Matematisk orientering

Matematisk orientering

Wilhelm Olofsson December 2019

1 Inledning

Vi lever i ett samh¨alle som st¨andigt ¨ar i f¨or¨andring. Dessa f¨or¨andringar p˚averkas av oss m¨anniskor och vid de tillf¨allen vi f¨or¨andrar samh¨allet sker det med hj¨alp av olika verktyg. Ett exempel p˚a ett s˚adant verktyg, om inte det vanligaste anv¨anda, ¨ar vetenskap och d¨arigenom ¨aven matematik. Men matematiken ¨ar inte konstant genom historien. Den har utvecklats och det har p˚averkat vetenskapen och samh¨allet p˚a grund av hur den ¨ar samman- bunden med dessa. Syftet med denna text ¨ar att redog¨ora f¨or hur matem- atik¨amnet har utvecklats, p˚averkar och interagerar med andra vetenskaper och samh¨allet i stort, det genom att sammanfatta fyra olika f¨orel¨asningar och diskutera inneh˚allet i dem mot syftet.

2 Zenuity och sj¨ alvk¨ orande bilar

Jonathan Ahlstedt f¨orel¨aste under My-dagen den 4/11 2019 om sitt arbete vid Zenuity[1], ett f¨oretag som utvecklar f¨orm˚agan att f˚a bilar att k¨ora sj¨alva.

F¨or att lyckas f˚a dem att k¨ora helt sj¨alv kr¨avs det dataprogram, de beh¨ovs b˚ade f¨or att k¨ora men ¨aven f¨or att sedan validera hur v¨al de sj¨alvk¨orande programmen fungerar. Vid skapandet av dessa datorprogram anv¨ands pro- grammering regelbundet trots det s¨ager Ahlstedt[1], Matematik anv¨ands och

¨

ar viktigare ¨an programmeringen trots att vi programmerar hela tiden.

Exempel p˚a hur Zenuity anv¨ander matematik ¨ar dels med statistik och dels med databehandling av data som producerats. N˚agra exempel p˚a detta

¨

ar dels att statistiskt bevisa att bilarna ¨ar s¨akra, som Ahlstedt menar ¨ar viktigt[1], men det anv¨ands ¨aven matematik vid objektidentifieringen. Det p.g.a att verktyg som exempelvis ai anv¨ands som bygger p˚a databehandling och statistik.

Objektidentifiering tillh¨or datavetenskap eftersom det g˚ar ut p˚a att man programmerar en dator att leta objekt i en bild. Man l˚ater f¨orst datorn samla in datan d¨arefter l˚ater man datorn behandla datan i olika steg. Det ¨ar h¨ar matematiken kommer in, det ¨ar med hj¨alp av matematiken man behand- lar datan. Detta sker i flera steg och p˚a Zenuity kategoriserar man, enligt Ahlstedt[1], in dem i ordningen som f¨oljer (se figur 1 och 2).

Figure 1: Olika steg i objecttracking

Raw pointcloud, i detta steg samlar man in datan. Ground removal, i

Figure 2: Olika steg i objecttracking

detta steg filtrerar man datan med matematisk statistik till den data man finner intressant. Object segmentation, b¨orjar koppla samman data. On road filtering, i detta steg b¨orjar man titta hur v¨arlden ser ut och var man ska placera v¨agen. Initial classification, i detta steg s¨atter man ihop data till object. Tracking and post classification, i detta steg l¨oser man saker som var objekten ¨ar i f¨orh˚allande till varandra i rummet osv. Po¨angen ¨ar att det kr¨avs mer eller mindre matematik i varje steg efter man har genomf¨ort f¨orsta steget och samlat in all data.

3 Matematisk optimering

F¨or att forts¨atta p˚a det som togs upp i inledningen om att matematiken ¨ar ett av verktygen vi har f¨or att kontrollera f¨or¨andringen av samh¨allet s˚a ¨ar matematisk optimering ett sj¨alvklart exempel. Uttrycket optimering anv¨ands frekvent i vardagligt tal, men matematisk optimering ¨ar att det ¨ar bevisat optimalt enligt matematisk h¨arledning, det tar Ann-Brith Str¨omberg upp i en f¨orel¨asning den 25/11 2019[3]. Detta ¨ar ett omr˚ade som har f¨or¨andrats och utvecklats mycket genom ˚aren.

Ett av de tidigaste exemplen p˚a optimering ¨ar “De sju broarna i K¨onigsberg”

(se figur 3). Det var ett problem som l¨ostes av Euler.

Figure 3: Bild p˚a de sju broarna i K¨oningsberg

Gauss har ocks˚a bidragit till matematisk optimering, exempelvis utveck- lade han den f¨orsta optimerings algoritmen. Ann-Brith Str¨omberg beskriver den som att man letar efter den brantaste lutningen[3] (se figur 4).

