UPPSALA UNIVERSITET L¨osningar till rekommenderade MATEMATISKA INSTITUTIONEN uppgifter till lektion 4
Pepe Winkler Ordin¨ara differentialekvationer
Civilingenj¨orsutbildning
54.1(a) Ers¨att differentialekvationen y00− x2y0 − xy = 0 med ett ekvivalent system av f¨orsta ordningens ekvationer.
L¨osning: S¨att z(x) = y0(x) ⇒ y00= z0 och systemet kan skrivas som
y0 = z
z0 = xy+ x2z . 55.5(a) Visa att x = e4t
y = e4t och x = e−2t
y = −e−2t ¨ar l¨osningar till homogena systemet:
dx
dt = x+ 3y dy
dt = 3x + y .
(b) Visa p˚a tv˚a s¨att att givna l¨osningar till systemet i (a) ¨ar linj¨art oberoende p˚a varje slutet intervall, och skriv upp den allm¨anna l¨osningen till detta system.
(c) Finn en partikul¨ar l¨osning x = x(t)
y = y(t) till detta system f¨or vilken x(0) = 5 och y(0) = 1 .
L¨osning: (a) Ins¨attningen av x = e4t, y= e4t i systemet ger att (x, y) = (e4t, e4t) satisfierar b˚ada ekvationerna och p˚a samma s¨att (x, y) = (e−2t,−e−2t) uppfyller systemet.
(b) 1. L˚at X1(t) = (e4t, e4t) och X2(t) = (e−2t,−e−2t) .
c1·(e4t, e4t) + c2·(e−2t,−e−2t) = (0, 0) ⇔ (c1e4t+ c2e−2t, c1e4t− c2e−2t) = (0, 0) . Speciellt, f¨or t = 0 , m˚aste g¨alla att (c1 + c2, c1− c2) = (0, 0) ⇔ c1 = c2 = 0 . L¨osningarna (e−4t, e−4t) och (e−2t,−e−2t) ¨ar linj¨art oberoende.
2. Wronskianen W (X1, X2) =
e−4t e−2t e−4t −e−2t
= −e−6t− e−6t= −2e−6t6= 0 , allts˚a l¨osningarna X1(t) = (e−4t, e−4t) och X2(t) = (e−2t,−e−2t) ¨ar linj¨art oberoende.
Den allm¨anna l¨osningen till systemet ¨ar
X(t) = c1X1(t) + c2X2(t) = (c1e−4t+ c2e−2t, c1e−4t− c2e−2t) . Den partikul¨ara l¨osningen som uppfyller villkoret X(0) = (5, 1) f˚ar man om i den allm¨anna l¨osningen s¨atter man konstanter c1 och c2 s.a. (5, 1) = (c1+c2, c1−c2) , dvs c1 = 3 och c2= 2 .
Den s¨okta partikul¨ara l¨osningen ¨ar Xp(t) = (3e−4t+ 2e−2t,3e−4t−2e−2t) . 55.6(a) Visa att x = 2e4t
y = 3e4t och x = e−t
y = −e−t ¨ar l¨osningar till det homogena systemet
dx
dt = x+ 2y dy
dt = 3x + 2y .
(b) Visa p˚a tv˚a s¨att att givna l¨osningar till systemet i (a) ¨ar linj¨art oberoende p˚a varje slutet intervall, och skriv upp den allm¨anna l¨osningen till detta system.
(c) Visa att x = 3t − 2
y = −2t + 3 ¨ar en partikul¨ar l¨osning till det inhomogena systemet
dx
dt = x+ 2y + t − 1 dy
dt = 3x + 2y − 5t − 2 .
Skriv upp den allm¨anna l¨osningen till systemet.
L¨osning: (a) Visas genom ins¨attningen.
(b) Visas p˚a samma s¨att som i f¨oreg˚aende uppgiften.
Den allm¨anna l¨osningen till det homogena systemet ¨ar:
Xh(t) = c1(2e4t,3e4t) + c2(e−t,−e−t) = (2c1e4t+ c2e−t,3c1e4t− c2e−t) .
(c) Om x(t) = 3t − 2 och y(t) = −2t + 3 d˚a g¨aller x0 = 3 samtidigt som x+ 2y + t − 1 = 3t − 2 + 2(−2t + 3) + t − 1 = 3t − 4t + t − 2 + 6 − 1 = 3 , allts˚a f¨orsta ekvationen i systemet satisfieras av x(t) och y(t) . y0 = −2 och 3x + 2y − 5t − 2 = 3(3t − 2) + 2(−2t + 3) − 5t − 2 = 9t − 4t − 5t − 6 + 6 − 2 = −2 , allts˚a ¨aven andra ekvationen i systemet satisfieras av funktionerna x(t) = 3t − 2 och y(t) = −2t + 3 .
