UPPSALA UNIVERSITET Att r¨akna till lektion 5 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ordin¨ara differentialekvationer
Civilingenj¨orsutbildning
60.1 Best¨am typ och stabilitet f¨or j¨amviktspunkten (0, 0) f¨or varje av f¨oljande linj¨ara autonoma system:
(a)
dx
dt = 2x dy
dt = 3y ;
(e)
dx
dt = −4x − y dy
dt = x − 2y ;
(b)
dx
dt = −x − 2y dy
dt = 4x − 5y ;
(f)
dx
dt = 4x − 3y dy
dt = 8x − 6y ;
(c)
dx
dt = −3x + 4y dy
dt = −2x + 3y ;
(g)
dx
dt = 4x − 2y dy
dt = 5x + 2y .
(d)
dx
dt = 5x + 2y dy
dt = −17x − 5y ;
61.3 Visa att (0, 0) ¨ar asymptotisk stabil j¨amviktspunkt f¨or varje nedst˚aende system:
(a)
dx
dt = −3x
3
− y dy
dt = x5− y
3;
(b)
dx
dt = −2x + xy
3
dy
dt = −x
2y2− y
3.
62.5 Verifiera att (0, 0) ¨ar en enkel j¨amviktspunkt f¨or varje nedanst˚aende system, och best¨am dess typ och stabilitets egenskaper:
(a)
dx
dt = x+ y − 2xy dy
dt = −2x + y + 3y
2;
(b)
dx
dt = −x − y − 3x
2y dy
dt = −2x − 4y + y sin x . 62.6 van der Pols ekvation:
d2x
dt2 + µ(x2− 1) dx
dt + x = 0
¨ar ekvivalent med systemet:
dx
dt = y
dy
dt = −x − µ(x
2
− 1)y .
Undes¨ok stabilitets egenskaper f¨or j¨amviktspunkten (0, 0) ifall µ > 0 och ifall µ < 0 .