Figure 4: Visualisering av hur Gauss optimering g˚ar till

Om det optimala stadiet kan uttryckas som en funktion av andra parame- trar letar man sig till det stadiet genom att hela tiden ta den brantaste lutningen mot det optimala stadiet

Ett annat intressant och v¨alk¨ant steg i utvecklingen av optimeringen ¨ar W.R. Hamilton som 1857 skapade Hamilton cykeln. Den kan beskrivas som en resa mellan varje nod l¨angs kanterna exakt en g˚ang. Detta ¨ar n˚agot man ofta vill optimera efter, hitta en optimal rutt f¨or exempelvis en brevb¨arare, men problemet ¨ar att det snabbt g˚ar en ur h¨anderna f¨or vad man klarar av att ber¨akna alltefter noder och kanterna ¨okar. Ett annat steg i utvecklingen av matematisk optimering som Str¨omberg tar upp i sin f¨orel¨asning[3] och som man inte f˚ar gl¨omma ¨ar n¨ar George Dante 1947 utvecklar linj¨aroptimeringen,

¨

aven kallat simplexalgoritmen.

Ann-Britt Str¨omberg avslutar sin f¨orel¨asning med att ta upp till¨ampningar f¨or matematisk optimering[3]. Hon visar hur optimeringen ¨ar ett bra exem- pel p˚a hur matematiken str¨acker sig ¨over vida anv¨andningsomr˚aden inom vetenskap men kanske framf¨orallt samh¨allet i stort, det p˚averkar saker som logistik, energi, finans och medicin. F¨or att g˚a in lite mer specifikt p˚averkar optimeringen saker inom de omr˚adena som att optimera rutter f¨or transporter och vad som ska tas med. Den anv¨ands ¨aven f¨or att integrera elproduktion av sol och vind i det globala elsystemet men ¨aven lokalisering av kraftverken.

Optimeringen kan ocks˚a ha att g¨ora med att optimera str˚alriktning och inten- siteter f¨or olika medicinska behandlingar som ska vara individuellt f¨or varje patient f¨or att inte f¨orst¨ora v¨avnad i on¨odan.

Allts˚a ¨ar till¨ampningnsomr˚adena m˚anga men hur g˚ar optimeringen till i praktiken? Ann-Britt Str¨omberg gav ett enkelt exempel p˚a linj¨ar optimer- ing[3]. I det exemplet hade hon en fabrik som producerade tv˚a produkter varav den en gav dubbelt s˚a stor vinst som den andra. Andra regleringar

p˚a fabriken var att man endast kunde tillverka en produkt ˚at g˚angen, en- dast 75 procent av produktionstimmarna (50 timmar totalt) fick g˚a ˚at till produkten som gav mer vinst. tio ton glukos fanns maximalt att tillg˚a och b˚ada produkterna kr¨avde glukosen varav en veckas produktion av den mer vinstdrivande produkten kr¨avde ˚atta ton och 13 ton till den andra.

Vilka besluts alternativ finns d˚af¨or optimeringen? Man kan dela upp timmarna mellan de tv˚a p˚a ett godtyckligtvis.

x₁ = produktionstimmar till den mer vinstdrivande produkten x₂ = produktionstimmar till den mindre vinstdrivande produkten

Vad begr¨ansar denna opptmering? Endast produktion vid samma tillf¨alle.

x₁+ x₂ ≤ 50 (1)

Max 75 procent av den mest vinstdrivande produkten.

x₁ ≤ 50 × 0.75 = 37.5 (2)

Sedan kommer den totala m¨angden glukos att begr¨ansa.

8 × x₁

50+ 13 × x₂

50 ≤ 10 ⇐⇒ 8x₁ + 13x₂ ≤ 500 (3) Det man kan undra h¨ar efter ¨ar hur man skall anv¨anda dessa formler f¨or att maximera vinsten men det k¨avs d˚a kvoten mellan vinst per produkt mellan de tv˚a olika produkterna.Man kan st¨alla upp den totala vinsten som en funktion mellan de tv˚a variablerna x₁ och x₂ som ska bli s˚a stor som m¨ojligt.

2x₁ + x₂ → maximalvinst (4)

Figure 5: Visualisering av hur de olika begr¨ansningarna inverkar p˚a de olika kombinationerna av tidsuppdelningar man kan genomf¨ora mellan hur man delar upp tiden i produktionen. Det gr¨ona omr˚adet ¨ar de till˚atna kombi- nationerna med x1 p˚a x-axeln och x2 p˚a y-axeln. Den str¨ackade linjerna motsvara de vinster man kan f˚a. Alla punkter l¨anges en str¨ackad linje ger lika mycket vinst allts˚a vill man ha s˚a m˚anga timmar som m¨ojligt p˚a linjen f¨or maximal vinst. (obs man kan inte ha negativa timmar d¨arav inh¨angnad mellan koordinataxlana).