Den allm¨anna l¨osningen till systemet ¨ar:
X(t) = (3t−2, −2t+3)+Xh(t) = (3t−2, −2t+3)+(2c1e4t+c2e−t,3c1e4t− c2e−t)
= (3t − 2 + 2c1e4t+ c2e−t,−2t + 3 + 3c1e4t− c2e−t) . 56.1 Best¨am den allm¨anna l¨osningen till systemet:
(a)
dx
dt = −3x + 4y dy
dt = −2x + 3y ;
(c)
dx
dt = 5x + 4y dy
dt = −x + y . L¨osning: (a) Fr˚an f¨orsta ekvationen f˚ar man y = 1
4(x + 3x) ⇒ y0= 1
4(x00+ 3x0) . Ins¨attningen i andra ekvationen ger 1
4(x00+ 3x0) = −2x +3
4(x0+ 3x) ⇔ x00− x= 0 som har karakteristiska ekvationen m2 −1 = 0 med r¨otter m1,2 = ±1 , altts˚a x(t) = c1e−t + c2et. Ins¨attningen i y(t) ger y(t) = 1
4(−c1e−t+ c2et+ 3(c1e−t+ c2et)) = 1
2c1e−t+ c2et.
(c) Best¨am x fr˚an andra ekvationen. x = y − y0 och x0 = y0− y00. Ins¨attningen i f¨orsta ekvationen ger y0− y00 = 5(y − y0) + 4y ⇔ y00−6y0+ 9y = 0 Den karakteristiska ekvationen ¨ar m2 −6m + 9 = 0 med r¨otterna m1,2 = 3 , allts˚a y(t) = e3t(c1+ c2t) och ins¨attningen i x(t) ger
x(t) = e3t(c1+ c2t) − 3e3t(c1+ c2t) − e3tc2 = −e3t(−2c1 + c2+ 2c2t) . 56.5 Betrakta det inhomogena, linj¨ara systemet:
(*)
dx
dt = a1(t)x + b1(t)y + f1(t) dy
dt = a2(t)x + b2(t)y + f2(t)
och motsvarande homogena systemet
(**)
dx
dt = a1(t)x + b1(t)y dy
dt = a2(t)x + b2(t)y . (a) Om x = x1(t)
y = y1(t) och x = x2(t)
y = y2(t) ¨ar linj¨art oberoende l¨osningar till (**), s˚a att: x = c1x1(t) + c2x2(t)
y = c1y1(t) + c2y2(t) ¨ar en allm¨ann l¨osning till (**), visa att x = v1(t)x1(t) + v2(t)x2(t)
y = v1(t)y1(t) + v2(t)y2(t) blir en partikul¨ar l¨osning till (*) om funktionerna v1(t) och v2(t) uppfyller systemet :
v10x1+ v20x2 = f1
v01y1+ v20y2 = f2
.
Denna teknik, f¨or att finna en partikul¨ar l¨osning till ett inhomogent, linj¨art system kallas f¨or Liouvills metod med variabla koefficienter.
(b) Anv¨and metoden som beskrivs i (a) f¨or att finna en partikul¨ar l¨osning till det inhomogena, linj¨ara systemet
dx
dt = x+ y − 5t + 2 dy
dt = 4x − 2y − 8t − 8 ,
som svarar mot det
homogena, linj¨ara systemet
dx
dt = x+ y dy
dt = 4x − 2y ,
med den allm¨anna l¨osningen
x = c1e−3t+ c2e2t y = −4c1e−3t+ c2e2t.
L¨osning: (a) Om x(t) = v1(t)x1(t) + v2(t)x2(t) d˚a g¨aller att
x0(t) = v10x1+ v1x10 + v02x2+ v2x02 och y0(t) = v10y1+ v1y01+ v02y2+ v2y02.
S¨att in x(t) = v1(t)x1(t) + v2(t)x2(t) resp. y(t) = v1(t)y1(t) + v2(t)y2(t) i f¨orsta resp. andra ekvationen i (*). Man f˚ar:
x0(t) = a1(v1x1 + v2x2) + b1(v1y1 + v2y2) = v1(a1x1+ b1y1) + v2(a1x2 + b1y2) , allts˚a likheten g¨aller om v01x1 + v02x2 = f1(t) och p.s.s. (ur andra ekvationen) v01y1+ v20y2 = f2(t) .
