L¨ osningsskiss f¨ or tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

L¨ osningsskiss f¨ or tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 26 oktober 2015 klockan 14.00-18.00 p˚ a H¨ orsalsv¨ agen.

L¨ osningsskiss: Christian Forss´ en

1. (a) Kurvan ¨ ar en ellips i xy-planet som genoml¨ ops moturs. Skriv d~ r =

−b sin tˆ xdt+c cos tˆ ydt och integrera ¨ over parametern t. Svaret blir 2π ^bc _a F 0 .

(b)

[∇ × ∇φ] _i = ε _ijk ∂ _j ∂ _k φ Till exempel f¨ or i = 1

ijk ∂ _j ∂ _k faktor 123 2 3 +1 132 3 2 −1

vilket betyder att [∇ × ∇φ] ₁ = (∂ ₂ ∂ ₃ − ∂ ₃ ∂ ₂ ) φ = 0.

(c) Kom ih˚ ag skalningsegenskapen hos deltafunktioner (kan visas genom variabelsubstitution i integralen x ⁰ = 2x). Detta ger

Z +π

−π

cos(x)δ(2x)dx = 1

2 cos(0) = 1 2 .

2. F¨ altlinjer best¨ ams ur sambandet _dτ ^{d~ r} = C ~ E. H¨ ar v¨ aljer vi C = 4π/m och vi anv¨ ander sf¨ ariska koordinater s˚ a att d~ r = ˆ rdr+r ˆ θdθ+r sin θ ˆ ϕdϕ.

I detta fall f˚ ar vi den separabla differentialekvationen ^dr _dθ = _{tan θ} ^2r med l¨ osningen r = A sin ² θ. Integrationskonstanten best¨ ams fr˚ an den givna punkten till A = 4.

Detta ¨ ar f¨ altet fr˚ an en dipol. Just denna f¨ altlinje ligger i zy-planet

(x = 0) med start och slut i origo. I punkten θ = π/2, dvs (x, y, z) =

(0, 4, 0) pekar vektorf¨ altet i riktningen ˆ θ = −ˆ z. Se figur.

L¨ osningsskiss f¨ or tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)2015-10-26

3. • Ytan ¨ ar en halvsf¨ ar med radien a.

• F¨ altet ¨ ar regulj¨ art med divergensen ∇ · ~ F = 2F ₀ /a.

• Vi sluter ytan genom att l¨ agga till en pottenplatta S ₁ med nor- malen −ˆ z. Gauss sats ger oss att

I

S+S

F · d ~ ~ S = Z

V

∇ · ~ F dV = 4πF ₀ a ² 3 .

• Integralen ¨ over bottenplattan r¨ aknas enklast ut i cylinderkoordi- nater

Z

S

F · d ~ ~ S = − F ₀ a ²

Z a 0

Z 2π 0

ρ ² ρdρdϕ = − πF ₀ a ² 2 .

• och svaret blir d¨ arf¨ or Z

S

F · d ~ ~ S = I

S+S

F · d ~ ~ S − Z

S

F · d ~ ~ S = 11πF ₀ a ²

6 .

4. Kontinuitetsekvationen f¨ or elektrisk laddning

∂ρ

∂t = −∇ · ~,

h¨ arleds f¨ orslagsvis med hj¨ alp av Gauss sats (se avsnitt 4.2 i kompendiet med den konserverade storheten laddning ist¨ allet f¨ or massa).

Fr˚ an Amperes lag (utan tidsberoende) har vi

∇ · ~ = 1 µ ₀ ∇ · 

∇ × ~ B 

= 0,

enligt r¨ aknereglerna f¨ or vektoroperatorerna. Detta skulle betyda att

∂ρ

∂t = 0,

vilket ¨ ar orimligt, f¨ or det betyder att det inte g˚ ar att flytta en elektrisk laddning.

Med ytterligare en term (f¨ orskjutningsstr¨ ommen) i Amperes lag

∇ × ~ B − µ ₀  ₀ ∂ ~ E

∂t = µ ₀ ~,

st¨ ammer kontinuitetsekvationen vilket man ser efter ins¨ attning.

Fundamental fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en

L¨ osningsskiss f¨ or tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)2015-10-26

5. • Randvillkoret antyder tv˚ a sorters vinkelberoende: cos(pϕ) och 1.

Vi ans¨ atter d¨ arf¨ or en variabelseparerad l¨ osning (utan z-beroende) φ(ρ, ϕ) = f (ρ) + g(ρ) cos(pϕ).

• Laplaces ekvation i cylindriska koordinater ger l¨ osningarna f (ρ) = A log(ρ) + B, g(ρ) = Cρ ^−p + Dρ ^p ,

men vi stryker de singul¨ ara termerna d˚ a vi varken har n˚ agon lin- jek¨ alla (log ρ-termen skulle motsvarat en s˚ adan), eller n˚ agon an- nan singul¨ ar k¨ alla.

• Randvillkoren s¨ ager att f (a) = φ ₀ och g(a) = φ ₁ . Detta ger att B = φ ₀ och Da ^p = φ ₁ .

• Svaret blir allts˚ a

φ = φ ₀ + φ ₁  ρ a

 p

cos(pϕ).

6. • Vi har en punktk¨ alla med v¨ armeeffekten W och ett Neumann randvillkor vid ytan till sf¨ aren. Temperaturf¨ altet skall allts˚ a upp- fylla Poissons ekvation inuti sf¨ aren

∆T = −s/λ, med s = W δ ³ (~ r).

• L¨ osningen ¨ ar T = T (r) = ^W/λ _4πr + T ₁ , vilket man kan se genom att l¨ osa Laplaces ekvation ∆T = 0 i omr˚ adet 0 < r < a (dvs d¨ ar k¨ alltermen ¨ ar noll) och sedan identifiera punktk¨ alltermen. Inte- grationskonstanten T ₁ ¨ ar fortfarande obest¨ amd.

• V¨ armestr¨ ommen ¨ ar ~ q = −λ∇T = −ˆ rλ ^∂T _∂r = _4πr ^W

ˆ r. Detta ¨ ar bra eftersom vi d¨ armed kan verifiera att

Z

|~ r|=a

~

q · d ~ S = W.

Dvs v¨ armeeffekt fr˚ an k¨ allan ¨ ar lika med v¨ armestr¨ om per tidsenhet ut genom ytan.

• Den totala v¨ armeenergin i sf¨ aren ges av integralen H = R

V cρT dV . F¨ or en konstant temperaturf¨ ordelning (som vid t = 0) blir detta H ₀ = cρT ₀ ^4πa ₃

. F¨ or v˚ ar station¨ ara l¨ osning g¨ aller

H = cρT ₁ 4πa ³

3 + cρ 4π Z a

0

W 4πλ rdr

| {z }

=

.

Fundamental fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forss´ en

L¨ osningsskiss f¨ or tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)2015-10-26

• V¨ armeenergin skall vara bevarad vilket ger T ₁ . Svaret blir T (r) = W

4πλ

 1 r − 3

2a

 + T ₀

Fundamental fysik, Chalmers Page 4 Examinator: C. Forss´ en