a) Vi multiplicerar ekvationen AXA= AX +I från vänster med A ( som existerar enligt −1 antagande) och får
1 1
)
( −
−
=
−
⇒ +
=
A I A X
A X XA
Den sista ekvationen multiplicerar vi från höger med (A− I)−1(existerar enligt antagande) och får
1
1( )−
− −
= A A I X
b) B2 −4B+I =0⇒I =4B−B2 ⇒I =B(4I−B) Detta visar att B är inverterbar och B =−1 4I−B c)
Eftersom C3 =0 har vi
) )(
( 2 2
3
3 C I C I I C C
I
I = − = − + ⋅ +
Alltså
) )(
(I C I C C2
I = − + +
Därför är (I−C) är inverterbar och ) 1
(I − C − =(I+C+C2).
Exempel 18. Om A är en kvadratisk matris sådan att An =0 visa att (I −A) är inverterbar och
bestäm (I− A)−1.
Svar: (I −A)−1 =I + A++An−1.
Exempel 19. Om B är en inverterbar matris BEVISA att A
B
AB−1 = −1 om och endast om AB=BA Bevis:
i ) Vi antar först att AB−1 =B−1A A
B
AB−1 = −1 ( vi multiplicerar med B från höger och använder B−1B= I )
⇒ A=B−1AB (nu multiplicerar vi med B från vänster och använder BB−1 =I )
⇒ BA= AB
Alltså vi har bevisat implikationen
(AB−1 = B−1A) ⇒(AB=BA) (*) ii) Nu antar vi att AB=BA
BA
AB = ( vi multiplicerar med B från höger ) −1
⇒ A= BAB−1( vi multiplicerar med B från vänster) −1
⇒ B−1A= AB−1 Nu har vi bevisat
(AB=BA)⇒ (AB−1 = B−1A) (**)
De två implikationer, (* ) och (**) ger tillsammans ekvivalensen (AB−1 =B−1A) ⇔(AB= BA)
Exempel 20. BEVISA: Om A är inverterbar då är båda A+Boch I + BA−1 inverterbara eller båda singulära ( icke inverterbara).
Bevis:
i) Först antar vi att A+B är inverterbar.
Då gäller
1 1
1 − −
− = +
+BA AA BA
I ( Vi har skrivit AA istället för −1 I)
⇒ I +BA−1 =(A+B)A−1 (*)
(*) Visar att vi har skrivit I+ BA−1 som en produkt av två inverterbara (enligt antagande i) matriser och därför är I+ BA−1också inverterbar
(Vi kan även beräkna inversen (I +BA−1)−1 =[(A+B)A−1]−1 = A(A+B)−1. ) ii) Nu antar vi att I+ BA−1 är inverterbar.
Då gäller A+B= A+BI = A+BA−1A=(I +BA−1)A.
Alltså A+Bkan skrivas som en produkt av två inverterbara (enligt antagande ii) matriser och därför är A+Bockså inverterbar.
Vi har genom i) och ii) bevisat att
( A+B är inverterbar ) om och endast om (I + BA−1 är inverterbar ).
Med andra ord: Matriserna A+B och I+ BA−1är antingen båda inverterbara eller båda singulära (icke inverterbara)
Exempel 21. Anta att givna inverser existerar och bevisa följande likhet:
B B A A B
A 1 1) 1 ( ) 1
( − + − − = + − .
Bevis:
Metod1. Vi bevisar påståendet genom en följd av ekvivalenta likheter:
B B A A B
A 1 1) 1 ( ) 1
( − + − − = + − Vi inverterar båda leden (inverserna finns enligt antagandet)
⇔((A−1+B−1)−1)−1 =(A(A+B)−1B)−1
⇔A−1 +B−1 =B−1(A+B)A−1 ( först multiplicerar vi från höger med A)
⇔I +B−1A= B−1(A+B) ( vi multiplicerar från vänster med B)
⇔B+A= A+B (*)
Den sista likheten (*) är sann och eftersom den första likheten är ekvivalent med den sista, har vi bevisat vår påstående
B B A A B
A 1 1) 1 ( ) 1 ( − + − − = + − .
Vi kan bevisa samma påstående direkt men, den här gången, får vi mer komplicerad beräkning med direkt metoden.
Metod2. Vi bevisar påståendet direkt genom att visa att högerledet A(A+B)−1Bär inversen till (A−1+ B−1).
Vi multiplicerar
B B A A B B B A
B B A A B B B A A A B B A A B A
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
) ( )
(
) ( )
( )
( ) (
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+ +
+
=
+ +
+
= +
+
B B A A B
I 1 )( ) 1
( + − + −
= ( Vi ersätter I med B−1B) B
B A A B B
B 1 1 )( ) 1
( − + − + −
=
I B B
IB B
B B A A B B
=
=
=
+ +
=
−
−
−
−
1 1
1
1( )( )
Därför (A−1+B−1)−1 = A(A+B)−1B vad skulle bevisas.