Figurtexten till figur 5 beskriver v¨al vad som sker. Man man vill maximera timmmarna och d˚a har man tittat p˚a de olika kombinationerna av timmar.

Dessa h¨angnas in mellan begr¨ansningarna och koordinataxlarna ty det ¨ar om¨ojligt att tilldela negativa timmar p.g.a. dess om¨ojliga tolkning. Vinsten ges av den bl˚a linjen och ekvationen.

Vinst = 2x1+ x2 (5)

Den absolut st¨orsta vinsten kommer man d¨arf¨or att finna i den punkt d¨ar den h¨ogra str¨ackade linjen tangerar det gr¨ona omr˚adet.Ty efter r¨aknande av lutningar p˚a linjerna kommer man att se att den lutningen ¨ar brantarer ¨an de andra i figur 5 och den kommer att vara den till h¨oger ty den kommer att vara den som har st¨orst vinst eller m-v¨arde om man t¨anker r¨atalinjens ekvation. Genom att r¨akna ut den punkten mellan den lodr¨atalinjen och den med minst lutning i figuren ger punkten (37.5 , 12.5). Det ger att man skall l¨agga ner 37.5 timmar p˚a den mer vinstdrivande och 12.5 p˚a den mindre vinstdrivande.

4 Googles s¨ okalgoritm

F¨or att forts¨atta p˚a till¨ampningar av matematiken ¨ar Googles s¨okalgoritm ett bra exemplen p˚a hur klurig anv¨andning av matematik har p˚averkat samh¨allet.

Stefan Lemurells f¨orel¨asning den 27/11 2019 handlede om Googles s¨okalgoritm[2].

I den moderna v¨arlden ¨ar det mycket som kretsar kring n¨atet, man f˚ar in- formation, betalar r¨akningar, kollar upp tider, platser och andra personers

˚asikter om saker. Allt detta skulle med stor sannolikhet vara jobbigare ifall man inte hade s¨okmotorer som letar webbsidor p˚a enstaka ord ist¨allet f¨or att ta sig runt genom att bara ta sig till de sidor man kunde den fullst¨andiga webbadressen fr˚an b¨orjan. Ifall internet hade varit mindre anv¨andarv¨anligt skulle det med stor sannolikhet inte vara lika popul¨art som idag vilket g¨or s¨okmotorer och s¨okalgoritmer som googles viktiga[2].

Ifall man ska kunna skriva enstaka ord f¨or att f˚a upp relevanta f¨orslag p˚a hemsidor m˚aste motorn veta lite om hur du t¨anker n¨ar du skriver vissa ord.

Vilket kan l¨osas med statistik och big data om dig men det finns fortfarande problem med vilka sidor som b¨or visas f¨orst, ska det endast bero p˚a hur du ¨ar kategoriserad som person i systemet eller ska det kanske ocks˚a bero p˚a hur popul¨ar sidorna ifr˚aga ¨ar? Enligt Lemurell anser google att det ¨ar senare ¨ar viktigt[2]. De menar att man kan ranka sidorna genom att titta p˚a l¨ankar till och ifr˚an dem och till vilka dessa l¨ankar leder eller kommer ifr˚an.

Matematiskt har de l¨ost problemet med linj¨ar algebra.

I formel 6 visas en f¨orenklad variant av den riktiga algoritmen. v(P_i) ¨ar ett tal p˚a hur viktig sidan P_i ¨ar. d ¨ar en d¨ampningsfaktor som ska motsvara att n¨atet inte ¨ar sammanh¨angande med sidor l¨ankar till alla andra sidor. Lemurel gav en tolkning [2] att det ¨ar som att man tar en sida p˚a m˚af˚a. Man tar 1−d och delar det i tot. antal sidor N f¨or att f˚a en korekt ”d¨ampningsfaktor”

f¨or sidan. I summan summerar man, #(P_j P_i), antalet l¨ankar fr˚an sidan P_j (en godtycklig sida) multiplicerat med vikten p˚a P_j och dividerar med `_j, antalet l¨ankar fr˚an sidan P_j. Detta sker f¨or varje P_j som tillh¨or m¨angden B_i (m¨angden av sidor fr˚an P_i).

v(P_i) = 1 − d

N + d ^X

Pj∈Bj

v(P_j)#(P_j P_i)

`_j = 1 (6)

5 Kombinatoriska spel och neuralan¨ at

Ett annat intressant ¨amne inom matematiken som har utvecklats och som har f˚att till¨ampningar i vardagen ¨ar neurala n¨atverk och kombinatoriska spel.