(b) S¨ok den partikul¨ara l¨osnningen p˚a formen: xp(t) = v1(t)e−3t+ v2(t)e2t och yp(t) = −4v1(t)e−3t+ v2(t)e2t.
Ins¨attningen i systemet ger enligt (a):
v01e−3t + v02e2t = −5t + 2 (1)
−4v10e−3t + v02e2t = −8t − 8 (2) (1) – (2) ger 5v10e−3t= 3t + 10 , allts˚a v10 = 3
5t+ 2
e3t ⇒ v1 =
Z 3 5t+ 2
e3tdt= 1
5(t + 3)e3t. P˚a liknande s¨att, 4(1)+(2) ger:
5v02e2t = −28t ⇒ v02 = −28
5 te−2t och v2 = 7
5(2t + 1)e−2t. Den s¨okta partukul¨ara l¨osningen ¨ar:
xp(t) = 1
5(t + 3)e3t· e−3t+7
5(2t + 1)e−2t· e2t= 1
5(t + 3) + 7
5(2t + 1) = 3t + 2 och yp(t) = −4
5(t + 3) + 7
5(2t + 1) = 2t − 1 . 58.6 Best¨am alla j¨amviktspunkter till:
(a) d2x
dt2 +dx
dt −(x3+ x2−2x) = 0 ; (b)
dx
dt = y2−5x + 6 dy
dt = x− y .
L¨osning: (a) Skriv upp ekvivalent system av f¨orstaordningens ekvationer, s¨att x0(t) = y(t) . D˚a ekvationen kan skrivas som y0 = x3+ x2−2x − y .
J¨amviktspunkterna ¨ar l¨osningar till systemet:
y = 0
x3+ x2−2x − y = 0
Allts˚a, y = 0 och x3+ x2−2x = 0 ⇔ x1= 0 , x2 = 1 , x3 = −2 . Systemet har tre j¨amviktspunkter: (0, 0) , (1, 0) och (−2, 0) . (b) J¨amviktspunkterna ¨ar l¨osningar till systemet:
y2−5x + 6 = 0 x− y = 0 .
Andra ekvationen ger x = y och ins¨attningen i f¨orsta ger: y2−5y + 6 = 0 ⇔ y1 = 2 och y2 = 3 , allts˚a systemet har tv˚a j¨amviktspunkterna: (2, 2) och (3, 3) . 59.1 F¨or varje av nedst˚aende system finn j¨amviktspunkter (i), best¨am differentialek- vationen f¨or banor (ii), l¨os ekvationen (iii), skissera n˚agra banor och markera orientering f¨or dem.
(a)
dx
dt = y(x2+ 1) dy
dt = 2xy2; (d)
dx
dt = −x
dy
dt = 2x2y2.
L¨osning: (a) (i) J¨amviktspunkterna ¨ar l¨osningarna till systemet:
y(x2+ 1) = 0
2xy2 = 0
Fr˚an f¨orsta ekvationen f˚ar man att y = 0 och d˚a andra ekvationen ¨ar uppfylld f¨or varje v¨ardet p˚a x . Varje punkt p˚a x− axeln ¨ar en j¨amviktspunkt.
(ii) Ekvationen f¨or banor ¨ar:
dy dx =
dy dt dx dt
= 2xy2
y(x2+ 1) ⇔ dy
dx = 2xy x2+ 1 .
(iii) Ekvationen ¨ar separabel ty dy
dx = 2xy
x2+ 1 ⇔ 1 y
dy
dx = 2x x2+ 1
⇔ Z 1
y dy=
Z 2x
x2+ 1dx ⇔ ln y = ln C(x2+ 1) ⇔ y = C(x2+ 1) . L¨osningsbanor till systemet ¨ar parabler orienterade fr˚an v¨anster till h¨oger.
(d) (i) J¨amviktspunkter ¨ar alla punkter som uppfyller systemet:
−x = 0
2x2y2 = 0
Naturligtvis alla punkter p˚a formen (0, y) satisfierar systemet, allts˚a j¨amvikts- punkter ¨ar alla punkter p˚a y− axeln.
(ii) Ekvationen f¨or banor ¨ar dy
dx = 2x2y2
−x = −2xy2 ⇔ y= 0 eller − 1 y2
dy dx = 2x . (iii) Ekvationen f¨or banorna har l¨osningarna:
y= 0 och 1
y = x2+ C ⇔ y = 1 x2+ C.
Banorna ¨ar orienterade fr˚an h¨oger till v¨anster i f¨orsta och fj¨arde kvadranten, fr˚an v¨anster till h¨oger i andra och tredje kvadranten.
