UPPSALA UNIVERSITET Att r¨akna till lektion 4 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ordin¨ara differentialekvationer
Civilingenj¨orsutbildning
54.1(a) Ers¨att differentialekvationen y00− x
2y0 − xy = 0 med ett ekvivalent system av f¨orsta ordningens ekvationer.
55.5(a) Visa att x = e4t
y = e4t och x = e−2t y = −e−2t
¨ar l¨osningar till homogena
systemet:
dx
dt = x+ 3y dy
dt = 3x + y .
(b) Visa p˚a tv˚a s¨att att givna l¨osningar till systemet i (a) ¨ar linj¨art oberoende p˚a varje slutet intervall, och skriv upp den allm¨anna l¨osningen till detta system.
(c) Finn en partikul¨ar l¨osning x = x(t)
y = y(t) till detta system f¨or vilken x(0) = 5 och y(0) = 1 .
55.6(a) Visa att x = 2e4t
y = 3e4t och x = e−t
y = −e−t ¨ar l¨osningar till det homogena sys- temet
dx
dt = x+ 2y dy
dt = 3x + 2y .
(b) Visa p˚a tv˚a s¨att att givna l¨osningar till systemet i (a) ¨ar linj¨art oberoende p˚a varje slutet intervall, och skriv upp den allm¨anna l¨osningen till detta system.
(c) Visa att x = 3t − 2 y = −2t + 3
¨ar en partikul¨ar l¨osning till det inhomogena systemet
dx
dt = x+ 2y + t − 1 dy
dt = 3x + 2y − 5t − 2 .
Skriv upp den allm¨anna l¨osningen till systemet.
56.1 Best¨am den allm¨anna l¨osningen till systemet:
(a)
dx
dt = −3x + 4y dy
dt = −2x + 3y ;
(c)
dx
dt = 5x + 4y dy
dt = −x + y . 56.5 Betrakta det inhomogena, linj¨ara systemet:
(*)
dx
dt = a1(t)x + b1(t)y + f1(t) dy
dt = a2(t)x + b2(t)y + f2(t)
och motsvarande homogena systemet
(**)
dx
dt = a1(t)x + b1(t)y dy
dt = a2(t)x + b2(t)y . (a) Om x = x1(t)
y = y1(t) och x = x2(t)
y = y2(t) ¨ar linj¨art oberoende l¨osningar till (**), s˚a att: x = c1x1(t) + c2x2(t)
y = c1y1(t) + c2y2(t) ¨ar en allm¨ann l¨osning till (**), visa att x = v1(t)x1(t) + v2(t)x2(t)
y = v1(t)y1(t) + v2(t)y2(t) blir en partikul¨ar l¨osning till (*) om funktionerna v1(t) och v2(t) uppfyller systemet :
v10x1+ v20x2 = f1
v01y1+ v20y2 = f2
.
Denna teknik, f¨or att finna en partikul¨ar l¨osning till ett inhomogent, linj¨art system kallas f¨or Liouvills metod med variabla koefficienter.
(b) Anv¨and metoden som beskrivs i (a) f¨or att finna en partikul¨ar l¨osning till det inhomogena, linj¨ara systemet
dx
dt = x+ y − 5t + 2 dy
dt = 4x − 2y − 8t − 8 ,
som svarar mot det
homogena, linj¨ara systemet
dx
dt = x+ y dy
dt = 4x − 2y ,
med den allm¨anna l¨osningen
x = c1e−3t+ c2e2t y = −4c1e−3t+ c2e2t. 58.6 Best¨am alla j¨amviktspunkter till:
(a) d2x
dt2 +dx dt − (x
3+ x2− 2x) = 0 ;
(b)
dx
dt = y2− 5x + 6 dy
dt = x − y .
59.1 F¨or varje av nedst˚aende system finn j¨amviktspunkter (i), best¨am differentialek- vationen f¨or banor (ii), l¨os ekvationen (iii), skissera n˚agra banor och markera orientering f¨or dem.
(a)
dx
dt = y(x2+ 1) dy
dt = 2xy2; (d)
dx
dt = −x
dy
dt = 2x2y2.