Eftersom de flesta uppgifter i v¨arlden kan modelleras som spel kan man f¨orst˚a att kombinatoriska spel och neurala n¨atverk ¨ar intressanta och har

m˚anga till¨ampningar. Johan W¨astlund h˚aller sin f¨orel¨asning den 7/11 om kombinatoriska spel och neurala n¨atverk[4]. Han definierar kombinatoriska spel som en form av spel d¨ar man turas om att g¨ora drag och tills spelet

¨

ar ¨over. Neurala n¨atverk ¨ar n˚agot helt annat, det ¨ar ett datorprogram som f¨or¨andrar den matematiska formel som den ¨ar uppbyggd av allt eftersom man k¨or data genom det.

Dessa tv˚a koncept anv¨ands inom datavetenskap men ¨ar grundade i matem- atiken. P˚a grund av att kombinatoriska spel f˚ar en exponentiell ¨okning i antalet utfall f¨or varje rond man spelar blev det l¨attare att bedriva forskning n¨ar kraftfullare datorer kom p˚apekar W¨asterlund[4]. Trots dessa problem har m˚anga problem l¨osts innan det fanns kraftfulla datorer. Ett exempel ¨ar Viktor Alice som l¨oste luffarschack med 15x15 rutor (se figur 6) 1994.

Figure 6: Bild av ett 15 g˚anger 15 rutors br¨ade med luffarschack

Anledningen till att kombinatoriska spel ¨ar intressant ¨ar f¨or att m˚anga f¨oreteelser kan betraktas som spel s¨ager W¨astlund[4]. D¨arav kan man f¨orr

eller senare hitta till¨ampningar till dessa l¨osningar. Han tar senare i sin f¨orel¨asning upp exempel. Ett exempel p˚a detta ¨ar ett kombinatoriskt spel, schack som man blandade b˚ade kunskapen om alfa-beta besk¨arning av kom- binatoriska spel med neurala n¨atverk f¨or att f˚a en dator att sl˚a en m¨anniska.

Detta h¨ande 1997, datorn hade namnet Deep blue och v¨arldsm¨astaren som blev slagen var Garri Kasparov. 2017 var ett ˚ar som var en milstolpe p˚a samma s¨att eftersom d˚a slog datorprogrammet AlphaGo v¨arldsm¨astaren i det spel som av vissa kallas v¨arldens mest avancerade taktikspel. Vilket W¨astlund s¨ager ¨ar ett steg n¨armare att skapa artificiell intelligens som ¨ar smartare ¨an m¨anniskor[4]. Det ¨ar n˚agot som man kan komma n¨armare genom att bryta upp vardagen i olika spel.

6 Sammanfattning

Avslutnignsvis, hur har matematik¨amnet utvecklats? Hur p˚averkar det och interagerar med andra vetenskaper och samh¨allet i stort? Som man kan se finns det flera olika delar av ¨amnet som utvecklas p˚a m˚anga olika plan. Ex- empelvis har matematisk optimering tagit resan fr˚an Euler och K¨onigsbergs Broar till optimering av dagens cancerbehandling. Eller fr˚an Viktor Alice bevis av luffarschack till datorprogrammet AlphaGo. Matematiken i sig ¨ar ett ¨amne som man finner i allt fr˚an sj¨alvk¨orande bilar till vilken ordning man p˚a ett optimalt s¨att passerar olika broar. P˚a grund av att samh¨allet p˚a jorden ¨ar uppbyggt teknik som anv¨ander matematik finns det ¨aven en kop- pling mellan dem. P˚agrund av att v˚art samh¨alle idag ¨ar s˚a beoende av teknik och tekniskutvecklig kan man sammanfatta denna text med att matematiken

¨

ar ett viktigt verktyg som driver samh¨allet fram˚at. Matematiken har varit viktigt, ¨ar viktigt nu i v˚ar samtid och kommer att vara viktigt i framtiden.

References

[1] Jonathan Ahlstedt. “Zenuity [ Validating censors in self-driving cars]”.

In: My-dagen (4/11 2019).

[2] Stefan Lemurel. “Googles sidrankning [ Googles sidrankning, linj¨ar alge- bra v¨ard en f¨orm¨ogenhet]”. In: Matematisk optimering f¨orel¨asningarna (27/11 2019).

[3] Ann-Brith Str¨omberg. “Matematisk Optimering [ Matematisk optimer- ing, en introduktion till ¨amnet vid MV]”. In: Matematisk optimering f¨orel¨asningarna (25/11 2019).

[4] Johan W¨astlund. “Kombinatioriska spel och neuralan¨at [ Kombinatoriska spel och neuralan¨at]”. In: Matematisk optimering f¨orel¨asningarna (7/11 2019).